求微分方程的求特解步骤解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-03-08 05:44 标签： 求微分方程的通解例题
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数学实验：求微分方程的解.ppt 25页
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实验四 问题背景和实验目的 Euler 折线法 初值问题的Euler折线法 Euler 折线法举例 Euler 折线法源程序
Euler折线法举例（续） Runge-Kutta 方法 Runge-Kutta 方法 四阶 R-K 方法源程序 Runge-Kutta 方法 Euler 法与 R-K法误差比较 Matlab 解初值问题函数 dsolve 求解析解 dsolve 的使用 dsolve 举例 dsolve 举例
dsolve 举例 数值求解 Matlab的ODE求解器 参数说明 数值求解举例 数值求解举例 求解微分方程小结 上机作业 * * 求微分方程的解
自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。
由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。然而能够求得解析解的微分方程十分有限，绝大多数微分方程需要利用数值方法来近似求解。
本实验主要研究如何用 Matlab 来计算微分方程（组）的数值解，并重点介绍一个求解微分方程的基本数值解法－－Euler折线法。
考虑一维经典初值问题
基本思想：用差商代替微商 根据 Talyor 公式，y(x) 在点 xk 处有
具体步骤： 等距剖分： 步长：
分割求解区间 分割求解区间，差商代替微商，解代数方程
差商代替微商 得迭代格式： k = 0, 1, 2, ..., n-1 yk 是 y (xk) 的近似 例：用 Euler 法解初值问题 取步长 h = (2 - 0)/n = 2/n，得差分方程 当 h=0.4，即 n=5 时，Matlab 源程序见 fuluA.m 解： f = inline('y+2*x/y^2','x','y'); a = 0;
h = (b-a)/n; x = a : h : y(1) = 1; for i = 1 : n
y(i+1) = y(i) + h*f(x(i),y(i)); end plot(x,y,'rs-'); 解析解： 解析解 近似解 y=1/3*(-18-54*x+45*exp(3*x))^(1/3)
为了减小误差，可采用以下方法：
让步长 h 取得更小一些；
改用具有较高精度的数值方法，如：
龙格-库塔方法 Runge-Kutta (龙格-库塔) 方法
是一类求解常微分方程的数值方法
有多种不同的迭代格式
用得较多的是 四阶R-K方法（教材第 98 页） 其中 clear f = inline('y+2*x/y^2','x','y'); a = 0;
b = 2; n = 5; h = (b-a)/n; x = a : h : y(1) = 1; for i = 1 : n
L1 = f(x(i), y(i));
L2 = f(x(i)+h/2, y(i)+L1*h/2);
L3 = f(x(i)+h/2, y(i)+L2*h/2);
L4 = f(x(i)+h, y(i)+L3*h);
y(i+1) = y(i) + h*(L1+2*L2+2*L3+L4)/6; end fprintf('y 在 x=2 点的近似值为 %f\n',y(n+1)); plot(x,y,'rs-');
用 Maltab自带函数 解初值问题
求解析解：dsolve
求数值解：
ode45、ode23、
ode113、ode23t、ode15s、
ode23s、ode23tb
dsolve 的使用 y=dsolve('eq1','eq2', ... ,'cond1','cond2', ... ,'v') 其中 y 为输出的解， eq1、eq2、... 为微分方程，cond1、cond2、... 为初值条件，v 为自变量。 例 1：求微分方程
的通解，并验证。 && y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')
&& diff(y)+2*x*y - x*exp(-x^2)
如果省略初值条件，则表示求通解；
如果省略自变量，则默认自变量为
dsolve('Dy=2*x','x');
% dy/dx = 2x dsolve('Dy=2*x');
% dy/dt = 2x
若找不到解析解，则返回其积分形式。
微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数，如： Dy
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第六章用MATLAB求解微分方程及微分方程组
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在高数解微分方程的时候,全微分方程的求解公式是怎么来的?感激不尽!
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您是不是指得这个公式：方程udx+vdy=0如果满足du/dy=dv/dx则为全微分方程（简便起见偏导我也用导数表示了）,其通解为∫udx+∫vdy=0.这个没什么好推导的,直接带进去就行了.对原方程两端同时乘以du/dy,注意到du/dy=dv/dx,原式可化为udv+vdu=0,注意到d(uv)=udv+vdu,所以原式可化为d(uv)=0,直接积分就可得uv=C为原方程的通解,其中C为待定常数,等价于∫udx+∫vdy=0.全微分方程之所以被叫做全微分方程,就是因为方程可以化为d(f(x,y))=0的形式,也就是说可以化为二元函数f(x,y)的全微分等于0的形式,方程通解就是f(x,y)=C.一般情况下解全微分方程没有用公式的,只要你把方程化为d(f(x,y))=0的形式,那么通解就是f(x,y)=C.
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微分方程的解的公式不只一个，你要找哪类方程的解的公式呢？
晕，是全微分方程，据我所知好像只有一种微分方程是全微分方程。。。。
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帖子中的特解泛指二阶常系数非齐次谢线性微分方程的特解，除解中通解的那一部分。我会设特解，就是按照特征值和微分方程右侧部分写特解的那种，但是我就是设特解之后解不出来对应的系数，下面我举个例子！比如特解是（ax＋b）ex，我把它代入微分方程，要么就是算不出，要么就是算的时间太长，这点让我很烦。我的问题是两个，一个是算错系数，二是算的时间过长且易错！特此请假吧内大神，求微分方程特解时，求其系数有无简便方法？也许吧内有解决的帖子，但是很难找，容我做一次伸手党。
就是求特解系数，感觉计算量很大，写出来一大串，容易选错，而且大部分是带ex的，很臃肿，不好算。
就是求这个a，贼鸡儿难算还容易出错。
精品贴里找算子法。
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