2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：；（1）sinycosxdy?cosysinxdx；（2）xydx?dy?0,y1?y1?xx?0?；3镭的衰变速度与它的现存量R成正比，有资料表明，；微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程；习题10-2一阶微分方程（二）；1.填空题；（1）设y是?dy?p(x)y?Q(x)的一个解；x?1xe是方程xy??y?x
2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）sinycosxdy?cosysinxdx,yx?0??
（2）xydx?dy?0,y1?y1?xx?0?1
3镭的衰变速度与它的现存量R成正比，有资料表明，镭经过1600年后，只余原始量R0的一半，试求镭的量R与时间t的函数关系
微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程
习题10-2一阶微分方程（二）
（1）设y是?dy?p(x)y?Q(x)的一个解，Y是对应的齐次方程的通解，则该方程的通解dx
x?1xe是方程xy??y?xex的一个特解，则其通解为x为___________ （2）y??
y??x?1xe?___________ x
2（3）微分方程xy??y?ylnx?0作变换____________可化为一阶线性微分方程
（4）(x?y)y??(x?y)?0的通解为______________
yxy（5）(1?2e)dx?2e(1?
2.求下列微分方程的通解：
(1)xy??y?x?3x?2 2x)dy?0的通解为______________ y
(2)(x?2xy?y)y??y?0
3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： 22
dy?ycotx?5ecosx,ydxx??
4.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：
（1）dy?(x?y)2 dx
(2)xy??y?y(lnx?lny)
5.已知一曲线过原点，且它在点(x,y)处切线的斜率等于2x?y，求该曲线的方程
6.设f(x)可微且满足关系式
??2f(t)?1?dt?f(x)?1,求f(x)
习题10-3一阶微分方程在经济学中的应用
1.已知某商品的需求价格弹性为EQ??P(lnP?1)，且当P=1时，需求量Q=1 EP
(1)求商品对价格的需求函数
（2）当P???时，需求量是否趋于稳定？
2.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性??3P2，而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数
3.已知某商品的需求量Q与供给量S都是价格P的函数：Q?
其中a?0,b?0为常数，价格P是时间t的函数，且满足 a,S?bp 2P
dp?k?Q(p)?S(p)?
(k为正常数） dt
假设当t?0时，价格为1，试求：
(1) 需求量等于供给量的均衡价格Pe
(2) 价格函数p(t)
(3) limp(t) t???
4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为
1N，在任意时刻t已掌握新技术人数为x(t)，其10
变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k?0 N，在t?0时刻已掌握新技术的人数为
5.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元人
民币的速度用这一帐户支付职工工资。若t以年为单位，写出余额B?f(t)所满足的微分方程，且问当初始存入的数额B为多少时，才能使20年后帐户中的余额精确地减至0.
习题10-4可降阶的二阶微分方程
（1）微分方程y???1的通解为_____________. 21?x
（2）微分方程y???1?(y?)2的通解为____________._
（3）微分方程y???y??x的通解为_____________.
（4）微分方程yy???(y?)2?y?的通解为_____________.
（5）微分方程y???2(y?)2?0的通解为_____________. 1?y
（6）设y1?x2与y2?x2lnx是方程x2y???3xy??4y?0的特解，则其方程的通解为____________.
2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解
d2yy?1?0,y2dx3
3.求下列微分方程满足初始条件的特解：
(1)y???ay?2?0,
ax (2)(1)y???e,
yx?0?0,y?x?1x?0??1 x?1?y??0
4.试求y???x的经过点M(0,1)且在此点与直线y?
22x?1相切的积分曲线 225.验证y1?ex及y2?xex都是方程y???4xy??(4x?2)y?0的解，并写出该方程的通
d2ydy?a(x)?b(x)y?f(x)的6.设函数y1(x),y2(x),y3(x)均是非齐次线性方程dxdx2
特解，其中a(x),b(x),f(x)为已知函数，而且y2(x)?y1(x)?常数，求证 y3(x)?y1(x)
y(x)?(1?c1?c2)y1(x)?c1y2(x)?c2y3(x)
(c1,c2为任意常数）是该方程的通解.
7.证明函数y?c1e?c2e
解. x2x?15xe
(c1,c2是任意常数）是方程y???3y??2y?e5x的通12
习题10-5二阶常系数线性微分方程（一）
（1）微分方程y???4y??0的通解为_____________________.
（2）微分方程y???4y??4y?0的通解为_____________________.
（3）微分方程y???2y??5y?0的通解为_____________________.
（4）微分方程y???2y??ay?0
(a为常数）的通解为__________________________ _____________________________________________.
（5）设2?i为方程y???py??qy?0的特征方程的两根，则其通解为__________________________________.
（6）设二阶常系数齐次线性微分方程的二个特征根为r1?2
,r2?4，则该二阶常系数齐次线性微分方程为___________________________.
2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1)y???4y??3y?0,
(2)4y???4y??y?0,
yx?0x?0?6,
y?x?0?10 ?2,
(3)y???4y??13y?0,
y?x?03.求以y1?e,y2?xe为特解的二阶常系数齐次线性微分方程
4.方程4y???9y?0的一条积分曲线经过点(?,?1)且在该点和直线y?1?x??相切，求这条曲线方程
225.求xy???(y?)?0的过（1，0）点，且在此点与y?x?1相切的积分曲线.
习题10-5常系数线性微分方程（二）
1.填空题：
x（1）微分方程y???2y??y?xe的特解可设为型如y??_________.
（2）微分方程y???7y??6y?sinx的特解可设为型如y??_________.
（3）微方程y???2y??5y?exsin2x的特解可设为型如y??_________.
(4)微分方程y???y??x?cosx的特解可设为型如y??_________.
(5)微分方程y???y??xsin2x的特解可设为型如y??_________.
2.求下列微分方程的通解：
（1）y???3y??2y?3xe?x
（2）y???y?ex?cosx
3.求微分方程满足所给初始条件的特解：
y???y?4xex,
4.设函数y?y(x)满足微分方程y???y??2y?3e?x，它的图形在x?0处与直线y?x相切，求该函数
5.设函数?(x)连续，且满足?(x)?e?x?x
0t?(t)dt?x??(t)dt，求?(x).
6.设函数y(x) (x?0)二阶可导，且y?(x)?0,y(0)?1,过曲线y?y(x)上任意一点p(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为s1，区间[0,x]上以y?y(x)为曲边的曲边梯形的面积记为s2，恒有2s1?s2?1，求曲线y?y(x)的方程.
习题10-6差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构
（1）设yx?ex，则?yx?______________
(2)设yx?x2，则?yx?______________
(3)设yx?cos2x，则?yx?______________
(4)差分的运算法则：?(cyx)?______________
?(yx?zx)?______________
2.已知yx?ex是方程yx?1?ayx?2ex的一个解，求a.
3.求下列函数的二阶差分
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