32∫cos^2xsin^4xdx，cos2x的定积分分，区间是0→Pi。有木有大神能够简便地做出来？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-07-18 10:02 标签： 定积分积分区间的变换
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∫cos^3xsin^4xdx 用第一类换元法,
x义家族155
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∫ (cosx)³(sinx)⁴dx=∫ (cosx)²(sinx)⁴dsinx=∫ (1-sin²x)(sinx)⁴dsinx=∫ [(sinx)⁴-(sinx)⁶] dsinx=(1/5)(sinx)^5 - (1/7)(sinx)^7 + C若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
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爱数学，爱解题，季来主讲，卓然天成，为你而生！First，思路，观察cosx立方及sinx四次方乘积的多项式为七次奇数次（如果是偶次，需依情况而作）。所以，我们对奇数次的cosx进行第一类换元。Then，∫cos^3xsin^4xdx=∫cos^2xsin^4xd（sinx）
——在这里，我们把sinx换元为t，即设sinx=t，因为cos^2x=1-sin^2x=1-t^2...
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求xsin^6xcos^4xdx从0到π的定积分
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公式：∫[0→π] xf(sinx) dx = (π/2)∫[0→π] f(sinx) dx∫[0→π] x(sinx)⁶(cosx)⁴ dx由公式：=(π/2)∫[0→π] (sinx)⁶(cosx)⁴ dx=(π/2)∫[0→π/2] (sinx)⁶(cosx)⁴ dx + (π/2)∫[π/2→π] (sinx)⁶(cosx)⁴ dx后一部分换元,令x=u+π/2,则dx=du,u：0→π/2=(π/2)∫[0→π/2] (sinx)⁶(cosx)⁴ dx + (π/2)∫[0→π/2] (cosu)⁶(sinu)⁴ du积分变量换回x=(π/2)∫[0→π/2] (sinx)⁶(cosx)⁴ dx + (π/2)∫[0→π/2] (cosx)⁶(sinx)⁴ dx=(π/2)∫[0→π/2] (sinx)⁴(cosx)⁴(sin²x+cos²x) dx=(π/2)∫[0→π/2] (sinx)⁴(cosx)⁴dx=(π/32)∫[0→π/2] (sin2x)⁴dx=(π/32)∫[0→π/2] (1/4)(1-cos4x)² dx=(π/128)∫[0→π/2] (1-2cos4x+cos²4x) dx=(π/128)∫[0→π/2] [1-2cos4x+(1/2)(1+cos8x)] dx=(π/128)∫[0→π/2] [3/2 - 2cos4x + cos8x] dx=(π/128)(3/2)(π/2)=3π²/512若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
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这个要用积化和差公式，原式=1/2(xsin10x+xsin2x),然后再分布积分，-xdcos10x-xdcos2x 缺系数你自己慢慢算可以了
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请问这个定积分怎样求?∫[0,π]sin³tdt=还有这类的sin,cos的几次方的定积分一般是要怎样求的呢?
小星星___0068
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∫(0→π) sin³t dt= ∫(0→π) sin²t · sint dt= ∫(0→π) (1 - cos²t) d(- cost)= ∫(0→π) (cos²t - 1) d(cost)= [(1/3)cos³t - cost]：(0→π)= [(1/3)(- 1) - (- 1)] - [1/3 - 1]= 4/3∫ (sinx)^n dx,当n是奇数时,∫ (sinx)^(n - 1) · sinx dx = - ∫ (sinx)^(n - 1) d(cosx)= - ∫ (sin²x)^[(n - 1)/2] d(cosx)= - ∫ (1 - cos²x)^[(n - 1)/2] d(cosx)如果令u = cosx= - ∫ (1 - u²)^[(n - 1)/2] du,n - 1是偶数= ...拆开变为多项式然后积分当n是偶数时,分别用公式cos2x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x和sin2x = 2sinxcosx化简用降幂公式∫ sinⁿx dx = (- cosx · sinⁿ⁻¹x)/n + (n - 1)/n · ∫ sinⁿ⁻²x dx∫ cosⁿx dx = (sinx · cosⁿ⁻¹x)/n + (n - 1)/n · ∫ cosⁿ⁻²x dx如果是定积分的话,又有另外一些规律∫(0→π/2) sinⁿx dx = ∫(0→π/2) cosⁿx dx,n > 1当n是奇数时：= (n - 1)!/n!= (n - 1)/(n - 2) · (n - 3)/(n - 4) · ...· 3/4 · 1/2当n是偶数时：= (n - 1)!/n!· π/2
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求sin^4xdx在0到1上的定积分
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-1/4* sin2
思路就是倍角化,把幂的次数尽量降低.
比如：（sinx）^4=(sinx)^2[1-(cosx)^2]=.逐次把角度升高,次数降低就可以了,最后化简到：3/8-0.5cos2x+0.125cos4x,这就好求积分了
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∫cos^4xdx的答案是什么?cos^4x的不定积分是什么？
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将原题改写成”∫cos^4xdx=∫(cos^4x-1+1)dx=∫[(cos^2x-1)(cos^2x+1)+1]dx=∫[1－sin^2x(cos^2x+1]dx=∫1dx-∫sin^2xcos^2xdx-∫sin^2xdx=x-1/4∫sin^2(2x)dx-∫sin^2xdx=x-1/4∫[1/2*(1-cos4x)]dx-∫[1/2*(1-cos2x)]dx”,至此问题就简化了,如果我后面没算错的话,答案应该是"3/8x+1/4sin2x+1/32sin4x"PS:写得太麻烦了,
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