多元函数自变量趋limx趋近于无穷大时的定义 例如 limx趋于∞y趋limx趋近于无穷大 f（x，y）=A

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-03-14 23:53 标签： limx趋近于无穷sinx x
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设函数y=f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，并且满足f(xy)=f(x)+f(x)，，（1）求f(1)，f(3)的值； （2）如果f(x)+f(2-x)＜2，求x的取值范围。
题型：解答题难度：中档来源：福建省月考题
解：（1）∵对任意，有，∴令x=y=1，则，∴，∴令，并由，得，∴。（2）对任意，有，∴2=1+1=，∴，又是定义在R+上的减函数，∴，解得：。
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数y=f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，并且满足f(xy)=f(x)+f(..”主要考查你对&&函数的定义域、值域，函数的单调性、最值&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的定义域、值域函数的单调性、最值
定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则& 。
&3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
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622840778948453844803134856898830187同阶无穷小量在证明二元函数极限不存在中的应用
1.引言二元函数极限的存在性是多元函数微积分教学中的重点内容,而证明二元函数极限的不存在则是学生学习过程中普遍存在的难点.下面通过具体例题分析如何借助同阶无穷小量来证明二元函数的极限不存在,并给出这类题目的解题技巧.2.实例例1设f(x,y)=x2x+y,证明:lim(x,y)→(0,0)f(x,y)不存在.解极限的类型为00型未定式,故可设x+y=kx2(即x+y与x2为当x→0时的同阶无穷小量),其中k为任意常数且不为零,由此得y=kx2-x.因为limx→0y=kx2-xf(x,y)=1k与k值有关,故lim(x,y)→(0,0)f(x,y)不存在.例2设f(x,y)=xx+y,证明:lim(x,y)→(0,0)f(x,y)不存在.解极限的类型为00型未定式,若将x与y视为相同的变量,则x与x+y具有相同的次幂,故可设y=kx,其中k为任意常数且不为零.因为limx→0y=kxf(x,y)=11+k与k值有关,故li...&
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17世纪开始,随着科学技术的发展,在各行各业,人们的 艺术家也不满足于画布上的东西只会发呆的成果。对他们来说,传统观念都受到了极大挑战,新思想不断涌现。而这些新思想 艺术永远有着勃勃的生机。他们面前的方寸画布,不再只是要都是互相影响着的。在数学上,一场重大的革命应运而生,那忠实地反映客观世界的镜面,而是宣泄他们对世界理解的舞台。就是微积分的诞生。微积分由牛顿和莱布尼兹发起,开始的时他们开始在静态的画面上尝试描述动态,静悄悄地开展了一场候争论不断,人们为无穷小量的意义而大打出手,那时无穷小动态革命。尽管人们尝试刻画动态由来已久,在古埃及的壁画量被保守派称为“幽灵”,呼之即来,挥之即去。直到19世纪,上就可以看出端倪。例如在弘扬法老拉姆西斯II的壁画上,英在众多数学家的努力下,微积分的理论才趋于完善,人们才有雄的战马刻成了六条腿,以此表示战马奔腾的状态,但绝大多数了刻画动态的利器。这个思想也以一种不可思议的方式感染描述动态场合的古典...&
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所谓“微量”,亦称无穷小量,是指选取的研究对象所包含的时间、长度、面积、体积、电量、角度、功、质量、能量等可能为连续分布的无限逼近零值但又不为零值的物理量。微量法是一种放眼整体从局部入手的思维方法,中学物理中常见类型有:1微量隔离用无限分割的手段获取微量的研究对象,是用微量法解决问题的关键。通过微量手段隔离出的微量对象,可以是物体,也可以是某个过程,或者说是某种场景。在隔离对象的过程中,要注意研究问题的整体特征,适当地进行分割,将整体的内部关系转化为微量部分与其余部分的相互关系,进而应用能反映物体间相互联系的物理规律,获得以小博大的效果。例1一质量为M、均匀分布的圆环,其半径为r,几何轴与水平面垂直,若它能经受的最大张力为T,求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。分析与解因为向心力F=mrω2,当ω一定时,r越大,向心力越大,所以要想求最大张力T所对应的角速度ω,r应取最大值。如图1所示,在圆环上取一小段△L,对应的圆心角为△θ...&
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在高职数学教学中。有些理论或公式的证明都不写出来或大大简化或只用通俗的语言来进行说明,或干脆一带而过。这给教师在阐述这些理论或公式带来一些困难。为了更好的提高教学质量和满足一些程度较好的学生要求,在不影响教学进度的情况下,对一些较难的问题还是有必要进行更进一步的探讨和说明。1无穷个无穷小量的积在教授无穷小量和无穷大量这节中,在讲到无穷小的性质时指出,有限个无穷小的和与积还是无穷小。这当然是正确的。但并没有指出无穷多个无穷小的和与积是否是无穷小。这使许多学生提出一些疑问。事实上无穷多个无穷小的和并不一定是无穷小。所以,为了证明该理论,需要举出反例来证明,limn3nn1=。即无穷多个无穷小的和甚至是一个无穷大。但无穷多个无穷小的积呢?从表面上看似乎是无穷小,一时分析透彻也是有难度的,如果说不是,要举出反例,也不好举。书上并没有说明这个问题,在很多书上并没有涉及这个问题。在武汉大学数学与统计学院齐友民主编的《微积分》上的注上明确指出...&
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在《高等数学》课程中,无穷小量是一个最基本,最重要的概念[1~6],也是一个不太容易掌握的概念.将两个无穷小进行比较,比值的极限会出现不同的情况(例如,当x→0时,x3,3x,sinx都是无穷小,而limx→02x3x=0,xli→0m3xx2=∞),多种《高等数学》教材中都认为两个无穷小比值的极限是反映两个无穷小趋向零的‘快慢’程度不同的量[7~8].即在x→0的过程中,x2→0比3x→0“快些”,反过来,3x→0比x2→0“慢些”.对于这种解释,本人觉得有点疑虑.一般地,“函数变化的快慢程度”用函数a(x)的导数a’(x)=a(x+Δx)-a(x)Δx来描述,当x→0时,x2→0零,x2趋向于零的快慢程度即(x2)’=2x;类似地,3x趋向于零的快慢程度即(3x)’=3.由于2x3(x→0),显然,3x比x2趋向于零更快.这与前面的解释刚刚相反[9].现在,让我们换一种方式去理解两个无穷小之比的极限式.观察limx→02x3...&
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无穷小量是高等数学教学中的一个重要概念,深刻理解和掌握它,对后面的极限计算,函数连续性的讨论,导数概念的理解都有很大的帮助,本文从教学实践出发,对学习过程中容易产生错误理解的地方进行了总结。1.无穷小量概念若函数f(X)(包括数列情形)的极限等于零,这时称这个函数为无穷小量,对于数列只能有一种情形,即n→+∞的类型,如数列???n12???,???31n???当n→+∞,它们都以零为极限。所以都是无穷小量或---无穷小数列。但对于定义在—间上的函数而言,则有n→+∞,n→?∞,x→x0,x→x0+,x→x0?五种,而且—还有种种不同的值,因些单说函数是无穷小量是不够的,还必须指明X趋于什么如:lxi→m0(x3)=0。证明,当x→0时,函数()f x=x3是无穷小量,函数:x n(n为正整数);1-cosx。证明,当x→0时,极限都等于0,所以当x→0时,这些函数都是无穷小量。同样,函数(x?a)n(n为正整数),si...&
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