三角函数诱导公式_百度百科
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三角函数诱导公式
三角函数诱导公式（Induction formula）是一种数学公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的。包括一些常用的公式和和差化积公式。
三角函数诱导公式常用公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）=sinα （k∈Z）
cos（2kπ+α）=cosα （k∈Z）
tan（2kπ+α）=tanα （k∈Z）
cot（2kπ+α）=cotα（k∈Z）
公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π+α）= －sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）= tanα
cot（π+α）=cotα
公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系（利用 原函数 奇偶性）：
sin（－α）=－sinα
cos（－α）= cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）= sinα
cos（π－α）=－cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）=－sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）=－tanα
cot（2π-α）=－cotα
公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）=cosα
sin（π/2－α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2+α）=－cotα
tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2+α）=－tanα
cot（π/2－α）=tanα
推算公式：3π/2 ± α与α的三角函数值之间的关系：
sin（3π/2+α）=－cosα
sin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2+α）=sinα
cos（3π/2－α）=－sinα
tan（3π/2+α）=－cotα
tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2+α）=－tanα
cot（3π/2－α）=tanα
诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。以cos（π/2+α）=－sinα为例，等式左边cos（π/2+α）中n=1，所以右边符号为sinα，把α看成锐角，所以π/2&（π/2+α）&π，y=cosx在区间（π/2，π）上小于零，所以右边符号为负，所以右边为－sinα。
符号判断口诀：
全,S,T,C,正。这五个字口诀的意思就是说：内任何一个角的四种都是“+”；内只有是“+”，其余全部是“-”；内只有是“+”，其余全部是“-”；内只有是“+”，其余全部是“-”。
也可以这样理解：一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余弦指的是对应象限三角函数为正值的名称。口诀中未提及的都是负值。
“ASTC”反Z。意即为“all(全部)”、“”、“”、“”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。
另一种口诀：正弦一二切一三，余弦一四紧相连，言之为正。
三角函数诱导公式推导过程
万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]，
（因为cos2(α)+sin2(α)=1）
再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的可通过比余弦得到。
三倍角公式推导
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα－sin3(α)]/[cos3(α)－cosαsin2(α)－2sin2(α)cosα]
上下同除以cos3(α)，得：
tan3α=[3tanα－tan3(α)]/[1-3tan2(α)]
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2(α)+[1－2sin2(α)]sinα=2sinα－2sin3(α)+sinα－2sin3(α)
=3sinα－4sin3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα
=[2cos2(α)－1]cosα－2cosαsin2(α)
=2cos3(α)－cosα+[2cosα－2cos3(α)]
=4cos3(α)－3cosα
sin3α=3sinα－4sin3(α)
cos3α=4cos3(α)－3cosα
和差化积公式推导
首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb
同理，若把两式相减，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
同样的，我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb
同理，两式相减我们就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
这样，我们就得到了积化和差的公式：
cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式
我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
三角函数诱导公式三角函数
同角三角函数的基本关系式
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1　　
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
sin2(α)+cos2(α)=1
1+tan2(α)=sec2(α)
1+cot2(α)=csc2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法
构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。
对角线上两个函数互为倒数；
六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的的乘积，下面4个也存在这种关系。）由此，可得关系式。
在带有阴影线的中，上面两个顶点上的三角的平方和等于下面顶点上的三角的平方。
两角和差公式
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
三角函数六角形记忆法
cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanαtanβ)
tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanαtanβ)
二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2(α)－sin2(α)=2cos2(α)－1=1－2sin2(α)
tan2α=2tanα/[1－tan2(α)]
tan[(1/2)α]=(sin α)/(1+cos α)=(1-cos α)/sin α
半角的正弦、余弦和正切公式
sin2(α/2)=(1－cosα)/2
cos2(α/2)=(1+cosα)/2
tan2(α/2)=(1－cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα
sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]
cosα=[1－tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]
tanα=[2tan(α/2)]/[1－tan2(α/2)]
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα－4sin3(α)
cos3α=4cos3(α)－3cosα
tan3α=[3tanα－tan3(α)]/[1－3tan2(α)]
三角函数的和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α－β)/2]
sinα－sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α－β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α－β)/2]
cosα－cosβ=－2sin[(α+β)/2]sin[(α－β)/2]
三角函数的积化和差公式
sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α－β)]
cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)－sin(α－β)]
cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α－β)]
sinα·sinβ=－ 0.5[cos(α+β)－cos(α－β)]扫二维码下载作业帮
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诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限.怎么理解?
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这是记忆三角函数诱导公式的口诀.例如计算:sin240;tan240 sin240=sin(180+60)=-sin60； sin240=sin(270-30)=-cos30.以上的180度是90度的偶数（2）倍,结果仍然是原来的函数（正弦）,而270度是90度的奇数（3）倍,结果就变成了原函数的余函数（余弦）,因为原来的角240度是第三项限的角,原函数的符号是负的.“奇变偶不变”是说,角前面的度数是90度的倍数.如果是偶数,则函数名称不变,如果是奇数,则要变成它的余函数（正、余弦互相变,正、余切互相变,正、余割互相变） “符号看象限”是说,要服从原来的角所在的象限中原来函数的符号.
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诱导公式kπ/2+α奇变偶不变：如果k是奇数，那么sin变成cos，以此类推；如果k是偶数，那么sin仍为sin，以此类推。符号看象限：假定α是第一象限角，根据kπ/2+α所在象限的三角函数的符号确定诱导公式的符号。例如sin(3π/2+α)，k=3是奇数所以变为cos，假定α是第一象限角则3π/2+α是第四象限角，第四象限角正弦值为负，所以符号是"-"，所以sin(...
这个是高中的三角函数口诀奇变偶不变是指后面的数为偶数，那么，前面的sin
cos 维持不变，如果是奇数则sin
变成cos,cos变为sin符号看象限是指判断后面的数在哪个象限，如二分之三兀就在第三象限，cos值为负，变为sin时，前方要带负号符号看象限是指判断后面的数在哪个象限，如二分之三兀就在第三象限，cos值为负，变为sin时，前方要带负号...
符号看象限是指判断后面的数在哪个象限，如二分之三兀就在第三象限，cos值为负，变为sin时，前方要带负号
符号看象限是指判断后面的数在哪个象限，如二分之三兀就在第三象限，cos值为负，变为sin时，前方要带负号
就是说，当判定角a+kπ/2的某一三角函数值时，先把角a看成第一象限角，然后看a+kπ/2在第几象限角，然后根据三角函数在这个象限角中的正负，来判定此三角函数相对于仅有角a的对应的三角函数的正负例如，sin(a+3π/2), a第一象限，k=3, 是奇数，所以就要变为cosa或-cosa,下面来看符号：sina为正，a+3π/2就第4象限，cos(a+3π/2)在此象限为负正，则sin(...
需要特别说明的是，这种关系对-a同样适用，而且尽管a不一定是第一象限，但是a+ kπ/2的三角函数值与a的三角函数值的这种关系是不变的，楼主不妨多试几次，加深下印象，这样，才能提高自己的运算速度。在考试中，时间可是生命哦！
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