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关于差商和Newton插值公式教学的一些体会
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牛顿迭代法
（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是在17世纪提出的一种在域和域上近似求解方程的方法。
牛顿迭代法产生背景
牛顿（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是在17世纪提出的一种在域和域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。
牛顿迭代法牛顿迭代公式
的根，选取
作为r的初始近似值，过点
的切线L，L的方程为
，求出L与x轴交点的横坐标
，称x1为r的一次近似值。过点
的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标
为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，
次近似值，上式称为牛顿公式。
用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程
线性化的一种近似方法。把
的某邻域内展开成泰勒级数
，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即
，以此作为非线性方程
的近似方程，若
，则其解为
， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：
已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。[1]
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。
牛顿迭代法示例
牛顿迭代法欧几里德算法
最经典的迭代算法是，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公约数
同理，假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数。
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为：
int&Gcd_2(int&a,int&b)/*欧几里德算法求a,b的最大公约数*/
if&(a&=0&||&b&=0)/*预防错误*/
while&(b&&&0)/*b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值*/
temp&=&a&%&b;/*迭代关系式*/
从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b；根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b = temp；直到迭代过程结束（余数为0）。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。
牛顿迭代法斐波那契数列
还有一个很典型的例子是斐波那契（Fibonacci）数列。为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib⑴=0; fib⑵=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n&2时）。
在n&2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。
int&Fib(int&n)&//斐波那契（Fibonacci）数列
if&(n&&&1）/*预防错误*/
if&(n&==&1&||&n&==&2)/*特殊值，无需迭代*/
int&f1&=&1,f2&=&1,/*迭代变量*/
for(i=3;&i&=n;&++i)/*用i的值来限制迭代的次数*/
fn&=&f1&+&f2;&/*迭代关系式*/
f1&=&f2;//f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面
牛顿迭代法C语言代码
double&func(double&x)&//函数
&&&&return&x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0;
double&func1(double&x)&//导函数
&&&&return&4*x*x*x-9*x*x+3*x;
int&Newton(double&*x,double&precision,int&maxcyc)&//迭代次数
&&&&double&x1,x0;
&&&&int&k;
&&&&x0=*x;
&&&&for(k=0;k&k++)
&&&&&&&&if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0
&&&&&&&&&&&&printf(&迭代过程中导数为0!\n&);
&&&&&&&&&&&&return&0;
&&&&&&&&x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算
&&&&&&&&if(fabs(x1-x0)&precision&||&fabs(func(x1))&precision）//达到结束条件
&&&&&&&&&&&&*x=x1;&//返回结果
&&&&&&&&&&&&return&1;
&&&&&&&&else&//未达到结束条件
&&&&&&&&&&&&x0=x1;&//准备下一次迭代
&&&&printf(&迭代次数超过预期！\n&);&//迭代次数达到，仍没有达到精度
&&&&return&0;
int&main()
&&&&double&x,
&&&&printf(&输入初始迭代值x0:&);
&&&&scanf(&%lf&,&x);
&&&&printf(&输入最大迭代次数：&);
&&&&scanf(&%d&,&maxcyc);
&&&&printf(&迭代要求的精度：&);
&&&&scanf(&%lf&,&precision);
&&&&if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1）&//若函数返回值为1
&&&&&&&&printf(&该值附近的根为：%lf\n&,x);
&&&&else&//若函数返回值为0
&&&&&&&&printf(&迭代失败！\n&);
&&&&return&0;
牛顿迭代法C++代码
//此函数是用来求一元3次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的解
//比如&x^3-27=0，我们就可以输入1&0&0&-27，这样我们就可以得到一个解
#include&iostream&
#include&cmath&
using&namespace&
int&main()
double&diedai(double&a,double&b,double&c,double&d,double&x);
double&a,b,c,d;
double&x=10000.0;
cout&&"请依次输入方程四个系数：";
cin&&a&&b&&c&&d;
x=diedai(a,b,c,d,x);
double&diedai(double&a,double&b,double&c,double&d,double&x)
while(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)&0.000001)
x=x-(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)/(3*a*x*x+2*b*x+c);
可以得到一元3次方程3个解的程序(原创，超优化)：
#include&iostream&
#include&vector&
using&namespace&
vector&double&&v;//stl&vector链型数组
vector&double&&::iterator&//vector迭代器
double&a,b,c,d;
double&abs(double&y){&&&&while(y&0)&y=-y;&&&&return&y;}
double&f(double&x){&&&&return&a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;}
double&fd(double&x){&&&&return&3*a*x*x+2*b*x+c;}
bool&u;//用来判断是否重复
void&newton(int&a1,int&b1,int&c1,int&d1)
&&&&&for(x0=-00;x0++)//在一个大区域中逐个点用牛顿法，可找出大多数3次方程所有根&&&&
&&&&&{&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&double&x1=x0;&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&while(abs(f(x1))&0.001)&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&{&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&double&x=x1;&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&x1=x-f(x)/fd(x);&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&}&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&for(&it=v.begin();it!=v.end();it++)&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&{&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&if(abs((*it-x1))&0.01)&&{u=1;&}&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&}&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&if(u!=1&&x1&)&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&{&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&cout&&x1&&"&";&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&v.push_back(x1);//把已得到的解添加到vector，用于防止重复&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&}&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&u=0;&&&
int&main(){&&&&
&&&&&cin&&a&&b&&c&&d;&&&&&
&&&&&newton(a,b,c,d);
牛顿迭代法matlab代码
牛顿迭代法定义函数
function y=f(x)
y=f(x）；%函数f(x）的表达式
function z=h(x)
z=h(x）；%函数h(x）的表达式
牛顿迭代法主程序
x=X;%迭代初值
i=0;%迭代次数计算
while i&= 100%迭代次数
x0=X-f(X)/h(X);%牛顿迭代格式
if abs(x0-X)&0.01；%收敛判断
else break
fprintf('\n%s%.4f\t%s%d'，'X='，X，'i='，i) %输出结果
牛顿迭代法Python代码
Python代码以实例展示求解f(x) = (x-3）**3，f(x) = 0 的根。
return (x-3）**3 ’''定义f(x) = (x-3）**3'''
def fd(x):
return 3*((x-3）**2） ’''定义f'(x) = 3*((x-3）**2）
def newtonMethod(n,assum):
print('A = ' + str(A) + ',B = ' + str(B) + ',time = ' + str(time))
if f(x) == 0.0:
return time,x
Next = x - A/B
print('Next x = '+ str(Next))
if A == f(Next): print('Meet f(x) = 0,x = ' + str(Next)) ’''设置迭代跳出条件，同时输出满足f(x) = 0的x值'''
returnnewtonMethod(n+1,Next)
newtonMethod(0,4.0) ’''设置从0开始计数，x0 = 4.0'''
．维基百科[引用日期]牛顿法；牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它；牛顿迭代法（Newton’smethod）又称为；f?x?的泰勒级数的前面几项来寻找方程f?x??；牛顿法的几何解释：；方程f?x??0的根x*可解释为曲线y?f?x?；设xk是根x*的某个近似值，过曲线y?f?x?上；2牛顿迭代公式：；（1）最速下降法：；以负梯度方向作为极小化算法的下降方向，也称为
牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。结合着matlab可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor展开，并将其极小化。牛顿法使用函数
f?x?的泰勒级数的前面几项来寻找方程f?x??0的根。牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f?x??0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
牛顿法的几何解释：
方程f?x??0的根x*可解释为曲线y?f?x?与x轴的焦点的横坐标。如下图：
设xk是根x*的某个近似值，过曲线y?f?x?上横坐标为xk的点Pk引切线，并将该切线与x轴的交点 的横坐标xk?1作为x*的新的近似值。鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
牛顿迭代公式：
（1）最速下降法：
以负梯度方向作为极小化算法的下降方向，也称为梯度法。
设函数f?x?在xk附近连续可微，且gk??f?xk??0。由泰勒展开式：
x?k?x??f???kx?
?x??f?kx???
可知，若记为x?xk??dk，则满足dkgk?0的方向dk是下降方向。当?取定后，TTdkgk的值越小，即?dkgk的值越大，函数下降的越快。由Cauchy-Schwartz不等
k，故当且仅当dk??gk时，dkgk最小，从而称?gk是最速下降
最速下降法的迭代格式为：
xk?1?xk??kg。k
（2）牛顿法：
设f?x?是二次可微实函数，xk?Rn，Hesse矩阵?2f?xk?正定。在xk附近用二次Taylor展开近似f，
f?xk?s??q?k??s??f?xk?s??f?xk?s?sT?2f?xk?s
s?x?xk，q?k??s?为f?x?的二次近似。将上式右边极小化，便得：
xk?1?xk????f?xk????f?xk?，
这就是牛顿法的迭代公式。
在这个公式里，步长因子?k?1。令Gk??2f?xk?,gk??f?xk?，则上式也可写成：
?1xk?1?xk?Gkgk
显然，牛顿法也可以看成在椭球范数?G下的最速下降法。
事实上，对于f?xk?s??f?xk??gks，
的解。该极小化问题依赖于所取的范数，当采取l2范sk是极小化问题 min
数时，sk??gk，所得方法为最速下降法。当采用椭球范数?Gk时，
sk??Gk?1gk，所得方法即为牛顿法。
对于正定二次函数，牛顿法一步即可达到最优解。而对于非二次函数，牛顿法并不能保证有限次迭代求得最优解，但由于目标函数在极小点附近近似于二次函数，故当初始点靠近极小点时，牛顿法的收敛速度一般是快的。
牛顿法收敛定理：
?f?x*??0，
设f?C?2?，如果?2f?x*?正定，且Hesse矩阵G?x?xk充分靠近x*，
满足Lipschitz条件，即存在??0，使得对所有i,j，有：
Gij?x??Gij?y???x?y，
其中Gij?x?是Hesse矩阵G?x?的?i,j?元素，则对一切k，牛顿迭代公式有意义，且所得序列?xk?收敛到x*，并且具有二阶收敛速度。
在实际求解中，当初始点远离最优解时，Hesse矩阵Gk不一定正定。牛顿方向不一定是下降方向，其收敛性不能保证。这说明恒取步长因子为1的牛顿法是
不合适的，应该在牛顿法中采用某种一维搜索来确定步长因子。但是应该强调，仅当步长因子??k?收敛到1时，牛顿法才是二阶收敛的。这时牛顿法的迭代公式为：
dk??Gk?1gk，xk?1?xk??kdk
其中?k是一维搜索产生的步长因子。
带步长因子的牛顿法
步1 选取初始数据，取初始点x0，终止误差??0，令k:?0。 步2 计算gk。若gk??，停止迭代，输出xk，否则进行步3. 步3 解方程组构造牛顿方向，即解Gkd??gk，求出dk。 步4 进行一维搜索，求?k使得
f?xk??kd?k?min?
令xk?1?xk??kdk,k:?k?1
牛顿法的计算步骤：
选定初始近似值x0，计算f0?f?x0?，f0'?f'?x0?。 步骤2
迭代一次，得新的近似值x1， 'f0
f1?f?x1?，f1'?f'?x1?。
如果x1满足???1，或f1??2，则终止迭代，以x1作为所求的根；否则转步骤4. 此处，?1,?2是允许误差，而：
?x1?x0,当x1?C时；?
,当x?C时，1?x1?
其中C是取绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取C=1。
如果迭代次数达到预先制定的次数N，或者f1'=0，则方法失败；否则以?x1,f1,f1'?代替?x0,f0,f0'?，转步骤2继续迭代。
4 牛顿法的改进
在优化问题的计算中，牛顿迭代法是非线性方程求根中一种很实用的方法，它
具有简单的迭代格式和较快的收敛速度，它二次收敛到单根，线性收敛到重根。数值计算中的经典
牛顿法面临的主要问题是Hesse矩阵Gk不正定，这时候二次模型不一定有极小点，甚至没有平稳点。当Gk不定时，二次模型函数是无界的。
Goldstein和Price（1967）提出当Gk非正定时，采用最速下降方向?gk。Goldfeld等人（1966年）提出了一种修正方法，即使牛顿方向偏向最速下降方向?gk。更明确的说，就是将模型的Hesse矩阵Gk改变成Gk?vkI，其中vk?0，使得Gk?vkI正定。
该算法的框架如下：
给出初始点x0?Rn。第k步迭代为：
（1）令Gk?Gk?vkI，其中：
vk?0，如果Gk正定；vk?0,否则。
（2）计算Gk的Cholesky分解，Gk?LkDkLTk。 （3）解Gkd??gk得dk。 （4）令xk?1?xk?dk
牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算f?xk?及f'?xk?，计算量较大且有时f'?xk?计算较困难，二是初始近似值x0只在根x*附近才能保证收敛，如x0给的不合适可能不收敛。
为克服这两个缺点，通常可以下述两个方法： （1）简化牛顿法，也称平行弦法。其迭代公式为，
xk?1?xk?Cf?xk?,C?0,1,?
迭代函数??x??x?Cf?x?。
（2）牛顿下山法：牛顿法的收敛性依赖于初始值x0的选取。如果x0偏离所求根
x*较远，则牛顿法可能发散。为防止迭代发散，对迭代过程再附加一项要求，即
具有单调性：
f?xk?1??f?xk?
满足这项要求的算法称下山法。将牛顿法与下山法结合起来使用，即在下山法保证函数值稳定下降的前提下，用牛顿法加快收敛速度。
公式如下：
与前一步的近似值，适当加权平均作为新的改进值 f'xk
xk?1??xk?1??1???xk，其中??0????称为下山因子，上式即为：
,?k?0,1,??，称为牛顿下山法 f'xk
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牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式,从而求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要.
设r是f(x)=0的根,选取x0作为r初始近似值,过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L,L的方程为y=f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近似值,过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线,并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f'(x1)称x2为r的二次近似值,重复以上过程,得r的近似值序列{Xn},其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn),称为r的n+1次近似值.上式称为牛顿迭代公式.
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