高中数学解题常用思想方法---等价转化思想方法
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高中数学解题常用思想方法---等价转化思想方法
雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。
A. 0.5&&&&& B. C.& 1.5&&&&&& D. －1.5
＝3x－2，则f [f(x)]等于______。
A.& &&&&B.& 9xC. x&&&&& D.
、n、p、q∈R且m ＋n ＝a，p ＋q ＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是______。
A.& &&&&B. &&&&&&C.& &&&&&&&D.
满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______。
A.& 1&&&& B. &&&&&C.& 2&&&& D.
＋ ＝1 （a&b&0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于 c，则椭圆的离心率为_____。
A. &&&&&&B. &&&&&&&C. &&&&&&&&D.
的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。
A.& &&&&B. 10&&&&& C. &&&&&&&D.
小题：由已知转化为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B；
＝y，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C；
＋nq≤ ＋ 容易求解，选A；
＝ × ，变形为12e －31e ＋7＝0，再解出e，选B；
＝ S 和三棱椎的等体积转化容易求，选A。
若x、y、z∈R 且x＋y＋z＝1，求( －1)( －1)( －1)的最小值。
＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z，或者运用均值不等式后含xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。
－1)( －1)( －1)＝ （1－x）(1－y)(1－z)
(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝ (xy＋yz＋zx－xyz)
＋ ＋ －1≥3 －1＝ －1≥ －1＝9
＋ ＋ 的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。
设x、y∈R且3x ＋2y ＝6x，求x ＋y 的范围。
＝x ＋y ，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。
－3x ＝2y ≥0得0≤x≤2。
＝x ＋y ，则y ＝k－x ，代入已知等式得：x －6x＋2k＝0& ，
＝－ x ＋3x，其对称轴为x＝3。
≤x≤2得k∈[0,4]。
＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。
＋2y ＝6x得(x－1) ＋ ＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x ＋y 的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x ＋y ＝k，代入椭圆中消y得x －6x＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。
＋2y ＝6x得(x－1) ＋ ＝1，设 ，则
＝1＋2cosα＋cos α＋ sin α＝1＋ ＋2cosα－ cos α
cos α＋2cosα＋ ∈[0,4]
＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。
求值：ctg10°－4cos10°&&
°－4cos10°＝ －4cos10°＝
°－4cos10°＝ －4cos10°＝
°－4cos10°＝ －4cos10°＝
°→和差角公式）
公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。
已知f(x)＝tgx，x∈(0, )，若x 、x ∈(0, )且x ≠x ，
[f(x )＋f(x )]&f( )&&&& （94年全国高考）
[f(x )＋f(x )]&f( )& & [tgx ＋tgx ]&tg
( )& & & &
&1＋x )&2cosx cosx & &1＋cosx cosx ＋sinx sinx &2cosx cosx
&cosx cosx sinx &1 &cos(x －x )&1
－x )&1成立，所以 [f(x )＋f(x )]&f( )
SA&&&&&&&&&& M&
& D&&& N&&&&&& C&& B&&&&
如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）
⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM。
⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，
⊥SC、AB⊥CD
⊥平面SDNC
就是截面MAB与底面所成的二面角
＝∠SNC＝Rt∠
⊥截面MAB。
与正方形ABEF成90°的二面角，则AC与BF所成的角为_____。
A.& 45B.& 60°&&&& C.& 30°&&&& D.& 90°
＝|lgx|，若0&a&b时有f(a)&f(b)，则下列各式中成立的是_____。
A.& abB.& ab&1&&&& C.& ab&1&&&& D.& a&1且b&1
[ ]& (n∈N)的值为______。
A. &&&&B. &&&&&C.& 0&&&&& D.& 1
＋c) 展开式的项数是_____。
A.& 11&&&& B.& 66&&&& C.& 132&&& D.& 3
’’’’’＝1，AB＝ ，则顶点A到截面A’。
，3sinx)、N(4cosy，4siny)，则|MN|的最大值为_________。
＝ ＋ 的值域是____________。
（x ＋x＋3）&log (x＋2)的解是____________。
，y&0，求证：(x ＋y ) &(x ＋y ) && (86年上海高考)
∈[0, ]时，求使cos x－mcosx＋2m－2&0恒成立的实数m的取值范围。
的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若三边a、b、c顺次成等差数列，求复数z＝[cos(π＋ )＋ｉsin(π＋ )]·[sin( － )＋ｉcos( － )]的辐角主值argz的最大值。
：y＝(t ＋t－1)x －2(a＋t) x＋(t ＋3at＋b)对任何实数t都与x轴交于P(1,0)点，又设抛物线C与x轴的另一交点为Q(m,0)，求m的取值范围。
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高中数学知识大全
高中数学知识大全一、圆锥曲线 抛物线： 1、定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 L（L 不经过点 F）距离 相等的点的轨迹叫抛物线。点 F 为抛物线焦点，直线 L 为抛物线的准 线。过焦点而垂直于对称轴的弦，称抛物线的通径。当定点 F 在定直 线 L 上时，动点的轨迹是过点 F 且与直线 L 垂直的直线。 2、标准方程的推导：方案 1、以 L 为 Y 轴，过点 F 垂直于 L 的直线为 X 轴建立直角坐标系（图 1） ，则定点 F（p，0） ，设动点 M（x,y） ，由 抛物线定义得√(x-p)2+y2=OxO,化简得 y2=2px-p2(p&0)；方案 2、以 定点 F 为原点， 过点 F 垂直于 L 的直线为 X 轴建立直角坐标系 （图 2） 则定点 F（,0，0） ，L 的方程为 x=-p,设动点 M（x,y） ，由抛物线定义得 √(x2+y2=Ox+pO,化简得 y2=2px+p2(p&0)；方案 3、以过点 F 垂直于 L 的直线为 X 轴，垂足为 k，以 F,K 的中点 O 为坐标原点建立直角坐标 系 xoy（图 3） ，设点 M（x,y） ，OFKO=p，则焦点 F(P/2，0),准线 L： x=-p/2,依题意得√(x-p/2)2+y2=Ox+p/2O,整理得 y2=2px(p&0)。 Y M(X,Y) O F x y M(x,y) F( o) x K o y M(x,y) F xL 图1L 图2L 图33、标准方程：把方程 y2=2px(p&0)叫做抛物线标准方程，其中 p 为正 常数，表示焦点在 x 轴正半轴上，且 P 点的几何意义是焦点到准线的 距离，焦点坐标是（p/2,0）,准线方程为：x=-p/2.对于和抛物线有 2 个交点的直线问题， “点差法” 是常用方法， 如若 A （x1,y1） ,B （x2,y2） 是抛物线 y2=2px 上 2 点， ， 则直线 AB 的斜率 KAB 与 y1+y2 可得如下等式： y12=2px1①；y22=2px2②,②-①得 y12-y22=2p(x1-x2), 4、所以(y2-y1）/(x2-x1）=2p/y1+y2，即 KAB=2p/y1+y2 5、4 种抛物线的对比：图形 标准方程y =2px (p&0)2焦点坐标（p/2,0）准线方程x=-p/2.焦半径公式OPFO=x0+p/2范围x≥0备注y =-2p x(p&0)2（-p/2,0）x=p/2.OPFO=-x0+p/2x≤0x =2py (p&0)2（0,p/2）y=-p/2.OPFO=y0+p/2y≥0x =-2py (p&0)2（0,-p/2）y=p/2.OPFO=-y0+p/2y≤01、p 的 意 义： 抛 物 线 的 焦 点 到 准 线 的 距 离； 2、 方 程 的 特 点 ; ①左 边是 2 次式， ②右 边 是 一 次 式， 决 定 了 焦 点 的 位 置6、抛物线 y2=2px(p&0)的几何性质:(1)、 x≥0;(2)、 关于 x 轴对称 （3） 、它的顶点是坐标原点(0,0) （4） 、 离心率 e=1 （离心率 0&e&1 为椭圆， e&1 为双曲线） （5） 、O通径O=2p，2p 越大，抛物线张口越大。 7、判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行（重合）计算判别式相交（1 个交点）S&0 相交S=0 相切S&0 相离（1、 ）直线与抛物线的位置关系： 设抛物线方程为 y2=2px(p&0)，直线 Ax+By+c=0,将直线与抛 物线方程联立，消去 x 得到关于 y 的方程 my2+ny+p=0. 当 m≠0 时，S&0，直线与抛物线有 2 个交点；S=0，有 1 个 交点；S&0 没有公共点。当 m=0 时，直线与抛物线只有 1 个公共点， 此时直线与抛物线的对称轴平行。 （2） 、焦点弦问题： 已知 AB 是过抛物线 y2=2px(p&0)的焦点的弦，F 为抛物线的 焦 点 ， A （ x1,y1 ） ,B （ x2,y2 ） ， 则 ①y1? y2=-p2,x1? x2=p2/4② O AB O =x1+x2+P=2p/sin2θ(θ 为直线 AB 的倾斜角),③SSABC=P2/2sinθ,④以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 注：1、凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化到准 线距离处理.焦点的非零坐标是一次项系数的 1/4. 2、若 P（x0,y0）为抛物线 y2=2px(p&0)上一点，由定义易得OPF O=x0+p/2;若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 A（x1,y1）,B(x2,y2),则弦长为OABO=x1+x2+P,x1+x2 可由根与系数的关系整体求出，或O ABO =2p/sin2α(α 为直线 AB 的倾斜角，y1? y2=-p2,x1? x2=p2/4；若遇到其它 标准方程， 则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到。如：已知抛物线关于 x 轴对称，他的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M（2，y0） ，若点 M 到 该抛物线焦点的距离为 3，求OOMO的值。 （四川高考） 2 解：设抛物线方程 y =2px(p&0)，则 M 点到焦点的距离为 2 Xm+p/2=2+p/2=3 p=2 y =4x 2 所以 y0 =4×2 y0=±2√2 2 所以OOMO=√4+y0 =2√3 2 如：过抛物线 y =2x 的焦点 F 作直线焦抛物线与 A、B 两点，若OABO=25/12，OAFO&OBF O求OAFO的值。 （重庆高考） 2 解：由 y =2x 得 p=1,焦点 F(1/2，0) 又OABO=25/12，知 AB 的斜率存在（否则OABO=2） 设直线 AB 的方程为 y=k(x-1/2)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2) 2 2 2 2 2 将 y=k(x-1/2)代入 y =2x 得 k x -(k +2)x+k /4=0 2 所以 x1+x2=1+2/k 又OABO=OAFO+OBF=x1+x2+P=x1+x2+1=25/12 2 2 因此 x1+x2=1+2/k =25/12-1=13/12.k =24 2 2 2 2 2 则 k x -(k +2)x+k /4=0 变为 24x +26x+6=0,又OAFO&OBF 所以 x1=1/3 x2=3/4 即OAFO=x1+p/2=1/3+1/2=5/6注：3、抛物线有 4 种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距 离，顶点与准线、焦点的距离， 通径与标准方程中系数 2P 的关系 4、 求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可 设为 y2=mx 或 x2=my(m≠0).5、焦点到准线的距离，简称焦准距，抛 物线 y2=2px(p&0)上的点常设为（y2/2p,y）,便于计算。 椭圆： 1、椭圆的定义：平面内到两定点 F1、F2 距离之和为常数 2a（2a& OF1F2O）的点的轨迹叫椭圆。F1，F2 叫做椭圆的焦点，OF1F2O叫做 椭圆的焦距。焦距记为 2c 。有O PF1 O + O PF2 O =2a. 在定义中，当 2a=2c=OF1F2O时，表示线段 F1F2；当 2a&OF1F2O=2c,不表示任何图 形。B1 A1F1OP A2F2B22、椭圆的标准方程： （1）x2/a2+y2/b2=1(a&b&0)其中 a2-b2=c2,焦 点 坐 标 为 F1(-c,0),F2(c,0) ， 准 线 方 程 为 x= ± a2/c; （ 2 ） x2/b2+y2/a2=1(a&b&0)其中 a2+b2=c2,焦点坐标为 F1(0,-c),F2(0,c),准 线方程为 y=±a2/c.椭圆的参数方程：x=acosθ,y=bsinθ(a&b&0),变形 为 x/a=cosθ,y/b=sinθ,平方和得 x2/a2+y2/b2=coc2θ+sin2θ=1 3、椭圆 x2/a2+y2/b2=1(a&b&0)的几何性质： （1） 、范围：OxO≤a, OyO≤b,椭圆在一个矩形区域内； （2） 、对称性：对称轴 x=0,y=0,对 称中心 O（0,0） ，一般规律：椭圆有 2 条对称轴，他们分别是两焦点 的 连 线 及 两 焦 点 连 线 段 的 中 垂 线 。（ 3 ）、 顶 点 ： A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b),长轴长 2a，短轴长 2b。一般规律： 椭圆都有 4 个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的焦点。 （4） 、离 心率：e=c/a（0&e&1） ，椭圆的离心率在（0,1）内，离心率确定了 椭圆的形状（扁圆状态） ，当离心率 e 越接近于 0 时，椭圆越圆，当 离心率 e 越接近于 1 时，椭圆越扁平。(5)、几个重要结论：设 P 是 椭圆 x2/a2+y2/b2=1(a&b&0)上的点，F1，F2 是椭圆的焦点，∠F1PF2=θ 时， 则有①当 P 为短轴端点时， 三角形 PF1F2 的面积有最大值=bc； ②当 P 为短轴端点时， ∠F1PF2 为最大； ③椭圆上的点 A1 距 F1 最近， A2 距 F1 最远；④过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短。椭圆 几何条件 标准方程 图形焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上OMF1O+OMF2O=2a（2a&OF1F2O） x2/a2+y2/b2=1(a&b&0) b a x y2/a2+x2/b2=1(a&b&0) a b x顶点坐标 对称性(±a,0),(0±b) X 轴，长轴长 2a y 轴，短轴长 2b(0,±a),(±b,0) y 轴，长轴长 2a x 轴，短轴长 2b (0,±c),c=√a2-b2 0&e&1焦点坐标 离心率 e=c/a 准线方程 a,b,c 的关系 双曲线(±c,0),c=√a2-b2X=±a2/cy=±a2/c a2-b2=c21、双曲线的定义：平面内动点 p 到两定点 F1、F2 距离之差的绝对 值为常数 2a（0&2a&OF1F2O）的点 p 的轨迹叫双曲线。有集合 p=｛M OOMF1O-OMF2O=2a｝.在定义中，当 2a=OF1F2O时，表示 2 条射 线；当 2a&OF1F2O,不表示任何图形。等轴双曲线：实轴和虚轴等长 的双曲线叫做等轴双曲线。其特点为 a=b,e=√2;渐近线 y=±x。共轭 双曲线： 双曲线 x2/a2-y2/b2=1 与双曲线 y2/b2-x2/a2=1 互为共轭双曲线， 其特点为：一个双曲线的实轴、虚轴分别是另一个双曲线的虚轴、实 轴；焦距长相等；有共同的渐近线 y=±(b/a)x. F1 O F22、 双曲线的标准方程： （1） 、 焦点在 x 轴上的双曲线 x2/a2-y2/b2=1， 其中 a2+b2=c2,焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0);（2） 、焦点在 y 轴上的 双 曲 线 y2/a2-x2/b2=1(a&b&0) 其 中 a2+b2=c2, 焦 点 坐 标 为F1(0,-c),F2(0,c). 3、双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a&0，b&0)的几何性质： （1） 、范围：O xO≥a,OyO∈R； （2） 、 对称性： 对称轴 x=0,y=0,对称中心 O （0,0） ， 一般规律： 双曲线有 2 条对称轴，他们分别是两焦点的连线及两焦点 连线段的中垂线。 （3） 、 顶点： A1(-a,0),A2(a,0)， 实轴长OA1A2O=2a， 虚轴长OB1B2O=2b。一般规律：双曲线都有 2 个顶点，顶点是曲线 与它本身的对称轴的焦点。 （ 4） 、离心率：e=c/a（e&1） ，双曲线的 离心率在（1，+∞）内，离心率确定了双曲线的形状； （5） 、渐近线： 双曲线 x2/a2-y2/b2=1 的 2 条渐近线方程为 y= ± (b/a)x; 双曲线 x2/b2-y2/a2=1 的 2 条渐近线方程为 y=±(a/b)x.双曲线 x2/a2-y2/b2=1 有 2 条渐近线，他们的交点就是双曲线的中心，焦点到渐近线的距离 等于虚半轴长 b， 公用渐近线的 2 条双曲线可能是 a、 共轭双曲线； b、 放大的双曲线；c、共轭放大或放大后共轭的双曲线。已知双曲线的 标准方程求双曲线的渐近线方程时， 只要令双曲线的标准方程中的 “1” 为“0”就得到 2 条渐近线方程，即方程 x2/a2-y2/b2=0，就是双曲线 x2/a2-y2/b2=1 的 2 条渐近线方程。 4、几个结论：双曲线 x2/a2-y2/b2=1 的焦点到相应的顶点之间 的距离为：c-a；双曲线 x2/a2-y2/b2=1 的焦准距（焦点到相应准线的 距离） 长为： c-a2/c=b2/c； b2x2-a2y2=λ（λ ≠0） 的渐近线为 x2/a2+y2/b2=0；c-a2/c=b2/c； b2x2-a2y2=λ （λ &0） 的离心率 e=c/b； 双曲线 x2/a2-y2/b2=1 的焦点为： （±c，0） 双曲线 几何条件 标准方程 图形 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上OMF1O-OMF2O=2a（0&2a&OF1F2O） x2/a2-y2/b2=1(a&0,b&0) y x y2/a2-x2/b2=1(a&0,b&0) y x (0,±a) y 轴，实轴长 2a x 轴，虚轴长 2b (0,±c) e&1 X=±a2/c OxO≥a,y∈R y=±a2/c x∈R,OyO≥a a2+b2=c2 y=±(b/a)x y=±(a/b)x顶点坐标 对称性(±a,0) X 轴，实轴长 2a y 轴，虚轴长 2b焦点坐标 离心率 e=c/a 准线方程 范围 a,b,c 的关系 渐近线(±c,0)圆锥曲线相关知识点 1、直线与圆的位置关系的判断：由圆心到直线的距离 d 与圆半 径 r 比较大小判断位置关系： （1）当 d&r 时，直线与圆相离； （2）d=r 时，直线与圆相切； （3）当 d&r 时直线与圆相交。 2、直线与圆锥曲线的位置关系的判断：判断直线 L 与圆锥曲线 C 的位置关系时，可将直线 L 的方程代入曲线 C 的方程，消去一个 y或者 x 得一个关于变量 x（或 y）的一元二次方程 ax2+bx+c=0 或 ay2+by+c=0。 （1） 当 a≠0 时， 则有S&0， 直线 L 与曲线 C 相交； S=0， 相切；S&0 相离。当 a=0 时，即得到一个一元一次方程，直线与曲 线相交，且只有一个交点，此时若曲线 C 为双曲线，则 L 平行于（重 合） 双曲线的渐近线， 若 C 为抛物线， 则 L 与抛物线的对称轴平行 （或 重合） 。 3、 弦长公式： 连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦， 要能熟练的利用方程与根的系数关系来计算弦长的值， 常用的弦长公 式OABO=√1+k2Ox1-x2O=√1+(1/k2)Oy1-y2O,当直线与圆锥曲线 相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理”. （若直线 L:y=kx+m 与椭圆 x /a +y /b =1(a&b&0)的交点为 A（x ,y ）,B(x ,y ),则OABO叫2 2 2 2 1 1 2 2做弦长，其公式为OABO=√（x1-x2） +(y1-y2） =√1+k Ox1-x2O=√1+(1/k )Oy1-y2O；对 2 2 于Ox1-x2O=√（x1+x2） -4x1x2；Oy1-y2O=√(y1-y2） -4y1y2，利用韦达定理；若斜率不存在 时，直线为 x=m 的形式，可直接代入，求出交点的纵坐标 y1y2 得弦长Oy1-y2O）22224、曲线与方程的关系：一般地，在平面直角坐标系中，如果某 曲线 C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二 元方程 f（x,y）=0 的数建立了如下关系： （1）曲线上的点的坐标都 是这个方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点均是曲线上的点， 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 5、求轨迹方程的基本思路： （1）建立适当的直角坐标系，设曲 线上的任意一点（动点）坐标为（x,y） ； （2）写出动点 M 所满足的几 何条件的集合； （3）将动点 M 的坐标代入几何条件，列出关于动点坐 标的方程 f(x,y)=0;（4） 、化简方程 f(x,y)=0 为最简形式； （5）证 明（或检验）所求方程表示的曲线上的点是否都满足已知条件。若已知渐近线方程为 x/a±y/b=0,则可把双曲线方程设为 x2/a2-y2/b2=λ （λ ≠0） ； 若已知渐近线方程为 bx±ay=0,则可把双曲线方程设为 b2x2-a2y2=λ （λ ≠0） ； 2 2 等轴双曲线的方程为 x -y =λ （λ ≠0）6、求轨迹方程的常用方法： （1）直接法（2）定义法（3）代入 法（4）参数法（5）交轨法注：1、在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，应利用定义求解；2、求椭圆方 程的方法，除了定义法外，常用待定系数法。当椭圆的焦点位置不明确，可设方程为 2 2 2 2 2 2 x /a +y /b =1(a&b&0)，或设为 Ax +By =1(A&B&0);3、椭圆中有“2 线” （2 条对称轴） ， “6 点” （2 个焦点，4 个顶点） ，注意他们的位置关系（焦点在长轴上等）及相互间的距离（如焦 点到相应顶点的距离为 a-c 等） 。 2 2 2 2 2 注：双曲线的形状与离心率 e 有关系：k=b/a=√c -a /a=√c /a -1=√e -1 ,e 越大， 双曲线的开口越大。圆锥曲线的焦半径公式M(x0,y0) 在 圆 锥 曲 椭圆 线上，F1 ， F2 是曲 线的左右焦点 x2/a2+y2/b2=1(a&b&0) OMF1O=a+ex0 OMF2O=a-ex0双曲线x2/a2-y2/b2=1 OMF1O=Oa+ex0O OMF2O=Oa-ex0O抛物线Y2=2px(p&0) OMFO=x0+p/2注：通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭 2 圆的通径长为 2b /a,过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是 2p，过抛物线焦点的弦 中通径最短，椭圆上的点到焦点的最长距离为 a+c,最短距离为 a-c。 2 2 2 2 2 2 2 2 注:点 p(x,y)与椭圆 x /a +y /b =1(a&b&0)的位置关系：点 p 在椭圆上 x /a +y /b =1；点 2 2 2 2 2 2 2 2 p 在椭圆内部 x /a +y /b &1；点 p 在椭圆外部 x /a +y /b &17、圆锥曲线中的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“根与系数 的关系”或“点差法”求解，在椭圆 x2/a2+y2/b2=1(a&b&0)中，以 P （ x0,y0 ） 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k=-b2x0/a2y0; 在 双 曲 线 x2/a2-y2/b2=1 中， 以P （x0,y0） 为中点的弦所在直线的斜率 k=b2x0/a2y0; 在抛物线以 P （x0,y0）为中点的弦所在直线的斜率 k=p/y0。 “点差法” 的一个基本步骤是：A（x1,y1）,B(x2,y2)都在圆锥曲线 f(x,y)=0 上, 即 f(x1,y1）=0,f(x2,y2)=0,2 式相减 f(x1,y1）-f(x2,y2)=0，然后变形 构造出（y2-y1）/(x2-x1)及 x1+x2 和 y1+y2，再结合已知条件求解椭圆、双曲线、抛物线公式总结：椭圆 1、 到两定点 F1， F2 的距 离之和为定值 2a 的点的 轨迹（2a&|F1F2|） 定义 2、与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹。 方 程 中心 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线 渐近线 焦半径 通径 焦参数 r=a±ec 2b /a a /c2 2双曲线 1、到两定点 F1，F2 的 距离之差的绝对值为定 值 2a 的 点 的 轨 迹 （0&2a&|F1F2|） 2 、与定点和直线的距 离之比为定值 e 的点的 轨迹。 （e&1） X2/a-y2/b2=1(a&b&0) X=asecθ Y=btanθ(θ 为离心角） 原点 o（0,0） （a,0)(-a,0) X 轴，y 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b F1（c，0） ，F2(-c,0) 2c(c=√a +b ) e=c/a(e&1) X=±a /c Y=±(b/a)x r=±(ec±a) 2b /a a /c2 2 2 2 2抛物线与定点和直线的距 离相等的点的轨迹 Y2=2px X=2pt2 Y=2pt(t 为参数） （0,0） X轴 F(p/2,0) e=1 X=-p/2 r=x+p/2 2p p标准方程 参数方程X2/a2+y2/b2=1(a&b&0) X=acosθ Y=bsinθ(θ 为离心角） 原点 o（0,0） （a,0)(-a,0)(0,b)(0,-b) X 轴，y 轴 长轴长 2a，短轴长 2b F1（c，0） ，F2(-c,0) 2c(c=√a -b ) e=c/a(0&e&1) X=±a /c2 2 2二、圆的知识： 1、定义：平面内到定点等于定长的点的轨迹是圆，其中定点 是圆心，定长是半径。其标准方程为（x-a）2+(y-b)2=r2 P(x,y)OC(a,b)其一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心 C(-D/2,-E/2), 半径 r=√(D2+E2-4F)/2 注：二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件为： ①A=C≠0②B=0③S=D2+E2-4F&0 它的参数方程为 x=a+rcosθ y=b+rsinθ 注：几种常见特殊位置的圆的标准方程： （1） 、以原点为圆心，r 为半径：x2+y2=r2 （2） 、圆心在 x 轴上，半径为 r： （x-a）2+y2=r2 （3） 、圆心在 y 轴上，半径为 r：x2+(y-b)2=r2 （4） 、圆心在 x 轴上且过原点： （x-a）2+y2=a2 (5)、圆心在 y 轴上且过原点：x2+(y-b)2=b2 求圆的标准方程的 2 种方法：①几何法：根据题意直接求出圆心与 半径②待定系数法：先根据题意设标准方程（ x-a）2+(y-b)2=r2；然 后根据已知条件， 建立关于 a,b,r,的方程组， 最后解方程得出 a,b,r。2、圆的性质： 弦 直径 弧 优弧 劣弧 连接圆上任意 2 点的线段叫弦 经过圆心的弦叫直径 圆上任意 2 点间的部分叫弧 大于半圆的弧叫优弧 小于半圆的弧叫劣弧 d&r d=r d&r如果圆的半径是 点在圆外 r，点到圆心的距 点在圆上 离是 d，那么 确定圆的条件 三角形的外心 点在圆内不在同一直线上的 3 个点确定一个圆 三角形 3 边垂直平分线的交点，即三角形外接圆 的圆心。 锐角三角形的外心在三角形内部防错提醒直角三角形的外心在直角三角形的斜边上 钝角三角形的外心在三角形的外部圆的对称性圆是一个轴对称图形，也是中心对称图形，还具 有旋转不变性垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分所对的 2 条弧 1、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的 2 条弧推论2、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的 2 条弧3、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并 且平分弦所对的另一条弧 定理 推论 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 在同圆或等圆中，如果 2 个圆心角、2 条弧或 2 条 弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组 量也分别相等 圆周角定义 定理 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于该弧所对的圆心角的一半 1、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 2、半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900 的圆 推论 周角所对的弦是直径 3、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那 么这个三角形是直角三角形。 圆内接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这 个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆 圆内接四边形的 圆内接四边形的对角互补 性质 3、直线和圆的位置关系： 设圆 O 的半径为 r，圆心 O 到直线 L 的距离为 d，那么： （1）直线 L 和圆相交 d&r（2）直线 L 和圆相切 （3）直线 L 和圆相离d=r d&r注：1、圆的切线垂直于经过切点的半径； 2、 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3、与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角 形叫圆的外切三角形； 4、三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。它是三角形三条 角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等。 5、圆 I 内切于三角形 ABC，切点分别为 D、E、F，则： （1）∠BIC=900+1/2∠BAC （2）SABC 三边长分别为 a、b、c， 圆 I 的半径为 r， 则有 SSABC=1/2r(a+b+c) C F A DIIE B(3）SABC 中，若∠ACB=900，AC=b,BC=a,AB=c, 则内切圆半径 r=（a+b-c）/2 4、圆与圆的位置关系： 设圆 O1 与圆 O2 的 外离 半径分别为 R ， 外切 r(R&r) ，圆心之 相交 间的距离为 d， 那 内切 么，两圆有： 性质 内含 d&R+r d=R+r R-r&d&R+r d=R-r d&R-r1、相交 2 圆的连心线垂直平分 2 圆的公共弦2、2 圆相交时的图像是轴对称图形 点拨 解有关 2 圆相交问题时， 常常要作出连心线、 公共 弦，或者连接交点与圆心，从而把 2 圆的半径、公 共弦长的一半、 圆心距等集中在同一三角形中， 利 用三角形的知识加以解决 相切性质 如果 2 圆相切，那么 2 圆的连心线经过切点 2 圆相切时的图形是轴对称图形， 通过 2 圆圆心的 连线（连心线）是它的对称轴 注： （1）2 圆位置关系判别方法： ①计算 2 圆的半径 R，r ②计算OR-rO，R+r几何法步骤③计算2 圆的圆心距 d2 圆 d 与OR-rO，R+r 的大小 ④比较 位 置 2 圆的位置关系 ⑤给出 关 系 ①联立方程得方程组 的 判 ②消元得到一个一元二次方程 别 方 ③计算判别式S 法 代数法步骤④由判别式S&0,相交S=0,内切或外切 S&0,外离或内离⑤给出2 圆的位置关系注（2）2 圆公切线的条数问题：2 圆外离时有 4 条公切线；外切时有 3 条公切线；相交时 有 2 条公切线；内切时只有 1 条公切线；内含时没有公切线。 注（3）求 2 圆公共弦长及公共弦所在直线的方程的方法：两圆 作差 得公共弦 所在的直 线方程 求弦 心距 利用勾 股定理 求半弦求弦长5、有关扇形，弧长知识点： 圆的周长 弧长公式 扇形面积 C=2?r(r 为半径） I=n?r/180(n0 是弧所对的圆心角，r 是半径) 1、 S 扇形=n?r/360(n0 是弧所对的圆心角， r 是半径) 2、S 扇形=1/2qIr(I 是弧长，r 是半径） 弓形面积 图形 S 弓形=S 扇形±SS h a rr 圆锥侧面积 圆锥全面积 S 侧=?ra S 全=S 侧+S 底=?ra+?r2注：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半， 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或 等圆中，相等的圆周角，所对的弧也相等。半圆（或直径）所对的圆 周角是直角，900 的圆周角所对的弧是半圆。 6、点与圆的位置关系： （x0-a）2+(y0-b)2&r2 点 M 在圆 C 内（x0-a）2+(y0-b)2=r2 点 M 在圆 C 上 （x0-a）2+(y0-b)2&r2 点 M 在圆 C 外 7、直线与圆的相关知识： 一般地，设 P1（x1,y1）,P2(x2,y2) （1） 、平面内 2 点间距离公式：OP1P2O=√(x2-x1)2+(y2-y1)2 (2） 、线段 P1P2 的中点 P0(x0,y0）的坐标为 x0=(x2+x1)/2 (3） 、直线的倾角： 00≤α&180 若直线 L 与 x 轴平行，倾角为 0. 根 据 两 点 求 倾 角 的 大 小 ： ①α ≠ 900 时 ， x2 ≠ x1 ， tanα=(y2-y1)/(x2-x1)；α=900 时，x2=x1，tanα 的值不存在，直线 L 与 x 轴垂直。 （4） 、直线的斜率：k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)（x2≠x） 过点 P0(x0,y0） ，且斜率为 k 的直线的方程： （5） 、y-y0=k(x-x0)(点斜式方程） y=kx+b(斜截式方程） （b 是直线在 x 轴上的截距） 这 2 种方程都可以化为 Ax+By+C=0 的形式 （A,B 不全为零） （6） 、直线 L1 与 L2 的斜率为 0，则 2 条直线平行且平行于 x 轴；直线 L1 与 L2 的斜率不存在时，则 2 条直线平行且平行于 y 轴。 当 2 条直线的斜率都存在时， 可利用 2 条直线的斜率及直线在 y 轴上 的截距， 来判断 2 条直线的位置关系。 若只有 1 条直线的斜率不存在， O y0=(y2+y1)/2 y B α P A x L则相交。斜率为 0 的直线与斜率不存在的直线垂直。如果 2 条直线的 斜率都存在，且 k1qk2=-1，则 2 直线垂直 （7） 、2 条直线相交，交点的坐标为 2 条直线所组成的方 程组的解。 2 个方程的系数关系 L1：y=k1x+b1 L2:y=k2x+b2 2 条直线的位置关系 相交 k1≠k2 b1≠b2 平行 k1=k2 b1=b2 重合（8） 、点到直线的距离公式： 设点 P0(x0,y0）L:Ax+By+C=0 则有 d=OAx0+By0+CO/√A2+B2 注：利用公式时，直线的方程必须是一般式。三、二次函数： 1、 定义： 一般地形如 y=ax2+bx+c （a,b,c 是常数， a≠0） 的函数， 叫做二次函数。其中，x 是自变量，ax2 是二次项，a 是二次项系数， bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 开口大小 y=ax2（a&0） （0,0） Y轴 y=ax2(a&0) （0,0） Y轴在 x 轴的上方（除顶点外） 在 x 轴的下方（除顶点外） 向上在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大而 减小；在对称轴的右侧 y 随着 x 的 增大而增大向下在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大而增 大；在对称轴的右侧 y 随着 x 的增大 而减小当 x=0 时，最小值为 0 OaO越大，开口越小当 x=0 时，最大值为 0 OaO越小，开口越大抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值y=ax2+c（a&0） （0,c） Y轴当 c&0 时，抛物线与 y 轴交于正半 轴；当 c&0 时，抛物线与 y 轴交于 负半轴y=ax2+c(a&0) （0,c） Y轴当 c&0 时， 抛物线与 y 轴交于正半轴； 当 c&0 时，抛物线与 y 轴交于负半轴向上在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大而 减小；在对称轴的右侧 y 随着 x 的 增大而增大向下在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大而增 大；在对称轴的右侧 y 随着 x 的增大 而减小当 x=0 时，最小值为 c当 x=0 时，最大值为 cY=a(x-h)2 图像 h&0a&0 h&0 h&0a&0 h&0开口向上向下OaO越大，开口越小 对称轴 顶点 顶点是最低点 增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 直线 x=h (h,0) 顶点是最高点 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减注：二次函数 Y=a(x-h)2 与 y=ax2 的图像形状相同，可以看作是抛物线 y=ax2 整体沿 x 轴平移了OhO个单位 （h&0 时向右移； h&0 时向左移） Y=a(x+h)2+k 对称轴：直线 x=-h 顶点坐标为（-h,k） 当 a&0 时，开口向上，在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大而减小； 在右侧 y 随着 x 的增大而增大，且当 x=h 时最小值为 k；a&0 时，开 口向下，在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大而增大；在右侧 y 随着 x 的 增大而减小，且当 x=h 时最大值为 k。 2、函数 y=ax2+bx+c 的性质： a&0 时，开口向上a&0 时，开口向下 C=0 时，抛物线经过原点；C&0 时，与 y 轴交于正半轴；C&0 时， 与 y 轴交于负半轴。 b=0 时， 抛物线对称轴为 Y 轴； 若 a,b 同号， 则对称轴在 y 轴左侧； 若 a,b 异号，则对称轴在 y 轴右侧 抛物线 y=ax2+bx+c 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 a&0 [-b/2a,(4ac-b2)/4a] x=-b/2a 由 a,b,c 的符号确定 向上在对称轴的左侧 y 随着 x 的增 大而减小； 在对称轴的右侧 y 随着 x 的增大而增大a&0 [-b/2a,(4ac-b2)/4a] x=-b/2a 由 a,b,c 的符号确定 向下在对称轴的左侧 y 随着 x 的增 大而增大； 在对称轴的右侧 y 随着 x 的增大而减小当x=-b/2a时 ， 当x=-b/2a时 ，y=4ac-b2)/4ay=4ac-b2)/4a二次函数一般式：y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a(a≠0),对称轴 是 x=-b/2a, 顶 点 是 [-b/2a,(4ac-b2)/4a] ； 二 次 函 数 顶 点 式 ： Y=a(x+h)2+k(a≠0) ，对称轴是 x=-h, 顶点是 [-h,k] ；二次函数交点式： y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),对称轴：直线 x=（x1+x2）/2，其中（x1,0）,(x2,0) 是抛物线与 x 轴的 2 个交点。 （1） 、函数 y=ax2+bx+c(a≠0）的图像关于直线 x=-b/2a 对称； （2） 、当 a&0 时，在对称轴 x=-b/2a 左侧，y 值随 x 值的增大 而减少； 在对称轴 x=-b/2a 右侧， y 值随 x 值的增大而增大； 当 x=-b/2a时，y 取得最小值(4ac-b2)/4a； （3） 、当 a&0 时，在对称轴 x=-b/2a 左侧，y 值随 x 值的增大 而增大； 在对称轴 x=-b/2a 右侧， y 值随 x 值的增大而减少； 当 x=-b/2a 时，y 取得最大值(4ac-b2)/4a； （4） 、 S&0 时， 图像与 x 轴交于 2 点[(-b±√b2-4ac)/2a,0]； 2 个交点之间的距离为√S/OaO. S=0 时，图像与 x 轴交于一点（-b/2a,0） S&0 时，图像与 x 轴没有交点 （5） 、奇偶性：函数为偶函数 b=0（6） 、二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0）在区间[p,q]上的最值问 题，一般情况下，需要分-b/2a&p，p≤-b/2a≤q 和-b/2a&q 三种情况讨 论解决。 （7） 、一元二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0）的区间根问题， 一般情况下，需要从 3 个方面考虑：①判别式②区间端点函数值的正 负③对称轴 x=-b/2a 与区间端点的关系。 解决与二次函数有关的问题，关键是通过配方得出顶点 （[-b/2a,(4ac-b2)/4a]） ，由此可知函数的图像、对称轴、单调区间、 最值和判别式等。二次函数的解析式表达式有 3 种形式，解题时要灵 活运用：一般式： y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a(a≠0), 顶点式： Y=a(x+h)2+k(a≠0)，交点式（2 根式） ：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 设 x1,x2 是实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a&0）的 2 实 根，则 x1,x2 分布范围与一元二次方程系数之间的关系为：根的分布 x1&x2&k图像 -b/2a x1 x2 k f(k)充要条件 S&0 f(k)&0 -b/2a&kK&x1&x2f(k) K x1-b/2a x2S&0 f(k)&0 -b/2a&kx1&k&x2f(k)-b/2af(k)&0x1 kx2x1,x2∈(k1,k2)f(k1)-b/2a f(k2)S&0 f(k1)&0k1 x1x2f(k2)&0 k1&-b/2a&k2x1,x2 有且仅有一个在 (k1,k2)内 k1 k2f(k1)qf(k2)&0 或 f(k1)=0， k1&-b/2a&（k1+k2）/2 或 f(k0)=0， （k1+k2）/2&-b/2a&k23、求二次函数解析式的一般方法：（1） 、已知图像上的三点，通常选择一般式 （2） 、已知图像的顶点坐标（或对称轴、最值） ，选择顶点式 （3） 、已知图像与 x 轴的两个交点的坐标，选择交点式 用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分 4 步完 成：一设；二代；三解；四还原。即：先设出二次函数的解析式，然 后根据题中所给条件，代入二次函数的解析式，得到关于 a,b,c 的方 程组，解出此方程或方程组，最后将求出的 a,b,c 的值还原回解析式 中即可。四、三角函数 考试内容： （1）角的概念的推广，弧度制 （2）任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基 本关系，正弦、余弦的诱导公式 （3）两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切 （4）正弦函数、 余弦函数的图像和性质、 周期函数、 函数 y=Asin(ω x+φ )的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角 （5）余弦定理、正弦定理，利用余弦定理、正弦定理解斜三角形 y 1、角的有关概念： （1） 、角的概念推广 α∈（-∞，+∞） （2） 、角度与弧度的互化 O 负角 α 的终边 α 的终边 正角 零角?=1800 1 弧度=（180/?）0≈57.300=57018’10=?/180 (3)、 弧长公式： L=OαO? r 扇形面积公式：S=1/2? L? r =1/2OαO? r2 (4)、终边相同的角： 终边相同的角不一定相等；相等的角，终边一定相同。 角的终边落在“射线上” 、 “直线上” 、 “互相垂直的 2 条直线 上”的一般表示式： rαL2k?+α(k∈Z)k?+α(k∈Z)k?/2+α(k∈Z) p(x,y) r(5） 、任意角的三角函数定义： Sinα=y/r cosα=x/r tanα=y/x (6)、 同角三角函数关系表达式： tan=sinα/cosα cotα=cosα/sin sin2 +cos2 =1 2、诱导公式： 公式 1Sin(α+k? 2?)=sinα cos(α+k? 2?)=cosα tan(α+k? 2?)=tanα 公式 2 Sin(?+α)=-sinα cos(?+α)=-cosα 公式 3 Sin(-α)=-sinα 公式 4 Sin(?-α)=sinα cos(?-α)=-cosα Tan(?-)=-tan cos(-α)=cosα tan(-)=-tan tan(?+α)=tanα 看作锐角 函数名不变，符号看象限 公式 5 sin(?/2-)=cos sin(2?-)=-sin 公式 6 sin(?/2+)=cos cos(?/2+)=-sin cos(?/2-)=sin tan(?/2-)=cot cos(2?-)=cos tan(2?-)=tan 看作锐角 函数名改变，符号看象限 公式 7sin(3?/2-)=-cos 公式 8 sin(3?/2+)=-coscos(3?/2-)=-sincos(3?/2+)=sin奇变偶不变，符号看象限 其它公式 1+tan2α=sec2α Sincsc=1 tan=sin/cos 1+cot2α=csc2α cossec=1 tancot=1 Cot=cos/sin tan(α±?)=-tanαSin(α±?)=-sinα cos(α±?)=-cosα （sin±cos）2=1±2sin?cos 三角函数诱导公式[（k/2）?+] K=1 Sin(k?/2+) Cos(k?/2+) tan(k?/2+) cos -sin -Cot K=2 -sin -cos tan K= -1 -cos sin -CotK=-2 -sin -cos tanK=3 -cos sin -Cot注：把 α 看成锐角，符号看象限。即：一象限：正弦、余弦、正 切均为正；二象限：正弦正；三象限：正切正；四象限：余弦正。简 言之：一全正，二正弦，三正切，四余弦。角定象限，象限定符号。 两角和公式： 1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 2、sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 3、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB4、cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 5、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 6、tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 7、cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotA+cotB) 8、cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 注：tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 倍角公式 1、Sin2A=2SinA*CosA 2、Cos2A=1-2Sin2A=2Cos2A-1=Cos2A-Sin2A 3、tan2A=2tanA/(1-tan2A) 辅助公式 asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+θ) 半角公式 Sin(/2)=±√(1-cos)/2 cos(/2)=±√(1+cos)/2 tg(/2)=±√(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 万能公式 Sin=2tg(/2)/(1+tg2(/2)) cos=(1-tg2(/2))/(1+tg2(/2)) 其它公式| sin?cosβ=1/2[sin(+β)+sin(-β)] cos?sinβ=1/2[sin(+β)-sin(-β)] cos?cosβ=1/2[cos(+β)+cos(-β)] sin?sinβ=1/2[cos(+β)-cos(-β)]cos -cosβ=-2sin(+β)/2? sin(-β)/2 sin +sinβ=2sin(+β)/2? cos(-β)/2 sin -sinβ=-2cos(+β)/2? sin(-β)/2 cos +cosβ=2[cos(+β)/2? cos(-β)/2] 公式利用的指导思想： 1、以变角为主线，注意配凑和转化 2、见切割，想化弦；个别情况弦化切 3、见和差，想化积；见乘积，化和差 4、见分式，想通分，使分母最简 5、见平分想降幂，见”1+cos”想升幂 6、见 2sin，想拆成 sin+sin 7、见 sin±cos 或 sin +sinβ=p 想两边平方或和差化积 cos+cosβ=q 8、见 asinx+bcosx，想化为√a2+b2sin(x+θ)的形式 9、见 coscosβcosθ…,先运用 cos=sin2/2sin,若不行， 化和差。 3、三角函数的性质 函数 定义域 值域 周期性 奇偶性 Y=sinx R [-1,1] T=2? 奇 Y=cosx R [-1,1] T=2? 偶 Y=tanx｛xOx≠k?+?/2,k∈NR T=? 奇单调性[2k?-?/2,2k?+?/2]增函数 [2k?+?/2,2k?+3?/2]减函数[2k?-?,2k?]增函数 [2k?,2k?+?]减函数[k?-?/2,k?+?/2](k∈Z)图像 对称性 对称中心（ k?,0 ） (k ∈ 对 称 中 心 对 称 中 心 Z)对称轴 x=k?+?/2 （ k?+?/2,0 ） (k （ k?/2,0 ） (k ∈ ∈ Z) 对 称 轴 Z)无对称轴 x=k? 最值 当 x=2k?+?/2(k∈Z)， 当 x=2k?(k ∈ 无最值 最 大 值 =1 ； 当 Z)，最大值=1； x=2k?-?/2(k∈Z)， 最小 当 x=2k?+?(k∈ 值=-1 特殊角的三角函数值 300 sinα cos tan cotα 1/2 √3/2 √3/3 √3 450 √2/2 √2/2 1 1 600 √3/2 1/2 √3 √3/3 0 900 1 0 00 0 1 0 Z)，最小值=-14、函数图像 函数 y=Asinx （A&0 且 A≠1） 与函数 y=sinx 的图像关系： 一般地， 函数 y=Asinx 的图像，可以看作是将函数 y=sinx 的图像上所有点的 纵坐标变为原来的 A 倍（横坐标不变）而得到的。 函数 y=sinAx （A&0 且 A≠1） 与函数 y=sinx 的图像关系： 一般地，函数 y=sinAx 的图像，可以看作是将函数 y=sinx 的图像上所有点的 横坐标变为原来的 1/A 倍（纵坐标不变）而得到的。 函数 y=sin （x+A） 与函数 y=sinx 的图像关系： 一般地， 函数 y=sin （x+A） 的图像， 可以看作是将函数 y=sinx 的图像上所有点向左 （A&0） 或向右（A&0）平移OAO个单位长度而得到的。 5、几个定理 （1） 、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的 比相等，即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，R 是三角形外接圆的半径。 （2） 、余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其它两边的平 方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍。即： a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC (3)、推论：cosA=(b2+c2-a2)/2bc cosB=(a2+c2-b2)/2ac cosC=(b2+a2-c2)/2ba (4)、 三角形的面积： SSABC=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA (5） 、 射影定理：在三角形 ABC 中，边 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，则有： a=bcosC+ccosB b=acosC+ccosA c=acosB+bcosA (6)、正弦定理的 3 种变形： a:b:c=sinA:sinB:sinCa=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC SinA=a/2R SinB=b/2R SinC=c/2R (7)、在解三角形时，正、余弦定理可解决以下几个问题： 正弦定理：①已知 2 角及任意一边，求其它边和角②已 知 2 边及一边的对角，求其它边和角（可能有 1 解，2 解，无解） 。 余弦定理： ①已知 2 边及夹角求第 3 边和其它角②已知 3 边，求各角。 6、三角函数定义域、值域问题： 求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助 三角函数线或三角函数图像来求解。 求解涉及三角函数的值域（最值）的题目一般常用以下方 法：①利用 sinx、cosc 的值域②形式复杂的函数应化为 y=Asin(ω x+ φ )+k 的形式逐步分析ω x+φ 的范围，根据正弦函数单调性写出函数 的值域③换元法，把 sinx,cosx 看作一个整体，可化为求函数在区间 上的值域（最值）问题。五、数列： 1、1+2+3+4+5+……+n=n(n+1)/2 2、1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n2 3、2+4+6+8+10+……+2n=n(n+1) 4、12+22+32+42+52+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6 1+2+4+8+……+2n=2n+1-1 5、13+23+33+43+53+……+n3=[n(n+1)/2]2 6、1×2+2×3+3×4+4×5+……+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 7、一般数列的通项 an 与前 n 项和 sn 的关系： an=s1(n=1) 或 an=sn-sn-1(n≥2) 8、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d(其中 a1为首项，ak 为已知的第 k 项）当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次式；当 d=0 时，an 是一个常数。an=an-1+d 9、等差数列的前 n 项和公式： sn=na1+n(n-1)d/2 sn=n(a1+an)/2当 d≠0 时，sn 是关于 n 的二次式且常数项为零；当 d=0（a1≠0）时， sn=na1 是关于 n 的正比例式。 10、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 ak 为已知的第 k 项，an≠0) 11、等比数列的前 n 项和公式：sn=na1(q=1 时，是关于 n 的正比 例式）sn=a1(1-qn)/(1-q)(当 q≠1 时） 注：求和方法： （1） 、直接用等差、等比数列的求和公式求和: an=akqn-k(其中 a1 为首项，sn=na1+n(n-1)d/2 sn=n(a1+an)/2 sn=na1(q=1 时）sn=a1(1-qn)/(1-q)(当 q≠1 时） (2)、利用公式求和：? k ? n(n ? 1) / 2k ?1n? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) / 6k ?1n? k ? ?n(n ? 1) / 2?3 k ?1n2（3） 、分组结合法: 若数列｛Cn}的通项公式为 Cn=an+bn,其中｛an}， ｛bn}中一个为 等差数列，一个为等比数列，求和时，一般用分组结合法。如：已知数列｛an}的通项公式为 an=n +n-1,求数列｛an}的前 n 项和。 解：因为 an=n +n-1 所以 Sn=(1 +1-1)+(2 +2-1)+(3 +3-1)+……+(n +n-1) =(1 +2 +3 +……+n )+(1+2+3+……+n)-1×n =[n(n+1)(2n+1)]/6+n(n+1)/2-n =n(n +3n-1)/32 2 2 2 2 2 2 2 2 22（4）裂项相消法： 把数列中的每一项都拆分成 2 项或几项的差，从而产生一些 可以相消的项，最后剩下有限的几项。如：求和 Sn=1/(1q3)+1/(3q5)+……+1/(2n-1)(2n+1) 解：因为 an=1/2q[1/(2n-1)-1/(2n+1)] 所以 Sn=1/2q[1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-1)-1/(2n+1)] =1/2q[1-1/(2n+1)] =n/(2n+1)常用裂项技巧： 1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 1/n(n+k)=1/kq[1/n-1/(n+k)] 1/(2n-1)(2n+1)=1/2q[1/(2n-1)-1/(2n+1)] 1/(√n+k+√n)=1/kq(√n+k-√n) （5）、错位相减法： 若数列｛Cn}的通项公式为 Cn=anqbn,其中｛an}， ｛bn}中一个为等差数列，一个为等比数列，求和时，一般在已知和式的两边都乘以组成这 个数列的等比数列的公比， 然后再将得到的新和式和原和式相减， 转 化为同倍数的等比数列求和。如:求数列 a,3a ,5a2 2 3……(2n-1)a (a≠0)的前 n 项和。……n解：Sn=a+3a +5a + aSn=a +3a +5a +2 3 43+(2n-1)an 4n①n+1……+(2n-3)a +(2n-1)a2 32 n-1②n+1 n+1①-②=(1-a)Sn=a+2(a +a +a +……+a )-(2n-1)a Sn=(a +a-2a 所以 Sn=2 n+1n当 a≠1 时，(1-a)Sn=a+[2a (1-a )]/(1-a)-(2n-1)a )/(1-a)-(2n-1)a2 n+1/(1-a)2当 a=1 时，Sn=1+3+5+……+2n-1=n n a=1 时 (a +a-2a2 n+1)/(1-a)-(2n-1)an+1/(1-a)a≠1 时（6 ） 、倒序相加法: 如果一个数列，与首末 2 项等距离的 2 项之和等于首末 2 项之和， 可采用把正着写和与倒着写和的 2 个和式相加， 就得到一个 常数列的和。如：已知 f(x)+f(1-x)=1 求 f(1/2000)+f(2/2000)+f(3/2000)+……f()的值。 解：S=f(1/2000)+f(2/2000)+f(3/2000)+……f() S@=f()+……+f(3/2000)+f(2/2000)+f(1/2000) 则有 S+S@=[f(1/2000)+f()]+[f(2/2000)+f（)]+……+[f()+f(1/2000)] 由 f(x)+f(1-x)=1 知 S+S@=9 所以 S=1999/212、关于等差、等比数列的结论： ?等差数列｛an}的任意连续 m 项的和构成的数列 sm、s2m-sm、s3m-s2m、 s4m-s3m、……仍为等差数列； ?等差数列｛an}中，若 m+n=p+q,则 am+an=ap+特别地，当 m+n=2p 时，则有 am+an=2ap ?等比数列｛an}中，若 m+n=p+q,则 am*an=ap* ④等比数列 ｛an}的任意连续 m 项的和构成的数列 sm、 s2m-sm、 s3m-s2m、s4m-s3m、……仍为等比数列；⑤两个等差数列｛an}与｛bn}的和差的数列｛an+bn}、 ｛an-bn}仍为等差 数列； ⑥两个等比数列 ｛an}与 ｛bn}的积、 商、 倒数组成的数列 ｛an*bn} ｛an/bn} ｛1/bn}仍为等比数列; ⑦等差数列｛an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数 列；等比数列｛an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列； （8）3 个数成等差数列的设法：a-d、a、a+d;4 个数成等差 数列的设法： a-3d、 a-d、 a+d、 a+3d;3 个数成等比数列的设法： a/q、 a、4 个数成等比数列的错误设法：a/q3、a/q、aq、aq3; (9)在等差数列｛an}中：若项数为 2n，则 s 偶-s 奇=nd s 偶/s奇=an+1/ 若 项 数 为 2n+1 时 ， 则 s偶-s奇=an+1s奇/s偶=n+1/ns2n+1=an+1*(2n+1); (10)在等比数列｛an}中：若项数为 2n，则 s 偶/s 奇=若 项数为 2n+1 时，则(s 奇-a1)/s 偶= （11）当公差 d≠0 时，等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d =dn+a1-d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d；前 n 项和公式 sn=na1+n(n-1)d/2 =d/2n2+(a1-d/2)n 是 n 的二次函数且常数项为 0. （12）由于等比数列前 n 项和公式有 2 种形式，为此，在 求等比数列前 n 项和时，要判断公比 q 是否为 1 来选择求和公式， 当不能判断 q 是否为 1 时，要对 q=1 和 q≠1 两种情况讨论。 （13）若 a,A，b 成等比数列， ，那么 A 就叫做 a 与 b 的等 比中项； 不是任何 2 数都有等比中项， 只有同号 2 数长存在等比中项，且有 2 个，即为±√ab；已知 2 个正数 a,b(a≠b）的等差中项为 A， 等比中项为 B，则有 A&B. 13、单调性： 等比数列的单调性： （1）a1&0,q&1,递增；a1&0,0&q&1,递增 （2）a1&0,q&1,递减；a1&0,0&q&1,递减 等差数列的单调性：d&0，递增； d=0，常数裂；d&0，递减；六、排列组合及二项式： 1、定义： （1）从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列。 （2）从 n 个不同的元素中取出 m（m≤n）个元素的所有排列的 个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数。用符号 Anm 表 示。 （3）一般地，从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。0 n 1 n?1 r n ?r r n n （4） （ a+b） n= Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ??? Cn b 这个公式叫做二项式定理，等号后面的式子叫做（ a+b ） n 的二项展开式，其中 Cnk （k=0,1， …， n） 叫做二项式系数。 二项展开式中的第 k+1 项为 Cnk an?k bk 叫做二项展开式的通项。 2、排列数的 2 个公式： （1） Anm =n(n-1)(n-2)……(n-m+1)? n! （2） 、 Anm ? (n? m)! (n, m ? N , m ? n)n An ? n ? (n ?1) ? (n ? 2) ??? 2 ?1 ? n !0!=1n( n?1)?( n?m?1) M 0 ! 组合数公式： CN ? m!(nn? Cn ?1 m)! ? m!n Cnm ? A Am m m组合的 2 个性质： （1） Cnm ? Cnn?m （2） Cnm?1 ? Cnm ? Cnm?1 二项式通项公式：Tk+1= Cnk an?k bk 3、排列问题的解题方法： 有限制条件的： 优限法： （1）直接计算法：排列的限制条 件一般是：某些特殊位置和特殊元素，解决的办法是优先考虑，即特 殊元素预置法， 特殊位置预置法； （2） 间接计算法： 先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从中减去不合题意的排列数。 相邻问题的：捆绑法：对于相邻问题，常常先将要相邻的元 素捆绑在一起，视作为一个元素，与其余的元素全排列，再松绑后它 们之间进行全排列。 不相邻问题的：插空法：对于不相邻问题的，先将其余元素全 排列，再将这些不相邻的元素插入空档中。 4、分组分配问题：分组分配问题主要有分组后有分配对象（即 组本身有序）的均分与不均分问题及分组后无分配对象（即组本身无 序）的均分与不均分问题 4 种类型，常见的情形有以下几种： （1） 、均匀、无序分组：把 n 个不同的元素分成无序的 m 组，每组 r 个元素，则共有r r r r Cn C n ?r C n ?2 r ?Cr m Am种方法。其中(mr=n)。（2） 、均匀、有序分组：把 n 个不同的元素分成有序的 m 组，每组 r 个元素，则共有 Cnr Cnr?r Cnr?2r ?Crr 种方法。其中(mr=n)。 （3） 、非均匀、无序分组：把 n 个不同的元素分成 m 组， 第 1 组 r1 个元素，第 2 组 r2 个元素，第 3 组 r3 个元素，…，第 m 组 rm 个元素，则共有 Cnr Cnr?r Cnr?r ?r ?Crr 种分法（其中 r1+r2+r3+…+rm=n）.1 2 3 m 1 1 2 m（4） 、非均匀、有序分组：把 n 个不同的元素分成 m 组， 第 1 组 r1 个元素，第 2 组 r2 个元素，第 3 组 r3 个元素，…，第 m 组m rm 个元素，再分给 m 个人，则共有 Cnr Cnr?r Cnr?r ?r ?Crr Am 种分法（其中1 2 3 m 1 1 2 mr1+r2+r3+…+rm=n） 。 （5） 、局部均分分组：把 n 个不同的元素分成 m 组，其中 m1 个组有 r1 个元素，m2 个组有 r2 个元素，……mk 个组有 rk 个元素，则共有rk r1 r1 r1 r1 Cn C n?r ?Cn ?( m ?1 ) r C n ?mr ?C r 1 1 1 1 k mk m1 m2 Am Am ? Am 1 2 k种分法， （其中 m1r1+m2r2+m3r3+……+mkrk=n）5、二项展开式的特点： （1）项数：展开式共有 n+1 项； （2）1 系数：都是组合数，依次为 Cn0 ， Cn ，…， Cnn （3）指数的特点：a 的指数由 n0，b 的指数由 0n；a,b 的指数和为 n。6、二项式定理的几个变式：1 n?1 2 n ?2 2 （a-b)n= an ? Cn a b ? Cn a b ??? (?1)n bn 1 2 2 n n (1+x)n=1+ Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x7、二项式通项公式： Tk+1= Cnk an?k bk 的应用：求某个幂的项、 常数项、有理项，最大项等；通项公式是指 k+1 项，不是 k 项。通项 公式中含有 a,b,n,r,Tr+1 五个元素，只要知道 4 个，就可以求出第 5 个元素。在求展开式中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问 题转化为解方程或方程组，这里必须注意隐含条件 n,r 均为非负整数 且 r≤n。 注：规律技巧：1、对求指定项、常数项问题，常用待定系数 法，即设第 r+1 项是指定项（常数项） ，利用通项公式写出该项，对 同一字母的指数进行合并，根据所给出的条件（特定项） ，列出关于 r 的方程，并根据所求的指数，再求所求解的项；2、求二项展开式中 的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数 恰好都是整数的项， 解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母 的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解。 若求二项展开式中的整式项， 则其通项式中同一字母的指数应是非负 整数，求解分式与有理项的方式一致。3、根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时中间一项的二项式 系数最大。4、求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同， 求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第 r+1 项系数最大，则它比 相邻两项的系数都不小，列出不等式组并求解此不等式组求得。5、 对二项式展开式中系数、系数和问题，常用赋值法，一般地，要使展 开式中项的关系变为系数的关系，令 x=0 得常数项，令 x=1 可得所 有项系数和，令 x=-1 可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的 差，而当二项展开式中含有负值项时，令 x=-1 则可得各项系数绝对 值之和。6、整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点， 进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项， 再分析整除性或余数， 这是解此类问题的常用方法， 余数要为正整数。1 2 2 n n 7、由 (1+x)n=1+ Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x ，当 x 的绝对值与 1 相比很小且n 很大时， x2,x3,…xn 等项的绝对值都很小， 因此在精确度允许的范围 内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式： （1+x）n≈1+nx,在使用 这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项 的取舍，若精确度要求很高可用（1+x）n≈1+n+[n(n-1)/2]x2.如：求（2x-1/2x） 的展开式的常数项。 （四川高考题）r r 6?2r 解： Tr ?1 ? (?1)r C6 (2x)6?r ( 21x )r ? (?1)r C6 2 ? x6-2r 6令 6-2r=0 得 r=3，故展开式的常数项为 (?1) C6 =-203 3如：在二项式（x -1/x) 的展开式中，含 x 的项的系数是多少（浙江高考题） 解:对于 Tr+1= (?1) C5 ( x )r r 2 5?r r r 10?3r (? 1 )r C5 x x ) ? (?1 2 2254令 10-3r=4 得 r=2，则系数为 C5 (?1) ? 10 如 91 除以 100 的余数是多少 解：91 =（90+1） = C92 90 ? C92 90 ? ? ? C92 90 ? C9292 92 920921919192由此可见，除后 2 项外均能被 100 整除91 92 C92 90 ? C92 ? ? 81所以余数为 81.8、二项式系数的性质： （1）对称性：到首末距离相等的两项的二项式系数相等，即 Cnr ? Cnn?r （2）增减性及最值：f(r)= Cnr 在[0，n/2]上是增函授，在[n/2,n]上是 减 函 数 ； 当 n 为 偶 数 时 ， f(r)max=f(n/2)= C 当 n 为 奇 数 时 ， f(r)max=f(n ?1 2n 2)=f(n ?1 2)= Cn2 = Cn 2 （ 3 ） 二 项 式 系 数 和 为n?1n?10 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ??? Cn ? 2n ；奇数项二项式系数和 = 偶数项二项式系数和 0 2 4 1 3 5 =2n-1，即 Cn ? Cn ? Cn ?? ? Cn ? Cn ? Cn ?? ? 2n?1七、概率与统计： 概率知识点： 定义：1、必然事件：在条件 S 下一定会发生的事件，叫做相对 于条件 S 的必然事件（Ω ） 。 2、不可能事件：在条件 S 下一定不会发生的事件，叫做 相对于条件 S 的不可能事件（φ ） 。 3、随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不会发生的事 件，叫做相对于条件 S 的随机事件（A） 。 4、确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件。 确定事件与随机事件统称为事件，一般用大写字母 A,B,C,…表 示。 5、频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事 件 A 是否出现， 称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的 频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)=nA/n 为事件 A 出现的频率。 6、概率：定义给定的随机事件 A，如果随着试验次数的 增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率。0≤P(A)≤1 P(Ω )=1 P(φ )=0 频率与概率的关系：频率是随机的，在试验之前是不能确定的； 概率是一个确定的数，与每次试验无关；随着试验次数的增加，频率 会越来越接近概率； 频率是概率的近似值， 概率是用来度量事件发生 可能性的大小。7、古典概型： （1）有限性：在随机试验中，其可能出现的结果 有有限个，即只有有限个不同的基本事件。 （2）等可能性：每个基本 事件发生的机会是均等的。 P(A)=随机事件 A 包含的基本事件的个数/样本空间包含的基本 事件的个数=m/n 8、几何概型： （1）有一个可度量的几何图形 S； （2）试验 E 看 成在 S 中随机地投掷一点（3）事件 A 就是所投掷的点落在 S 中的可 度量图形 A 中。 P(A)=d 的测度/D 的测度 9、简单随机抽样：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个 不放回地抽取 n 个个体作为样本（n≤N） ，如果每次抽取时总体内的 各个个体被抽到的机会都相等， 就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。 其特征有：它要求总体的个体数有限；它是从总体中逐个进行抽取； 它是一种不放回抽样；它是一种等机会抽样，即等概率抽样 n/N。其 方法有 2 种：抽签法、随机数表法。 10、系统抽样的步骤：假设要从容量为 N 的总体中抽取容 量为 n 的样本： （1）先将总体的 N 个个体编号（2）确定分段间隔 k， 对编号进行分段，当 N/n 是整数时，取 k=N/n，当 N/n 不是整数时， 随机从总体中剔除余数，再取 k=[N/n],（3）在第 1 段用简单随机抽 样确定第一个个体编号 L（L≤k） （4）按照一定的规则抽取样本，通 常是将 L 加上间隔 K 得到第 2 个个体编号（L+k） ，再加 k 得到第 3 个 个体编号（L+2k） ，依次进行下去，直到获取整个样本。11、分层抽样：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然 后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出 的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样。它适用于：当 总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用它。其步骤为： （ 1） 将总体按一定的标准分层； （2）总体与样本容量确定抽取的比例，即 抽取比例=样本容量/总体个数=n/N（3）确定各层抽取的样本数，即 各层抽取个数=各层个数×（样本容量/总体个数） （4）在每一层用简 单随机抽样或系统抽样方法抽样（5）综合每层抽样，组成样本。 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的联系：抽样过程中每个个 体被抽取的机会均等是 3 种抽样方法的共同点； 系统抽样中在分段后 确定第一个个体时采用简单随机抽样， 分层抽样中各层抽样时采用简 单随机抽样或系统抽样。 系统抽样中一般情况下被抽到的个体的编号 能组成等差数列，其公差为分段间隔。 12、随机变量：设 E 为随机试验，样本空间为Ω ，如果对 于每一个样本点ω ∈Ω ，有一个实数 X（ω ）与之对应，这样就得到 一个定义在Ω 上的实函数 X=X（ω ） ，称为随机变量。随机变量通常 用 X,Y,Z,L 或 X1,X2,X3,L 表示.（1） 、随机变量分为离散型和连续性 2 种。随机变量 X 只取有限多个或者可列无穷多个值，则称 X 为离散型 随机变量；随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间，叫做连 续型随机变量。 （2） 、离散型随机变量的分布律：设随机变量 X 所有 可能取值为 X1,X2,LXkL，且 P（X=xk）=pk，k=1,2L，则称（pk）为 X 的 分布律（或分布列，概率分布）分布律也可以表示为：X x1 P p1x2 L xk p2 L p KL L性质：①非负性 Pk≥0 k=1,2…②规范性?PK ?1?K?1(3)、常见离散型随机变量的概率分布：①两点分布：设随机变量 X 只可能取 2 个值 0,1，且分布律为 X 0 1 则称随机变量 X 服P 1-P P 从两点分布 （0-1 分布）两点分布是最简单的一种分布，任何一个只有 2 种可能结果的随机现象。在 n重贝氏试验中，每次试验只观察事件 A 是否发生，定义 Xi= 0 事件 A 不发生 1 事件 A 发生 P(X=1)=P(A)=P,P(X=0)=P(A)=1-P 所以 Xi 服从两点分布X=X1+X2+LXn 即事件 A 在 n 重贝氏试验中发生的次数。②二项分布：若 随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 为 0,1,2L,n ， 且 分 布 律 为k k k P?X ? K? ? Cn p q , k ? 0,1,2?n.(q ? 1 ? p) 则称随机变量 X 服从参数为 n,p的二项分布，记为 X～B（n,p）.二项分布n-1两点分布。n 重贝氏试验中事件 A 发生的次数 X 即服从二项分布。③泊松分布：设随机变 量 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2… ， 而 取 各 个 值 的 概 率 为e P ? ?X ? K? ? ? k ,2?，其中 ? ? 0 是常数，则称 X 服从参数为λ ! , k ? 0,1k ??的泊松分布，记为 X～P(λ ). 为 X Pk 1 p 2 … K… qp…qk-1p…④几何分布:若随机变量X 的分布律,p+q=1,则称 X 服从几何分布。几何分 布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型。分布函数：设 X 为随机变量，称函数 f(x)=p｛X≤x}为随机 变量 X 的分布函数。分布函数的性质：0≤F(x)≤1;F(x)是不减的函数； F （ - ∞ ） =limF(x)=0 F( ∞ )=limF(x)=1;F(x) 右 连 续 ， 即? x ? x0lim F ( x) ? F ( x0 ) 。常见离散的随机变量的数学期望 分布 二点分布 二项分布 泊松分布 概率分布P(? ? 1) ? P, P(? ? 0) ? 1 ? Pk k P(? ? k ) ? Cn P (1 ? p)n?k （k=0,1,2,…,n）;p+q=1期望 P np?e P(? ? k ) ? ? k ,2,?; ? ? 1) ! , (k ? 0,1k ??常见随机变量的方差 分布 二点分布 二项分布 泊松分布 概率分布P( x ? 1) ? P, P( x ? 0) ? 1 ? Pk k P( x ? k ) ? Cn P (1 ? p)n?k （k=0,1,2,…,n）方差 P （1-p)） Np(1-p)?e P( x ? k ) ? ? k ,2,?) ! , (k ? 0,1k ??（4）、连续型随机变量及其概率密度：设 X 为随机变量，F(X)为 X 的分布函数， 若存在非负函数 f(x)， 使对于任意实数 x 有 F ( x) ? ??? f (t )dt ， 则称 X 为连续型随机变量，其中 f(x）称为 X 的概率密度。常用连续 型随机变量有①均匀分布：若随机变量 X 的概率密度为f ( x) ?x?01 b?a?a ? x?b?其它，则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，记为 X～ 0 x&ax ?a b ?aU(a,b).分布函数 f(x)=,a ? x ? b1②指数分布：设随机变量x&be ( x ?0 ) X 的概率密度为 F ( x) ? ?? ，则称 X 服从 0 ( x?0 )? ?x参数为λ 的指数分布，记为 X～E(λ ).分布函数 F(x)=1-e-λ x, 0,x&0 x≤0③正态分布：若随机变量X 的概率密度为 f ( x) ?1 2? ?e? ( x ? ? )2 2? 2，-∞&x&+∞(μ ,σ 2 为常数，σ &0） ，则称 X 服从参数为μ ,σ 2 的正态分布，记为 X～N(μ ,σ )，分布函数 F ( x) ? ?2x ??f (t )dt ?1 2? ?x ? ( t ??2) 1 2? 2? ? ? ??2edt 是关于直线 x=μ对称；当 x=μ 时 f(x)取最大值；当 x±∞时，f(x)0；当固定σ ，改变μ 的大小时，f(x)图形的形状不变，只是沿着 x 轴作 平移变换；当固定μ ，改变σ 的大小时，f(x)图形的对称轴不变，而 形状在改变，σ 越小，图形越高越瘦，σ 越大，图形越矮越胖。标准 正态分布是只当正态分布 N（μ ，σ 2）中的μ =0，σ =1 时，称标准 正态分布，记为 X ～ N(0 ， 1) 。标准正态分布的概率密度表示为? ( x) ?1 2?e? x22,?? ? x ? ? ，分布函数表示为 ? ( x) ? ?x??1 2?e 2 dt,?? ? x ? ?x2不是所有的连续型随机变量都有数学期望： 分布 均匀分布 指数分布 正态分布 概率密度 期望其它a ?b 2 1 ?? f ( x) ? ?f ( x) ?0,1 , a ? x ?b b?a?e ? ?x , x ? 00,其它f ( x) ?1 2? ?e? ( x??2)2?2μ常见随机变量的方差 分布 均匀分布 指数分布 正态分布 概率密度 期望其它(b?a )2 121? f ( x) ? ?f ( x) ?0,1 , a ? x ?b b?a?e ? ?x , x ? 00,其它?2f ( x) ?1 2? ?e? ( x??2)2?2?2事件的关系和运算：记号 Ω Φ A,B,C…A? B集合论中 全集 空集 集合 集合 A 是 B 的子集 集合 A 与 B 相等 集合 A 与 B 的并集概率论中 必然事件 不可能事件 随机事件 事件 A 发生则 B 一定发生 事件 A 与 B 是同一事件 事件 A 与 B 至少有一个发生 事件 A 与 B 同时发生 事件 A 发生而 B 不发生A=BA ? B (或 A+B)A ? B （或 AB） 集合 A 与 B 的交集A-B AB=ΦA集合 A 与 B 的差集集合 A 与 B 的交为空集 事件 A 与 B 互不相容 集合 A 的补集 事件 A 的对立事件1、包含关系：一般地，对于事件 A 与事件 B，如果事件 A 发生， 则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A（或称事件 A 包含于事 件 B） ，记作： B ? A 或者 A ? B . 2、相等关系：对于事件 A 与事件 B，若 B ? A 且 A ? B ,那 么称事件 A 与事件 B 相等，记作：A=B。 3、并事件（和事件） ：若某事件发生当且仅当事件 A 或事 件 B 发生，则称此事件为事件 A 和事件 B 的并事件（或和事件） 。记 作： A ? B 或 A ? B . 4、交事件(积事件)：若某事件发生当且仅当事件 A 且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 和事件 B 的交事件（或积事件） 。记 作： A ? B 或 AB. 5、互斥事件：若 A ? B 为不可能事件（ A ? B =φ ） ，那么 称事件 A 与事件 B 互斥。其含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验 中都不会同时发生。 6、互为对立事件：若 A ? B 为不可能事件， A ? B 为必然 事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件。其含义是：事件 A 与事 件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。 A ? B =φ 且 A ? B =I。互 不可能事件记作φ ， 任何事件都包含不 斥是对立的必要不充分条件。 可能事件。 几种常见的概率问题： 1、 条件概率： 如果 A,B 是随机试验的 2 个随机事件， 且 P(B)&0， 则称在事件 B 发生的前提下，事件 A 发生的概率称为条件概率。记为P( A B) 。这个条件概率定义为 P( A B) ?P ( AB ) P( B).把事件 A 发生的前提下，) 事件 B 发生的条件概率记为 P(B A) 。 这个条件概率定义为 P( B A) ? PP((AB A)推广：一般有当 P(A1A2…An-1)&0 时P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )?P( An A1 A2 ? An?1 )2、 全概率公式： 如果事件 A1， A2， …， An 构成一个完备事件组， 并 且 P(Ai)&0 ，（ i=1,2,…n ） , 则 对 于 任 一 事 件 B ， 有P( B) ? P( A1 ) P( B A1 ) ? P( A2 ) P( B A2 ) ? ? ? P( An ) P( B An ) ? ? P( Ai ) P( B Ai )i ?1 n称为全概率公式。 3、贝叶斯公式：若已知“结果”B 已经发生了，要求某一种“原因”Aj 发生的概率。设 A1，A2，…，An 构成一个完备事件组，则对于 任一事件 B，P(B)&0。 P( Aj B) ? 斯公式或逆概公式。 概率的基本性质： 1、对于任何事件的概率的范围是： 0≤P(A)≤1，其中不 可能事件的概率是 P(φ )=0，必然事件的概率是 P(Ω )=1。 2、当事件 A 与事件 B 互斥时， A ? B 的频率是： fn( A ? B )=fn(A)+fn(B) 由此得到概率的加法公式：如果事件 A 与事件 B 互斥，则： P( A ? B )=P(A)+P(B) 3、特别地，当事件 A 与事件 B 互为对立事件时，有 P(A)-1=P(B) 统计相关知识点： 1、相关定义： （1） 、总体：指要考察的对象的全体。 （2） 、个体：指构成总体的每一个考察对象 （3） 、 样本： 从总体中取出的考察的那部分个体组成的集合。 （4） 、样本容量：样本中包含的个体的数目。 （5） 、抽样调查；对从总体中抽取的那部分个体进行考察。 （6） 、普查：对总体中所有个体进行考察。 2、统计学的基本思想：根据样本的情况估计总体的情况。P( Aj ) P( B Aj )? P( Aj ) P( B Aj )j ?1n, ( j ? 1,2,? n) 此公式称为贝叶简单随机抽样 如何抽样 系统抽样 分层抽样 统计 如何估计 用样本的频率分布估计总体分布 用样本的数字特征（如平均数、标准 差）估计总体的数字特征 3、用样本的频率分布图估计总体的频率分布： 步骤： （1） 、求极差，即数据中最大值与最小值的差 （2） 、确定组距与组数：组数=极差/组距 （3） 、分组，表示每一组的区间取左闭右开，只有最后 一组取闭区间 （4） 、列频率分布表，须登记频数，计算频率 （5） 、画频率分布直方图（纵轴表示频率/组数） 4、 茎叶图： 当样本数据比较少时， 将这些数据有条理的列出来， 从中观察数据的分布情况。 众数： 在一组数据中， 出现次数最多的数据叫这组数据的众数。 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一 个数据（或最中间两个数据的平均数）叫这组数据的中位数。 平均数：一组数据的算术平均数，即 x ? 1 n ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 标准差：反映样本数据的分散程度 S ?1 n( x1 ? x ) ?( x 2 ? x ) 2 ???( xn ? x ) 2 n2=? ( x ? x)i ?1 in22 方差： s 2 ? 1 n ? ( xi ? x ) i ?1n推论：如果数据 x1,x2,…xn 的平均数为 x ，方差为 s2，那么：2 2 2 （1）s 2 ? 1 n ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? x （2）数据 x1+a,x2+a,…xn+a 的平均数为 2（3）数据 kx1,kx2,…kxn 的平均数为 k x ，方差为 x ? a ，方差仍为 s 。 k2s2 (4)数据 kx1+b,kx2+b,…kxn+b 的平均数为 k x ? b ，方差为 k2s2. 回归直线： 如果散点图中点的分布从总体上看大致在一条直线 附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归 直线。求回归方程的步骤： （1）计算平均数 x ， y （2）求和 ? xi yi ，i ?1xi y i ? n x y ? ? 2 i ?1 ? x （4）写出回归方程 y ?x ? a ? ? y ?b ? ?b ? b ? （ 3 ）计算 x a n ? i 2 2 i ?1 ? xi ? n xn2nni ?1八、立体几何相关公式： 1、空间几何体的结构： 棱柱 柱体 圆柱 棱锥 锥体 圆锥 棱台 台体 球体 概念 性质 棱柱 侧面积 体积 V 柱=S 底 h 注：四棱柱-平行六面体-直平行六体-长方体-正四棱柱-正方体 概念 性质 棱锥 侧面积 一般棱锥 正棱锥? S 正 =1 2 ch简单组合体圆台斜棱柱 直棱柱 正棱柱 其它棱柱一般棱锥侧面积求各面面积之和 体积 V 锥= 1 3 sh 注：解题中应运用三棱锥（可以任意换底）的特性，处理问题。定义 分类 多面体 体积 定义 球 表面积 S ? 4?R 23 体积 V ? 4 3 ?R四面体、五面体等 凸（凹）多面体等2、空间几何体的表面积和体积： 圆柱的侧面积： S ? 2?rl 圆锥的侧面积： S ? ?rl 面积 圆台的侧面积： S ? ? (r? ? r )l 球的表面积： S ? 4?R 2 柱体的体积： V ? sh 锥体的体积： V ? 1 3 sh 体积? ? 台体的体积： V ? 1 3 (s ? s s ? s)h3 球的体积： V ? 4 3 ?R柱、锥、台体的侧面积和表面积的关系：S 表面积=S 侧面积+S 底面积 S 圆柱侧=S 长方形=2 ?rl S 直棱柱侧=ch（c 为底面周长，h 为高） S 圆锥侧= ?rl? S 正棱锥侧= 1 2 ch ? ? S 正棱台侧= 1 2 (c ? c )hS 圆台侧=S 扇环= ? (r1 ? r2 )l注：求体积常用方法：①直接法：根据条件直接用柱体或锥体的体积公式②割补法： 如果一个多面体的体积直接用体积公式计算困 难，可将其分割成易求体积的几何体，逐块求体积，然后求和③变换 法：如果一个三棱锥的体积直接用公式计算困难，可转换为等积的另 一个三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得。 3、直线与平面： （1） 、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行。 a ? ? , b ? ? , 且 a????b a????α(α、β 为平面）（2）、性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的 任一平面与此平面的交线与该直线平行。若 a????α， a ? ? , ? ? ? ，交线 为 b，则 a????b。 （3）、判定定理：一个平面内的 2 条相交直线与另一个平面平 行，则这 2 个平面平行。 a ? ? , b ? ? , a ? b ? p, a????α，b????αα????β（p 为交 点）线面平行 面面平行（4）性质定理：如果 2 个平行平面同时和第 3 个平面相交，那 么它们的交线平行。 若 α????β，? ? ? ? b, ? ? ? ? a 则 a????b （λ 为平面， a,b 分别为交线）面面平行 线线平行（5）判定定理： 一条直线与一个平面内的 2 条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直。 （6）性质定理：①若直线和平面垂直，则直线与平面内任一条 直线都垂直。②如果 2 条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一 条直线也垂直于这个平面。 （7）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这 2 个平面互相垂直。线面垂直面面垂直（8）性质定理：①如果 2 个平面垂直，那么在一个平面内垂直 于它们的直线垂直另一个平面。②如果 2 个平面垂直， 过一个平面内 一点作另一平面的垂线，则该线在这一平面内。③如果一个平面垂直 于 2 个平行平面中的一个平面，那么这个平面也和另一个平面垂直。 4、空间角的计算： （1） 、2 条异面直线所成的角：关键是找平行线，通常利用 三角形的中位线与边的平行关系或补成平行四边形。 （2） 、 直线和平面所成的角： 关键是找斜线在平面内的射影， 即找斜线上的点在平面内的射影， 为此通常利用平面与平面的垂直的 性质。 （3） 、二面角：关键是找二面角的平面角，通常利用定义、 三垂线定理及其逆定理、作棱的垂面、特殊图形的性质等。九、绝对值三角不等式知识： 1、 定理 1： 如果 a,b 是实数， 则|a+b|≤|a|+|b|， 当且仅当 ab≥0 时，等号成立 定理 2：如果 a,b，c 是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且 仅当(a-b)(b-c)≥0 时，等号成立 2、绝对值不等式的解法： （1） 、不等式|x|&a 和|x|&a 的解集 不等式 |x|&a |x|&a a&0 ｛x|-a&x&a} a=0 Φ a&0 Φ R｛x|x&a,或 x&-a} ｛x|x≠0}（2） 、|ax+b|≤c(c&0)和|ax+b|≥c(c&0)的解法： |ax+b|≤c -c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c ax+b≥c 或 ax+b≤-c（3） 、 |x-a|+|x-b|≥c(c&0)和|x-a|+|x-b|≤c （c&0） 型的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解②利用“零点分段法”求解 ③通过构造函数，利用函数图像求解。 如：若存在实数 x 满足不等式|x-4|+|x-3|&a,则求实数 a 的取值范围。 解：由绝对值不等式的性质知：|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-(x-3)|=1 所以函数 y=|x-4|+|x-3|的最小值为 1 又因为不等式有实数解 所以 a 的取值范围为（1，+∞）注 1、不等式|x-a|+|x-b|≥c 的解就是数轴上到 A（a）,B(b)2 点 的距离之和不小于 c 的点所对应的实数， 只要在数轴上确定出具有上 述特点的点的位置， 就可以得出不等式的解。 2、 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|， 右侧 “=” 成立的条件是 ab≥0， 左侧 “=” 成立的条件是 ab≤0 且|a|≥|b|； 不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|， 右侧 “=” 成立的条件是 ab≤0， 左侧 “=”成 立 的 条 件 是 ab≥0 且 |a|≥|b| 。 3 、 对 于 求 y=|x-a|+|x-b| 或 y=|x-a|-|x-b|型的最值问题，利用绝对值不等式的性质更方便，前 者的函数只有最小值，后者的函数既有最大值又有最小值。 3、不等式的证明： （1） 、比较法：①求差比较法：知道 a&b a-b&0，因此要证a b明 a&b，只要证明 a-b&0 即可。②求商比较法：由 a&b&0&1 且a a&0,b&0，因此当 a&0,b&0 时要证明 a&b，只要证明 b &1 即可。 （2） 、分析法：从结论出发，寻求使之成立的充分条件，直至所需条件为已 知条件或一个明显成立的事实，从而得出命题成立。 （ 3） 、综合法。 （4） 、 放缩法 （5） 、 反正法： 先作出否定结论的假设， 然后进行推理， 导出矛盾，最后否定假设，肯定结论。 （6）柯西不等式的二维形式：①柯 西 不 等 式 的 代 数 形 式 ： 设 a1,a2,b1,b2 均 为 实 数 ， 则(a12+a22)(b12+b22)≥(a1b1+a2b2)2(当且仅当 a1b2=a2b1 时等号成立）②柯西 不等式的向量形式： 设 α， β 为平面上的 2 个向量， 则|α||β|≥|αβ|③ 三 角 形 不 等 式 ： 设 x1 ， y1 ， x2 ， y2 ， x3 ， y3 ? R ， 那 么( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( x2 ? x3 ) 2 ? ( y2 ? y3 ) 2 ? ( x1 ? x3 ) 2 ? ( y1 ? y3 ) 2 （ 7 ） 、柯西不等式的一般形式：设 n 为大于 1 的自然数， ai , bi (i ? 1,2,3?, n) 为任b b b ? a ?? a 意实数，则 ? ai2 ? bi2 ? (? aibi ) 2 ，其中等号当且仅当 a 时成立1 2 nnnni ?1i ?1i ?112n（当 a i =0 时，约定 bi =0，i=1,2,3…，n） 。 （8 ） 、算术--几何平均不等?? a 式 a ?a ? ? n a1a2 ?an (a1 , a2 ?, an ? R) （R 为正实数） n1 2 n十、对数： 1、概念：如果 a（a&0 且 a≠1）的 b 次幂等于 N，即 ab=N,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：logaN=b,其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。指数 b∈R 对数 b∈Rab=N解出 b 解出 N幂 N&0b=logaN真数N&0底数底数A&0 且,a≠1A&0 且,a≠12 、延伸：负数和零没有对数； a&0 且 a≠1 ， N&0 ； loga1=0 ， logaa=1,alogaN=N,logaab=b ； log10N 简 记 为 lgN ； logeN 简 记 为 InN(e=2.71828......)；logbN=logaN/logab 3、对数式与指数式的互化：式子名称 abN→指数式 ab=N（底数） （指数） （幂值） ；对数式 logaN=b（底数） （对数） （真数） 4、对数的运算性质 Loga(MN)=logaM+logaN Loga(M/N)=logaM-logaN am+n 5、指数的基本公式 =am ?an (a&0;m,n∈R) (a&0;m,n∈R)am-n =am /anLogaMn=nlogaM(n∈R) LogaN=LogbN/LogbN aLogaN=N ,logaaN=N 注 a&0， a≠1， M&0， N&0(am)n=amn (ab)n=anbn am/n=n√am(a&0;m,n∈R) (a,b&0;n∈R) (a&0;m,n∈N,n&1)a-m/n=1/am/n=1/n√am (a&0;m,n∈N,n&1)5、对数函数：一般地，函数 y=logaX(a&0,a≠1)叫做对数函数， 它的定义域是（0，+∞） 。 （所谓函数的定义域，就是使函数表达式有意义的自变量 x 的取值范围） a&1 Y 图 像 X=1 Y=logax 0 0 定义域 性 质 值域 过特殊点 单调性 (1,0) （0，+∞） R 过点（1,0） ，即 x=1 时 y=0在（0，+∞）是增函数 在（0，+∞）是减函数0&a&1 Y X=1 (1,0) x Y=logaxx函数值变化 当 0&x&1 时，y&0 X&1 时，y&0 6、指数函数与对数函数 名称 一般形式 指数函数 y=ax当 0&x&1 时，y&0 X&1 时，y&0对数函数 y=logaxYYa&1 1 0 图像 Y x 0 Y 1 x0&a&1 1 0 定义域 值域 单调性 a&1 R R+ 增函数 x 01 x（0，+∞） R 增函数 减函数 0&x&1 时，y&0 X&1 时，y&0 0&x&1 时，y&0 X&1 时，y&00&a&1 减函数 函数值变 a&1 化情况 X&0 时，0&y&1 X&0 时，y&1 0&a&1 X&0 时，y&1 X&0 时，0&y&1如：已知 f(x)=log4(4x-1),(1)求 f(x)的定义域（2）讨论 f(x)的单 调性（3）求 f(x)在[1/2,2]上的值域。 解 1、有 4x-1&0 知 x&0,因此定义域为（0，+∞） 2、设 0&x1&x2,则 0&4x1-1&4x2-1,因此 log4(4x1-1)&log4(4x2-1),即 f(x1)&f(x2),故 f(x)在（0，+∞）上递增。 3、f(x)在[1/2,2]上递增，有 f(1/2)=0,f(2)=log415 因此 f(x)在[1/2,2]上的值域为[0，log415] 如：已知函数 f(x)=lgx,若 f（ab）=1,求 f(a2)+f(b2)的值(2012 北京高考题） 解：因为 f(x)=lgx,所以(a2)+f(b2)=2lga+2lgb=2lgab. 又 f（ab）=1,所以 lgab=1,即 f(a2)+f(b2)=2 注： （1） 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于 1 还是小于 1； （2） 、比较两个对数值的大小，①若底数为同一常数，则可由 对数函数的单调性直接进行判断； ②若底数为同一字母， 则按对数函 数的单调性对底数进行分类讨论；③若底数，真数都不相同， ，则常 借助 1、0、-1 等中间量进行比较。 （3 ） 、指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数，互为反 函数的 2 个函数图像关于直线 y=x 对称 如函数 y=f(x)是函数 y=ax(a&0,且 a≠0)的反函数，且 f(2)=1,求 f(x).解：y=f(x)是函数 y=ax 的反函数 f(x)=logax 又 f(2)=1 loga2=1,即 a=2,故 f(x)=log2x（4 ） 、解决有关函数图像问题：一是对基本函数的图像的形 状要熟记， 二是注意系数的符号及大小对图像的影响， 三是注意图像 的特殊位置、特殊点，如在 y 轴上的截距等。 十一：函数 1、概念： （1） 、设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对应集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应，那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数，记作：y=f(x),x∈A. （2） 、设 A、B 是非空的集合，如果按照某个确定的对应关系 f， 使对应集合 A 中的任意一个元素 x， 在集合 B 中都有唯一确定的元 素 y 和它对应，那么就称对应 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映 射。 （3） 、 象与原象： 给定一个集合 A 到集合 B 的映射， 且 a∈A， b∈B， 如果元素 a 和元素 b 对应， 那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象， 元素 a 叫做元素 b 的原象 （4） 、设 y=f(u)定义域 A，u=g(x)值域为 B,若 A ? B,则 y 关于 x 函数的 y=f[g(x)]叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量 （5） 、 分段函数的定义：指自变量在不同的取值范围内，其 对应法则也不同的函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数，分 段函数的定义域是各段函数定义域的并集， 值域是各段函数值域的并 集。 如:f(x)= x2+1,x≤1 Lgx,x&1,则求 f[f(10)]的值。 解：f(x)=lgx f(10)=lg10=1所以 f[f(10)]=f(1)=12+1=2 （6） 、定义域：所有自变量 x 的值组成的集合 A （7） 、值域：与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域。 （8） 、反函数：定义①设 A 和 B 分别是函数 y=f(x)的定义域 和值域，我们根据这个函数中 x、y 的关系，把 x 用 y 表示，得到 x= φ (y),如果对于 B 中的每一个元素 y 通过 x=φ (y)在 A 中都有唯一的 x 与之对应，那么 x=φ (y)就表示以 y 为自变量，数集 B 到数集 A 的 函数，称 x=φ (y)（y∈B）为 y=f(x)(x∈A)的反函数。记作 x=f-1(y), 习惯上用 x 表示自变量，y 表示函数，所以 y=f(x)(x∈A)的反函数写 作 y=f-1(x).②求反函数的方法：确定 y=f(x)的值域 y 表示 x） 反解出 x（用用习惯的表示方法写出解析式及定义域。 ③y=f(x) 与y=f-1(x)的图像及性质的联系： a、 y=f(x)的定义域是 y=f-1(x)的值域， y=f(x)的值域是 y=f-1(x)的定义域；b、y=f(x)与 y=f-1(x)的图像关于 直线 y=x 对称； c、 y=f(x)与 y=f-1(x)单调性相同； d、 y=f(x)与 y=f-1(x) 或者同为奇函数或者同为非奇非偶函数。④函数 y=f(x)具有反函数 的充分条件：y=f(x)是单调函数。如：已知 y=3 (-1≤x&0)，求其反函数 2 解：因为 x∈[-1,0),所以 x ∈(0,1] 2 x2-1 所以 x -1∈(-1,0]所以 3 ∈(1/3,1] x2-1 2 又 y=3 所以 x =log3y+1 又因为 x∈[-1,0)，所以 x=-√log3y+1 得反函数 y=-√log3x+1，x∈(1/3,1]x2-12、构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域（值域是由定义 域和对应关系决定的） 3、同一函数：?两个函数的定义域和对应关系完全一致?与表示 自变量和函数值的字母无关。 4、几类函数的定义域：?如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R ?如果 f(x)是分式， 那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集 合 ?如果 f(x)是二次根式， 那么函数的定义域是使根号内的式子大于或 等于零的实数的集合 ④如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的， ，那么函数的定义域 是使各部分式子都有意义的实数的集合（交集） 。⑤若f(x)中含有 x0，则底数 x 不为零； f(x)中含有对数式，则真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1. f(x)的定义域是[a,b]， 求 f[g(x)]的定义域， 是指满足 a≤g(x)≤b⑥如果 ⑦已知的 x 的取值范围；已知 f[g(x)]的定义域是[a,b]，求 f(x)的定义域，是 指在 x∈[a,b]条件下，求 g(x)的值域。⑧实际问题或几何问题给出的函数的定义域， ，这类问题除要考虑函数解析式