线性代数中的数学模型(数学建模必看
姚江淮)_甜梦文库
线性代数中的数学模型(数学建模必看
线性代数中的数学模型 我们先来做一个游戏！+1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??十秒钟加数? 请用十秒，计算出 左边一列数的和。时间到！? 答案是 231。+34 55 89 144 233 377 610 987
????十秒钟加数? 再来一次！时间到！? 答案是 6710。这与“斐波那契数列”有关? 若一个数列，前两项等于1，而从第三 项起，每一项是其前两项之和，则称该 数列为斐波那契数列。即：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …小兔繁殖的数量与斐波那契(Fibonncci)数列 问 题：兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰 好生一对小兔（雌雄各一只），且出生的兔子都能成活。试 问：由1对小兔开始，一年后共有多少对兔子，两年后共有多少 对兔子？解：先直接推算。在第0月有1对兔子；第1月也只有1对兔子； 第2月这对兔子生了1对小兔，共有两对兔子； 第3月，老兔子又生了1对小兔，共有3对兔子； 第4月:老兔子和第2个月出生的小兔各生了一对小兔，共5对兔子； 第5月，第3个月的3对兔子各生了一对小兔，共有8对兔子； 第6月，第4个月的5对兔子各生了一对小兔，共有13对兔子…。解答? 可以将结果以列表形式给出：1月 1 7月 13 2月 1 8月 21 3月 2 9月 34 4月 3 5月 5 6月 810月 11月 12月 55 89 144? 因此，斐波那契问题的答案是 144对。 ? 以上数列， 即“斐波那契数列”2． 斐波那契数列1） 公式 用 Fn 表示第 二阶递推公式n 个月大兔子的对数，则有? F1 ? F2 ? 1 ? ? Fn ? Fn?1 ? Fn?2 , n ? 3, 4,5?二、 相关的问题斐波那契数列是从兔子问题中抽象出 来的，如果它在其它方面没有应用，它就 不会有强大的生命力。发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现。1． 跳格游戏如图，一个人站在“梯子格”的起点处 向上跳，从格外只能进入第1格，从格中， 每次可向上跳一格或两格，问：可以用多 少种方法，跳到第n格？ 解：设跳到第n格的方法有tn种。 由于他跳入第1格，只有一种方法；跳入 第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一 种方法，从而t1=t2=1而能一次跳入第n格的，只有第 n-1和第n-2两格，因 此，跳入第n格的方法数tn，是跳入第n-1格的方法 数tn-1，加上跳入第n-2格的方法数tn-2之和。 即tn= tn-1+ tn-2 。综合得递推公式?t1 ? t2 ? 1 ? ?tn ? tn ?1 ? tn ?2(n ? 3, 4,5,?)容易算出，跳格数列{tn}就是斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…2． 连分数x? 1? 1?1 1 1 1 1? 1 ??这不是一个普通的分数，而是一个分 母上有无穷多个“1”的繁分数，我们通常 称这样的分数为“连分数”。的表达式反复代入等号右端得到的；例如， 第一次代入得到的是1 上述连分数可以看作是 x ? 中，把 1? xxx?1 1 1? 1? x反复迭代，就得到上述连分数。x? 1? 1?1 1 1 1 1? 1 ??上述这一全部由1构成的连分数， 是最简单的一个连分数。通常，求连分数的值，如同求无理数的值一样，我们常常需要求它的近似值。如果把该连分数从第 n 条分数线截住，即把第 n ? 1条分数线上、下的部分都删去，就n次近似值，记作 u 得到该连分数的第nvn。对照x? 1? 1?1 1 1 1 1? 1 ??可算得u1 1 u2 1 1 u3 1 2 u4 1 3 ? , ? ? , ? ? , ? ? 1 v1 1 v2 1 ? 1 2 v3 1 ? 1 3 v4 1 ? 5 1 1 1 1? 1? 1 1 1? 1发现规律后可以改一种方法算，un 1 ? vn 1 ? un ?1 vn ?1例如u5 1 1 5 u6 1 1 8 ? ? ? , ? ? ? ,?? u4 3 8 v6 u5 5 13 v5 1 ? 1? 1? 1? 5 8 v4 v5顺序排起来，这个连分数的近似值逐次为un?1 un 1 1 2 3 5 8 , , , , , ,?, , ,? 1 2 3 5 8 13 vn ?1 vn斐波那契协会和《斐波那契季刊》1． 斐波那契协会和《斐波那契季刊》斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子 问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没 想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世 纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活 跃起来，成为热门的研究课题。有人比喻说，“有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快”，以致1963年成立了 斐波那契协会，还出版了《斐波那契季刊》。2． 斐波那契生平斐波那契 （Fibonacci.L,） 出生于意大利的比萨。他小时候就 对算术很 有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、 希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触 到东方国家的数学。斐波那契确信印度―阿拉伯计算方法在实用上的优越性。1202年，在回到家里不久，他发表了著名的《算盘书》。斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了《算盘书》外，保存下来的还有《实用几何》等四部著作。3． 自然界中的斐波那契数斐波那契数列中的任一个数，都叫 斐波那契数。斐波那契数是大自然的 一个基本模式，它出现在许多场合。 下面举几个例子。1） 花瓣数中的斐波那契数大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目海棠（2）铁兰（3）花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目洋紫G（5）S蝉（5）蝴蝶兰（5）花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目雏菊（13）雏菊（13）2）树杈的数目13 85 3 2 1 13）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数
松果种子的排列松果种子的排列菜花表面排列的螺线数（5-8）这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角――137.50776度；这使种子的堆集效率达到最高。4）斐波那契数与音乐2335585． 科学中的斐波那契数列 1） 电路中的斐波那契数列 如下图那样专门设计的电路， 表示的都是1欧姆的电阻，最后一个分支中的电流为1安培，则加在电阻上的电压（从右至左） 恰好是斐波那契数列：1，1，2，3，5，8， 13，…4． 科学中的斐波那契数列 1） 电路中的斐波那契数列 如下图那样专门设计的电路， 表示的都是1欧姆的电阻，最后一个分支中的电流为1安培，则加在电阻上的电压（从右至左） 恰好是斐波那契数列：1，1，2，3，5，8， 13，…加在电阻上的电压，从右至左，恰是斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21,…………2） 通过面对面的玻璃板的斜光线的 不同路线条数反射次数为0的光线以唯 一的一种路线通过玻璃板； 反射次数为1的光线可以以 2种路线通过玻璃板；反 射 次 数 0 不 同 路 线 数 1反射次数为2的光线可以以3种路线通过玻璃板； 反射次数为3的光线可以以1 25种路线通过玻璃板；反射次数为的光线可以以 种路线通过玻璃板；23353） 股票指数增减的“波浪理论” ① 完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相继两斐波那契数；② 每次股指增长幅度（8，13等）或回调幅度（8，5），常是相继两斐波那契数。股指变化有无规律？回答是肯定的。股 指时 间1934年美国经济学家艾略特在通过大量资料 分析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并提出了颇有影响的“波浪理论”。该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图 （股指变化的图象）上的5（或8）个波组成，其 中3上2下（或5上3下），如图，无论从小波还是 从大波波形上看，均如此。注意这儿的2、3、5、8均系斐波那契数列中的数。同时，每次股指的增长幅度常循斐波 那契数列中数字规律完成。比如：如果某 日股指上升8点，则股指下一次攀升点数为13；若股指回调，其幅度应在5点左右。显然，5、8、13为斐氏数列的相邻三项。股 指时 间可以说，斐波那契以他的兔子问题，猜中了大自然的奥秘，而斐波那契数列的种种应用，是这个奥秘的不同体现。妙哉数学！2. 通过定点的曲线与曲面方程? 线性方程组的理论中有一个基本结论：含 有个方程个未知量的齐次线性方程组有非 零解的充分必要条件是其系数行列式等于 零。利用这个结论，我们可以建立用行列 式表示的直线、平面、圆和其他一些曲面 的方程，也可以求出一般多项式的表达式。? 如果平面上有两个不同的已知点(x1，y1)，(x2， y2)通过这两点存在惟一的直线，设直线方程 为：ax+by+c=0 ，且a，b，c 不全为零。由于 (x1，y1)，(x2，y2) 在这条直线上，所以它们满 足上述直线方程，则有ax1+by1+c=0，且ax2+by 2+c=0。因此有? ax ? by ? c ? 0 ? ? ax1 ? by1 ? c ? 0 ?ax ? by ? c ? 0 2 ? 2这是一个以a，b，c为未知量的齐次线性方程 组，且a，b，c 不全为零，说明齐次该线性方 程组必有非零解。于是，系数行列式等于零。 即x x1 x2y 1 y1 1 ? 0 y2 1这就是用行列式表示的通过已知两点(x1，y1)， (x2，y2)的直方程。? 例如，通过两点 (-1，2)，(3，-4) 的直线x ?1 31 1?0 即 ?4 1y 23x ? 2 y ? 1 ? 0同理，通过空间中三点 的平面方程为：( x1, y1, z1 ), ( x2 , y2 , z2 ), ( x3 , y3 , z3 ),x x1 x2 x3y y1 y2 y3z z1 z2 z31 1 ?0 1 1? 例如，通过空间中三点 (7,6,7), (5,10,5), (?1,8,9) 的平面方程 为：x y z 7 6 7 5 10 5 ?1 8 91 1 ?0 1 1即， ? 5 y ? 7 z ?100 ? 0 3x同理，用行列式表示的通过平面上三点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x3 , y3 ) 的圆的方程为 2 2x ?y2 x2 2 x3xy12 2 x1 ? y1x1 x2 x3y1 1 y2 1 y3 1? ?2 y2 2 y3?0? 对于次多项式 y ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? an x ，可由其图 象上n+1个横坐标互不相同点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),.....,( xn?1 , yn?1 ), 所惟一确定。这是因为，这个点均满足这个次多项式，则有2 n2 n ? a0 ? a1 x1 ? a 2 x1 ? ? ? a n x1 ? y1 ? 2 n a0 ? a1 x 2 ? a 2 x 2 ? ? ? a n x 2 ? y2 ? ? ?????? ? ? a ? a x ? a x2 ?? ? a xn ? y 0 1 n 2 n n n n ? 2 n ?a0 ? a1 x n ?1 ? a 2 x n ?1 ? ? ? a n x n ?1 ? yn ?1 ?这是一个含有n+1个方程、以 a0 , a1 , a2 ,?, an 为n+1个未知 量的线性方程组，其系数行列式1 1 D?? 1 1x1 x2 ? xn x n ?12 x1 2 x2? ? ? ?n x1 n x2?2 xn?n xn2 n x n ?1 ? x n ?1是一个范德蒙（Vandermonde）行列式，当x1，x2，…，xn互不 相同时，D≠0，由克莱姆（Cramer）法则，可以惟一 地解出a0,a1,….,an。故n次多项式y=a0+a1x+a2x2+…..+anxn 可由其图象上的个横坐标互不相同的点(x1,y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)所惟一确定。该多项式方程的行列式形式为1 1 1 ?1x x1 x2 ? xn xn ?1x x x2? ? ? ? ? ?x x xny y1 y2 ? yn y n ?1 ?02 1 2 2n 1 n 2?2 xn 2 xn ?1?n xn n xn ?11? 评注： ? 1、理论依据： 求解线性方程组的克莱姆（Cramer）法则, 范 德蒙（Vandermonde）行列式的直接应用。 2、应用与推广 求过定点的曲线或曲面的方程，一般多项式 的拟合问题，同时应用这些方法还可以解决 多项式插值问题。3.多项式插值问题(范德蒙行列式的应用) ? 在生产和科学研究中,经常出现这样的问题:由实验或 测量得到的某一函数 y ? f ( x)在一系列点 x0 , x1 ,?, xn 处的值 y0 , y1 ,?, yn ,需要构造一个简单函数 ? ( x)作为 函数 y ? f ( x)的近似表达式: y ? f ( x) ? ? ( x) ,使得? ( x0 ) ? y0 , ? ( x1 ) ? y1 ,?, ? ( xn ) ? yn(1)这类问题称为插值问题. f ( x) 称为被插值函数, ? ( x) 称 为插值函数 x0 , x1 ,?, xn 称为插值节点;式(1)称为插值条 件. 常用的插值函数是多项式与样条函数.) 一种简单而又自然的方法就是把 ? ( x设成次数不超过n 的多项式 取n次多项式pn(x)作为插值函数 (6 ? 2) pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn 利用插值条件有：?2 n ?a0 ? a1 x0 ? a 2 x0 ? ? ? a n x0 ? y 0 ? 2 n ?a0 ? a1 x1 ? a 2 x1 ? ? ? a n x1 ? y1 ? ? ? ? ?a ? a x ? a x 2 ? ? ? a x n ? y 1 n 2 n n n n ? 0(6 ? 3)其系数行列式为n+1阶范德蒙行列式，因插值节点 互不相同，所以方程组的解存在且唯一。其系数行列式为范德蒙(Vandermonde)行列式:1 1 1 x0 x1 xn2 n x0 ? x0 x12 ? x1n? ? ?2 n xn ? xn? ? ( x j ? xi )j ?i? 由于插值节点 xi 互不相同,所以上述行列式不等于 0,故由克莱姆(Cramer)法则知,方程组(6-3)的解存 在而且是唯一的.? 不难得到这个插值多项式的行列式表示形式为：1 1 1 1 ... 1x x0 x1 x2 ... xnx2 2 x0 x12 2 x2 ... 2 xn... ... ... ... ... ...xn n x0 x1n n x2 ... n xnPn ( x) y0 y1 ?0 y2 ... yn显然满足 Pn ( xi ) ? yi (i ? 0,1,2,?, n)，并且按第n+1列展开， Pn (x) 是x的n次多项式。 ? n ? n 整理可得： ?? ? ?Pn ( x) ?? ??j ?0 ? i ?0 ? i? j? x ? xi ?? y j ? x j ? xi ? ? ?? ?? 评注： ? 1、理论依据： 范德蒙（Vandermonde）行列式的应用，克莱姆 （Cramer）法则。 ? 2、应用与推广 根据这个理论可以得到：过任意个横坐标互不相同 的点可以唯一确定一个次多项式，它在多项式逼近 理论、多项式插值公式、样条插值公式的推导具有 一定的借鉴意义。4.循环比赛名次的确定? 矩阵是线性代数的主要内容，也是线性代数中解决 问题的主要工具。许多实际应用问题可以用矩阵来 描述，通过矩阵的运算来解决应用问题。 ? 例1.设有5个球队进行单循环赛，已知它们的比赛结 果为：1队胜2、3队；2队胜3、4、5队；4队胜1、3、 5队；5队胜1、3队。按获胜的次数排名次，若两队 胜的次数相同，则按直接胜与间接胜的次数之和排 名次。所谓间接胜，即若1队胜2队，2队胜3队，则 称1队间接胜3队。试为这5个队排名次。 ? 按照上述排名次的原则，不难排出2队为冠军，4队 为亚军，1队第3名，5队第4名，3队垫底。问题是： 如果参加比赛的队数比较多，应如何解决这个问题？ 有没有解决这类问题的一般方法？循环比赛的名次? n支球队循环赛，每场比赛 只计胜负，没有平局.? 根据比赛结果排出各队名次. 方法1. 寻找按箭头方向通过 全部顶点的路径. 325 ……66支球队比赛结果1 23无法排名54方法2. 计算得分： 1队胜4场， 2, 3队各胜3场， 4, 5队各胜2场，6队胜1场. 2, 3队 , 4, 5队无法排名!3?2，4 ?5 排名 132456 合理吗?循环比赛的结果――竞赛图竞赛图~每对顶点间都有边相连的有向图223个顶点 的竞赛图 名次 4个顶点 的竞赛图4 11(1)31(2)3{1，2，3}1 1{(1,2,3)}并列12 3(1)24(2)23 4(3)23 4 3(4)名次{1, 2, 3, 4}{2,(1,3,4)}{(1,3,4), 2}{(1,2),(3,4)} {1, 2, 3, 4}?4个顶点 的竞赛图411112 3(1)2 4(2)2 3 4(3)2 3 4 3(4)竞赛图的 3种形式? 具有唯一的完全路径，如(1)；? 双向连通图――任一对顶点存在两条有向路径相互连通，如(4)； ? 其他，如(2)， (3) .竞赛图 的性质? 必存在完全路径；? 若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1) .双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序 ?1, vi v j ? E 邻接矩阵 aij ? ? ?0, vi v j ? E 得分向量s(1) ?s ? (s1 , s2 ,?, sn )T12 4(4)3?0 ?0 T s ? Ae, e ? (1,1,?,1) A?? ?0 T Ae ? (2, 2,1,1) ~ 1 级 得分向量 ?1 ?1 0 0 01 1 0 00? 1? ? 1? ? 0?s(2) ? As(1) ? (3, 2,1, 2)T ~ 2 级得分向量s(3)? (3,3, 2,3) ,Ts(4)? (5,5,3,3)Ts(5)? (8, 6,3,5) ,Ts(6)? (9,8,5,8)Ts ( k ) ? As ( k ?1) ? Ak ek ? ?, s( k ) ? ?s (7) ? (13,13,8,9) T , s (8) ? (21,17,9,13) T ??双向连通竞赛图的名次排序s ? As(k )( k ?1)?Aek? 对于n(&3)个顶点的双向连通竞赛图，存在 正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar &0，A称素阵. ? 素阵A的最大特征根为正单 根?，对应正特征向量s，且(k )lim ? k ? s k??用s排名A ekk ? ?, s (归一化后 ? s )1 2 4(4)?0 ?0 A?? ?0 ? 3 ?11 0 0 01 1 0 00? 1? ? 1? ? 0?? ? 1.4,s ? (0.323,0.280,0.167,0.230)T排名为{1，2，4，3}{1, 2, 3, 4}?6支球队比赛结果1 263?0 ?0 ? ?0 A?? ?0 ?0 ? ?01 0 1 0 0 00 0 0 0 1 11 1 1 0 0 01 1 0 1 0 01 ? 1 ? ? 0? ? 1? 1? ? 0?541: 4分; 2,3: 3分; 4,5: 2分; 6: 1分. 3?2, 4 ?5 排名 1 3 2 4 5 6 ? s(4) ? (38, 28,32, 21, 25,16)Ts(1) ? (4,3,3, 2, 2,1)T , s(2) ? (8,5,9,3, 4,3)T , s(3) ? (15,10,16,7,12,9)T ,? ? 2.232, s ? (0.238,0.164,0.231,0.113,0.150,0.104)T排名次序为{1，3， 2，5，4，6}? 评注： ? 1、理论依据： ? 邻接矩阵的性质，素阵的最大特征值及其所 对应的特征向量的性质（Perro-Frobenius定 理）。 ? 2、应用与推广 ? 根据循环比赛的邻接矩阵，利用不可分矩阵 的最大特征值及其对应的特征向量的性质， 对循环比赛的名次进行排序是非常合理的。 应用Matlab计算矩阵的最大特征值及其特征 向量是非常方便的。5.不同地（城市）之间的交通问题? 矩阵的运算还可以表示不同地点（城市）的通达情况。在 国际象棋里，马在棋盘上是走“L”步的，它可以水平走2 格，垂直走1格；或者垂直走2格，水平走1格。假设马被 限制在以下9个编号的格子里，马可以从第i格走到第j格中去，则 mij ? 1 ，否则 mij ? 0 (i, j ? 1,2,3,4,56,7,8,9) 。由于马步既可前进， 又可后退，则M是对称矩阵。所以：?0 ? ?0 ?0 ? ?0 ? M ? ?0 ?1 ? ?0 ?1 ? ?0 ?0 0 0 0 1 0 1 0? ? 0 0 0 0 0 1 0 1? 0 0 1 0 0 0 1 0? ? 0 1 0 0 0 0 0 1? ? 0 0 0 0 0 0 0 0? 0 0 0 0 0 1 0 0? ? 1 0 0 0 1 0 0 0? 0 1 0 0 0 0 0 0? ? 1 0 1 0 0 0 0 0? ?3? 则 M 2 表示马可经2步间接到达的情况，M 表示马可经3步 间接到达的情况……，则 M ? M 2 ? M 3 ? ? ? M k 表示马在k步 可以直接和间接到达的情况，其中位于第i行第j列的的数 字表示在步内马可以从第i格到第j格的不同（直接和间接） ? 2 1 1 1 0 4 1 4 0? 走法。经计算 ? ??1 ?1 ? ?1 ? ? ?0 ?4 ? ?1 ?4 ? ? 2 1 1 0 1 4 0 1 2 4 0 1 0 4 1 4 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 4 0 0 4 2 1 0 4 0 0 2 4 1 1 1 0 1 1 2 4? 1? ? 4? ? 0? 1? ? 1? 1? ? ?M ?M2 ?M3这说明，在3步内，除了格子5之外，还有格子之间不 可互相达到。但是?8 ? ?1 ?5 ? ?1 ? ? ?0 ?4 ? ?5 ?4 ? ?2 ? 1 5 1 0 4 5 4 2? ? 8 1 5 0 5 4 2 4? 1 8 4 0 1 2 4 5? ? 5 4 8 0 2 1 5 4? ? 0 0 0 0 0 0 0 0? 5 1 2 0 8 4 5 1? ? 4 2 1 0 4 8 1 5? 2 4 5 0 5 1 8 1? ? 4 5 4 0 1 5 1 8? ?M ?M2 ?M3 ?M4说明在4步内，除了格子5之外，其余格子均可互相达到， 对应的数字为达到的通路数目。由于M与 M 4 中第5行与第5列 的元素全为零，再计算下去，M 5 中第5行与第5列的元素也全 为零，因此格子5与其他格子不能通达；其实由M中第5行与 k 第5列的元素全为零，可以推得对任意整数 k ? 0 ，都有 M 第5行与第5列元素全为零，格子5与其他格子不能通达。因此，这种方法也可以用来研究一般交通路线的通达情况。? 评注： ? 1、理论依据： 邻接矩阵的性质，根据矩阵的运算来解决通 达问题。 ? 2、应用与推广 两点之间的关联可以通过邻接矩阵来反映。 应用邻接矩阵的基本原理，可以应用到图 论与网络优化问题之中。一种密码方法（逆矩阵的应用） 矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是 基于利用可逆矩阵的方法。先在26个英文字母与数字 间建立起一一对应，例如可以是A B ? Y ? ? 1 ? Z ?2 ? 25 26若要发出信息“SEND MONEY”，使用上述代码， 则此信息的编码是19，5，14，4，13，15，14，5，25， 其中5表示字母E。不幸的是，这种编码很容易被别人 破译。在一个较长的信息编码中，人们会根据那个出 现频率最高的数值而猜出它代表的是哪个字母，比如 上述编码中出现最多次的数值时5，人们自然会想到它代表的是字母E，因为统计规律告诉我们， 字母E是英文单词中出现频率最高的。 我们可以利用矩阵乘法来对“明文”SEND MONEY 进行加密，让其变成“密文”后再行传送，以增加非法用 户破译的难度，而让合法用户轻松解密。如果一个矩阵 A的元素均为整数，而且其行列式|A|=±1，那么由 1 * 即知，A-1的元素均为整数。我们可以利用这 A?1 ? AA样的矩阵A来对明文加密，使加密之后的密文很难破译 。现在取?1 2 1 ? A ? ?2 5 3? ? ? ?2 3 2? ? ?明文“SEND MONEY”对应的9个数值3列被排成以下 矩阵?19 4 14 ? B ? ? 5 13 5 ? ? ? ?14 15 25? ? ?矩阵乘积?1 2 1 ? ?19 4 14 ? ? 43 45 49 ? AB ? ? 2 5 3 ? ? 5 13 5 ? ? ?105 118 128? ? ?? ? ? ? ? 2 3 2 ? ?14 15 25? ? 81 77 93 ? ? ?? ? ? ?对应着将发出去的密文编码： 43，105，81，45，118，77，49，128，93 合法用户用A-1去左乘上述矩阵即可解密得到明文。? 43 45 49 ? ? 1 ?1 1 ? ? 43 45 49 ? ?19 4 14 ? A?1 ?105 118 128? ? ? 2 0 ?1? ?105 118 128? ? ? 5 13 5 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 81 77 93 ? ? ?4 1 1 ? ? 81 77 93 ? ?14 15 25? ? ? ? ?? ? ? ?为了构造“密钥”矩阵A，我们可以从单位阵I开始， 有 限次地使用第三类初等行变换，而且只用某行的整数 倍加到另一行，当然，第一类初等行变换也能使用。 这样得到的矩阵A，其元素均为整数，而且由于|A|= ±1可知， A-1的元素必然均为整数。评注：? 1、理论依据： 矩阵的应用，由可逆矩阵决定的线性变换是 可逆的，并且其逆变换对应的矩阵为。 ? 2、应用与推广 可逆矩阵在信息安全与密码理论方面的应用。交通流量问题? 某城市部分单行街道的交通流量（每小时通过的车辆数） 如图所示。假设： （1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量； （2）全部流入每一个路口（网络的结点）的流量等于全部 流出此路口的流量。是整 根 可个 据 得网 各 如络 结 下的 点 的进 的 一出 进 系流 出 列量 流 方平 量 程衡 平 ：， 衡 于知?? 800 ? x1 ? x 2 ? x ? x5 ? 800 ? 1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? 300 ? x3 ? x6 ? x8 ? 1000 ? ? x 4 ? x5 ? 500 ? ? x6 ? x7 ? 200 ? ? x 7 ? x8 ? 1000 ? ? x9 ? 400 ? ? x9 ? x10 ? 200 ? x10 ? 600 ? ? x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 ? 0 ?? 先不考虑非负性，解这个线性方程组，得 x1 ? 800? x5 , x2 ? x5 , x3 ? 200,x4 ? 500? x5 , x6 ? 800? x8 ,x7 ? 1000? x8 , x9 ? 400, x10 ? 600其中 x5 , x8 可取非负值，并且使得其余变量非负。 实际上，只要 x5 ? 500, x8 ? 800 即可满足要求。为满足交通网 络的需要，可以有无穷多解。如果结合实际情况，可以选择 合适的 x5 , x8 ，使交通网络满足实际要求，或者满足上述条 件的情况下，使得某一个目标函数达到最大值（或最小值）， 从而对交通网络进行优化。? 评注： ? 1、理论依据： 交通流的平衡问题，一般线性方程组求解。 ? 2、应用与推广 交通网络的优化问题可以通过线性方程组来 体现，因此，网络优化问题可以化为线性规 划问题或者整数线性规划（0―1规划）问题 来解决。工资问题? 现有一个木工、一个电工、一个油漆工和一个粉 饰工，四人相互同意彼此装修他们自己的房子。 在装修之前，他们约定每人工作13天（包括给自 己家干活在内），每人的日工资根据一般的市价 在50~70元，每人的日工资数应使得每人的总收入 与总支出相等。下表是他们协商后制定出的工作 天数的分配方案，如何计算出他们每人应得的日 工资以及每人房子的装修费（只计算工钱，不包 括材料费）是多少？这是一个收入―支出的闭和模型。设木工、电工、油 漆工和粉饰工的日工资分别为 x1 , x2 , x3 , x4 元，为 满足“平衡”条件，每人的收支相等，要求每人在这 10天内“总收入=总支出”。则可建立线性方程组：? 4 x1 ? 3x 2 ? 2 x 3 ? 3x 4 ? 13x1 ?5 x ? 4 x ? 2 x ? 3x ? 13x ? 1 2 3 4 2 ? ? 2 x1 ? 5 x 2 ? 3x 3 ? 3x 4 ? 13x 3 ? 2 x1 ? x 2 ? 6 x 3 ? 4 x 4 ? 13x 4 ? 整理，得齐次线性方程组?? 9 x1 ? 3x 2 ? 2 x 3 ? 3x 4 ? 0 ? 5 x ? 9 x ? 2 x ? 3x ? 0 ? 1 2 3 4 ? ? 2 x1 ? 5 x 2 ? 10x 3 ? 3x 4 ? 0 ? 2 x1 ? x 2 ? 6 x 3 ? 9 x 4 ? 0 ?63 x2 ? x4 , 59 60 x3 ? x4 , 59 50 ? x4 ? 7054 x1 ? x4 , 59? 取 x 4 ? 59 ，得 x1 ? 54, x 2 ? 63, x3 ? 60 。或解得( x1, x2 , x3 , x4 )T ? k (54,63,60,59)T(k为任意常数 )为了使得取值在50~70之间，令 k ? 1 得 x1 ? 54, x2 ? 63, x3 ? 60, x4 ? 59 所以，木工、电工、油漆工和粉饰工的日资分别为54元、63 元、60元和59元。每人房子的装修费用相当于本人13天的工 资，因此分别为702元、819元、780元和767元。? 评注： ? 1、理论依据： 一般线性方程组的求解方法解决不定方程的 求解问题。 ? 2、应用与推广 应用线性方程组的理论可以解决收入与支出 的平衡问题，也可以进行投入产出分析并且 进一步优化。不定方程组的整数解韩信点兵士兵排成3列纵队进行操练，结果有2人多余；若排成5列纵队进行操练，结果有3人多余；若排成7列纵队进行操练，结果有2人多余.问题孙子问题（“物不知数”）今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 答曰：二十三.――《孙子算经》学生活动韩信点兵、孙子问题相当于?m ? 3x ? 2 求关于x,y,z的不定方程组：? m ? 5 y ? 3 的正整数解. ? ?m ? 7 z ? 2 ?“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等等中国剩余定理建构数学算法设计思想：首先,让m=2开始检验条件, 若三个条件中有一个不满足,则m递增1,一直到同时满足三个条件为止.如m=8，被3除余2，5除余3，7除余1，不符； 如m=9，被3除余0，不符；何种结构能依次检索正整数？ 循环结构何时结束？×105如m=10，被3除余1，不符；可验证得：m=23 韩信何以很快知道队伍的人数？满足条件的m还有其它的解吗？23+105 23+2×105 23+3×105…都是本问题的解.建构数学算法设计结构：（自然语言）S1：输入一个初始值m；S2：下述条件之一不满足，使m的值增加1后，再返回S2，直到都满足为止： （1）m被3除后余2； （2）m被5除后余3；Mod(m,3)=2（3）m被7除后余2；S3：输出m.m-Int(m/3)×3=2? 百鸡问题 百鸡问题是公元5世纪末我国数学家张丘建在 他所著《算经》里提出的一个著名的不定方 程问题。问题是：鸡翁一，值钱五；鸡母 一，值钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百 鸡，问：鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？? 解：设公鸡、母鸡、小鸡的数量分别为 x, （均为非负整数）只，则有线性方程组y, z?x ? y ? z ? 100 ? ? ?5x ? 3 y ? 1 z ? 100 3 ?从而原问题的解为? x ? ?100 ? 4 z ? 3 ? ? y ? 200 ? 7 z 3 ?（z取非负整数，且使为非负整数）? x ? ?100 ? 4 z ? 0 ? 3 ? ? y ? 200 ? 7 z ? 0 3 ?于是，由z及均为非负整数可知 75 ? z ? 85? x ? 12 ? ?y ? 4 ? z ? 84 ?且能被3整除，故原问题共有四组解： ? 8 ?x ?x ? 4 ?x ? 0 ? ? ? ? y ? 11 ? y ? 18 ? y ? 25 ? z ? 81 ? z ? 78 ? z ? 75 ? ? ?? 评注： ? 1、理论依据： 用一般线性方程组的求解方法解决不定方程 的求解问题。 ? 2、应用与推广 应用线性方程组的理论可以解决与此类似的 相关问题。二次型的应用工程师、经济学家、科学家和数学家常常要寻 找在一些特定集合内的x值，使得二次型xTAx取最 大值或最小值。具有代表性的是，这类问题可化为x 是在一组单位向量中的变量的优化问题。下面我们 将看到，这类条件优化问题有一个有趣且精彩的解。 我们还是从一个简单的例子开始我们的讨论。 例 在下一年度，某县政府计划用一笔资 金修x百公里的公路，修整y百平方公里的公园，政 府部门必须确定在两个项目上如何分配它的资金， 如果可能的话，可以同时开始两个项目，而不是仅 开始一个项目。假设x和y必须满足下面限制条件16 x 2 ? 25 y 2 ? 400,见图5-12。每个阴影可行集合的点(x,y)表示一个可 能的年度工作计划，求在限制曲线 x 2 ? 25 y 2 ? 400, 16 上的点，使资金利用达到最大。为了制定工作计划，县政府需要考虑居民的意见， 为度量居民分配各类工作计划(x,y)的值或效用，经济 学家常利用下面的函数q( x, y) ? xy, 称之为效用函数，曲线 xy ? c （c为常数）称之为无差异曲线，因为在该曲线上的任意点的效用值相等。 现制定一个工作计划，使得效用函数达到最大。 解 约束条件的方程 并没有描述 16 x 2 ? 25 y 2 ? 400 一个单位向量集，可进行变量代换修正这个问题。 把约束条件的方程变形：? x? ? y? ? ? ? ? ? ?1 ?5? ? 4?2 2令x y u? ,v? ， 5 4则约束条件变成 u2 ? v2 ? 1， 效用函数变成 q( x, y) ? q(5u,4v) ? (5u)(4v) ? 20uv.令下 f ( X ) ? 20uv 的最大值。?u ? X ?? ? ?v?，则原问题变为，在限制条件 X T X ? 1? 0 10 ? 二次型 f ( X ) ? 20uv 的矩阵为 A ? ?10 0 ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 ? 2? ? 1 ? ? 2?A的特征值为±10，对应特征值10的单位特征向 量为 。所以 f ( X ) ? 20uv 的最大值为10，且在1 u?v? 处取得。 25 ? 3.5 于是，最优的工作计划是修建 x ? 5u ? 百公里的 2公路，修整作计划是限制曲线和无差异曲线的切点，具有更大效4 y ? 4v ? ? 2.8 百平方公里的公园。最优工 2用的点(x,y)位于和限制曲线不相交的无差异曲线上，见图5-13。矩阵对角化的应用行业就业人数预测 设某中小城市及郊区乡镇共有30万人从事农、工、 商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社 会调查表明： （1）在这30万就业人员中，目前约有15万人从事 农业，9万人从事工业，6万人经商。 （2）在务农人员中，每年约有20%改为务工，10% 改为经商。 （3）在务工人员中，每年约有20%改为务农，10% 改为经商。 （4）在经商人员中，每年约有10%改为务农，10% 改为务工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及 经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。解 [ x0 , y0 , z0 ]T ? [15,9,6]T 而欲求 [ x1 , y1 , z1 ]T 的人员总数，则已知 T [ xn , yn , zn ]T 的发展趋势。 ， x2 , y2 , z2 ] 并考察在 n ? ? 时 [ 依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为[ xi , yi , zi ]T 表示第i年后从事这三种职业 若用3维向量? x1 ? 0.7 x0 ? 0.2 y0 ? 0.1z0 , ? ? y1 ? 0.2 x0 ? 0.7 y0 ? 0.1z0 , ? z ? 0.1x ? 0.1y ? 0.8 z , 0 0 0 ? 1即? x0 ? ? x1 ? ?0.7 0.2 0.1? ? x0 ? ? y ? ? ? 0.2 0.7 0.1? ? y ? ? A ? y ? ? 0? ? 1? ? ?? 0? ? z0 ? ? z1 ? ? 0.1 0.1 0.8? ? z0 ? ? ? ? ?? ? ? ?进而推得? xn ? ? xn?1 ? ? x0 ? ? y ? ? A ? y ? ? An ? y ? ? n? ? n?1 ? ? 0? ? zn ? ? zn?1 ? ? z0 ? ? ? ? ? ? ?即n年之后从事各业人员的人数完全由An决定。事实上， 运用实对称矩阵的正交对角化方法，可以轻松求得An。人口迁徙问题设在一个大城市中的总人口是固定的。 人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变 化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的 郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市 区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居 民人口比例是多少？30年、50年后又如何？分析与求解 这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区 和郊区两个分量表示，设市区和郊区初始人口数量分 别为：xc0=0.3，xs0=0.7，一年以后， 市区人口为 xc1? (1?0.06) xc0?0.02xs0， 郊区人口 xs1? 0.06xc0 ? (1?0.02)xs0 用矩阵乘法来描述，可写成：? xc1 ? ?0.94 0.02? ?0.3 ? ? 0.2960? x1 ? ? ? ? ? ? ? ?0.7 ? ? Ax0 ? ? 0.7040? ? xs1 ? ?0.06 0.98? ? ? ? ?建立模型并用MATLAB求解 从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式 可写为 2 kxk ? Axk ?1 ? A xk ?2 ? ? ? A x0输入：A?[0.94,0.02;0.06,0.98], x0?[0.3;0.7] x1?A*x0, x10?A^10*x0, x30?A^30*x0, x50?A^50*x0 得到： ? 0.2960? ? 0.2717? ? 0.2541? ? 0.2508? x1 ? ? ? , x10 ? ? 0.7283? , x30 ? ? 0.7459? , x50 ? ? 0.7492? , ? 0.7040? ? ? ? ? ? ?人口分布趋势分析? 无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一 组常数0.25/0.75。 ? 为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值。先 求A的特征值和特征向量，得到0 ? ? 0.9200 ? -0.2 ? lamda ? ? ? , e ? ? 0.7 ? 0 1.0000? ? ? ?将A对角化? ? ?1? ?1 ? ? p = ?p1 ,p 2 ? ?? ?0.7071 ? ? , ?0.3162 ? ? ? ?1 ? ?3? ? ?A = pΛp-1? ? 0.9200 ? k ? ??0.7071 ? 0.3162 ? ?1 ?0.3? 0 k -1 ?? xk = pΛ p x 0 ? ?p1 ,p 2 ? ? k ? 0.7071 ? 0.9487 ? ?0.7 ? ? ? ? ? 0 ?1.0000? ? ? ??1 ? k ? ?1? xk ? -0.0707 ? 0.92 ? p1 -0.7906 ?1.? p 2 ? 0.25(1) ? ? ? 0.05(0.92) ? ? ?3? ?1 ?k k k人口分布的趋势式中的第二项会随着k的增大趋向于零。如果只 取小数点后两位，则只要k?27，这第二项就可以忽略 不计，从而得到xkk ? 27?1 ? ?0.25? ? A x 0 ? 0.25 ? ? ? ? 3? ?0.75? ? ?k。调整气象观测站问题? 某地区有12个气象观测站，10年来观测站的年降水量如下 表。为节省开支，想要适当减少气象观测站。问减少哪些 气象观测站可以使所得的降水量的信息量仍然足够大？? ?1 ,? 2 ,?,?12 分别表示气象观测站 x1 , x2 ,?, x12 在 年内的降水量的列向量，由于 ?1 ,? 2 ,?,?12 是 含有12个向量的10维向量组，该向量组必定线性相关。若能 求出它的一个极大线性无关组，则其极大线性无关组所对应 的气象观测站就可将其他的气象观测站的气象资料表示出 来，因而其他气象观测站就是可以减少的。因此，最多只需 要10个气象观测站。由 ?1 ,? 2 ,?,?12 为列向量组作矩阵A，我们可以求出向量组 ?1 ,? 2 ,?,?12 的一个极大线性无关组（可由Matlab软件中的 命令，输入矩阵A，rref(A)求出来）(事实上，该问题中任意 10个向量都是极大线性无关组)，且有： ?11 ? ?0.0275 1 ? 1.078 2 ? 0.1256 3 ? 0.1383 4 ? 1.8927 5 ? 1.6552 6 ? ? ? ? ? ? ? ? 0.6391 7 ? 1.0134 8 ? 2.1608 9 ? 3.794 10 ? ? ? ??12 ? 2.0152 1 ? 15.1202 2 ? 13.8396 3 ? 8.8652 4 ? 27.102 5 ? 28.325 6 ? ? ? ? ? ? ?? 38.2279 7 ? 8.2923 8 ? 22.2767 9 ? 38.878 10 ? ? ? ?故可以减少第11与第12个观测站，可以使得到的降水量的信 息仍然足够大。当然，也可以减少另外两个观测站，只要这 两个列向量可以由其他列向量线性表示。? 如果确定只需要8个气象观测站，那么我们可以从 上表数据中取某8年的数据（比如，最近8年的数 据），组成含有12个8维向量的向量组，然后求其 极大线性无关组，则必有4个向量可由其余向量 （就是极大线性无关组）线性表示。这4个向量所 对应的气象观测站就可以减少，可以使所得到的 降水量的信息仍然足够大。（注：本问题为西安 市第一届大学生数学建模竞赛题目）? 评注： ? 1、理论依据： ? 任意个维向量必然线性相关，求出它的一个极大线性无关 组，其余的向量一定可以用所求的极大线性无关组线性表 示。 ? 2、应用与推广 ? 向量组的任意一个极大线性无关组都与整个向量组等价， 因此包含的信息量相同。所以，只要从列向量组中找出它 的一个极大线性无关组，就可以表示其余的向量，这个极 大线性无关组就是包含足够的信息量。这只是解决问题的 一个途径,当然也可以用其他方法(如相关系数法、聚类分 析法等)进行解决。最优生产计划的确定（线性规划问题）? 某酿酒厂只生产香槟酒和葡萄酒两种产品。当前， 生产上受到三个方面的限制：一是每周最大的发 酵设备能力为60000单位；二是装瓶能力为50000 单位；三是香槟酒的净化能力15000单位。根据产 品的特点，每生产1瓶香槟酒需要3个单位的发酵 能力、2个单位的装瓶能力和1个单位的净化能力， 盈利2.5元；每生产1瓶葡萄酒需要1个单位的发酵 能力和1个单位的装瓶能力，盈利1元。在现有资 源的条件下，应如何安排生产可使该厂的盈利最 大？? 首先，根据已知条件列成如下的表，然后建立数 学模型：设该厂计划生产香槟酒瓶 x1 ，葡萄酒瓶 x2，则该生产计划 问题为：?3 x1 ? x2 ? 60000 ?2 x ? x ? 50000 ? 1 2 ? ? 15000 ? x1 ? x1 , x2 ? 0 ?在满足的条件下，使总利润S ? 2.5 x1 ? x2 达到最大。? 这个问题属于线性规划（Linear Programming）问题，而 线性规划又是运筹学（Operational Research）的一个分支。 x1 ,称为决策变量,不等式组称为约束条件，利 x2 其中的 S ? 2.5x1 ? x2 润函数 称为目标函数。之所以称该问题为 线性规划问题，是因为约束条件是决策变量的线性等式或 不等式并且目标函数也是决策变量的线性函数。 ? 引进非负变量 x3 , x4 , x5 ，将约束条件化为线性方程组? 6 ? x 2 ? x3 ? ? x4 ? 50000 ? 2 x1 ? x 2 ?x ? x5 ? 15000 ? 1 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ?? 0(1)其中x3 , x4 , x5 分别表示闲置的发酵能力、装瓶能力和净化能力。? 该线性规划问题实际上是求线性方程组（1）的非负解， 且使目标函数 S ? 2.5x1 ? x2 取到最大值。线性方程组（1） 有无穷多解，显然? x3 ? 60000 ? 3x1 ? x 2 ? ? x 4 ? 50000 ? 2 x1 ? x 2 ? x ? 15000 ? x 1 ? 5是线性方程组（1）的一般解。由于要求方程解只能取非负 值，控制起来有一定的难度。为此，我们在线性方程组 （1）的一般解的表达式中，控制右端常数项非负，只要令 对应的自由未知量等于0，而非自由未知量（系数矩阵中的 单位矩阵所对应的变量）就等于右端常数项的值，所以满足 非负性。因此，在（1）中令 x1? x2 ? 0 ，则x3 ? 60000 x4 ? 50000 x5 ? 15000 S ? 0 , , ,即：什么酒都不生产，所有设备完全闲置，当然利润为0。 从目标函数 S ? 2.5x1 ? x2 可以看出，若 x1 ? 0 ，则 x1 ? 0 ，所以 总利润 S ? 0 。考虑增加香槟酒的产量，按发酵、装瓶和净 化设备能力可生产香槟酒00瓶，00 瓶和15000瓶，因此只能生产香槟酒15000瓶。? 通过初等变换将线性方程组（1）化为：? ? ? ?x ? 1 x 2 ? x3 ? 3x5 ? 15000 x2 ? x 4 ? 2 x5 ? 20000 ? x5 ? 15000（2）S ? 37500? x2 ? 2.5x5在（2）中可解出 x1 , x3 , x4 (在(2)中 x3 , x4 , x1对应的系数列 向量组成单位矩阵），令 x2 ? x5 ? 0，则x1 ? 15000 x3 ? 15000 x4 ? 20000 S ? 37500 , , ,即生产香槟酒15000瓶，不生产葡萄酒，发酵设备闲置15000 单位，装瓶设备闲置20000单位，净化设备充分利用，可得 利润37500元。? 从 S ? 37500? x2 ? 2.5x5 可以看出，若增大 x2 的值，总利润 可望增加。但从目前闲置的发酵设备能力只能生产葡萄酒 15000瓶，但闲置的装瓶设备能力可以生产葡萄酒20000瓶， 因此只能考虑生产葡萄酒15000瓶。所以，将线性方程组 (2)化为x 2 ? x3 ? 3x5 ? 15000 ? ? ? x3 ? x 4 ? x5 ? 5000 ? ?x ? x5 ? 15000 ? 1 S ? 52500? x3 ? 0.5x5(3)在(3)中令 x3x1 ? 15000 x2 ? 15000 x4 ? 5000 S ? 52500 , , , .? x5 ? 0 ，则即生产香槟酒15000瓶，葡萄酒15000瓶，装瓶设备闲置5000 单位，发酵设备和净化设备充分利用，可得利润52500元。? 从 S ? 52500? x3 ? 0.5x5 中可以看出，若增大 x5 ，则总利 润可望增加。但目前 x5 最大可能增大到5000，闲置5000单 位净化设备，须减少生产5000瓶香槟酒，但又有 5000? 3 ? 15000 单位的发酵能力和 5000? 2 ? 10000单位的装瓶能力闲置，再 加上本来闲置的装瓶能力5000单位（=5000），可以满足 15000瓶葡萄酒的生产需要.(香槟酒)减少利润
? 12500 元，（葡萄酒）增加利润15000元，净增利润=2500元。所以由方程组（3）可得：? ? ? ?x ? 1 x 2 ? 2 x3 ? 3x 4 ? 30000 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ? 5000 ? x3 ? x 4 ? 10000(4)S ? 55000 ? 0.5x3 ? 0.5x4从（4）中令x3 ? x4 ? 0? 则 x1 ? 10000 x2 ? 30000 x5 ? 5000 S ? 55000 , , , 即：生产香槟酒10000瓶，葡萄酒30000瓶，发酵和装瓶能力 充分利用，但净化能力闲置5000单位，可得利润55000元。 由于 S ? 5x3 ? 0.5x4 ? 55000 ，故此时已经取得最大 值。所以，该酿酒厂的最优生产计划是：生产香槟酒10000 瓶，葡萄酒30000瓶，可使总利润达到最大。最大利润为 55000元。 这里，我们通过分析和解线性方程组，求得该线性规划问题 的最优解，这种求解方法反映了单纯形方法（Simplex Method）的基本思路。单纯形方法是求解线性规划问题的主 要方法。?当然，对于线性规划问题：max S ? 2.5 x1 ? x2 ?3x1 ? x2 ? 60000 ?2 x ? x ? 50000 ? 1 2 ? ? 15000 ? x1 ? x1 , x2 ? 0 ?? 用LINDO6.0进行求解，可以很方便求出最优解，并且进行相关的经 济分析。 ? 输入： ? max 2.5x1+x2 ? st ? 3x1+x2&=60000 ? 2x1+x2&=50000 ? X1&=15000 ? end? 评注： ? 1、理论依据： ? 线性规划问题实际上就是求一个线性方程组的非负解，并 且使目标函数取到最大值（或最小值）；线性方程组的有 关理论是线性规划的理论基础。 ? 2、应用与推广 ? 线性规划是运筹学中理论最完备、方法最简单、应用最普 及的一个分支，它可以应用在解决诸如：在一定资源的条 件下，使利润达到最大或者在达到一定技术要求的条件下 使得成本最小。求解线性规划问题有一整套成熟的方法， 求解方法为单纯形方法，可以直接用LINDO、LINGO等软 件进行求解，并且进行相关的经济分析。基因的“距离”? 在ABO血型的人们中，对各种群体的基因频率进行了研究。 A1 , A2 区别开，有人报告了如下的 , B, O 如果把四种等位基因 相对频率：? 现在的问题是：一个群体与另一个群体的接近程度如何？ 换句话说，就是要找到一个表示基因的距离的合适的度量。? 解决这个问题可以用向量代数的方法。首先，我们用单位 向量来表示每一个群体，为此对各个群体向量单位化：? x i1 ? ? ? xi 2 ? ? ?i ? ? ?? x ? i3 ? ?x ? ? i4 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? f i1 ? ? f i2 ? ?(i ? 1,2,3,4) f i3 ? f i4 ? ??fk ?142 ik所以有：? 0.3950? ? 0.1450? ? 0.2991? ? 0.3411? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0.1214? ? 0.0996? ? 0 ? ?1 ? ? ?, ? 2 ? ? 0.1682?, ? 3 ? ? 0.0876?, ? 4 ? ? 0.8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.9177? ? 0.9674? ? 0.9449? ? 0.8840? ? ? ? ? ? ? ? ?? 一种方法是利用欧氏空间的距离 ? i ? ? j ?度量各个向量之间的距离，距离小的， 他们就接近。经计算，得? (xk ?14ik? x jk ) 2来由此可见，最小的基因“距离”是爱斯基摩人与英国人之间 的 ?1 ? ? 3 基因“距离” =0.1478,最大的基因“距离”是爱斯 ?1 ? ? 2 基摩 人与班图人之间的基因“距离” =0.3090。 另一种度量方法是考虑在四维向量空间中，这些向量都是单 位向量，它们的终点都位于一个球心在原点半径为1的球面 上，现在用两个向量的夹角来表示两个对应的群体间的“距如果我们把? i 与 ? j 之间的夹角记为? ij ,由于 ? i ? ? j ? 1再由夹角公式 cos? ij ? ? ? ? ,数值为 ? ij ? arccos(? i , ? j ),0 ? ? ij ? ? i j(? i , ? j ) 越大(小)，则 cos ? ij 越大(小) ， ij 越小(大) ，? i 与 ? j ?(? i , ? j )的距离就越小(大) 。因此，我们可以通过单位向量的内积 来度量它们之间的“距离”。经计算，得? 由于 1 , ?3 的内积? (?1 , ? 3 ) =0.9891最大， 1与? 2 的内积(?1 , ? 2 ) =0.9523最小。所以，最小的基因“距离”是 爱斯基摩人与英国人之间的基因“距离”；最大的基因“距离”是 爱斯基摩人与班图人之间的基因“距离”。? 以上两种度量方法的结果一致，这不是偶 然的。由于?i ? ? j2? ( xi1 ? x j1 ) 2 ? ( xi 2 ? x j 2 ) 2 ? ( xi 3 ? x j 3 ) 2 ? ( xi 4 ? x j 4 ) 2? xi2 ? xi22 ? xi23 ? xi24 ? x 21 ? x 22 ? x 23 ? x 24 ? 2xi1 x j1 ? 2xi 2 x j 2 ? 2xi3 x j3 ? 2xi 4 x j 4 1 j j j j? ?i2? ?j2? 2(? i , ? j ) ? 2 ? 2(? i , ? j )?i ? ? j2(? 因而 (? i , ? j ) 越大，则 越小， ? i ? ? j 也越小； i , ? j ) 2 越小，则 ? i ? ? j 越大， ? i ? ? j 也越大。反之亦然。所 以，用欧氏空间的距离和用两个向量的内积来度量两个单位 向量的“距离”，其结果是一致的。? 评注： ? 1、理论依据： 向量的内积与夹角，用单位向量的夹角来度 量两个向量的距离和用殴氏空间的距离来 度量是一致的。 ? 2、应用与推广 这种方法可以用来进行多指标综合评价，如 主成分分析、聚类分析。利用不同的距离 进行聚类分析，就是基于这个原理的。平行四边形的面积与平行体的体积? 在平面或空间直角坐标系下，平行四边形的面积与平行六 面体的体积可由行列式给出。设平行四边形的两条边由向 量与确定，则其面积的平方为： (? , ? ) (? , ? ) 2 S ? ? (? , ? ) ? ( ? , ? ) ? (? , ? ) 2 (? , ? ) (? , ? )??2? ?2??2? ?2cos ? ? ?22? ?2sin2 ?? （其中? 为 与 β的夹角） α? 当平行六面体的三条棱由三个向量 ? ? (a1 , a2 , a3 )T ，? ? (b1 , b2 , b3 )T ， ? ? (c1 , c2 , c3 )T 给出时， 其体积的平方为：(? , ? ) (? , ? ) (? , ? ) V 2 ? (? , ? ) (? , ? ) (? , ? ) ? (? , ? ) (? , ? ) (? , ? )a1 ? b1 c1 a2 b2 c2 a3 c3 a1 a3 b1 b2 b3 c1 c3 b3 ? a 2? ?a b ?a c ?b a ?b ?b c ?c a ?c b ?cai2i i i i i i 2 i i i2i ii i 2 ia1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3c 2 ? b1所以，体积a1 V ? b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3（注:行列式的绝对值）? 当 ?1 , ? 2 , ? 3 是R^3的一组标准正交基，由R^3中的任意 三个向量? i ? ai1?1 ? ai 2? 2 ? ai 3?3 (i ? 1,2,3)为棱的平行六面体 的体积的平方为(? 1 , ? 1 ) (? 1 , ? 2 ) (? 1 , ? 3 ) V 2 ? (? 2 , ? 1 ) (? 2 , ? 2 ) (? 2 , ? 3 ) ? (? 3 , ? 1 ) (? 3 , ? 2 ) (? 3 , ? 3 )? ?a ?a2 a1i 2i a1i 3i a1i?a a ?a a ?a ?a a ?a a ?a1i 2i 1i 2 2i 3i 2i2i2i 3i 2 3ia11 ? a 21 a31a12 a 22 a32a13 a11 a 23 ? a12 a33 a13a 21 a 22 a 23a31 a11 a32 ? a 21 a33 a31a12 a 22 a32a13 a 23 a332? 同样，由R^n中任意 k (k ? n) 个向量 ?1 , ? 2 , ?, ? k 为棱的k维 平行体体积V的平方为 (? 1 , ? 1 ) (? 1 , ? 2 ) ? (? 1 , ? k )(? 2 , ? 1 ) (? 2 , ? 2 ) ? (? 2 , ? k ) V ? ? ? ? ? (? k , ? 1 ) (? k , ? 2 ) ? (? k , ? k ) 称为由 ?1 ,? 2 ,?,? k 构成的格拉姆（Gram）行列式。 另一方面，线性无关的充分必要条件是格拉姆行列式 (? 1 , ? 1 ) (? 1 , ? 2 ) ? (? 1 , ? k ) (? 2 , ? 1 ) (? 2 , ? 2 ) ? (? 2 , ? k )2? ? ? ? (? k , ? 1 ) (? k , ? 2 ) ? (? k , ? k )?0? 所以，R^n中的任意k个向量 ? 1 , ? 2 , ? , ? k 线性无关 （线性相关）的充分必要条件是：以 ? 1 , ? 2 , ? , ? k 为棱k的维平行体体积不等于零（等于零）。 ? 当然，如果?1 , ? 2 , ?, ? n 是R^n的一组标准正交基， 1 , ? 2 , ?, ? k 的表达式为? i ? ai1?1 ? ai 2? 2 ? ? ? ain? n? (? 1 , ? k ) ? (? 2 , ? k ) ? ? ? ? (? k , ? k )(i ? 1,2,?, k )则有，格拉姆行列式(? 1 , ? 1 ) (? 1 , ? 2 ) (? , ? ) (? 2 , ? 2 ) V2 ? 2 1 ? ? (? k , ? 1 ) (? k , ? 2 )? ?a ?2 a1i 21 a1i?a a ?a1i2i? ? ? ?2 2i?a ?a ?1i a ki 2i a ki? a ki a1i?? a ki a 2i? 2 a ki? 评注： ? 1、理论依据： 向量的内积、线性无关与张成的多面体的体积，用 行列式来表示和计算。 ? 2、应用与推广 向量的内积、线性无关的向量组与张成的多面体的 体积，用格拉姆行列式来表示和计算，反映了不同 概念之间的联系，同时又给出向量组线性无关的一 个充分必要条件。动物繁殖问题与Leslie人口模型? 一、问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为6岁， 将其分为三个年龄组：第一组0~2岁；第二组3~4 岁；第三组5~6岁。动物从第二年龄组起开始繁衍后 代，经过长期统计，第二年龄组的动物在其年龄段 内平均繁殖4个后代，第三年龄组的动物在其年龄段 内平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动 1 1 物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为 2 和 4。 假设农场现有三个年龄段的动物各160头，问饲养8年 后，农场三个年龄段的动物各有多少头？? 二、建立模型? 因年龄分组为2岁一段，所以将时间周期也取为2年。8年 (k ) (k ) (k ) 后就是经过了4个时间周期。设 x1 , x2 , x3 分别表示第 k期的第一、二、三组动物的数量 (k ? 1,2,3, ?) ，则有以 下关系式： (k ) ( k ?1) ( k ?1)? x1 ? 4x2 ? 3x3 ? ? ( k ) 1 ( k ?1) ? x 2 ? 2 x1 ? (k ) 1 (k ) x3 ? x ? 4 2 ?? 用矩阵表示为( ( ? x1 k ) ? ? 0 4 3 ?? x1 k ?1) ? ? ? ? ?? ( k ?1) ? ? x ( k ) ? ? ? 1 0 0 ?? x ? 2 ? 2 ? ?2 ?? ( k ?1) ? ( ? x3k ) ? ? 0 1 0 ?? x 3 ? 4 ? ? ? ?(k ? 1,2,3, ?)X ? 若记， ( k )( ? x1 k ) ? ?0 ? ? ? ? x (k ) ? ? 2 (k ? 1,2,3, ?) ， ? ? 1 L 2 ? ? ? ( ? x 3k ) ? ?0 ? ?4 3? ? 0 0? ? 1 0? 4则有X ( k ) ? LX ( k ?1) ? Lk X (0)(k ? 1,2,3, ?)? 已知 X (0)?160? ? ? ? ?160? ?160? ? ?，则? 0 4 3 ? ?160? ?1300? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2 0 0 ? ?160? ? ?1150? ? 0 1 0 ? ?160? ? 55 ? ? ? ? 4 ? ? ?4X ( 4) ? L4 X ( 0)? 所以，饲养8年后动物总数达2505头，小于2岁的有1300头， 占51.9%；2岁到4岁的有1150头，占45.91%；4岁到6岁的 有55头，占2.2%。8年的总增长率为422%。三、莱斯利(Leslie)人口模型? 我们将人口按相同的年限（比如5年、10年或20年等）分 成若干个年龄组，同时假设总人口中男女性别的比例一定， 这样就可以通过只考虑女性人口来简化人口模型。人口发 展随时间变化，把总人口的年龄分为n个年龄组（年龄组 x i(k ) 间距为固定整数） 为在时间周期k时第i个年龄组（女性） 人口(i ? 1,2, ? , n)? 人口的变化因素主要有生育（由生育率决定）和死亡（由 存活率决定）。那么在时间周期k第1个年龄组的成员是在 上一个周期（时间周期k-1）内出生的，他们是上一个周 ( ( 期内成员的后代，于是有 x1(k ) ? a1 x1(k ?1) ? a2 x2k ?1) ? ? ? an xnk ?1)n) 其中 ai (i ? 1,2, ?,是第i年龄组出生率，由统计资料确定；? 在时间周期k第个年龄组的成员是在上一个周期（时间周 期 k ? 1 ）第i个年龄组的成员转移得来的，在考虑死亡率 的情况下，这一转移过程可由一存活系数衰减，这一转移 过程可以描述为k xi(?1) ? bi xi( k ?1)(i ? 1,2,?, n ? 1)? 其中 b i 是第i个年龄组在一个周期内的存活率，b i 可由统 计资料确定。所以，有人口转移的表达式:( ? x1 k ) ? ? a1 a 2 a 3 ? ? ? ( ? x 2k ) ? ? b1 0 0 ? (k ) ? ? ? x 3 ? ? ? 0 b2 0 ? ? ? ?? ? ? ? (k ) ? ? ?x ? ? n ? ?0 0 0? a n ?1 ? ? ? 0 0 ?? bn ?1( a n ?? x1 k ?1) ? ?? ( k ?1) ? 0 ?? x 2 ? ? ( ? 0 ?? x 3k ?1) ? ? ? ?? ? ? ?? ( k ?1) ? 0 ?? x n ? ? ?或者简写成 X ( k ) ? LX ( k ?1)( ? x1 k ) ? ? ? (k ) ? x2 ? ? ( ? ? ? x 3k ) ? ? ? ? ? (k ) ? ?x ? ? n ?(k ? 1,2,?)? a n ?1 ? 0 ? 0 ? ? ? bn ?1 an ? ? 0? 0? ? ?? ? 0?其中 X ( k )? a1 a 2 a 3 ? ? b1 0 0 ， ? ? 0 b2 0 L ? ?? ? ? ? ?0 0 0，矩阵L称为莱斯利（Leslie）矩阵。由递推公式可得：X(k )? LX( k ?1)??? L Xk( 0)(k ? 1,2,?)? 这个模型是由莱斯利（Leslie）在二十世纪四十年 代提出来的，所以称为Leslie人口模型。进一步研 究人口模型，发现人口增长过程进行到充分长久 以后，人口的增长率将稳定不变，人口的年龄结 构将趋于一种稳定的分布状况，这些结论与Leslie 矩阵L的最大特征值和相应的特征向量有关。 ? 用人口年龄分布向量研究人口的发展变化，其优 点在于：既得到了总人口的增长率，又预测了全 社会人口年龄结构的变化。利用Leslie人口模型， 可以结合我国的计划生育政策来研究人口的变化， 也可以根据我国的人口状况及生育政策研究老龄 化问题等等。人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注 意有计划的控制人口增长.为了得到人口预 测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素 ,而影响人口增长的因素很多,如人口的自 然出生率 人口的自然死亡率 人口的迁移 自然灾害 战争等诸多因素.如果一开始就 把所有因素考虑进去,则无从下手.因此,先 把问题简化,建立比较粗糙的模型,在逐步 修改,得到较完善的模型.马尔萨斯(Malthus)模型美国人口统计学家马尔萨斯在担任牧 师期间，察看了教堂100多年人口生统计 资料，发现人口出生率是一个常数，于 1978年在??人口原理??一书中提出了闻名于 世的马尔萨斯人口模型。他的基本假设是 ：在人口自然生长过程中，净相对增长率 （出生率与死亡率之差）是常数，即单位 时间内人口的增长量与人口成正比，比利 系数设为r。在此假设下，推导并求解人 口随时间变化的人口模型。解：设时刻t的人口为N(t)，把N(t) 当作连续、可微函数处理（因人口总数很 大，可近似的这样处理，此乃离散变量连 续化处理），根据马尔萨斯的假设，在t 到 时间段内，人口的增长量 为并设时刻的人口为，于是这就是马尔萨斯人口模型，用分离 变量法易求出其解为此时表明人口以指数规律随时间无 限增长。模型检验：据估计1961年地球上的人口 总数为 ，而在以后7年中，人口总数 以每年 的速度增长。这样 =1961, = ,r=0.02,于是这个公式非常准确地反映了在1700――1961 年间世界人口总数。因为，这期间地球上的 人口大约每35年翻一番，而上式断定34.6年 增加一倍。但是，后来人们以美国人口为例，用 马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较， 发现更令人不可思议的问题，如果按此模 型计算，到2670年，地球上将有3万6000 亿人口。如果地球表面全是陆地（事实上 地球表面还有80%被水覆盖），我们也只 得踩着肩膀站成两层了。这是非常荒谬的 ，因此这模型应修改。逻辑(Logistic)模型马尔萨斯模型为什么不能预测人口的未 来呢？这主要是地球上的各种资源只能提供 一定数量的人生活，随着人口的增加，自然 资源环境条件等因素对人口增长的限制作用 越来越显著。如果当人口较少时，人口的自 然增长率可以看作常数的话，那么当人口增 加到一定数量以后，这个增长率就要随人口 的增加而减小。因此，应对马尔萨斯模型中 关于净增长率为常数的假设进行修改。1838年，荷兰生物数学家伟尔侯斯 特（Verhulst)引入常数 ，用来表示 自然环境条件所能容许的最大人口数（ 一般说来，一个国家工业化程度越高， 他的生活空间就越大，食物就越多，从 而 就越大），并假设净增长率等于即净增长率随着N(t)的增加而减小， 当 时，净增长率趋于零，按此 假定建立人口预测模型。解：由伟尔侯斯特假定，马尔萨斯模型应该为上式就是逻辑模型。该方程可分离变量，其解为下面，我们对模型作一些简要分析 。1) 当2) 当时，，即无论人口处置如何； ，这说明，人口总数总趋向于极限值 时，N(t)是时间t的单调递增函数；3) 由于所以当当时，时， ，，单增；单减，即人口增长率由增变减，在处最大，也就是说人口总数达到极限值一半以前是加速增长期，过 这一点后，生长的速率逐渐变小，并且迟早会 达到零，这是减速生长期; 4) 用该模型检验美国从年的人口， 发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前 都非常吻合。自1930年以后，误差越来越大， 一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已突破了20世纪初所设的极限人口。由 此可见该模型的缺点之一是 不易确定。事实上，随着一个国家经济的腾飞，他所拥有的 食物就越丰富。 的值也就越大；5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数。某生物学家估计，r=0.029，又当人口总数为时，人口每年以2%的速率增长。由逻辑模型得即从而得 即世界人口总数极限值近100亿。值得说明的是：人也是一种生物 。因此上面关于人口模型的讨论，原 则上也可以用于在自然环境下单一的 物种生存着的其他生物，如森林的树 木、池塘中的鱼等， 逻辑模型有着广 泛的应用。? 评注： ? 1、理论依据： ? 根据矩阵的理论，应用矩阵的乘法、矩阵的特征 值等理论来描述种群的繁殖和生长模型。 ? 2、应用与推广 ? 种群的繁衍、人口的增长，除了可以用微分方程 模型进行连续描述以外，还可以划分成阶段，根 据各个阶段的不同状态和状态的转移，应用矩阵 的乘法（矩阵方幂的收敛性）来预测生物种群的 数量。植物基因的分布与从事各业人员总数的发展趋势? 1.植物基因的分布 设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA、Aa和aa。 研究所计划采用型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。 已知基因转移关系概率如下表：问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因分布如何？? 为了揭示生命的奥秘，人们越来越重视遗传特征的逐代传 播问题。无论是人，还是动物、植物都会将本身的特征遗 传给后代，这主要是后代继承了双亲的基因，形成了自己 的基因对，基因对就确定了后代所表现的特征。 ? 在常染色体的遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继 承一个基因形成自己的基因对（基因型）。在我们所研究 的问题中，植物的基因对为AA、Aa和aa。记 ( n ) ( n ) ( n ) x1 , x2 , x 分别表示第代植物中基因型AA、Aa和aa的植物所占植物总 3 数的百分比，( ? x1 n ) ? ? ? ( ? ? x 2n ) ? ? ? ( ? x 3n ) ? ? ?X (n)为第代植物的基因分布向量，且 ( ( ( x1n) ? x2n) ? x3n) ? 1 ( n ? 0,1,2, ? )? 则有1 ( ? (n) x1 ? x1( n ?1) ? x 2n ?1) ? 2 ? 1 ( n ?1) ? (n) ( x 2 ? x3n ?1) ? x2 ? 2 ? ( ? x 3n ) ? 0 ? ?(n ? 1,2, ?)? 即? x1( n ) ? ? 1 1 0 ?? x1( n ?1) ? 2 ? ? ? ?? ( n ?1) ? ( ? x2n ) ? ? ? 0 1 1 ?? x2 ? 2 ? ( n) ? ? ?? ( n ?1) ? ? x3 ? ? 0 0 0 ?? x3 ? ? ? ? ?(n ? 1,2, ?)?1 1 0? 2 ? ? 1 ? 记 L ? ?0 2 1? ? ? 0 0 0? ? ? 则X (n) ? LX (n?1) ? ? ? L(n?1) X (1) ? L(n) X (0) (n ? 1,2,?)? 为了得到 X (n) 的具体表达式，我们可将L对角化，即存在 可逆矩阵P ? P ?1 1 ? ?1 1 ? ? ? ? 0 ? 1 ? 2? ?0 0 1 ? ? ??1 0 0? ? ? 1 和对角矩阵 ? ? ? 0 2 0 ? ? 0 0 0? ? ?使 P ?1 LP ? ? ，故 L ? P?P ?1。L ? P? Pn n ?1?1 ? ? P? 0 ?0 ??1 ?n 2000? ? ?1 0 ?P 0? ?( ( ? x1( n ) ? x1( 0) ? 1 ? ? 1 ?n x20) ? 1 ? ? 1 ?n ?1 x30) 2 2 ? ? (n) ? 1 ?n x2(0) ? ? 1 ?n?1 x3(0) x2 ? ? 2 2 ? (n) ? x3 ? 0 ????? 1 1 ? ?1 ?n 1 ? ?1 ?n ?1 ? ? ? 2 2 ?0 ?1 ?n ?1 ?n?1 ? ? 2 2 ? ? 0 0 ?0 ? ? ??(n ? 1,2,?)( ( ( ( ( ( ? x1( n ) ? x1( 0) ? x20) ? x30) ? ? 1 ?n x20) ? ? 1 ?n?1 x30) ? 1 ? ? 1 ?n x20) ? ?? 1 ?n?1 x30) 2 2 2 2 ? ? ( n ) 1 n ( 0) 1 n?1 ( 0) ? x2 ? ? 2 ? x2 ? ? 2 ? x3 ? (n) ? x3 ? 0 ?( ( ( ? 所以，当 n ? ? 时 x1 n) ? 1, x2n) ? 0, x3n) ? 0 。即培 育出植物AA型基因所占比例在不断增加，在极限状态下 所有植物的基因都会是AA型。? 2.劳动力就业的转移? 某城市共有30万人从事农、工、商各行业的工作，假定这 个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明： ? （1）在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9 万人从事工业，而有6万人经商。 ? （2）在从农人员中,每年约20%改为从工,10%改为经商。 ? （3）在从工人员中,每年约20%改为从农,10%改为经商。 ? （4）在经商人员中,每年约10%改为从农,10%改为从工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之 后，从事各业人员总数的发展趋势。? 若用3维列向量表示第 xi 年后从事这3种职业的人员总数 (单位：万人)，则已知 x0 ? (15,9,6)T ，而欲求 x1 , x2 ，并 考察在 n ? ?时 xn 的发展趋势。 ? 引进3阶矩阵 A ? (aij )3?3 ，用以刻画从事各业人员间的转 移，称为转移概率矩阵。（转移概率矩阵具有：元素非负， 每行元素之和等于1，并且转移概率矩阵的方幂也是转移 概率矩阵等性质；属于随机过程中马尔柯夫链的内容）于 是：? 0 .7 0 .2 0 .1 ? ? ? A ? ? 0 .2 0 .7 0 .1 ? ? 0 .1 0 .1 0 .8 ? ? ?? 由矩阵乘法，得（因为本问题中转移概率矩阵A恰为对称 矩阵） ? 0.7 0.2 0.1??15? ?12.9 ? ? ?? ? ? ? T x1 ? A x0 ? Ax0 ? ? 0.2 0.7 0.1?? 9 ? ? ? 9.9 ? ? 0.1 0.1 0.8 ?? 6 ? ? 7.2 ? ? ?? ? ? ?? 0.7 0.2 0.1??12.9 ? ?11.73? ? ?? ? ? ? T 2 x2 ? A x1 ? Ax1 ? A x0 ? ? 0.2 0.7 0.1?? 9.9 ? ? ?10.23? ? 0.1 0.1 0.8 ?? 7.2 ? ? 8.04 ? ? ?? ? ? ?? 由于 xn ? Axn ?1 ? An x0An ，由于A可以对角化。 ? 要分析 xn ，就需要计算? ? ? ?用Matlab软件求解： A=[0.7,0.2,0.1;0.2,0.7,0.1;0.1,0.1,0.8] [Q,X]=eig(A) 可以得到对应的对角矩阵和可逆变换矩阵分别为：0 ? ?1 0 ? 0.2 0.7071 ? ? ? X ? ? 0 0.7 0 ? Q ? ? 0.2 ? 0.7071? ? ? ? 0 0 0 .5 ? ? 0.5774 ? 0.8165 ? 0 ? ? ? ?Q AQ ? X?1A ? QXQ?10 ?1 ? n n ?1 A ? QX Q ? Q? 0 0.7 n ?0 0 ?0 ? ? ?1 0 ?Q 0.5n ? ?? 可知，当 n ? ? 时，?1 0 0? ? 1 1 1? ? ? T 1? ? n n ?1 A ? QX Q ? Q? 0 0 0 ?Q ? ?1 1 1? 3? ?0 0 0? 1 1 1? ? ? ? ??1 1 1??15? ?10? ?? ? ? ? 1? n xn ? A x0 ? ?1 1 1?? 9 ? ? ?10? 3? 1 1 1?? 6 ? ?10? ? ?? ? ? ?? 照此规律转移，多年之后，从事这三种职业的人数将趋与 相等，均为10万人。与最初从事各业的人数比例无关。? 评注： ? 1、理论依据： ? 根据矩阵的理论，根据转移状态概率矩阵、矩阵 的特征值等理论来描述状态的转移。 ? 2、应用与推广 ? 根据各个阶段的不同状态和状态的转移，应用矩 阵的乘法（矩阵方幂的收敛性）来预测状态的发 展趋势，这种方法属于随机过程中的马尔柯夫链， 在市场占有率预测等方面有着重要的应用。受教育程度的依赖性? 社会学的某些调查结果表明，儿童受教育的水平 依赖于他们父母受教育的水平。调查过程将人受 教育的程度划分为三类：E类：这类人具有初中或 初中以下程度；S类：这类人具有高中文化程度； C类：这类人受过高等教育。当父母（指文化程 度较高者）是这三类人中的一类型时，其子女将 属于这三类中的任一类的概率（占总数的百分比） 如下表：? 问题： ? （1）属于S类的人口中，其第三代将接受高等教 育的百分比是多少？ ? （2）假设不同的调查结果表明，如果父母之一受 过高等教育，那么他们的子女总是可以进入大学， 修改上面的概率转移矩阵； ? （3）根据（2），每一类人口的后代平均要经过 多少代，最终都可以接受高等教育？? 解：（1）由调查表可得概率转移矩阵? 0.6 0.3 0.1 ? ? ? P ? ? 0.4 0.4 0.2 ? ? 0.1 0.2 0.7 ? ? ?表示当父母是这三类人中的某一类型时，其子女将属于这三 类中的任一类的概率，经过两步转移得? 0.49 0.32 0.19 ? ? ? 2 P ? ? 0.42 0.32 0.26 ? ? 0.21 0.25 0.54 ? ? ?? 即反映当祖父母是这三类人中的某一类型时第三代受教育 程度，P 3 , P 4 , ? 依次类推。所以，属于S类的人口中，其 第三代将接受高等教育的概率是26%。P的三个特征值分别为?1 ? 1, ?2 ?因此可以对角化。 ? 0.3784 ? n n n n ? 当时 n ? ?， ? 1, ?2 ? 0, ?3 ? 0， ? ? 0.3784 P ?17 ? 21 7 ? 21 ? 0.5791?3 ? , ? 0.0.3? ? 0.3? ? 0.3 0.3243? ? ?? 不论现在的受教育水平的比例如何，按照这种趋 势发展下去，其最终趋势是属于E、S、C类的人 口分别为37.84%、29.73%、32.43%。（2）如果父母之一受过高等教育，那么他们子女总是可以 进入大学，则上面概率转移矩阵可修改为：? 0.6 0.3 0.1 ? ? ? P ? ? 0.4 0.4 0.2 ? ? 0 0 1 ? ? ?? 0.8 0.9550? ? ? ? ? 0.4 0.9609? ? 0 0 1 ? ? ?可以计算? 0.48 0.3 0.22 ? ? ? P 2 ? ? 0.40 0.28 0.32 ? ? 0 0 1 ? ? ?，…，P 21，…，P 50? 0.2 0.9994? ? ? ? ? 0.2 0.9995? ? 0 0 1 ? ? ?? 属于S类的人口中，其第三代将接受高等教育的概率是 32%。的三个特征值分别为?1 ? ? 0.8606 ?2 ? , ? 0.1394 ?3 ? 1 , 20 20 因此可以对角化。 n n ?n 当 n ? ?时， 1 ? 0, ?2 ? 0, ?3 ? 1 ，在当 n ? ? 时，10 ? 5210 ? 52? 0 0 1? ? ? n A ? ? 0 0 1? ? 0 0 1? ? ?? 如果父母之一受过高等教育，那么他们的子女总是可以进 入大学，不论现在的受教育水平的比例如何，按照这种趋 势发展下去，其最终趋势是属于E、S、C类的人口分别为 0、0、100%。由此可以看出，按照这种趋势发展下去， 其最终趋势所有人都可以接受高等教育。? 评注： ? 1、理论依据： ? 根据矩阵的理论，根据转移状态概率矩阵、矩阵 的特征值等理论来描述状态的转移。 ? 2、应用与推广 ? 根据各个阶段的不同状态和状态的转移，应用矩 阵的乘法（矩阵方幂的收敛性）来预测状态的发 展趋势，这种方法属于随机过程中的马尔柯夫链， 在市场预测等方面有着重要的应用。快乐的假期旅游? 悄悄地，山绿了，水绿了，树、草全绿了；几回春雨浇过， 那漫山遍野的杜鹃、桃花、梨花都张开了笑脸。春天来了， 张勇、李雨、王刚、赵宇四位大学生相约，去寻找那生机 勃勃盎然向上的春天，去呼吸那沁人心肺春天的气息。 “五一”的长假终于来到了，但他们却发生了争执。原来 张勇想到风光绮丽的苏杭去看园林的春色，李雨却想到风 景迷人的黄山去看巍峨挺拔的黄山松，王刚则想到风光秀 丽的庐山去寻找庐山的真面目。三个人争得面红而赤，只 有赵宇坐在一边，手里拿着笔，不停地写着。最后站起来 说：“别吵了，我计算过了，去苏杭是明智的选择。”说 着他拿起粉笔在纸上画一张分析图，并讲解起来：? 这是一个递阶层次结构，它分三个层次。第一层（选择最 佳旅游地）我们称之为目标层，第二层（旅游的倾向）我 们称之为准则层，第三层（旅游地点）我们称之为方案层。 各层之间的联系用相连的直线表示。要依据我们的喜好对 这三个层次进行相互比较判断进行综合，在三个旅游地中 确定哪一个作为最佳地点。 ?? 具体的做法是通过相互比较确定各准则对于目标的权重和 各方案对于每一准则的权重。首先在我们在准则层对方案 层进行赋权。我们认为费用应占最大的比重（因为我们是 学生），其次是风景（我们主要是旅游），再着是旅途， 至于吃住对我们年轻人来说就不太重要。我们采用两两比 较判断法：a ? 在这张表中，12 ? 1 / 2 ,它表示景色与费用对选择旅 游地这个目标来说的重要之比为1/2（景色比费用 稍微不重要），而 a 21 ? 2则表示费用与景色对选 择旅游地这个目标来说的重要之比为2（费用比景 色稍微重要）； 13 ? 5 表示景色与饮食对选择旅游 a 地这个目标来说的重要之比为5（景色比饮食明显 重要），而 a 31 ? 1 / 5 则表示饮食与景色对选择旅游 地这个目标来说的重要之比为1/5（饮食比景色明 a 显不重要）；23 ? 7表示费用与饮食对选择旅游地 这个目标来说的重要之比为7（费用比饮食强烈重 要），而 a 32 ? 1 / 7 则表示饮食与费用对选择旅游地 这个目标来说的重要之比为1/7（饮食比景色强烈 不重要）。由此可见，在进行两两比较时，我们 只需要进行1+2+3+4=10次比较即可。? 由表1我们得到一个比较判断矩阵? 1 ? ? 2 A ? ?1 / 5 ? ?1 / 5 ? ?1 / 3 1/ 2 5 5 3 ? ? 1 7 7 5 ? 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3? ? 1/ 7 2 1 1/ 2? ? 1/ 5 3 2 1 ?并称之为正互反矩阵。n阶正互反矩阵 A ? (aij ) n?n的特点是 aij ? 0, a ji ? 1/ aij , aii ? 1 ;(i，j=1，2，…，n） 现在的问题是怎样由正互反矩阵确定诸因素对目标层的权重？ A是正矩阵，由佩罗定理知，正互反矩阵一定存在一个最大的正 特征值，并且其所对应的特征向量X为正向量。即AX ? ? max X ，将X归一化（各个分量之和等于1）作为权向量W，即W满 足 AW ? ?maxW 。? A=[1,1/2,5,5,3;2,1,7,7,5;1/5,1/7,1,1/2,1/3;1/5,1 /7,2,1,1/2;1/3,1/5,3,2,1] ? [X,Q]=eig(A)? 可以求出最大特征值 ?max ? 5.0976 ,对应的特征向量 经过归一化得W ? (0.0,0.5,0.1157)T 就是准则层对目标层的排序向量。用同样的方法， 给出第三层（方案层）对第二层（准则层）的每 一准则比较判断矩阵，由此求出各排序向量（最 大特征值所对应的特征向量并归一化）：? 1 1/ 3 1/ 2? ? 0.1677? ? ? ? ? B1 (景色） ? 3 1 1 / 2 ?, P1 ? ? 0.3487? ? ?2 2 ? 0.4836? 1 ? ? ? ? ?3 2? ? 1 ? 0.5472? ? ? ? ? B（费用）? ? 1 / 3 1 2 ?, P2 ? ? 0. / 2 1 / 2 1 ? ? 0.1897? ? ? ? ?4 3? ? 1 ? 0.6301? ? ? ? ? B（饮食）? ?1 / 4 1 2 ?, P3 ? ? 0. / 3 1 / 2 1 ? ? 0.1515? ? ? ? ?3 2? ? 1 ? 0.5472? ? ? ? ? B（居住）? ? 1 / 3 1 2 ?, P4 ? ? 0. / 2 1 / 2 1 ? ? 0.1897? ? ? ? ?? 1 2 3 ? ? 0.5472? ? ? ? ? B（旅途）? ?1 / 2 1 1 / 2 ?, P5 ? ? 0. / 3 2 1 ? ? 0.2631? ? ? ? ?最后，我们将由各准则对目标的权向量W和各方案对每一准 则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向 量。对于方案1（苏杭），它在景色等5个准则中的权重都用 第一个分量表示，即0.2、0.2、 0.5472,而5个准则对于目标的权重用权向量 W ? (0.9,0.5,0.1157)T , 表示，因此方案1（苏杭）在目标中的组合权重等于它们相 对应项的乘积之和。即0.7? 0.4810 ? 0.5? 0.6301 ? ? 0.2? 0.2? 0.4425? 同样可计算出方案2 (黄山)、方案3 (庐山)在目标中的组合 权重分别为0.6。于是组合权向量为(0.9,0.2806)T? 若记 ? 0.2 0.2 0.5472? ? ? P ? ? 0.1 0.1 0.1897? ? 0.7 0.7 0.2631? ? ? 则根据矩阵的乘法，可得? k1 ? ? 0.4425? ? ? ? ? K ? ? k 2 ? ? PW ? ? 0.2769? ?k ? ? 0.2806? 3? ? ? ?? 0.2863? ? ? ? 0.4810? W ? ? 0.0485? ? ? ? 0.0685? ? ? 0.1157? ?? 上述结果表明。方案1 （苏杭）在旅游选择中占的权重为 0.4425接近1/2，远大于方案2（黄山权重0.2769）、方案3 （庐山权重0.2806），因此我们应该去苏杭。 ? 听了赵宇的分析，大家都拍手称快。王刚说，“这个方法 挺不错的，这叫什么方法？”赵宇笑着说：“这叫‘层次 分析法（AHP―Analytic Hierarchy Process）’，是一种现 代管理决策的方法。它的应用比较广泛，比如大学生的择 业决策；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病确定 治疗方案；经理要从若干个应试者中挑选秘书等等，都可 用这种方法。当然这里面的学问很大呢。”? 评注： ? 1、理论依据： ? 根据正互反矩阵的最大特征值及其对应的归一化的特征向 量来解决多目标决策问题。 ? 2、应用与推广 ? 层次分析法在美国运筹学家T.L.Saaty正式提出来之后，由 于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就 在世界范围内得到普遍的重视和广泛地应用。二、三十年 来它的应用已经遍及经济计划和管理、能源政策及分配、 行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、环境、人才等 诸多领域。它的最大特点是将定性分析用定量的方法进行 解决，主要应用在决策、评价、分析和预测。投入产出分析? 一个城镇有三个主要生产企业：煤矿、电厂和地方铁路作 为它的经济系统。已知生产价值1元的煤，需要消耗0.25元 的电和0.35元的运输费；生产价值1元的电，需要消耗0.40 元的煤、0.05元的电和0.10元的运输费；而提供价值1元的 铁路运输服务，则需要消耗0.45元的煤、0.10元的电和0.10 元的铁路运输服务费。假设在某个星期内，除了这三个企 业间的彼此需求，煤矿得到50000元的订单，电厂得到 25000元的电量供应需求，而地方铁路得到价值30000元的 运输需求。试问：这三个企业在这个星期各生产多少产值 才能满足内外需求？除了外部需求，试求这星期各企业之 间的消耗需求，同时求出各企业的新创造价值（即产值中 去掉各企业的消耗所剩部分）。? 这是一个小型的经济投入产出模型①。在一个国家或地区 的经济系统中，各部门（或企业）既有消耗又有生产，或 者说既有“投入”，又有“产出”，生产的产品供给各部 门和系统以外的需求，同时也要消耗系统内各部门所提供 的产品。消耗的目的是为了生产，生产的结果必然要创造 新价值，以支付工资、税收和获取利润。显然对于每一个 部门，物资消耗（生产资料转移价值）和新创造价值之和 应该等于它的生产总值。这就是“投入”和“产出”之间 的平衡关系（见表②）。 ? ①投入产出法是由经济学家华西里? 里昂节夫（Wassily W? W.Leortief）创立并发展，为此他获得1973年诺贝尔经济学 奖。关于投入产出模型更详细的内容，读者可以查阅有关 专门的著作。 ? ② 这是价值型投入产出表，此外还有实物型的投入产出表， 实物型的投入产出表纵列不可相加。? 设煤矿、电厂和地方铁路在这星期的总产值分别为 x1 , x2 , x3 (元)，那么就有分配平衡方程组（表示产 出情况）? 0 ? x1 ? 0.40x2 ? 0.45x3 ? 50000 ? x1 ? ?0.25x1 ? 0.05x2 ? 0.10x3 ? 25000 ? x2 ?0.35x ? 0.10x ? 0.10x ? 30000 ? x 1 2 3 3 ?? 该方程组说明各企业的产品按其经济用途的使用分配情况， 即： ? 总产品（值）= 中间产品（作为系统内部的消耗）+ 最 终产品（外部需求） 记0.40 0.45? ? 0 ? ? A ? ? 0.25 0.05 0.10 ? 称为直接消耗系数矩阵，A中的元素 aij ? 0.35 0.10 0.10 ? ? ?表示单位（元）第部门产品在生产过程中对第部门产品的消 耗量 (i, j ? 1,2,3) .? x1 ? ? ? X ? ? x2 ? ?x ? ? 3?称为总产品列向量（矩阵）,? y1 ? ? ? Y ? ? y2 ? ? y ? 称为最 ? 3?终产品列向量 (矩阵），则分配平衡方程组可以表示成 ? 或 ( E ? A) X ? Y AX ? Y ? X? 从而其解为 X ? ( E ? A)?1Y对于我们的问题，可得? 0.40 ? 0.45? ? 1 ? ? ?1 X ? ( E ? A) Y ? ? ? 0.25 0.95 ? 0.10? ? ? 0.35 ? 0.10 0.90 ? ? ??1? 50000? ? ? ? 25000? ? 30000? ? ?? 1.1 0.8059?? 50000? ?114458? ? ?? ? ? ? ? ? 0.9 0.3663?? 25000? ? ? 65395 ? ? 0.7 1.4652?? 30000? ? 85111 ? ? ?? ? ? ?即这个星期煤矿总产值是114458元，电厂总产值是65375 元，铁路服务产值是85111元。? 值得指出的是：A是直接消耗系数矩阵，可 以证明：A的所有特征值的模全小于1；因 lim Ak ? O ，这是直接消耗系 此，满足条件 k ?? 数矩阵特有的性质。则 ( E ? A)?1 ? E ? A ? A2 ? A3 ? ? 是收敛的，称为 完全需要系数矩阵；同时 ( E ? A)?1 ? E ? A ? A2 ? A3 ? ? 称为完全消耗系数 矩阵，它等于直接消耗加上各次间接消耗。? 在求出X以后，三个企业为煤矿提供的中间产品（煤矿的 消耗）列向量为：?? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? x1 ? 0.25? ? .25? ? ? 28614? ? ? 0.35? ? 0.35? ? 40060? ? ? ? ? ? ?三个企业为电厂提供的中间产品（电厂的消耗）列向量为?? 0.40 ? ? 0.40 ? ? 26158? ? ? ? ? ? ? x2 ? 0.05? ? 6? ? ? 3270 ? ? 0.10 ? ? 0.10 ? ? 6540 ? ? ? ? ? ? ?? 三个企业为铁路提供的中间产品（铁路的消耗）列向量为? 0.45? ? 0.45? ? 38300? ? ? ? ? ? ? x3 ? 0.10? ? ? ? ? 8511 ? ? ? 0.10? ? 0.10? ? 8511 ? ? ? ? ? ? ?? 另一方面，若设煤矿、电厂和地方铁路在这星期的新创造 价值（工资、税收、利润等）分别为 1 2 3 (元),则 可得到消耗平衡方程组：z ,z ,z? 0 ? x1 ? 0.25x1 ? 0.35x1 ? z1 ? x1 ? ?0.40x2 ? 0.05x2 ? 0.10x2 ? z 2 ? x2 ? 0.45x ? 0.10x ? 0.10x ? z ? x 3 3 3 3 3 ?? 这个方程组说明了各部门总产值的价值构成情况，即 ? 生产资料转移价值 + 新创造价值 = 总产值? 由于 x , x , x 已经求得，代入消耗平衡方程组，可解得 1 2 3 ? ? 1 2 3 分别为45784元、29427元、29789元。所以， 可以得到这三个部门的投入产出表：z ,z ,z? 评注： ? 1、理论依据： ? 根据线性方程组的理论，列出价值型投入产出表的两组平 衡方程组并求解。 ? 2、应用与推广 ? 投入产出综合平衡模型是宏观的经济模型，用于为经济系 统（小到一家公司，大到整个国家乃至国际共同体）编制 经济计划并研究各种相关的经济政策和问题。这种模型由 美国经济学家里昂节夫（Wassily W.Leortief）于1931年开 始研究，并于1936年首先发表第一篇研究成果，此后数十 年间被愈来愈多的国家采用并取得良好的效果，里昂节夫 本人也因此而获得1973年度的诺贝尔经济学奖。小行星轨道方程问题问题的引入? 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在 轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，其单位为 天文测量单位，在5个不同的时间对小行星作了5次观察， 测得轨道上的5个点的坐标数据如下表： 表 5.1.1 轨道上的5个点的坐标数据1 2 3 4 5xy5.7640.6486.2861.2026.7591.8237.1682.5267.4083.360C试确立小行星的轨道方程，并画出小行星的运动轨线 图形。5.1.2 模型的分析? 由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，设椭圆的一般方程 为： a1x2 ? 2a2 xy ? a3 y2 ? 2a4 x ? 2a5 y ?1 ?，需要确定系数 ai , i ? 1, 2,3, 4,5; 0 利用已知的数据，不妨设 ? xi yi ? 等价于求解一个线性方程组：i ? 1,2,3,4,5;欲确定系数 ai?a1 x12 ? 2a2 x1 y1 ? a3 y12 ? 2a4 x1 ? 2a5 y1 ? 1 ? 0 ? 2 2 a1 x2 ? 2a2 x2 y2 ? a3 y2 ? 2a4 x2 ? 2a5 y2 ? 1 ? 0 ? ? 2 ? a1 x3 ? 2a2 x3 y3 ? a3 y32 ? 2a4 x3 ? 2a5 y3 ? 1 ? 0 ? 2 2 a1 x4 ? 2a2 x4 y4 ? a3 y4 ? 2a4 x4 ? 2a5 y4 ? 1 ? 0 ? ? a1 x52 ? 2a2 x5 y5 ? a3 y52 ? 2a4 x5 ? 2a5 y5 ? 1 ? 0 ?可写成矩阵的形式：AX ? b? 其中，? x12 ? 2 ? x2 A ? ? x32 ? 2 ? x4 ? x2 ?5 2 x1 y1 y12 2 x1 2 y1 ? ? 2 2 x2 y2 y2 2 x2 2 y2 ? 2 x3 y3 y32 2 x3 2 y3 ? ? 2 2 x4 y4 y4 2 x4 2 y4 ? 2 x5 y5 y52 2 x5 2 y5 ? ?? ?1? ? a1 ? ? ?1? ?a ? ? ? ? 2? b X ? ? a3 ? ， ? ? ?1? ? ? ， ?a4 ? ? ?1? ? ? ? ?1? ? a5 ? ? ? ? ?5.1.3模型的假设? 假设： C(1)小行星轨道方程满足开普勒第一定律； C(2)以上所测得数据真实有效。5.1.3模型的建立?33.8 ? ? 45.6841 ? ?51.5 ? 7.5 24.7 49.0 1.2960 ? ? a1 ? ? ?1? 1.0 2.4040 ? ? a2 ? ? ?1? ?? ? ? ? 3.0 3.6460 ? ? a3 ? ? ? ?1? ?? ? ? ? 6.0 5.0520 ? ? a4 ? ? ?1? 11.0 6.7200 ? ? a5 ? ? ?1? ?? ? ? ? 0.4199? 该问题的模型为：可见，解答上述问题就是对线性方程进行求解。? 由于矩阵A可逆，线性方程组有惟一的解：解得（可以用 计算机软件求解） a1 ? 0.6143, a2 ? ?0.3440, a3 ? 0.6942, a4 ? ?1.6351 a5 ? ?0.2165 , 因此，椭圆的一般方程为0.6143x ? 0.688xy ? 0.6942y ? 3.2702x ? ?0.433y ? ?12 22 2 由于前3项 0.6143x ? 0.688xy ? 0.6942y 是二次型，系数矩阵为? 它的特征值分别为 ?1 ? 0.3079, ?2 ? 1.0006 ，两个相互正交的单位特征向量分别为? 0.6143 ? 0.344? ? ? ? 0.344 0.6942 ? ? ? ?? 0.7468? ?1 ? ? ? 0.6651? ? ? ?? ? 0.6651? ? 2? ? ? 0.7468 ? ? ? ?? 因此可利用正交变换 将椭圆的一般方程标准化为? x ? 0.7468x ? ? 0.6651y ? ? ? y ? 0.6651x ? ? 0.7468y ?0.3079x? 2 ? 1.0006y ? 2 ? 2.7301x? ? 1.8516y ? ? ?1再配方，即可得到小行星轨道椭圆的标准形式：( x ? ? 4..38052?( y ? ? 0..432?1? 评注： ? 1、理论依据： ? 通过过已知点拟合椭圆的方程，然后根据二次型的标准化 理论用正交变换将其化为标准形，确定椭圆的长半轴、短 半轴、半焦距、近日点距、远日点距和椭圆周长的近似值 等若干参数。 ? 2、应用与推广 ? 通过二次型的标准化解决实际应用问题，是非常普遍的方 法。这里值得注意的是：在二次型的标准化的过程中，一 定要采用正交变换，因为正交变换可以保持向量的长度不 变，只有在用正交变换化成标准形以后，才可以保持椭圆 的大小不变，确定的一些参数才是有意义的。
更多相关文档