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高中数学立体几何
立体几何基础题题库二（有详细答案）361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面? 解析：有 5 个暴露面. 如图所示，过 V 作 VS′∥AB，则四边形 S′ABV 为平行四边形，有∠S′VA=∠VAB=60°，从而ΔS′VA 为等边三角形， 同理ΔS′VD 也是等边三角形，从而ΔS′AD 也是等边三角形，得到以ΔVAD 为底，以 S′与 S 重合.这表明ΔVAB 与ΔVSA 共面，ΔVCD 与ΔVSD 共面，故共有 5 个暴露面. 362. 若四面体各棱长是 1 或 2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值) 解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条 件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的. 排除｛1，1，2｝ ，可得｛1，1，1｝｛1，2，2｝｛2，2，2｝ ， ， ，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再 求其体积. 由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为 2，另一边为 1，对棱相等的四面体. 对于五条边为 2，另一边为 1 的四面体，参看图 1 所示，设 AD=1，取 AD 的中点为 M，平面 BCM 把三棱锥分成两个三棱 锥，由对称性可知 AD⊥面 BCM，且 VA―BCM=VD―BCM，所以VABCD= SΔBCMAD.1 3CM= CD 2 - DM2 = 2 - ( ) =21 2 215 15 11 .设 N 是 BC 的中点，则 MN⊥BC，MN= CM 2 - CN2 = - 1= ，从而 SΔ 2 4 2BCM= ×2×1 211 11 = ， 2 2 11 11 ×1= . 2 6故 VABCD= ×1 3对于对棱相等的四面体，可参见图 2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式 V= 不妨令 a=b=2，c=1，则 V=2
( 2 + b2 - c2)( 2 + c2 - a2)( 2 + a2 - b2)， a b c 122
( 4+ 4- 1 4+ 1- 4 1+ 4- 4 )( )( ) 12=14 2
7= . 12 12363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为 24cm,深为 8cm 的空穴，求该球的半 径. 2 2 2 解析：设球的半径为 R，依题意知截面圆的半径 r＝12,球心与截面的距离为 d＝R-8，由截面性质得：r +d ＝R ,即 2 2 2 12 +(R-8) ＝R . 得 R＝13 ∴该球半径为 13cm. 364. 在有阳光时，一根长为 3 米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为 3 米，同时将一个半径为 3 米的球放在这块水 平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解析：由题意知，光线与地面成 60°角，设球的阴影部分面积为 S，垂直于光线的大圆面积为 S′，则 Scos30°＝S′, 并且 S′＝9π，所以 S＝6 3 π(米 ) 365. 设棱锥 M―ABCD 的底面是正方形，且 MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD 的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球 的半径.2解析： ∵AB⊥AD，AB⊥MA， ∴AB⊥平面 MAD， 由此，面 MAD⊥面 AC. 记 E 是 AD 的中点， 从而 ME⊥AD. ∴ME⊥平面 AC， ME⊥EF 设球 O 是与平面 MAD、AC、平面 MBC 都相切的球. 不妨设 O∈平面 MEF，于是 O 是ΔMEF 的内心. 设球 O 的半径为 r，则 r＝ 设 AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1. ∴ME＝ .MF＝ a + ( ) ,2 △MEF S EF + EM + MF2 a22 2 ar＝2 a+ 2 2 + a2 + ( )2 a a 2 a≤2 ＝ 2-1 2+ 2 2当且仅当 a＝ ，即 a＝ 2时，等号成立. ∴当 AD＝ME＝ 2时，满足条件的球最大半径为 2-1. 366. 在正方体 ABCD―A1B1C1D1 中，期棱长为 a. (1)求证 BD⊥截面 AB1C； (2)求点 B 到截面 AB1C 的距离； (3)求 BB1 与截面 AB1C 所成的角的余弦值。(1)证明 : DD ^ 面ABCDü
BD 1BD ^ AC
同理 BD1⊥AB1.∴BD1⊥面 ACB1.1^ AC(2)AB=BC=BB1
G 为△AB1C 的中心.AC= 2a AG=2 2 6 a 3 = a 2 3 32∴BG= a - (6 2 6 3 2 3 a = a2 - a2 = ) a = a 3 9 9 3(3)∠BB1G 为所求6 a GB 6 cos∠BB1G= 1 = 3 = BB a 3 1367. 已知Ｐ为 ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 解析： 因M为PB的中点，连BD∩AC于O后，可将PD缩小平移到MO，可见 MO为所求作的平行线． 证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ， 则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线， ∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ
平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ， ∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 368. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M，N，Ｅ，Ｆ分别是棱Ｂ1Ｃ 1，A1D 1，Ｄ1 Ｄ，ＡＢ的中点． （１）求证：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ． （２）平面直线A1E与MF所成的角． 解析： （１）要证A1E⊥平面ABMN，只要在平面中找到两条相交直线与A1E都垂直，显然MN与它垂直，这是因为 MN⊥平面A1ADD1，另一方面，AN 与A1E是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知 识解决． （２）为（１）的应用． 证明 （１）∵AB⊥平面A1ADD1， 而Ａ1Ｅ
平面A1ADD1， ∴AB⊥Ａ1Ｅ．在平面A1ADD1中，A1E⊥AN， ∵AN∩AB＝A，∴A1E⊥平面ABMN．解 （２）由（１）知A1E⊥平面ABMN，而MF
平面ABMN，∴A1E⊥MF， 则A1E与MF所成的角为９０° 369. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M为棱CＣ1的中点，AC交BD于点 O，求证：A1O⊥平面MBD． 解析：要证A1O⊥平面MBD，只要在平面MBD内找到两条相交直线与A1O都垂直，首先想到DB，先观察 A1O垂直 DB吗？ 方法１：发现A1O平分DB，想到什么？（△A1DB是否为等腰三角形） ∵A1D＝A1B，DO＝OB，∴A1O⊥DB． 方法２：A1O⊥DB吗？即DB⊥A1O吗？DB 垂直包含A1O的平面吗？（易见DB⊥平面A1ACC1） 再观察A1O垂直何直线？DM？BM？因这两条直线与A1O均异面， 故难以直接观察，平面MDB 中还有何直线？易想到MO，因MO 与A1O相交，它们在同一平面 内，这是一个平几问题，可画 出平几图进行观察． 证明 取 CC1 中点 M， 连结 MO， ∵DB⊥A1A， DB⊥AC，1A∩AC=A， A ∴DB⊥平面A1ACC1，而 A1O
平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．在矩形A1ACC1中，∵tan∠AA1O=2 2 ，tan∠MOC= ，∴∠AA1O=∠MOC， 2 2则∠A1OA＋∠MOC＝９０°，∴A1O⊥OM，∵OM∩DB＝O，∴A1O⊥平面MBD． 370. 点P在线段AB上，且AP∶PB＝１∶２，若A，B到平面α的距离分别为a，b，求点P到平面α的距离． 解析： （１）A，B在平面α的同侧时，P平面α的距离为2 1 2 + b a a + b= ； 3 3 3（２）A，B在平面α的异侧时，P平面α的距离为2 1 a + ( -b = ) 3 3 2 - b a ． 3点评 一是画图时，只要画出如右上图的平面图形即可，无需画出空间图形；二是对第（２）种情形，若以平面为“水 平面” ，在其上方的点高度为正，在其下方的点高度为负，则第（２）种情形的结论，就是将（１）结论中的b改为(－ b)，而无需再画另一图形加以求解． 371. 若两直线a 与b异面，则过 a且与 b垂直的平面 （ ） （Ａ）有且只有一个 （Ｂ）可能存在也可能不存在 （Ｃ）有无数多个 （Ｄ）一定不存在 （Ｂ） 解析：若存在，则a⊥b，而由条件知，a不一定与b 垂直． 372. 在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，若E是A1C1的中点，则 直线CE垂直于 （ ） （Ａ）AC （Ｂ）BD （Ｃ）A1D （Ｄ）A1D1 解析： （Ｂ） BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE． 373. 定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 （ ） （Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个 解析：D 过P作一个与AB，AC都平行的平面，则它符合要求；设边AB，BC，CA 的中点分别为 E，F，G，则平面PEF符合 要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求 374.P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面 ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是 5， 17 ， 13 ，则P 到A 点的距离是 （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ） 3 （ ）（Ｄ）４解析： （A） 2 2 2 2 2 2 2 设AB＝a，BC＝b，PA＝h，则a +h =5,b +h =13,a +b +h =17,∴h=1． 375. 线段AB的两个端点A，B到平面α的距离分别为6cm,9cm,P在线段AB上，AP：PB＝１：２，则 P到平面α 的距离为 ．解析：７cm 或１cm． 分A，B在平面α的同侧与异侧两种情况．同侧时，P到平面α的距离为6
+ 9 ＝７（cm） ，异侧时，P到平面α 的距离为6
- 9 ＝１（cm） ． 376. △ABC 的三个顶点 A， C 到平面α的距离分别为 2cm,3cm,4cm, B， △ABC的重心到平面α的距离为 ． 解析：3cm ．3 + 4+ 5 ＝3cm ． 3 2 3 1 3 2 3 1 3且它们在α的同一侧， 则377.Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝６，BC＝８，EC⊥平面ABC，且EC＝１２，则ED＝ 解析：１３． AB＝１０，∴CD＝５，则ED＝ 5 2 + 122 ＝１３．．378. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1 中，求： （１）A1B 与平面 A1B1CD 所成的角； （２）B1B 在平面 A1C1B 所成角的正切值． 解析： 求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影． （１）先找到斜足 A1，再找出 B 在平面 A1B1CD 内的射影，即从 B 向平面 A1B1CD 作垂线，一定要证明它是平面 A1B1CD 的 垂线． 这里可证 BC1⊥平面 A1B1CD，O 为垂足， ∴A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 上的射影． （２）若将平面 D1D1BB 竖直放置在正前方，则 A1C1 横放在正前方，估计 B1B 在平面 A1C1B 内的射影应落在 O1B 上，这是 因为 A1C1⊥平面 D1DBB1，∴故作 B1H⊥O1B 交于 H 时，BH1⊥A1C1，即 H 为 B1 在平面 A1C1B 内的射影．另在求此角大小时， 只要求∠B1BO1 即可． 解析： （１）如图，连结 BC1，交 B1C 于 O，连 A1O． ∵A1B1⊥平面 B1BCC1，BC1
平面 B1BCC1，∴A1B1⊥BC1． 又 B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1， ∴BC1⊥平面 A1B1CD，O 为垂足， ∴A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 上的射影， 则∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角． sin∠BA1O＝BO 1 = ，∴∠BA1O＝３０°． A B 2 1（２）连结 A1C1 交 B1D1 于 O1，连 BO1， 作 B1H⊥BO1 于 H．∵A1C1⊥平面 D1DBB1，∴A1C1⊥B1H． 又 B1H⊥BO1，A1C1∩BO1＝O1，∴B1H⊥平面 A1C1B， ∴∠B1BO1 为 B1B 与平面 A1C1B 所成的角， tan∠B1BO =B O 1 1 B B 1 = 2 2 ，即 B1B 与平面 A1C1B 所成的角的正切值为 ． 2 2379.Rt△ABC 中，∠C＝９０°，BC＝３６，若平面 ABC 外一点 P 与平面 A，B，C 三点等距离，且 P 到平面 ABC 的距离 为８０，M 为 AC 的中点． （１）求证：PM⊥AC； （２）求 P 到直线 AC 的距离； （３）求 PM 与平面 ABC 所成角的正切值． 解析：点 P 到△ABC 的三个顶点等距离，则 P 在平面 ABC 内的射影为△ABC 的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为 斜边的中点． 证明 （１）∵PA＝PC，M 是 AC 中点，∴PM⊥AC 解 （２）∵BC＝３６，∴MH＝１８，又 PH＝８０，∴PM＝ PH2 + MH2 = 802 + 182 = 82，即 P 到直线 AC 的距离为８２； （３）∵PM=PB=PC，∴P 在平面 ABC 内的射线为△ABC 的外心， ∵∠C=90° ∴P 在平面 ABC 内的射线为 AB 的中点 H。 ∵PH⊥平面 ABC，∴HM 为 PM 在平面 ABC 上的射影， 则∠PMH 为 PM 与平面 ABC 所成的角，∴tan∠PMH＝PH 80 40 = = MH 18 9380. 如图，在正四面体 ABCD 中。各面都是全等的正三角形的四面体，M 为 AD 的中点，求 CM 与平面 BCD 所成角的余弦 值． 解析：要作出 CM 在平面 BCD 内的射影，关键是作出 M 在平面 BCD 内的 射影，而 M 为 AD 的中点，故只需观察 A 在平面 BCD 内的射影，至此问题解法已明朗． 解 作 AO⊥平面 BCD 于 O，连 DO，作 MN⊥平面 BCD 于 N，则 N∈OD． 设 AD＝a，则 OD＝ × 又∵CM＝2 3 3 6 a= a，∴AO＝ AD2 - OD2 = a，∴MN 3 2 3 3＝6 a． 63 7 21 a，∴CN＝ CM2 - MN2 = a= a． 2 12 6 CN 7 = ． CM 3∴CM 与平面 BCD 所成角的余弦值为381. 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 是棱 A1A 的中点，N 在 AB 上，且 AN∶NB＝１∶３，求证：C1M⊥MN． 解析：在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直难．此题 C1M 与 MN 是相交直线，一种方法可通过勾 股定理来验证它是否垂直，另一方法为：因 MN 是平面 A1ABB1 内的一条直线，可考虑 MC1 在平面 A1ABB1 内的射影． 证明１ 设正方体的棱长为ａ，则 MN＝a 2２5 a， 4C1M＝ a2 + a2 + ( ) 2 =２ ２3 3a 41 a，C1N＝ a2 + a2 + ( )2 = a ， 2 4 4∵MN ＋MC1 ＝NC1 ，∴C1M⊥MN． 证明２ 连结 B1M，∵C1B1⊥平面 A1ABB1， ∴B1M 为 C1M 在平面 A1ABB1 上的射影． 设棱长为 a ，∵AN＝ a，AM＝ a，∴tan∠AMN＝ ， 又 tan∠A1B1M＝ ，则∠AMN＝∠A1B1M，∴B1M⊥MN， 由三垂线定理知，C1M⊥MN． 382. 如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝９０°，AB＝BC＝a，AD＝２a，PA⊥平面 ABCD，PA＝a． （１） 求证：PC⊥CD； （２） 求点 B 到直线 PC 的距离． 解析： （１）要证 PC 与 CD 垂直，只要证明 AC 与 CD 垂直，可按实际情形画出底面图形进行证明． （２）从 B 向直线 PC 作垂直，可利用△PBC 求高，但需求出三边，并判断其形状（事实上，这里的∠PBC＝９０°） ；另一种重要的思想是： 因 PC 在平面 PAC 中，而所作 BH 为平面 PAC 的斜线，故关键在于找出 B 在平面 PAC 内的射影，因平面 PAC 处于“竖直 状态” ，则只要从 B 作“水平”的垂线，可见也只要从 B 向 AC 作垂线便可得其射影． 证明 （１）取 AD 的中点 E，连 AC，CE， 则 ABCE 是正方形，△CED 为等腰直角三角形． ∴AC⊥CD，∵PA⊥平面 ABCD，∴AC 为 PC 在平面 ABCD 上的射影，∴PC⊥CD； 解 （２）连 BE 交 AC 于 O，则 BE⊥AC， 又 BE⊥PA，AC∩PA＝A，∴BE⊥平面 PAC． 过 O 作 OH⊥PC 于 H，连 BH，则 BH⊥PC． ∵PA＝a，AC＝ 2a，∴PC＝ 3 ，则 OH＝ × a1 a× 2 a 6 = a ， 2 6 3 a 1 2 1 4 1 2 1 2∵BO＝2 6 a，∴BH＝ BO2 +OH2 = a 2 3383. 四面体 ABCD 的四个面中，是直角三角形的面至多有 （ ） （Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个 解析： （D） 设底面为直角三角形，从底面的一个锐角顶点作平面的垂线，则这样的四面体的每个面都是直角三角形． 384. 直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面α内，直角顶点 C 在平面α外，C 在平面α内的射影为 C1，且 C1
AB，则△C1AB 为 （ ） （Ａ）锐角三角形 （Ｂ）直角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对 解析： （C） 2 2 2 2 ∵C1A +C1B &CA +CB ＝AB, ∴∠AC1B 为钝角，则△C1AB 为钝角三角形． 385. △ABC 在平面α内，∠C＝90°，点Ｐ α，PA=PB=PC=7, AB=10, 则点 P 到平面α的距离等于 解析：2 6 ． ∵PA＝PB＝PC,∴P 在平面α内的射影为△ABC 的外心Ｏ，∵∠C＝90°，∴Ｏ为 AB 的中点，∵AO＝５，PA＝７，∴PO ＝ 72 -52 = 2 6 386. P 是边长为 a 的六边形 ABCDEF 所成平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AF，PA＝a，则点 P 到边 CD 的距离是 解析：2a． PA⊥平面 ABCDEF，A 到 CD 的距离为 3 ，∴P 到边 CD 的距离是 2a a 387. 如图，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点． （１） 求证：MN⊥CD； （２） 若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面 PCD． 证明 （１）连 AC∩BD＝O，连 NO，MO，则 NO∥PA． ∵PA⊥平面 ABCD，∴NO⊥平面 ABCD． ∵MO⊥AB，∴MN⊥AB，而 CD∥AB，∴MN⊥CD； （２）∵∠PDA＝45°，∴PA＝AD， 由△PAM≌△CBM 得 PM＝CM， ∵N 为 PC 中点，∴MN⊥PC． 又 MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面 PCD．2 388. 如图，在四棱锥P―ABCD中，侧面PCD是边长等于2cm 的等边三角形，底面ABCD是面积为 2 3 cm 的菱形， P∠ADC是锐角. 求证：PA⊥CD 证明：设∠ADC=θ，则：由SABCD=2 3 ,CD=BC=AB=AD=2，易得θ=60°A D B E C∴△ACD是等边三角形，取CD中点 E连AE、PE，则AE⊥CD，PE⊥CD AE⊥CD，PE⊥CD ∴CD⊥平面PAE ∴CD⊥PA389. 设P点在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP两两垂直；又 G是 ABP的重心； E为 BC上一点，VBE =1 1 BC ； F 为 PB 上一点，PF = PB ；AP = BP = CP ，如图 3 3(1)求证：GF⊥平面PBC；(2)求证：EF⊥BC。 解析：(1)连结BG并延长交PA 于M.G 为△ABP的重心注 要充分注意平面几何中的知识(如本题中三角形重心性质，等腰三角形性质等)在证题中的运用。 390. 已知α∩β=C，a∥b,a
β,A a,AE⊥b于E，AF⊥c 于F，求证：a⊥EF 解析：b∥a,b a ,a
α, ∴b∥α b E 又b
β，α∩β=c ∴b∥c, 又AF⊥c ∴AF⊥b 又AE⊥b,AE∩AF=A ∴b⊥平面AEF a∥b ∴a⊥平面AEF C F A EF
平面AEF ∴a⊥EF aP391. 如图， △ABC为锐角三角形， PA⊥平面ABC， A点在平面PBC 上的射影为 H，求：H不可能是△PBC的垂心． 解析：连结CH，则CH 是AC在平面PBC内的射影，若H为垂心， 则CH⊥PB，由三垂线定理得AC⊥PB，又PA⊥平面ABC，∴PA ⊥AC，∴AC⊥平面PAB，从而AC⊥AB与△ABC为锐角三 角形矛盾，故H不可能是垂心．H AC BP H AC392. 如图，BCD 是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到 BC的距离， D是P在平面BCD上的射影． 求PB 与平面BCD （1） B 所成角； （2）求BP与平面PCD所成的角 解析： （1）PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD内的射影，∴∠PBD 为PB与平面BCD所成角,BD⊥BC,由三垂 线定理得BC⊥BD，∴BP=CD，设BC=a，则BD=a，BP=CD= 2a∴在Rt△BPD中，cos∠DBP=2 ∴∠DBP=45°, 即PB与平面BCD所成角为45°． 2（2）过B作BE⊥CD于 E，连结PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD， ∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，B C E P DB C P DBE=2 a,BP= 2a,∴∠BPE=30° 2即BP与平面PCD所成角为30°．393. 正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为 6:2，求侧面与底面所成的角的大小。 PC 解析：如图，正四棱锥P―ABCD的一个对角面△PAC。设棱锥的底面边长为 a，高为h，斜高为h′，底面中心为 O， A B 连PO，则PO⊥底面ABCD，∴PO⊥AC，在△PAC中，AC= 2 ，PO=h， a∴SDPAC =1 2 AC× PO= ah 2 21 a
° h 2A DP在△PBC中，SDPBC =O E BC∴SDPAC : SDPBC = ∴h:h′= 3:2.2 1 ah: a
= 2 :h = 6:2 h h
2 2取BC中点E，连OE，PE，可证∠PEO即为侧面与底面所成两面角的平面角。 在Rt△POE中，sin∠PEO=PO h 3 = = ，
PE h 2∴∠PEO= ，即侧面与底面所成的角为 .pp33394. 如右图，斜三棱柱ABC―A1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB⊥AC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角。 （1）求证：AC⊥面ABC1； （2）求证：C1点在平面ABC上的射影H在直线AB上； （3）求此三棱柱体积的最小值。 解析： （1）由棱柱性质，可知A1C1//AC ∵A1C1 ^BC1， ∴AC ^BC1，又∵AC ^AB，∴AC ^ 平面 ABC1 （2）由（1）知AC ^ 平面ABC1，又AC
平面 ABC，∴平面ABC ^ 平面 ABC1 在平面ABC1内，过C1作C1H ^AB于H， 则C1H ^ 平面ABC，故点C1 在平面ABC上 的射影H在直线AB上。 （3）连结 HC，由（2）知C1H ^ 平面ABC， ∴∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角， ∴∠C1CH=60°，C1H=CHtan60°= 3 CH V棱柱=SDABC × C H = 11 1 AB AC C H =
3 2 3 CH = 3 3 CH 1 2 2∵CA ^AB，∴CHAC = 2 ，所以棱柱体积最小值3 3
2 = 6 3 。 395. 已知直三棱柱 ABC―A1B1C1 中，∠ACB=90 ，∠BAC=30 ，BC=1，AA1= 6，M 为 CC1 中点，求证：AB1⊥A1M。0 0解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理 0 ∵ ∠ACB=90 0 ∴ ∠A1C1B1=90 即 B1C1⊥C1A1 又由 CC1⊥平面 A1B1C1 得：CC1⊥B1C1 ∴ B1C1⊥平面 AA1C1C ∴ AC1 为 AB1 在平面 AA1C1C 的射影 由三垂线定理，下证 AC1⊥A1M 即可 在矩形 AA1C1C 中，AC=A1C1= 3 ，AA1=CC1= 66 MC 2 A C 3 2 1 ∵ = 2 = ， 1 1 = = C A 2 A A 3 6 2 1 1 1 MC A C 1 ∴ = 1 1 C A A A 1 1 1 ∴ Rt△A1C1M∽Rt△AA1C1 ∴ ∠1=∠2 0 又∠2+∠3=90 0 ∴ ∠1+∠3=90 ∴ AC1⊥A1M ∴ AB1⊥A1M 评注：利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线 a 396. 正三棱柱 ABC―A1B1C1 的底面边长为 a，在侧棱 BB1 上截取 BD= ，在侧棱 CC1 上截取 CE=a，过 A、D、E 作棱柱的截 2 面 ADE （1）求△ADE 的面积； （2）求证：平面 ADE⊥平面 ACC1A1。 解析：分别在三个侧面内求出△ADE 的边长 a 5 5 a，DE= BC2 + ( - BD 2 = a2 + ( ) 2 = EC ) a 2 2 2 ∴ 截面 ADE 为等腰三角形AE= 2a，AD=1 1 5 2 6 2 S= AE× h=
( a)2 - ( a)2 = a a 2 2 2 2 4 （2）∵ 底面 ABC⊥侧面 AA1C1C ∴ △ABC 边 AC 上的高 BM⊥侧面 AA1C1C 下设法把 BM 平移到平面 AED 中去 取 AE 中点 N，连 MN、DN 1 1 // // ∵ MN= = EC，BD= = EC 2 2∴ MN=// BD = ∴ DN∥BM ∴ DN⊥平面 AA1C1C ∴ 平面 ADE⊥平面 AA1C1C 0 397. 斜三棱柱 ABC―A1B1C1 中，底面是边长为 4cm 的正三角形，侧棱 AA1 与底面两边 AB、AC 均成 60 的角，AA1=7 （1）求证：AA1⊥BC； （2）求斜三棱柱 ABC―A1B1C1 的全面积； （3）求斜三棱柱 ABC―A1B1C1 的体积； （4）求 AA1 到侧 面 BB1C1C 的距离。 解析：设 A1 在平面 ABC 上的射影为 0 ∵ ∠A1AB=∠A1AC ∴ O 在∠BAC 的平行线 AM 上 ∵ △ABC 为正三角形 ∴ AM⊥BC 又 AM 为 A1A 在平面 ABC 上的射影 ∴ A1A⊥BC （2）SAA1C1C = SAA1B1B = AB× AA1 sinA AB= 4 7 1 3 = 14 3 2∵ B1B∥A1A∴ B1B⊥BC，即侧面 BB1C1C 为矩形 ∴ SBB1C1C = 4 7= 28 又SDA1B1C1 = SDABC =3 2
4 = 4 3 4∴ S 全= 3 2+ 28+ 4 3 2= 28+ 36 3( 2 ) 14 cm （3）∵ cos∠A1AB=cos∠A1AOcos∠OABcosA1 AB cos600 3 ∴ cos∠A1AO= = = 0 cosOAB cos30 3∴ sin∠A1AO=6 37 ∴ A1O=A1Asin∠A1AO= 6 3 3 2 7
6 = 28 2 ( 3) cm 4 3 （4）把线 A1A 到侧面 BB1C1C 的距离转化为点 A 或 A1 到平面 BB1C1C 的距离 为了找到 A1 在侧面 BB1C1C 上的射影，首先要找到侧面 BB1C1C 的垂面 设平面 AA1M 交侧面 BB1C1C 于 MM1 ∵ BC⊥AM，BC⊥A1A ∴ BC⊥平面 AA1M1M ∴ 平面 AA1M1M⊥侧面 BCC1B1 在平行四边形 AA1M1M 中 过 A1 作 A1H⊥M1M，H 为垂足 则 A1H⊥侧面 BB1C1C ∴ 线段 A1H 长度就是 A1A 到侧面 BB1C1C 的距离 ∴∴ V= SDABC × A1O=6 = 2 2( ) cm 3 0 398. 平面α内有半径为 R 的⊙O，过直径 AB 的端点 A 作 PA⊥α，PA=a，C 是⊙O 上一点，∠CAB=60 ，求三棱锥 P―OBC 的侧面积。 解析：三棱锥 P―OBC 的侧面由△POB、△POC、△PBC 三个三角形组成 在求出边长元素后，求三角形面积时，应注意分析三角形的形状，简化计算 ∵ PA⊥平面 ABC ∴ PA⊥AO，AC 为 PC 在平面 ABC 上的射影 ∵ BC⊥AC ∴ BC⊥PC △ POB 中， 1 1 2 S DPOB = OB× PA = a 2 2 △ PBC 中， A H=A M1 sinA M1H= A M1 sinA AM= 2 3 1 1 1 1 1BC=ABsin60 =2a× ∴ AC=a ∴ PC= 2 a ∴ S DPOB = △ ∴ S DPOC =03 = 3 a 21 6 2 PC× BC= a 2 2POC 中，PO=PC= 2 ，OC=a a1 1 7 2 OC× PO2 - ( OC 2 = ) a 2 2 41 6 2 7 2 2+ 2 6 + 7 2 ∴ S 侧= a2 + a + a = a 2 2 4 4 0 399. 四棱锥 V―ABCD 底面是边长为 4 的菱形，∠BAD=120 ，VA⊥底面 ABCD，VA=3，AC 与 BD 交于 O， （1）求点 V 到 CD 的距离； （2）求点 V 到 BD 的距离； （3）作 OF⊥VC，垂足为 F，证明 OF 是 BD 与 VC 的公垂线段； （4）求异面直线 BD 与 VC 间的距离。解析：用三垂线定理作点到线的垂线 在平面 ABCD 内作 AE⊥CD，E 为垂足 ∵ VA⊥平面 ABCD ∴ AE 为 VE 在平面 ABCD 上的射影 ∴ VE⊥CD ∴ 线段 VE 长为点 V 到直线 CD 的距离 0 ∵ ∠BAD=120 0 ∴ ∠ADC=60 ∴ △ACD 为正三角形 ∴ E 为 CD 中点，AE=3
4= 2 3 2∴ VE= VA2 + AE2 = 21 （2）∵ AO⊥BD ∴ 由三垂线定理 VO⊥BD ∴ VO 长度为 V 到直线 BD 距离 VO= VA2 + AO2 = 13 （3）只需证 OF⊥BD ∵ BD⊥HC，BD⊥VA ∴ BD⊥平面 VAC ∴ BD⊥OF ∴ OF 为异面直线 BD 与 VC 的公垂线 （4）求出 OF 长度即可 在 Rt△VAC 中 1 OC= AC=2，VC= VA2 + AC2 = 5 2 VA 3 6 ∴ OF=OCsin∠ACF=OC =2 = VC 5 5 400. 斜三棱柱 ABC―A1B1C1 的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A1 到 A、B、C 三点的距离都相等，且 AA1=13，求斜三 棱柱的侧面积。 解析：∵A1A=A1B=A1C ∴ 点 A1 在平面 ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线 AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD⊥BC ∵ AD 为 A1A 在平面 ABC 上的射影 ∴ BC⊥AA1 ∴ BC⊥BB1 ∴ BB1C1C 为矩形，S=BB1×BC=156 取 AB 中点 E，连 A1E ∵ A1A=A1B ∴ A1E⊥ABAB 2 ∴ A1 E= AA - ( )2 = 12 1 2 ∴ SAA1C1C = SAA1B1B = 20∴ S 侧=396 401. 如图，在ΔABC 中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D 是斜边 AB 上的点， CD 为棱把它折成直二面角 A―CD―B 后， 以 D 在怎样的位置时，AB 为最小，最小值是多少?解析： 设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作 AM⊥CD 于 M，BN⊥CD 于 N，于是 AM＝bsinθ,CN＝asinθ. ∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为 A―CD―B 是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM 与 BN 成 90°的角，于是 AB＝b 2 sin 2q + a2 cos2q + ( sinq - bcos )2 ＝ a 2 + b2 - absin2q ≥ a 2 +b2 - ab. a q2 ∴当θ＝45°即 CD 是∠ACB 的平分线时，AB 有最小值，最小值为 a 2 +b - ab.402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补. 已知：从二面角α―AB―β内一点 P，向面α和β分别引垂线 PC 和 PD，它们的垂足是 C 和 D.求证：∠CPD 和二面角的 平面角互补.证：设过 PC 和 PD 的平面 PCD 与棱 AB 交于点 E， ∵PC⊥α，PD⊥β ∴PC⊥AB，PD⊥AB ∴CE⊥AB，DE⊥AB 又∵CE
β，∴∠CED 是二面角α―AB―β的平面角. 在四边形 PCED 内：∠C＝90°，∠D＝90° ∴∠CPD 和二面角α―AB―β的平面∠CBD 互补. 403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数. 已知：二面角α―ED―β，平面 g 过 ED，A∈ g ，AB⊥α，垂足是 B.AC⊥β，垂足是 C. 求证：AB∶AC＝k(k 为常数) 证明：过 AB、AC 的平面与棱 DE 交于点 F，连结 AF、BF、CF. ∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE. ∴DE⊥平面 ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE. ∠BFA，∠AFC 分别为二面角α―DE― g ， g ―DE―β的平面角，它们为定值. 在 RtΔABF 中，AB＝AFsin∠AFB. 在 RtΔAFC 中，AC＝AFsin∠AFC，得：AB AF sin AFB ＝ ＝定值. AC AFsinAFC404. 如果直线 l、m 与平面α、β、 g 满足 l＝β∩ g ，l∥α,m
α和 m⊥ g .那么必有( A.α⊥ g 且 l⊥m B.α⊥ g 且 m∥β C.m∥β且 l⊥m D.α∥β且α⊥ g 解析：∵m
α,m⊥ g . ∴α⊥ g . 又∵m⊥ g ,β∩ g ＝l. ∴m⊥l. ∴应选 A. 说明 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力. )405.如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝ ，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsinp25 ，又 PA⊥平面 ABCD，AP＝a. 5求：(1)二面角 P―CD―A 的大小(用反三角函数表示)；(2)点 A 到平面 PBC 的距离.解析：(1)作 CD′⊥AD 于 D′，∴ABCD′为矩形，CD′＝AB＝a，在 RtΔCD′D 中. ∵∠ADC＝arcsin5 5 ,即⊥D′DC＝arcsin ， 5 5∴sin∠CDD′＝ CD 5 ＝ CD 5∴CD＝ 5 a∴D′D＝2a∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC 又在 RtΔABC 中，AC＝ AB 2 + BC2 ＝ 2a, ∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB. 在 RtΔPAB 中，可得 PB＝ 2a. 在 RtΔPAC 中，可得 PC＝ PA 2 + AC2 ＝ 3 a. 在 RtΔPAD 中，PD＝ a + ( a ＝ 10 a. 3 ) ∵PC +CD ＝( 3 a) +( 5 a)＝8a ＜( 10 a)2 2 2 2 222∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90° ∴作 PE⊥CD 于 E，E 在 DC 延长线上，连 AE，由三垂线定理的逆定理得 AE⊥CD，∠AEP 为二面角 P―CD―A 的平面角. 在 RtΔAED 中∠ADE＝arcsin5 ，AD＝3a. 5∴AE＝ADsin∠ADE＝3a5 3 5 ＝ a. 5 5PA a 5 ＝ ＝ . AE 3 3 5 a 5在 RtΔPAE 中，tan∠PEA＝∴∠AEP＝arctan5 5 ，即二面角 P―CD―A 的大小为 arctan . 3 3(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面 PAB. ∵BC∥AD，∴BC⊥平面 PAB. ∴平面 PBC⊥平面 PAB，作 AH⊥PB 于 H，∴AH⊥平面 PBC. AH 为点 A 到平面 PBC 的距离.在 RtΔPAB 中，AH＝PA × AB a× a 2 ＝ ＝ a. PB 2a 2即 A 到平面 PBC 的距离为2 a. 2说明 (1)中辅助线 AE 的具体位置可以不确定在 DC 延长线上，而直接作 AE⊥CD 于 E，得 PE⊥CD，从而∠PEA 为所求， 同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求. 406. 如图，在二面角α―l―β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD 为矩形，P∈β，PA⊥α，且 PA＝AD，M、N 依次是 AB、 PC 的中点. (1)求二面角α―l―β的大小； (2)求证：MN⊥AB； (3)求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小.解析：(1)连 PD，∵ABCD 为矩形，∴AD⊥DC，即 AD⊥l.又 PA⊥l，∴PD⊥l. ∵P、D∈β，则∠PDA 为二面角α―l―β的平面角. ∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD 是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α―l―β的大小为 45°. (2)过 M 作 ME∥AD，交 CD 于 E，连结 NE，则 ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面 MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB (3)过 N 作 NF∥CD，交 PD 于 F，则 F 为 PD 的中点.连结 AF，则 AF 为∠PAD 的角平线，∴∠FAD＝45°，而 AF∥MN，∴ 异面直线 PA 与 MN 所成的 45°角. 407. 如图，在三棱柱 ABC―A′B′C′中，四边形 A′ABB′是菱形，四边形 BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB. (1)求证：平面 CA′B⊥平面 A′AB； (2)若 C′B′＝2，AB＝4，∠ABB′＝60°，求 AC′与平面 BCC′B′所成角的大小.(用反三角函数表示)解析： (1)∵在三棱柱 ABC―A′B′C 中， C′B′∥CB， ∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′， AB∩BB′＝B， ∴CB⊥平面 A′AB.∵CB
平面 CA′B，∴平面 CA′B⊥平面 A′AB (2)由四边形 A′ABB′是菱形，∠ABB′＝60°，连 AB′，可知ΔABB′是正三角形.取 B B′中点 H，连结 AH，则 AH⊥BB′.又由 C′B′⊥平面 A′AB，得平面 A′ABB′⊥平面 C′B′BC，而 AH 垂直于两平面交线 BB′，∴ AH⊥平面 C′B′BC.连结 C′H，则∠AC′H 为 AC′与平面 BCC′B′所成的角，AB′＝4，AH＝2 3 ，于是直角三角形 C′B′A 中，A′C＝5，在 RtΔAHC′中，sin∠AC′H＝2 3 2 ∴∠AC′H＝arcsin 3 ,∴直线 AC′与平面 BCC 5 5′B′所成的角是 arcsin2 3. 5408.已知四棱锥 P―ABCD，它的底面是边长为 a 的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面 ABCD，又 PC＝a，E 为 PA 的中点. (1)求证：平面 EBD⊥平面 ABCD； (2)求点 E 到平面 PBC 的距离； (3)求二面角 A―BE―D 的大小.(1)证明: 在四棱锥 P―ABCD 中，底面是菱形，连结 AC、BD，交于 F，则 F 为 AC 的中点. 又 E 为 AD 的中点，∴EF∥PC 又∵PC⊥平面 ABCD，∴EF⊥平面 ABCD.EF
平面 EBD. ∴平面 EBD⊥平面 ABCD. (2)∵EF∥PC，∴EF∥平面 PBC ∴E 到平面 PBC 的距离即是 EF 到平面 PBC 的距离 过 F 作 FH⊥BC 交 BC 于 H， ∵PC⊥平面 ABCD，FH
平面 ABCD ∴PC⊥FH. 又 BC⊥FH，∴FH⊥平面 PBC，则 FH 是 F 到平面 PBC 的距离，也是 E 到平面 PBC 的距离. ∵∠FCH＝30°，CF＝3 a. 2∴FH＝ CF＝1 23 a. 4(3)取 BE 的中点 G，连接 FG、AG 由(1)的结论，平面 BDE⊥平面 ABCD，AF⊥BD， ∴AF⊥平面 BDC. ∵BF＝EF＝ ，∴FG⊥BE，由三垂线定理得，AG⊥BE， ∴∠FGA 为二面角 D―BE―A 的平面角. FG＝ ×a 2a 22 2 3 ＝ a,AF＝ a. 2 4 2AF ＝ 6,∠FAG＝arctg 6 FG∴tg∠FGA＝即二面角 A―BE―D 的大小为 arctg 6 409. 若ΔABC 所在的平面和ΔA1B1C1 所在平面相交，并且直线 AA1、BB1、CC1 相交于一点 O，求证： (1)AB 和 A1B1、BC 和 B1C1、AC 和 A1C1 分别在同一平面内； (2)如果 AB 和 A1B1、BC 和 B1C1、AC 和 A1C1 分别相交，那么交点在同一直线上(如图).(1)证明：∵AA1∩BB1＝O,∴AA1、BB1 确定平面 BAO， ∵A、A1、B、B1 都在平面 ABO 内， ∴AB
平面 ABO；A1B1
平面 ABO. 同理可证，BC 和 B1C1、AC 和 A1C1 分别在同一平面内. (2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理 2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交 点就在这两个平面的交线上. 证明：如图，设 AB∩A1B1＝P； AC∩A1C1＝R； ∴ 面 ABC∩面 A1B1C1＝PR. ∵ BC
面 ABC；B1C1
面 A1B1C1， 且 BC∩B1C1＝Q ∴ Q∈PR, 即 P、R、Q 在同一直线上. 410. 点 P、Q、R 分别在三棱锥 A-BCD 的三条侧棱上，且 PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z 三点共线.解析： 证明点共线的基本方法是利用公理 2，证明这些点是两个平面的公共点. 证明 ∵P、Q、R 三点不共线，∴P、Q、R 三点可以确定一个平面α. ∵ X∈PQ，PQ
α，∴X∈α，又 X∈BC，BC
面 BCD，∴X∈平面 BCD. ∴ 点 X 是平面α和平面 BCD 的公共点.同理可证，点 Y、Z 都是这两个平面的公共点，即点 X、Y、Z 都在平面α和平 面 BCD 的交线上. 411. 直线 m、n 分别和平行直线 a、b、c 都相交，交点为 A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线 a、b、c、m、n 共面.解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个 平面，然后证明这些平面重合. 证明 ∵a∥b,∴过 a、b 可以确定一个平面α. ∵A∈a,a
α，∴A∈α,同理 B∈a. 又∵A∈m，B∈m,∴m
α.同理可证 n
α. ∵b∥c,∴过 b,c 可以确定平面β，同理可证 m
β. ∵平面α、β都经过相交直线 b、m, ∴平面α和平面β重合，即直线 a、b、c、m、n 共面. 412. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内. 已知：如图，直线 l1，l2，l3，l4 两两相交，且不共点. 求证：直线 l1，l2，l3，l4 在同一平面内解析：证明几条直线共面的依据是公理 3 及推论和公理 1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内.证明：图①中，l1∩l2＝P， ∴ l1,l2 确定平面α. 又 l1∩l3＝A,l2∩l3＝C, ∴ C,A∈α. 故 l3
α. 同理 l4
α. ∴ l1,l2,l3,l4 共面. 图②中，l1,l2,l3,l4 的位置关系，同理可证 l1,l2,l3,l4 共面. 所以结论成立. 413. 证明推论 3 成立.（如图）已知：a∥b，求证：经过 a,b 的平面有且只有一个. 证明：(存在性)∵a∥b，由平行线的定义知：a、b 共面，所以经过 a、b 的平面有一个. (唯一性)，在 a 上取两点 A、B，在 b 上取一点 C. ∵a∥b,∴A、B、C 三点不共线，由公理 3 知过 A、B、C 三点的平面只有一个，从而过 a,b 两直线的平面也是惟一的. 414.一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点?为什么? 解析：只有一个，假设有两个公共点，由公理 1 知该直线上所有点都在这个平面内，这和直线过平面外一点矛盾.415.过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画三条直线，证明：这三条直线在同一平面内. 解答：已知：A a，如图，B、C、D∈a，证明：AB、AC、AD 共面. 证明：∵A a，∴A，a 确定平面α，∵B、C、D∈a，a
α. ∴B、C、D∈α 又 A∈α. ∴AB、AC、AD
α. 即 AB、AC、AD 共面. 416. 空间可以确定一个平面的条件是( ) A.两条直线 B.一点和一直线 C.一个三角形 D.三个点 解析： 由推论 2 和推论 3 知两条相交直线或者两条平行直线才确定一个平面，两条直线还有位置关系异面.故排除 A， 由推论 1 知点必在线外才合适，排除 B.由公理 3 知不共线三点可确定一个平面，D 中三个点不一定不共线，排除 D.公 理 3 结合公理 1，知选 C. 417. 下列命题正确的是( ) A.经过两条直线有且只有一个平面 B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面 C.如果平面α与β有三个公共点，则两个平面一定是重合平面 D.两个平面α、β有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 解析：根据公理 2、公理 3 知选 D. 418. 已知四点，无三点共线，则可以确定( ) A.1 个平面 B.4 个平面 C.1 个或 4 个平面 D.无法确定 解析： 因为无三点共线，所以任意三个点都可以确定平面α，若第四个点也在α内，四个点确定一个平面，当第四个点在α外，由公理3 知可确定 4个平面.故选C. 419. 已知球的两个平行截面的面积分别为 5π和 8π， 它们位于球心的同一侧且相距是 1， 那么这个球的半径是( A.4 B.3 C.2 D.5)解析： 如图，设球的半径是 r，则πBD ＝5π，πAC ＝8π， 2 2 ∴BD ＝5，AC ＝8.又 AB＝1，设 OA＝x. 2 2 2 2 ∴x +8＝r ,(x+1) +5＝r . 解之，得 r＝3 故选 B. 420. 在桌面上有三个球两两相切，且半径都为 1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径. 解析： 如图，球 O 为放置在桌面上与已知三球相切的半径为 r 的小球，过 O 作 O1O2O3 平面的垂线，垂足为 H，它一定 是ΔO1O2O3 的中心，连接 O1H，O1O，在 RtΔO1OH 中，O1H＝222 3 2 2 2 2 ，OH＝1-r,OO1＝1+r,∴OO1 ＝O1H +OH ，即(1+r) ＝ 3(2 3 2 1 2 ) +(1-r) ，解得 r＝ . 3 3421.地球半径为 R，在北纬 45°圈上有 A、B 两点，它们的经度差为 ，求球面上 A、B 两点间球面距离.p2解析：本题关键是求出∠AOB 的大小，(如图 1)现在我们将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.如图 2，以 O1O，O1A，O1B 为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面 ABO 内求∠BOA 的问题. 解： 如图 2，∵∠O1OA＝ ＝∠O1OB，OA＝OB＝R，∴OO1＝O1A＝O1B＝p42 2 2 2 R ∴AB ＝O1A +O1B ＝R， ∴ΔAOB 为等边 2Δ，∴∠AOB＝ ，A、B 间的球面距离为 R.pp33422. 一个圆在平面上的射影图形是( ) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.圆或椭圆或线段 解析：D423. 两面都是凸形的镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为 10cm 和 17cm，两球心间的距离为 21cm，求此镜面的 表面积和体积.解析： 轴截面如图， O2C＝x， CO1＝21-x,∵AB⊥O1O2 ∴AO2 -O2C ＝AO1 -CO1 ， 10 -x ＝17 -(21-x) ， 设 则 即 解得 x＝6,CO1 ＝15,又设左边球缺的高为 h1,右边的球缺高为 h2，则 h1＝17-15＝2,h2＝10-6＝4,∴S 表＝2π(172+104)＝148π (cm) ,V＝ π［2 (310-2)+4 (317-4)］＝288π(cm ). 424. 正三棱锥的底面边长是 2cm，侧棱与底面成 60°角，求它的外接球的表面积.2222222221 3223解析： 如图， 是三棱锥的高， D 是ΔABC 的中心， PD 则 延长 PD 交球于 E， PE 就是外接球的直径， 则 AD＝3 2 AB＝ 3， 3 3∠PAD＝60°， ∴PD＝AD tan60°＝2,PA＝2 PA 8 4 4 64 2 3 ， AP⊥AE， 2＝PD 而 ∴PA PE＝ ＝ ， R＝ ， 球＝ π(cm) . ∴S 3 PD 3 3 9425. 求证：球的外切正四面体的高是球的直径的 2 倍.证明： ∴h＝4R.设球的半径为 R，正四面体的高为 h，侧面积为 S，则有 VA―BCD＝VO―ABC+VO―ABD+VO―BCD，如图，即 Sh＝4× SR,1 31 3426. 地球半径为 R，A、B 两地都在北纬 45°线上，且 A、B 的球面距离为pR3，求 A、B 两地经度的差.解析：如图，O 为球心，O1 为北纬 45°小圆的圆心，知 A、B 的球面距离，就可求得∠AOB 的弧度数，进而求得线段 AB 的长，在ΔAO1B 中，∠AO1B 的大小就是 A、B 两地的经度差. 解： 设 O1 是北纬 45°圆的中心，∵A、B 都在此圆上， ∴O1A＝O1B＝2 R. 2∵A、B 的球面距离为pR3，pR∴∠AOB＝l p ＝ 3 ＝ ,ΔAOB 为等边三角形. R R 3 1 22AB＝R，在ΔAO1B 中， ∵O1A +O1B ＝ R + R ＝R ＝AB ， ∴∠AO1B＝90°. ∴A、B 两地的经度差是 90°. 评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题. 427. 已知圆锥的母线长为 l，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体， 求这个内接正方体的体积.2 21 2222解析：设球半径为 R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接 OA，∠OAD＝ ，R＝OD＝ADtan ,VA＝l,AD＝lcosqq22θ,∴R＝lcosθtan ,又设正方体棱长为 x，则 3x ＝EG ＝4R ,x＝q22222 8 3 q 3 3 R.∴V 正方体＝ (lcosθtan ) . 3 9 22 2 2428. 如图，过半径为 R 的球面上一点 P 作三条两两垂直的弦 PA、PB、PC，(1)求证：PA +PB +PC 为定值；(2)求三棱 锥 P―ABC 的体积的最大值.解析：先选其中两条弦 PA、PB，设其确定的平面截球得⊙O1，AB 是⊙O1 的直径，连 PO1 并延长交⊙O1 于 D，PADB 是矩形， 2 2 2 2 PD ＝AB ＝PA +PB ，然后只要证得 PC 和 PD 确定是大圆就可以了. 解： (1)设过 PA、PB 的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB， 2 2 2 ∴AB 是⊙O1 的直径，连 PO1 并延长交⊙O1 于 D，则 PADB 是矩形，PD ＝PA +PB . 设 O 为球心，则 OO1⊥平面⊙O1， ∵PC⊥⊙O1 平面， ∴OO1∥PC，因此过 PC、PD 的平面经过球心 O，截球得大圆，又 PC⊥PD. ∴CD 是球的直径. 2 2 2 2 2 2 2 故 PA +PB +PC ＝PD +PC ＝CD ＝4R 定值. (2)设 PA、PB、PC 的长分别为 x、y、z，则三棱锥 P―ABC 的体积 V＝ xyz，1 6R 1 2 2 2 1 x 2 + y2 + z2 3 1 64 6 24 6 V ＝ x y z ≤ ( ) ＝
＝ 5 R . 36 36 3 36 27 32∴V≤4 3 3 R. 27 4 3 3 R. 272即V 最大＝评析：定值问题可用特殊情况先“探求” ，如本题(1)若先考虑 PAB 是大圆，探求得定值 4R 可为(1)的证明指明方向. 球面上任一点对球的直径所张的角等于 90°，这应记作很重要的性质. 429. 求棱长为 a 的正四面体的外接球和内切球的半径.解析：如图，作 AH⊥底面 BCD 于 H，则 AH＝6 a，设内切球的球心为 O，半径为 r，O 点与 A、B、C、D 相连，得四个 31 3 1 3 1 4锥体，设底面为 S，则每个侧面积为 S，有 4 Sr＝ SAH，∴r＝ AH＝6 a,设外接球心为 O，半径 R，过 A 12点作球的半径交底面ΔBCD 于 H， H 为ΔBCD 的外心， 则 求得 BH＝2 6 6 6 a,AH＝ a,由相交弦定理得 a×(2R- a) 3 3 3 3＝(3 2 a) . 3 6 a. 3解得 R＝430.求证：球的任意两个大圆互相平分. 证明：因为任意两个大圆都过球心 O，所以它们必交于过球心的直径，这条直径也是两个大圆的公共直径，所以任意两 个大圆互相平分. 2 2 2.在球心的同一侧有相距 9cm 的两个平行截面，它们的面积各为 49πcm 和 400πcm .求球的表面积.解： 如图，设球的半径为 R， 2 ∵πO2B ＝49π， ∴O2B＝7 同理 O1A＝20设 OO1＝xcm，则 OO2＝(x+9)cm. 2 2 2 在 RtΔOO1A 中，可得 R ＝x +20 2 2 2 在 RtΔOO2B 中，可得 R ＝7 +(x+9) 2 2 2 2 ∴x +20 ＝7 +(x+9) 解方程得 x＝15cm 2 2 2 2 R ＝x +20 ＝25 2 2 ∴S 球＝4πOA ＝2500π(cm )431.球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过 3 个点的小圆的周长为 4π，那么这个 ) B.2 3 C.2 D.1 6球的半径为( A.4 33解析： 设球半径为 R，小圆半径为 r，则 2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点 A、B、C，O 为球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA ＝ ，又∵OA＝OBp3∴ΔAOB 是等边三角形 同理，ΔBOC、ΔCOA 都是等边三角形，得ΔABC 为等边三角形. 边长等于球半径 R，r 为ΔABC 的外接圆半径. r＝3 3 AB＝ R 3 3 3 r＝2 3 3)R＝∴应选 B. 432. 已知球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2，则球表面积是( A.64 π 9B. π8 3C.4πD.16 π 9AO′.ΔABC 中，AB解析： 如图，过 ABC 三点的截面圆的圆心是 O′，球心是 O，连结 AO′、OO′，则 OO′⊥ ＝BC＝CA＝2，故ΔABC 为正三角形. ∴AO′＝3 2 3 ×2＝ 3 3R 2设球半径为 R，则 OA＝R，OO′＝在 RtΔOAO′中，OA ＝O′O +O′A ，即 R ＝2222R2 2 +( 3 )2 4 3∴R＝4 32∴球面面积为 4πR ＝ ∴应选 A. 说明 433.64 π 9 1 22因为 R＝OA＞O′A＞ AB＝1，所以球面积 S＝4πR ＞4π.从而选 A. 长方体的一个顶点上的三条棱分别是 3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是( B.25 2π C.50π D.200π )A.20 2π解析： 正方体的对角线为 l，球的半径为 R，则 l＝2R. 2 2 2 2 2 得：l ＝4R ＝3 +4 +5 ＝50 2 从而 S 球＝4πR ＝50π ∴应选 C. 434. 在球面上有四个点 P、 B、 A、 C.如果 PA、 PC 两两互相垂直， PA＝PB＝PC＝a,那么这个球的表面积是 PB、 且 . 解析：由已知可得 PA、PB、PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结 过点 C 的一条对角线 CD，则 CD 过球心 O，对角线 CD＝ 3 a.∴S 球表面积＝4π(3 2 2 a) ＝3πa . 2435. 圆柱形容器的内壁底半径为 5cm，两个直径为 5cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器 内的水面将下降 cm. 解析：球的体积等于它在容器中排开水的体积. 解： 即 设取出小球后，容器水平面将下降 hcm，两小球体积为 V 球＝2× π×5 ×h,V1＝ 25πh＝4 32V球125 5 π ∴h＝ cm. 3 3∴应填 .5 3436. 空间四边形 ABCD的四条边相等，那么它的两条对角线AC 和BD 的关系是（ ） ． A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．不相交也不垂直 D．不相交但垂直 解析：D．取 BD中点O，则BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面ACO，因此BD⊥AC． 437. 已知a、b是异面直线，那么经过b的所在平面中（ ） ． A．只有一个平面与a平行 B．有无数个平面与a平行 C．只有一个平面与 a垂直 D．有无数个平面与a垂直
解析：A．过b 上任一点P 作直线a // a，由 a 和b确定的平面a 与a平行，这个平面是过b且平行于a的唯一一个平面．故排除B．当a与 b不垂直时，假设存在平面b ，使bb ，且 a⊥b ，则 a⊥b，这与a、b 不垂直矛盾，所以当a、b不垂直时，不存在经过b 且与a垂直的平面，当a、b垂直时，过 b且与a 垂直的平面是唯一的，设a、b的公 垂线为c，则由 c和b 所确定的平面与a 垂直，且唯一． 438. 若直线l与平面a 所成角为 ，直线a在平面a 内，且与直线l 异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是 （ ） ． A． ê0， πúπ 3é 2 ù 3 B． ê0， ú 3 D． ê ， πúé π ù
π é 2 ù
3 3 π 2C． ê ， ú 3 2π é π ù
π 3解析：C．因为直线l是平面的斜线，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角， 故a与l所成的角大于或等于 ；又因为异面直线所成的角不大于 ，故选C． 439. 直线a、b均在平面a 外，若a、b在平面a 上的射影是两条相交直线，则a 和b的位置关系是（ ） ． A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线 D．相交或异面直线 解析：D 440.ABCD是平面a 内的一个四边形，P 是平面a 外的一点，则△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中是直角三角形的 最多有（ ） ． A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个 解析：D．作矩形ABCD，PA⊥平面AC，则所有的三角形都是直角三角形 441. 已知直线PG⊥平面a 于G，直线EF A．PE＞PG＞PF C．PE＞PF＞PG 解析：C．如图答917．PG⊥a ，EFa ，且PF⊥EF 于F，那么线段PE、PF、PG的关系是（ ） ．B．PG＞PF＞PE D．PF＞PE＞PGa ，PF⊥EF，则GF⊥EF．在Rt△PGF 中，PF 为斜边，PG为直角边，PF＞PG．在Rt△PFE中，PF 为直角边，PE为斜边，PE＞PF，所以有PE＞PF＞PG．442. 下列命题中正确的是（ ） ． A．若a是平面a 的斜线，直线b垂直于a在平面a 内的射影为 a ，则a⊥b B．若a是平面a 的斜线，平面b 内的直线b垂直于a在平面a 内的射影为 a ，则a ⊥b C．若a是平面a 的斜线，直线b平行于平面a ，且b垂直于a在平面a 内的射影 a ，则a⊥b D．若a是平面a 的斜线，b是平面a 内的直线，且b垂直于 a在另一个平面b 内的射影 a ，则a⊥b 解析：C．如图答918，直线b垂直于a在平面a 内的射影，但不能得出 a⊥b的结论．排除A．令b 是直线a与其在 a 内的射影 a 确定的平面，在b 内取垂直于 a 的直线为b，不能得出a⊥b的结论．排除B．同理排除D．如图答 919， ∵ b ^ a ，
∴ b ^ a ．
∴ 在a 内任取点P， ∵ P
b， 则过b与P 确定平面g ， g I a = b ， 设 因为b∥a ， b //b ． 则 b ^ a，∴ b⊥a．于是C正确．443. 设正方体ABCD－ABC D 的棱长为1，则 1 1 1 1 （1）A 到BC的距离等于________； 1 （2）A 到BD 的距离等于________； 1 （3）A 到平面ABCD的距离等于________； 1 1 （4）AB到平面ABCD的距离等于________． 1 1 解析：1）连接AB ，AC，则AB1 = AC，取BC的中点E，连结 AE，则AE^ BC． 1 1 1 ∴ AE 为点 A 到直线BC的距离，在 Rt△ACE 中，AC = 2 ，CE = BC = 1 12 AE2 = ( 2) - (1 21 2， 2∴2 2 1 3 6 6 ) = 2- = ，∴ AE= ．即A到B 、C的距离等于 ． 1 2 2 2 2 2 AB ^ AD ．在Rt△ABD 中，AB=1，AD = 2，BD = 3，设A 1 1 1 1（2）连结AD ．∵ AB⊥平面ADD A ，∴ 1 1 1 到BD 的距离为h，则 × AB × AD = 1 11 21 h× BD ．即 1 22 6 6 1 1
2 = h× 3，∴ h= 1 = ，即点A到BD 的距离为 ． 1 2 2 3 3 3（3）连结AD 交AD于F，则AF ^ AD．∵ CD⊥平面AADD，且AF 1 1 1 1 1 CD∩AD=D， AF⊥平面ABCD． ∴ ∴ AF 为点 A 到平面ABCD的距离． ∵ 1 1 1 1 平面AADD，∴ CD⊥AF．∵ 1 11 2 AD = 2， ∴ AF = AD = ． 1 1 2 2（4）∵ AB∥CD，∴ AB∥平面ABCD，∴ AB到平面ABCD的距离等于A点 1 1 1 1到平面ABCD的距离，等于 1 12 ． 2444. 已知正方体ABCD－ABC D ．则 1 1 1 1 （1）AD 与平面ABCD所成的角等于________； 1 （2）AC 与平面ABCD所成的角的正切值等于________； 1 （3）AD 与平面BBCC所成的角等于________ ； 1 1 1 （4）DC 与平面BBCC所成的角等于________； 1 1 1 1（5）BC与平面BBDD所成的角等于________. 1 1 1 解析： （1）∵ DD⊥平面ABCD，∴ D AD为AD 与平面ABCD 所成的角， 1 AD D 1 1 1 =45°． （2）∵ CC⊥平面ABCD，∴ C AC为AC 与平面ABCD 所成的角．设CC =1，则AC = 2 ，∴ 1 1 1 1tan 1 AC = CCC 1 2 1 = = ． AC 2 2平面BBCC，BC// AD ，∴ 1 1 1 1（3）∵ AD 1 °．AD ∥平面BBCC，∴ AD 与平面BBCC所成的角为0 1 1 1 1 1 1（4）∵ DC ⊥平面BBCC，∴ DC 与平面BBCC所成的角为90°． 1 1 1 1 1 1 1 1 （5）连结AC，交 AD于 H．连结BH ，∵ BB⊥平面 ABCD，CH 1 1 平面ABCD，∴ B1B^CH ， 又∵ CH⊥BD， ∴ CH⊥平面BBDD． ∴ BH 为BC在平面BBDD内的射影． ∴ CBH 1 1 1 1 1 1 1为BC与平面BBDD所成的角． 设正方体棱长为1， BC = 2 ， 则 1 CH = 1 1 1 与平面BBDD所成的角为30°． 1 11 2 AC = ， ∴ 2 2 1H = 30 ， BC CB ° 即 1445. 如图929，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN⊥AB．图929 解析：连结AC，取AC中点O，连结 OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由 此可得AB⊥平面 OMN．因此MN⊥AB．
446. 如图930，直线a、b是异面直线，它们所成角为30°，AA 为a、b的公垂线段，A = 4cm．另有B在直线 A a上，且BA=2cm，求点B到直线b的距离．
解析： 如图答920， A 作a // a， a 与b确定平面a ． BC ^ a 于C， 过 则 作 在平面a 内作CD⊥b于 D， 连结 BD． ∵
^ a∴ AA ^ a ． ∵ AA ^ b，a I b= A ，∴ A ^ a ．∵ BC //A ，∴ BC⊥a ．∵ CD⊥b，
AA A A ，∴ CAD为异面直线a与 b所成的角，∴
∴ BD⊥b（三垂线定理） ，即BD为B 点到b的距离．∵ a //a
AD= 30 ．∵ AC = AB= 2 ， A = 90 ，∴ CD=1．在Rt△BCD中，BC = A
= 4 ，CD=1，∠BCD=90 C
° A°，∴ BD = BC + CD = 4 + 1 = 17，∴ BD= 17 ．2 2 2 2 2447. 如图931，SA、SB、SC三条直线两两垂直，点H是S 在平面ABC上的射影，求证：H是△ABC 的垂心．解析：∵ SC⊥SA，SC⊥SB，且SA∩SB=S，∴ SC⊥平面SAB，∴ AB⊥SC．∵ H 是S在平面ABC 上的射影， ∴ SH⊥平面ABC．连结CH，CH为 SC在平面 ABC上的射影，∵ AB⊥SC，由三垂线定理的逆定理可知CH⊥AB， 即CH为AB的垂线．同理AH⊥BC，即AH为BC边的垂线．H为△ABC两条垂线的交点，∴ H为△ABC垂心． 448. 如图932，△ABD和△ACD都是以D 为直角顶点的直角三角形，且 AD=BD=CD，∠BAC=60°．求证：图932 （1）BD⊥平面ADC； （2）若 H是△ABC的垂心，则 H为 D在平面 ABC内的射影． 解析： （1）设AD=BD=CD=a，则AB= AC =2a．∵ ∠BAC=60°，∴ BC = 2a．由勾股定理可知，∠BDC=90°．即BD⊥DC，又∵ BD⊥AD，AD∩DC=D，∴ BD⊥平面ADC． （2）如图答921，要证 H是 D在平面 ABC上的射影，只需证 DH⊥平面ABD．连结 HA、HB、HC．∵ H是△ ABC的垂心，∴ CH⊥AB．∵ CD⊥DA，CD⊥BD，∴ CD⊥平面ABD，∴ CD⊥AB．∵ CH∩CD=C，∴ AB ⊥平面DCH． ∵ DH ABC． 平面DCH，∴ AB⊥DH，即DH⊥AB，同理DH⊥BC．∵ AB∩BC=B，∴ DH⊥平面449.PA、PB、PC是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角为60°，求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值． 解析：如图答922，在PC上任取一点D，作DH⊥平面PAB于H，则∠DPH为PC与平面PAB所成的角．作HE⊥PA 于E，HF⊥PB于F，连结PH，DE，DF．∵ EH、FH分别为DE、DF 在平面PAB内的射影，由三垂线定理可得 DE ⊥PA．DF⊥PB．∵ ∠DPE=∠DPF，∴ △DPE≌△DPF．∴ PE=PF．∴ Rt△HPE≌Rt△HPF，∴ HE=HF， ∴ PH是∠APB的平分线．设 EH=a，则PH=2EH=2a，PE =3a．在Rt△PDE中，∠DPE=60°，DE⊥PA，∴ cos
DPH = PH 2 a 3 = = ． DP 2 3 a 3DP= 2 PE= 2 3 ．在Rt△DPH中，DH⊥HP，PH=2a，DP= 2 3 ，∴ a a450. 四面体对棱长分别相等，分别是 a,b,c.求体积.解析： 把四面体“嵌入”棱长为 x,y,z 的长方体(如图).其充分条件是ì x2 + y2 = a2,
2 2 2 í y + z = b ,
z + x = c有实数解ì c2 + a2 - b2
a2 + b2 - c2
b2 + c2 - a2
如果关于 x,y,z 的方程组有实数解，则四面体体积 V＝xyz-4 ( xy)z＝ xyz1 31 21 3＝2 ( 2 + b2 - c2)( 2 + c2 - a2)( 2 + a2 - b2) a b c 12对棱相等的四面体各面是全等的锐角三角形，本题采用了体积分割法，转化法求体积.说明451. 如图 1，线段 AB
平面α，线段 CD
平面β，且平面α∥平面β，AB⊥CD，AB＝CD＝a,α、β的距离为 h，求 四面体 ABCD 的体积.图1 图2 解析：依题意可构造一个底面对角线长为 a，高为 h 的正四棱柱(如图 2). 显然，正四棱柱的底面边长为2 a.其体积为 2V 柱＝(2 2 1 2 a) h＝ a h. 2 2而三棱锥 C―AC′B 的体积为 V 锥＝ V 柱. 故四面体 ABCD 的体积为 V＝V 柱-4V 锥＝V 柱- V 柱 ＝ V 柱＝ a h. 说明 452. 本题运用了“构造辅助体”的解题技巧. 求棱长为 a 的正方体 ABCD―A1B1C1D1 的面对角线 A1C1 与 AB1 的距离.1 64 61 31 62解法一：连结 BD1，取 A1B1 的中点 E，连 BE 交 AB1 于 M，连 D1E 交 A1C1 于 N，连 MN. 因为ΔA1NE∽ΔC1ND1，所以EN AE 1 ＝ 1 ＝ ， ND C D 2 1 1 1则EN 1 EM 1 ＝ ，同理 ＝ . ED 3 EB 3 1 EN EM ＝ .∴MN∥BD1. ED EB 1∵由三垂线定理知 BD1 与 A1C1、AB1 都垂直，故 MN 为两对角线的公垂线， 又ΔEMN∽ΔEBD1 故MN EN 1 3 ＝ ＝ .∴MN＝ a. BD ED 3 3 1 1解法二：取 A1M＝AC AB 2 1 1 ，B1N＝ 1 ，过 N 作 NP⊥A1B1 于 P，连 MP，则ΔMPN 为直角三角形，由计算，PM＝ a,PN＝ 3 3 31 3 5 2 2 2 11 2 2 2 a,故 MN＝ a.又 A1N＝ a，A1M＝ a,故 A1N ＝A1M +MN ，于是 MN⊥A1C1；同理，由 AN＝ a,AM＝ a,MN 3 3 3 3 3 3＝3 3 a 可知 MN⊥AB1.故 MN 为 AB1 与 A1C1 的公垂线段，从而 AB1 与 A1C1 的距离为 a. 3 3解法三：可转化为求平行平面间的距离.连 A1D，C1D，A1C1，B1C.易知 A1D∥B1C，A1C1∥AC.故平面 A1DC1∥平面 AB1C.连 BD1， 设与平面 A1DC1 交于 M，与平面 AB1C 交于 N.因 BD1 与图中所示 6 条面对角线都垂直，故 BD⊥面 A1DC1，也垂直于 AB1C.即 MN 是 A1C1 与 AB1 的距离，在 RtΔD1DB 中，D1M＝DD2 3 3 1 ＝ a，而同理可求 BN＝ a，故 BD 3 3 1MN＝ 3 a- 说明3 3 3 a- a＝ a. 3 3 3上例还可以利用直线与平面平行、体积转换等方法求解.453. 在棱长为 1 的正方体 ABCD―A1B1C1D1 中， 是 A1B1 上的一动点， P 平面 PAD1 和平面 PBC1 与对角面 ABC1D1 所成的二面角 的平面角分别为α、β，试求α+β的最大值和最小值.解析：如图.对角面 A1B1CD⊥对角面 ABC1D1，其交线为 EF.过 P 作 PQ⊥EF 于 Q，则 PQ⊥对角面 ABC1D1.分别连 PE、PF. ∵EF⊥AD1，PE⊥AD1(三垂线定理).故由二面角的平面角定义知 ∠PFQ＝α，同理，∠PFQ＝β. 设 A1P＝x,(0≤x≤1)，则 PB1＝1-x. ∵EQ＝A1P，QF＝PB1，PQ＝ ∴当 0＜x＜1 时，有 tanα＝2 ， 22 2 ,tanβ＝ , 2x 21- x) (2 2 + tan a+ tanb 2x 21- x ( ) ∴tan(α+β)＝ ＝ 1- tan tanb a 2 2 1× 2x 21- x ( )＝2 1 1 -2 x- ) 2 ( 2 2而当 x＝0 时α＝ ，tan(α+β)＝tan( +β)＝-cotβ＝-pp22EF ＝- 2，上式仍成立；类似地可以验证.当 x＝1 时， AE 1上式也成立，于是，当 x＝ 时，tan(α+β)取最小值-2 2；当 x＝0 或 1 时，tan(α+β)取最大值- 2. 又∵ 0＜α+β＜π，1 2∴(α+β)max＝π-arctan 2 (α+β)min＝π-arctan2 2454.如图，已知正方体 ABCD―A1B1C1D1 的棱长为 1，E、F 分别在棱 AB、BC 上，G 在对角线 BD1 上，且 AE＝ ，BF＝ ，1 41 2D1G∶GB＝1∶2，求平面 EFG 与底面 ABCD 所成的二面角的大小. 解析：设 G 在底面 ABCD 上的射影为 H，H∈BD， ∵GH GB 2 ＝ ＝ DD DB 3 1 12 3∴GH＝作 HM⊥EF 于 M，连 GM，由三垂线定理知 GM⊥EF，则∠GMH＝θ就是平面 BFG 与底面 ABCD 所成的二面角的平面角，tan θ＝GH . HM下面求 HM 的值. 建立如图所示的直角坐标系，据题设可知. H( ， )、E( ，0)、F(1， )1 32 31 41 2∴直线 EF 的方程为1 y-0 4 ， ＝ 1 1 - 0 12 4 x-即 4x-6y-1＝0. 由点到直线的距离公式可得｜HM｜＝1 2 4
- 6 - 1 3 32 4 + 62＝11 ， 6 13∴tgθ＝
说明2 36 13 4 13 4 13 ＝ ，θ＝arctg . 11 11 11运用解析法来求 HM 的值是本例的巧妙所在.455. 如图，平行六面体 ABCD―A1B1C1D1 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 AA1 长为 2，且∠A1AB＝∠A1AD＝60°则此平 行六面体的体积为 解析：一 距离 求平行六面体 ABCD―A1B1C1D 的体积，应用公式.由于底面是正方形，所以关键是求高，即A 到底面 ABCD 的 1解法一：过点 A1 做 A1O⊥平面 ABCD，垂足为 O，过 O 做 OE⊥AB，OF⊥AD，垂足分别为 E、F，连结 A1E，A1F，可知 O 在 ∠BAD 的平分线 AC 上. ∴cos∠A1AOcos∠OAF＝OA AF AF
＝ ＝cos∠A1AF AA AO AA 1 1即 cos∠A1AOcos45°＝cos60° ∴cos∠A1AO＝2 2 2 2∴sin∠A1AO＝∴A1O＝A1Asin∠A1AO＝ 2 ∴V＝SABCDA1O＝ 2 分析二 如图，平行六面体的对角面 B1D1DB 把平行六面体分割成两个斜三棱柱，它们等底面积、等高、体积相等，考 察其中之一三棱柱 A1B1D1―ABD.解法二：过 B 作 BE⊥A1A，连结 DE，可知面 BDE 是其直截面，把斜三棱柱分割成上下两部分，若把两部分重新组合，让 面 A1D1B1 与面 ADB 重合，则得到一直棱柱，ΔBDE 是其底面，DD1 是其侧棱，并且和斜三棱柱 A1B1D1―ABD 的体积相等. 取 BD 中点 O，连结 OE，易知 SΔBED＝ BDOE＝ BD DE - OD1 21 222＝
2 (1 23 2 2 2 ) - ( )2 ＝ 2 2 4∴V 直棱柱＝SΔDEBDD1 ＝2 2 ×2＝ ＝V ABD -ABD 4 21 1 1∴V ABC1D -ABCD ＝2 ABD -ABD ＝ 2 V 1 1 1 1 1 1 点评 在解决体积问题时， “割” “补”是常用的手段，另外本题分析二给出了求斜棱柱体积的另一方法：斜棱柱的体 积＝直截面面积×侧棱长. 456.求证：(1)平行六面体的各对角线交于一点，并且在这一点互相平分. (2)对角线相等的平行六面体是长方体. 已知：平行六面体 ABCD―A1B1C1D1 求证：(1)对角线 AC1、BD1、CA1、DB1 相交于一点，且在这点互相平分； (2)若 AC1＝BD1＝CA1＝DB1 时，该平行六面体为长方体.证明：(1)∵AA1∥BB1，BB1∥CC1， ∴AA1∥CC1. ∴对面角 A1ACC1 是平行四边形. ∴CA1 与 AC1 相交，且互相平分. 设 CA1∩AC1＝0，则 O 为 CA1，AC1 的中点. 同理，可证 DB1 与 AC1 及 AC1 与 D1B 也相交于一点，且互相平分. 交点也是 O. ∴AC1、BD1、DB1、CA1 交于一点，且互相平分. (2)∵平行六面体 AC1 的对角线面 A1C1CA、B1D1DB 都是平行四边形.且它们的对角线 A1C、B1D、C1A、D1B 都相等. ∴对角面 A1C1AC，B1D1DB 都是矩形. 因此 CC1⊥A1C1 ∴BB1⊥B1D1 又∵BB1∥CC1 ∴BB1⊥A1C1 ∴BB1⊥平面 A1C1 ∴平行六面体 A1C 是直平行六面体 同理可证：CB⊥平面 A1B，则 BC⊥AB. ∴平面四边形 ABCD 是矩形. ∴直平行六面体 A1C 是长方体. 457.求证：底面是梯形的直棱柱的体积，等于两个平行侧面面积的和与这两个侧面间距离的积的一半. 已知：直四棱柱 A1C，如图，它的底面 AC 为梯形.DC∥AB，侧面 A1B 与侧面 D1C 的距离为 h. 求证： 棱柱AC ＝ (S AB +S DC )×h V 1 面 1 面 11 2证：设 D1E1 是梯形 A1B1C1D1 的高， ∵D1E1⊥A1B1，D1E1
面 A1C1 面 A1C1⊥面 A1B，面 A1C1∩面 A1B＝A1B1. ∴D1E1⊥面 A1B. ∴D1E1＝h.V AC ＝S 底AA1 棱柱 1 1 2 1 ＝ (D1C1A1A+A1B1A1A)h 2 1 ＝ (S DC +S AB )h 面 1 面 1 2＝ (D1C1+A1B1)D1E1AA1458. 如图，已知 A1B1C1―ABC 是正三棱柱，D 是 AC 中点. (1)证明 AB1∥面 DBC1 (2)假设 AB1⊥BC1，BC＝2，求线段 AB1 在侧面 BB1CC1 上的射影长. 分析：弄清楚正三棱柱的概念，利用三垂线定理找二面角.解析：(1)证明：∵A1B1C1―ABC 是正三棱柱， ∴四形 B1BCC1 是矩形，连结 B1C，交 BC1 于 E， 则 B1E＝EC，连结 DE. 在ΔAB1C 中，AD＝DC，∴DE∥AB1 又 AB1
平面 DBC1，DE
平面 DBC1 ∴AB1∥平面 DBC1 (2)解：作 DF⊥BC，垂足为 F，因为面 ABC⊥面 B1BC1，所以 DF⊥B1BCC1，连结 B1E，则 B1E 是 A1B 在平面 B1BCC1 内的射影 ∵BC1⊥AB1 ∴BC1⊥B1E ∵B1BCC1 是矩形 ∴∠B1BF＝BC1C＝90° ∴ΔB1BF∽ΔBCC1 ∴B B BF BF 1 ＝ ＝ BC CC BB 1 1又 F 为正三角形 ABC 的 BC 边中点 2 因而 B1B ＝BFBC＝2 于是 B1F ＝B1B +BF ＝3，∴B1F＝ 3 即线段 AB1 在平面 B1BCC1 内的射影长为 3 459. 如图，已知正四棱柱 ABCD―A1B1C1D1，点 E 在棱 D1D 上，截面 EAC∥D1B，且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45°， AB＝a. (1)求截面 EAC 的面积 (2)求异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离 (3)求三棱锥 B1―EAC 的体积2 2 2解析：(1)连结 DB 交 AC 于 O，连结 EO. ∵底面 ABCD 是正方形 ∴DO⊥AC 又∵ED⊥底面 AC ∴EO⊥AC ∴∠EOD 是面 EAC 与底面 AC 所成二面角的平面角 ∴∠EOD＝45° DO＝2 2 a,AC＝ 2a,EO＝ asec45°＝a. 2 2故SΔEAC＝2 2 a. 2(2)解：由题设 ABCD―A1B1C1D1 是正四棱柱，得 A1A⊥底面 AC，A1A⊥AC. 又 A1A⊥A1B1 ∴A1A 是异面直线 A1B1 与 AC 间的公垂线 ∵D1B∥面 EAC，且面 D1BD 与面 EAC 交线为 EO ∴D1B∥EO 又 O 是 DB 的中点 ∴E 是 D1D 的中点，D1B＝2EO＝2a. ∴D1D＝ D1B - DB ＝ 2a. 异面直线 A1B1 与 AC 间的距离为 2a. 连结 B1O，则 B -EAC ＝2V A- EOB V 1 1 ∵AO⊥面 BDD1B1 ∴AO 是三棱锥 A―EOB1 的高，AO＝2 22 a. 2在正方形 BDD1B1 中，E、O 分别是 D1D、DB 的中点 则：S EOB ＝ a . △ 1 ∴VB -EAC ＝2
13 421 33 422 2 3 a＝ a 2 4 2 3 a. 4所以三棱锥 B1―EAC 的体积是460. 如图，在正方体 ABDC―A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点. (1)证明 AD⊥D1F (2)求 AE 与 D1F 所成的角 (3)证明面 AED⊥面 A1FD1 (4)设 AA1＝2，求三棱锥 F―A1ED1 的体积 V 　　 F―A1ED1 　解析：(1)∵AC1 是正方体，∴AD⊥面 DC1.又 D1F
DC1，∴AD⊥D1F. (2)取 AB 中点 G，连结 A1G、FG(如图).因为 F 是 CD 的中点，所以 GF、AD 平行且相等，又 A1D1、AD 平行且相等，所以 GF、A1D1 平行且相等，故 GFD1A1 是平行四边形，A1G∥D1F. 设 A1G 与 AE 相交于点 H，则∠AHA1 是 AE 与 D1F 所成的角.因为 E 是 BB1 的中点，RtΔA1AG≌RtΔABE，∠GA1A＝∠GAH， 从而∠AHA1＝90°，即直线 AE 与 D1F 所成角为直角. (3)由(1)知 AD⊥D1F， 由(2)知 AE⊥D1F， AD∩AE＝A， 又 所以 D1F⊥面 AED.又因为 D1F
面 A1ED1， ∴体积 F- AED ＝VG- AED V 1 1 1 1＝V 1 - AGE ，∵AA1＝2，∴面积S AGE ＝SABB A -2S AAG -S GBE ＝ . D 1 △ 1 △ 1 △ 1 1 ∴VF- AED ＝ ×A1D1×SDAGE ＝ ×2× ＝1. 1 1 13 21 31 33 2461. 如图，设 ABC―A1B1C1 是直三棱柱，E、F 分别为 AB、A1B1 的中点，且 AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝ 3 a. (1)求证：AF⊥A1C (2)求二面角 C―AF―B 的大小分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识. 解 (1)∵AC＝BC，E 为 AB 中点，∴CE⊥AB 又∵ABC―A1B1C1 为直棱柱，∴CE⊥面 AA1BB 连结 EF，由于 AB＝2AA1 ∴AA1FE 为正方形 ∴AF⊥A1E，从而 AF⊥A1C (2)设 AF 与 A1E 交于 O，连结 CO，由于 AF⊥A1E，知 AF⊥面 CEA1 ∴∠COE 即为二面角 C―AF―B 的平面角 ∵AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝ 3 a ∴CE＝ 2a,OE＝2 2 a a,∴tan∠COE＝ ＝2. 2 2 a 2∴二面角 C―AF―B 的大小是 arctan2. 462. 如图951，已知ABCD、ABEF、CDFE都是长方形，且平面ABCD⊥平面 ABEF．记∠FCE=q ，∠CFB=a ，∠ CEB=b ，则有（ ） ． A．sinb =sina sinq B．cosa =cosb cosq C．sina =sinb cosq D．sinb =sina cosq解析：C．CB ì CD ^ BF
sin a = ， CF
CB ^ 平面ABEF
sinb = CB． CB ^ AB
CE 平面 ABCD ^ ABEFüCB^ 平面 ABEF ü CE q ．
CE ^ EF cos
= BE^ EF CF 于是sina =sinb cosq ． 463. 设直线l、m，平面a 、b 、g 满足b ∩g =l，l∥a ，m A．a ⊥g ，且l⊥m C．m∥b ，且l⊥m 解析：A．a ，且m⊥g ，则必有（ ） ．B．a ⊥g ，且m∥b D．a ∥b ，且a ⊥gm^g ü l
a ^ g ； b I g = l
m^ g 464. 一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内（都不在棱上） ，则这条线段与这两个平面所成的角的和 （ ） ． A．等于90° B．大于 90° C．不大于 90° D．不小于90° 解析：C．如图答945，设直二面角a lb ，作AC⊥l于C，BD⊥l于 D．∵ a ⊥b ，则AC⊥b ，BD⊥a ，连结BC、 AD，则∠ABC为 AB与平面b 所成的角，∠BAD 为AB与平面a 所成的角． 当 AB⊥l 时， 易得 AB 与a 、 所成角之和等于 90°， AB 与 l 不垂直时， ABC = q1 ， b 当 设 BAD= q 2 ， CAB= q 3 ，sin q 3 =BC ， ABsin q 2 =BD
，∵ BC＞BD，∴ sin q 3 sinq 2 ，∵ 函数 y=sinx在
0， ÷ 上是增函数，∴ ＞ AB è 2q 3＞q 2，∵ q 3 +q1 = 90 ，∴ 90 - q1 q 2，∴ q1 q 2＜90 ．故AB与a 、b 所成角之和≤90°． ° ＞ ＋ °465. 如图952，A是△BCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则二面角ABDC 的平面角是（ A．钝角 B．直角 C．锐角 D．大小不确定的） ．解析：A．取BD中点 E，连结 AE、CE，由AB=AD，∠ABC=∠ADC，AC=AC得△ABC≌△ADC，∴ DC=BC，∴ AE ⊥BD，CE ⊥ BD，∴ ∠AEC为二面角ABDC的平面角．∵ AE = AB - BE ，EC = BC - BE ，2 AC 2 = AB + BC2 ，∴ cos AEC = 2 2 2 2 2 2AE 2 + EC2 - AC2 - 2 2 BE = ＜ ，∵ ∠AEC为钝角 0 2AE× EC 2AE× EC466. 已知二面角a lb 的大小为q （q 是锐角） ，A∈l，B∈l，PC
l，且P∈a ，P 在b 内的射影为P′．记△ABP 的 面积为S，则△ABP′的面积S′等于________． 解析：Scosq ．作PH⊥l于H，连结PH ．∵ 面角a lb 的平面角，即
P = q ．S = PH
PP ^ b ，∴ PH ^ l（三垂线定理的逆定理） ．∴ PH P 为二S= 1 AB× PH × cos
= S× cos ． q q 21
AB× PH ， PH = PH × cosq ，∴ 2图答946 467. 平面a ⊥平面g ，平面b ⊥平面g ，且a ∩g =a，b ∩g =b，a∥b，平面a 与b 的位置关系是________． 解析：平行．在g 上作l⊥a，∵ a∥b，∴ l⊥b．∵ a ⊥g 于a，∴ l⊥a ，同理l⊥b ．∴ a ∥b ． 468. ．如图953，ABCD - ABC D 是长方体，AB=2，AA =AD= 1，求二平面ABC与ABC D 所成二面角的 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 大小．解析：∵平面ABCD∥平面ABC D ，∴ 1 1 1 1平面ABC与平面ABC D 的交线l为过点B 且平行于AC 的直线．直 1 1 1 1 1 1线l就是二平面ABC与ABC D 所成二面角的棱． AA ⊥平面ABC D ， A 作AH⊥l于H， 又 1 连结AH． AHA1 则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 过 1为二面角A - l- A的平面角．可求得tanAHA = 1 15 5 5 ．因此所求角的大小为arctan 或 - arctan π 2 2 21 3 BB ，CM = CC （如图954） ．求：平 1 1 4 4469. 在正方体ABCD - ABC D 中，K
CC ，且BK = 1 1 1 1 1 1 面AKM与 ABCD所成角的大小．解析：由于BCMK是梯形，则MK 与CB相交于E．A、E确定的直线为l，过C作CF⊥l于F，连结MF，因为MC⊥ 平面ABCD，CF⊥l，故MF⊥l．∠MFC是二面角 MlC的平面角．设正方体棱长为a，则CM =3 1 a，BK = a．在 4 4△ECM中，由BK∥CM可得EB=3 5 5 1 a，故tan MFC = a，CF = ．因此所求角的大小为arctan 或 2 4 4 5π - arctan5 ． 4470. 如图955，将边长为a的正三角形 ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角C
- AD- C． （1）指出这个二面角的面、棱、平面角； （2）若二面角C
- AD- C是直二面角，求C C的长；
（3）求AC 与平面C CD所成的角；
（4）若二面角C
- AD- C的平面角为120°，求二面角A - CC- D的平面角的正切值． 解析： （1）∵ AD⊥BC，∴ AD⊥DC，AD ^ D
，∴ 二面角C
- AD- C的面为ADC和面ADC ，棱为AD， C 二面角的平面角为C DC．（2）若
DC = 90 ，∵ AC=a，∴ DC = D
= C C °2 1 a，∴ C
= C a． 2 2
（3）∵ AD ^ D
，AD⊥DC，∴ AD⊥平面DCC．∴ ACD为AC 与平面DCC所成的角，在Rt C
△ADC 中，D
= DC = C 1 AC，∴ 2
C = 30 ，于是 DA ° CD= 60 ． A °
（4）取CC 的中点E，连结AE、DE，∵ DC = DC，AC = AC，∴ AE ^ CC，DE ^ CC，∴ ∠ 1 1
AED为二面角A - CC- D的平面角，∵
DC = 120 ，CD= CD = a，∴ DE = a，在Rt△AED中， C ° 2 4 3 a 3 AD 2 AD= a，∴ tan
AED= = = 2 3 ． 2 DE 1a 4471. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥平面ABC．求证：△ABD是锐角三角形． 解析：如图答 924，设AC=a，BC=b，CD=c，∵ △ACD是Rt△，∴AD = a2 + c2 ． ∵ △ABC是Rt△，∴AB = a2 + b2 ．∵ △BCD是Rt△，∴ BD = b2 + c2 ．而在2 AB2 + AD2 - BD a2 △ABD 中，cosBAD = = ＞ ，又∵ ∠BAD是三角形内角，∴ 0°＜∠ 0 2 2× AB× AD ( 2 + b )( 2 + c2) a aBAD＜180°，∴ ∠BAD是锐角，同理∠ABD、∠ADB是锐角，∴ △ABD是锐角三角形．472. 已知 D为平面 ABC外一点，且 DA、DB、DC两两垂直．求证：顶点 D所对的三角形面积的平方等于其余三个三2 角形面积的平方和，即S DABC = S2DAB + S2 + S2ADC ． D DBDC D解析：如图答925，设DA=a，DB=b，DC=c，则S ADB = D ⊥AB于 M，则DM =1 1 1 ab，SDBDC = bc，SDADC = ac．在△ABD中，作DM 2 2 2ab a + b22． ∵ CD⊥AD，CD⊥DB，∴ CD⊥平面ADB，∴ CD⊥DM．在Rt△CDM中，CM2 =DM2 + CD2 = c2 +2 2 a 2b + b c2 + c2a2 ， ∴ a2 + b2a2b2 = a2 + b2 1 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 2 SDABC = ( AB× CM)2 = (a2 + b2)× = 2 4 a2 + b21 2 2 2 2 2 2 2 ( a b + b c + c a )= S2ADB + S2BDC + SDCDA ． D D 4图答925 473. 如图934，在△ABC中，∠ACB=90°，AB 平面a ，点 C ，C在a 内的射影为O，AC 和BC与平面a 所 a成的角分别为30°和 45°，CD是△ABC的AB 边上的高线，求CD与平面a 所成角的大小．解析：连结 OD，∵ CO⊥平面AOB，∴∠CDO 为CD与平面a 所成的角．∵ AB、CB与平面a 所成角分别为30°和45°，∴∠CAO=30°，∠CBO=45°．设CO=a，则AC=2a，OB=a，BC ＝ 2 ．在Rt△ABC 中， aAB 2 = ( a 2 + ( 2 )2 = 6 2 ，∴ AB= 6a． ∵ CD⊥AB，∵ 2 ) a a1 1 ×AB × CD = AC× BC，∴ 2 2CD=AC× BC 2a× 2 a 2 a 3 = = a．在Rt△COD中，sin
CDO= = ，∵ 0°＜∠CDO＜90°，∴ ∠ 2 a 2 AB 6 a 3 3CDO=60°，即CD 与平面a 所成的角为60°． 474. 给出下列四个命题： ①若一直线与一个平面内的一条直线平行，则这直线与这个平面平行． ②若一直线与一平面内的两条直线平行，则这直线与这个平面平行． ③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行． 其中正确命题的个数是（ ） ． A．0
D．3 解析：B．只有③是正确的 475. 梯形ABCD 中，AB∥CD，AB 平面a，CD 平面a，则直线CD 与平面a内的直线的位置关系只能是（ ） ． A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．异面或相交 解析：B．由已知CD∥平面a，a内的直线与CD平行或异面． 476. （1）若直线 a、b均平行于平面a，那么a与b 的位置关系是__________； （2）若直线a∥b，且a∥平面b，则b与b的位置关系是__________； （3）若直线a、b是异面直线，且 a∥b，则 b与b的关系是__________． 解析：1）平行、相交或异面． （2）b∥b或b b． （3）b∥b或b b或b 与b相交． 477. 如图9－20，在空间四边形 ABCD 中，E是边AB上的一点，求作过C、E的一个平面，使对角线BD 平行于这个 平面，并说明理由．解析：在△ABD内过 E点作 BD的平行线，交AD 于 F．连结CE、CF，则BD∥平面CEF．∵BD∥EF（作图） ，BD 平面CEF，EF 平面CEF，由直线与平面平行的判定定理可知BD∥平面CEF． 478. 在正方体ABCD－ABC D 中，E、F 分别为AC 和CC 的中点，求证：直线AC∥平面BEF． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解析：注意在△C AC中，EF 是中位线． 1 1 479. 如图9－21，在空间四边形ABCD中，E、F 分别是AB、AD上的点，且 AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G 分别是BC、CD的中点，则（ ） ． A．BD∥平面EFGH，且EFGH是矩形B．HG∥平面 ABD，且EFGH是菱形 C．HE∥平面ADC，且EFGH是梯形 D．EF∥平面BCD，且EFGH是梯形 解析：D．A 选项中“BD∥平面EFGH”正确，但“EFGH是矩形”错误；B选项中“EFGH是菱形”不正确；C选项 中“HE∥平面ADC”不正确． 480. 设a、b是异面直线，则（ ） ． A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行 B．过不在 a、b上的任一点，可作一条直线与 a、b都相交 C．过不在 a、b上的任一点，可作一条直线与 a、b都平行 D．过a有且只有一个平面与b 平行 解析： 借助正方体这一模型加以排除错误选项． AB为a， 1 1为b， D． 取 BC 当任一点取A 时， AB∥平面ABC ， A 1 1 1 1 但 1 平面ABC ．于是A 不正确．而A 与BC 上任一点的连线均在平面ABC 内，所以这些直线与 AB均无交点，所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B不正确．用反证法说明C不正确，若过任一点有直线与a、b都平行，则由公理4 知a∥b，这与a、b异面矛盾． 481. 如图9－22，已知a∥a，B、C、D∈a，A与 a 在平面a的异侧，直线AB、AC、AD分别交a于E、F、G三点， 若BC＝5，AD＝7，DG＝4，则EF 的长为_________．解析：∵ E、F、G 是平面ABC与平面a的公共点， ∴ E、F、G共线， ∵ BC∥a，∴ BC∥EF， ∴EF FG AG AG 7- 4 15 = = ，∴ EF = BC = 5 = BC CD AD AD 7 7482. 如图9－23，在正方体ABCD―ABC D 中，E为BB 上不同于B、B 的任一点，AB I A1E= F， 1 1 1 1 1 1 1B1CI C E =G．求证： 1图9－23 （1）AC∥平面AEC ； 1 1 （2）AC∥FG．解析：483. 已知三个平面a、b、g 满足 a I b ＝a， b I g ＝b， g I a ＝c，且 a∥g ，求证：b∥a，c∥b． 如图答9－14，解析：同理可证c∥b．484. 在正方体ABCD―ABC D 中，E、F 分别为BC、C D 的中点，求证：直线EF∥平面BBDD． 1 1 1 1 1 1 1 1 解析：取BD 中点G，连结EG，GD ．可证EFDG为平行四边形（还有其他证法） ． 1 1 485. 已知平面a∩平面b＝l，A∈a，B∈a，C∈b （如图9－24） ，在下列情况下求作平面 ABC与平面b的交线，并说 明理由． （1）AB l； （2）AB∥l．解析： （1）∵AB l，AB与l共面于a，∴ AB 与l相交，设AB∩l＝D，连结CD，则CD＝ 平面ABCIb ，这是因 为D∈AB，D∈l，∴ D∈平面ABC，D∈b，∴ D 为平面ABC 与平面b 的一个公共点，∴ 平面ABC 与平面b的交 线是过D 的一条直线，又C是平面ABC 与平面b 的另一个公共点，且平面ABC与平面的交线是过C的一条直线，所 以平面 平面ABCIb ＝CD．图答9－15（2）在平面b内过C 作CE∥l，则CE＝ 平面ABCIb ．∵ AB∥l，ABb，l b，∴ AB∥平面b．∵ 平面ABC与平面b 有一个公共点C， ∵ 平面ABC与b相交于过C的一条直线m． ∵ AB 平面ABC， 平面ABCIb ＝m， AB∥b，∴ AB∥m．∵ AB∥l，∴ l∥m．于是在b 内过C作l的平行线即为所求的交线． 486. 如图9－25，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且 EH∥FG．求证：EH ∥BD．解析：487. 如图9－26，P 为△ABC所在平面外一点，点 M、N分别是△PAB和△PBC的重心．求证：MN∥平面ABC． （三角形的三条中线交于一点，称为重心，重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的2倍）图9－26 解析：如图答9－16，连结PM并延长交AB于D，连结PN并延长交BC于E，连结 DE．在ΔPAB中，∵ M是ΔPAB N PM P PM PN 的重心，∴ =2 ，同理在△PBC中有 =2 ，在△PDE中，∵ = ，∴ MN∥DE，∵ MN
平面 MD NE MD NE ABC，DE 平面ABC，∴ MN∥平面 ABC．488. 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）空间两条直线可以确定一个平面； （2）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条； （3）垂直于同一条直线的两条直线平行； （4）直线a与b 平行，b 与c 平行，则 a与 c平行； （5）直线a与b 相交，b 与c 相交，则 a与 c相交； （6）直线a与b 异面，b 与c 异面，则a与 c异面； （7）一条直线与两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直． 解析： （1）不正确．两条异面直线不能确定一个平面． （2）不正确．垂直于两条异面直线的直线有无数多条，但公垂线――与两条异面直线垂直相交的直线有且只有一 条． （3）不正确．垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面． （4）正确．由公理4可知． （5）不正确．a、c可能平行，还可能异面． （6）不正确．a、c可能异面，但也可能平行或相交． （7）正确．因为直线与两条平行线所成的角相等 489. 直线a和b是平行直线，点A、C在直线 a上，点B、D 在直线b 上，那么直线AB与CD的位置关系是什么?若 直线a和b 是异面直线呢? 解析：若a∥b，则a，b共面于a，A、B、C、D 均在a内，故AB与CD共面于a，则AB与CD的位置关系可能是平行 或相交．若a、b是异面直线，则AB 与CD必是异面直线．假设 AB与CD共面于b，则AC与 BD，即a、b共面．这 与已知矛盾 490. 在正方体ABCD―ABC D 中，六个面内与BD所成的角为60°的对角线共有多少条? 1 1 1 1 解析：参看图答9－10，与BD 相交所成角为60°的面对角线BC 、BA，DA ，DC 四条；与BD异面所成角为60 1 1 1 1 °的面对角线有AB 、BC、AD 、CD 四条，故一共8 条． 1 1 1 1图答9－10 491.A、B、C、D 是不在同一个平面内的四点．E是线段AD 上一点．证明直线CE和BD是异面直线． 解析：设CE、BD不是异面直线，那么CE、BD 在同一个平面（设为a）内．由E、D在平面a 内，则直线ED在平面 a内，直线ED上的点 A也在平面a内，即 A、B、C、D都在平面a内，这与 A、B、C、D不在同一平面内是相矛盾的， 因此CE、BD是异面直线． 492. 给出以下四个命题： ①若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 ②若两条直线和第三条直线都垂直，则这两条直线平行 ③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行 ④若两条直线分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行 其中错误命题的个数是（ ）个． A．1
D．4 解析：C．根据公理4，知③正确，利用正方体判断其余命题均不正确．由AA 与AB所成角90°，BC与 AB所成的角 1 90°，但AA 与BC不平行，从而①、②不正确；AB 在平面ABBA内，DC在平面ABCD内，虽平面ABBA与平 1 1 1 1 1 1 1 面ABCD相交，仍有AB ∥DC，从而说明④不正确． 1 1 493. 在正方体ABCD―ABC D 中，与对角线BD 异面的棱有（ ） ． 1 1 1 1 1 A．3条 B．4条 C．6条 D．8条解析：C．如图答9－10，把正方体的几条棱分为三类，在平面ABC D 上的四条棱中有AB 、BC 与BD 异面，在 1 1 1 1 1 1 1 1 1 平面ABCD 上的四条棱中有 AD、CD 与BD 异面，上下两底面之间的四条棱中，有AA 、CC 与BD 是异面直线，故 1 1 1 1 与BD 异面的棱共6条． 1 494. 三条直线共面的条件可以是（ ） ． A．这三条直线两两平行B．这三条直线交于一点 C．这三条直线中的一条与另外两条都相交 D．这三条直线两两相交，但不交于一点 解析：D．可参看下列图形：495. 已知m、n 为异面直线，m 平面a，n 平面b，a∩b＝l，则l（ A．与m、n 都相交 C．与m、n都不相交 解析：B．可参看下列图形： B．与 m、n 中至少一条相交 D．至多与 m、n中的一条相交） ．496. 如图9－11， 在正方体ABCD―ABC D 中， F 分别是棱DC 、 1 1的中点， E、 求证： EF∥BD， EF = 且 1 1 1 1 1 1 BC1 BD． 2解析：连结BD ．∵ BB ∥DD ，∴ 1 1 1 1 行四边形，∴ BD四边形BBDD是平面图形，又∵BB ＝DD ，∴ 1 1 1 1四边形BBDD是平 1 1BD ，在△C DB 中，∵ E、F 分别是DC 与BC 的中点，∴ EF 1 1 1 1 1 1 1 1 11 BD． 21 BD ，由公理4 1 1 2有EF∥BD，且有EF =497. 如图9－12， 是平面 ABC外一点， 1、 1、 1分别在线段OA、 OC上， O A B C OB、 且满足 证：△ABC∽△ABC ． 1 1 1OA OB OA OC 1 1 1 = ， 1 = ． 求 OA OB OA OC解析：∵OA OB OB OC OA OC OA OB 1 1 1 1 1 1 = ， 1 = ，∴ = .在△AOB中，由 1 = ，∴ AB ∥AB，同理BC 1 1 1 1 OA OB OB OC OA OC OA OB∥BC，∵ A1BC 与∠ABC方向相同，∴ A1BC ＝∠ABC，同理B1AC ＝∠BAC，∴ △ABC ∽△ABC． 1 1 1 1 1 1 1 1 1498. 如图9－13，P 是平面ABC外一点，PA＝4，BC =2 5，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3．求异面直 线PA和BC所成角的大小．解析：取 AC中点F，连结DF、EF，在△PAC中，∵ D是PC中点，F 是AC中点，则 DF∥PA，同理可得EF∥BC， ∴ ∠DFE为异面直线PA与BC所成的角．在△DEF 中，DE＝3，又DF＝ PA＝2，EF＝ BC＝ 5 ，∴1 21 2DE 2 = DF2 + EF2，∴ ∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°．499. 如图9－15，已知 A是平面 BCD外一点，满足 AC＝BD，M、N、P、Q 分别是BC、CD、DA、AB 的中点．求证： QN⊥PM．解析： 在△ABC中， ∵ Q是 AB中点， M是BC中点， ∴ MQ∥AC， MQ＝ AC， 且 同理PN∥AC， 且PN＝ AC． ∴ QM PN．∴ 四边形MNPQ是平行四边形，又 ∵ PQ＝ BD，QM＝ AC，AC＝BD，∴ PQ＝QM，∴ 平行1 21 21 21 2四边形MNPQ是菱形，∴ QN⊥PM． 500. 如图9－16，在棱长为a的正方体ABCD―ABC D 中，求异面直线 AC和BD 的距离． 1 1 1 1 1 1解析：连结AC 交BD 于O ，连结BD交AC 于O，连结OO ，在矩形ACCA中，O 是AC 中点，O是 AC中点， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则O1 ^ AC于O． O 同理OO1 ^ BD 于O ， ∵ OO ＝CC ＝a， ∴ AC 1 1 1 ∴ OO 是异面直线AC和BD 的公垂线． 1 1 1 1 1 与BD 间的距离为a． 1 1501. 在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝2，BC = BB= 1 ，M、N分别是 AD、DC 的中点． 1 1 1 1 1 （1）证明 AM ∥AC ； 1 1 （2）求异面直线MN与BC 所成角的余弦值． 1 解析： （1）∵ AA ∥BB ∥CC ，AA ＝BB ＝CC ，∴ 1 1 1 1 1 1 此，MN∥AC ． 1 1 （2）由（1） BC1A 是异面直线MN与BC 所成角．在△BAC 中，BC = 2，BA = AC = ， 1 1 1 1 1 1 1 1AACC是平行四边形，∴AC∥AC ，又MN∥AC，因 1 1 1 15．于是有cos 1 A = BC 110 ． 10502. 在空间四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，得到四边形EFGH． （1）四边形EFGH 是______________； （2）当对角线 AC＝BD 时，四边形EFGH是______________； （3）当对角线满足条件______________时，四边形EFGH是矩形； （4）当对角线 AC、BD 满足条件_______时，四边形EFGH是正方形． 解析： （1）由三角形中位线定理可知EF1 1 AC，HG AC，于是EF HG，故四边形EFGH为平行四边形； 2 2 1 1 （2）当 AC＝BD时，由 EF＝ AC，EH＝ BD，得 EF＝EH，即平行四边形 EFGH的邻边相等，故平行四边形 2 2EFGH为菱形； （3）要使平行四边形EFGH 为矩形，