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2016届山东省济宁市高考数学专题复习演练：第14讲 导数的应用（一）（新人教A版）
2016届山东省济宁市高考数学专题复习演练：第14讲 导数的应用（一）（新人教A版）
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资源库-微信公众号【大高考】（全国通用）2016届高考数学复习 第三章 第二节 导数的应用课件 文
发布时间： 01:44:06
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内容简介：> 【大高考】（全国通用）2016届高考数学复习 第三章 第二节 导数的应用课件 文 果在x附近的左侧_______，右侧_______，那么f(x)是极大值；②如果在x附近的左侧_______，右侧_______，那么f(x)是极小值f′(x)f′(x)f′(x)()求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程__________的根；③检查f′(x)的方程_________的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________()极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值f′(x)＝f′(x)＝极大值极小值函数的最值()在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与________()... 果在x附近的左侧_______，右侧_______，那么f(x)是极大值；②如果在x附近的左侧_______，右侧_______，那么f(x)是极小值f′(x)f′(x)f′(x)()求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程__________的根；③检查f′(x)的方程_________的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________()极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值f′(x)＝f′(x)＝极大值极小值函数的最值()在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与________()若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的________；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值()设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与__________比较，其中极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝，再判断f′(x)＝的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论导数与极值（最值）求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法()若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；()若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成【例】(;山东滕州模拟)若函数f(x)＝ax－bx＋，当x＝时，函数f(x)有极值－()求函数的解析式；()若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围[解题指导]解()由题意可知f′(x)＝ax－b于是?????f′（）＝a－b＝，f（）＝a－b＋＝－，解得?????a＝，b＝，故所求的函数解析式为f(x)＝x－x＋()由()可知f′(x)＝x－＝(x－)(x＋)令f′(x)＝，得x＝，或x＝－，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)?↗?↘－↗?因此，当x＝－时，f(x)有极大值，当x＝时，f(x)有极小值－，所以函数的大致图象如图所示，故实数k的取值范围是??????－，[点评]将方程的根转化为函数图象交点问题，进一步转化为求函数的极大(极小)值问题利用导数证明不等式的方法()证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)，即证明了f(x)g(x)构造函数证明不等式恒成立问题【例】设函数f(x)＝x＋ax＋blnx，曲线y＝f(x)过P(，)，且在P点处的切线斜率为()求a，b的值；()证明：f(x)≤x－()解f′(x)＝＋ax＋bx由已知条件得?????f（）＝，f′（）＝，即?????＋a＝，＋a＋b＝解得a＝－，b＝()证明f(x)的定义域为(，＋∞)，由()知f(x)＝x－x＋lnx设g(x)＝f(x)－(x－)＝－x－x＋lnx，则g′(x)＝－－x＋x＝－（x－）（x＋）x当；当时，g′(x)时，g(x)≤，即f(x)≤x－[答题模板]运用导数证明不等式f(x)g(x)成立的一般步骤：第一步：构造h(x)＝f(x)－g(x)；第二步：求h′(x)；第三步：判断h(x)的单调性；第四步：确定h(x)的最小值；第五步：证明h(x)成立；第六步：得出所证结论[温馨提醒]利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也是高考的一个新热点，其关键是构造适当的函数，判断区间端点对应的函数值与的关系，实际就是利用求导的方法去研究函数的单调性，并通过单调性证明不等式第二节导数的应用考点梳理考纲速览命题解密热点预测利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值与最值导数的综合应用及实际应用了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)会利用导数解决某些实际问题主要考查运用导数研究函数的单调性和极值；以实际问题为背景考查导数在生活中的优化问题的应用，以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、方程等知识相结合的问题预测高考对本部分的考查仍将突出导数的工具性作用重点考查利用导数研究函数的极值、最值及单调性等问题结合单调性与最值求参数范围、证明不等式内容是高考热点导数与函数的单调性、极值函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f′(x)___，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)___，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减函数极值的概念()判断f(x)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x处连续时，①如果在x附近的左侧_______，右侧_______，那么f(x)是极大值；②如果在x附近的左侧_______，右侧_______，那么f(x)是极小值f′(x)f′(x)f′(x)()求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程__________的根；③检查f′(x)的方程_________的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________()极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值f′(x)＝f′(x)＝极大值极小值函数的最值()在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与________()若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的________；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值()设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与__________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值导数与函数的最值及在实际生活中的应用最小值最大值f(a)，f(b)解决优化问题的基本思路【名师助学】本部分知识可以归纳为()三个步骤：求函数单调区间的三个步骤：①确定定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)(或f′(x)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件②对于可导函数f(x)，f′(x)＝是函数f(x
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帮帮文库版权所有【考点剖析】；1.最新考试说明：；1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函；2.命题方向预测：；1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的；2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调；3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问；3.课
【考点剖析】 1.最新考试说明： 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)． 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次). 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)． 4.会利用导数解决某些实际问题. 2.命题方向预测： 1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点． 2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值．解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题. 3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的考点且每年必考！ 3.课本结论总结： 1． 函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2． 函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3． 函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 4． 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 5． 不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 4.名师二级结论： 1.f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．
2.函数在某区间上或定义域内极大值不是唯一的． 3.函数的极大值不一定比极小值大．
4.对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的既不充分也不必要条件．
5.函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． 6.可导函数极值存在的条件：
(1)可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．[来源:学科网] (2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同． 7．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 8．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5.课本经典习题： （1）选修2―1第77页 抛物线y?x2上到直线2x?y?4的距离最小点的坐标是（
D(2,4) 解 设y?x2则y'?2x 设距离最小点的坐标为(x0,y0)，所以2x0?2。得到x0?1，选B 【经典理由】在解析几何中，一些最值问题（如弦长、面积、距离等）常可用导数工具轻松的解决。 （2）必修4第114页例7 cos?1?sin?? 1?sin?cos?cos?1?sin??证明 设f(?)? 1?sin?cos?证明：则f'(?)?(cos?)'(1?sin?)?cos?(1?sin?)'(1?sin?)'cos??(1?sin?)(cos?)'? 22cos?(1?sin?)11?sin??sin??sin2??cos2?cos2??sin??sin2??0 ????2221?sin?cos?cos?(1?sin?)所以f(?)?c（c为常数）
因为f(0)?0，所以f(?)?0。故上式成立 【经典理由】证明三角恒等问题，即证明对任意x等式恒成立，可将等式中各项全移到一边，只要证明这一边的导数为零即可。 （3）选修2-2第12页第6题 证明：当x?0时，sinx?x 证明令f(x)?x?sinx，则f'(x)?1?cosx 因为x?0所以f'(x)?0 得到f(x)?f(0)即f(x)?0，故上式成立 【经典理由】在证明不等式时，可根据不等式特点构造函数，用导数判断单调性，利用函数单调性证明不等式，求出函数的最值，由该函数在取得最值时该不等式成立，可得该不等式成立。 （4）必修5第39页 求和：Sn?1?2x?3x???nx232n?1(x?0,x?1) 解：设f(x)?x?x?x???x nx(1?xn)由等比数列前n项和公式得f(x)? 1?x因为f'(x)?1?2x?3x2???nxn?1所以Sn?f'(x) 1?(n?1)xn?nxn?1而f'(x)? 2(1?x)1?(n?1)xn?nxn?1所以Sn? 2(1?x)【经典理由】要借助导数解决数列问题，关键是构建合理的函数，借助函数的性质考查数列的性质，数列是特殊的函数。故对数列中如求数列的最值项，前n项和的最值，恒成立问题，若用函数思想来解决，往往会收到意想不到的效果。 6.考点交汇展示： (1)导数与三角函数交汇 例1.已知函数f?x?的导函数如图所示,若?ABC为锐角三角形,则下列不等式一定成立的是(
) A.f?sinA??f?cosA?
B.f?sinA??f?cosB?
C.f?cosA??f?cosB?
D.f?sinA??f?cosB?
例2.【2015高考安徽，理21】设函数f(x)?x?ax?b.
（Ⅰ）讨论函数f(sinx)在(?22??,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； 22
（Ⅱ）记f0(x)?x?a0x?b0，求函数f(sinx)?f0(sinx)在[???,]上的最大值D； 22[来源:]a2
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0?b0?0，求z?b?满足D?1时的最大值.4
(2)导数与数列交汇 ax例1【2015高考湖南，理21】.已知a?0，函数f(x)?esinx(x?[0,??))，记xn为f(x)的从小到大的第n(n?N*)个极值点，证明： （1）数列{f(xn)}是等比数列 （2）若a?1e2?1，则对一切n?N，xn?|f(xn)|恒成立. * (3)导数与圆锥曲线交汇 例1.已知抛物线y=－x+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程 2【考点分类】 热点1
利用导数研究函数的单调性 1. 【2015高考江苏，19】（本小题满分16分）
已知函数f(x)?x3?ax2?b(a,b?R).
（1）试讨论f(x)的单调性；
（2）若b?c?a（实数c是a与无关的常数），当函数f(x)有三个不同的零点时，a
的取值范围恰好是(??,?3)?(1,)?(,??)，求c的值. 2.【2014高考安徽卷第18题】设函数（1） 讨论3232f(x)?1?(1?a)x?x2?x3,其中a?0. f(x)在其定义域上的单调性； f(x)取得最大值和最小值时的x的值. （2） 当x?[0,1]时，求223. 【2015高考四川，理21】已知函数f(x)??2(x?a)lnx?x?2ax?2a?a，其中a?0. （1）设g(x)是f(x)的导函数，评论g(x)的单调性；
（2）证明：存在a?(0,1)，使得f(x)?0在区间(1,+?)内恒成立，且f(x)?0在(1,+?)内有唯一解. 【方法规律】 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实数根． (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间． 三亿文库包含各类专业文献、高等教育、文学作品欣赏、幼儿教育、小学教育、中学教育、专业论文、考点10 导数的应用(单调性、最值、极值)-2016届高考理科数学必考考点专题分类训练15等内容。　
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6C函数在某点取得极值的条件
函数在某点取得极值的条件 1、 （2011?上城区）设 y=f（x）在 R 上可导，则 f′（x0）=0是 y=f（x）在 x=x0处取 得极值的（ ）条件． 充分不必 B、必要不充分 A、 要 C、充要 D、既不充分也 不必要考点：函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：常规题型． 分析：根据充分条件和必要条件的定义进行求解，y=f（x）在 R 上可导，举例子 f（x）=x3题设和条件能否互推． 解答：解：y=f（x）在 R 上可导，当 f（x）=x3在 x=0处的导数为0， 但不取得极值． ∴不充分， ∴f（x）在 x0处的导数 f′（x）=0是 f（x）在 x0处取得极值的必要不充分条件； 故选 B． 点评：此题主要考查函数在某点取得极值的条件即方程 f′（x）=0的根，解题的 关键是要学会举反例．2、 （2011?福建）若 a＞0，b＞0，且函数 f（x）=4x3-ax2-2bx+2在 x=1处有极值， 则 ab 的最大值等于（ ） A、2 B、3 C、6 D、9 考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式． 专题：计算题． 分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到 a，b 满足的条件； 利用基本不等式求出 ab 的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二 定、三相等． 解答：解：∵f′（x）=12x2-2ax-2b 又因为在 x=1处有极值 ∴a+b=6 ∵a＞0，b＞0 ∴ ab≤(a+b2)2=9 当且仅当 a=b=3时取等号 所以 ab 的最大值等于9 故选 D 点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注 意：一正、二定、三相等．3、 （2007?江西）设函数 f（x）是 R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线 y=f（x） 在 x=5处的切线的斜率为（ ） A、 -15 B、0 C、 15 D、5 考点：函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的性质；三角函数的周期性及其 求法． 分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，x=0为极值点，f（x）是 R 上以5为周期， x=5也是极值点，极值点处导数为零 解答：解：∵f（x）是 R 上可导偶函数， ∴f（x）的图象关于 y 轴对称， ∴f（x）在 x=0处取得极值，即 f′（0）=0， 又∵f（x）的周期为5， ∴f′（5）=0，即曲线 y=f（x）在 x=5处的切线的斜率0， 故选项为 B 点评：本题考查函数的周期性、奇偶性、导数的几何意义、极值点满足的条件4、 若函数 f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为 α，函数 g（x）=xlnx2（x＞0）的极值 点为 β，则有（ ） A、α＞β B、α＜β C、α=β D、 与 β 的大 α 小不确定 考点：函数在某点取得极值的条件． 分析：利用积的导数法则求 f′（x） ，g′（x） ；据函数极值点处的导数为零，列出 方程解得． 解答：解：∵f′（x）=2xlnx+x，g′（x）=lnx2+2 又 f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为 α，g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为 β， ∴2αlnα+α=0，lnβ2+2=0 ∴ α=e-12，β=e-1 ∴α＞β 故选 A． 点评：本题考查导数的运算法则和极值点处的导数为零．5、 已知关于 x 的三次函数 f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在区间（1，2）上只有极大值， 则 b-a 的取值范围是（ ） （ +∞） （ +∞） （ （ A、-1， B、-2， C 、 -3 ， D 、 -4 ， +∞） +∞） 考点：函数在某点取得极值的条件．分析： 极大值是函数先增再减， 相应导数是先增后负得不等式组再利用线性规划 解 解答：解：f′（x）=ax2+bx+2 ∵ f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在区间（1，2）上只有极大值 ∴ {f′(1)＞0f′(2)＜0即 {a+b+2＞04a+2b+2＜0 ∴-4＜b-a 故选项为 D 点评：函数在某点处取极值的条件，利用线性规划求范围 6、 函数 f(x)=13ax3+12ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围 是（ ） A、 a＞-316 B、 -65＜a＜-316 C、 a＞-65 D、 -65≤a≤-316 考点：函数在某点取得极值的条件． 分析：求函数的极值，要使图象经过四个象限只要两极值符号不同 解答：解：f′（x）=ax2+ax-2a=a（x+2） （x-1） 令 f′（x）=a（x+2） （x-1）=0得 x=-2或 x=1 x∈（-∞，-2）时 f′（x）的符号与 x∈（-2，1）时 f′（x）的符号相反，x∈（-2， 1）时 f′（x）的符号与 x∈（1，+∞）时 f′（x）的符号相反 ∴f（-2）= -83a+2a+4a+2a+1= 163a+1和为极值，f（1）= 13a+12a-2a+2a+1= 56a+1 ∵图象经过四个象限 ∴f（-2）?f（1）＜0即（ 163a+1） 56a+1）＜0 （ 解得 -65＜a＜-316 故答案为 B 点评：本题考查导数求函数的极值，眼睛函数的单调性及其图象 7、 已知函数 f（x）= 13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值，则实数 m 的取值 范围是（ ） （-2， ∪ 13， （- 23，- 13） A、 -1） （ B、 23） （l，2） C、 （D、 23， 13）∪（l，2）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：由函数 f（x）= 13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值，我们易得函 数的导函数在在区间（1，2）内有零点，结合零点存在定理，我们易构造出一 个关于 m 的不等式，解不等式即可得到答案． 解答：解：∵函数 f（x）= 13x3-mx2-3m2x+1 ∴f&#39;（x）=x2-2mx-3m2，若函数 f（x）= 13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值， 则 f&#39;（x）=x2-2mx-3m2在区间（1，2）内有零点 即 f&#39;（1）?f&#39;（2）＜0 即（1-2m-3m2）?（4-4m-3m2）＜0 解得 m∈（-2，-1）∪（ 13， 23） 故选 A 点评： 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中将问题转化为导函 数的零点问题是解答此类问题最常用的办法． 8、 已知函数 f（x）=-x3+ax2-4在 x=2处取得极值，若 m、n∈[-1，1]，则 f（m）+f′ （n）的最小值为（ ） A、-13 B、-15 C、10 D、15 考点：函数在某点取得极值的条件；函数的最值及其几何意义． 分析：令导函数当 x=2时为0，列出方程求出 a 值；求出二次函数 f′（n）的最小 值，利用导数求出 f（m）的最小值，它们的和即为 f（m）+f′（n）的最小值． 解答：解：∵f′（x）=-3x2+2ax 函数 f（x）=-x3+ax2-4在 x=2处取得极值 ∴-12+4a=0 解得 a=3 ∴f′（x）=-3x2+6x ∴n∈[-1，1]时，f′（n）=-3n2+6n 当 n=-1时，f′（n）最小，最小为-9 当 m∈[-1，1]时，f（m）=-m3+3m2-4 f′（m）=-3m2+6m 令 f′（m）=0得 m=0，m=2 所以 m=0时，f（m）最小为-4 故 f（m）+f′（n）的最小值为-9+（-4）=-13 故选 A 点评：函数在极值点处的值为0． ；求高次函数的最值常用的方法是通过导数． 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：数形结合． 分析：先根据导函数的两个根的分布建立 a、b 的约束条件，而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求 范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．解答： 解：∵函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c 2 ∴f′（x）=x +ax+2b=0的两个根为 x1，x2， ∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内∴ {f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0? {b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0 画出区域如图， 而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿 色线即为符合条件的直线的边界， M，N 两个点为边界处的点， 当连线过 M（-3，1）时， kPM=2-11+3=14， 当连线过 N（-1，0）时， kPN=2-01+1=1， 由图知 b-2a-1∈ (14，1)． 故选 C． 点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值， 以及利用线性规划的知识解题， 属于基础题． 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：数形结合． 分析：先根据导函数的两个根的分布建立 a、b 的约束条件，而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求 范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．解答： 解：∵函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c 2 ∴f′（x）=x +ax+2b=0的两个根为 x1，x2， ∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内 ∴ {f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0? {b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0 画出区域如图， 而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿 色线即为符合条件的直线的边界， M，N 两个点为边界处的点， 当连线过 M（-3，1）时， kPM=2-11+3=14， 当连线过 N（-1，0）时， kPN=2-01+1=1， 由图知 b-2a-1∈ (14，1)． 故选 C． 点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值， 以及利用线性规划的知识解题， 属于基础题． 9、 已知函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c 的两个极值分别为 f（x1） ，f（x2） ，若 x1，x2 分别在区间（0，1）与（1，2）内，则 b-2a-1的取值范围是（ ） （-∞， -14）∪（1，+∞） A、 (-1，-14) B、 C、 (14，1) D、 (12，2) 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：数形结合．分析：先根据导函数的两个根的分布建立 a、b 的约束条件，而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求 范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．解答： 解：∵函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c 2 ∴f′（x）=x +ax+2b=0的两个根为 x1，x2， ∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内 ∴ {f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0? {b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0 画出区域如图， 而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿 色线即为符合条件的直线的边界， M，N 两个点为边界处的点， 当连线过 M（-3，1）时， kPM=2-11+3=14， 当连线过 N（-1，0）时， kPN=2-01+1=1， 由图知 b-2a-1∈ (14，1)． 故选 C． 点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值， 以及利用线性规划的知识解题， 属于基础题． 10、 已知函数 f（x）= 13x3+ 12ax2+2bx+c（a，b，c∈R） ，且函数 f（x）在区间（0， 1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则 z=（a+3）2+b2的取值范 围（ ） （ （ （1，2） （1，4） A、 22，2） B、 12，4） C、 D、 考点：函数在某点取得极值的条件． 分析： 据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数 为正得 a，b 的约束条件，据线性规划求出最值． 解答：解：∵f（x）= 13x3+12ax2+2bx+c ∴f′（x）=x2+ax+2b ∵函数 f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值 ∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根 f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0 即 {b＞0a+2b+1＜a+b+2＞00 （a+3）2+b2表示点（a，b）到点（-3，0）的距离的平方， 由图知（-3，0）到直线 a+b+2=0的距离 22，平方为 12为最小值， （-3，0）与（-1，0）的距离2，平方为4为最大值 故选项为 B 点评：本题考查函数极值存在条件及线性规划求最值． 11、已知函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c 的两个极值分别为 f（x1） ，f（x2） ，若 x1，x2 分别在区间（0，1）与（1，2）内，则 b-2a-1的取值范围是（ ） （-∞， -14）∪（1，+∞） A、 (-1，-14) B、 C、 (14，1) D、 (12，2) 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：数形结合． 分析：先根据导函数的两个根的分布建立 a、b 的约束条件，而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求 范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．解答： 解：∵函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c 2 ∴f′（x）=x +ax+2b=0的两个根为 x1，x2， ∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内 ∴ {f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0? {b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0 画出区域如图， 而 b-2a-1可看作点 P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿 色线即为符合条件的直线的边界， M，N 两个点为边界处的点， 当连线过 M（-3，1）时， kPM=2-11+3=14， 当连线过 N（-1，0）时， kPN=2-01+1=1， 由图知 b-2a-1∈ (14，1)． 故选 C． 点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值， 以及利用线性规划的知识解题， 属于基础题． 12、 若函数 f（x）=x3+3bx-3b 在区间（0，1）内存在极小值，则实数 b 的取值范围 为（ ） A、-1＜b B、 b＞-1 C、b＜0 D、 b＞-12 ＜0 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析： 求出函数的导数， 然后令导数为零， 求出函数的极值， 最后确定 b 的范围． 2 解答：解：由题意得 f′（x）=3x -3b， 令 f′（x）=0，则 x=± b 又∵函数 f（x）=x3-3bx+b 在区间（0，1）内有极小值， ∴0＜ b＜1， ∴b∈（0，1） ， 故选 A．点评：熟练运用函数的导数求解函数的极值问题，同时考查了分析问题的能力， 属于基础题． 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：常规题型． 分析：求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函 数符号不同得到△ ＞0；解出 a 的范围． 解答：解：f′（x）=3x2+4ax+3（a+2） ∵f（x）有极大值和极小值 ∴△=16a2-36（a+2）＞0 解得 a＞2或 a＜-1 故选 B 点评： 本题考查函数的极值点是导函数的根， 且根左右两边的导函数符号需不同． 13、 若 f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则 a 的取值范围是（ A、-a＜a B、a＞2或 C、a≥2或 D、a＞1或 ＜2 a≤-1 a＜-1 a＜-2）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：常规题型． 分析：求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函 数符号不同得到△ ＞0；解出 a 的范围． 解答：解：f′（x）=3x2+4ax+3（a+2） ∵f（x）有极大值和极小值 ∴△=16a2-36（a+2）＞0 解得 a＞2或 a＜-1 故选 B 点评： 本题考查函数的极值点是导函数的根， 且根左右两边的导函数符号需不同． 14、 若函数 f（x）=（x-2） 2+c）在 x=1处有极值，则函数 f（x）的图象 x=-1处的 （x 切线的斜率为（ ） A、1 B、-3 C、8 D、-12 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：对函数 f（x）=（x-2） 2+c）进行求导，根据函数在 x=1处有极值，可 （x 得 f′（1）=0，求出 c 值，然后很据函数导数和函数切线的斜率的关系即可求解． 解答：解：∵函数 f（x）=（x-2） 2+c）在 x=1处有极值， （x 2 ∴f′（x）=（x +c）+（x-2）× 2x， ∵f′（1）=0，∴（c+1）+（1-2）× 2=0， ∴c=1， ∴f′（x）=（x2+1）+（x-2）× 2x， ∴函数 f（x）的图象 x=-1处的切线的斜率为 f′（-1）=（1+1）+（-1-2）× （-2）=2+6=8， 故选 C． 点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及函数的导数的求法，属基 础题． 15、 函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值10，则（ A、a=-11，B、a=-4， C、a=11， D 、 a=4 ， b=4 b=11 b=-4 b=-11）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题；方程思想． 分析：根据函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值10，可知 f′（1）=0和 f（1） =10，对函数 f（x）求导，解方程组 {f′(1)=0f(1)=10，注意验证，可求得答案． 解答：解：由 f（x）=x3+ax2+bx+a2， 得 f′（x）=3x2+2ax+b， {f′(1)=0f(1)=10，即 {2a+b+3=0a2+a+b+1=10， 解得 {a=4b=-11或 {a=-3b=3（经检验应舍去） ， 故选 D． 点评：考查利用导数研究函数的极值问题，注意 f′（x0）=0是 x=x0是极值点的必 要不充分条件，因此对于解得的结果要检验，这是易错点，属基础题． 16、 若函数 f（x）= x2+ax+1在 x=1处取得极值，则 a 等于（ A、-5 B、-2 C、1 D、3）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2，由函数 f（x）在 x=1处取得极值， 可得所以 f′（1）=0．进而可得 a 的值． 解答：解：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2 因为函数 f（x）= x2+ax+1在 x=1处取得极值， 所以 f′（1）=0，即 a=3． 故选 D． 点评： 解决此类问题的关键是利用已知函数的解析式正确的求出函数的导数，再 利用函数的极值求出参数的值即可， 通过极值求参数的数值是高考常考的知识点 之一． 考点：函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：常规题型． 分析：分别举反例说明充分性和必要性都不成立：函数 y=|x|，在 x=0处取极小 值但 f′（0）≠0，说明充分性不成立；函数 f（x）=x3在 x=0处，f′（x）=0，而 f （0）并非函数的极值，必要性质不成立．由此可得正确答案． 解答：解：先说明充分性不成立， 例如函数 y=|x|，在 x=0处取得极小值 f（0）=0，但 f′（x）在 x=0处无定义，说明 f′（0）=0不成立，因此充分性不成立； 再说明必要性不成立，设函数 f（x）=x3，则 f′（x）=3x2 在 x=0处，f′（x）=0，但 x=0不是函数 f（x）的极值点，故必要性质不成立． 故选 D 点评：本题以必要条件、充分条件与充要条件的判断为载体，考查了函数在某点 取得极值的条件，是一道概念题． 17、 若函数 f（x）在 x=x0处有定义，则“f（x）在 x=x0处取得极值”是“f′（x0）=0”的 （ ） A、充分不必 B、必要不充分 要条件 条件 C、充要条件 D、既不充分也 不必要条件 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：函数在极值点处的导数值异号，故 f（x）的导数 f′（x）=x2-2x+a=0 有两 个实数根，△ =4-4a＞0． 解答：解：∵函数 f（x）= 13x3-x2+ax-1有极值点， ∴f（x）的导数 f′（x）=x2-2x+a=0有两个实数根， ∴△=4-4a＞0，∴a＜1， 故选 C． 点评：本题考查函数存在极值的条件，利用函数在极值点处的导数值异号． 18、 函数 f（x）= 13x3-x2+ax-1有极值点，则 a 的取值范围是（ （-∞， B、 （-∞， D、 A、 0） （-∞， C、 1） （-∞， 0] 1]）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析： 利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的 单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案． 解答：解：由题意可得：y′=3x2-3， 令 y′=3x2-3＞0，则 x＞1或者 x＜-1， 所以函数 y=x3-3x 在（-∞，-1）上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+∞）上递 增， 所以当 x=-1时，函数有极大值 m=2，当 x=1，时，函数有极小值 n=-2， 所以 m+n=0． 故选 A． 点评： 利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于 0时的实数 x 的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函 数的极值，体现了导数的工具作用．19、 函数 y=x3-3x 的极大值为 m，极小值为 n，则 m+n 为（ A、0 B、1 C、2 D、4）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析： 利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的 单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案． 解答：解：由题意可得：y′=3x2-3， 令 y′=3x2-3＞0，则 x＞1或者 x＜-1， 所以函数 y=x3-3x 在（-∞，-1）上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+∞）上递 增， 所以当 x=-1时，函数有极大值 m=2，当 x=1，时，函数有极小值 n=-2， 所以 m+n=0． 故选 A． 点评： 利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于 0时的实数 x 的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函 数的极值，体现了导数的工具作用． 20、 已知函数 f（x）=x（x-c）2在 x=2处有极大值，则 c 的值为（ A、3 B、6 C、3或6 D、2或6）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：对函数 f（x）=x（x-c）2求导，利用函数的导函数与极值的关系，令导函 数等于0即可解出 c 的值． 解答：解：f′（x）=（x-c）2+2x（x-c） ， ′ 2 f （2）=（2-c） +2× 2（2-c）=0， 解得 c=6或2． 验证知当 c=2时，函数在 x=2处有极小值，舍去 故 c=6 故选 B． 点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，对函数求导，令导函数等于 0即可解出 c 的值，由于本题明确指出在该点出取到极大值，故需对求出的 c 的 值进行验证，如本题，c=2必需舍去，做题时要注意考虑周详．21、 函数 f（x）=x3-ax2-bx+a2在 x=1时有极值10，则 a，b 的值为（ A、 {a=3b=-3或{a=-4b=11 B、 {a=-4b=1或{a=-4b=11 C、 {a=-4b=11）D、以上皆错 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：首先对 f（x）求导，然后由题设在 x=1时有极值10可得 {f′(1)=0f(1)=10 解之即可求出 a 和 b 的值． 解答：解：对函数 f（x）求导得 f′（x）=3x2-2ax-b， 又∵在 x=1时 f（x）有极值10， ∴ {f′(1)=3-2a-b=0f(1)=1-a-b+a2=10， 解得 {a=-4b=11或 {a=3b=-3， 验证知，当 a=3，b=-3时，在 x=1无极值， 故选 C． 点评： 掌握函数极值存在的条件， 考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力， 属于基础题．22、图是函数 y=f（x）的导函数 y=f′（x）的图象，给出下列命题： ①-3是函数 y=f（x）的极值点； ②-1是函数 y=f（x）的最小值点； ③y=f（x）在 x=0处切线的斜率小于零； ④y=f（x）在区间（-3，1）上单调递增． 则正确命题的序号是（ ） A、①② B、②③ C、③④ D、①④ 考点：函数在某点取得极值的条件；函数的单调性与导数的关系． 专题：数形结合． 分析： 根据导函数的图象得到导函数的符号，根据导函数的符号判断出函数单调 性， 根据函数的单调性求出函数的极值及最值，判断出①②④的对错根据函数在 切点的导数为切线的斜率，判断出③的对错． 解答：解：由导函数 y=f′（x）的图象知 f（x）在（-∞，-3）单调递减， （-3，+∞）单调递增 所以①-3是函数 y=f（x）的极小值点，即最小值点 故①对②不对 ∵0∈， （-3，+∞） 又在（-3，+∞）单调递增 ∴f′（0）＞0 故③错 ∵f（x）在（-3，+∞）单调递增 ∴y=f（x）在区间（-3，1）上单调递增 故④对 故选 D点评：根据导函数的符号判断函数的单调性：导函数大于0，函数单调递增；导 函数小于0，函数单调递减．注意函数的极值点的左右的导函数符号要相反． 23、 设 x=1与 x=2是函数 f（x）=alnx+bx2+x 的两个极值点．则常数 a=（ A、 -23 B、-1 C、1 D、0）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：已知函数 f（x）=alnx+bx2+x，求其导数 f′（x） ，因为 x=1与 x=2是函数 f 2 （x）=alnx+bx +x 的两个极值点，可得 f′（1）=f′（2）=0，从而联立方程求出 a 的值． 解答：解：∵函数 f（x）=alnx+bx2+x， ∴f′（x）= ax+2bx+1， ∵x=1与 x=2是函数 f（x）=alnx+bx2+x 的两个极值点， ∴f′（1）=f′（2）=0， ∴a+2b+1=0…① a2+4b+1=0…② 联立方程①②得 a=- 23，b=- 16， 故选 A． 点评：此题考查函数的导数与极值的关系，是一道比较简单的题，解题的关键是 会联立方程并正确求解二元一次方程． 24、 f′（x0）=0是函数 f（x）在点 x0处取极值的（ A、充分不必 B、必要不充分 要条件 条件 C、充要条件 D、既不充分又 不必要条件 考点：函数在某点取得极值的条件；充要条件． 专题：计算题． 分析：结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求 f′（x0）=0外，还 的要求在两侧有单调性的改变（或导函数有正负变化） ，通过反例可知充分性不 成立． 解答：解：如 y=x3，y′=3x2，y′|x=0=0，但 x=0不是函数的极值点． 若函数在 x0取得极值，由定义可知 f′（x0）=0 所以 f′（x0）=0是 x0为函数 y=f（x）的极值点的必要不充分条件 故选 B 点评：本题主要考查函数取得极值的条件：函数在 x0处取得极值? f′（x0）=0， 且 f′（x＜x0）?f′（x＞x0）＜0）25、如图是导函数 y=f′（x）的图象，在标记的点中，函数有极小值的是（ A、x=x2 B、x=x3 C、x=x5 D 、 x=x1 或 x=x4）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：证明题． 分析：导数的几何意义是导数大于0时原函数是增函数，当导数小于0时原函数 是减函数，根据导数的几何意义可得答案． 解答：解：根据导数的几何意义得： 函数 f（x）在区间（-∞，x3）（x5，+∞）是增函数，在区间（x3，x5）上是减函 ， 数， 当 x=x5时函数 f（x）有极小值， 故选 C． 点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握导数的几何意义以及怎样利用导数判断函 数的单调性与极值． 26、 若函数 f（x）=x（x-c）2在 x=2处有极大值，则常数 c 为（ A、2 B、6 C、2或6 D、 -2或-6）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：求出函数的导数，再令导数等于0，求出 c 值，再检验函数的导数是否满 足在 x=2处左侧为正数，右侧为负数， 把不满足条件的 c 值舍去． 解答：解：函数 f（x）=x（x-c）2 的导数为 f′（x）=3x2-4cx+c2，由题意知， 在 x=2处的导数值为 12-8c+c2=0．∴c=6，或 c=-2， 又函数 f（x）=x（x-c）2在 x=2处有极大值，故导数在 x=2处左侧为正数，右侧 为负数，故 c=6． 故选 B． 点评：本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于0，且导数在该点左 侧为正数，右侧为负数． 27、 已知函数 f（x）=|x|，在 x=0处函数极值的情况是（ A、没有极 B、有极大值 值 有极小 D、极值情况 C、 值 不能确定）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：阅读型． 分析：由在 x=0处左侧的导数小于零，在 x=0处右侧的导数大于零，根据极值的 定义可知在 x=0处函数取极小值． 解答：解：当 x＞0时，f′（x）＞0，f（x）为减函数， 当 x＜0时，f′（x）＜0，f（x）为增函数， 根据极值的定义可知函数 f（x）=|x|，在 x=0处函数取极小值，故选 C 点评：本小题主要考查函数的导数的极值，属于基础题． 28、 f（x）在 x0处的导数 f′（x）=0是 f（x）在 x0处取得极值的（ A、充分但不必要的条件 B、必要但不充分的条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要的条件 考点：函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：综合题． 分析：根据充分条件和必要条件的定义进行求解，举例子 f（x）=|x|题设和条件 能否互推． 解答：解：例如：f（x）=|x|在 x=0处有极值，但 x=0处不可导， 所以 f&#39;（0）≠0 ∴不必要， 而 f（x）=x3在 x=0处的导数为0， 但不取得极值． ∴不充分， ∴f（x）在 x0处的导数 f′（x）=0是 f（x）在 x0处取得极值的即不充分也不必要 条件； 故选 D． 点评：此题主要考查函数在某点取得极值的条件即方程 f′（x）=0的根，解题的 关键是要学会举反例． 29、 函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值10，则（ A、a=-11，B、a=-4， C、a=11， D 、 a=4 ， b=4 b=11 b=-4 b=-11））考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2，由函数 f（x）在 x=1处取得极值， 可得所以 f′（1）=0．进而可得 a 的值． 解答：解：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2 因为函数 f（x）= x2+ax+1在 x=1处取得极值， 所以 f′（1）=0，即 a=3．故选 D． 点评： 解决此类问题的关键是利用已知函数的解析式正确的求出函数的导数，再 利用函数的极值求出参数的值即可， 通过极值求参数的数值是高考常考的知识点 之一． 30、 若函数 f（x）= x2+ax+1在 x=1处取得极值，则 a 等于（ A、-5 B、-2 C、1 D、3）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2，由函数 f（x）在 x=1处取得极值， 可得所以 f′（1）=0．进而可得 a 的值． 解答：解：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2 因为函数 f（x）= x2+ax+1在 x=1处取得极值， 所以 f′（1）=0，即 a=3． 故选 D． 点评： 解决此类问题的关键是利用已知函数的解析式正确的求出函数的导数，再 利用函数的极值求出参数的值即可， 通过极值求参数的数值是高考常考的知识点 之一．31、 若函数 f（x）=（x-2） 2+c）在 x=1处有极值，则函数 f（x）的图象 x=-1处的 （x 切线的斜率为（ ） A、1 B、-3 C、8 D、-12 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：对函数 f（x）=（x-2） 2+c）进行求导，根据函数在 x=1处有极值，可 （x 得 f′（1）=0，求出 c 值，然后很据函数导数和函数切线的斜率的关系即可求解． 解答：解：∵函数 f（x）=（x-2） 2+c）在 x=1处有极值， （x 2 ∴f′（x）=（x +c）+（x-2）× 2x， ∵f′（1）=0，∴（c+1）+（1-2）× 2=0， ∴c=1， ∴f′（x）=（x2+1）+（x-2）× 2x， ∴函数 f（x）的图象 x=-1处的切线的斜率为 f′（-1）=（1+1）+（-1-2）× （-2） =2+6=8， 故选 C． 点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及函数的导数的求法，属基 础题． 32、 设 x=1与 x=2是函数 f（x）=alnx+bx2+x 的两个极值点．则常数 a=（）A、 -23 B、-1 C、1D、0考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性． 专题：综合题． 分析：先构造函数 y= f(x)ex，对该函数进行求导，化简变形可判定导函数的符 号，再判断增减性，从而得到答案． 解答：解：∵f（x）＜f&#39;（x） 从而 f&#39;（x）-f（x）＞0 从而 ex[f′(x)-f(x)]e2x＞0 从而 (f(x)ex)′＞0 从而函数 y= f(x)ex 单调递增，故 x=2时函数的值大于 x=0时 函数的值， 即 f(2)e2＞f(0)所以 f（2）＞e2f（0） ，f（2010）＞e2010f（0） ． 故选 B． 点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数 大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减． 33、 已知函数 f（x）=ax+ex 没有极值点，则实数 a 的取值范围是（ A、a＜0 B、a＞0 C、a≤0 D、a≥0）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：函数 f（x）=ax+ex 在 R 上没有极值点，即函数的导数等于0无解或有唯一 解（但导数在点的两侧符号相同） ，又导数为 f′（x）=a+ex，故 a=-ex 无解，根 据指数函数的性质求得实数 a 的取值范围． 解答：解：函数 f（x）=ax+ex 在 R 上没有极值点， 即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同） ． x ′ x 函数 f（x）=ax+e 的导数为 f （x）=a+e ， ∴a+ex=0无解，∴a=-ex 无解， ∴a≥0 故选 D． 点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，以及方程无解或只有唯一解的条 件．属于基础题． 34、 已知 f（x）为 R 上的可导函数，且 f（x）＜f&#39;（x）和 f（x）＞0对于 x∈R 恒成 立，则有（ ） 2 ，f（2010）＞e2010-f（0） A、f（2）＜e -f（0） ，f（2010）＞e2010-f（0） B、f（2）＞e2-f（0） ，f（2010）＜e2010-f（0） C、f（2）＜e2-f（0） ，f（2010）＜e2010-f（0） D、f（2）＜e2-f（0） 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：已知函数 f（x）=alnx+bx2+x，求其导数 f′（x） ，因为 x=1与 x=2是函数 f 2 （x）=alnx+bx +x 的两个极值点，可得 f′（1）=f′（2）=0，从而联立方程求出 a的值． 解答：解：∵函数 f（x）=alnx+bx2+x， ∴f′（x）= ax+2bx+1， ∵x=1与 x=2是函数 f（x）=alnx+bx2+x 的两个极值点， ∴f′（1）=f′（2）=0， ∴a+2b+1=0…① a2+4b+1=0…② 联立方程①②得 a=- 23，b=- 16， 故选 A． 点评：此题考查函数的导数与极值的关系，是一道比较简单的题，解题的关键是 会联立方程并正确求解二元一次方程． 35、 函数 f（x）的导函数为 f/（x） ，若（x+1）?f′（x）＞0，则下列结论中正确的一 项为（ ） A、x=-1一定是函数 f（x）的极大值点 B、x=-1一定是函数 f（x）的极小值点 C、x=-1不是函数 f（x）的极值点 D、x=-1不一定是函数 f（x）的极值点 考点：函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：常规题型． 分析：根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件若“f′（x0）=0”，还应在导 数为0的左右附近改变符号时，“函数 f（x）在 x0处取得极值”．故可判断． 解答：解：若“函数 f（x）在 x0处取得极值”，根据极值的定义可知“f′（x0）=0” 成立，反之，“f′（x0）=0”，还应在导数为0的左右附近改变符号时，“函数 f（x） 在 x0处取得极值”． 故选 A． 点评：本题以函数为载体，考查极值的定义，属于基础题． 36、 已知函数 f（x）=|x|，在 x=0处函数极值的情况是（ A、没有极 B、有极大值 值 有极小 D、极值情况 C、 值 不能确定 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：常规题型． 分析：求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函 数符号不同得到△ ＞0；解出 a 的范围． 解答：解：f′（x）=3x2+4ax+3（a+2））∵f（x）有极大值和极小值 ∴△=16a2-36（a+2）＞0 解得 a＞2或 a＜-1 故选 B 点评： 本题考查函数的极值点是导函数的根， 且根左右两边的导函数符号需不同． 37、 若 f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则 a 的取值范围是（ A、-a＜a B、a＞2或 C、a≥2或 D、a＞1或 ＜2 a≤-1 a＜-1 a＜-2）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：操作型；分类讨论． 分析：由（x+1）?f/（x）＞0，根据积商符号法则，分 x＞-1，x＜-1，x=-1进行 讨论，确定 f′（x）＞0或 f′（x）＜0，确定函数的单调性． 解答：解：∵（x+1）?f/（x）＞0， ∴x＞-1时，f′（x）＞0，函数 f（x）在区间（-1，+∞）单调递增， x＜-1时，f′（x）＜0，函数 f（x）在区间（-∞，-1）单调递减， 但是函数 f（x）在 x=-1处不一定可导，如 f（x）=|x+1|= {x+1，x＞-10x=-1-x-1， x＜-1， x=-1不是函数 f（x）的极值点． 故选 D． 点评：考查 x=x0是极值点是 f′x0）=0的充分非必要条件，在判断 x=-1两侧导数 的符号，采取了分类讨论的数学思想，属基础题． 38、 下列结论中正确的是（ ） A、导数为零的点一定是极值点 B、如果在 x0附近的左侧 f′（x）＞0，右侧 f′（x）＜0，那么 f（x0）是极大值 C、如果在 x0附近的左侧 f′（x）＞0，右侧 f′（x）＜0，那么 f（x0）是极小值 D、如果在 x0附近的左侧 f′（x）＜0，右侧 f′（x）＞0，那么 f（x0）是极大值 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：阅读型． 分析：由在 x=0处左侧的导数小于零，在 x=0处右侧的导数大于零，根据极值的 定义可知在 x=0处函数取极小值． 解答：解：当 x＞0时，f′（x）＞0，f（x）为减函数， 当 x＜0时，f′（x）＜0，f（x）为增函数， 根据极值的定义可知函数 f（x）=|x|，在 x=0处函数取极小值，故选 C 点评：本小题主要考查函数的导数的极值，属于基础题． 39、 “函数 f（x）在 x0处取得极值”是“f′（x0）=0“的（）A、充分不必 B、必要不充分 要条件 条件 C、充要条件 D、既非充分又 非必要条件 考点：函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：证明题． 分析：由极值的定义知，函数在某点处有极值，则此处导数必为零，若导数为0 时，此点左右两边的导数符号可能相同，故不一定是极值，由此可以得出结论， 极值点处导数比较0，导数为0处函数值不一定是极值． 解答：解：对于 f（x）=x3，f&#39;（x）=3x2，f&#39;（0）=0， 不能推出 f（x）在 x=0取极值， 故导数为0时不一定取到极值， 而对于任意的函数， 当函数在某点处取到极值时， 此点处的导数一定为0． 故应选 C． 点评：本题的考点是函数取得极值的条件，考查极值取到的条件，即对极值定义 的正确理解．对概念的学习一定要掌握住其规范的逻辑结构，理顺其关系． 40、 函数 y=f（x）在一点的导数值为0是函数 y=f（x）在这点取极值的（ A、充分条件 B、必要条 件 充要条 C、必要非充 D、 分条件 件 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：综合题． 分析：根据导函数的根为 x0，且在 x0附近的左侧 f&#39;（x）＞0，右侧 f&#39;（x）＜0， 那么 f（x0）是极大值； 导函数的根为 x0，且在 x0附近的左侧 f&#39;（x）＜0，右侧 f&#39;（x）＞0，那么 f（x0） 是极小值，判断出选项． 解答：解：导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点故 A 错 如果在 x0附近的左侧 f&#39;（x）＞0，右侧 f&#39;（x）＜0，则函数先增后减，则 f（x0） 是极大值 如果在 x0附近的左侧 f&#39;（x）＜0，右侧 f&#39;（x）＞0，则函数先减后增，则 f（x0） 是极小值 故选 B 点评： 本题考查函数极值点处的导数为0， 且极值点左右两边的导函数符号相反．）41、 已知 f（x）为 R 上的可导函数，且 f（x）＜f&#39;（x）和 f（x）＞0对于 x∈R 恒成立，则有（ ）A 、 f （ 2 ） ＜ e2f （ 0 ） ， f （ 2 0 1 0 ） ＞ e2010f （ 0 ） B 、 f （ 2 ） ＞ e2f（ 0 ） ， f （ 2 0 1 0 ） ＞ e2010f （ 0 ） C 、 f （ 2 ） ＜ e2f （ 0 ） ， f （ 2 0 1 0 ）＜ e2010f （ 0 ） D 、 f （ 2 ） ＜ e2f （ 0 ） ， f （ 2 0 1 0 ） ＜ e2010f （ 0 ）考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性． 专题：综合题． 分析：先构造函数 y= f(x)ex，对该函数进行求导，化简变形可判定导函数的符号，再判断增减性，从而得到答案． 解答：解：∵f（x）＜f&#39;（x） 从而 f&#39;（x）-f（x）＞0 从而 ex[f′(x)-f(x)]e2x＞0 从而 (f(x)ex)′＞0 从而函数 y= f(x)ex 单调递增，故 x=2时函数的值大于 x=0时函数的值， 即 f(2)e2＞f(0)所以 f（2）＞e2f（0） ，f（2010）＞e2010f（0） ． 故选 B． 点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．42、 设 x=1与 x=2是函数 f（x）=alnx+bx2+x 的两个极值点．则常数 a=（ A、 -23 B、-1 C、1 D、0 ）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：已知函数 f（x）=alnx+bx2+x，求其导数 f′（x） ，因为 x=1与 x=2是函数 f（x）=alnx+bx2+x 的两个极值点，可得 f′（1）=f′（2）=0，从而联立方程求出 a 的值． 解答：解：∵函数 f（x）=alnx+bx2+x， ∴f′（x）= ax+2bx+1， ∵x=1与 x=2是函数 f（x）=alnx+bx2+x 的两个极值点， ∴f′（1）=f′（2）=0， ∴a+2b+1=0…① a2+4b+1=0…② 联立方程①②得 a=- 23，b=- 16， 故选 A． 点评：此题考查函数的导数与极值的关系，是一道比较简单的题，解题的关键是会联立方程并正确求解二元一次方程．43、 函数 y=f（x）在一点的导数值为0是函数 y=f（x）在这点取极值的（ A、充分条件 C、必要非充分条件 B、必要条件 D、充要条件 ）考点：函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：证明题． 分析：由极值的定义知，函数在某点处有极值，则此处导数必为零，若导数为0时，此点左右两边的导数符号可能相同，故不一定是极值，由此可以得出结论， 极值点处导数比较0，导数为0处函数值不一定是极值． 解答：解：对于 f（x）=x3，f&#39;（x）=3x2，f&#39;（0）=0， 不能推出 f（x）在 x=0取极值， 故导数为0时不一定取到极值， 而对于任意的函数， 当函数在某点处取到极值时， 此点处的导数一定为0． 故应选 C．点评：本题的考点是函数取得极值的条件，考查极值取到的条件，即对极值定义的正确理解．对概念的学习一定要掌握住其规范的逻辑结构，理顺其关系．44、 下列结论中正确的是（ A 、 导 数 为 零 的 点 一 定 是 极 值 点 B 、 如 果 在 x0）附 近 的 左 侧 f ′ （ x ） ＞ 0 ， 右 侧 f ′ （x ） ＜ 0 ， 那 么 f （ x0） 是 极 大 值 C 、 如 果 在 x0附 近 的 左 侧 f ′ （ x ） ＞ 0 ， 右 侧 f ′ （ x ） ＜0 ， 那 么 f （ x0） 是 极 小 值 D 、 如 果 在 x0附 近 的 左 侧 f ′ （ x ） ＜ 0 ， 右 侧 f ′ （ x ） ＞ 0 ， 那么 f （ x0） 是 极 大 值考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：综合题． 分析：根据导函数的根为 x0，且在 x0附近的左侧 f&#39;（x）＞0，右侧 f&#39;（x）＜0，那么 f（x0）是极大值； 导函数的根为 x0，且在 x0附近的左侧 f&#39;（x）＜0，右侧 f&#39;（x）＞0，那么 f（x0）是极小值，判断出选项． 解答：解：导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点故 A 错 如果在 x0附近的左侧 f&#39;（x）＞0，右侧 f&#39;（x）＜0，则函数先增后减，则 f（x0）是极大值 如果在 x0附近的左侧 f&#39;（x）＜0，右侧 f&#39;（x）＞0，则函数先减后增，则 f（x0）是极小值 故选 B 点评：本题考查函数极值点处的导数为0，且极值点左右两边的导函数符号相反．45、 函数 f（x）的导函数为 f/（x） ，若（x+1）?f′（x）＞0，则下列结论中正确的一项为（ A 、 x = 1 一 定 是 函 数 f （ x ） 的 极 大 值 点 B ）、 x = 1 一 定 是 函 数 f （ x ） 的 极 小 值 点 C 、 x = 1 不 是 函 数 f （ x ） 的 极 值 点 D 、 x = 1 不一 定 是 函 数 f （ x ） 的 极 值 点考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：操作型；分类讨论． 分析：由（x+1）?f/（x）＞0，根据积商符号法则，分 x＞-1，x＜-1，x=-1进行讨论，确定 f′（x）＞0或 f′（x）＜0，确定函数的单调性． 解答：解：∵（x+1）?f/（x）＞0， ∴x＞-1时，f′（x）＞0，函数 f（x）在区间（-1，+∞）单调递增， x＜-1时，f′（x）＜0，函数 f（x）在区间（-∞，-1）单调递减， 但是函数 f（x）在 x=-1处不一定可导，如 f（x）=|x+1|= {x+1，x＞-10x=-1-x-1，x＜-1， x=-1不是函数 f（x）的极值点． 故选 D． 点评：考查 x=x0是极值点是 f′x0）=0的充分非必要条件，在判断 x=-1两侧导数的符号，采取了分类讨论的数学思想，属基础题．46、 若 f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则 a 的取值范围是（ A、-a＜a＜2 B、a＞2或 a＜-1 C、a≥2或 a≤-1 ）D、a＞1或 a＜-2考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：常规题型． 分析：求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到△ ＞0；解出 a 的范围． 解答：解：f′（x）=3x2+4ax+3（a+2） ∵f（x）有极大值和极小值 ∴△=16a2-36（a+2）＞0 解得 a＞2或 a＜-1 故选 B 点评：本题考查函数的极值点是导函数的根，且根左右两边的导函数符号需不同．47、 已知函数 f（x）=|x|，在 x=0处函数极值的情况是（ A、没有极值 C、有极小值 B、有极大值 D、极值情况不能确定 ）考点：函数在某点取得极值的条件．专题：阅读型． 分析：由在 x=0处左侧的导数小于零，在 x=0处右侧的导数大于零，根据极值的定义可知在 x=0处函数取极小值． 解答：解：当 x＞0时，f′（x）＞0，f（x）为减函数， 当 x＜0时，f′（x）＜0，f（x）为增函数， 根据极值的定义可知函数 f（x）=|x|，在 x=0处函数取极小值，故选 C 点评：本小题主要考查函数的导数的极值，属于基础题．48、 “函数 f（x）在 x0处取得极值”是“f′（x0）=0“的（ A、充分不必要条件 C、充要条件 B、必要不充分条件 D、既非充分又非必要条件 ）考点：函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：常规题型． 分析：根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件若“f′（x0）=0”，还应在导数为0的左右附近改变符号时，“函数 f（x）在 x0处取得极值”．故可判断． 解答：解：若“函数 f（x）在 x0处取得极值”，根据极值的定义可知“f′（x0）=0”成立，反之，“f′（x0）=0”，还应在导数为0的左右附近改变符号时，“函数 f（x） 在 x0处取得极值”． 故选 A． 点评：本题以函数为载体，考查极值的定义，属于基础题．49、 函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值10，则（ A、a=-11，b=4 B、a=-4，b=11 ） D、a=4，b=-11C、a=11，b=-4考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题；方程思想． 分析：根据函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值10，可知 f′（1）=0和 f（1）=10，对函数 f（x）求导，解方程组 {f′(1)=0f(1)=10，注意验证，可求得答案． 解答：解：由 f（x）=x3+ax2+bx+a2， 得 f′（x）=3x2+2ax+b， {f′(1)=0f(1)=10，即 {2a+b+3=0a2+a+b+1=10， 解得 {a=4b=-11或 {a=-3b=3（经检验应舍去） ， 故选 D． 点评：考查利用导数研究函数的极值问题，注意 f′（x0）=0是 x=x0是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验，这是易错点，属基础题．50、 若函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在 R 上无极值，则必有（ A、b2-3ac＞0 B、a2-3bc＞0 C、b2-3ac≤0 ） D、a2-3bc＜0考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在 R 上无极值，则其导数值非正或非负，由于其导数为开口向上的二次函数，只须导函数相应二次方程的判别式非 正即可即可得到函数在 R 上无极值的条件． 解答：解：由已知 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0） 其导函数为 f&#39;（x）=3ax2+2bx+c，∵数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在 R 上无极值 ∴f&#39;（x）=3ax2+2bx+c≥0恒成立 ∴4b2-12ac≤0，即 b2-3ac≤0 即函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在 R 上无极值 的条件是 b2-3ac≤0 故选 C． 点评：本题的考点是函数在某点取得极值的条件，考查函数没有极值时导数的值域的数字特征，并将这一关系转化为相应的不等式．本题在求解时用到了等价 转化的思想．转化是数学中解决问题的常用技巧，做完此题后要好好体会其方式．51 函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值10，则（ A、a=-11，b=4 B、a=-4，b=11 ） C、a=11，b=-4 D、a=4，b=-11考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题；方程思想． 分析：根据函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值10，可知 f′（1）=0和 f（1）=10，对函数 f（x）求导，解方程组 {f′(1)=0f(1)=10，注意验证，可求得答案． 解答：解：由 f（x）=x3+ax2+bx+a2， 得 f′（x）=3x2+2ax+b， {f′(1)=0f(1)=10，即 {2a+b+3=0a2+a+b+1=10， 解得 {a=4b=-11或 {a=-3b=3（经检验应舍去） ， 故选 D． 点评：考查利用导数研究函数的极值问题，注意 f′（x0）=0是 x=x0是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验，这是易错点，属基础题．52函数 f（x）=x3-3bx+3b 在（0，1）内存在极小值，则下列关系成立的是（ A、b＞0 B、0＜b＜1 C、b＜1）D、0＜b＜ 12考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：先对函数 f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到 b 的范围． 解答：解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上． 令 f&#39;（x）=3x2-3b=0，得 x2=b，显然 b＞0， ∴x=± b． 又∵x∈（0，1） ，∴0＜ b＜1．∴0＜b＜1． 故选 B． 点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题，属于基础题． 53函数 f（x）= 13x3-x2+ax-1有极值点，则 a 的取值范围是（ A、 （-∞，0） B、 （-∞，0] C、 （-∞，1） ） D、 （-∞，1]考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：函数在极值点处的导数值异号，故 f（x）的导数 f′（x）=x2-2x+a=0 有两个实数根，△ =4-4a＞0． 解答：解：∵函数 f（x）= 13x3-x2+ax-1有极值点， ∴f（x）的导数 f′（x）=x2-2x+a=0有两个实数根，∴△=4-4a＞0，∴a＜1， 故选 C．54. 函数 f（x）=x3+ax2-3x-9，已知 f（x）的两个极值点为 x1，x2，则 x1?x2=（ A、9 B、-9 C、1 D、-1 ）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析： 本题的函数为三次多项式函数， 若三次多项式函数有两个极值点， 说明它的导函数有两个不相等的零点， 转化为二次函数的根求解， 用韦达定理可得 x1?x2=-1 解答：解：由 f（x）=x3+ax2-3x-9得， f/（x）=3x2+2ax-3 f/（x）=0的两根为 x1，x2就是函数的两个极值点 根据韦达定理，得 {x1+x2=-2a3x1?x2=-1 故选 D 点评：本题主要考查利用导数工具讨论函数的单调性，从而得到函数的极值点．一元二次方程根与系数的关系是解决本题的又一个亮点．．55 若函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在 R 上无极值，则必有（ A、b2-3ac＞0 B、a2-3bc＞0 ） D、a2-3bc＜0C、b2-3ac≤0考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在 R 上无极值，则其导数值非正或非负，由于其导数为开口向上的二次函数，只须导函数相应二次方程的判别式非 正即可即可得到函数在 R 上无极值的条件． 解答：解：由已知 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0） 其导函数为 f&#39;（x）=3ax2+2bx+c， ∵数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在 R 上无极值 ∴f&#39;（x）=3ax2+2bx+c≥0恒成立 ∴4b2-12ac≤0，即 b2-3ac≤0 即函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在 R 上无极值 的条件是 b2-3ac≤0 故选 C． 点评：本题的考点是函数在某点取得极值的条件，考查函数没有极值时导数的56 设三次函数 f（x）的导函数为 f′（x） ，函数 y=x?f′（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（ A 、 f （ x ） 的 ）极 大 值 为f ( 3 ) ， 极 小 值 为f ( 3 ) B 、 f （ x ） 的 极 大 值 为f ( 3 ) ， 极 小 值 为f( 3 ) C 、 f （ x ） 的 极 大 值 为 f （ 3 ） ， 极 小 值 为 f （ 3 ） D 、 f （ x ） 的 极 大 值 为 f （ 3 ） ，极 小 值 为 f （ 3 ）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：数形结合． 分析：观察图象知，x＜-3时，f′（x）＜0．-3＜x＜0时，f′（x）＞0．由此知极小值为 f（-3） ．0＜x＜3时，yf′（x）＞0．x＞3时，f′（x）＜0．由此知极大值为 f（3） ． 解答：解：观察图象知，x＜-3时，y=x?f′（x）＞0， ∴f′（x）＜0． -3＜x＜0时，y=x?f′（x）＜0， ∴f′（x）＞0． 由此知极小值为 f（-3） ． 0＜x＜3时，y=x?f′（x）＞0， ∴f′（x）＞0． x＞3时，y=x?f′（x）＜0， ∴f′（x）＜0． 由此知极大值为 f（3） ． 故选 D． 点评：本题考查极值的性质和应用，解题时要仔细图象，注意数形结合思想的合理运用．57 函数 f（x）=x3-ax2-bx+a2在 x=1处有极值10，则点（a，b）为（ A、 （-4，11）或（3，-3） C、 （4，-5） B、 （4，-5）或（-3，9） D、 （-4，11） ）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：先对 f（x）求导，然后由题设在 x=1时有极值10可得 f′（1）=0，f（1）=10，解之即可求出 a 和 b 的值．注意对所得其情况进行验证． 解答：解：对函数 f（x）=x3-ax2-bx+a2取对数，得，f′（x）=3x2-2ax-b， ∵函数 f（x）在 x=1处有极值10，∴ {f′(1)=0f(1)=10， 即 {3-2a-b=01-a-b+a2=10，解得， {a=3b=-3，或 {a=-4b=11 又∵当 {a=3b=-3时，f（x）=x3-3x2+3x+9 f′（x）=3x2-6x+3=3（x-2）2，令 f′（x）=0，得 x=2， 当 x＞2时，f′（x）＞0，当 x＜2时，f′（x）＞0， ∴函数不存在极值，∴点（a，b）为（-4，11） 故选 D 点评：本题主要考查函数极值存在的条件，利用函数的极值存在的条件求参数的值，属于中档题．58函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，且 f（x）在 x=x0与 x=2处取得极值， 则 f（1）+f（-1）的值一定（ A、等于0 C、小于0 B、大于0 D、小于或等于0 ）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：函数思想． 分析：由函数图象可得三方面信息，①函数 f（x）的一个零点为0，即 f（0）=0，②函数的极值点有两个，即方程 f′（x）=0有两个根 x0，2，且两根之和小于 零，③函数 f（x）在（x0，2）上为减函数，即不等式 f′（x）＜0的解集为（x0，2） ，分别将这三方面信息反映到系数 abc 上，即可判断 f（1）+f（-1）=（a+b+c） +（-a+b-c）=2b 的符号 解答：解：由函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d 的图象可以看出，①：f（0）=0，∴d=0 ②：方程 f′（x）=3ax2+2bx+c=0有一正一负根，且两根之和小于零，即 c3a＜0，且 -2b6a＜0，∴ac＜0，ab＞0 ③函数 f（x）在（x0，2）上为减函数，∴不等式 f′（x）=3ax2+2bx+c＜0的解集为（x0，2） ，∴a＞0 ∴b＞0 ∵f（1）+f（-1）=（a+b+c）+（-a+b-c）=2b ∴f（1）+f（-1）的值一定大于0 故选 B 点评：本题考察了函数方程不等式的思想，考察了导数在函数极值与单调性中的应用，考察了利用图象分析函数性质的能力59 函数 f（x）=x3-3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，则 f（x）的减区间是（ A、 （-1，1） B、 （0，1） C、 （-1，0） ）D、 （-2，-1）考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性． 专题：计算题． 分析：根据函数 f（x）=x3-3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，求导 f′（x）=0，求得该函数的极值点 x1，x2，并判断是极大值点 x1，还是极小值点 x2， 代入 f（x1）=6，f（x2）=2，解方程组可求得 a，b 的值，令导数 f′（x）＜0，即可解得 f（x）的减区间． 解答：解： ：令 f′（x）=3x2-3a=0，得 x=± a， ∵函数 f（x）=x3-3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2， ∴f（ a）=2，f（- a）=6， 得 a=1，b=4， ∴f′（x）=3x2-3＜0，解得-1＜x＜1 ∴f（x）的减区间是（-1，1） ． 故选 A． 点评：考查利用导数研究函数的单调性和函数在某点取得极值的条件，注意 f′（x0）=0是 x=x0是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验，这是 易错点，属基础题．60 若函数 f（x）=x+ 4x 在点 P 处取得极值，则 P 点坐标为（ A、 （2，4） B、 （2，4）（-2，-4） 、 ） D、 （4，2）（-4，-2） 、C、 （4，2）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号，得到极值点，从而求出极值点坐标即可． 解答：解：因为 f&#39;（x）=1- 4x2=0?x=± 2． 又∵x≠0， ∴x＜-2或 x＞2时，f&#39;（x）＞0?f（x）为增函数；-2＜x＜0或0＜x＜2时，f&#39;（x）＜0，的 f（x）为减函数． 故± 2是函数的极值点． 所以点 P 的坐标为（2，4）（-2，-4） 、 故选 B． 点评：本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左 正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．61函数 f（x）=2x3-3x2+a 的极大值为6，那么 a 的值是（ A、5 B、0 C、6 ） D、1考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：令 f′（x）=0，可得 x=0 或 x=6，根据导数在 x=0和 x=6两侧的符号，判断故 f（0）为极大值，从而得到 f（0）=a=6． 解答：解：∵函数 f（x）=2x3-3x2+a，导数 f′（x）=6x2-6x，令 f′（x）=0，可得 x=0 或 x=1， 导数在 x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故 f（0）为极大值．f（0）=a=6． 导数在 x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故 f（1）为极小值． 故选：C． 点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，判断 f（0）为极大值，f（6）为极小值，是解题的关键．62函数 f（x）=3x -5x -9的极值点的个数 （5 3） D、3A、0B、1C、2考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：由函数的解析式，我们易求出函数的导函数的解析式，令导函数为0，则我们可将函数的定义域分为若干个区间，讨论在每个区间上导函数值的符号，结 合函数在某点取得极值的条件，即可得到答案． 解答：解：∵函数 f（x）=3x5-5x3-9 ∴f&#39;（x）=15x4-15x2 令 f&#39;（x）=0 则 x=-1，x=0或 x=1 又∵当 x∈（-∞，-1）时，f&#39;（x）＞0； 当 x∈（-1，0）时，f&#39;（x）＜0； 当 x∈（0，1）时，f&#39;（x）＜0； 当 x∈（1，+∞）时，f&#39;（x）＞0 故函数 f（x）=3x5-5x3-9的极值点的个数有2个 故选 C 点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中求出导函数值为零时的 x 值，进而将函数的定义域分成若干个区间，是解答本题的关键．63A 、 ff（x）为定义在区间（-2，2）上的连续函数，它的导函数 f&#39;（x）的图象如图，则下列结论正确的是（）（ x ） 在 区 间 （ 0 ， 2 ） 上 存 在 极 大 值 B 、 f （ x ） 在 区 间 [ 1 ， 1 ] 上 存 在 反 函 数 C 、 f （ x ）在 x = 0 处 的 取 得 最 小 值 D 、 以 上 结 论 都 不 对考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：数形结合． 分析：利用导数与极值，最值，单调性的关系，当导数等于0时，函数有极值，且极值点左侧导数大于0．右侧导数小于0，为极大值，左侧导数小于0，右侧导 数大于0为极小值，当导数大于0时，为增函数，导数小于0时，为减函数，只要根据导函数的图象，判断导函数的符号，就可判断那一个选项正确． 解答：解：∵f′（x）的图象在区间（0，2）上与 x 轴没有交点，∴f（x）在区间（0，2）上不存在极值，A 错误． ：∵f′（x）的图象在区间[-1，1]上有的在 x 轴下方，有的在 x 轴上方， ，∴f（x）在区间[-1，1]上不是单调函数，也就不存在反函数，B 错误 f′（x）的图象过原点，且当 x＜0时，图象位于 x 轴下方，x＞0时，图象位于 x 轴上方，∴f（x）在 x=0处的取得极小值，又∵函数在整个定义域上只有一个极 小值，∴此极小值为最小值，C 正确 故选 C 点评：本题主要考查了函数的导数与极值，最值，单调性点之间的关系，考查了学生的识图能力与转化的能力．64已知 α，β 是三次函数 f(x)=13x3+12ax2+2bx 的两个极值点，且 α∈（0，1） ，β∈（1，2） ，则 b-2a-1的取值范围是（A、 (14，1) B、 (12，1) C、 (-12，14) D、 (-12，12)）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：由已知中 α，β 是三次函数 f(x)=13x3+12ax2+2bx 的两个极值点，且 α∈（0，1） ，β∈（1，2） ，我们易得 f′（x）=x2+ax+2b 的两个零点分别在区间（0， 1）和（1，2）上，由零点存在定理，我们易构造关于 a，b 的不等式组，将问题转化为一个线性规划问题，分析 b-2a-1的几何意义，即可根据数形结合求出答 案． 解答：解：∵函数 f(x)=13x3+12ax2+2bx ∴f′（x）=x2+ax+2b 又∵α∈（0，1） ，β∈（1，2） ， ∴ {f′(0)=2b＞0f′(1)=1+a+2b＜0f′(2)=4+2a+2b＞0 其对应的平面区域如下图所示：由图可得：当 x=-3，y=1时， b-2a-1取最小值 14； 当 x=-1，y=0时， b-2a-1取最大值1； 故选 A 点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中根据函数在某点取得极值的条件，将问题转化为函数的零点问题，再根据零点存在定理，将问题 转化为线性规划问题是解答本题的关键．65函数 f（x）=x -ax -bx+a 在 x=1处有极值10，则点（a，b）为（3 2 2）A、 （3，-3） C、 （3，-3）或（-4，11）B、 （-4，11） D、不存在考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：首先对 f（x）求导，然后由题设在 x=1时有极值10可得 {f′(1)=0f(1)=10解之即可求出 a 和 b 的值． 解答：解：对函数 f（x）求导得 f′（x）=3x2-2ax-b， 又∵在 x=1时 f（x）有极值10， ∴ {f′(1)=3-2a-b=0f(1)=1-a-b+a2=10， 解得 {a=-4b=11或 {a=3b=-3， 验证知，当 a=3，b=-3时，在 x=1无极值， 故选 B． 点评：掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于中档题．66已知函数 f（x）的导函数 f′（x）=a（x+1） ，若 f（x）在 x=a 处取到极大值，则 a 的取值范围是（ （x-a）A、 （-1，0） B、 （2，+∞） C、 （0，1） D、 （-∞，-3））考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：综合题；分类讨论；转化思想． 分析：由函数（x）的导函数 f′（x）=a（x+1） （x-a） ，且 f（x）在 x=a 处取到极大值，在 x=a 的左右两边左增右减，即左侧导数为正，右侧导数为负，将其转 化为不等式，解不等式求 a． 解答：解：由 f（x）在 x=a 处取得极大值可知，当 x＜a 时，f′（x）＞0，当 x＞a 时，f′（x）＜0， 即存在 x∈（b，a） ，使得 a（x+1） （x-a）＞0，且存在 x∈（a，c） ，使得 a（x+1） （x-a）＜0 若 a＞0时，a（x+1） （x-a）＞0的解集为（a，+∞）或者（-∞，-1） ，故不合题意 若 a＜0时，故有（x+1） （x-a）＜0， 当 a＞-1，其解集为（-1，a） ，此时 b=-1，且（x+1） （x-a）＞0，其解集为（a，+∞）或者（-∞，-1） ，此时 c∈R，故-1＜a＜0符合题意 若 a＜-1，显然不合题意， 综上讨论知，符合条件的 a 的取值范围是（-1，0） 故应选 A．点评：本题的考点是函数在某点取得极值的条件，考查知道函数单调性与极值，由极值判断方法将条件转化为不等式求解出参数了值范围的能力，本题思维量 与运算量都比较大，综合性强，需要分类讨论，综合判断，请多分析此题的逻辑结构．67则 f（1）+f（-1）的值一定（ A、等于0 C、小于0 B、大于0 D、小于或等于0 ）函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，且 f（x）在 x=x0与 x=2处取得极值，考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：函数思想． 分析：由函数图象可得三方面信息，①函数 f（x）的一个零点为0，即 f（0）=0，②函数的极值点有两个，即方程 f′（x）=0有两个根 x0，2，且两根之和小于 零，③函数 f（x）在（x0，2）上为减函数，即不等式 f′（x）＜0的解集为（x0，2） ，分别将这三方面信息反映到系数 abc 上，即可判断 f（1）+f（-1）=（a+b+c） +（-a+b-c）=2b 的符号 解答：解：由函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d 的图象可以看出，①：f（0）=0，∴d=0 ②：方程 f′（x）=3ax2+2bx+c=0有一正一负根，且两根之和小于零，即 c3a＜0，且 -2b6a＜0，∴ac＜0，ab＞0 ③函数 f（x）在（x0，2）上为减函数，∴不等式 f′（x）=3ax2+2bx+c＜0的解集为（x0，2） ，∴a＞0 ∴b＞0 ∵f（1）+f（-1）=（a+b+c）+（-a+b-c）=2b ∴f（1）+f（-1）的值一定大于0 故选 B 点评：本题考察了函数方程不等式的思想，考察了导数在函数极值与单调性中的应用，考察了利用图象分析函数性质的能力68函数 f（x）=x -ax -bx+a 在 x=1处有极值10，则点（a，b）为（3 2 2）A、 （-4，11）或（3，-3） C、 （4，-5）B、 （4，-5）或（-3，9） D、 （-4，11）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：先对 f（x）求导，然后由题设在 x=1时有极值10可得 f′（1）=0，f（1）=10，解之即可求出 a 和 b 的值．注意对所得其情况进行验证． 解答：解：对函数 f（x）=x3-ax2-bx+a2取对数，得，f′（x）=3x2-2ax-b， ∵函数 f（x）在 x=1处有极值10，∴ {f′(1)=0f(1)=10， 即 {3-2a-b=01-a-b+a2=10，解得， {a=3b=-3，或 {a=-4b=11 又∵当 {a=3b=-3时，f（x）=x3-3x2+3x+9 f′（x）=3x2-6x+3=3（x-2）2，令 f′（x）=0，得 x=2， 当 x＞2时，f′（x）＞0，当 x＜2时，f′（x）＞0， ∴函数不存在极值，∴点（a，b）为（-4，11） 故选 D 点评：本题主要考查函数极值存在的条件，利用函数的极值存在的条件求参数的值，属于中档题．69函数 f（x）=x -3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，则 f（x）的减区间是（3）A、 （-1，1）B、 （0，1）C、 （-1，0）D、 （-2，-1）考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性． 专题：计算题． 分析：根据函数 f（x）=x3-3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，求导 f′（x）=0，求得该函数的极值点 x1，x2，并判断是极大值点 x1，还是极小值点 x2， 代入 f（x1）=6，f（x2）=2，解方程组可求得 a，b 的值，令导数 f′（x）＜0，即可解得 f（x）的减区间． 解答：解： ：令 f′（x）=3x2-3a=0，得 x=± a， ∵函数 f（x）=x3-3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2， ∴f（ a）=2，f（- a）=6， 得 a=1，b=4， ∴f′（x）=3x2-3＜0，解得-1＜x＜1 ∴f（x）的减区间是（-1，1） ． 故选 A． 点评：考查利用导数研究函数的单调性和函数在某点取得极值的条件，注意 f′（x0）=0是 x=x0是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验，这是 易错点，属基础题．70若函数 f（x）=x+ 4x 在点 P 处取得极值，则 P 点坐标为（A、 （2，4） B、 （2，4）（-2，-4） 、） D、 （4，2）（-4，-2） 、C、 （4，2）考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题． 分析：先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号，得到极值点，从而求出极值点坐标即可． 解答：解：因为 f&#39;（x）=1- 4x2=0?x=± 2． 又∵x≠0， ∴x＜-2或 x＞2时，f&#39;（x）＞0?f（x）为增函数； -2＜x＜0或0＜x＜2时，f&#39;（x）＜0，的 f（x）为减函数． 故± 2是函数的极值点． 所以点 P 的坐标为（2，4）（-2，-4） 、 故选 B． 点评：本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左 正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．71已知函数 f（x）的导函数 f′（x）=a（x+1） ，若 f（x）在 x=a 处取到极大值，则 a 的取值范围是（ （x-a）A、 （-1，0） B、 （2，+∞） C、 （0，1） D、 （-∞，-3））考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：综合题；分类讨论；转化思想． 分析：由函数（x）的导函数 f′（x）=a（x+1） （x-a） ，且 f（x）在 x=a 处取到极大值，在 x=a 的左右两边左增右减，即左侧导数为正，右侧导数为负，将其转 化为不等式，解不等式求 a． 解答：解：由 f（x）在 x=a 处取得极大值可知，当 x＜a 时，f′（x）＞0，当 x＞a 时，f′（x）＜0， 即存在 x∈（b，a） ，使得 a（x+1） （x-a）＞0，且存在 x∈（a，c） ，使得 a（x+1） （x-a）＜0 若 a＞0时，a（x+1） （x-a）＞0的解集为（a，+∞）或者（-∞，-1） ，故不合题意 若 a＜0时，故有（x+1） （x-a）＜0， 当 a＞-1，其解集为（-1，a） ，此时 b=-1，且（x+1） （x-a）＞0，其解集为（a，+∞）或者（