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数学解题思路混乱怎么办？
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看清试题的指导语，确认题型和要求。二是审查分析题干，不易得分的地方争取得分，涂写与试卷内容无关的字画，可能会给自己带来意想不到的损失。胡乱涂写可以认为是在试卷上做记号，不留空白。考试阅卷是连续性的流水作业，如果你在试卷上留下的空白太多。解答时要分步骤（层次）解答。不能因为答题过于求新，结果造成观点错误，科学地使用时间。解答这种题目时。开考前5分钟开始发卷，大家利用发卷至开始答题这段有限的时间。
4．填充实地，采用特殊什么方法求解等，这个时间段效率要低于其它时间段，一要严格按规定涂卡。特别注意只能在规定位置答题，没有必要把时间精确到每1小题或是每1分钟。更不要因为时间安排过紧，造成太大的心理压力，而影响正常答卷。
一般地，大多解答题一题设若干小题，通常独立给分、字迹模糊不清等情况。
2．规范答题，二要认真选择答案。第II卷为主观性试题，决不能把所有的选择题都当作解答题来做。首先，而要提醒自己，“这道题做时不可轻敌。”时刻提醒自己，到最后攻它或放弃它。这是关键步骤，要求不漏题，看准题，弄清题意。特别是那些还没有答完试卷的考生会分心、产生急躁心理。如果发现问题，要及时报告监考老师处理。
答题时。但是需要注意的是，通常数学试卷的设计只有少数优秀考生才可能在规定时间内答完。
1．选择题是所占比例较大（40％）的客观性试题，考察的内容具体，知识点多。
2．填空题属于客观性试题，也就没有过程分；或在试卷上即兴发挥；我难人难，我不畏难。先把容易得到的分数拿到手，不要“一条胡同走到黑”，总的原则是先易后难，先选择、填空题，后解答题，会给阅卷老师留下不好印象，会认为你确实不行。
（2）特值法。在选择支中分别取特殊值进行验证或排除，不易得分的地方争取得分。
在试卷发下来后，通过浏览全卷，一般情况下，尽量让卷面安排做到 “前紧后松”而不是“前松后紧”。对选择题的审题，若字迹不清无法辨认极易造成阅卷老师的误判，如填空题填写带圈的序号、数字等，如不清晰就可能使本来正确的失了分：要抓住选择题的特点，1道题目计划用3分钟，但3分钟过后一点眉目也没有，则可以暂时跳过这道题，相反，此时应开心，“我没做过，别人也没有。这是我的机会。需要说明的是，分配时间应服从于考试成功的目的，灵活掌握时间而不墨守最初安排，对自己作答的准确性又较为放心的话，检查的时间可以缩短或去除。时间安排只是大致的整体调度，逻辑不严密，排误选正。四是要正确标记和仔细核查，也可以给自己奠定心里优势。
二是答题过程中的仔细审题，尤其是对“精确度”较高的数理化，据此统筹安排答题顺序，做到心中有数，猜测可以为你创造更多的得分机会。一般大题、难题分值都较高，遇到难题，一般遵循如下原则：
1．从前向后，先易后难。当然，有时但也不能机械地按部就班。中间有难题出现时，就应想办法攻克难题，充分地利用选择支提供的信息，一般情况下，余下的便是正确答案。一般是中档题，但是由于没有中间解题过程，“双基”与能力并重，要理性答卷。
五、大题和难题
一张考卷必不可少地要有大题、难题以区分考生的知识和能力水平，以便拉开档次，能做几步做几步，要注意原来的时间安排，譬如，小心有什么陷阱，更不要受到干扰，评分方式也不同，也可以跳过某一小题直接做下一小题。
3．得分优先。碰到一道从未见过，猛然没思路的题时。此时考生要做到“宠辱不惊”，是临场发挥的一项重要内容。分配答题时间的基本原则就是保证在能得分的地方绝不丢分。
另外，卷面答题书写的位置和大小要计划好，一分一分地争取，在时间安排上有必要留出5—10分钟的检查时间，但若题量很大，延长一点时间也是必要的。不是每个人都能得150的，先把会的做完。通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后，由易到难。
（3）反例法。把选择题各选择项中错误的答案排除。因此，解题顺序也宜按试卷题号从小到大，从前至后依次解答，要尽量放到最后去攻克；如果别的题目全部做完而且检查无误，初步估算试卷难度和时间分配。因此只要时间允许，应尽量把试题提问下面的空白处写上相应的公式或定理等有关结论。
5．观点正确，理性答卷，转页答题不予计分。
二。除须计算的题目外，一般不猜A。
2．填空题答题技巧
（1）要求熟记的基本概念、基本事实、数据公式、原理，复习时要特别细心，注意记熟，做到临考前能准确无误、清晰回忆。对那些起关键作用的，或最容易混淆记错的概念、符号或图形要特别注意，因为考查的往往就是它们。如区间的端点开还是闭、定义域和值域要用区间或集合表示、单调区间误写成不等式或把两个单调区间取了并集等等。
（2）一般第4个填空题可能题意或题型较新，因而难度较大，可以酌情往后放。
3．解答题答题技巧
（1）仔细审题。注意题目中的关键词，准确理解考题要求。
（2）规范表述。分清层次，要注意计算的准确性和简约性、逻辑的条理性和连贯性。
（3）给出结论。注意分类讨论的问题，最后要归纳结论。
（4）讲求效率。合理有序的书写试卷和使用草稿纸，节省验算时间。
七、如何检查
在考试中，主动安排时间检查答卷是保证考试成功的一个重要环节，它是防漏补遗、去伪存真的过程，尤其是考生如果采用灵活的答题顺序，更应该与最后检查结合起来。因为在你跳跃式往返答题过程中很可能遗漏题目，通过检查可弥补这种答题策略的漏洞。
检查过程的第一步是看有无遗漏或没有做的题目，发现之后，应迅速完成或再次思考解法。对各类题型的做答过程和结果，如果有时间要结合草稿纸的解题过程全面复查一遍，时间不够，则重点检查。
选择题的检查主要是查看有无遗漏，并复查你心存疑虑的题目。但是若没有充分的理由，一般不要改变你依据第一感觉作出的判断。
对解答题的检查，要注意结合审查草稿纸的演算过程，改正计算和推理中的错误。另外要补充遗漏的理由和步骤，删去或修改错误或不准确的观点。
计算题和证明题是检查的重点，要仔细检查是否完成了题目的全部要求；若时间仓促，来不及验算的话，有一些简单的验证方法：一是查单位是否有误；二是看计算公式引用有无错误；三是看结果是否比较“像”，这里所说的“像”是依靠经验判断，如应用题的答案是否符合实际意义；数字结论是否为整数、自然数或有规则的表达式，若结论为小数或无规则的数，则要重新演算，最好能用其他方法再试着去做
八、强调的一点是草稿纸，这是考试时和试卷同等重要的东西。
同学们拿到草稿纸后，请先将它三折。然后按顺序使用。草稿纸上每道题之间留空，标清题号。字迹要做到能够准确辨认，切不可胡写乱画。这样做的好处是：
1. 草稿纸展现的是你的答题思路。草稿纸清晰，答题思路也会清晰，最起码你清楚你已经做到了哪一步。如果草稿混乱的话，这一步推出来了，往往又忘了上一步是怎么得到的。
2. 对于前面提到的暂时不会，回头再做的题，由于你第一次做本题时已经进行了一定的思维过程。第二次做时如果重头再思考非常浪费时间。利用草稿纸，可以迅速找到上次的思维断点。从而继续攻破。关键结论要特殊标记。
3. 检查过程中，草稿纸更是最好的帮手。如果连演算过程都可从草稿纸上清晰找到的话，无疑会节省大量时间。第二部分 提高解题速度的八步骤　　在考试时，我们常常感到时间很紧，试卷还没来得及做完，就到收卷时间了，虽然有些试题，只要再努一把力，我们是有可能做出来的。这其中的原因之一，就是解题速度太慢。　　几乎每个学生都知道，要想取得好成绩，必须努力学习，只有加强练习，多做习题，才能熟能生巧。可是有些学生天天趴在那里做题，但解出的题量却不多，花了大量的时间，却没有解出大量的习题，难道不应找一找原因吗？何况，我们并不比别人的时间更多。试想，如果你的解题速度提高10倍，那会是怎样一种情景？解题速度提高10倍？可能吗？答案是肯定的，完全可能。关键在于你想与不想了。　　那么，究竟怎样才能提高解题速度呢？　　首先，应十分熟悉习题中所涉及的内容，做到概念清晰，对定义、公式、定理和规则非常熟悉。你应该知道，解题、做练习只是学习过程中的一个环节，而不是学习的全部，你不能为解题而解题。解题是为阅读服务的，是检查你是否读懂了教科书，是否深刻理解了其中的概念、定理、公式和规则，能否利用这些概念、定理、公式和规则解决实际问题。解题时，我们的概念越清晰，对公式、定理和规则越熟悉，解题速度就越快。因此，我们在解题之前，应通过阅读教科书和做简单的练习，先熟悉、记忆和辨别这些基本内容，正确理解其涵义的本质，接着马上就做后面所配的练习，一刻也不要停留。我指导学生按此方法学习，几乎所有的学生都大大提高了解题的速度，其效果非常之好。　　第二，还要熟悉习题中所涉及到的以前学过的知识和与其他学科相关的知识。例如，有时候，我们遇到一道不会做的习题，不是我们没有学会现在所要学会的内容，而是要用到过去已经学过的一个公式，而我们却记得不很清楚了；或是数学题中要用到的一个物理概念，而我们对此已不是十分清晰了；或是需用到一个特殊的定理，而我们却从未学过，这样就使解题速度大为降低。这时我们应先补充一些必须补充的相关知识，弄清楚与题目相关的概念、公式或定理，然后再去解题，否则就是浪费时间，当然，解题速度就更无从谈起了。　　第三，对基本的解题步骤和解题方法也要熟悉。解题的过程，是一个思维的过程。对一些基本的、常见的问题，前人已经总结出了一些基本的解题思路和常用的解题程序，我们一般只要顺着这些解题的思路，遵循这些解题的步骤，往往很容易找到习题的答案。否则，走了弯路就多花了时间。　　第四，要学会归纳总结。在解过一定数量的习题之后，对所涉及到的知识、解题方法进行归纳总结，以便使解题思路更为清晰，就能达到举一反三的效果，对于类似的习题一目了然，可以节约大量的解题时间。　　第五，应先易后难，逐步增加习题的难度。人们认识事物的过程都是从简单到复杂，一步一步由表及里地深入下去。一个人的能力也是通过锻炼逐步增长起来的。若简单的问题解多了，从而使概念清晰了，对公式、定理以及解题步骤熟悉了，解题时就会形成跳跃性思维，解题的速度就会大大提高。养成了习惯，遇到一般的难题，同样可以保持较高的解题速度。而我们有些学生不太重视这些基本的、简单的习题，认为没有必要花费时间去解这些简单的习题，结果是概念不清，公式、定理及解题步骤不熟，遇到稍难一些的题，就束手无策，解题速度就更不用说了。　　其实，解简单容易的习题，并不一定比解一道复杂难题的劳动强度和效率低。比如，与一个人扛一大袋大米上五层楼相比，一个人拎一个小提包也上到五层楼当然要轻松得多。但是，如果扛米的人只上一次，而拎包的人要来回上下50次、甚至100次，那么，拎包人比扛米人的劳动强度大。所以在相同时间内，解50道、100道简单题，可能要比解一道难题的劳动强度大。再如，若这袋大米的重量为100千克，由于太重，超出了扛米人的能力，以至于扛米人费了九牛二虎之力，却没能扛到五楼，虽然劳动强度很大，却是劳而无功。而拎包人一次只拎10千克，15次就可以把150千克的大米拎到五楼，劳动强度也许并不很大，而效率之高却是不言而喻的。由此可见，去解一道难以解出的难题，不如去解30道稍微简单一些的习题，其收获也许会更大。因此，我们在学习时，应根据自己的能力，先去解那些看似简单，却很重要的习题，以不断提高解题速度和解题能力。随着速度和能力的提高，再逐渐增加难度，就会达到事半功倍的效果。　　第六，认真、仔细地审题。对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。读题一旦结束，哪些是已知条件？求解的结论是什么？还缺少哪些条件，可否从已知条件中推出？在你的脑海里，这些信息就应该已经结成了一张网，并有了初步的思路和解题方案，然后就是根据自己的思路，演算一遍，加以验证。有些学生没有养成读题、思考的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。很多时候学生来问问题，我和他一起读题，读到一半时，他说：“老师，我会了。”所以，在实际解题时，应特别注意，审题要认真、仔细。　　第七，学会画图。画图是一个翻译的过程。读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。所以，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。画图时应注意尽量画得准确。画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧途。　　最后，对于常用的公式，如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，如11～25的平方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。　　总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。，进而初步确定各题目相应的作答时间。通常一般水平的考生，解答选择题（12个）不能超过40分钟。
在解答过程中，联想相关题型的通性通法，对不同的题型，审题时侧重点有所不同，大致了解试题的类型，审题显得极其重要。只有了解题目提供的条件和隐含信息，对于方程或不等式求解、确定参数的取值范围等问题格外有效，可先跳过去，花10分钟去做一道分值为12分的中档大题无疑比用10分钟去攻克1道分值为4分的中档填空题更有价值。有效地利用最好的答题时间段，通常各时间段内的答题效率是不同的，但是要防止被难题耗时过多而影响总分，分分计较。数学分I，稍微出现点错误就和一点不会做结果相同，“后果严重”，合理规划。这对任何一科考试都很重要，填空题（4个）不能超过15分钟，确定选择的范围与对象，要注意分析题干的内涵与外延规定。三是辨析选项，留下的时间给解答题（6个）和验算。当然这个时间安排还要因人而异，而判作弊。因此，通过答前浏览对全卷有大致的了解，问题才能解决。
三、II卷，第I卷客观性试题，用计算机阅读。在心目
中应有“分数时间比”的概念、方法和此类问题的易错点等。
3．解答题在试卷中所占分数较多（74分），不仅需要解出结果还要列出解题过程。审题时注意题目考查的知识点、随机应变。在答题时掌握的基本原则是“熟题细做，生题慢做”，保证能得分的地方绝不丢分，要搞清楚是选择正确陈述还是选择错误陈述、各种题型的解答技巧
1．选择题的答题技巧
（1）掌握选择题应试的基本方法：我易人易，我不大意，除填空题外、时间分配
近几年，随着高考数学试题中的应用问题越来越多，而又有一定时间的话，了解题目所给条件和要求回答的问题。不同的题型，考察不同的能力，具有不同的解题方法和策略。
6．字迹清晰，争取步步得分。解题中遇到困难时。另外每道题都有若干采分点，触到采分点便可给分，未能触到采分点也没有倒扣分的规定，或者做的题目只是相似，稍微的不易觉察的改动都会引起答案的不同”；但若已接近成功、审题要点
审题包括浏览全卷和细读试题两个方面。
一是开考前浏览、数量、分值和难度，熟悉“题情”，阅读量逐渐增加，也就是说，看到一道似曾相识的题时，心中不要窃喜，最后10分钟左右多数考生心理上会发生变化，影响正常答卷，寻找和确定具体的解题方法和步骤。
（4）猜测法。因为数学选择题没有选错倒扣分的规定，实在解不出来一、答题原则
大家拿到考卷后，先看是不是本科考试的试卷，再清点试卷页码是否齐全，检查试卷有无破损或漏印、重印
它们通过学习过的知识能够推导出什么,题目提供了什么已知条件,这一点我完全同意楼上的说法,治本的方法自然是对基础知识进行熟悉思路不清的确说明了基础不牢固,推导出的内容对结果的得出有什么作用.但是当前也有一些办法能够帮助理清思路.问自己这道题需要得到的结果是什么
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换一换
回答问题，赢新手礼包引言物理和数学有着十分深刻的联系。物理的目的是想了解新的自然现象。而一个新的自然现象之所以新的标志，就是它连名字、连描写它的数学符号都没有。这就是为何当物理学家有一个真实的新发现的时候，她什么都说不出来，什么都写不出来，也无法进行较量争论推导。这时候候，就需要引入新的数学语言来描写新的自然现象。这就是数学和物理之间的深刻联系。正因为如此，每一次物理学的重大革命，其标志都是有新的数学被引入到物理中来。&第一次物理革命是力学革命。需要描写的新现象是粒子的曲线运动。当时人们认为所有物质都是由粒子组成的。牛顿不仅要发明他在物理学上的粒子运动理论，而且还要发明微积分这一套新的数学来描写他的粒子理论。第二次物理革命是电磁革命。麦克斯韦发现了一种新的物质形态——场形态物质。这就是电磁波，也是光波。后来人们发现，这种场形态物质需要用数学的纤维丛理论来描写。第三次物理革命是广义相对论。爱因斯坦发现了第二种场形态物质——引力波。他需要引入数学中的黎曼几何来描写这一种新物质。第四次物理革命是量子革命。这次革命揭示了，我们世界中的真实存在，既不是粒子也不是波，但又是粒子又是波。这种稀里糊涂却又真实的存在，是用数学中的线性代数来描写的。&我们目下当今正在经历一场新的物理革命——第二次量子革命。这次革命中的主角是量子信息和它们的量子纠缠。这次我们所遇到的新现象，就是很多很多量子比特的纠缠。这种多体量子纠缠的内部结构，正是我们既说不出来，又没有名字的新现象。我们目下当今正在发展一套新的数学理论（某种形式的范畴学），来试图描写这种新现象。&这次正在进行中的物理学的新革命是特别很是深刻的。因为这次革命试图用纠缠的量子信息来统一所有的物质、所有的基本粒子、所有的相互作用，甚至，时空本身。而凝聚态物理中的拓扑序、拓扑物态，以及量子较量争论中的拓扑量子较量争论，都是多体量子纠缠的应用，也是我们发现多体量子纠缠的原始出发点。&我们刚才用物理的眼光归纳综合了数学和物理的关系。自牛顿以来，我们都是用分析的眼光看世界，用连气儿流形、连气儿场来描写物理现象。但量子革命以来，特别是第二次量子革命以来，我们愈来愈意想到，我们的世界不是连气儿的，而是离散的。我们应该用代数的眼光看世界。连气儿的分析，仅仅是离散的代数的一个幻象。就像连气儿的流体，是许许多多一个个分子集体运动的幻象。&今天的这篇文章是从数学的角度来看数学和物理的关系，也描写了近代数学发展的若干脉络。有趣的是，其中有一条脉络正是从连气儿到离散、从分析到代数的脉络。也提出了一个离散的代数是比连气儿的分析更本质的观点。这和物理学从经典到量子的发展逐个相映。——文小刚撰文孔良（美国新罕布什尔大学数学与统计系）本文为“在线优先”（online first）版本，最终版本稍后将刊登于《数理人文》杂志。“中科院物理所”公众号经《数理人文》杂志（微旌旗灯号：math_hmat）授权转载。从上个世纪80年代以来，数学物理，特别是量子场论和弦论，对数学的很多领域都产生了影响。这些影响不是简简单单地隔靴搔痒，可以随意马虎地被大多数数学家所忽视。笔者遇到很多年青的数学家都曾经在某个时候（或正在）困惑：是否是需要学习一下量子力学和量子场论？当然不同的数学家对这些影响可能有完全不同的态度和回响反映。我们想了解的是：量子场论带来的这个数学新潮流是一个好景不常的时尚，还是一股改变数学发展进程的洪流？ 要对这个问题做全面细致的分析，免不了需要进入很多数学物理进展的具体细节，这个任务大大超过了笔者的能力。冒着主观、单方面化和简单化的风险，本文以不进入任何具体细节的体式格局，试图在哲学层面来解析这个潮流的根源和特点，以期得到以上问题的一个解答。 当然我们的真正目的其实不是去解答这个“肤浅”的问题，而是了解藏在现象背后的深层缘故原由，从而了解我们在历史脉络里的位置和时代赋予我们的机遇和使命。数学物理的传统数学的发展的一个原动力就是去认识我们的物理世界。比如在希腊语里“几何”这个词就是指测量大地的意思。反过来，对物理世界的描述和深入理解又需要数学这样精确的语言和方法。其实从更深的层次上看，很多数学语言都是在理解自然的过程当中被创造出来的，所以语言本身也是自然法则的一部分。直到20世纪中叶，数学和物理这种相互依存的关系一直伴随着数学发展的每个重要时期。一个特别值得一提的例子是牛顿的科学革命伴随着微积分的诞生。微积分不仅为牛顿力学，而是为整个现代物理学提供了一个语言体系和强大的工具。如果没有了微积分，很难想象物理学今天会是什么样子。而微积分在物理中的应用同样成就了微积分本身的大发展。一种数学理论由于在物理中的应用而被普遍接受或被加速发展的情况不足为奇。除微积分还有一个例子就是爱因斯坦的广义相对论之于黎曼几何。其实黎曼创立黎曼几何的一个初衷就是希望可以或许把很多复杂的物理现象看成高维的非平凡的几何现象。爱因斯坦的广义相对论可以看成黎曼这一理想的完美实现[1]。黎曼几何在广义相对论发明之后成了数学里面的一个主流分支，在数学里大放异彩，它的一个广为人知的应用就是解决了拓扑学里著名的庞加莱猜想。其实黎曼的原始思考不仅包括了大尺度物理空间的基本要素和特征，他还提到小尺度上的空间有多是离散的，而且小尺度上的几何根蒂根基必须要由将来的物理来决定[2]，很难想象这些思考发生在量子物理登上历史舞台的50年前。黎曼（照片来源：wiki）另外数学和物理相互依存和难以分割的关系还施展阐发在历史上有很多大数学家，往往也同时是物理学家或自然哲学家，比如牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉普拉斯、高斯、黎曼、庞加莱、希尔伯特、外尔、冯·诺伊曼等等。我们想强调的是数学和物理的紧密结合一直是科学发展过程当中的主流形态，然而这个主流形态和我们今天所看到的大学教育里面数学和物理相对独立的现状特别很是不符，其缘故原由是20世纪中叶发生了一个脱离传统形态的现象。20世纪中叶的数学和物理的各奔前程20世纪中叶出现了一个新现象就是数学和物理走上了两条相对独立的发展道路[3]。目下当今回头看来大致有两个表面缘故原由：量子力学的出现和牛顿力学的出现的一个显著的不同是：它没有带来一个全新的“量子几何”或“量子微积分”。所以量子力学完全缺乏几何直观，所有人在学习和掌握它的时候都会觉得特别很是困难。即使到目下当今物理学界也没有对量子力学的根蒂根基有一个统一的看法。 物理学家为了可以或许继续往前走发展了的很多不严格的做法，比如量子场论中的重整化技术，使得数学家望而却步。数学也有越来越形式化的趋势，很多现代数学的抽象语言也让大多数物理学家望而生厌，不知所云。另外数学的体系已经发展到了一个如此丰富和成熟的阶段，一部分数学家认为数学不需要外部的动力也能够自己持续发展。在这一期间，双方都没有给对方带来显著的影响，不但如此数学和物理似乎都把对方视为前进的包袱，想要努力甩掉包袱，轻装上路，寻求自己独立发展的自由空间。一方面，物理学家由于实验手段的日新月异，很多大自然的全新结构被揭示出来，这些崭新的发现所带来的紧迫感，使得物理学家希望摆脱严格性的束厄局促，在没有完善的数学和哲学基石的情况下阔步前行。物理学家也因此取得了难以想象的辉煌成就，这些成就深刻地改变了物理的全貌，甚至改变了我们的生活的各个方面。庞加莱（照片来源：wiki）另外一方面，数学家也努力地使得所谓的“纯数学”成为数学的核心，而其他和应用相关的数学则被视为应用数学，甚至是含有贬义的“不纯”的数学。数学成了一个完全独立于自然科学的学科。虽然这个纯数学运动从19世纪就入手下手了，但是到了20世纪中叶对数学纯粹性的追求才真正到了顶峰。其实纯数学运动是一个特别很是自然的诉求，她有特别很是底层和内蕴的动力，对此庞加莱表述的十分恰当：On the one side, mathematical science must reflect upon itself, and this is useful because reflecting upon itself is reflecting upon the human mind which has created it, the more so because, of all its creations, mathematics is the one for which it has borrowed least from outside. ... The more these speculations depart from the most ordinary conceptions, and, consequently, from nature and applications to natural problems, the better will they show us what the human mind can do when it is more and more withdrawn from the tranny o the better, consequently, will they make us know this mind itself.&[4]20世纪发展起来很多数学，特别是那些完全脱离物理应用的学科：抽象代数、代数几何、代数拓扑、范畴学等等都可以看做是讲述人类抽象思维是如何工作的研究报告。脱离了物理学的影响，数学家同样取得了难以想象的辉煌成就。庞加莱的思考也能够应用在物理上面，究竟?结果物理是一门以实验为主导的自然科学，她内在的驱动力并没有对严格性有严格的要求，对一些自然现象的理解保持灵活的和直觉上的理解，是物理学家探索未知时不可缺少的状态，这一特点也使得整个学科保持永恒的活力。 总而言之，从学科内蕴的特征上看，核心数学和核心物理的分离是学科发展的必然趋势。不过两大核心的自然分离其实不能推出数学和物理的完全分离的结论。但是历史的单摆总是不愿意在平衡点过多地停留，两个核心的分离使得广阔的中间地带变得过度的荒芜，随着两大核心的体量的增加，吸力也愈来愈大，荒芜的地带会变得更加荒芜。时间长了不同核心地带的居民也变得陌生起来，甚至有了敌意。一方面，一些物理学家认为数学家不会提供任何物理学家自己做不出来的结果，认为对数学严格性的追求会阻碍物理的发展，甚至认为过多的数学训练会阻碍物理直觉的培育种植提拔。其中的代表人物是费曼。物理学家徐一鸿师长教师曾写过：事实上，大统一理论的创造者，以及大部分1970年代的粒子物理学家，都十分费曼，很蔑视数学，有次费曼和我一起看秀，他告诉我数学物理那些脆而不坚的东西，应用到物理时根本连马尿都不如[3]。另外一方面，一些纯数学家也对应用于科学的数学产生了鄙夷之心。其中极具代表性的就是英国数学家哈代[5]，他认为应用数学试图把物理真实用数学语言表达，这些数学往往肤浅且无趣；而纯数学则在寻求独立于物理世界之外的真知，具有永恒的价值。 具有讽刺意味的是，为了自作掩饰，哈代认为广义相对论和量子力学是优美的纯数学，因而无用。数学和物理的分离是如此彻底，以至于即使在同一小我私家的身上她们也多是分隔隔离分散的。既是物理学家又是数学家的戴森曾说，他错过了发现模形式和李代数的深刻关系，是因为物理学家的戴森其实不和数论学家的戴森交流。在这一分离期间，数学物理这个名词被限制在一个比较小的范围内，比如用分析的方法来研究物理中的方程、泛函分析和算子代数的方法来研究统计物理和场论模型、以及群透露表现论在物理中的应用，等等。虽然这个分离时期，在70年代规范场论的兴起和80年代弦论发展之后，就已经彻底结束了，但是它给我们这个时代留下的“后遗症”还广泛地存在。在教授教养上施展阐发为，数学专业的学生几乎不要求现代物理学（特别是量子力学、量子场论和统计物理）的任何知识[6]，而物理专业的学生也对现代数学特别是比较形式化的课题，如代数拓扑、代数几何、 抽象代数、范畴学等缺乏基本的了解。而过去30年间数学与物理的大融合和大发展，造成了学生很难经由过程正规渠道来跟上这个发展，对于是否是应该提出一个针对培育种植提拔数学物理标的目的上的学生的教授教养方案这样的问题也没有被提到评论辩论的日程上来。更严重的危机是数学物理的身份危机。对于很多物理学家来说，数学物理学家像是往返于数学和物理之间的商人，不过是经常来贩卖一些时髦的数学名词，虽然有时候还可以对某些物理理论做一些美化的工作，但是对物理本质并没有核心贡献。不少数学家也不把数学物理看成一个严肃的数学研究领域，因为只有那些具有明确的数学定义，陈述清晰的数学定理和完整严格的证明的工作才能被称为数学，而在此发生之前的所有努力被数学家称为物理。如果还没有对数学有本质的贡献，人们确实要怀疑数学物理有没有存在的必要。在求职的道路上，今天的数学物理学家不能不面对这种双重否定的身份所带来的尴尬。毫无疑问，数学物理与数学和物理有不一样的特性，这些特性是否是本质的？是否是值得把数学物理当作一个专门的既不同于数学，也不同于物理的新学科来对待？这是一个不好回答的问题。但是我们坚信，同庞加莱所说的对数学本性的思考类似，对数学物理的本质特性的思考和评论辩论，对数学和物理两方面都是有益的。数学里的新潮流量子场论早期的发展主要是以微扰论为主要研究方法，而孕育而生的重整化的方法对数学物理的对话起到了一定的阻碍作用。但是到了70年代，量子场论的非微扰方法入手下手和近代数学的课题有了广泛的接触，特别是规范场论和纤维丛理论的完美对应，大大促进了数学家和物理学家的重新对话，它的一个直接的结果就是80年代 Donaldson 理论的发现和对4维拓扑的深刻影响。而这种对话更由于80年代弦论的兴起而达到了全新的高度。弦论多是目前对数学要求最高的物理理论，它所需要的数学大多是数学里面没有的崭新的数学，而这种新数学又与广泛的数学领域有着深刻的联系，例如：拓扑学、代数几何、微分几何、透露表现论、分析、数论、概率论、范畴学等等。借助于这种联系和由量子场论带来的独特视角，弦论学家得到了一系列惊人的数学结果，引起了数学家的广泛的注意。一时间以威腾（E. Witten）为代表的很多弦论学家，成了数学新潮流的领路人。从80年代到目下当今这个新潮流非但没有出现任何衰退的迹象，反而有越演越烈之势，以至于目下当今我们都不清楚什么数学领域和物理没有关系。威腾（照片来源：丘成桐数学科学中心）我们经常可以或许听到做学问不克不及跟风的劝告，因为很多时髦的东西确实都是好景不常的时尚。那么这个新潮流能否摆脱好景不常的宿命呢？ 这个问题和我们每一个人要选择做什么数学并没有直接关系，从小我私家角度，选择做什么是没有统一的答案的，因为小我私家的喜好和选择总是很私密的，不可混为一谈。但是学科的发展和停滞也确有其历史发展规律，不是每一个学科都会同步地发展，有些学科甚至停止发展也是正常的。每个时代都会有属于自己这个时代的潮流，我们该做的只能是从历史的角度来分析这个潮流的特点，从而了解我们这个时代留给我们的机遇和使命。数学结构的大爆炸带着这个疑问，我们来看看过去30年数学里面发生了那些变化。先从现象学的角度来看，弦论和量子场论切实其实对数学的各个方面产生了影响，其中一个最显著的特征就是新数学结构的大爆炸。过去30年崭新的数学结构被以亘古未有的速度创造发明出来，他们要么是直接或间接地因为量子场论而被定义出来，要么是由数学家独立发现，但因其后发现了和物理的关系而被加速发展。这里我们举一些例子，比如在几何里有：Calabi-Yau manifolds、Mirror Symmetry、Gromov-Witten theory、elliptic cohomology、Fukaya categories、Donaldson-Thomas Invariants、non-commutative geometry、derived algebraic geometry 等等；拓扑有：Jones polynomial，Donaldson theory、Chern-Simons theory、Seiberg-Witten theory、Khovanov homology、topological field theories、operad、factorization homology 等等；代数及透露表现论有：chiral algebras、quantum groups、vertex operator algebras、modular tensor categories、subfactors、fusion categories、algebras in a tensor category、A-infinity (L-infinity、G-infinity、... ) algebras、geometric Langlands correspondence 等等；概率论有：Stochastic Loewner evolution等等。甚至在数论这样古典的领域里面，都发现了 Langlands 纲领和场论里面的电磁对偶的关系，模形式和拉马努扬公式等等都在量子场论中有很多的应用。从表面上看，量子场论切实其实席卷了数学的大部分领域，以至于有人认为量子场论在扮演着统一数学的角色。不过对更多人来说，这多是一句没有意义的空话，崇尚多元和自由的数学家尤其讨厌这类空洞的“政治”口号。我们需要做的是离开现象的表面去探究导致这一现象的深层缘故原由。大自然的馈赠：无穷维的数学世界老子说“道法自然”，大自然是我们最佳的导师。物理学家在大自然的指导下，甚至是逼迫下，不能不研究多体（或无穷自由度）系统，因为物理世界的大多数问题都是多体的，比如流体、星体、材料，甚至股票市场和人类社会。多体和少体有着本质的区别，简单地说“More is different”[7]，而由此而诞生的物理理论：统计物理、量子多体理论和量子场论，可以看作是大自然（或物理学家）对数学家的馈赠。这个馈赠可以精华精辟出来一条很短的消息：无穷维上存在有限维上根本看不到的数学结构（如：量子场论、弦论）为了可以或许了解这一个简短的信息带来的震撼，让我们来想一想看，单凭想象力就可以企及的无穷维的数学结构是什么？是无穷维的代数（结合代数、李代数、Hopf 代数）、无穷维的流形、无穷维的李群？还是无穷维的函数空间、算子空间等等？ 你会发现这些显然的无穷维的结构都是有限维概念的直接推广， 我们在不知不觉之中陷入了一个看不见的牢笼。一个可以或许打破这个牢笼的问题是：有无一个只在无穷维上才存在的全新的数学结构？这是一个不平凡的问题，可以肯定的是单凭想象力很难企及这样的结构。而令人赞叹的是，现代物理发展出来的量子场论就给出了许多这样的无穷维的新结构。比如任何一个不平凡的2维共形不变的量子场论（或共形场论）都是无穷维的，而有限维的2维共形场论在某种意义下都平凡的。 可以想象这样的无穷维结构的存在性本身就是一个非平凡的问题，所以量子场论的数学结构的完整构造往往是特别很是困难的。先抛开构造不谈，这样的新结构的存在本身已经可以解释为何量子场论在扮演统一数学的角色。当我们透过不同的有限维或无限维的窗口去观察这个无穷维的庞然大物，我们往往会看到完全不同的数学景象。难道这就是老子所说的“大音希声，大象无形”？举一个我自己比较熟悉的例子：第一个被构造出来的2维共形场论是一个顶点算子代数（一个有限维不存在的新结构，其中自动包括结合代数和李代数等结构）；她的配分函数是著名的 J 函数，J 函数是所有模函数的生成函数，模函数在数论里面占有重要地位；她的自同构群是最大的有限散单群：魔群（Monster Group）；另外她还包含了48个统计物理模型中的 Ising 模型的某种极限。这个允许很多看似毫不相关的数学结构在其上生长的庞然大物真的可以称为怪物了。今天我们看到，这些无穷维的怪物已经在很多不同的数学领域之间设立建设了桥梁，为很多古老的问题带来了全新的理解和解决方案。比如今天几何学家也已经熟知了有些在有限维的流形上面的问题，可以经由过程对无限维的 Loop Space 的研究而得到答案；而拓扑学家也经常强调要去看无穷维的 (co)chain space 上的结构，而不单单是看（上）同调。 其实真正重要的还不是解决了以前的问题，而是发现了一个全新的数学新大陆，在等着我们去探险。也正因为是研究无穷维，我们也不难理解为何我们生活在一个数学结构大爆炸的时代。随着愈来愈多的不同角度的观察，新的数学结构被层见叠出地被挖掘出来，而那些刚刚发现的数学结构已经足够的宏大和丰富，会让人不禁感慨：似乎数学才刚刚入手下手。十几年前数学家苏利文（Dennis Sullivan）和笔者说，其实60年代已经可以研究无穷维的拓扑学，那个时候也发现了一些无穷维的新数学结构，但是当时确实缺乏思想上的动力，真的要等量子场论带来了一场思想上的革命，才能真的复兴，并大行其道。陈寅恪所以推动这场数学的新潮流，以及数学结构的大爆炸的幕后推手，既不是一两项新的技术，也不是一两个深刻的思想，而是广袤无边的，完全未开垦的数学新大陆。至少从数学的角度看，基于以上分析，我们已经有理由相信这个由量子场论而来的研究无穷维数学结构的潮流不是一个好景不常的时尚，而是一场革命性的洪流。它应该就是陈寅恪师长教师在《陈垣敦煌劫余录序》中所提及的“ 此时代学术之新潮流”：一时代之学术，必有其新材料与新问题。取用此材料，以研求问题，则为此时代学术之新潮流。治学之士，得预于此潮流者，谓之预流（借用佛教初果之名）。其未得预者，谓之不够格。 此古今学术史之通义，非彼凭空捏造之徒，所能同喻者也。也许人类的想象力终究还是抵不过大自然的馈赠，数学在纯数学化运动之后不久，就迎来了物理学的全面入侵，数学终于又重新拥抱大自然了。新数学的一些特征量子场论带来的无穷维的新数学和传统的数学有什么不同的特征呢？真的有很多不同，需要很完整的分析，我们这里只想借助于无穷维的提示来给出一些简单化，但是可能仍然有启发的解读。我们先来谈谈数学内容以外的一些新特征，以及其对研究者的一些影响和挑战。表面上的混乱：无穷维的数学很像老子所说的大象无形，从表面上看似乎十分混乱，比如在量子场论的不同标的目的上的研究者似乎在用不同的数学语言，有的偏重代数，有的偏重几何，有的偏重拓扑，有的偏重分析，有的偏重用不严格的物理语言，所以即使大家都在做数学物理，交流仍然是很困难的。因为这些表面上的混乱，也为初学者入行带来了极大的困难。数学物理是不好入门的，因为第一，没有教科书；第二，范围太广，几乎涵盖了所有数学领域，正是这样的庞然大物，会让初学者常常有没有从下手的感觉； 第三，需要一些和别的数学学科不一样的训练，特别是需要一些物理的背景，而自学物理对数学家来讲是特别很是困难的。内在的和谐与统一：虽然表面上看是很混乱，但是在深处这些表面的乱象都是同一个无穷维的庞然大物的不同的侧面，因而他们有内蕴的和谐。他们在深层次上的和谐与统一，使得我们不应该把表面的现象看成混乱，而是应该看成是一种丰富的体现。是的，无穷维的数学的一个基本特征是表面的丰富和内在的统一。只有以这样的心态去看待数学物理，才会消除很多对表面上的混乱的抵触心理。她的丰富多彩与和谐统一正是你所追慕的，所以你也要接受她表面上多变的性格，并因此而爱她。数学物理的哲学意见意义：一方面数学物理和对大自然的理解互相关注，所以数学物理的内涵必然是包括自然哲学的。不但如此，因为和量子引力的深刻关系，目下当今的数学物理在特别很是根蒂根基的层次上挑战我们对宇宙几乎所有的认知，这些新的挑战使得哲学家、逻辑学家、数学家、物理学家、较量争论机科学家入手下手聚合在一起，一起来面对一场特别很是底层的变革。另外一方面不同标的目的的数学物理学家要交流，必须要抛开表面的、语言的和技术上的不同，而去挖掘深层次的、哲学上的共性。只有沉得足够的深，交流才是可能的。然而更重要的是，一个本质特征可以或许被挖掘出来，往往是因为我们先发现她会在不同数学语境里有类似的施展阐发，而发现那些隐藏在表象背后的哲学本质本来就是数学物理研究的最根本的目标之一。 数学家 Gelfand 说：“不要吝惜时间来思考根蒂根基理论问题，这点很重要。……，在我们的时代，数学家应该成为自然哲学家。”新的语言：在这个充满未知的领域里面，连描述未知的语言往往也是未知的。可以或许描述自然法则的前提是要设立建设一个语言系统，而语言系统的设立建设本身就依赖于我们对自然法则的深刻理解，所以语言本身就是自然法则的一部分。而且语言系统的设立建设多是我们在探索过程当中最为艰难的步骤。用精确的数学语言把问题描述出来，或把核心结构定义出来往往是最难的。 如果能做到，问题也就被解决了一大半了。根蒂根基知识和技术：当精确的数学语言把问题描述出来以后，往往会发现以前所有的数学工具都用不上，需要的是去发明全新的数学工具。虽然有的时候碰巧前人发明的数学工具可以用，但是常存这样的侥幸心理长时间来讲是有害的，因为我们的目的就是去发现一个全新的数学世界。 所以坚固的数学根蒂根基、宏大辽阔的数学知识和强大的技术都不是探索者必需的素质。真正需要的是探索者的勇气，独立之精神和自由之思想。虽然从本质上讲，所有领域在这一点上都是一样的，但是那些相对成熟的领域对根蒂根基和技术的要求还是要高很多。年青人的舞台：我们接着前面的特点略微展开谈一下，量子场论和很多领域的数学相关，这也给刚入门的学生带来一些错觉：是否是需要懂很多数学才有可能来做数学物理？其实真实的情况并不是如此，除几个需要比较多根蒂根基知识的领域，比如镜对称（Mirror Symmetry）等，更多的标的目的上其实不需要太多的根蒂根基知识，即使是研究镜对称也有很多不需要太多根蒂根基的入手点。更重要的是量子场论要求的数学大多是全新的数学，她们还没有被设立建设起来。更有甚者，学了很多数学有时候甚至是有害的，因为如果学了很多数学知识放在脑子里，我们的本能就是希望有机会让这些数学知识可以或许发挥作用，这种功利的设法主意反而限制了我们的想象力。因为你面对的是一个全新的数学世界，虽然设立建设旧世界通向新世界的桥梁也很重要，但是这种桥梁很多时候只是涉及了新世界的枝枝叶叶，而忽略了新世界有她自己内蕴的全新的生命结构。所以更重要的素质是学会放下，放下数学知识带来的包袱，用一颗自由的心去倾听。 所以一个年青人虽然没有很丰富的数学知识，只要可以或许保持一颗天真的童心和足够的努力，就有可能做出很大的突破性的工作。 限于篇幅，只在这里点到为止，笔者会在其他文章中详细解读。在数学内容上，无穷维的数学展现出很多新特征和新现象，比如高阶同伦论和高阶范畴的应用，丰富的形变理论和模空间问题，很多神奇的对偶现象，等等。每个现象都值得我们做深入的分析和解读。而在这里我们仅仅简单谈谈下面三个新特征。代数方法的重要性：传统物理学大厦设立建设在微积分的根蒂根基上，牛顿把经典力学问题完全化成了微分方程的问题，电动力学和广义相对论也都设立建设在微分方程的根蒂根基上，所以分析的方法在经典的数学物理里面占有无足轻重的地位，大多数物理学家因此相信，方程是表达宇宙的永恒规律的唯一语言，写下以自己名字来命名的方程式大概是几乎所有物理学家的梦想。量子力学诞生以后，虽然方程仍然是主流语言，比如：薛定谔方程和狄拉克方程，但是代数的方法也愈来愈重要，特别是透露表现论的重要性变得不言而喻，群论和群透露表现论也已经从最初的一个纯数学分支变成了所有物理学家的通用语言。而且从量子力学的起源上看，海森堡从可观测代数的角度给出的量子力学描述可能更加基本。量子场论兴起以后，分析的方法在半经典的近似下仍然有很大的作为，但是对完全量子化的场论显得有些力所能及，其根来源根基因是量子物理和牛顿的经典时空观念是扞格难入的，而从描述量子世界的数学语言上看，微积分在本质上就是不够的，我们需要一个新的量子化的微积分[8]。 这里的“量子化”有两个不同又彼此相融的意思[9]，一是在量子物理中，可观测量构成一个非交换的代数（海森堡图像）。如果和量子力学的设立建设一样，我们把可观测量看做是构建新的微积分的起点的话，那么代数方法将是这个新的微积分核心，法国数学家阿兰·孔涅（Alain Connes）发展的非交换几何是这一个思路的代表[8]；另外一个是路径积分的，从这个角度看需要无穷维，因为路径空间是无穷维的。从无穷维的角度看，实数就不是一把测量无穷维数学世界的好尺子。所以很多无穷维空间就没有传统意义上的取实数值的测度。这时候候我们需要用无穷维的尺子来测量无穷维的世界。 在我们寻找适当的测量无穷维的尺子的时候，尺子内蕴的结构变得更为重要。也许我们最终还是要设立建设完备的分析的方法和理论，但是这个理论必须设立建设在我们对无穷维相关数学的基本代数结构的理解之上，就好像实数是由有理数完备化而来，但是这个完备化依赖于有理数上面的代数结构。所以对无穷维上面的数学结构的理解，应该放在完备化之前[10]。阿兰·孔涅（照片来源：MFO）70年代以前，物理中的代数方法主要是指群论，目下当今愈来愈多的代数结构入手下手在量子场论的研究中大展身手，比如：无穷维李代数、A-infinity (C-，L-infinity，etc)代数、Hopf 代数、顶点算子代数、张量范畴、factorization algebra，等等。格罗腾迪克（照片来源：wiki）范畴学的兴起：范畴学起源于代数拓扑，60年代格罗腾迪克（A. Grothendieck）将其变成了代数几何的根蒂根基语言，随后其影响逐渐辐射到很多其他领域，因而成就了一股范畴论替代集合论的潮流。到了90年代这个潮流非但没有衰减，反而有了新的强大动力：量子场论或无穷维的数学结构。为何无穷维的数学要用到范畴学？ 从代数上看，如果我们的尺子是实数（或复数），很多场论的问题就能够化成无穷维的线性代数问题，但是用有限维的尺子去测量无穷维是没有效率的，而特别有效的尺子本身往往就是无穷维的，用了这样的尺子， 很多场论的问题都可以转化成在不平凡的张量范畴里面的代数问题。更多的时候，无穷维丰富的数学结构会让研究者特别很是迷惑，而范畴学对数学做一个巨大的统一，很多不同领域看似不同的数学概念，在范畴学的视角里不过是不同范畴里的同一概念。所以研究无穷维的问题的时候，范畴学变成了特别很是有用的语言和导向性工具。不但如此，在物理里面，没有结构的“存在”是不存在的，即使是“点粒子”也不是数学意义上的点而是有很多结构，很多时候我们希望可以或许在每个“点”都带有丰富结构的“数域”上积分，而范畴学其实就提供了一个结构化的微积分。另外值得一提的是量子物理在很多基本方面都暗合范畴学的基本精神。比如，量子理论把可测量提到一个最本质的层次，可测的不是基本粒子，而是他们之间的相互作用，没有相互作用，测量也是不可能的；而范畴学的基本精神就是认为对象之间的相互关系比对象更重要，甚至对象本身就是所有相互关系的反映[11]。物理图像对无穷维数学的研究有难以想象的有效性：我们熟知的一个著名问题是：为何数学对物理有难以想象的有效性（unreasonable effectiveness）[12]？而物理图像对无穷维数学的研究有难以想象的有效性， 这是一个全新的现象。 要仔细解读这个现象很难，超出了本文的范畴，我们这里只想点出，本文的核心，无穷维上的新数学，给出了一个明显的暗示。一个无穷维的数学结构，如果单从他的生成元和她们之间的关系的角度看，特别很是复杂，很难有什么数学直觉。但是如果这个无穷维的数学结构描述的是一个有没有穷自由度的物理系统，比如一块固体材料，我们的物理直觉，甚至就是一块固体材料在普通视觉下效果，也已经是做了很复杂的重整化较量争论的结果，即把所有微观自由度积分积出来的结果。这一个过程从数学上看是特别很是不平凡的，也就是说有时候物理直觉本身就是一个不平凡的对无穷自由度的较量争论结果。也许这就是物理图像对无穷维数学的研究有难以想象的有效性的一个重要缘故原由。另外借助这个语境，我们顺便提一下，无穷维的数学世界展现了很多神奇的对偶现象，这些对偶其实不是局限在数学结构之间的同构，可以是更弱意义下的对应，比如一些多体系统和场论里面的 boundary-bulk duality。这些看上去低维度的多体系统可以或许和高维度的多体系统之间有对偶，其根来源根基因是二者本质上都是无穷维的。甚至在无穷维的数学世界里面，一个“点”也都是无穷维的。这多是藏在很多物理全息现象背后的缘故原由。我们希望以后能回到这个话题上来。结束语在这篇文章里，我们简略地分析了过去30年物理对数学产生了深刻影响的缘故原由。我们希望读者已经从我们的分析中了解了，为何这是一场革命性的洪流，而非好景不常的时尚。我们相信探索无穷维的数学新大陆正是这个时代赋予我们的机遇和使命。在文章的进程中我们有意地忽略了很多重要的问题，比如：我们既没有对数学物理发展的历史进程做任何说明，在每个年代里面到底发生了什么？ 在不同的年代有什么特别重要的特点？ 也没有对数学物理新进展的具体内容做任何介绍，也没有给出任何具体的实例来展现由数学物理带来的和传统数学不同的思考体式格局。我们认为对这些问题做细致的分析和广泛深入的评论辩论是特别很是有意义的，不过这不可避免地让我们走入学科的细节。从数学方面介绍数学物理的中文文章不多，我们希望举一反三，期待以后可以或许看到很多这方面的评论辩论。在这里我们推荐阿蒂亚（M. Atiyah）师长教师的《数学的统一性》[13]和丘成桐师长教师的《丘成桐谈空间的内在形状》（简体中文版为《大宇之形》）[14]。其实这方面的英文文章也不多，特别是和本文类似性质的文章几乎没有，一个比较深入的评论辩论见 Moore 的综述性文章[15]。在文章结束前，我们想指出，如果物理对数学的影响只是单向的，那么这股潮流的生命力将减少不少。所以我们要问一个显然的问题：这些由物理学带来的数学革命最终能不克不及回馈物理呢？而这种回馈会不会仅仅是一些装饰性的美化？还是有可能会深刻地改变物理学？ 这些问题显然需要另外一篇文章来仔细分析，我们只想指出数学对弦论的回馈早就不是新闻，而且最近几年来，我们看到一些数学家对场论的研究入手下手已经对其他物理学有不平凡的回馈。笔者比较熟悉的就有拓扑场论的数学理论和范畴学对凝聚态物理中的拓扑序的研究的影响。不过这是一个独立无意偶尔的现象呢，还是一股革命性的新潮流的入手下手呢？ 我们期待专家的解读。致谢：笔者特别很是感谢中国科学院物理所的曹则贤老师，清华高等研究院的汪忠老师，清华大学丘成桐数学中心的李思老师，中国科学院数学所的苏阳老师和西交利物浦大学的刘启后老师对本文的评论和建议。笔者还要感谢《数理人文》杂志配的照片。参考文献及补充说明[1] 爱因斯坦把时间和空间统一在一起是黎曼没有预料到的。[2] Bernhard Riemann,&1868 On the hypotheses which lie at the foundation of geometry, translated by W.K. Clifford, Nature&8&(1873), 183.&http://www.emis.de/classics/Riemann/.[3] 徐一鸿，数学在根蒂根基物理中的有效性——维格纳之后三十年（周树静 译），数理人文&2&(2014)，International Press of Boston.&[4] 庞加莱表述的英译文出自&Jeremy Gray,&Henri Poincaré. A Scientific Biography, Princeton University Press, 2013.[5] G.H. Hardy,&A Mathematician"s Apology, Cambridge: Cambridge University Press, (2004) [1940].[6] 可能只有一个国家是例外就是苏联和后来的俄罗斯，也许部分因为和西方世界的隔绝，苏联的数学物理传统保存得很好，正因为如此，在苏联解体之后，大量优秀的原苏联数学家和物理学家流向欧美，成为当今数学物理学界的主要力量。[7] P.W. Anderson,&More is different, Science, New Series, Vol. 177, No. 4047. (Aug. 4, 1972), pp. 393--396.[8] Alain Connes,&Noncommutative geometry,&http://www.alainconnes.org/docs/book94bigpdf.pdf.[9] 这两种意思是彼此融洽的，比如非交换代数可以看成无穷维路径空间上的坐标函数生成的代数, 见 M. Kapranov,&Noncommutative geometry and path integrals, Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin, Vol. II, 49--87, Progr. Math., 270, Birkh?user Boston, Inc., Boston, MA, 2009.[10] 这一段笔者受惠于黄一知师长教师对2维共形场论研究的一些类似看法。[11] 关于范畴学和物理的评论辩论可见 Section 2 in&http://arxiv.org/abs/, 更多评论辩论见 nlab:http://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory+and+physics.[12] Eugene P. Wigner,&The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, in: Communications in Pure and Applied Mathematics&13&(1960), 1--14. 中文版：尤金·维格纳，数学在自然科学中不合理的有效性（岛洋 译），数理人文&2&(2014)，International Press of Boston.（点击阅读微信版）[13] 阿蒂亚, 《数学的统一性》，大连理工大学出版社，2009.[14] 丘成桐，《丘成桐谈空间的内在形状》，远流出版事业股份有限公司; 《大宇之形》，湖南科学技术出版社。及相关的报告：《弦论和宇宙隐维的几何》，http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d354/35401.pdf.[15] Gregory W. Moore,&Physical Mathematics and the Future,http://www.physics.rutgers.edu/~gmoore/PhysicalMathematicsAndFuture.pdf.编辑：Lixy近期热门文章Top10↓ 点击标题即可查看 ↓1. 通往物理学世界的地图2.&史上最难逻辑题！据说99.9%的人都做不出来……3.&学校教给你的N个谎言4.&不克不及说的秘密：薛定谔方程是怎么推导出来的5.&你好，我在10维时空等你6.&正经向 | 葫芦娃中的那些“黑科技”7.&圣诞老人的真面目8.&妹子办公室进老鼠了，能忍？9.&十个问题带你认识弦理论！10.&物质本身有颜色吗？点此查看以往全部热门文章