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设P、Q的真值为O；R、S的真值为1，求下列命题公式的真值．
（1)P∨（Q∧R)；
（2)（PR)∧（￢Q∨S)；
（3)（P∧（Q∨R))→（（P∨Q)
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提问人：匿名网友
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设P、Q的真值为O；R、S的真值为1，求下列命题公式的真值．&&(1)P∨(Q∧R)；&&(2)(PR)∧(￢Q∨S)；&&(3)(P∧(Q∨R))→((P∨Q)∧(R∧S))；&&(4)￢(P∨(Q→(R∧￢P)))→(R∨￢S)．
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1判断下列命题公式的类型．方法不限．&&(1)P→(P∨Q∨R)；&&(2)(P→￢P)→￢P；&&(3)(P→Q)→(￢Q→￢P)；&&(4)￢(P→Q)∧Q；&&(5)(￢P→Q)→(Q→￢P)；&&(6)(P∧￢P)Q；&&(7)(P→￢P)→((Q∧￢Q)∧￢R))；&&(8)(PQ)→￢(P∨Q)；&&(9)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)；&&(10)((P∨Q)→R)S．2用等值演算法证明下列等值式：3用等值演算法判断下列公式的类型：4已知真值函数F、G、H、R的真值如表1-15所示．分别给出用下列联结词集合中的联结词表示的与F、G、H、R等值的一个命题公式．&&表1-15PQFGHR000011010101101011110100
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求命题公式（P∧（Q→R））→S的析取范式
有步骤的，谢谢
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用P'表示非P,余者类推。（P∧（Q→R））→S=（P∧（Q→R））’∨S=P'∨(Q'∨R)'∨S=P'∨(Q∧R')∨S.
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第一章_命题逻辑1-4节.ppt 67页
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第一章_命题逻辑1-4节.ppt
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··········
··········
求公式F=(Q?(P?Q))?P的主范式并判定公式的类型.
求F的主析取范式 F? ? (Q?(?P?Q))?P ? ?Q ? (P??Q)?P
? (?Q?(P??P)) ?(P??Q)?(P?(Q??Q))
? （P??Q)?(?P??Q)?(P??Q)?(P?Q)?(P??Q)
? (P?Q)?(P??Q)?(?P??Q)
由此可知F是可满足公式。 (2)
求F的主合取范式 F ?（?Q?(P??Q))?P
? P??Q 由前分析和举例可知： 仅需求出公式F的任一种主范式即可判定F的类型。 练习
1．判断公式F=(?P∨?Q)→(P??Q)是否为重言式或矛盾式？ 解
F?? (?P∨?Q)∨((P→?Q)∧(?Q→P))
? (P∧Q)∨((?P∨?Q)∧(Q∨P))
E10,E6,E11
? (P∧Q)∨((?P∧(Q∨P))∨(?Q∧(Q∨P)))
? (P∧Q)∨(?P∧Q)∨(?P∧P)∨(?Q∧Q)∨(?Q∧P)
? (P∧Q)∨(?P∧Q)∨(?Q∧P)
F的主析取范式既非空公式，又未包含22=4个项，故F不是重言式和矛盾式，只是可满足式。 * 第三节
等值演算 几点说明：
这里的A、B、C代表任意的命题公式：
这里的1，0代表任意的重言式和矛盾式
命题公式之间的等值关系是等价关系：自反，对称，传递。
使用上述等值式，不用真值表法可推演出更多等值式来 练习
1-3 　1．判断下列等值式是否成立
（1）（P?Q）∧ （R ? Q）?（P∨R）? Q
（2）?（P?Q）?（P∧? Q）∨（?P∧Q） 2.
证明下列命题公式的等值关系
(P ? Q ) ? (? P ? ( ? P ? Q ) ) ? ?P ? Q 1.4???析取范式与合取范式
每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的因式分解可判断代数式根的情况。逻辑公式在等值演算下也有标准形--范式，范式有两种：析取范式和合取范式。
将命题变项及其否定统称为文字。仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式。仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。（举例） 一、 析取范式和合取范式
（1）简单合取式为永假式的充分必要条件是，它同时包含某个命题变元P及其否定?P。
（2）简单析取式为永真式的充分必要条件是，它同时包含某个命题变元P及其否定?P。
证明（2）必要性：假设A= A1*∨A2*∨…∨An*为一简单析取式，且A为一永真式。
假设A式中不同时包含任一命题变元及其否定，
则在A中，当Ai*为Ai时指派Ai取0，当Ai*为?Ai时，指派Ai取1。(i =1,2,…n).这样的一组真值指派使A的真值取0，这与A为永真式矛盾。
例如A=P1∨?P2∨P3.则(P1,P2,P3)=(0,1,0)的指派，使A的真值为0.
充分性：设A含命题变元Pi和?Pi，而Pi∨?Pi是永真式， 由结合律和零一律，A的真值必为1，故A也是永真式。
定义1.12 （1）由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。即具有A1∨A2∨…∨An(n≥1)的形式的公式，其中Ai是简单合取式。
　 例如，F1=P∨(P∧Q)∨R∨(?P∧?Q∧R)是一析取范式。
（2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。 即具有A1∧A2∧…∧An
(n≥1)的形式的公式，其中Ai是简单析取式。
　例如，F2=?P∧(P∨Q)∧R∧(P∨?Q∨R)是一合取范式。
F3=(?P∨R∨Q)∧(P∨Q)∧R∧(P∨?R)也是一合取范式。
二、求公式的析取范式和合取范式 　　任何一个命题公式都可以变换为与它等值的析取范式和合取范式(范式存在性定理)。按下列步骤进行： 　　（1）利用命题定律消去公式中的运算符“?”和“?”； 　
(2) 利用德?摩根定律将否定符号“?”向内深入，使之只作用于命题变元；
（3）利用双重否定律将? (?P)置换成P；
（4）利用分配律、结合律将公式归约为合取范式或析取范式。
求F1=(P∧(Q?R))?S的合取范式和析取范式
正在加载中，请稍后...命题公式￢(p∨q)→q的主合取范式是？ 最好有步骤 谢谢_百度知道
命题公式￢(p∨q)→q的主合取范式是？ 最好有步骤 谢谢
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等价于(pVq)V q
&=&m1Λm2Λm3(主合取范式)
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。从上节可看到命题公式的最小联结词组为{┓, ∨}或{┓, ∧},但实际上为了使用方便,命题公式常常同时包含{┓, ∨,∧}.我们从表1-4.8可以看到命题定律除对9外都是成对出现的,其不同的只是∨和∧互换.我们把这样的公式称作具有对偶规律. 定义1-7.1 在给定的命题公式中,将联结词∨换成∧,将∧换成∨,若有特殊变元f和t亦相互取代,所得公式a*称为a的对偶. 显然a也是a*的对偶式. 例题1 写出下列表达式的对偶式.(a) （p∨q）∧r(b)
（p∧q）∨t(c) ┓(p∨q)
∧（p∨┓(q∧┓s)） 解
这些表达式的对偶式是:(a) （p∧q）∨r(b) （p∨q）∧f(c)┓(p∧q)∨（p∧┓(q∨┓s)） 例题2 求p↑q,p↓q的对偶式 解
因为p↑qû┓(p∧q)，故p↑q的对偶式为┓（p∨q），即p↓q。同理p↓q的对偶式是p↑q。 定理1-7.1 设a和a*是对偶式，p1，p2，……，pn是出现在a和a*中的原子变元，则 ┓a（p1，p2，……，pn）û a*（┓p1，┓p2，……，┓pn）a（┓p1，┓p2，……，┓pn）û┓a*（p1，p2，……，pn） 证明
由德·摩根定律p∧qû┓(┓p∨┓q)，p∨qû┓(┓p∧┓q)故┓a（p1，p2，……，pn）û a*（┓p1，┓p2，……，┓pn）同理┓a*（┓p1，┓p2，……，┓pn）ûa（┓p1，┓p2，……，┓pn） 例题3 设a*（s，w，r）是┓s∧（┓w∨r），证明a*（┓s，┓w，┓r）û┓a（s，w，r） 证明&由于a*（s，w，r）是┓s∧（┓w∨r），则a*（┓s，┓w，┓r）是s∧（w∨┓r）。但 a（s，w，r）是┓s∨（┓w∧r），故┓a（s，w，r）是┓（┓s∨（┓w∧r）û s∧（w∨┓r）。所以
a*（┓s，┓w，┓r）û┓a（s，w，r） 定理1-7.2 设 p1，p2，……，pn是出现在公式a和b中的所有原子变元，如果aûb，则a*ûb*。证明 因为aûb，即a（p1，p2，……，pn）«b（p1，p2，……，pn）是一个重言式，故a（┓p1，┓p2，……，┓pn）«b（┓p1，┓p2，……，┓pn）也是一个重言式。即a（┓p1，┓p2，……，┓pn）ûb（┓p1，┓p2，……，┓pn） 由定理1-7.1得┓a*（p1，p2，……，pn）û ┓b*（p1，p2，……，pn）因此&a*ûb* 例题4如果a（p，q，r）是p↑（q∧┓（r↓p）），求它的对偶式a*（p，q，r）。并求它与a及a*等价，但又包含联结词“∧”“∨”及“┓”的公式。&&& 解&& 因a*（p，q，r）是p↑（q∧┓（r↓p））&&&&&&&& 故a*（p，q，r）是p↑（q∧┓（r↓p））&&&&&&&& 但p↑（q∧┓（r↓p））û┓（p∧（q∧（r∨p）））&&&&&&&& 所以p↓（q∨┓（r↑p））û┓（p∨（q∨（r∧p））） 从真值表和对偶律等可以简化或推证一些命题公式。同一命题公式可以有各种相互等价的表达形式，为了把命题公式规范化，下面讨论命题公式的范式问题。 定义1-7.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有型式：a1∧a2∧……∧an，（n&=1）其中a1,a2,……,an都是由命题变元或其否定所组成的析取式.例如(p∨┓q∨r)∧(┓p∨q) ∧┓q是一个合取范式. 定义1-7.3 一个命题公式称为析取范式,当且仅当它具有型式:a1∨a2∨……∨an，（n&=1）其中a1,a2,……,an都是由命题变元或其否定所组成的合取式.例如 ┓p∨（p∨q ）∨(p∧┓q∧r)是析取范式. 任何一个命题公式,求它的合取范式或析取范式,可以通过下面三个步骤进行:(1) 将公式中的联结词化归成∧, ∨及┓.(2) 利用德·摩根定律将否定符号┓直接移到各个命题变元之前.(3)
利用分配律,结合律将公式归约为合取范式或析取范式. 例题5 求(p∧(q→r))→s的合取范式.解&(p∧(q→r))→sû (p∧(┓q∨r))→s&&&&&& û┓(p∧(┓q∨r))→sû┓p∨(q∧┓r))
∨s&&&&&&
û（┓p∨s）∨(q∧┓r)&&&&&& û（┓p∨s∨q）∧（┓p∨s∨┓r） 例题6 求┓(p∨q)
« (p∧q)的析取范式.解&&
因为有公式（a«b）û（a∧b）（┓a∧┓b）&&
┓（p∨q）«（p∧q） û（┓（p∨q）∧（p∧q））∨（（p∨q）∧┓（p∧q））&&&&&&&&& û（┓p∧┓q∧p∧q）∨（p∨q）∧（┓p∨┓q）&&&&&&&&&û（┓p∧┓q∧p∧q）∨（p∨┓p）∧（q∨┓p）∨
（p∧┓q）∨（q∧┓q） 一个命题公式的合取范式或析取范式并不是唯一的。例如p∨（ q∧r）是一个析取范式，但它亦可以写成p∨（ q∧r）û（p∨ q）∧（p∨r）&&&&&&&&&&& û（p∧ p）∧（p∧r）∨ （q∧p）∨（q∧r） 为了使任意一个命题公式，化成唯一的等价命题的标准形式，下面介绍主范式的有关概念。 定义1-7.4n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。 例如，两个命题变元p和q，其小项为：p∧q，p∧┓q，┓p∧q，┓p∧┓q。 三个命题变元p，q，r其小项为：p∧q∧r，p∧q∧┓r，p∧┓q∧r，p∧┓q∧┓r，┓p∧q∧r，┓p∧q∧┓r ，┓p∧┓q∧r，┓p∧┓q∧┓r。 一般说来，n个命题变元共有2n个小项。 表7-7.1列出两个变元p和q及其小项的真值表。 从这个真值表中可以看到，没有两个小项是等价的，且每个小项都只对应p和q的一组真值指派，使得该小项的真值为t。 这个结论可以推广到三个以上的变元情况，并且由此可以作表1-7.1
p∧┓q
┓p∧q
┓p∧┓q
t & 表1-7.2
┓p∧┓q∧┓r
┓p∧┓q∧r
┓p∧q∧┓r
┓p∧q∧r
p∧┓q∧┓r
p∧┓q∧r
p∧q∧┓r
p∧q∧r
1 m000=┓p∧┓q∧┓r&&&&&
m100=p∧┓q∧┓rm001=┓p∧┓q∧r&&&&&&&
m101=p∧┓q∧rm010=┓p∧q∧┓r&&&&&&&
m110=p∧q∧┓rm011=┓p∧q∧r&&&&&&&&&&& m011=p∧q∧r 出一种编码，使n个变元的小项可以很快地写出来。现按三个变元为例说明如下。 设p，q，r为三个命题变元，其真值t和f分别记为和，则小项的真值表如表1-7.2所示。 小项有如下几个性质：(1) 每一个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为t，在其余2n-1种指派情况下均为f。(2) 任意两个不同小项的合取式永假。例如&&&&
m001∧m100=（┓p∧┓q∧r）∧（p∧┓q∧┓r）&&&&&&&&&& û ┓p∧p∧┓q∧r∧┓r ûf(3) 全体小项的析取式永为真，记为：2n-1∑mi
=m0∨ m1∨
m2∨…∨ m2n-1
ûti=0 定义1-7.5 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称作原式的主析取范式。 一个公式的主析取范式可用构成真值表的方法予以写出。 定理1-7.3 在真值表中，一个公式的真值为t的指派所对应的小项的析取，即为此公式的主析取范式。证明&& 设给定公式为a，其真值为t的指派所对应的小项为m1’，m2’，…… mk’，这些小项的析取式记为b，为&& 此要证aûb，即要证a与b在相应指派下具有相同真值。&&& 首先对a为t的某一指派，其对应的小项为mi’，则因为mi’为t，而m1‘，m2’，…… mi-1‘，mi+1‘……，mk‘均为f，故b为t。&&& 其次，对a为f的某一指派，其对应的小项不包含在b中，即m1‘，m2’，…… mk‘均为f，故b为f。因此a
ûb。 例题6 给定p→q，p∨q和┓（p∧q），求这些公式的主析取范式。解&& 三公式的真值表如表1-7.3所示。故&&&&&&& p→q
û（┓p∧\┓q）∨（┓p∧q）∨（p∧q）&&&&&&&
p∨q û（┓p∧q）∨（p∧┓q）∨（p∧q）&&& ┓（p∧q） û（┓p∧┓q）∨（┓p∧q）∨（p∧┓q） 表1-7.3
┓（p∧q）
t 例题7 设一公式a的真值表如表1-7.4所示。 表1-7.4
t 求公式a 的主析取范式。解&& 公式a的主析取范式为：&&& a û（ p∧q∧r）∨（p∧┓q∧┓r）∨（┓p∧┓q∧┓r）&& 除了用真值表方法外，也可利用等价公式构成主析取范式。 例题8&求（p∧q） ∨（┓p∧r）∨（q∧r）的主析取范式。解&& 原式û（ p∧q∧（r∧┓r））∨（┓p∧r∧（q∨┓q））∨（q∧r∧（p∨┓p））&&&&&&&& û（ p∧q∧r）∨（p∧q∧┓r）∨（┓p∧q∧r）∨（┓p∧q∧r） 例题9&试求p→（（p→q）∧┓（┓q∨┓p））的主析取范式。解&& p→（（p→q）∧┓（┓q∨┓p））&&&&&
û┓p∨（（┓p∨q）∧（p∧q）&&&&& û┓p∨（（┓p∧q∧p）∨（q∧q∧p））&&&&&
û┓p∨（（┓p∧q∧p）∨（q∧p）&&&&& û┓p∨（q∧p）&&&&& û（┓p∧（q∨┓q））∨（q∧p）&&&&& û（┓p∨q）∨（┓p∨┓q）∨（p∧q） 由上述各例我们看到，一个命题公式的主析取范式，可由两种方法构成。一是由公式的真值表得出，另一是由基本等价公式推出。其推演步骤可归纳为：&& （1）化归为析取范式。&& （2）除去析取范式中所有永假的析取项。&& （3）将析取式中重复出现的合取项和相同的变元合并。&& （4）对合取项补入没有出项的命题变元，即添加（p∨┓p）式，然后，应用分配律展开公式。&&
对于一个命题公式的主析取范式，如将其命题变元的个数及出现次序固定后，则此公式的主析取范式便是唯一的，因此，给定任两个公式，由主析取范式可以方便地看出两个公式是否等价。 与主析取范式类似的是主合取范式。 定义1-7。6
n个明天变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与他的否定不能同时出现，但两者必须出现且仅出现一次。例如：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
p∨q，p∨┓q，┓p∨q，┓p∨┓q&又如&&&&&&&&&&&&&
p∨q∨r， p∨q∨┓r，…
┓p∨┓q∨┓r每个大项可用n位二进制予以编码：若n=2&&&&&&&&& m00=p∨q&&&&&&&
m01=p∨┓q&&&&&&&&& m10=┓p∨q&&&&
m11=┓p∨┓q
若n=3&&&&&&&&&
m000= p∨q∨r，&&&&
m100= ┓p∨q∨r &&&&&&&&& m001= p∨q∨ ┓r，&m101= ┓p∨q∨ ┓r&&&&&&&&& m010= p∨┓q∨r，&& m110=┓
p∨┓q∨r&&&&&&&&& m011= p∨┓q∨┓r，
m111=┓ p∨┓q∨┓r 大项有如下性质：（1）每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为f，在其余2n-1种真值指派情况下均为t。（2）任意两个不同大项的析取式永真。　　　　ｍｉ∨ｍｊût&& (i ≠ j) （3）全体大项的合取式永为假。 记为：　　　2n-1 　　　ii mi =m0∧m1∧…∧m 2n-1
　　f　　　i=0定义1-7.7 对于给定的命题公式a，如果有一个等价公式a’，它仅由大项的合取所组成，则称a’为a的主合取范式（majorconjunctivenormalform）。一个公式主合取范式可以构成真值表的方法写出。定理1-7.4在真值表中，一个公式的真值为f的指派所对应的大项的合取，即为次公式的主合取范式。证法与定理1-7.3相同。 例题10 利用真值表技术求（p∧q）∨（┓p∧r）的主合取范式与主析取范式。解&&& 公式 （p∧q）∨（┓p∧r）的真值表如表1-7.5所示。 表1-7.5
┓p∧r
（p∧q）∨┓p∧r）
f &&&& 故主合取范式为：（p∧q）∨（┓p∧r）û（┓p∨q∨┓r）∧（┓p∨q∨r）∧（p∨┓q∨r）∧（p∨q∨r） 主析取范式为：（p∧q）∨（┓p∧r）û（p∨q∨r）∨（p∨q∨┓r）∨（┓p∨q∨r）∨（┓p∨┓q∨r） 一个公式的主合取范式，亦可用基本等价式推出，其推演步骤为：（1）化归为合取范式。（2）除去合取范式中所有永真的合取项。（3）将合取式中重复出现的析取项和相同的变元合并。（4） 对析取项补入没有出现的命题变元，即添加（p ∧┐ p）式，然后，应用分配律展开公式。
例题11 化（p∧q）∨（┓p∧r）为主合取范式。解 （p∧q）∨（┓p∧r）û（p∧q）∨┓p）∧(（p∧q）∨r)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
û（p∧┐p）∨（┓p∧r）∧(（p∧q）∨r)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& û（q∨┓p）∧（p∨r）∧（q∨r）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
û（q∨┓p）∨（ｒ∧┓r））∧（p∨ｒ∨（ｑ∧┓q））∧（ｑ∨ｒ∨（ｐ∧┓p））&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
û（q∨┓p∨ｒ）∧（q∨
┓p∨┓r）∧（p∨r∨q）∧（p∨r∨┓q）∧（q∨r∨ｐ）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 　　　&∧（ｑ∨ｒ∨┓ｐ）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
û（┓ｐ∨ｑ∨ｒ）∧（┓p∨ｑ∨ｒ）∧（p∨┓q∨ｒ）∧（ｐ∨ｑ∨ｒ） 为了使主析取范式和主合去范式表达简洁，我们今后用∑i，j，k，既表示mi∨mj∨mk；用ii表示大项的合取，iii，j，k表示mi∧mj∧mk，由这样的约定，例题10可以表达为：&&&&&&&&&&&&&
（p∧q）∨（┓p∧r）&=&m001∨m011∨m110∨m111=∑1，3，6，7&&&&&&&&&&&&& （p∧q）∨（┓p∧r）&=&m000∧m010∧m100∧m101=ii0，2，4，5&&&& 可以证明，如果命题公式p的主析取范式为：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∑i1，i2，ik&&&& 则p的主合取范式为：&&&&&&&&&&&&&&&&&& ii0，1，2，…，i1-1，i1+1，…，ik-1，ik+1，…，2n-1
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