《求函数值域的常见方法》
求函数值域的常见方法日期：
求函数值域的常见方法总结【观察法】有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域。 例题：求函数y =1 2+x 2【配方法】配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。F (x ) =af 2(x ) +bf (x ) +c 的函数的值域问题，均可使用配方法，解题过程中，要特别关注自变量的取值范围。例题：确定函数（1）y =4（2）y =的值域。 x【分离常数法】此方法适合与分式函数的值域问题，思路是用分母表示分子，分离出常数，使分子不含变量，再借助基本函数的值域求解。例题：确定下列函数的值域3x +1x 2-x （1）y =
（2）y =2 x -2x -x +1【判别式法】把函数转化成关于x 的二次方程F (x , y ) =0，通过方程有实根，判别式?≥0，从而求得a 1x 2+b 1x +c 1原函数的值域。形如y =（a 1, a 2不同时为0）的函数的值域常用此法求得。前提是定义a 2x 2+b 2x +c 2域为R 且分子、分母没有公因式。例题：求下列函数的值域2x 2-x +2x 2-3x +2（1）y =2
（2）y = 2x +x +1x -1【反解x 法】将y 视为变量，利用数式的性质或已知函数的值域求y ，体现了方程思想。例题：求下列函数的值域2-sin x 2x（1）y =x
（2）y = 2+sin x 2+1【换元法】运用代数或者三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如y =ax +b （a , b , c , d 均为常数，且a ≠0）的函数常用此法求解。令t =，t 3-d x =且t ≥0c角代换，令x =a cos θ，θ∈[0,π]，或令x =a sin θ，θ∈[-ππ, ]。 22例题：求下列函数的值域（1）y =2x
（2）y =x【不等式法】利用基本不等式a +b ≥，用此法求值域时，要注意条件“一正二定三相等”即①a >0，b >0；②a +b （ab ）为定值；③取等号条件a =b 。例题：求下列函数的值域（1）y =3x （x <0）； x 2+x +1x 2-x +1（2）y =2； x +x +15x 2-4x +5（3）y =（x ≥） 22x -4【单调性法】先确定函数的定义域（或定义域的某个子集上）的单调性，再求出函数的值域的方法为单调性法。考虑用单调性法求值域常见的有y =ax +b a , b , c , d 均为常数，且ac ≠0）看a 与d 是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有在利用重要不等式求值域失效（等号不满足）的情况下，可采用单调性求值域，但须熟悉下述结论。 函数y =x +k （x >0, k >0），x ∈0, (，函数递减；x ∈+∞) ，函数递增。 x例题：求下列函数的值域（1）y =2
（2）y =4x -1【求导法】当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值。例题：设y =x +6x -15x -8，试求y 在[0,3]上的最大值和最小值。【课堂练习】1．求下列函数的值域（1）y =32132-x +1
（2）y =sin x +4cos x +1 21-x x 2-9（3）y =
（4）y =2 2x +5x -7x +12（5）y =3x
（6）y =6x +1+x 2+41x -x x 2（7）y =
（8）y =(e -e )
2x -2确定函数解析式的常见方法【配凑法】根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式。 例题：已知f (x +) =x + 【换元法】换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的基本功能是化难为易、化繁为简，以快速实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，诸如：局部换元、整体换元、三角换元、分母换元、平均换元等等，它的应用及其广泛。 例题：已知函数f (x ) 满足f (loga x ) = 【待定系数法】已知函数的特征，求函数解析式，可用待定系数法，设出待定系数，根据已知条件建立方程组求出待定系数的值。例题：设f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x ) 。 【消元法】此方法的实质是解函数方程。 例题：已知f (x ) +2f () =3x ，求f (x ) 的解析式。 【赋值法】赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。例题：已知f (0)=1，f (a -b ) =f (a ) -b (2a -b +1) ，求f (x ) 。 1x 21+1，求f (x ) 的表达式 2x a 1(x -) （其中a >0，a ≠1，x >1），求f (x ) 的表达式 a 2-1x 1x【典型例题】例题1：已知二次函数f (x ) 满足f (2)=-1，f (-1) =-1，且f (x ) 的最大值是8，试确定此二次函数。 ?x -1(x >0) 例题2：已知f (x ) =x -1，g (x ) =?，求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式。 2-x (x <0) ?2 例题3：已知f (x ) 是定义在[-6,6]上的奇函数，它在[0,3]上式一次函数，在[3,6]上是二次函数，且当x ∈[3,6]时，f (x ) ≤f (5)=3，f (6)=2，求f (x ) 的解析式。 【课后练习】1、设二次函数y =f (x ) 的最小值为4，且f (0)=f (2)=6，求f (x ) 的解析式。 ?x 2, x ≥02、已知函数f (x ) =2x -1，g (x ) =?，求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式。?-1, x <0 23、f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x =2对称，且当x ∈(-2,2) 时，f (x ) =-x +1，求当x ∈(-6, -2) 时的表达式。
判断函数奇偶性的方法【定义法】基本步骤如下：（1）确定函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数为非奇非偶函数；（2）若函数的定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当化简，以便进行判断；（3）若函数较复杂，可利用变形式子，用求和（或差）法，即看f (-x ) ±f (x ) 与0的关系，或用求商法，即看f (x ) 与±1的关系； f (-x )（4）分段函数应分段讨论，要注意根据x 的范围取相应的函数表达式判断。例题：判断下列函数的奇偶性x 2+2?x +3?（1）f (x ) =
（2）f (x ) =x ∈?x |≥0?； x ?x -3?（3）f (x ) =log 0.5(x +?x -2, (x <0) ；
（4）f (x ) =?；?-x -2,(x >0)【图像法】可借助图像的对称性来判定函数的奇偶性：①f (x ) 为奇函数其图像关于原点成中心对称图形；②f (x ) 为偶函数其图像关于y 轴成轴对称图形；?x -2, (x 0) ?【性质法】（1）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；（2）在定义域的公共部分内，两奇函数的积（或商）为偶函数；一奇一偶函数之积（或商）为奇函数，两奇函数（或两偶函数）的和、差为奇函数（偶函数）。 函数单调区间的几种确定方法【数形结合法】数形结合法是确定函数单调区间的方法，函数的单调区间形象直观地反映在函数的图像中。例题：函数y =|x |(1-x ) 在区间A 上式增函数，那么A 的区间是（
）A . (-∞, 0 )
C . [0,+∞)
D . (, +∞)1212【复合函数法】复合函数F (x ) =f [g (x )]的单调性一般由函数y =f (u ) 和u =g (x ) 的单调性来确定：（1）当g (x ) 和f (u ) 的单调性相同时，函数F (x ) 为单调递增函数；（2）当g (x ) 和f (u ) 的单调性相反时，函数F (x ) 为单调递减函数；例题：求函数y =log a (-x 2+2x +8) （a >0且a ≠1）的单调区间。【定义探索法】判断函数的单调性，可根据单调函数的定义，即在f (x ) 的定义域内任取x 1<x 2，来考查f (x 1) -f (x 2) 的符号，这是常用的方法。例题：若f (loga x ) =x +x -1（a >0且a ≠1），求函数f (x ) 的单调区间。【导数法】基本步骤：（1）求出函数f (x ) 的导数f ' (x ) ；（2）如果f ' (x ) >0，则f (x ) 单调递增，如果f ' (x ) <0，则f (x ) 单调递减，求出其相应的解集就分别是单调递增和递减区间。 4x 2-7例题：已知函数f (x ) =，x ∈[0,1]，求f (x ) 的单调区间。 2-x 本文由()首发，转载请保留网址和出处！
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全部答案（共1个回答）
有分段的定义域~~
从定义域入手~~各个算出值域
然后将这些分段的值域并起来
那就是你所要的答案
当然还有另外一种方法就是画个图
然后从图中得出值域
将g(x)代入，并配方得
f(x)={(x+1/2)^2+7/4，x2；(x-1/2)^2-9/4，-1≤x≤2}.
画个草图易知，
-9/4≤f(x)≤0，或...
Graph Painter 标准版 1.0.3.2 介绍: Graph Painter 是一款方便易用的函数图象绘制软件,尤其适用于在校学生在日常学习中对于绘图...
现在已知一组数据x,y，用visual c++实现在直角坐标系中的曲线图。小弟刚学c++，望各位大侠支招^_^
比如这组数据是：x
可以啊，在powerpoint就有啊。
在工具选项里打开自定义里面的绘画要打勾。
在自选图形里面选择线条，里面的曲线就可以画出抛物线了。
答: 我觉得你选的对 哈哈先天性肥厚性幽门狭窄 右上腹部包块幽门痉挛 呕吐非喷射性 右上腹摸不到肿块切口污染 有化脓 应该是III/丙
答: 老师主动，多让学生背，思考，不学也得逼着，以后他们就知道对不对了
答: 很简单,水沸腾也就100度左右,而纸要燃烧的着火点远远高于100度,在纸远达不到着火点的时候,纸锅上的水就因为水对流把热量带走,使纸锅底的温度远低于纸着火点温度...
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相关问答：123456789101112131415求函数图像。值域 详细过程 谢谢_百度知道
求函数图像。值域 详细过程 谢谢
我有更好的答案
//g.jpg" esrc="http://g;
赶脚非常不好意思
那个4 怎么得来的
我数学0基础 这几天才开始补 唉 后悔以前没听啊
二次函数的最值你会吗
在课本的哪一张
初中数学还不错的 都忘了 高中两年数学没听过 现在很多都不会
这个东西…忘了… 就求个最值 那个函数的最值是4
第四个 怎么做
值域 要画两个图
你们作业真奇葩
这都是最最基础的啊
作业我都没看
我也没想到我一数学渣渣能给人讲题
来自：作业帮
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第4炼求函数的值域作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。一、基础知识：1、求值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。若为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：的解析式中可将关于的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。（4）最值法：如果函数在连续，且可求出的最大最小值，则的值域为注：一定在连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）例：解：对称轴为：（3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当当（4）对勾函数：①解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得②极值点：③极值点坐标：④定义域：⑤自然定义域下的值域：（5）函数：注意与对勾函数进行对比①解析式特点：的系数为1；②函数的零点：③值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的②化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。（4）换元也是将函数拆为两个函数复合的过程。在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种①：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围②：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可。当然要注意有些解析式中的项不是直接给出，而是可作转化：例如可转化为，从而可确定研究对象为例1：函数的值域是（）A.B.C.D.思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。解：的定义域为令，则的值域为例2（1）函数的值域为（）A.B.C.D.（2）函数的值域为__________（3）函数的值域为__________思路：（1）本题可视为的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令，则，所以可得（2）如前文所说，，将视为一个整体令，则可将其转化为二次函数求得值域解：令的值域为（3）所求函数为的形式，所以求得的范围，再取对数即可。对进行变形可得：，从而将视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围解：定义域：令答案：（1）B（2）（3）例3：已知函数，则的值域为（）A.B.C.D.思路：依题意可知，所以可将视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是的定义域，由已知的定义域为，则的定义域为：，解得：，而不是解：的定义域为，且，解得：令，则，即的值域为答案：C2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。（2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该函数的图像，从而利用图像求得函数的值域（3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式例4：（1）设函数定义域为，对给定正数，定义函数则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则的值域为（）A.B.C.D.（2）定义为中的最小值，设，则的最大值是__________思路：（1）根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以为分界线，图像在下方的图像不变，在上方的图像则变为，通过作图即可得到的值域为（2）本题若利用的定义将转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点，即，所以答案：（1）A（2）2例5：已知函数，设，（其中表示中的较大值，表示中的较小值）记的值域为，的值域为，则______________思路：由的定义可想到其图像特点，即若将的图像作在同一坐标系中，那么为图像中位于上方的部分，而为图像中位于下方的部分。对配方可得：，其中，故的顶点在顶点的上方。由图像可得：褐色部分为的图像，红色部分为的图像，其值域与的交点有关，即各自的顶点，所以的值域，的值域。从而答案：例6：（1）函数的值域为__________（2）函数的值域为_________思路：（1）函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以用导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。那么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的斜率，即是与定点连线的斜率，那么只需在坐标系中作出在的图像与定点，观察曲线上的点与定点连线斜率的取值范围即可解：所求函数是与定点连线的斜率设，当时，恒成立为增函数设曲线上两点定点（2）思路：，所以可视为点到点距离和的取值范围。结合图形可利用对称性求出其最小值，且当动点向轴两侧运动时，其距离和趋向无穷大，进而得到值域。解：为动点到点距离和，即作点关于轴的对称点（等号成立条件：共线）当或时，函数的值域为小炼有话说：本题在选择点时要尽量让更少的点参与进来简化问题，所以要抓住两个距离共同的特点（例如本题中都抓住含根式中的，所以找到了一个共同的动点）答案：（1）（2）3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出函数的值域（1）判断函数单调性的方法与结论：①增增增减减减增减若函数的符号恒正或恒负，则减②复合函数单调性：复合函数可拆成，则若的单调性相同，则单调递增；若的单调性相反，则单调递减③利用导数：设图像不含水平线的函数的导数，则单增；单减（2）在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于或，则要估计当或时，函数值是向一个常数无限接近还是也趋近于或（即函数图象是否有水平渐近线），；同样若的定义域抠去了某点或有一侧取不到边界，如，则要确定当时，的值是接近与一个常数（即临界值）还是趋向或（即函数图象是否有竖直渐近线），这样可以使得值域更加准确例7：（1）函数的值域为（）A.B.C.D.（2）函数的值域为（）A.B.C.D.（3）函数的值域为________思路：（1）函数的定义域为，含有双根式，所以很难依靠传统的换元解决问题，但的导数较易分析出单调性，所以考虑利用导数求出的单调区间，从而求得最值令即解不等式：在单调减，在单调递增的值域为小炼有话说：本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被开方数的和为常数，所以想到，从而可设，由可知，所以原函数的值域转化为求的值域，从而有，由可求得。由此题可知：含双根式的函数若通过变形可得到被开方数的和为常数，则可通过三角换元转为三角函数值域问题（2）思路：函数的定义域为，从而发现，所以函数的解析式为，观察可得为增函数，且时，，所以当时，的值域为小炼有话说：①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用。所以在求函数的值域时，若发现函数解析式较为特殊，则先确定其定义域②本题也可用换元法，设后即可将函数转为二次函数求值域，但不如观察单调性求解简便。（3）思路：先确定函数的定义域：，为分式且含有根式，求导则导函数较为复杂。观察分子分母可知：且关于单减，且关于单增，即单减，所以为减函数，由可知的值域为小炼有话说：在函数单调性的判断中有“增+增→增”，那么如果一个函数可表示为两个函数的乘法，例如，则当均为增（减）函数，且恒大于0，才能得到为增（减）函数答案：（1）D（2）B（3）4、方程思想：本方法是从等式的角度观察函数，将其视为一个含参数的关于的方程。由函数的对应关系可知，对于值域中的任一值，必能在定义域中找到与之对应的。这个特点反应在方程中，即为若在值域中，则关于的方程在时只要有一个根。从而将求值域问题转化为“取何值时，方程有解”的问题。利用方程的特点即可列出关于的条件，进而解出的范围即值域例8：（1）函数的值域为（）A.B.C.D.（2）函数的值域为_________思路：（1）观察分式特点可发现若将去掉分母后可构造为一个关于的二次方程（其中为参数）：，因为函数的定义域为，所以的取值要求只是让方程有解即可，首先对最高次数系数是否为0进行分类讨论：当，方程为，无解；当时，二次方程有解的条件为，即得到关于的不等式，求解即可解：由可得:函数的定义域为的取值只需让方程有解即可当时，不成立，故舍去当时，即：综上所述：函数的值域为小炼有话说：①对于二次分式，若函数的定义域为，则可像例8这样通过方程思想，将值域问题转化为“取何值时方程有解”，然后利用二次方程根的判定得到关于的不等式从而求解，这种方法也称为“判别式法”②若函数的定义域不是，而是一个限定区间（例如），那么如果也想按方程的思想处理，那么要解决的问题转化为：“取何值时，方程在有根”，对于二次方程就变为了根分布问题，但因为只要方程有根就行，会按根的个数进行比较复杂的分类讨论，所以此类问题通常利用分式的变形与换元进行解决（详见附）（2）本题不易将函数变为仅含或的形式，考虑去分母得：则的取值只要让方程有解即可。观察左侧式子特点可想到俯角公式，从而得到，可知方程有解的条件为：，解出的范围即为值域解：的定义域为且，即，其中因为该方程有解小炼有话说：本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视为连线斜率的问题，从而将问题转化为定点与单位圆上点连线斜率的取值范围。作图求解即可。本类型运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与的取值相关，不过因为，所以均能保证只要在中，则必有解。但如果本题对的范围有所限制，则用方程的思想不易列出的不等式，所以还是用数形结合比较方便答案：（1）D（2）以上为求值域的四种常见方法，与求函数的理念息息相关，有些函数也许有多种解法，或是在求值域的过程中需要多种手段综合在一起解决。希望你再遇到函数值域问题时，能迅速抓住解析式的特点，找到突破口，灵活运用各种方法处理问题。例9：已知函数的值域为，则的取值范围是（）A.B.C.D.思...
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求 函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R,值域为R； 反比例函数 的定义域为{x|x 0},值域为{y|y 0}； 二次函数 的定义域为R, 当a>0时,值域为{ }；当a0,∴ = , 当x0时,则当 时,其最小值 ； ②当a0）时或最大值（a0恒成立(为什么?), ∴函数的定义域为R, ∴原函数可化为2y -4yx+3y-5=0,由判别式 0, 即16 -4×2y(3y-5)=-8 +40y 0(y 0), 解得0 y 5,又∵y 0, ∴0 注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到. 3 求函数的值域 ① ； ② ①令 0,则 , 原式可化为 , ∵u 0,∴y ,∴函数的值域是（- , ]. ②令 t=4x- 0 得 0 x 4 在此区间内 (4x- ) =4 ,(4x- ) =0 ∴函数 的值域是{ y| 0 y 2} 小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法. 作业：求函数y= 值域 ∵ , ∴函数的定义域R,原式可化为 , 整理得 , 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y 1,∵ R,即有 0, ∴ ,解得 且 y 1. 综上：函数是值域是{y| }.
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