解不等式 (1) 解分式不等式 12.——精英家教网——
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解不等式 (1) 解分式不等式 12. 【】
题目列表(包括答案和解析)
本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）选修4-2：矩阵与变换设矩阵&M=a00b（其中a＞0，b＞0）．（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；（Ⅱ）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x24+y2=1，求a，b的值．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为x=3cos∂y=sin∂(∂为参数)．（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，π2），判断点P与直线l的位置关系；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设不等式|2x-1|＜1的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．
A．选修4-1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2 ）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （ O1不在AB上）．求证：AB：AC为定值． B．选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A=1121，向量β=12．求向量α，使得A2α=β． C．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x=5cosφy=3sinφ（φ为参数）的右焦点，且与直线x=4-2ty=3-t（t为参数）平行的直线的普通方程．D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：x+|2x-1|＜3．
（;宿迁一模）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的&垂直平分线，若AB=6，CD=25，求线段AC的长度．B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M=211a的一个特征值是3，求直线x-2y-3=0在M作用下的新直线方程．C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是x=cosαy=sinα+1（α是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集为R，求正实数a的取值范围．
（本小题满分16分）已知函数＝，，,为常数。（1）若函数在＝1处有极值10，求实数,的值；（2）若＝0，(I)方程＝2在∈[－4,4]上恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围；(II)不等式＋2≥0对∈[1，4]恒成立，求实数的取值范围。&
（本小题满分16分）已知函数，，其中，，且。(1)若1是关于的方程的一个解，求的值；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；(3)当时，函数的最小值为，求的解析式.&
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分式不等式的解法
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3x+...”习题详情
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阅读材料：解分式不等式
＜0 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ①
解①得：无解，解②得：-2＜x＜1 所以原不等式的解集是-2＜x＜1 请仿照上述方法解下列分式不等式： （1）
本题难度：
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“阅读材料：解分式不等式
＜0 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ①
...”的分析与解答如下所示：
先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式．
解：（1）根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ①
解①得：无解， 解②得：-2.5＜x≤4 所以原不等式的解集是：-2.5＜x≤4；
（2）根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ①
解①得：x＞3， 解②得：x＜-2． 所以原不等式的解集是：x＞3或x＜-2．
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阅读材料：解分式不等式
＜0 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ①
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经过分析，习题“阅读材料：解分式不等式
＜0 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ①
...”主要考察你对“9.3 一元一次不等式组”
等考点的理解。
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9.3 一元一次不等式组
与“阅读材料：解分式不等式
＜0 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ①
...”相似的题目：
[2014o上海o中考]如图，为检查装置的气密性，保持装置内温度不变，将导管的末端深入装有水的烧杯中．若装置的气密性良好，烧杯内导管处的现象（画圈部分）是（　　）选项&A&B&C&D&&现象放大图&&&&&ABCD
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＜0 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ①
解①得：无解，解②得：-2＜x＜1 所以原不等式的解集是-2＜x＜1 请仿照上述方法解下列分式不等式： （1）
＞0．”的答案、考点梳理，并查找与习题“阅读材料：解分式不等式
＜0 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ①
解①得：无解，解②得：-2＜x＜1 所以原不等式的解集是-2＜x＜1 请仿照上述方法解下列分式不等式： （1）
＞0．”相似的习题。学而思网校小编为您带来高中数学分式不等式知识点总结，希望对大家有所帮助 高中数学分式不等式知识点总结（一） 不等式期末复习讲义 一、 知识点 1．不等式性质 比较大小方法：
& & & 学而思网校小编为您带来高中数学分式不等式知识点总结，希望对大家有所帮助
& & 高中数学分式不等式知识点总结（一）
　　不等式期末复习讲义
　　一、 知识点
　　1．不等式性质
　　比较大小方法：（1）作差比较法（2）作商比较法
　　不等式的基本性质
　　①对称性：a & bb & a
　　②传递性: a & b, b & ca & c
　　③可加性: a & b a + c & b + c
　　④可积性: a & b, c & 0ac & bc；
　　a & b, c & 0ac & bc；
　　⑤加法法则: a & b, c & d a + c & b + d
　　⑥乘法法则：a & b & 0, c & d & 0 ac & bd
　　⑦乘方法则：a & b & 0, an & bn (n&N)
　　⑧开方法则：a & b & 0,
　　2．算术平均数与几何平均数定理：
　　（1）如果a、b&R,那么a2 + b2 &2ab（当且仅当a=b时等号）
　　（2）如果a、b&R＋,那么（当且仅当a=b时等号）推广：如果为实数，则
　　重要结论
　　1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
　　（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，和xy有最大值S2/4。
　　3．证明不等式的常用方法：
　　比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
　　综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。
　　分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。
　　4．不等式的解法
　　（1） 不等式的有关概念
　　同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。
　　同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。
　　提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形
　　去分母、去括号、移项、合并同类项
　　（2） 不等式ax & b的解法
　　①当a&0时不等式的解集是{x|x&b/a}；
　　②当a&0时不等式的解集是{x|x&b/a}；
　　③当a=0时,b&0,其解集是R；b0, 其解集是ф。
　　（3） 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系
　　（4）绝对值不等式
　　｜x｜＜a（a＞0）的解集是｛x｜－a＜x＜a｝，几何表示为：
　　－a 　 0 　 a
　　｜x｜＞a（a＞0）的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝，几何表示为：
　　－a 0 a
　　小结：解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号（整体思想，分类讨论）转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：
　　（1）定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号；
　　（2）公式法：| f(x) | & a f(x) & a或f(x) & －a；| f(x) | & a －a&f(x) & a；
　　（3）平方法：| f(x) | & a(a&0) f2(x) & a2；| f(x) | & a(a&0) f2(x) & a2；（4）几何意义。
　　(5)分式不等式的解法
　　(6)一元高次不等式的解法
　　数轴标根法
　　把不等式化为f(x)＞0（或＜0）的形式（首项系数化为正），然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。
　　（7）含有绝对值的不等式
　　定理：|a| － |b|&|a+b|&|a| + |b|
　　? |a| － |b|&|a+b|
　　中当b=0或|a|&|b|且ab&0等号成立
　　? |a+b|&|a| + |b|
　　中当且仅当ab&0等号成立
　　推论1：｜a1 + a2 + a3| &｜a1 | +| a2 | + | a3|
　　推广：｜a1 + a2 +...＋ an| &｜a1 | +| a2 | +...+ | an|
　　推论2：|a| － |b|&|a－b|&|a| + |b|
& & &高中数学分式不等式知识点总结（二）
　　二、常见题型专题总结：
　　专题一：利用不等式性质，判断其它不等式是否成立
　　1、a、b&R,则下列命题中的真命题是（　C ）
　　A、若a&b，则|a|&|b| B、若a&b，则1/a&1/b
　　C、若a&b，则a3&b3　　　　　　　D、若a&b，则a/b&1
　　2、已知a&0.－1&b&0,则下列不等式成立的是（ D ）
　　A、a&ab&ab2 B、ab2&ab&a
　　C、ab&a&ab2 D、ab&ab2&a
　　3、当0&a&b&1时，下列不等式成立的是（ D　）
　　A、(1a)1/b &(1a)b B、(1+a)a&(1+b)b
　　C、(1a)b &(1a)b/2 D、(1a)a&(1b)b
　　4、若loga3&logb3&0，则a、b的关系是（ B ）
　　A、0&a&b&1 B、b&a&1
　　C、0&b&a&1 D、1&b&a
　　5、若a&b&0，则下列不等式①1/a&1/b；②a2&b2；③lg(a2+1)&lg(b2+1)；④2a&2b中成立的是（　A ）
　　A、①②③④　　B、①②③　　　C、①②　　　　D、③④
　　（二）比较大小
　　1、若0&&&&&&/4,sin&+cos&=a,sin&+cos&=b，则（ A　）
　　A、a＜b　　　　B、a＞b　　　　　C、ab＜1　　　　　D、ab＞2
　　2、a、b为不等的正数，n&N，则(anb+abn)－(an－1+bn－1)的符号是（ C　）
　　A、恒正　　　　　　　　　　　　B、恒负
　　C、与a、b的大小有关　　　　　 D、与n是奇数或偶数有关
　　3、设1＜x＜10，则lg2x,lgx2,lg(lgx)的大小关系是lgx2&lg2x&lg(lgx)
　　4、设a&0,a&1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。
　　分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比较法（作差）即可。
　　（三）利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件
　　1、设x、y&R,判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系
　　⑴命题甲：x&0且y&0，　　命题乙：x+y&0且xy&0 充要条件
　　⑵命题甲：x&2且y&2，　　命题乙：x+y&4且xy&4　　　　　充分不必要条件
　　2、已知四个命题，其中a、b&R
　　①a2&b2的充要条件是|a|&|b|；②a2&b2的充要条件是|a|2&|b|2；③a2&b2的充要条件是(a+b)与(a－b)异号；④a2&b2的充要条件是(|a|+|b|)与(|a|－|b|)异号.其中真命题的序号是_　　　　　　　　　。
　　3、&a+b&2c&的一个充分条件是（ C　）
　　A、a&c或b&c B、a&c或b＜c　　　C、a&c且b&c　　D、a&c且b＜c
　　（四）范围问题
　　1、设60＜a＜84,－28＜b＜33,求：a+b,a－b,a/b的范围。
　　2、若二次函数y=f(x)的图象过原点，且1&f(1)&2,3&f(1)&3，求f(2)的范围。
　　（五）均值不等式变形问题
　　1、当a、b&R时,下列不等式不正确的是（ D　）
　　A、a2+b2&2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2&ab
　　C、(a/2+b/2)2&a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)&log1/2(2|a|?|b|)
　　2、x、y&(0,+&)，则下列不等式中等号不成立的是（ A　）
　　C、(x+y)(1/x+1/y)&4 D、(lgx/2+lgy/2)2&lg2x/2+lg2y/2
　　3、已知a&0,b&0,a+b=1，则(1/a21)(1/b21)的最小值为（ D　）
　　A、6　　　　　　　B、7　　　　　　　C、8　　　　　　　D、9
　　4、已知a&0,b&0,c&0，a+b+c=1，求证：1/a+1/b+1/c&9
　　5、已知a&0,b&0,c&0,d&0,求证：
　　（六）求函数最值
　　1、若x&4,函数
　　5、大、－6
　　2、设x、y&R, x+y=5，则3x+3y的最小值是（　）D
　　A、10　　　　　　B、　　　　　　C、　　　　　　D、
　　3、下列各式中最小值等于2的是（　）D
　　A、x/y+y/x B、 C、tan&+cot& D、2x+2－x
　　4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。
　　5、已知x&0,y&0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。
　　（七）实际问题
　　1、98（高考）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。
　　解一：设流出的水中杂质的质量分数为y，
　　由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k&0)
　　据题设2&2b+2ab+2a=60(a&0,b&0)
　　由a&0,b&0可得0&a&30
　　令t=2+a，则a=t－2从而当且仅当t=64/t，即t=8,a=6时等号成立。∴y=k/ab&k/18
　　当a=6时,b=3，
　　综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
　　解二：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k&0)
　　要求y的最小值，即要求ab的最大值。
　　据题设2&2b+2ab+2a=60(a&0,b&0)，即a+2b+ab=30
　　即a=6,b=3时，ab有最大值，从而y取最小值。
　　综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
　　2、某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126　　米2的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用为a/4元；③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案：⑴利用旧墙的一段x(x&14)米为矩形厂房的一面边长；⑵矩形厂房的一面长为x(x&14).问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？⑴⑵两种方案哪种方案最好？
　　解：设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为x米，则另一边长为126/x米。
　　⑴若利用旧墙的一段x米(x&14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x?a/4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)?a/2元，其余的建新墙的费用为(2x+ 2?126/x－14)?a元，故总费用　当且仅当x＝12时等号成立，∴x＝12时ymin=7a(6－1)=35a。
　　⑵若利用旧墙的一段x米(x&14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x?a/4元，建新墙的费用为(2x+ 2?126/x－14)?a元，故总费用
　　设f(x)=x+126/x, x2&x1&14，则f(x2)－f(x1)= x2+126/x2－(x1+126/x1)
　　=(x2x1)()&0∴f(x)=x+126/x在［14，＋&)上递增，∴f(x)&f(14)
　　∴x=14时ymin=7a/2+2a(14+126/14－7)=35.5a
　　综上所述，采用方案⑴，即利用旧墙12米为矩形的一面边长，建墙费用最省。
　　（八）比较法证明不等式
　　1、已知a、b、m、n&R+,证明：am+n+bm+n&ambn+anbm
　　变：已知a、b&R+,证明：a3/b+b3/a&a2+b2
　　2、已知a、b&R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,证明：对任意实数p、q恒有a?f(p)+b?f(q)&f(ap+bq)
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