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高中数学三角函数求周期
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三角函数试题及其答案
高考数学精选模拟试题分类汇编 高考数学精选模拟试题分类汇编 精选 三角函数1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)在 ?ABC 中，已知内角 A =π3，边BC = 2 3 .设内角 B = x ,面积为 y .(1)求函数 y = f ( x)
的解析式和定义域； (2)求 y 的最大值. 解：（1） ?ABC 的内角和 A + B + C = πQ A=π3∴0 & B &BC sin B = 4sin x sin A2π 3Q AC =∴y =1 2π AB ? AC sin A = 4 3 sin x sin( ? x) 2 3(0 & x &2π ) 3（2）Q y = 4 3 sin x sin(2π 3 1 ? x) = 4 3 sin x( cos x + sin x) 3 2 2π π π 7π = 6sin x cos x + 2 3 sin 2 x = 2 3 sin(2 x ? ) + 3, (? & 2 x ? & ) 6 6 6 6当 2x ?π2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知 a＝(cos α ，sin α )，b＝(cos β ，sin β )，其中 0＜ α ＜ β ＜ π ． (1)求证：a＋b 与 a－b 互相垂直； (2)若 ka＋b 与 a－kb 的长度相等，求 β － α 的值(k 为非零的常数)． a b 解：(1)由题意得：a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β) a－b＝(cos α－cos β， sin α－sin β) ∴(a＋b)?(a－b)＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＋(sin α＋sin β)(sin α－sin β) 2 2 2 2 ＝cos α－cos β＋sin α－sin β＝1－1＝0 ∴a＋b 与 a－b 互相垂直． (2) 方法一：ka＋b＝(kcos α＋cos β，ksin α＋sin β)， a a－kb＝(cos α－kcos β， sin α－ksin β) b | ka＋b |＝ k 2 + 2k cos(β ? α ) + 1 ，| a－kb |＝ k 2 ? 2k cos(β ? α ) + 1 a b 由题意，得 4cos (β－α)＝0，因为 0＜α＜β＜π ，所以 β－α＝ 方法二：由| ka＋b |＝| a－kb |得：| ka＋b | ＝| a－kb | a b a b2 2 2 2 2 2 2 26=π2即x=π3时，y 取得最大值 3 3………………………14 分π22．即(ka＋b ) ＝( a－kb ) ，k | a | ＋2ka?b＋| b | ＝| a | －2ka?b＋k | b | a b a a 由于| a |＝1，| b |＝1 ∴k ＋2ka?b＋1＝1－2ka?b＋k ，故 a?b＝0， a a2 22即(cos α ，sin α )? (cos β ，sin β )＝0 10 分 ?cos α cos β + sin α sin β = 0 ? cos(β ? α ) = 0因为 0＜α＜β＜π ，所以 β－α＝π2．3、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知 3sin 1 答案： 22A+ B 2 A? B +cos =2, (cosA?cosB≠0)，求 tanAtanB 的值。 2 24、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知函数 f ( x) = 3 cos x + 2 cos x sin x + sin x ．2 2（Ⅰ）求 f (x ) 的最大值，并求出此时 x 的值； （Ⅱ）写出 f (x ) 的单调递增区间． 解：（Ⅰ） f ( x ) = 3 cos x + 2 cos x sin x + sin x = 32 2= 2 + sin 2 x + cos 2 x = 2 sin(2 x +当 2x +π41 + cos 2 x 1 ? cos 2 x + sin 2 x + 2 2) + 2 ………………………（6 分）π4=π2+ 2kπ ，即 x = kπ +π8(k ∈ Z ) 时，f (x) 取得最大值 2 + 2 .（Ⅱ）当 ?……………………（8 分）π2+ 2kπ ≤ 2 x +π4≤π2+ 2kπ ，即 kπ ?所以函数 f (x ) 的单调递增区间是 [ kπ ?3π π , kπ + ] (k ∈ Z ) ．………（12 分） 8 83π π ≤ x ≤ kπ + (k ∈ Z ) 时， 8 85、(安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)已知 ?ABC 中， | AC |= 1 ， ∠ABC = 120 ， ∠BAC = θ ，0记 f (θ ) = AB? BC ， （1）求 f (θ ) 关于 θ 的表达式； （2）求 f (θ ) 的值域； 解：（1）由正弦定理有： Ａ→→θＢ 120° Ｃ| BC | 1 | AB | = = ； 0 sin θ sin 120 sin(60 0 ? θ )∴ | BC |=1 sin(60 0 ? θ ) sin θ ， | AB |= ； sin 120 0 sin 120 0→ →∴ f (θ ) = AB? BC =4 1 2 3 1 sin θ ? sin(60 0 ? θ ) ? = ( cos θ ? sin θ ) sin θ 3 2 3 2 21 π 1 π = sin(2θ + ) ? (0 & θ & ) 3 6 6 3 π π π 5π （2）由 0 & θ & ? & 2θ + & ； 3 6 6 6 1 π 1 ∴ & sin( 2θ + ) ≤ 1 ；∴ f (θ ) ∈ (0, ] 2 6 6x π x x π x π 6、(江西省五校 2008 届高三开学联考)已知向量 a = (sin( + ), cos ), b = (cos( + ),? cos ), x ∈ [ , π ] ，函数 2 12 2 2 12 2 2 f ( x) = a ? b .3 （I）若 cos x = ? ，求函数 f (x ) 的值； 5（II）将函数 f (x ) 的图象按向量 c＝ ( m, n)(0 & m & π ) 平移，使得平移后的图象关于原点对称，求向量 c. 解：由题意，得 f ( x) = sin( +=1 π 1 sin( x ? ) ? . ………………………………………………………………5 分 2 6 2 π 3 4 （1）Q x ∈ [ , π ], cos x = ? ,∴ sin x = ， =2 5 5∴ f ( x) = 3 1 1 3 7 sin x ? cos x ? = ? . …………………………………7 分 4 4 2 5 201 1 π sin( x + ) ? (1 + cos x) 2 6 2 3 1 1 1 3 1 1 = sin x ? cos x ? = ( sin x ? cos x) ? 4 4 2 2 2 2 2x 2x π x ) cos( + ) ? cos 2 12 2 12 2π（2）由图象变换得，平移后的函数为 g ( x ) =1 π 1 sin( x ? ? m) + n ? ， 2 6 2而平移后的图象关于原点对称，∴ g (0) = 0且n ? 1 = 0 ，………………9 分 2 即 sin( m +π6) = 0且n =1 , 25 Q 0 & m & π ,∴ m = π ， 6即c = ( π, ). 7、(四川省巴蜀联盟 2008 届高三年级第二次联考)已知函数 f ( x) = ?1 + 2 3 sin x cos x + 2cos 2 x ， （1）求函数 f (x ) 的最小正周期； （2）求函数 f (x ) 的单调减区间； （3）画出函数 g ( x) = f ( x), x ∈ [?5 61 27π 5π , ] 的图象，由图象研究并写出 g (x) 的对称轴和对称中心. 12 122 1 0 -1 -2π12?7π 12?5π 12?π4?π12π45π 12x解：（1）π 2π f ( x) = 3 sin 2 x + cos 2 x = 2 sin(2 x + ) ， T = =π 6 2 π π 3π π 2π （2）由 + 2kπ ≤ 2 x + ≤ + 2kπ (k ∈ Z ) 得 + kπ ≤ x ≤ + kπ ， 2 6 2 6 3 π 2π + kπ ](k ∈ Z ) 所以，减区间为 [ + kπ , 6 3（3） g ( x ) 无对称轴，对称中心为（ ?π12,0 ）8、(四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a，b，c，且a 2 + c2 ? b2 =1 ac. 2 A+C （1）求 sin 2 + cos 2 B 的值； 2（2）若 b=2，求△ABC 面积的最大值． 1 4解：(1) 由余弦定理：conB=sin2A+ B 1 +cos2B= 4 21 15 . ∵b=2， , 得 sin B = 4 4 81（2）由 cos B =a + c =2ac+4≥2ac,得 ac≤ 3 ,S△ABC=2acsinB≤ 3 (a=c 时取等号)22115故 S△ABC 的最大值为15 39、(四川省成都市一诊)在 ?ABC 中，已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，向量 m = 2 sin B, ? 3 ，()B ? ? n = ? cos 2 B, 2 cos 2 ? 1? ，且 m // n 。 2 ? ?（I）求锐角 B 的大小； （II）如果 b = 2 ，求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值。2B (1)解：m∥n ? 2sinB(2cos －1)＝－ 3cos2B m n 2?2sinBcosB＝－ 3cos2B ? tan2B＝－ 3 ……4 分 2π π ∵0＜2B＜π,∴2B＝ ,∴锐角 B＝ ……2 分 3 3 (2)由 tan2B＝－ 3 ? B＝ π 5π 或 3 6π ①当 B＝ 时，已知 b＝2，由余弦定理，得： 3 4＝a ＋c －ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当 a＝c＝2 时等号成立) 1 3 ∵△ABC 的面积 S△ABC＝ acsinB＝ ac≤ 3 2 4 ∴△ABC 的面积最大值为 3 ……1 分 5π ②当 B＝ 时，已知 b＝2，由余弦定理，得： 6 4＝a ＋c ＋ 3ac≥2ac＋ 3ac＝(2＋ 3)ac(当且仅当 a＝c＝ 6－ 2时等号成立) ∴ac≤4(2－ 3) ……1 分2 2 2 2……3 分1 1 ∵△ABC 的面积 S△ABC＝ acsinB＝ ac≤2－ 3 2 4 ∴△ABC 的面积最大值为 2－ 3 ……1 分 注：没有指明等号成立条件的不扣分. 10、(四川省乐山市 2008 届第一次调研考试)已知向量 m =ur(r 3a cos2 x , 1 , n = (1,b ? a sin2 x ) , a ,b∈ R ，ur r)集合 M = x 2cos x ? 2 ≥0, x ∈ ?? π , π ? ，若函数 f ( x ) = m n在x ∈ M 时 ，取得最大值 3，最小值为－1， －{? ? 2 2? ?}求实数 a , b 的值 答： f ( x ) = 2a cos 2 x + π + b,(6)a = 4 , b = 1 或a = ? 4 , b = 5 ； 3 3 3 311、 (四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)已知函数 f ( x ) = [2 sin( x + (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期； (2)若存在 x0 ∈ [0,π3) + sin x ]cos x ? 3 sin 2 x, x ∈ R5π ] ，使不等式 f ( x0 ) & m 成立，求实数 m 的取值范围. 12本题考查三角函数的基本性质及其运算，给定区间内不等式恒成立问题. 解析：(1) f ( x) = [2(sin x cosπ π + cos x sin ) + sin x]cos x ? 3 sin 2 x 3 3 π= 2 sin x cos x + 3 cos 2 x ? 3 sin 2 x = sin 2 x + 3 cos 2 x = 2 sin(2 x + ) ……………………4 分 3 2π ∴ 函数 f(x)的最小正周期 T = ……………………6 分 =π 2 5π π π 7π (2)当 x ∈ [0, ] 时， 2 x + ∈ [ , ] 12 3 3 6 π 7π 5π ∴ 当 2x + = ，即 x = 时，f(x)取最小值－1 ………9 分 3 6 12 5π 所以使题设成立的充要条件是 f ( ) & m ， 12故 m 的取值范围是(－1,＋∞) 12、(安徽省淮南市 2008 届高三第一次模拟考试)设函数 f (x)=2cosx (cosx+ 3 sinx)－1,x∈R (1)求 f (x)的最小正周期 T； (2)求 f (x)的单调递增区间.解： f ( x) = cos 2 x + 2 3 sin x cos x =3 sin 2 x + cos 2 x = 2 sin(2 x +π ) 6 ………… 6 分（1） T =2π =π . 2………… 9 分（2）由 2kπ Cπ2≤ 2x +π6≤ 2kπ +π2, 得：kπ Cπ3≤ x ≤ kπ +π6（k ∈Z）, Zf ( x ) 单调递增区间是[kπ Cπ3，kπ +π6]（k ∈Z） Z13、 (安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)若函数 f ( x) = sin 2 ax ? sin ax cos ax(a & 0) 的图象与直线y = m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列。(Ⅰ)求 m 的值；π (Ⅱ)若点 A( x0, y0 ) 是 y = f ( x ) 图象的对称中心，且 x0 ∈ [0, ] ,求点 A 的坐标。2解：(Ⅰ) f ( x) = sin 2 ax ? sin ax cos ax =1 ? cos 2ax 1 2 π 1 ? sin 2ax = ? sin(2ax + ) + ……3 分 2 2 2 4 2 1+ 2 1? 2 或m= . ………………6 分 2 2由题意知， m 为 f ( x) 的最大值或最小值，所以 m = (Ⅱ)由题设知，函数 f ( x) 的周期为 ∴ f ( x) = ? 由0≤π2，∴ a = 2 ……………………………………8 分2 π 1 π π kπ π sin(4 x + ) + .令 sin(4 x + ) = 0 ,得 4 x + = kπ (k ∈ Z ) ,∴ x = ? (k ∈ Z ) , 2 4 2 4 4 4 16kπ π π 3 1 7 1 ? ≤ (k ∈ Z ) ，得 k = 1 或 k = 2 ，因此点 A 的坐标为 ( π , ) 或 ( π , ) . 4 16 2 16 2 16 214、(北京市朝阳区 2008 年高三数学一模)已知 x ∈ R ，向量 OA = ( a cos 2 x, 1), OB = (2, 3a sin 2 x ? a ) ，uuu ruuu ruuu uuu r r f ( x) = OA ? OB ， a ≠ 0 .(Ⅰ)求函数 f (x ) 解析式，并求当 a&0 时， f (x ) 的单调递增区间； (Ⅱ)当 x ∈ [0,π2] 时, f (x) 的最大值为 5，求 a 的值.………………………………2 分解：(Ⅰ) f ( x ) = 2a cos 2 x + 3a sin 2 x ? a= 3a sin 2 x + a cos 2 x= 2a sin(2 x + ) . 6………………………………………………4 分 ………………………………………………6 分πp p p ? 2x ? 2k p (k 　Z )时, 2 6 2 . p p 即k p - ＃x k p + (k 　Z )时 3 6 当2k p 轾 p p f ( x)为增函数,即f ( x)的增区间为 犏 - , k p + (k 　Z ) kp 犏 3 6 臌(Ⅱ) f ( x ) = 2a sin(2 x + ………………9 分π6) ，当 x ∈ [0,π2] 时， 2 x + π ∈ [ π , 7π ] .6 6 65 p p = 时, f ( x) 最大值为 2a = 5 ，则 a = . ………11 分 6 2 2 π 7π 时, f ( x) 的最大值为 ? a = 5 ,则 a = ?5 . 若 a & 0, 当2 x + = 6 6若 a & 0, 当2 x + 15、 (北京市崇文区 2008 年高三统一练习一)已知向量 a= （tanx， ， = 1） b （sinx， x） 其中 x ∈ [0, cos ，π3], f ( x) =a?b.（I）求函数 f (x ) 的解析式及最大值； （II）若 f ( x ) =5 π π , 求2 sin( ? x) ? cos( + x) ? 1 的值. 4 4 4 1 . ……………………3 分 cos x解：（I）∵a=（tanx，1），b=（sinx，cosx），∴ f (x) = a?b= tan x ? sin x + cos x =∵ x ∈ [0,π3],∴当x =π时, f ( x)的最大值为f ( ) = 3 3π1 cosπ3= 2. …………6 分（II）Q f ( x ) =5 1 5 4 ,∴ = , 则 cos x = . 4 cos x 4 5 π 3 Q x ∈ [0, ],∴ sin x = . ……………………9 分 3 5 2 sin(π4? x) ? cos(π4+ x) ? 1 = 2 cos 2 (24 . 25π4+ x) ? 1 = cos(2 x +π2) = ? sin 2 x= ?2 sin x cos x = ?16 、 ( 北 京 市 东 城 区 2008 年 高 三 综 合 练 习 一 ） 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且b cos C = 3a cos B ? c cos B.（I）求 cosB 的值； （II）若 BA ? BC = 2 ，且 b = 2 2 ，求 a和c b 的值. 解：（I）由正弦定理得 a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C ，则2 R sin B cos C = 6 R sin A cos B ? 2 R sin C cos B, 故 sin B cos C = 3 sin A cos B ? sin C cos B, 可得 sin B cos C + sin C cos B = 3 sin A cos B, 即 sin( B + C ) = 3 sin A cos B, 可得 sin A = 3 sin A cos B.又 sin A ≠ 0, 1 因此 cos B = . 3（II）解：由 BA ? BC = 2, 可得a cos B = 2 ，…………6 分1 又 cos B = , 故ac = 6, 3 2 2 由b = a + c 2 ? 2ac cos B, 可得a 2 + c 2 = 12, 所以(a ? c) 2 = 0, 即a = c,所以 a＝c＝ 6 17、(北京市海淀区 2008 年高三统一练习一)已知在△ABC 中， A & B ，且 tan A 与 tan B 是方程x 2 ? 5 x + 6 = 0 的两个根.（Ⅰ）求 tan( A + B) 的值; （Ⅱ）若 AB = 5 ，求 BC 的长. 解：（Ⅰ）由所给条件，方程 x 2 ? 5 x + 6 = 0 的两根 tan A = 3, tan B = 2 . ∴ tan( A + B ) = 2分 4分 6分o=2+3 = ?1 1? 2× 3tan A + tan B 1 ? tan A tan B(Ⅱ)∵ A + B + C = 180 ,∴ C = 180o ? ( A + B ) . 由（Ⅰ）知， tan C = ? tan( A + B ) = 1 ， ∵ C 为三角形的内角，∴ sin C =2 2 3 ， 108分∵ tan A = 3 ， A 为三角形的内角，∴ sin A =10 分由正弦定理得： ∴ BC =AB BC = sin C sin A11 分5 3 × =3 5. 2 10 218、(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x ? 2 cos x ． （Ⅰ）若 x ∈ [ 0，π ] ，求 f ( x ) 的最大值和最小值；（Ⅱ）若 f ( x ) = 0 ，求2 cos 2x ? sin x ? 1 2 的值． π? ? 2 sin ? x + ? 4? ?解：（Ⅰ） f ( x ) = 2 3 sin x ? 2 cos x? 3 ? 1 = 4? sin x ? cos x ? ? 2 ? 2 ? ?π? ? = 4 sin ? x ? ? ．…………………………3 分 6? ?又∵ x ∈ [ 0，π ] ，∴-π π 5π π ≤ x ? ≤ ， ∴?2 ≤ 4sin ? x ? ? ≤4 ， ? ? 6 6 6 6? ?∴ f ( x)max = 4，f ( x) min = ?2 ．…………………………6 分（II）由于 f ( x ) = 0 ，所以 2 3 sin x = 2 cos x 解得 tan x =1 …………………………8 分 32 cos 2x ? sin x ? 1 cos x ? sin x 2 = π? ? ? 2 2? 2 sin ? x + ? 2 ? sin x ? + cos x ? ? 4? ? 2 2 ? ?1 cos x ? sin x 1 ? tan x 3 = 2? 3 = = = 1 cos x + sin x 1 + tan x 1 + 3 1?19、(北京市西城区 2008 年 4 月高三抽样测试)在 ?ABC 中， cos A = （Ⅰ）求角 C ； （Ⅱ）设 AB = （Ⅰ）解：由 cos A =5 10 ， cos B = . 5 102 ，求 ?ABC 的面积.5 10 ， cos B = ， 5 10得 A、B ∈ ? 0， ? ，? π? ? 2?所以 sin A =2 3 ， sin B = . 5 10………….. 3 分因为 cos C = cos[π ? ( A + B )] = ? cos( A + B ) = ? cos A cos B + sin A sin B = 且0 & C &π ， （Ⅱ）解： 根据正弦定理得 故C =2 ， ………….. 6 分 2………….. 7 分π4.AB AC AB ? sin B 6 = ? AC = = ， sin C sin B sin C 10………….. 10 分所以 ?ABC 的面积为1 6 AB ? AC ? sin A = . 2 5?20、(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)设 ? ∈ ? 0, ? （Ⅰ）求 ? 的值；π? ?π ? 3 2 ? ，函数 f ( x ) = sin ( x + ? ) ，且 f ? ? = 。4? ?4?4π （Ⅱ）若 x ∈ ? 0, ? ，求 f ( x ) 的最大值及相应的 x 值。 ? ??2?21、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习一)已知向量 m = (sin B, 1 ? cos B ) , 向量 n = （2，0），且 m 与 n π 所成角为 ， 3 其中 A、B、C 是 ?ABC的内角。 (1)求角 B 的大小; (2)求 sin A + sin C 的取值范围。 解：（1）Q m = (sin B, 1 ? cos B ) ，且与向量 n = （2，0）所成角为π3，∴1 ? cos B = 3 sin B∴ 3 sin A + cos B = 1 ∴ sin( B +π6 又Q 0 & B & π)=1 2 7π 6∴π6& B+π6&∴ B+π6 2π ……………………………………………………………..6 分 ∴B= 3 2π π （2）由（1）知， B = ，∴ A+C= 3 3∴ sin A + sin C = sin A + sin( Q ∴=5π 6π1 3 π ? A) = sin A + cos A = sin( + A) 3 2 2 30& A&π3，π3& A+π3&2π 3∴ sin(π? 3 ? ? 3 ? + A) ∈ ? ,1? ，∴ sin A + sin C ∈ ? ? 2 ? 2 ,1? 3 ? ? ? ?? ?22、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习二)已知： sin ? α ?π?3 π 3 ? = , & α & π. 4? 5 4 4(1)求 cos? α ?? ?π?? 的值； 4?(2)求 sin α 的值; (3)问：函数 y = cos? x ?? ?π?? 的图像可以通过函数 y = sin x 的图像进行怎样的平已得到？ 4?解：（1）Q sin ? α ?? ?π?&3 π 3 ? = , &α & π ， 4? 5 4 4∴0&α ?π4π2………………………………………………………..5 分π? 4 ? ∴ cos? α ? ? = 4? 5 ?（2） sinα = sin ? α ?? ?π4+π?π? π π? π 7 2 ? ? ……..9 分 ? = sin ? α ? ?cos + cos? α ? ?sin = 4? 4? 4 4? 4 10 ? ? π（3）函数 y = cos? x ?? ?π?? 的图像可以通过函数 y = sinx 的图像向左平移 个单位得到 4 4?2π 23、(山东省博兴二中高三第三次月考)已知函数 f ( x) = 2a sin 2 x ? 2 3a sin x ? cos x + b 的定义域为 [0, ] ，值域为[?5,4].求 a 和 b. 解：f(x)=a(1－cos2x)－ 3a sin2x＋b =－a(cos2x＋ 3 sin2x)＋a＋b π =－2a sin(2x＋ )＋a＋b . ?????????????????????? 6 分6π π π 7π π 1 ∵x∈ [0, ] ，∴2x＋ = [ , ] ，sin(2x＋ )∈ [? ,1] .26 6 6 6 2显然 a=0 不合题意. (1) 当 a＞0 时,值域为 ?b ? a, b + 2a ] ,即 ? ? (2) 当 a＜0 时,值域为 [b + 2a, b ? a ] ,即 ??b ? a = ?5, ? a = 3, ∴? ?b + 2a = 4, ?b = ?2.?b ? a = 4, ? a = ?3, ∴? ?b + 2a = ?5, ?b = 1.24、 (山东省博兴二中高三第三次月考)在△ABC 中， B、 所对边的长分别为 a、 c， A、 C b、 已知向量 m = (1, 2 sin A) ，urr ur r n = (sin A,1 + cos A), 满足 m // n, b + c = 3a. （I）求 A 的大小；（II）求 sin( B +解：（1）由 m//n 得 2 sin A ? 1 ? cos A = 0 ……2 分 n2π6) 的值.即 2 cos 2 A + cos A ? 1 = 0∴ cos A =1 或 cos A = ?1 2∴A=………………4 分 ………………6 分Q A是?ABC的内角, cos A = ?1 舍去（2）Q b + c = 3a 由正弦定理， sin B + sin C = 3 sin A = 32π3………………8 分 ………………10 分2 QB +C = π 3∴∴ sin B + sin(2π 3 ? B) = 3 23 3 3 π 3 cos B + sin B = 即 sin( B + ) = 2 2 2 6 225、(四川省成都市高 2008 届毕业班摸底测试)设函数 f ( x ) = 2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x + m ( x ∈ R ) （Ⅰ）化简函数 f (x ) 的表达式，并求函数 f (x ) 的最小正周期； （Ⅱ）若 x ∈ [0, π ] ，是否存在实数 m，使函数 f (x ) 的值域恰为 [ , ] ？若存在，请求出 m 的取值；若不存 2 2 2 在，请说明理由。1 7解： （Ⅰ）∵ f ( x ) = 2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x + m= 1 + cos 2 x + 3 sin 2 x + m = 2 sin(2 x +∴函数 f (x ) 的最小正周期 T = ππ6) + m +1…………4 分………………2 分（Ⅱ）假设存在实数 m 符合题意， Q x ∈ [0, ∴π2]，π6≤ 2x +π6≤7π π 1 ，则 sin(2 x + ) ∈ [? ,1] …………2 分 6 6 2∴ f ( x ) = 2 sin( 2 x +π6) + m + 1 ∈ [m,3 + m]m=…………2 分又∵ f ( x ) ∈ [ , ] ，解得 ∴存在实数 m =1 7 2 21 21 1 7 ，使函数 f ( x ) 的值域恰为 [ , ] 2 2 2 3 ， 426、 (东北区三省四市 2008 年第一次联合考试)在△ABC 中， b、 分别是角 A、 C 的对边， a、 c B、 C＝2A， A = cos（1）求 cos C , cos B 的值； （2）若 BA ? BC =27 ，求边 AC 的长。 22本小题考查和角倍角公式以及正弦、余弦定理 解：（1） cos C = cos 2 A = 2 cos A ? 1 = 2 ×9 1 ?1 = 16 81 3 7 3 7 由 cos C = , 得 sin C = ;由 cos A = , 得 sin A = 8 8 4 4 ∴ cos B = ? cos( A + C ) = sin A sin C ? cos A cos C =（2） BA ? BC =7 3 7 3 1 9 × ? × = 4 8 4 8 16① ②27 27 ,∴ ac cos B = ,∴ ac = 24 2 2 a c 3 , C = 2 A,∴ c = 2a cos A = a 又 = sin A sin C 2 9 = 25 16r由①②解得 a=4，c=6∴ b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B = 16 + 36 ? 48 ×∴b = 5 ，即 AC 边的长为 5.27、(东北三校 2008 年高三第一次联考)已知向量 a = (sin x, ), b = (cos x, ?1). （1）当 a // b 时，求 2 cos x ? sin 2 x 的值；23 r 2r r（2）求 f ( x) = ( a + b ) ? b 在 ? ?vvv? π ? , 0 上的值域． ? 2 ? ?r r解：（1）Q a || b ，∴3 3 cos x + sin x = 0 ，∴ tan x = ? 2 2 2 cos 2 x ? 2 sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 = = . sin 2 x + cos 2 x 1 + tan 2 x 13 1 2（5 分）2 cos 2 x ? sin 2 x = r r（2）Q a + b = (sin x + cos x, )r r r 2 π f ( x ) = ( a + b) ? b = sin(2 x + ) 2 4∵?π2≤ x ≤ 0 ，∴ ?3π π π π 2 ≤ 2 x + ≤ ，∴ ?1 ≤ sin(2 x + ) ≤ 4 4 4 4 2∴?2 1 ≤ f ( x) ≤ 2 2∴函数 f ( x )的值域为??? ?2 1? , ? 2 2?28 、 ( 东 北 师 大 附 中 高 2008 届 第 四 次 摸 底 考 试 ) 在 △ ABC 中 ， 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c ，sinA+ B C + sin = 2 ． 2 2 I．试判断△ ABC 的形状；II．若△ ABC 的周长为 16，求面积的最大值． 解：Ⅰ、 sinπ ?C2 C π π π ∴ + = 即C = ，所以此三角形为直角三角形. 2 4 2 2+ sinC C C C π = cos + sin = 2 sin( + ) 2 2 2 2 4Ⅱ． 16 = a + b +a 2 + b 2 ≥ 2 ab + 2ab ，∴ ab ≤ 64(2 ? 2 ) 2 当且仅当 a = b 时取等号，此时面积的最大值为 32 6 ? 4 2 ． 29、(本题 12 分) 已知 a = (cos x,sin x), b = (cos x + 3 sin x, 3 cos x ? sin x) , f ( x) = a ? b . (1)求 f ( x ) 的解析式及周期 T ; (2)当 x ∈ [0,()rrπ2] 时, f ( x) ? 2 = 0 ,求 x 的值.解: (1) f ( x ) = a ? b = cos x + 2 3 cos x sin x ? sin x = 2sin(2 x +2 2r rπ6) ……3 分T=2π =π 2……………………………………………5 分(2) x ∈ [0,ππ 2 ] 时, sin(2 x + ) = 2 6 2 π4或2 x +……………………………………6 分6 π 7π ∴ x = k π + 或x = k π + 24 24 π 7π ∴ x = 或x = 24 242x +π6= 2 kπ +π= 2 kπ +3π 4………………………………8 分………… ………………………………10 分30 、 ( 福 建 省 莆 田 一 中 2007 ～ 2008 学 年 上 学 期 期 末 考 试 卷 ) 已 知 △ ABC 的 面 积 为 3 ， 且 满 足uuu uuur r 0 ≤ AB ? AC ≤ 6 ，设 AB 和 AC 的夹角为 θ ．（I）求 θ 的取值范围； （II）求函数 f (θ ) = 2 sin (θ +2) － 3 cos 2θ 的最大值与最小值． 4 解：（Ⅰ）设 △ ABC 中角 A B，C 的对边分别为 a，b，c ， ，则由π1 ?π π? bc sin θ = 3 ， 0 ≤ bc cos θ ≤ 6 ，可得 0 ≤ cot θ ≤1 ，∴θ ∈ ? ， ? ． 2 ?4 2? ? ?π ? ?π ?? + θ ? ? 3 cos 2θ = ?1 ? cos ? + 2θ ? ? ? 3 cos 2θ ?4 ? ?2 ?? ?（Ⅱ） f (θ ) = 2sin 2 ?π? ? = (1 + sin 2θ ) ? 3 cos 2θ = sin 2θ ? 3 cos 2θ + 1 = 2 sin ? 2θ ? ? + 1 ． 3? ? π ? π 2π ? π? ?π π? ? ∵θ ∈ ? ， ? ， 2θ ? ∈ ? ， ? ，∴ 2 ≤ 2sin ? 2θ ? ? + 1 ≤ 3 ． 3 ?6 3 ? 3? ?4 2? ?即当 θ =5π π 时， f (θ ) max = 3 ；当 θ = 时， f (θ ) min = 2 ． 12 431、 (福建省泉州一中高 2008 届第一次模拟检测)△ABC 中， ， c 分别是角 A， C 的对边， a b， B， 且有 sin2C+ 3 cos （A+B）=0，.当 a = 4, c = 13 ，求△ABC 的面积。 （1）解：由 sin 2C + 3 cos( A + B ) = 0且A + B + C = π 有 2 sin C cos C ? 3 cos C = 0所以, cos C = 0或 sin C =3 2……6 分由 a = 4, c = 13 , 有c & a, 所以只能 sin C =3 π , 则C = ， ……8 分 2 3由余弦定理 c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab ? cos C有b 2 ? 4b + 3 = 0, 解得b = 1或b = 3 当 b = 3时, S =1 ab ? sin C = 3 3 2当b = 1时, S =→1 ab ? sin C = 3. 2→32、 (福建省师大附中 2008 年高三上期期末考试)设向量 a = (cos α ,sin α ), b = (cos β ,sin β ) ， 0 & α & β & π , 且 若 a? b =→ →→→4 4 ， tan β = ，求 tan α 的值。 5 34 L L L L L L L L L 2分 5Q a ? b = c o s α co s β + s in α s in β = ∴ c o s (α ? β ) =4 L L L L L L L L L 2分 5 又 Q 0 & α & β & π ∴ ? π & α ? β & 0 L L L L L L L L L 1分3 L L L L L L L L L 1分 5 3 ∴ t a n ( α - β ) = - L L L L L L L L L 1分 4 4 又 Q tanβ = 3 ∴ sin(α -β )=3 4 ? + ta n (α ? β ) + tan β 7 4 3 ∴ ta n α = ta n [(α ? β ) + β ] = = = 3 4 1 ? ta n (α ? β ) tan β 24 1 ? (? ) × 4 333 、 ( 福 建 省 师 大 附 中 2008 年 高 三 上 期 期 末 考 试 ) 已 知 △ ABC 的 面 积 为 ３ ， 且0 ≤ AB? AC ≤ 6, 设 AB 和 AC 的夹角为θ 。（1）求 θ 的取值范围； （2）求函数 f (θ ) = (sin θ + cos θ ) 2 ? 2 3 cos 2 θ 的最大值和最小值。 （1）设△ ABC 中角 A,B,C 的对边分别是 a，b，c, 则→→→→1 ? ? S = b c sin θ = 3, L L L 1分 ? 0 ≤ co t θ ≤ 1 L L L 1分 2 ? ? 0 ≤ b c co s θ ≤ 6, L L L 1分 ? 又 θ ∈ [0, π ] L L L 1分 ∴ θ ∈[π π4 , 2] L L L 1分(2) f (θ ) = 1 + sin 2θ ? 3(1 + cos 2θ ) LLL1分 =2sin(2θ - ) + 1 ? 3 LLLL1分 3 π π π π 2π Q θ ∈[ , ] ∴ 2θ ? ∈[ , ]LLLL1分 4 2 3 6 3 π 1 ∴ ≤ sin(2θ - ) ≤ 1LLLL1分 2 3 ∴ 2 ? 3 ≤ f (θ ) ≤ 3 ? 3 当θ = 时， f (θ ) min = 2 ? 3 LLLL1分 4 5π 当θ = 时， f (θ ) max = 3 ? 3 LLLL1分 1234、 (福建省厦门市 2008 学年高三质量检查)已知向量 m = (sin A, sin B ), n = (cos B, cos A), m ? n = sin 2C , 且 A、 B、C 分别为△ABC 的三边 a、b、c 所对的角。 （1）求角 C 的大小； （2）若 sin A, sin C , sin B成等差数列, 且CA ? ( AB ? AC ) = 18 ，求 c 边的长。 解：（1） m ? n = sin A ? cos B + sin B ? cos A = sin( A + B ) …………2 分ππ对于 ?ABC , A + B = π ? C ,0 & C & π ∴ sin( A + B ) = sin C ，∴ m ? n = sin C.又Q m ? n = sin 2C ，…………3 分∴ sin 2C = sin C , cos C =1 π ,C = . 2 3…………6 分（2）由 sin A, sin C , sin B成等差比数列, 得2 sin C = sin A + sin B ， 由正弦定理得 2c = a + b. …………8 分Q CA ? ( AB ? AC ) = 18,∴ CA ? CB = 18 ，即 ab cos C = 18, ab = 36. …………10 分由余弦弦定理 c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C = ( a + b) 2 ? 3ab ， …………11 分∴ c 2 = 4c 2 ? 3 × 36, c 2 = 36 ，35、(福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)已知函数 f (x ) = sin(ωx + ? ) ( ω & 0 ， 0 ≤ ? ≤ π )为偶 函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间距离为 4 + π 2 . ⑴求 f (x ) 的解析式； π 2 f (2α ? ) ? 1 4 的值。 ⑵若 tan α + cot α = 5 ，求 1 ? tan α 解：⑴设最高点为 ( x1 , 1) ，相邻的最低点为 ( x2 , ? 1) ，则|x1Cx2|=∴ c = 6.T (T & 0) 2T2 2π + 4 = 4 + π 2 ，∴ T = 2π = ，∴ ω＝ ………………………（3 分） 1 4 ω π ∴ f ( x ) = sin( x + ? ) ， ∵ f ( x ) 是偶函数，∴ sin ? = ±1 ， ? = kπ + (k ∈ Z ) .∴ ∵ 0 ≤ ? ≤ π ，∴ ? =π22，∴ f ( x ) = sin( x +π2) = cos x …………… (6 分)⑵∵ tan α + cot α = 5 ，∴ sin α cos α =2 cos(2α ? ) ? 1 2 4 ∴原式 = = 2sin α cos α = 1 ? tan α 536 、 ( 福 建 省 漳 州 一 中 2008 年 上 期 期 末 考 试 ) 已 知 A、B 是 △ ABC 的 两 个 内 角 ， 向 量π1 ………………………………(8 分) 5r A+ B A? B 6 r a = 2 cos （ , sin ） ，若 | a |= . 2 2 2（Ⅰ）试问 tan A ? tan B 是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由； （Ⅱ）求 tan C 的最大值，并判断此时三角形的形状. 解：（Ⅰ）由条件3 6 r = ( )2 =| a |2 ………………………………………………（2 分） 2 2A+ B A? B 1 ? cos( A ? B ) + sin 2 = 1 + cos( A + B ) + 2 2 2 1 ∴ cos( A + B ) = cos( A ? B ) ………………………………………………………（4 分） 2 1 ∴ 3sin A sin B = cos A cos B ∴ tan A ? tan B = 为定值.………………………（6 分） 3 tan A + tan B （Ⅱ） tan C = ? tan( A + B ) = ? ………………………………………（7 分） 1 ? tan A tan B 1 由（Ⅰ）知 tan A ? tan B = ，∴ tan A, tan B & 0 ………………………………（8 分） 3 3 3 从而 tan C = ? (tan A + tan B ) ≤ ? ? 2 ? tan A tan B = ? 3 ………………（10 分） 2 2 = 2 cos 2∴取等号条件是 tan A = tan B = ∴此时ΔABC 为等腰钝角三角形 37、(甘肃省河西五市 2008 年高三第一次联考)已知函数 f ( x ) = sin( 2 x + （I）求 f (x ) 的最小正周期及最大值； （II）求使 f (x ) ≥2 的 x 的取值范围 解：（I）Q f ( x ) = sin( 2 x +3 π ， 即A= B= 取得最大值， 3 6π6) + sin(2 x ?π6) + 2 cos 2 x. .π6) + sin(2 x ?π6) + 2 cos 2 x= sin 2 x cosπ6+ cos 2 x sinπ6+ sin 2 x cosπ6? cos 2 x sinπ6+ 2 cos 2 x + 1 ……2 分= 3 sin 2 x + cos 2 x + 1 = 2 sin(2 x +π6) + 1 ………………4 分∴ f ( x) max = 2 + 1 = 3 2π 2π T= = = π …………………………6 分 |ω | 2（II）由 f ( x ) ≥ 2 得 2 sin(2 x +π∴ sin(2 x +π66) +1 ≥ 2)≥1 2∴ 2kπ + (k ∈ Z )π6≤ 2x +π∴ kπ ≤ x ≤ kπ +π35 ≤ 2kπ + π 6 6∴ f ( x) ≥ 2 的 x 的取值范围是 {x | kπ ≤ x ≤ kπ +π3, k ∈ Z}38、(甘肃省兰州一中 2008 届高三上期期末考试)在△ABC 中，已知 BC = 5 3 ，外接圆半径为 5. （Ⅰ）求∠A 的大小； （Ⅱ）若 AB ? AC =11 ，求?ABC 的周长. 2解：（Ⅰ）由正弦定理， （Ⅱ）∵ AB ? AC =5 3 3 = 2 × 5,∴ sin A = , ∠A = 60°或120° ……4 分 sin A 2 11 11 ,∴ ∠A = 60°, bc cos 60° = , bc = 11 …………6 分 2 2由余弦定理， 75 = b 2 + c 2 ? bc = (b + c) 2 ? 3bc,∴ (b + c ) 2 = 108 ……8 分a + b + c = 6 3 + 5 3 = 11 339、(广东省 2008 届六校第二次联考)已知向量 a = (cos α ,sin α ) , b = (cos β ,sin β ) , a ? b = （Ⅰ）求 cos(α ? β ) 的值; （Ⅱ）若 0 & α &2 5 . 5π2, ?π2& β & 0 , 且 sin β = ?5 , 求 sin α . 13解:（Ⅰ）Q a = (cos α ,sin α ) , b = (cos β ,sin β ) ,∴ a ? b = ( cos α ? cos β， α ? sin β ) . sinQ a ?b =即2 5 , 5∴( cos α ? cos β ) + ( sin α ? sin β )22=2 5 , 52 ? 2 cos (α ? β ) =& β & 0, ∴ 0 & α ? β & π , 2 2 3 4 Q cos (α ? β ) = , ∴ sin (α ? β ) = . 5 5 5 12 Q sin β = ? , ∴ cos β = , 13 13, ?（Ⅱ）Q 0 & α &ππ4 , 53 ∴ cos (α ? β ) = . 5∴ sin α = sin ?(α ? β ) + β ? = sin (α ? β ) cos β + cos (α ? β ) sin β = ? ?4 12 3 ? 5 ? 33 . ? + ?? ? ? = 5 13 5 ? 13 ? 6540、 （广东省佛山市 2008 年高三教学质量检测一） 如图 A 、3 4 点， C 是圆与 x 轴正半轴的交点， A 点的坐标为 ( , ) ，三角 5 5 （Ⅰ）求 sin ∠COA ；（Ⅱ）求 | BC | 的值．2yB O3 4 A( , ) 5 5 CB 是单位圆 O 上的形 AOB 为正三角形．x3 4 解：(Ⅰ)因为 A 点的坐标为 ( , ) ，根据三角函数定义可知 5 5 r =1 ……2 分所以 sin ∠COA =x=3 ， 5y=4 ， 5y 4 = r 5……4 分(Ⅱ) 因 为 三 角 形AOB 为 正 三 角 形 ， 所 以 ∠AOB = 60o ， sin ∠COA =……5 分4 5，cos ∠COA =3 ， 5所以 cos ∠COB = cos(∠COB + 60o ) = cos ∠COB cos 60o ? sin ∠COB sin 60o= 3 1 4 3 3? 4 3 ? ? ? = 5 2 5 2 10……8 分所以 | BC |2 =| OC |2 + | OB |2 ?2 | OC || OB | cos ∠BOC3?4 3 7+ 4 3 = 10 5 41 、 ( 广 东 省 惠 州 市 2008 届 高 三 第 三 次 调 研 考 试 ) 在 △ ABC 中 ， 已 知 角 A 为 锐 角 ， 且 =1+1? 2×f ( A) =[cos(π ? 2 A) ? 1] sin(π +π A A ) sin( ? ) 2 2 2 + cos 2 A . A π A sin 2 ( ? ) ? sin 2 (π ? ) 2 2 2（I）求 f (A)的最大值；7π , f ( A) = 1, BC = 2 ，求△ABC 的三个内角和 AC 边的长. 12 A A A A (cos 2 A + 1) sin cos 2 cos 2 A sin cos 2 2 + cos 2 A 2 2 + cos 2 A = 解：（I） f ( A) = A A cos A cos 2 ? sin 2 2 2（II）若 A + B ==1 1 2 π 1 sin 2 A + cos 2 A = (sin 2 A + cos 2 A + 1) = sin(2 A + ) + . …………3 分 2 2 2 4 2∵角 A 为锐角，∴ 0 & A &π π2 4 ,& 2A +π4&5π . …………………………………4 分 4 2 +1 . ……………………6 分 2∴当2 A +π4=π2时, f ( A) 取值最大值，其最大值为（II）由 f ( A) = 1得2 π 1 π 2 sin(2 A + ) + = 1,∴ sin(2 A + ) = . ………………8 分 2 4 2 4 2∴ 2A +π4=3π π 7π π 5π , A = .又 Q A + B = ,∴ B = . ∴ C = . ………………10 分 4 4 12 3 12在△ABC 中，由正弦定理得：BC AC BC sin B . ∴ AC = = = L = 6. sin A sin B sin Ao o42、(广东省揭阳市 2008 年高中毕业班高考调研测试)如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽 度，在河段的一岸边选取两点 A、B，观察对岸的点 C,测得 ∠CAB = 75 ， ∠CBA = 45 ,且 AB = 100 米。 （1）求 sin 75 ； （2）求该河段的宽度。 解：（1） sin 75 = sin(30 + 45 ) = sin 30 cos 45 + cos 30 sin 45o o o o o o oo1 2 3 2 6+ 2 = × + × = ------------------------4 分 2 2 2 2 4（2）∵ ∠CAB = 75 ， ∠CBA = 45o o o∴ ∠ACB = 180 ? ∠CAB ? ∠CBA = 60 ,o由正弦定理得：AB BC = sin ∠ACB sin ∠CAB∴ BC =AB sin 75o ------------6 分 sin 60oBD , ------------8 分 BC如图过点 B 作 BD 垂直于对岸，垂足为 D,则 BD 的长就是该河段的宽度。 在 Rt ?BDC 中，∵ ∠BCD = ∠CBA = 45 , sin ∠BCD =oAB sin 75o o ∴ BD = BC sin 45 ＝ ? sin 45o = sin 60o100 ×6+ 2 2 4 × 2 3 2=25(6 + 2 3) （米） 3∴该河段的宽度25(6 + 2 3) 米。 3r r r rb 函数 f ( x ) = a ? b 43、 (广东省揭阳市 2008 年第一次模拟考试)已知： 向量 a = ( 3, ?1) ， = (sin 2 x, cos 2 x ) ，（1）若 f ( x ) = 0 且 0 & x & π ，求 x 的值；r解：∵ f ( x ) = a ? b ＝ 3 sin 2 x ? cos 2 x -----------------2 分 （1）由 f ( x ) = 0 得 3 sin 2 x ? cos 2 x = 0 即 tan 2 x =r（2）求函数 f ( x ) 的单调增区间以及函数取得最大值时，向量 a 与 b 的夹角．r r3 3∵0 & x &π, ∴x=∴ 0 & 2 x & 2π∴ 2x =π6, 或 2x =π12或7π -------------------------------------------------4 分 127π , 6（2）∵ f ( x ) =3 sin 2 x ? cos 2 x = 2(＝ 2(sin 2 x cos3 1 sin 2 x ? cos 2 x) 2 2π由 2 kπ ?π2= 2 sin(2 x ? ) ----------------------------------8 分 6 ≤ 2x ?π? cos 2 x sin ) 6 6ππ6≤ 2 kπ +π∴ f ( x ) 的单调增区间 [ kπ ? 由上可得 f ( x) max, kπ + ], k ∈ Z .---------------------------------10 分 6 3 r r r r r r = 2 ，当 f ( x) = 2 时，由 a ? b =| a | ? | b | cos & a, b &= 2 得∴ & a, b &= 0π2, k ∈ Z 得 kπ ?ππ6≤ x ≤ kπ +π3,k ∈Zr r r r r r a ?b cos & a, b &= r r = 1 ，Q 0 ≤& a, b &≤ π | a |?| b |r r44 、 ( 广 东 省 汕 头 市 潮 阳 一 中 2008 年 高 三 模 拟 ) 已 知 △ ABC 的 面 积 S 满 足 3 ≤ S ≤ 33且AB ? BC = 6, AB与BC 的夹角为 α ，（Ⅰ）求 α 的取值范围； （Ⅱ）求 f (α ) = sin 2 α + 2 sin α cos x + 3 cos 2 α 的最小值。 解（Ⅰ）由题意知 AB ? BC =| AB | ? | BC | cosα = 6Q| AB | ? | BC |= S=6 cos α1 1 1 6 | AB | ? | BC | sin(π ? α ) = | AB | ? | BC | sin α = × × sin α = 3 tan α 2 2 2 cos α……………………3 分Q3 ≤ S ≤ 3 3∴ 3 ≤ 3 tan α ≤ 3 3即1 ≤ tan α ≤ 3 ……………………4 分Q α是 AB与 BC 的夹角∴ α ∈ [0, π ]∴ α ∈ [ , ] ……………………6 分 4 32 2 2 （Ⅱ） f (α ) = sin α + 2 sin α cos α + 2 cos α = 1 + sin 2α + 2 cos α =π π2 + 2 sin 2α + cos 2α = 2 + 2 ( 2α +π4) ……………………9 分Qα ∈ [ , ] 4 3 π 3π 11π ∴ 2a + ∈ [ , ] 4 4 12 π 11π π ∴ 当2α + = 即当α = 时f (α ) 有最小值。 4 12 3f (α ) 的最小值是π π3+ 3 ……………………12 分 2245、(广东省汕头市澄海区 2008 年第一学期期末考试)已知函数 f(x)=4sin ( （1）求 f (x ) 的最大值及最小值； （2）若不等式|f(x)－m|&2 恒成立， 求实数 m 的取值范围 解：（1）∵ f ( x ) = 2[1 ? cos(π4+x)-2 3 cos2x-1（π4≤x≤π2）π2+ 2 x)] ? 2 3 cos 2 x ? 1 = 2 sin 2 x ? 2 3 cos 2 x + 1（3 分）= 4 sin(2 x ? ) + 1 3又∵ 即ππ4≤x≤π2∴π6≤ 2x ?π3≤3 ≤ 4 sin(2 x ? ) + 1 ≤ 5 3（7 分）π2π 3（5 分）∴ymax=5， ymin=3 （2）∵ | f ( x) ? m |& 2 ∴?∴ m ? 2 & f ( x) & m + 2（11 分） （12 分）（9 分）?m ? 2 & 3 ?m + 2 & 5解得 3 & m & 5即所求的 m 的取值范围是（3, 5）46、(广东省韶关市 2008 届高三第一次调研考试)已知 f ( x ) = cos （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ∈ ?3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x ， 2 2 2 2?π ? , π ,求函数 f (x) 的零点. ?2 ? ?解：（Ⅰ） f ( x ) = cos 2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x +π4) …………………….4 分 …………………….4…………………………………………………5 故 T = π …………………………………………………5 分 （Ⅱ）令 f ( x ) = 0 ， 2 cos(π?π ? + 2 x) =0，又Q x ∈ ? , π ? 4 ?2 ?………….7 …… ………….7 分5π π 9π π 3π ≤ + 2x ≤ ∴ + 2x = …………………………………………9 …………………………………………9 分 4 4 4 4 2 5π 5π 函数 f (x ) 的零点是 x = ……………. 12 分 ……………. 故x= 8 8 ∴r 47 、 ( 广 东 省 深 圳 市 2008 年 高 三 年 级 第 一 次 调 研 考 试 ) 已 知 向 量 a = (1 + sin 2 x , sin x ? cos x) ，r r r b = (1 , sin x + cos x) ，函数 f ( x) = a ? b ．（Ⅰ）求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值； （Ⅱ）若 f (θ ) =8 ?π ? ，求 cos 2 ? ? 2θ ? 的值． 5 ?4 ?r r 解： （Ⅰ）因为 a = (1 + sin 2 x , sin x ? cos x) ， b = (1 , sin x + cos x) ，所以f ( x) = 1 + sin 2 x + sin 2 x ? cos 2 x = 1 + sin 2 x ? cos 2 xπ? ? = 2 sin ? 2 x ? ? + 1 ． 4? ?因此，当 2 x ?π π 3 = 2kπ + ，即 x = kπ + π （ k ∈ Z ）时， f ( x) 取得最大值 2 + 1 ； 4 2 8 8 3 （Ⅱ）由 f (θ ) = 1 + sin 2θ ? cos 2θ 及 f (θ ) = 得 sin 2θ ? cos 2θ = ，两边平方得 5 5 9 16 1 ? sin 4θ = ，即 sin 4θ = ． 25 2516 ?π ? ?π ? ? 2θ ? = cos ? ? 4θ ? = sin 4θ = ． 25 ?4 ? ?2 ?因此， cos 2 ?48、(广东省深圳外国语学校 2008 届第三次质检)在△ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a，b，c，已知1 1 tan A = , tan B = ，且最长边的边长为 l.求： 2 3 （I）角 C 的大小； （II）△ABC 最短边的长.1 1 + tan A + tan B = ? 2 3 = ?1 解：（I）tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B） = ? 1 1 1 ? tan A tan B 1? × 2 33π ……………………5 分 4 （II）∵0&tanB&tanA，∴A、B 均为锐角, 则 B&A，又 C 为钝角， ∴最短边为 b ，最长边长为 c……………………7 分∵0 & C &π ， ∴C = 由 tan B =1 10 ，解得 sin B = ……………………9 分 10 31× 10 10 = 5 ………………12 分 5 2 2b c 由 = sin B sin Cc ? sin B ，∴ b = = sin C49、 (广东实验中学 2008 届高三第三次段考)已知函数 f(x)＝→?→， m n 其中→＝(sinωx＋cosωx, 3cosωx),→ m n ＝cosωx－sinωx,2sinωx)(ω＞0)，若 f(x)相邻的对称轴之间的距离不小于 (1)求 ω 的取值范围； (2)在△ABC 中，a,b,c 分别为 A,B,C 的对边，a＝ 3,b+c＝3，当 ω 最大时，f(A)＝1，求△ABC 的面积. π . 2(1 解、 )f (x ) = cos 2ω x ? sin 2 ωx + 2 3cos ωxsin ωx ? ? ? ?1'π? ? = cos2ωx + 3sin2ω x ? ? ? ?1' = 2sin ? 2x + ? ? ? ? ?1' 6? ?依题意： 依题意： ≥ ∴ 0 & ω ≤ 1 ? ? ? ?2' 2ω 2 (2 )Q ω max = 1∴ sin ? 2A + π ? = 1 ? ? ? ?1' 又 π & 2A + π & 13π ? ? ? 1' ? ? 6? 2 6 6 6 ? π 5π π ∴ 2A + = ∴ A = ? ? ? ?1'由余弦定理得 b 2 + c 2 ? bc = 3 - - - 1' 结合 b + c = 3 6 6 3 1 得 bc = 2 - - - -1'∴ S ?ABC = bcsinA = 0.5 ? ? ? ?2' 250、(广东省四校联合体第一次联考)设函数 f ( x ) = a ? b ，其中向量 a = (2 cos x,1), b = (cos x, 3 sin 2 x), x ∈ R (1)若函数 f ( x ) = 1 ? 3, 且x ∈ ? ?ππr rrr? π π? , , 求x; ? 3 3? ?r(2)若函数 y = 2sin 2 x 的图象按向量 c = ( m, n)( m &2π3) 平移后得到函数 y = f ( x) 的图象，求实数 m 及 n 的值。解：（1） a ? b = 2 cos x + 3 sin 2 x = 1 + cos 2 x + 3 sin 2 x = 1 + 2 sin( 2 x +π6)∴1 + 2 sin(2 x +Q x ∈ [?π6) = 1? 3 ∴ 2x +即 sin(2 x + ∈ [?π6)=? 3π π, ] 3 3 =?π6π 5π3 , 6]∴ 2x +π6π3得x = ?π4（2） y = 2sin 2 x 的图象按向量 c = ( m, n) 平移后得到 y = 2 sin( 2 x ? 2m) + n 的图象∴m = ?π12n =1A+ B 7 ? cos 2C = . 2 251、在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5，c = 7 ，且 4 sin 2 (1) 求角 C 的大小； （2）求△ABC 的面积. 解：(1) ∵A+B+C=180° 由 4 sin 2A+ B 7 C 7 …………1 分 ? cos 2C = 得4 cos 2 ? cos 2C = 2 2 2 2 1 + cos C 7 ∴4? ………………3 分 ? ( 2 cos 2 C ? 1) = 2 2整理，得 4 cos C ? 4 cos C + 1 = 02…………4 分解 得： cos C =∵ 0° & C & 180° ∴C=60° ………………6 分 2 2 2 2 2 （2）解：由余弦定理得：c =a +b －2abcosC，即 7=a +b －ab …………7 分1 2……5 分∴ 7 = ( a + b) ? 3ab2………………8 分由条件 a+b=5 得 7=25－3ab …… 9 分 ab=6 ……10 分 ∴ S ?ABC =1 1 3 3 3 ab sin C = × 6 × = 2 2 2 2…………12 分52、(贵州省贵阳六中、遵义四中 2008 年高三联考)已知函数 f(x)＝2sinxcosx＋cos2x. (Ⅰ)求 f (π4)的值；3 4(Ⅱ)设 α ∈(0，π )，f (α2)＝ ，求 cos2 α 的值.1 5解：（Ⅰ）∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f( （Ⅱ）∵f(π4)=sinπ2+cosπ2=1………5 分α2)=sinα+cosα= ,∴1+sin2α=1 51 24 , sin2α= ? ,……7 分 25 25∴cos2α= ±7 3 3 ∵α∈（0， π）∴2α∈（π， π） ∴cos2α&0. 4 2 25 7 ……10 25故 cos2α= ?分53、(安徽省合肥市 2008 年高三年级第一次质检)已知函数 f ( x ) = 2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x ? 1( x ∈ R ) （1）求函数 f ( x ) 的周期、对称轴方程；（2）求函数 f ( x ) 单调增区间。 解： f ( x ) = 2 cos x + 2 3 sin x cos x ? 1 =23 sin 2 x + cos 2 x = 2sin(2 x + ) 6 kπ π （1） f ( x ) 的周期 T = π ，函数 f ( x ) 对称轴方程为 x = + (k ∈ Z ) ； 2 6π3分 6分（2）由 2kπ ?π2≤ 2x +π6≤ 2k π +π∴求函数 f ( x ) 单调增区间为 [ kπ ?π2( k ∈ Z ) 得 kπ ?π, kπ + ](k ∈ Z ) 。 3 6π3≤ x ≤ kπ +π6(k ∈ Z )8 π 54、(河北衡水中学 2008 年第四次调考)已知向量→＝(cosx,sinx),→＝( 2， 2)，若→?→＝ ，且 ＜ a b a b 5 4 π sin 2 x(1 + tan x) x＜ , 求 的值. 2 1 ? tan x→ →解：Q a ? b =8 8 π 4 ,∴ 2 cos x + 2 sin x = , 即 cos( x ? ) = …………2 分 5 5 4 5 π π π π π 3 π 3 ∵ & x & ,∴ 0 & x ? & , sin( x ? ) = , tan( x ? ) = ……4 分 4 2 4 4 4 5 4 4 π π 4 tan( x + ) = ? cot( x ? ) = ? 4 4 3 π π 7 sin 2 x = cos(2 x ? ) = 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 = …………6 分 2 4 25 sin 2 x(1 + tan x) π 7 4 28 ∴ = sin 2 x ? tan( x + ) = × (? ) = ? . …………10 分 1 ? tan x 4 25 3 7555、(河北省正定中学高 2008 届一模)已知△ABC 中，AB=4,AC=2, S ?ABC = 2 3 .（1）求△ABC 外接圆面积. （2）求 cos(2B+π3)的值.解：依题意， S 所以 A =ABC=1 1 3 AB × AC sin A = × 4 × 2 sin A = 2 3,sin A = ， 2 2 2π3或A=(1)当 A =2π32π ；………………………………………………………………..（1 分） 3时，BC=2 3 ,△ABC 是直角三角形，其外接圆半径为 2，面积为 2 π = 4π ；……………………………………………………………………. （3 分） 当A=2π 2π 2 2 2 时，由余弦定理得 BC = AB + AC ? 2 AB AC cos = 16 + 4 + 8 = 28 ， 3 3BC=2 7 ,△ABC 外接圆半径为 R= 面积为BC 2 21 = ， 2sin A 328π ;……………………………………………………………………………….(5 分) 3 π 2π （2）由（1）知 A = 或 A = ， 3 3 π π π 2π 1 当 A = 时, △ABC 是直角三角形，∴ B = , cos(2B+ )=cos = ? ;………..7 分 3 6 3 3 2当A=2π 2 7 2 21 时,由正弦定理得， = ,∴ sin B = , 3 14 3 sin B 2cos(2B+π32)=cos2Bcosπ3-sin2Bsinπ3 2 × 21 1 21 5 7 3 1=(1-2sin B)cosπ3π (1 ? 142 ) × 2 ? 2 × 14 × 14 × 2 = ? 7 -2sinBcosBsin = (10 分)3A A , sin ) ， 2 256 、 已 知 角 A, B, C 为 ?ABC 的 三 个 内 角 ， 其 对 边 分 别 为 a, b, c ， 若 m = ( ? cosn = (cosA A 1 , sin ) ， a = 2 3 ，且 m ? n = ． 2 2 2（1）若 ?ABC 的面积 S = （2）求 b + c 的取值范围．3 ，求 b + c 的值．A A A A 1 , sin ) ， n = (cos , sin ) ，且 m ? n = . 2 2 2 2 2 A A 1 1 2π ∴ ? cos 2 + sin 2 = ，即 ? cos A = ，又 A ∈ (0, π ) ，∴ A = ………..2 分 2 2 2 2 3 1 又由 S ?ABC = bc ? sin A = 3 ，∴bc = 4 2 2π 2 2 2 = b 2 + c 2 + bc 由余弦定理得： a = b + c ? 2bc ? cos 3解：（1） m = ( ? cos∴16 = (b + c) 2 ，故 b + c = 4 ………………………………………………….（2）由正弦定理得：5分b c a 2 3 π = = = = 4 ，又 B + C = π ? A = ， 2π sin B sin C sin A 3 sin 3∴ b + c = 4 sin B + 4 sin C = 4 sin B + 4 sin( Q0 & B &π3? B ) = 4 sin( B +π3) ………………8 分π3，则π3& B+π3&2π 3 π .则 & sin( B + ) ≤ 1 ，即 b + c 的取值范围是 (2 3 ,4]. …10 分 3 2 357、 (河北省正定中学 2008 年高三第五次月考)已知 A、 C 的坐标分别为 A B、 （4， ，（0， ，（ 3 cos α ,3 sin α ） 0） B 4） C . （Ⅰ）若 α ∈ ( ?π ,0) ，且 AC = BC ，求角 α 的大小； （Ⅱ）若 AC ⊥ BC ，求2 sin 2 α + sin 2α 的值。 1 + tan α2 2解、 （Ⅰ）由已知得： (3 cos α ? 4) + 9 sin α =9 cos 2 α + (3 sin α ? 4) 2 3π 则 sin α = cos α 因为 α ∈ ( ?π ,0) ∴α = ? 4 （Ⅱ）由 (3 cos α ? 4) ? 3 cos α + 3 sin α ? (3 sin α ? 4) = 0 3 7 得 sin α + cos α = 平方得 sin 2α = ? 4 16…… …5 分………..8 分而2 sin 2 α + sin 2α 2 sin 2 α cosα + 2 sin α cos2 α 7 = = 2 sin α cosα = sin 2α = ? ---10 分 1 + tan α sin α + cosα 1658 、 ( 河 南 省 开 封 市 2008 届 高 三 年 级 第 一 次 质 量 检 ) 设 函 数f ( x) = a ? b, 其中向量a = (2 cos x,1), b = (cos x, 3 sin 2 x), x ∈ R（1）若 f ( x ) = 1 ? 3 , 且x ∈ [ ?π π, ]求x; 3 3（2）若函数 y = 2 sin 2 x的图象按向量 c = (m, n)(| m |& 的值。 解：（1） f ( x ) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 xπ2) 平移后得到函数 y = f (x ) 的图象，求实数 m,n= 1 + 2 sin( 2 x +π6) = 1? 3∴ sin( 2 x +Q?π6)=?3 2π π3 2≤x≤π3∴?≤ 2x +π π6 3≤∴ 2x +π65π 6=?即x = ?π4（2）函数 y = 2 sin 2 x的图明按向量c = (m, n) 平移后得 y = 2 sin 2( x ? m ) + n 而 f ( x ) = 2 sin 2( x +π12) +1Q| m |& ∴m = ?π2 ,n =1π1259、 (河南省濮阳市 2008 年高三摸底考试)在锐角△ABC 中， 已知内角 A、 C 所对的边分别为 a、 、 ， B、 b c 且 －tanB)＝1＋tanA?tanB． 2 2 2 (1)若 a －ab＝c －b ，求 A、B、C 的大小； (2)已知向量 m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求｜3m－2n｜的取值范围．(tanA60 、 ( 河 南 省 上 蔡 一 中 2008 届 高 三 月 考 ) 已 知 a = 2(cos ω x, cos ω x ), b = (cos ω x, 3 sin ω x ) （ 其 中rrr r π 0 & ω & 1 ），函数 f ( x ) = a ? b ，若直线 x = 是函数 f（x）图象的一条对称轴， 3（1）试求 ω 的值； （2）先列表再作出函数 f ( x ) 在区间 象．2y3[ ?π , π ]上 的 图1?π?2π 3?π3O -1π32π 3π x解： f ( x) = a ? b = 2 ( cos ω x, cos ω x ) ? cos ω x, 3 sin ω x = 2 cosr r()2ω x + 2 3 cos ω x sin ω x= 1 + cos 2ω x + 3 sin 2ω x = 1 + 2sin(2ω x + ) ………………错误！未找到引用源。 分） 错误！ （4 错误 未找到引用源。 6 2ωπ π 2ωπ π π π （1）Q 直线 x = 为对称轴，∴ sin( + ) = ±1 ，∴ + = kπ + ( k ∈ Z ) ， 3 3 6 3 6 2 3 1 ∴ω = k + ， 2 2 1 1 1 Q 0 & ω & 1∴ ? & k & ∴ k = 0 ∴ ω = ……错误！未找到引用源。 分） 错误！ （6 错误 未找到引用源。 3 3 2 π （2） f ( x ) = 1 + 2sin( x + ) 6x+………………错 错 （9 分） 函数 f（x） 如图所示。ππ 65 ? π 6xy?π0π 2 2 ? π 3?-10?π 6π 2 π 33π5 π 617 π 6π0误！未找到引用源。 未找到引用源。1在 [ ?π , π ] 的 图 象……错误！未找到引用源。（12 分） 错误！未找到引用源。 错误 61、(河南省许昌市 2008 年上期末质量评估)已知向量 a ＝(sinθ，1)， b ＝(1，cosθ)，－ (Ⅰ)若 a ⊥ b ，求θ； (Ⅱ)求｜ a ＋ b ｜的最大值．rrπ &θ& ． 2rrrr62、(黑龙江省哈尔滨九中 2008 年第三次模拟考试)已知函数 f ( x ) = 2 cos x + a sin x cos x, f ( ) = 02π6（1）求函数 f (x ) 的最小正周期及单调增区间； （2）若函数 f (x ) 的图象按向量 m = (2π6,?1) 平移后得到函数 g (x) 的图象，求 g (x) 的解析式. f( )=0 6解：（1）Q f ( x ) = 2 cos x + a sin x cos xπ∴ 2(cos ) 2 + a sin cos = 0 ∴ a = ?2 3 6 6 6πππ∴ f ( x) = 2 cos 2 x + (?2 3 ) sin x cos x = cos 2 x ? 3 sin 2 x + 1 5 = 2 sin(2 x + x) + 1 6 2x ∴T = =π 2 5 π π 2kπ ? ≤ 2 x + π ≤ 2kx + 2 6 2 ∴ kx ? k ∈Z 3 6 ∴ f ( x)的最小正周期为ππ≤ x ≤ kπ +π] k∈Z 6 π 5 （2） y + 1 = 2 sin[ 2( x ? ) + x ] + 1 6 6 3 y = 2 sin(2 x +单调增区间为 [ kπ ?πkπ +π…………6 分π2) = 2 cos 2 x∴ g ( x)的解析式为g ( x) = 2 cos 2 x …………10 分63、 (黑龙江省哈尔滨三中 2008 年高三上期末)△ABC 中， b， 分别为角 A， C 的对边， m = (1, sin a， c B， 若2B+ C )， 27 n = (cos 2 A + ,?4), m ⊥ n 。 2（1）求角 A 的度数；（2）若 a = 答案：（1）A=3 , ?ABC的面积S ?ABC =3 , 求b和B. 2π3（2）b=1 或 b=2，B= 64 、 ( 黑 龙π2省 哈 师 大 附 中 2008 届 高 三 上 期 末 ) 设 向 量江a = (1 + cosα , sin α ), b = (1 ? cos β , sin β ), c = (1,0), α ∈ (0, π ), β ∈ (π ,2π ) ，a与c的夹角为θ1 , b与c的夹角为θ 2 , 且θ 1 ? θ 2 =解： a = 2 cosπ3, 求 sin , sinα ?β2 )的值。α2(cosα2, sinα2) b = 2 sinβ2(cos ,π ?β2π ?β21 2 2 3 2 6 2 2 r r 65、 (湖北省三校联合体高 2008 届 2 月测试)已知向量 a = (2 cos x, tan( x + α )), b = ( 2 sin( x + α ), tan( x ? α )), c = (1,0), θ1 = ,θ 2 = ,θ1 ? θ 2 = =? ,∴ sin =?已知角 α (α ∈ ( ?αβ ?ππ α ?βπα ?βπ πr r , )) 的终边上一点 P (?t , ?t )(t ≠ 0) ，记 f ( x) = a ? b 。 2 2⑴求函数 f ( x ) 的最大值，最小正周期； ⑵作出函数 f ( x ) 在区间[0，π]上的图象。解 ： ⑴角π π α (α ∈ (? , ))2 2的终边上一点P (?t , ?t )(t ≠ 0)? tan α =…… ………2 分∴r r π π π f ( x) = a ? b = 2 2 cos x sin( x + ) + tan( x + )( x ? ) 4 4 4= 2 cos x sin x + 2 cos 2 x ? 1 = sin 2 x + cos 2 x = 2 sin(2 x + ) ……………6 分 4πf ( x ) 的最大值为 2 ，⑵略。……………12 分最小正周期 T = π……………8 分x x 66、(湖北省鄂州市 2008 年高考模拟)设函数 f（x）＝a?b，其中向量 a＝（cos ，sin ），（x∈R），向量 b 2 2 ＝（cos?，sin?) （Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）若函数 y＝1＋sin x 的图象按向量 c＝（m，n） （| m |＜π)平移可得到函数 2y＝f（x）的图象，求向量 c．x x x π 解：（Ⅰ）f（x）＝a?b＝cos cos?＋sin sin?＝cos（ －?），∵f（x）的图象关于 x＝ 对称， 2 2 2 6 ∴ f ( ) = cos(ππ6∴? ?π12? ? ) = cos(? ?π 2π12) = ±1 ，………………………3 分π 12 ………………………5 分12= kπ , k ∈ Z ，又|?|& ，∴?＝ ．x π x 5π 1 5π （Ⅱ）f（x） ＝cos（ － ）＝sin（ + ） ＝sin （x+ ）, 2 12 2 12 2 6 x 1 5π 5π 由 y＝1+ sin 平移到 y ＝sin （x+ ），只需向左平移 单位，再向下平移 1 个单位， 2 2 6 6 → 考虑到函数的周期为 π ，且 c ＝（m,n） （| m |&π），………………………8 分 ∴m = ? → 5π 5π , n = ?1 ，即 c ＝（－ ,－1） ．………………………10 分 6 6x π x 5π 1 5π 另解：f（x） ＝cos（ － ）＝sin（ + ） ＝sin （x+ ）, 2 12 2 12 2 65π 5π ? ? = x ? x '? x = ? x 1 5π ? x '+ 由 y ? 1 = sin 平移到 y ' = sin ( x '+ ) ，只要 ? 即? 6 ， 6 2 2 6 ? y ' = y ?1 ? y '? y = ?1 ? ?→ 5π ∴ c ＝（－ ,－1） ．………………………10 分 6 【总结点评】 本题是一道三角函数与平面向量相结合的综合问题， 既考查了三角函数的变形以及三角函数的图象 与性质，又考查了运用平面向量进行图象平移的知识． 67、 (湖北省黄冈市麻城博达学校 2008 届三月综合测试)已知锐角三角形△ABC 中， A、 C 的对边分别为 a 、 角 B、b 、 c ， tan B =3ac 。 a + c2 ? b22（Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）求 sin( B + 10o )[1 ? 3 tan( B ? 10o )] 的值。 答案：(1)60°；(2)－1 68 、 ( 湖 北 省 黄 冈 中 学 2008 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 ) 已 知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的 三 个 内 角 ， 向 量a=( 65 A+ B A? B 3 sin , cos ) ，且 | a |= 5. 5 2 2 5（1）求 tan A tan B 的值； （2）求 C 的最大值，并判断此时 ?ABC 的形状. 解：（1）∵ | a |= 即13 53 13 A+ B A? B 9 5, ∴ sin 2 + cos 2 = ，……2 分 5 5 2 2 51 ? cos( A + B) 1 + cos( A ? B ) 9 + = 2 2 5即 13cos( A + B) = 5cos( A ? B ), ∴ 4cos A cos B = 9sin A sin B ……4 分 由于 cos A cos B ≠ 0 ，故 tan A tan B = ……6 分 （2）由 tan A tan B = & 0知 tan A, tan B & 0, tan A + tan B ≥ 2 tan A tan B = ……8 分4 9 4 3 4 9tan C = ? tan[π ? ( A + B )] = ? tan( A + B ) = ? ≤? 9 12 tan Ag tan B = ? 5 5tan A + tan B 9 = ? (tan A + tan B ) ……10 分 1 ? tan A tan B 5当且仅当 tanA=tanB，即 A=B 时，tanC 取得最大值 ? 所以 C 的最大值为 π ? arctan12 . 512 ，此时 ?ABC 为等腰三角形. ……12 分 5269、(湖北省黄冈市 2007 年秋季高三年级期末考试)已知函数 f ( x ) = 4 sin ( x +π4) + 4 3 sin 2 x ? (1 + 2 3) ，且x 满足π4≤x≤π2，求 f ( x ) 的最大值和最小值。2解: f ( x ) = 4 3 sin ( x +π4) + 4 3 sin 2 x ? (1 + 2 3)= 2[1 ? cos(2 x + )] ? 2 3 cos 2 x ? 1 = 4sin(2 x ? ) + 1 2 3 Qππ(6 分)π4≤x≤2π,∴ 3 ≤ 4sin(2 x ? ) + 1 ≤ 5 2 3π故函数 f ( x ) = 4 3 sin ( x +π4) + 4 3 sin 2 x ? (1 + 2 3) 的最大值为 5,最小值 3. (12 分)70、(湖北省荆门市 2008 届上期末)已知向量 a = (cos （1）求 | a + b | 的取值范围；rr r3x 3x r x x ? π 3π ? , sin ) , b = (cos , ? sin ) ，且 x ∈ ? , ? 2 2 2 2 ?2 2 ?（2）若 f ( x ) = a ? b ? | a + b | ，试求 f ( x ) 的取小值，并求此时 x 的值。 解： a = b = 1, a ? b = cos 2 x, a + b = （1）Q x ∈ ?r rrr2 + 2 cos 2 x = ?2 cos x∴ 0 ≤ ?2 cos x ≤ 2………………………………6 分? π 3π ? , ? ?2 2 ?∴ ?1 ≤ cos x ≤ 0即 a + b ∈ [0,2]r r r r （2）Q f ( x ) = a ? b ? | a + b |1 3 ∴ f ( x) = cos 2 x ? 2 cos x = 2 cos 2 x + 2 cos x ? 1 = 2(cos x + ) 2 ? 2 2 1 2π 4π ∴ 当 cos x = ? 时 即x = 或x = 时 2 3 3 r r r r 3 f ( x ) = a ? b ? | a + b | 的最小值为 －2 71 、 (湖 北 省荆 州市 2008 届 高中 毕业 班质 量检测 ) 在 ?ABC 中 ， 角 A、B、C 的 对边 分别为 a、b、c ，m = (2b ? c, a ) ， n = (cos A, ? cos C ) ，且 m ⊥ n 。⑴求角 A 的大小； ⑵当 y = 2sin B + sin(2 B +2π6) 取最大值时，求角 B 的大小解：⑴由 m ⊥ n ，得 m n = 0 ，从而 (2b ? c ) cos A ? a cos C = 0 由正弦定理得 2 sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C = 02 sin B cos A ? sin( A + C ) = 0, 2 sin B cos A ? sin B = 0Q A, B ∈ (0, π ) ，∴ sin B ≠ 0, cos A =⑵ y = 2sin B + sin(2 B +2π61 π ，∴ A = 2 3（6 分）) = (1 ? cos 2 B ) + sin 2 B cosπ6+ cos 2 B sinπ6= 1+3 1 π sin 2 B ? cos 2 B = 1 + sin(2 B ? ) 2 2 6 2π π π 7π π π , ? & 2B ? & ,∴ 2Β ? = 时， 3 6 6 6 6 2由 (1) 得， 0 & B & 即B =π3时， y 取最大值 272、(湖北省随州市 2008 年高三五月模拟)已知向量 OP = (2 cos x + 1, cos 2 x ? sin x + 1) ， OQ = (cos x, ?1) ， 定义 f ( x ) = OP OQ ⑴求出 f ( x ) 的解析式。当 x ≥ 0 时，它可以表示一个振动量，请指出其振幅，相位及初相。 ⑵ f ( x ) 的图像可由 y = sin x 的图像怎样变化得到？ ⑶当 x ∈ ? ?uuu ruuuruuu uuur r1 ? 7π 3π ? , ? ? 且 f ( x) 的反函数为 f ?1 ( x) ，求 f ?1 ( ) 的值。 2 4 ? ? 4（1＋ cos 2 x ， ， ＝ 1） b （1， + 3 sin 2 x ） m 73、 (湖北省武汉市武昌区 2008 届高中毕业生元月调研测试)已知 a ＝ （ x ， m ∈R），且 f ( x ) = a ? b .→ →→→（Ⅰ）求函数 y = f (x ) 的最小正周期； （Ⅱ）若 f (x ) 的最大值是 4，求 m 的值，并说明此时 f (x ) 的图象可由 y = 2 sin( x + 换而得到. 解：（Ⅰ） f ( x ) = (1 + cos 2 x ) + (m + 3 sin 2 x ) = 2 sin( 2 x + ∴最小正周期为 T＝ （Ⅱ）当 2 x +π6) 的图象经过怎样的变π6) + m +1,π62π =π . 2………………………………6 分＝ 2kπ +π2, k ∈ Z ，时，…………………………………8 分f (x) max ＝2＋ m ＋1＝4 ? m ＝1.此时， f (x) ＝ 2 sin( 2 x + 将 y = 2 sin( 2 x + 图象.π6) + 2.π1 ) 的图象上各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再向上平移 2 个单位即可得到 f (x) 的 6 2………………………………………12 分 2008 届 高 三 第 一 次 联 考 ) 在 △ ABC 中 ，74 、 ( 湖 南 省 十 二 校A(cos x, cos 2 x), B (? 3 sin x,? cos x), C (λ ,1),0 ≤ x ≤ π , 若△ABC 的重心在 y 轴负半轴上，求实数 λ 的取值范围．? cos 2 x ? cos x + 1 &0 ? ? 3 解：依题意得： ? ? cos x ? 3 sin x + λ = 0 ? 3 ?2(1) LLLLLLL 2分 ( 2) 1 2…………………………5 分由（1）得： 2 cos x ? cos x & 0,∴ 0 & cos x &Q0 ≤ x ≤ π由（2）得： λ =∴π3&x&π2Qπ3&x&π23 sin x ? cos x = 2 sin( x ? ) 6 ∴π………………………… 8 分π6& x?π6&π31 π 3 ∴ & sin( x ? ) & 2 6 2……………………………………………… 11 分 ∴ λ 的取值范围是 (1, 3 ). ………………… 12 分 2008 届 高 三 第 六 次 月 考 ) 已 知 函 数∴1 & λ & 375 、 ( 湖 南 省 长 沙 市 一 中f ( x) = 3 sin ωx ? cos ωx ? cos 2 ωx +（1）求 f (x ) 的解析式；3 π (ω ∈ R, x ∈ R ) 的最小正周期为 π ，且当 x = 时，函数取最大值. 2 3（2）试列表描点作出 f (x ) 在[0， π ]范围内的图象.解：（1） f ( x ) =3 1 + cos 2ωx 3 π sin 2ωx ? + = sin(2ωx ? ) + 1 ……………（4 分） 2 2 2 6∵ f (x ) 的周期为 π ，∴2π = π ?| ω |= 1. | 2ω |∴ ω = ±1 .1°当 ω =1 时， f ( x ) = sin( 2 x ?π6) + 1.Q f ( ) = sin + 1 = 2 是函数的最大值，∴ ω = 1. ……………………………………（5 分） 3 22°当 ω =－1 时， f ( x ) = ? sin( 2 x +ππππ 5π Q f ( ) = sin + 1 不是函数的最大值. ∴ ω = ?1 （舍去）…………………………（7 分） 3 6∴ f ( x ) = sin( 2 x ? （2） x F(x) 作图如下. 0 1 2 π 6 3 2 π 3 2 π 2 3 2 2π 3 1 2 5π 6 0 π 1 26) + 1.π6) + 1. …………………………………………………………………（8 分）……………………………………………………………（12 分） 76、(湖南省雅礼中学 2008 年高三年级第六次月考)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若AB ? AC = BA ? BC = k (k ∈ R).（Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若 c =2 , 求k 的值.…………1 分解：（I）Q AB ? AC = cb cos A, BA ? BC = ca cos B又 AB ? AC = BA ? BC ∴ bc cos A = ac cos B ∴ sin B cos A = sin A cos B 即 sin A cos B ? sin B cos A = 0 ∴ sin( A ? B ) = 0 Q ?π & A ? B & π ∴A= B ∴ ?ABC 为等腰三角形. II） （II）由（I）知 a = b b2 + c2 ? a2 c2 ∴ AB ? AC = bc cos A = bc ? = 2bc 2 Qc = 2 ∴k =1…………3 分 …………5 分…………7 分…………10 分…………12 分77、 (湖南省岳阳市 2008 届高三第一次模拟)在△ABC 中， 、 、 分别是角 A、 、 的对边， a b c B C 且 （I）求角 B 的大小； （II）若 b =cos B b =? . cos C 2a + c13，a + c = 4 ，求△ABC 的面积.解：（I）解法一：由正弦定理a b c = = = 2R 得 sin A sin B sin Ca = 2 R sin A，b = 2 R sin B，c = 2 R sin C将上式代入已知cos B b cos B sin B =? 得 =? cos C 2a + c cos C 2 sin A + sin C即 2 sin A cos B + sin C cos B + cos C sin B = 0 即 2 sin A cos B + sin( B + C ) = 0 ∵ A + B + C = π，∴ sin( B + C ) = sin A，∴ 2 sin A cos B + sin A = 0 ∵ sin A≠ 0，∴ cos B = ?1 ， 2 2 π. 3a 2 + c2 ? b2 a 2 + b2 ? c2 ， cos C = 2ac 2ab∵B 为三角形的内角，∴ B =解法二：由余弦定理得 cos B =将上式代入cos B b a 2 + c2 ? b2 2ab b =? 得 × 2 =? 2 2 cos C 2a + c 2ac 2a + c a +b ?c整理得 a 2 + c 2 ? b 2 = ? aca 2 + c 2 ? b 2 ? ac 1 ∴ cos B = = =? 2ac 2ac 2∵B 为三角形内角，∴ B = （II）将 b =2 π 3 2 π 代入余弦定理 b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B 得 313，a + c = 4 ，B =b 2 = (a + c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B ，∴ 13 = 16 ? 2ac(1 ? ∴ S △ABC =1 ) ，∴ac = 3 21 3 ac sin B = 3. 2 478、(湖南省株洲市 2008 届高三第二次质检)已知 ?ABC 中， a 、 b 、 c 是三个内角 A 、 B 、 C 的对边，关于 x 的不等式 x cos C + 4 x sin C + 6 & 0 的解集是空集． （1）求角 C 的最大值；27 3 ， ?ABC 的面积 S = 3 ，求当角 C 取最大值时 a + b 的值． 2 2 ?cos C & 0 解析： ， 解析：（1）显然 cos C = 0 不合题意， 则有 ? ?? ≤ 0（2）若 c =?cos C & 0 ?cos C & 0 ? 即? ， 即? 1， 2 cos C ≤ ?2或 cos C ≥ ?16sin C ? 24 cos C ≤ 0 ? ? 2 1 故 cos C ≥ ，∴角 C 的最大值为 60° 。 …………………6 分 2 1 3 3 （2）当 C = 60° 时， S ?ABC = ab sin C = ab = 3 ，∴ ab = 6 ， 2 4 2 2 2 2 2 由余弦定理得 c = a + b ? 2ab cos C = ( a + b) ? 2ab ? 2ab cos C ， 121 11 2 2 ∴ ( a + b) = c + 3ab = ，∴ a + b = 。 …………………12 分 4 2 r r r r 79、 (黄家中学高 08 级十二月月考)设函数 f ( x ) = a ? b ， 其中 a = ( 2cos x,1) , b = cos x, 3sin2x , x ∈ R()(I) 求f ( x ) 的最大值；（II）在 ?ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边，且 f(A)＝2,a＝ 3,b＋c＝3,求 b,c 的值 II）2 【解】：（I）由题意知 f ( x ) = a ? b = 2 cos x + 3 sin 2x 】：r rπ? ? = cos 2x + 3 sin 2x + 1 = 2sin ? 2x + ? + 1 6? ?当 2x +π6=π2+ 2kπ ，即 x = π + kπ , ( k ∈ Z ) 时 f ( x )max = 2 + 1 = 36（II）由（I）知 f (A) = 2sin(2A + ) + 1,π6π π 1 ∴ 2sin(2A+ )+1=2, ∴sin(2A+ )= , 6 6 2Q ∠A为三角形的内角， 2A+ ∴π6&π6,∴ 2A +π6=5π π ,∴ A = 6 3由余弦定理得 a 2 = b 2 + c2 ? 2bc cos A, 即 3 = (b + c) 2 ? 2bc ? bc = 9 ? 3bc,∴ bc = 2,? b = 1 ?b = 2 ∴ b、c为二次方程x 2 ? 3x + 2 = 0的两根， ? ∴ 或? ?c = 2 ? c = 180、(吉林省吉林市 2008 届上期末)已知函数 f ( x ) = sin 4 x + 2 3 sin x ? cos x ? cos 4 x, x ∈ R. （1）求 f (x ) 的最小正周期的最小值； （2）求 f ( x)在[0, π ] 上的单调递减区间； 解：（1）由 f ( x ) = sin x + 2 3 sin x ? cos x ? cos x, 则f ( x ) = 2 sin( 2 x ?4 4π6) …2 分∴T =2π = π ……………………………………………………………………… 4 分 |ω |令 2x ?π1 1 = 2kπ ? π , (k ∈ Z )则x = kπ ? π , (k ∈ Z ) 时 6 2 6f ( x)的最小值为 ? 2 …………6 分（2）设 2kπ + 则 kπ +π2≤ 2x ?π2π 5 ≤ x ≤ kπ + π , (k ∈ Z ) ……………………8 分 3 33 ≤ 2kπ + π , (k ∈ Z ) 6 2又Q x ∈ [0, π ]2 ∴函数f ( x)在[0, π ] 上的单调减区间为 [ π , π ] ………………10 分 381、(吉林省实验中学 2008 届高三年级第五次模拟考试)已知函数 f ( x ) = a ( 2 cos （Ⅰ）当 a = 1 时，求 f (x ) 的单调递增区间： （Ⅱ）当 a & 0 ，且 x ∈ [0, π ] 时， f (x ) 的值域是 [3,4] ，求 a, b 的值。 解：（Ⅰ）Q f ( x ) = 1 + cos x + sin x + b =2x + sin x) + b 。 22 sin( x +π4) + b + 1，π? 3π ? ∴ 递增区间为?2κπ ? ， + （κ ∈ Ζ） ……………………4 分 2κπ 4 4? ? ?（Ⅱ）Q f ( x ) = a (sin x + cos x ) + a + b = 而 x ∈ [0, π ], 则x +2a sin( x +π4) + a + b …………6 分…………8 分π? π 2 ? ? π 5π ? ∈ ? , ?,∴ sin( x + ) ∈ ?? ,1? 4 ?4 4 ? 4 ? 2 ?? 2a + a + b = 4 ?a = 2 ? 1 ? ………………………………10 分 故? ∴? 2 b = 3. 2a ( ? ) + a + b = 3, ? ? 2 ?82、 (江苏省常州市北郊中学 2008 届高三第一次模拟检测)已知向量 a＝ （3sinα， cosα） b＝(2sinα, 5sin ， 3π α－4cosα)，α∈（ ， ），且 a⊥b． 2π 2（1）求 tanα的值； （2）求 cos(α2+π )的值． 3解：（1）∵a⊥b，∴a?b＝0．而 a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)， 2 2 故 a?b＝6sin α＋5sinαcosα－4cos α＝0．4 1 ，或 tanα＝ ． 3 2 1 4 3π ∵α∈（ ， ），tanα＜0，故 tanα＝ （舍去）．∴tanα＝－ ． 2π 2 2 3 α 3π 3π （2）∵α∈（ ， ），∴ ∈ 2π （ ，π） ． 2 2 4 4 α 1 α 由 tanα＝－ ，求得 tan = ? ， tan ＝2（舍去）． 3 2 2 2 α 5 α 2 5 ， cos = ? ， ∴ sin = 2 5 2 5 α π α π α π cos( + )＝ cos cos ? sin sin 2 3 2 3 2 3由于 cosα≠0，∴6tan α＋5tanα－4 ＝0．解之，得 tanα＝－2＝?2 5 1 5 3 2 5 + 15 × ? × ＝? ． 5 2 5 2 103 ． 583、(江苏省南京市 2008 届高三第一次调研测试)已知：在△ABC 中，cosA = （1）求 cos2A2C sin(B+C)的值；（2）如果△ABC 的面积为 4，AB = 2 ，求 BC 的长． 解：（1）Q 在 ?ABC 中， cos A =3 ， 5 π 4 ∴ A ∈ (0， ） sin A = ……2 分． ， 2 5 1 + cos A A ∴ cos 2 ? sin( B + C ) = ? sin(π ? A) …………………………3 2 2 1 + cos A ? sin A = ……………………………4 2 3 1+ 5 ?4 =0 = 2 5 1 （2）Q S ?ABC = 4 ∴ bc sin A = 4 …………………………8 分 2 4 Q sin A = ∴bc = 10 Q c = AB = 2 ，∴b = 5 ……10 分 5 3 ∴ BC 2 = a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = 5 2 + 2 2 ? 2 × 5 × 2 × = 17 ……12 分 5∴ BC = 17 ………………………………………………………………14 分84、 (江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试)在△ABC 中， A，， 所对边分别为 a，，， 1 + 角 B C b c 且 （Ⅰ）求角 A；tan A 2c = ． tan B b（Ⅱ）若 m = (0, ?1) ，n = cos B, 2 cos 2 C ，试求|m + n|的最小值． 2 解：（Ⅰ） 1 + 即 ∴tan A 2c sin A cos B 2sin C = ?1+ = ，………………………………3 分 tan B b sin B cos A sin B()sin B cos A + sin A cos B 2sin C = ， sin B cos A sin B sin( A + B) 2sin C 1 = ，∴ cos A = ． ………………………………………………5 分 sin B cos A sin B 2π ．………………………………………………………………7 分 3C ? 1) = (cos B,cos C ) ， 2 2π 1 π ? B ) = 1 ? sin(2 B ? ) ．…………10 分 3 2 6∵ 0 & A & π ，∴ A = （Ⅱ）m + n = (cos B, 2 cos 2∴ |m + n| 2 = cos 2 B + cos 2 C = cos 2 B + cos 2 (∵A= 从而 ?π 2π 2π ，∴ B + C = ，∴ B ∈ (0, ) ． 3 3 3 π π 7π & 2B ? & ．……………………………………………………………12 分 6 6 6π π 1 2 ∴当 sin(2 B ? ) ＝1，即 B = 时，|m + n| 取得最小值 ．……………………13 分 6 3 2所以，|m + n| min =2 ．………………………………………………………………14 分 2评讲建议： 本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识， 要求学生涉及三角形中三角恒等变换时， 要从化角或化边 的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进 而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值． ur r ur 85、(江苏省前黄高级中学 2008 届高三调研)已知函数 f ( x) = m ? n, 其中m = (sin ω x + cos ω x, 3 cos ω x) ，r π n = (cos ω x ? sin ω x, 2sin ω x), 其中ω & 0, 若f ( x) 相邻两对称轴间的距离大于等于 . 2（Ⅰ）求 ω 的取值范围； （Ⅱ）在 ?ABC中, a, b, c分别是角A, B, C的对边, a = 3, b + c = 3,当ω最大时, f ( A) = 1, 求?ABC 的面积.ur r 解：（Ⅰ） f ( x) = m ? n = cos 2 ω x ? sin 2 ω x + 2 3 cos ω x ? sin ω x = cos 2ω x + 3 sin 2ω x= 2sin(2ω x +π6) 。Q ω & 0 ，∴函数f ( x)的周期T =2π π T π π π = , 由题意可知 ≥ ,即 ≥ , 2ω ω 2 2 2ω 2解得 0 & ω ≤ 1,即ω的取值范围是{ω | 0 & ω ≤ 1} 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ω 的最大值为 1，∴ f ( x) = 2sin(2 x +π6)。π 1 π π 13 π 5 。 而 & 2 A + & π ，∴ 2 A + = π ∴ A = 6 2 6 6 6 6 6 3 2 2 2 ?b = 2 ?b = 1 b +c ?a 由 余 弦 定 理 知 cos A = ， ∴ b 2 + c 2 ? bc = 3. 又b + c = 3 ， 联 立 解 得 ? 或? 2bc ? c = 1 ?c = 2Q f ( A) = 1 ，∴ sin(2 A +π)=∴ S ?ABC =1 3 bc sin A = 。 2 286、(江苏省如东高级中学 2008 届高三四月份模拟)已知 A(3,0),B(0,3),C( cos α , sin α ) . （1）若 AC ? BC = ?1, 求 sin(α +π4)的值；（2）若 OA + OC |= 13, 且α ∈ (0, π )，求OB与OC 的夹角 ｜ 解：（1）Q AC = (cos α ? 3, sin α ), BC = (cos α , sin α ? 3)uuu uuur ruuu uuur r∴ AC ? BC = (cos α ? 3) cos α + sin α (sin α ? 3) = ?1得 cos 2 α + sin 2 α ? 3(cos α + sin α ) = ?1∴ cos α + sin α =2 , 3∴ sin(α +π4)=2 3｜ （2）Q OA + OC |= 131 ∴ (3 + cos α ) 2 + sin 2 α = 13,∴ cos α = , 2Qα ∈ (0, π ),∴α =π3, sin α =3 1 3 , ∴ C ( , ), 2 2 23 3 ∴ OB ? OC = , 设OB与OC的夹角为θ 2Q θ ∈ (0, π ) ∴θ =3 3 3 = 2 = 则 cosθ = 3 2 | OB || OC | OB ? OCπ6即为所求。87、(江苏省泰兴市
学年第一学期高三调研)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足 （2a－c）cosB=bcosC. （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）设 m = ( sin A,cos 2 A ) ,n = ( 4k ,1)( k & 1) ,且m ? n 的最大值是 5，求 k 的值. 解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC， ∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC.……………………………………………2 分 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4 分 ∵0&A&π,∴sinA≠0. ∴cosB=urrur r1 .…………………………………………………………………5 分 2∵0&B&π，∴B=π3.…………………………………………………………6 分（II） m ? n =4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7 分 =－2sin A+4ksinA+1，A∈（0， 设 sinA=t，则 t∈ (0,1] . 则 m ? n =－2t +4kt+1=－2(t－k) +1+2k ,t∈ (0,1] .…………………………12 分2 2 2 2ur r22 ）……………………………………10 分 3ur r∵k&1，∴t=1 时， m ? n 取最大值. 依题意得，－2+4k+1=5，∴k=ur r3 .……………………………………………………14 分 288、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)某单位在抗雪救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电 线，测量人员在相距6000m的C、D两地（A、B、C、D在同一平面上），测得∠ACD=45°，∠ADC=75°，∠BCD=30°， ∠BDC=15°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A、B距离的 1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？（参考数据： 2 ≈ 1.4, 3 ≈ 1.7, 7 ≈ 2.6 ） 解：在△ACD中，∠CAD=180°－∠ACD－∠ADC=60° CD=6000，∠ACD=45° 根据正弦定理AD=ACD sin 45° 2 = CD sin 60° 35′C45 o 30 o 15o75o在△BCD中，∠CBD=180°－∠BCD－∠BDC=135° CD=6000，∠BCD=30°DB根据正弦定理BD=CD sin 30° 2 = CD sin135° 210′又在△ABD中，∠ADB=∠ADC＋∠BDC=90° 根据勾股定理有AB = AD 2 + BD 2 =2 1 + CD = 213′ 15′实际所需电线长度约为1.2AB≈7425.6（m）89、(江苏省盐城市 2008 届高三六校联考)在△ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 AB ? AC = BA ? BC (1)判断△ABC 的形状； (2)若 AB ? AC = 2 ，求边 c 的值. 解(1)∵ AB ? AC = BA ? BCuuu uuur ruuu uuu r ruuu uuur ruuu uuur ruuu uuu r ruuu uuu r r∴ | AB || AC | cos A =| BA || BC | cos B ………………………………………2 分uuu uuur rb cos A = a cos B∴2RsinBcosA=2RsinAcosB …………………………………………………4 分 A= B ∴tanA=tanB ∴△ABC 为等腰三角形 ………………………………………………………6 分 (2)由 AB ? AC = 2 得uuu uuur ruuu uuur r | AB || AC | cos A = 2……………………………………………………………9 分b2 + c 2 ? a 2 ∴bc =2 2bc2又 a=b， ∴c =4 ∴c=2 …………………………………………………12 分 90 、 ( 江 西 省 鹰 潭 市 2008 届 高 三 第 一 次 模 拟 ) 已 知 锐 角 △ABC 三 个 内 角 为 A 、 B 、 C ， 向 量u v v p = (2 - 2 sin A, cos A + sin A) 与向量 q = (sin A - cos A,1 + sin A)是共线向量. C - 3B 2 （Ⅰ）求角 A. （Ⅱ）求函数 y = 2sin B + cos 的最大值. 2 u r r 解：（Ⅰ） Q p, q 共线∴ ( 2 ? 2sin A )(1 + sin A) = ( cos A + sin A )( cos A ? sin A) ……2 分3 …………4 分 4 3 π 又 A 为锐角，所以 sin A = ? A = ………6 分 2 3 π ? ? ? π ? ? B ? ? 3B C ? 3B 3 2 ? （Ⅱ） y = 2sin B + cos = 2 sin 2 B + cos ? 2 2 π 1 3 = 2 sin 2 B + cos( ? 2 B ) = 1 ? cos 2 B + cos 2 B + sin 2 B 3 2 2 3 1 π = sin 2 B ? cos 2 B + 1 = sin(2 B ? ) + 1 ……………9 分 2 2 6 π ? π 5π ? ? π? Q B ∈ ? 0, ? ? 2 B ? ∈ ? ? , ? …………10 分 6 ? 6 6 ? ? 2? ? sin 2 A =∴ 2B ?π6=π2?B=π3时， ymax = 2 …………12 分91、(宁夏区银川一中 2008 届第六次月考)在三角形 ABC 中， m =（cos 且 m,n 的夹角为 （1）求 C；π3C C C C ,sin ）, n =(cos ,－sin ) 2 2 2 27 3 3 ,三角形的面积 S= ,求 a+b（a、b、c 分别∠A、∠B、∠C 所对的边） 2 2 C 2 C 解：（1） m ? n = cos ? sin 2 = cos C 2 2 π 1 m ? n =| m || n | cos = 3 2 1 π C= cosC= 2 3 7 2 2 2 （2） c =a +b －2abcosC c= 2（2）已知 c=49 2 2 2 =a +b －ab=(a+b) －3ab. 4Ab=6 (a+b) =2S=1 1 π 3 3 3 absinC= absin = ab= 2 2 3 4 2a+b=49 49 121 +3ab= +18= 4 4 4r11 2rb 92、 (山东省济南市 2008 年 2 月高三统考)设向量 a = (cos(α + β ),sin(α + β )) ， = (cos(α ? β ),sin(α ? β )) ，且a+b = ( , ) ． （1）求 tan α ；r r4 3 5 52 cos 2（2）求α2? 3sin α ? 12 sin(α + ) 4解：（1） a + bπ．r r= (cosαcosβ ?sinαsinβ +cosα cosβ +sinαsinβ,sinαcosβ +cosαsinβ +sinαcosβ ?cosαsinβ)4 3 = (2 cos α cos β , 2sin α sin β ) = ( , ) 5 5 4 3 ∴ 2 cos α cos β = , 2sin α sin β = 5 5 3 ∴ tan α = 4 2 cos 2（2）3分 4分 6分α2? 3sin α ? 12 sin(α + ) 4π=cos α ? 3sin α 1 ? 3 tan α 5 = =? ． cos α + sin α 1 + tan α 7212 分93、(山东省聊城市 2008 届第一期末统考)已知函数 f ( x ) = 2 sin (π4+ x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ∈ R.（1）求函数 f (x ) 的最小正周期； （2）若对任意的 x∈ [π π, ] ，不等式 f(x)＞m－3 恒成立，求实数 m 的取值范围. 4 22解：（1）Q f ( x ) = 2 sin (π= 1 ? cos(π24+ x) ? 3 cos 2 x ? 1+ 2 x) ? 3 cos 2 x ? 1= sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2 sin(2 x ?∴函数 f (x ) 的最小正周期 T =π3) ……………………3 分2π = π . ……………………5 分 2 π π π π 2π ], （2）当 x ∈ [ , ]时,2 x ? ∈ [ , 4 2 3 6 3∴ f ( x) min = 1 ……………………7 分故只需 1＞m－3，解得 m＜4……………………9 分 即 m 的取值范围为(－∞,4)……………………10 分 94 、 ( 山 东 省 实 验 中 学 2008 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 ) 已 知 向 量uuu r uuur uuu uuur r OP = (2 cos x + 1, cos 2 x ? sin x + 1), OQ = (cos x, ?1) ,定义 f ( x) = OP ? OQ . （1）求函数 f (x ) 的单调递减区间； （2）求函数 f (x ) 的最大值及取得最大值时的 x 的取值集合.= 2 cos 2 x + cos x ? cos 2 x + sin x ? 1 = cos+ sin x= 2 sin( x +……………4 分解：（1） f ( x) = OP ? OQ = (2 cos x + 1, cos 2 x ? sin x + 1) ? (cos x,?1)π3π π 5π , k ∈ Z, 解得2kπ + ≤ x ≤ 2kπ + . 2 4 2 4 4 π 5π 所以，函数 f ( x )的单调递减区间为[ 2kπ + ,2kπ + ], k ∈ Z. ……………9 分 4 4令 2 kπ +π4) ……………………………………………………… 6 分≤ x+π≤ 2k π +（2）函数 f ( x )的最大值是 2 , 此时x +π所以，函数 f ( x )取得最大值 2时的x的取值集合为{x | x = 2kπ + π , k ∈ Z}. …………12 分 4 95 、 ( 山 西 省 实 验 中 学 2007 ― 2008 学 年 度 高 三 年 级 第 四 次 月 考 ) 已 知4= 2kπ +π2, 即x = 2kπ +π4.A(3,0), B (0,3), C (cos α , sin α ), α ≠（1）求1 + sin 2α ? cos 2α 的值 1 + tan αkπ (k ∈ Z ), 若 AC ? BC = ?1 4（2）若 | OA + OC |= 13 ，其中 O 是原点，且 α ∈ (0, π ), 求OB与OC 的夹角。 解：（1） cos α + sin α =1 + sin 2α ? cos 2α = 2 sin α cos α 1 + tan α 5 =? 92 3…………2 分 …………4 分 …………5 分（2） cos α =1 2…………7 分cos & OB, OC &= sin α =3 2…………9 分& OB, OC &= 30 o…………10 分96、(山西省实验中学
学年度高三年级第四次月考)已知 f ( x ) = cos(ωπx + Φ )(ω & 0, Φ ∈ [0, π ]) 是 R 上的奇函数，其图像关于直线 x = 解：（1） Φ =π3 1 1 对称，且在区间 [? , ] 上是单调函数，求 Φ和ω 的值。 4 4 4…………2 分 …………6 分 …………10 分 …………12 分2 4 1 ω = (k + ) 3 2 0&ω ≤2 2 ω = 2, ω = 397、(山东省郓城一中
学年第一学期期末考试)已知 ?ABC 中，角 A，B，C，所对的边分别是 a, b, c ， 且 2 a 2 + b 2 ? c 2 = 3ab ； （1）求 sin 2 A + B 2 （2）若 c = 2 ，求 ?ABC 面积的最大值。()3 a2 + b2 ? c2 3 解：（Ⅰ）Q a + b ? c = ab,∴ cos C = = (2分 ) 2 2ab 42 2 2Q A + B = π ? C ,∴ sin 2A + B 1 ? cos( A + B ) 1 + cos C 7 = = = (6分 ) 2 2 2 8 3 3 2 2 2 2 （Ⅱ）Q a + b ? c = ab, 且c = 2， a + b ? 4 = ab， ∴ 2 2 2 3 2 2 又Q a + b ≥ 2ab,∴ ab ≥ 2ab ? 4,∴ ab ≤ 8(8分 ) 23 7 ?3? (10分) Q cos C = ,∴ sin C = 1 ? cos 2 C = 1 ? ? ? = 4 4 ?4?2∴ S ?ABC =1 ab sin C ≤ 7 , 2当且仅当 a = b = 2 2 时，△ABC 面积取最大值，最大值为 7 . 98、(山西大学附中 2008 届二月月考)已知向量 a = (1 ? tan x, 1), b = (1 + sin 2 x + cos 2 x, ?3) ，记 f ( x) = a ?b.?α ? （1）求