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导数及其求法
导数及其求法 在学习过极限概念的基础上，现在来我们学习微积分的基本问题中非常重要的一个部分──微分学. 在这一部分将给出导 数（微分）的概念、法则、定理及其主要求法. §1 一元函数导数及求法 【知识点】 一、基本概念1、导数定义： 设函数y = f ( x)在点 0 的某一邻域内有定义， 自变量x仍在邻域内） ，函数?x→ 0limy 相应取得增量 ?y = f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) ，如果极限 f ( x0 + ? x ) ? f ( x0 ) ?y = lim?x?x → 0x 在 x0 处取得一增量 ?x（ x0 + ?xf ′ ( x0 )?x存在，则称此极限值为函数y = f ( x)ff ′ ( x 0 ) = lim此时也称函数( x0?x → 0f ( x ) 在点 x0 处可导，若上式不存在，则称函数 f ( x ) 在点 x0 处不可导或导数不存在. y = f ( x ) 在点 x0 的左侧（右侧）包含 x0 某一邻域内有定义，在 x 处给 x 0+ ?x )? f ?x在点 0 的导数，记为x( x0 )2、 增量 极限?x & 0 （ ?x & 0 ） x0 + ?x 仍在邻域内，函数 y 相应取得增量 ?y = f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) ，如果 ，f (x0 + ? x ) ? f ( x0 ) ?y = li m ? ?x→ 0 ? x ?x→ 0 ?x f ( x0 + ? x ) ? f ( x0 ) ?y lim + = lim + y = f ( x) 在 ?x → 0 ?x （ ?x → 0 ? x ） 存在，则称此极限值为函数 li m ?点 0 的左（右）导数，记为左导数与右导数定义：设函数xf ? ′ ( x 0 ) = lim ??x→ 0（ 3、f + ′ ( x 0 ) = lim +?x → 0+ ? x ) ? f ( x0 ) ?x f ( x0 + ? x ) ? f ( x0 ) f( x0f ?′ ( x0 ) （ f + ′ ( x 0 ) ）?x） 在一点可导的充分必要条件可导的充分必要条件：函数y = f ( x)f ( x)是在点 0 处的左、右导数存在x且相等，即f ?′ ( x0 ) = f +′ ( x0 )4、导数的几何意义：函数 切线的斜率. 曲线y = f ( x ) 在点 x0 处导数 f ′ ( x 0 ) 表示曲线 y = f ( x ) 在点（ x0 ， f ( x ) ）处在点（ 0 ，y = f ( x)xf ( x)）处的切线方程为y ? f ( x0 ) = f ′ ( x0 )( x ? x0 )f ′ ( x0 ) = 0, 则为 x = x0），法线1 y ? f ( x0 ) = ? ( x ? x0 ) f ′ ( x0 ) 方程为若函数( f ′ ( x0 ) ≠ 0).（y = f ( x)在点 0 处导数为无穷大，则曲线xy = f ( x)在点（ 0 ，xf ( x)）处的切线垂直于x 轴，切线方程为x = x0 ，法线方程为 y = f ( x 0 ) .y = f ( x)在区间5、导函数：若函数f ( x)I 上每一点处可导，则任一 x∈I 有导数值，由此定义了一个新函数，称为, y x′ , dy dx , df dx的导函数，简称导函数，记为f ′(x ), y′6、可导与连续关系：在点 0 处x若 f ′ (x )存 在 → f8、高阶导数的概念：若函数( x )连 续 ， 反 之 f ( x )连 续 则 f ′ ( x )不 一 定 存 在的导数.7、导数的四则运算法则与导数公式见教材.f ′( x)f ′′ ( x)=?x→ 0li mf(x+ ?x2)?f(x )存 在 ， 该 导 数 称 为 的 二 阶 导 数 ， 记 为?xf ′′ ( x), y ′′,d y dx2,d f dx22.类推有三阶、四阶 9、微分的定义：设函数 在邻域内） ，函数L,n 阶导数，记为y = f ( x)在点f(n )(x), y(n ),d ny dxn.x 的某一邻域内有定义，如果对自变量在点 x 处的改变量 ?x （ x + ?x 仍y 的改变量 ?y = f ( x + ?x ) ? f ( x ) 可以表示为( ? x → 0)?y = A ? ?x + ο ( ?x )其中 A 与 记为?x 无关，则称函数 y = f ( x ) 在点 x 处的可微，并称 A ? ? x 为函数 y = f ( x ) 在点 x 处的微分，dy或df ( x )即dy＝A ? ?x 或df ( x ) = A ? ?x在点（ 0 ，注：① 称函数的微分 ②dy 是改变量 ?y 的主要部分，或称为线性主部.y = f ( x)几何意义是曲线xf ( x0 )）处的切线，当x 取得增量 ?x 时，纵坐标对应的增量.可微 10、微分与导数的关系： 11、微分的四则运算法则与微分公式见教材. 12 、 一 阶 微分 形 式不 变 性 ：设 函数y = f ( x)?? → ←? y = f ( x ) ? 可导.（充要条件）y = f ?? ( x ) ? ? ?y = f ( u ) ， u = ? ( x ) 构 成 复 合 函 数， 若 y = f ( u ) 关 于 u 可 微，关 于u = ? (x)关 于x可 微 ， 则 复 合 函 数 其中x的 微 分 有：dy = f ′ ( u ) ? ′ ( x ) dx 或dy = f ′ ( u ) du中间变量，总有 二、定理du 是 u ( x ) 关于 x 的微分.（无论是u 自变量还是dy = f ′ ( u ) du ） y = f ( x) x = ? ( y ) 在某区间内单调、 ?′( y) ≠ 0 ， 可导且 则它的本义反函数或定理 1、 反函数求导法则） （ 若函数 在对应区间内也可导，且f ′(x ) =? ′(y )1? ′(y ) =定理 2、 （复合函数求导公式）若函数 数u = ? ( x ) 在 x 处有导数 ? ′ ( x ) ，函数 y = f ( u ) 在 x 的对应点 u 处有导1 f ′(x )f ′ (u )，则复合函数y = f ?? ( x ) ? x ? ? 在 处可导，且{ f ?? ( x)?}′ = f ′(u) ??′ ( x) ? ?即： 【方法与例题】一元函数的导数（微分）计算问题，只要熟练掌握求导（微分）公式，以及若干常规方法都可顺利解决. 求导（微）方法除了从定义出发直接求函数导数外（解题时几乎不用） ，一般可归纳为以下几种.dy dy du = ? dx du dx或 y x′ = y u ′ ? u x′1、公式法：利用导数（微分）公式及法则，求函数的导数（微分）. 2、复合函数求导法（连锁规则） ：利用复合函数求导公式及常用的导数公式求函数的导数.（涉及到中间变量的选择） 3、隐函数求导法：由方程F ( x, y ) = 0确定的隐函数y = y ( x)，将y = y ( x)带入方程得恒等式F ? x , y ( x )? ≡ 0 y y′ ? ? ，利用复合函数求导法，对上式两边同时求导，求导时把 视为中间变量，解出 x 得表达式.4、对数求导法：对函数两边取对数，再利用隐函数求导法求出导数. 5、一阶微分形式不变性：利用微分形式不变性及微分公式求导数（微分）. 6、高阶导数求法：利用导数公式，数学归纳法或递推 注：要求熟记导数（微分）公式，熟练掌握求导（微）方法，并能综合运用. 例题选讲： 例1、 设y = 3x + x 3 + 3sin xy = x sin x求导数y′解： （公式法） 例2、 设y′ = (3x )′ + ( x3 )′ + (3sin x)′ = 3x ln 3 + 3x 2 + 3cos x求导数y′ = ( x )′ sin x + x (sin x)′ =解： （公式法） 例3、 设 解： （公式法）sin x + x cos x 2 xy = 2 x sin x + cos x ? ln x求导数y′y = (2 x sin x)′ + (cos x ln x)′ = (2 x )′ sin x + 2 x (sin x)′ + (cos x)′ ln x + cos x(ln x)′ 1? ? 1 ? ? =? ? ln x ? sin x + ? 2 x + ? cos x x? ? ? x ? y = lnsin x 求导数 y′ 例4、 设解： （复合函数求导法）设y = ln u ， u = sin x 则1 cos x y′ = (ln u)u′ (sin x) x′ = cos x = = cot x u sin x注：① 在熟练了之后，计算时不必将中间变量写出 ② 连锁规则是非常重要的法则，必须熟练掌握.例5、设 解： （复合函数求导法）n ?1? x ? y =? ? ? 2x +1 ?n求导数y′? x ? y′ = n ? ? ? 2x +1 ?例6、 设 解： （复合函数求导法）y = ln x + x2 + a2(n ?1 nx n ?1 ? x ?′ ? x ? 2x +1? 2x = n? = ? ? ? n +1 2 ? 2x +1 ? ? 2x +1 ? ( 2 x + 1) ( 2 x + 1))求导数y′y ′ = [ln x + x 2 + a 2 ]′ = 1()1 x + x2 + a2(x +x2 + a2)′? 2 2 ′ ?1 + ( x + a ) = x + x2 + a2 ? 2 x2 + a2 ? ? x + x2 + a2 x2 + a2 x y= a2 ? x2 y′ 2 例7、 设 求导数解： （复合函数求导法）? ? ? 1 2x ?= ?1 + ? ? x + x2 + a2 2 2 ? 2 x +a ? ? ? 1 x2 + a 2=1x + x2 + a2=y′ = =1 [x 2a 2 ? x 2 ]′ =1 [ x′ 2a 2 ? x 2 + x ( a 2 ? x 2 )′]x 1 [ a2 ? x2 + ( a 2 ? x 2 )′ ] 2 2 a2 ? x2 x a2 ? 2x2 1 2 2 = [ a ?x + ( ? 2 x )] = 2 2 a2 ? x2 2 a2 ? x2注：①为防止计算过程中出错误，最好是一层一层的求导. ②注意选择好中间变量，他关系到计算得是否成功与繁简. ③复合函数求导法是重点和难点，要多多练习.例8、 设 解： （复合函数求导法）y = 3arcsinx求导数y′y′ = (3arcsin x )′ = ( 3u ) ′ ( arcsin v )v′u( x) ′x= 3a rc s i nxln 3 1?11 x()22x=3 2a rc s i nxln 3x ? x2(可不写中间变量)例9、 设xy 2 ? e xy + 2 = 0求由方程确定的隐函数的导数y′解： （隐函数求导法）利用隐函数求导法，两端对y 2 + 2 xyy x ′ ? e xy y + xy x ′ = 0d y d x = y x解出(e (2 y(x 求导x y? ? eyx y) ))（导数中可含有y）y′ 值.例10、 设 ， 求由方程确定的隐函数在其曲线点（2，－2）上的导数 解： （隐函数求导法）利用隐函数求导法，求出导数后带入该点值. 将方程两边对x 2 + xy + y 2 = 4x 求导有2 x + y + xy ′ + 2 yy ′ = 0y′ 得 解出例11、 设y′ = ?2x + y x+ 2y1y ′ (2 , ? 2 ) = 1y = (1 + x ) s in x， 求导数y′ .ln y =解： （对数求导法）两端取对数有 两边对ln+ x s in x(1)x 求导有1 s in x ? ln (1 + x ) ? c o s x 1 1+ x y′ = s in 2 x y s i n x ? (1 + x ) l n (1 + x ) ? c o s x = (1 + x ) s i n 2 xy′ =(1 +y =x)s in x1s i n x ? (1 + x(1 +) ? l n (1 + x ) ? c o s x )? s in 2 xx3例12、 设 解： （对数求导法）两端取对数有( x ? 1 )( x ? 2 ) ( x + 3 )( x ? 4 )， 求导数y′ .y =两边对x 求导有1 ? ln ( x ? 1 ) + ln ( x ? 2 ) ? ln ( x + 3 ) ? ln ( x ? 4 ) ? ? 3?1 1? 1 1 1 1 ? + ? ? y′ = ? ? 3 ? ( x ? 1) ( x ? 2 ) ( x + 3 ) ( x ? 4 ) ? y ∴ y′ = 1 33( x ? 1)( x ? 2 ) ? 1 + ( x + 3 )( x ? 4 ) ? x ? 1 ?(x & 0)， 求导数1 1 1 ? ? ? ? x?2 x+3 x?4?例13、 设y′ . ln y = x ln x 解： （对数求导法）两端取对数有y = xx两边对x 求导有1 1 y ′ = ln x + x ? = ln x + 1 y x y ′ = y ( ln x + 1) = x x ( ln x + 1)注：对数求导法往往能化简求导的计算或者能解决常用求导公式无法解决的问题，因而大家要熟练掌握. 例14、 设 解： （一阶微分形式不变性）2y = e ax + bx2， 求导数y′ .2dy = d ( e ax + bx ) = ( e u ) u ′ d ( ax + bx 2 ) = e ax + bx ( a + 2 bx ) dx ∴ y x ′ = e ax + bx ( a + 2 bx )2注：也可以用其它方法求之如直接求导.例15、 设 解： （一阶微分形式不变性）直接对方程微分有y = f ( x ) 有方程 arctan d a rc ta ny = ln x2 + y2 x所确定，求导数y′ .y = d ln x2 + y2 x 1 y 1 1 d d (x2 + y2 = 2 2 2 x 2 x + y ? y ? 1+ ? ? ? x ? x2 xdy ? ydx 1 xdx + ydy = 2 2 2 x + y x x2 + y2 2 dy x+ y 化简得 = dx x? y( n) 例16、 设 ， 求导数 . 解： （高阶导数求法）逐次求导，运用归纳方法)y = sin xyπ ? ? y ′ = ( sin x )′ = co s x = sin ? x + ? ( 三 角 公 式 ) 2? ? π ? π ? π ? ? ? ? y ′′ = [sin ? x + ? ]′ = cos ? x + ? = sin ? x + 2 ? ? 2? 2? 2? ? ? ?π ? π ? π ? ? ? ? y ′′′ = [sin ? x + 2 ? ? ]′ = cos ? x + 2 ? ? = sin ? x + 3 ? ? 2? 2? 2? ? ? ?一般的有π? ? y ( n ) = (sin x ) ( n ) = sin ? x + n ? ? 2? ?例17、 设 ， 求导数 . 解：求解这类问题要注意这是分段函数.把握这一特点，就可以逐段、逐点求导，从而解决求导函数的问题.? ? f (x) = ? ? ?x ?1 2x x 2 +1 1 x+4 2x≤0 0 & x ≤1 1& x ≤ 2 2& xf ′( x)当x & 0, 时 f ′ ( x ) = 1;当0 & x & 1, 时 f ′ ( x ) = 2当 x & 2,时 f ′ ( x ) =x→ 0当1 & x & 2,时 f ′ ( x ) = 2x→01 2在 x = 0处 , lim? f ( x ) = lim? ( x ? 1) = ? 1x → 0+ x → 0?lim f ( x ) = lim+ 2 x = 0x→ 0 x→ 0lim f ( x ) ≠ lim+ f ( x )即 lim f ( x ) 不 存 在x→ 0同理 故可得f ′ (1) = 2f ′ ( 2) 不存在? ? f ′(x ) = ? ? ?1、求导数 2、求导数1 2 2x 1 2x&0 0 & x ≤1 1& x & 2 2& x注：求解这类问题要细心，在处理分段点时要运用可导的充分必要条件. 【思考练习题】y = (1 + ax b )(1 + bx a )n( a , b是 常 数 )（公式法）（公式法）y = x ln x y = x sin x ln x 3、求导数y = ln x +4、求导数(x2 ? a2 x x)（公式法）（复合函数求导法）y = ln6、求导数y=7、求导数1+ 1? x（复合函数求导法）1 ? x2（复合函数求导法）2x y = arctan 1? x2 8、求导数9、求导数 10、求导数（复合函数求导法）y = e1 ta n x（复合函数求导法） （复合函数求导法） （隐函数求导法） （隐函数求导法）y = x 1 ? x 2 + a r c s in x11、求下列隐函数的导数 12、求隐函数的导数y = x ? xyyy = 1 + xe= x 1 ? 1 +2 3y13、求函数的导数x x（对数求导法）y =14、求函数的导数x 1 ? x3 ? x (3 + x )2（对数求导法）15、利用一阶微分形式不变性，求函数的导数 16、利用一阶微分形式不变性，求 17、求函数的高阶导数ln ( x 2 + y ) = x 3 y + sin xy = a rc s inx的导数.y = xe xy =求 y(n)18、求函数的高阶导数1 x2 + 5x + 6求 y(100)§2 二元函数偏导数及求法 【知识点】一、基本概念1、偏增量：?z x = f ( x 0 + ?x , y 0 ) ? f ( x 0 , y 0 ) ， ?z y = f ( x 0 , y 0 + ?y) ? f ( x 0 , y 0 )全增量：?z = f ( x 0 + ?x , y 0 + ?y) ? f ( x 0 , y 0 )z = f ( x , y) 在P0 （x0 ，y0 ）的某邻域2、定义：设函数U(P0 , δ) 内有定义.固定 y = y0 不变，如果一元函数存在，则称此极限值为函数z = f ( x, y0 )在x0f ( x 0 + ?x, y 0 ) ? f ( x 0 , y 0 ) ?x 处 可 导 ， 即 ?x →0 lim的偏导数.z = f ( x , y) 在 P0（x0，y0）点关于 x记为：?z ?x( x 0 , y0 ) 、?f ?x( x 0 , y0 ) 或者z x′ ( x0 , y 0 )、f x′ ( x0 , y 0 )，即：lim f x′ ( x 0 , y 0 ) ?x→0=f ( x0 + ?x, y 0 ) ? f ( x0 , y 0 ) ?x同理：f y ′ ( x0 , y 0 )=?y →0limf ( x 0 , y 0 + ?y ) ? f ( x 0 , y 0 ) ?y3、偏导(函)数：如果函数z = f ( x , y) 在 D 内的每一点（x，y）都有偏导数，则称 f y ′ ( x , y ) 、 f x′ ( x , y ) 为z = f ( x , y) 的两个偏导(函)数.4、几何意义： 斜率.f x′ ( x0 , y 0 )表示：曲面z = f ( x , y) 与平面 y=y0 相交的曲线 Cx，在平面 y=y0 内在 x=x0 处的切线其 中 ：K x = f x′ ( x0 , y0 ) = tan α，K y = f y′ ( x0 , y0 ) = tan β如 图 所 示 ：2 ? 2 z ? ?z ? z = ? ( ?z ) = ( ) z = f ( x , y) ，称 ?x 2 ?x ?x ， ?y 2 ?y ?y 为函数的二阶纯偏导数， 5、高阶偏导数定义：设有函数 ：2 ?2z ? ? ?z ? ′′ ( x , y ) = ? z = ? ? ? z ? f yx ′′ ( x , y ) = = f xy ? ? ? ? ? y ? x ? x ? ? y ? 为函数的二阶混 ? x? y ?y ? ?x ? ，而称合偏导数.2 ? 2 z ?z ?z ? z ≠ ?z ? ?z ≠ ? ?x 2 ?x ?x ， ?x?y ?y ?x注：一般情况下6、全微分定义 ：设z = f ( x, y ) 在 P（x，y）的某邻域 U 内有定义，如果函数 z = f ( x, y ) 在点（ x，y）处的全增量可以表示为?z = f ( x 0 + ?x, y 0 + ?y ) ? f ( x0 , y 0 ) = A?x + B?Y + O( ρ ) ，其中?x ， ?y 无关的常数，则称 z = f ( x, y ) dz = A?x + B?y . 在 P（x，y）点的全微分存在，或者称其在该点是可全微分的，记其全微分为 dz ，且，2 ρ = ( ?x ) 2 + ?y） ，A，B 为与仅点（ x （y）有关，而与在这里仍规定，dx = ?x ， dy = ?y ，即： dz = Adx + Bdy .二、定理与法则定理 1：若函数z = f ( x , y) 的两个混合偏导数在区域 D 内连续，则两者相等.?2z ?2z = ?x?y ?y?x定理 2：可微函数一定连续.（不连续的函数一定不可微.）dz =定理 3：可微函数的偏导数一定存在，且 定理 4：若函数的偏导数连续，则函数可微分.?z ?z dx + dy = z x′ dx + z y′ dy ?x ?y定理 5：设 函数u = φ (x ) ， v = ? (x ) 在点 x 处可导， z = f (u, v ) 在 x 对应的点（u，v）处有连续的偏导数.则一元z = f (u ( x ), v ( x )) 在点 x 处可导，称其为全导数.且dz ?z du ?z dv = ? + ? dx ?u dx ?v dx称公式（A）为全导数公式. 定理 6： （复合函数微分法）设函数dz ?f du ?f dv = ? + ? ?u dx ?v dx ）……公式（A） （ dxu = u ( x, y ) ， v = v ( x, y ) ，在点（x，y）处有偏导数，函数 z = f (u, v ) z = f (u ( x, y ), v ( x, y )) 在点（x，y）处有对关于 x 和 y 的偏导数，且有下列在其对应的点处有连续的偏导数，则 公式：?z ?z ?u ?z ?v ?f ?u ?f ?v = ? + ? = ? + ? ?x ?u ?x ?v ?x ?u ?x ?v ?x ?z ?z ?u ?z ?v ?f ?u ?f ?v = ? + ? = ? + ? ?y ?u ?y ?v ?y ?u ?y ?v ?y ……公式（B）记忆方法：如图注：①连线相乘，分线相加. ②公式（B）推广到多个中间变量的情形.三、几个概念的相互关系： 函数在（x，y）点的关系【方法与例题】偏导数的计算与一元函数的求导是基本类似的，很容易把一元函数的求导方法移植过来.只是在求z = f ( x , y) 偏导数时，要将 y（或 x）视为常数，对 x（或 y）求导数.要多做练习提高熟练运用复合函数微分法的能力,同时要注意求偏 导数与求一元函数导数的区别.?z ?x （另：注意偏导数的符号一、求?z 、 ?ydy dx 是一个整体，不像可以看成 dy 除以 dx.）z = f ( x , y) 在 P0（x0，y0）的偏导数的方法：方法 1：先求出偏导函数f x′ ( x , y ) f y ′ ( x , y )，后代入该点的坐标值（x0，y0）.方法 2：先代入y = y0 ，得到 f ( x, y 0 ) ，再对 x 求导数得 f x′ ( x , y 0 ) ，再代入 x = x0 .，得到（或先代入x = x0f ( x0 , y )，再对 y 求导数得f y ′ ( x0 , y )，再代入y = y0 .）二、求多元函数偏导函数的方法：1、 复合函数微分法：主要是运用复合函数微分法求二元函数的偏导数，注意中间变量的选取.2、 隐函数求导法：构造一个方程，对方程两边求偏导数，解出偏导数.由?F ?F ?z ?y ?x , ?z = ? =? ?F ?F ?y F ( x , y , z ) = 0 ?x ?z ?z 得3、 高阶偏导数求法：它与一元函数求高阶导数类似，但要注意混合偏导数的计算.三、例题选讲：z=1、设y ?z x ，则求 ?x?x ?y ， ?y ， ?zz=解：∵y x ，∴ x=?z y =? 2 x 视 y 为常数，则 ?x；又∵?x 1 y = z ，∴视 z 为常数，则 ?y z ；?y =z y = xz ，∴视 x 为常数，则 ?z 又∵ . ?z ?z ?x (1, 2) ， ?y2、设z = x ? 2 xy + 3 y23，求它在点（1，2）处的偏导数(1, 2 )解：?z ?x(1,2 )= (2x ? 2 y )(1,2 )= ?2；?z ?y(1,2 )= ( ?2 x + 9 y 2 )(1,2 )= 34? xy ? f ( x , y) = ? x 2 + y 2 ?0 ? 3、设，x 2 + y 2 = 0 .求 f ( x , y ) 在（0，0）处的偏导数.x 2 + y2 ≠ 0解：因为函数是分段函数，在整个定义域内表达形式不一样；所以必须根据偏导数定义来求解.lim f x′ ( 0, 0 ) ?x →0=f (0 + ?x,0) ? f (0,0) 0 = lim =0 ?x → 0 ?x ?x f (0,0 + ?y ) ? f (0,0) 0 = lim =0 ?y →0 ?y ?yf y ′ ( 0, 0 )=?y → 0lim?2z z = x y y x ，求 ?x 2 4、设?2z ， ?x?y .y ln x + x ln y解：将函数变形z = xy yx = e?z y y ln x + x ln y =e .[ + ln y ] x ，∴ ?x .? 2 z ?z y y y ln x + x ln y =e .[? 2 + ( + ln y ) 2 ] 2 x ?x = ?x x ；?2z 1 1 y x y ln x + x ln y = [ + ]x y y x + ( + ln y ) e (ln x + ) ?x?y x y x y .dy y = u v ， u = cos x ， v = sin 2 x ，求 dx5、设.解：由全导数公式， （A）公式.?y ?y = v ? u v ?1 = u v ? ln u ?u ， ?v du dv = ? sin x = 2 sin x cos x = sin 2 x ， dx 且： dx∴2 2 dy = ? sin3 x(cos x) ?cos x + sin 2x ? (cosx) sin x ? ln cos x dx6、设?z y = u ， u = 2 x + y ， v = x + 3y ，求 ?xv 2解： 由复合函数微分法， （B）公式.?z ?z ?u ?z ?v = ? + ? = vu v ?1 ? 2 + u v ln u ? 1 ?x ?u ?x ?v ?x = 2( x + 3 y 2 )(2 x + y ) x +3 yz = (3 x 2 + 5 y 2 )2 x? y2?1+ (2 x + y ) x +3 y ln(2 x + y )?z ?y27、设?z , 求 ?x解：由复合函数微分法， （B）公式.= 6 x ( 2 x ? y ) ( 3x 2 + 5 y 2 )同理有?z ?z ?u ?z ?v = + = vu v ?1 6 x + u v ln u 2 ?x ?u ?x ?v ?x2 x ? y ?1+ 2 ( 3x 2 + 5 y 2 )2 x? yln ( 3x 2 + 5 y 2 )?z ?z ?u ?z ?v = + = vu v ?1 10 y + u v ln u ( ?1) ?y ?u ?y ?v ?y = 10 y ( 2 x ? y ) ( 3 x 2 + 5 y 2 )2 x ? y ?1? (3x 2 + 5 y 2 )2 x? yln ( 3 x 2 + 5 y 2 )x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 2 b c 8、求有方程 a 所确定的函数 z F ( x, y , z ) =的偏导数.2x y2 z2 + 2 + 2 ?1 = 0 a2 b c 解：由隐函数求导法构造函数方程 ?F 2 x ?F 2 y ?F 2 z = 2, = 2 , = 2 ?x a ?y b ?z c2y 2x 2 2 2 ?z a = ? c x , ?z = b2 = ? c y = ?x 2 z 2 a 2 z ?y 2 z 2 b2 z c c【思考练习题】，x ?z ?z , v = 3x ? 2 y , y ?x ?y z = u 2 ln v ，而 1、设 ，求 x y ?z ?z z = sin cos , y x ，求 ? x ? y 2、设 u=3、 （提示：可将表达式变形） 注：本题有多种方法，如复合函数微分法、隐函数求导法等.z = ( x2 + y2 )xy?z ?z , ，求 ? x ? yz=4、设xe y y2?z ?z , , 和 Z 的全微分 ?x ?y ，求 .y x确定的隐函数ln5、求由x 2 + y 2 = arctany = f (x)的导数.?z ?z , xy + yz + zx = 2 确定的函数为 z = f ( x , y ) ，求 ? x ? y 6、设由注：本题可用多种方法求解..?z ?z , 2 z = e z + e xy ，求 ? x ? y 7、设dz y = e ，求 dx ，其中设 8、设 x z ?z ?z ?2z = ln , 及 y ，求 ? x ? y ?x?y . 9、设 z y?x y ?z ?z z= ln x +y y+x x ，求 ? x ? y .（提示：令 z = u ln v ，复合函数微分法） 10、设z = arctan ( xy )x? xy ? ?z ?z z= f? 2 x +y ? x + y 2 ? ，其中 f 可微，求 ? x ?y ? 11、设.?2z 1 z = f ( xy ) + yf ( x + y ) f ( x , y ) 二阶可微，求 ? x ? y x ，其中 12、设 ?x? ?2z z = y? ? ? + ln ( 2 x ? y ) ? 有二阶连续导数，求 ? x ? y . ? y? 13、设 ，其中14、设.z = f ( x , x + z , yz )，其中f有连续偏导数，求dz
《高等数学》中求导的常用求法_数学_小学教育_教育专区。龙源期刊网 .cn 《高等数学》中求导的常用求法 作者:张旭红 来源:《科技视界》...求导数的一般方法 一、高中数学导数的定义,公式及应用总结 导数的定义: 当...定义最基础求法 2.复合函数单调性) ①确定 f(x)的定义域; ②求导数; ③...导数求法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【导数求法】 问题一: 1)若直线 L 和 y=f(x)相切,且以 P 为切点的直线 L 方程 解:设函数 f(x)=x^3-...导数切线的求法(类型全)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。导数几何意义 ...x3 ? x2 ? 1 相切,求切点 P 的坐标及参数 m 的值。 8.若曲线 y ? ...导数不单调的求法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。导数不单调的求法 高中数学 1 2 x ? ln x ? (a ? 4) x 在 (1, ??) 上是增函数. 2 (Ⅰ)...用导数求切线方程的关键 在于清楚导数的几何意义:切线的斜率就是函数 y=f(x)在切点处的导 数。 下面举出长建的题型及解法: 题目:导数法求切线方程的三种题型 ...第一章一, 1 x 导数及其应用导数的概念 f (2 ? ?x) ? f (2) 的值...4 判别式法 5、二次函数区间最值求法: (1)对称轴(重视单调区间) 与定义域...1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课标考纲解读 夺冠学习方略 1....求 y =(3x-2)2 的导数. 解:(法 1) y'=[(3x-2)2]' =(9x2-12x...高二数学 导数的概念及求法 1.已知函数 f (x ) 在 x = 1 处的导数为 3,则 f (x ) 的解析式可能为 (A) f ( x) = ( x ? 1) + 3( x ? ...偏导数的求解实质是一元函数的求导 , 关于某个变量求偏导数 , 将这个变量视...偏导数的定义及其计算法 18页 5下载券
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全书上一道微分方程的题，我两边求导后与结果不一样。
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本帖最后由 kao_yan2009 于
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这是道全书上含变限积分的方程那节的一道题，我没有用书上的方法，而是先将方程两边都求导，这样左边就是0了，右边就是f'(x)+sinx+xcosx，然后就得出f'(x)=sinx+xcosx，然后再对方程两边求积分，就得出f(x)。但是我的结果是-xsinx+c，而答案是
-sinx+cosx+c。请告诉我我的做法哪里不对了？谢谢。
另外，我再补充下。书上用的是把左边转换成变限积分的方法。其中有一步如下图：我的疑问是，既然x成为分母了，那为什么不用先说一下x≠0呢？
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longzhipiaoyao 发表于
左边对x求导不是0。令tx=u，积分限是0到x，把原积分变化之后再对x求导。
对，书上就是用的您的方法。但是我想知道的是为什么左边求导不是0？左边是个定积分，也就是一个数，求导不是如果零那结果是什么？
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你不能直接进行左右求导的,你要对左边的方程进行变换,令xt=u,把左边方程换掉才行的.
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左边是含参变量的积分求导，你这样做出来就是不正确的。因为左边的积分里面，x相当于常数。左边最后积出来是一个关于x的函数，所以左边不是一个常数，而是一个x函数。
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...为啥我算的是cosx-xsinx+c，不知道哪错了
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LLLYSL 发表于
左边是含参变量的积分求导，你这样做出来就是不正确的。因为左边的积分里面，x相当于常数。左边最后积出来 ...
好的，感谢以上各位，我再好好想想对左边那个求导最后的结果是什么。
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longzhipiaoyao 发表于
左边是一个关于x的函数，不是一个常数。对于不同的x积分值是不一样的。举个例子吧。假设f（u）=u，那么f ...
好的，感谢以上各位，我再好好想想对左边那个求导最后的结果是什么。
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kao_yan2009 发表于
好的，感谢以上各位，我再好好想想对左边那个求导最后的结果是什么。
左边含有x，所以直接求导求不出，只能把括号里面的换元，这样就可以把X从括号内解放出来。这种题目都是要换元才行的。不换元直接求导是不对的哈。
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秦了个晋 发表于
...为啥我算的是cosx-xsinx+c，不知道哪错了
我算的结果也是，而且还能求出来c=-1好像，就是不知道对不对？？求解
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左边是关于x的方程，导数怎么会是0涅？？？
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