武汉大学2003数学分析考试试卷_百度文库
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武汉大学2003数学分析考试试卷
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下载须知 | 常见问题汇总
华南师范大学数学分析考研题目
华南师范大学2004年招收硕士研究生入学考试试题考试科目数学分析与高等代数使用专业数学基础、应用数学、计算数学运筹控制学与教学论，课程与教学论（数学）1、（12分）设，证明数列严格单调增加且收敛。1NNA??,2?NA证明令，，XF0?1L,1XF????令，，则21LN,0GXG??????0GX????，严格单调增加，故严格单调增加，0F??F1NNA21NNA???，211N???????3?由单调有界原理收敛。NA2、（12分）求函数21,00SIXXF??????的导函数，并讨论导函数的连续性。，210SINLMXF???，12,00COSI,XXXF?????????不存在，故导函数在处不连续。120CSINLIXX??0X?3、（12分）求幂级数的收敛半径和收敛域。212NXN??????????，收敛半径为，当，级数为_21LIM3NN????????3?13??分散，131NN????????发散，212133NNN?????????????，级数为发散，2XNNNNN?????????????????????4（12分）求函数1,0,XXF????????的FORIER级数，并由此求数项级数的和。0COSINCOSLIM3XX??5、（12分）设在上连续，在内可导，FX??,AB??,AB??0AB?FB?证明存在使得???数学分析部分（75分）一计算题（每小题8分）1、求30COSINLMXX??2、求ED??3、,0,20LIXYXY??4、求其中，取逆时针方向24LDY??21,01LXYR?????二证明题（每小题9分）1、明对；,,ABR??21ABBE??2、设，证明LIM0XN???LIM012AANNX?????3、设在上连续，，证明内取得F,101LILIMXXFF????0,1FX在最大值。证明取，因为，存在0,X?01LILIXXFF???，当时，；同理存在0,??,??0FX?，当时，；又在MA{,}1X??????FF连续，所以在中可取得最大值，又,1?FX,1X，所以，于是有0,1X????10FXF?当，，当，，当,??,X??01FXFX??，，故综合当，，X01FXF?,即是在上得最大值。1F,三讨论题（每小题8分）1、讨论级数的敛散性。N???????解?????????546N??????????56N???????，N???????而等价于，所以，即13221N??132N13221NN???????，546N???????????因此级数发散。N???????2、讨论的敛散性（包含条件收敛）。0,,???0SINXD?????解先讨论，的敛散性，该级数既是无穷区间的广义0SIX0,?的，又有瑕点，所以，?1010SINSINSINXXXDDD???????????对级数；当时，由迪雷克雷判别法，收敛；1SINXD?????1SIX??当时，收敛，即绝对收敛；?11SIXDX??????1SINXD????当时，，而0?211111SINSINCOS2COS22XXDXDXX????????????????收敛，发散，即发散；1COS2XD????12D????1SINDX????因此对级数，当时条件收敛，当时绝对收敛；1SINXD????01??1??对级数级数是正项积分，，而当10SIN,XD??10SINXD??10SINLM/X???时，收敛，时，发散；所以有当2?10X??2?10D???时，收敛，时，发散；110SIND??10SINX?综合得当时条件收敛；当时，绝对收敛；当0SINXD?????2?时，发散。2?因为，所以当时条件收敛；100SISINYXD????????????10?????当时，绝对收敛；当时，发散。12???2?华南师范大学2003年招收研究生入学考试试题考试科目数学分析与高等代数使用专业数学基础、应用数学运筹控制学与教学论数学分析6题，高等代数5题，各占75分，共150分一（12分）求极限??1132LIMNX????????二（12分）设，求积分??,,DYY??三（12分）证明在上一致收敛（其中，）；31NX??????,AB0AB??在上不一致收敛；并证明函数在上0,31NXS????,连续四（12分）求第二型曲线积分，其中2133LYDX?A21LY?取逆时针方向五（12分）是上的连续函数。求证如果和FX,A??LIMXAF??LIXF??都存在（有限），那么在上一致连续FX,A??问逆命题是否成立如果成立，请证明之；否则，请举反例六（15分）设关于一致收敛，而且，对于每个固定的,AFYD?????,C?，关于在单调减少。求证??,YC?X?A?当时，函数和关于一致的收敛于0X?,FY,FX??,YCD
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a.& ∑(x n－x n-1)这个级数的一致收敛性有点意思。它在(0，1)这个开区间上不一致收敛，但若任意给一个正数r&1，则在[0，r]这个闭区间上却一致收敛。听上去不是一般地绕。当然判断级数的一致收敛性可以方便地用weierstrass定理（我觉得这个定理证明一个级数是一致收敛的还好用，若证不是一致收敛的就有点难了），不过我这里说的是根据定义去如何理解。
b. &先看看一致收敛的定义：设有函数项级数∑un (x)。如果对于任意给定的正数ε，都存在着一个只依赖于ε的自然数N，使得当n&N时，对区间I上的一切x，都有不等式
| rn (x) |=| s(x)－sn (x) | & ε
成立，则称函数项级数∑un (x)在区间I上一致收敛于和s(x)，也称函数序列{ sn (x) }在区间I上一致收敛于s(x)。呼，还好，还好….
c.& 明白了，原来判断其是否一致收敛就是要看其余项的绝对值，拿∑(x n－x n-1)来试试：&&&&&&&&&
&∵s(x)=limsn (x)=lim(x n)=0&&& (n趋于无穷大)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&∴| rn (x) |=| s(x)－sn (x) |= x n
&这个值是不满足定义的，也就是说当我任给一个ε时，其对应一个N，但当n&N时，并非对区间上一切x都有不等式成立，再具体说就是在区间I上，总有不满足不等式的点存在。比如我现在取一个点x=a在区间内，即令0&a&1，那么显然0&a1/ n&1也在区间内，因此x= a1/ n 也属于区间内的点，也该接受检验。好了，现在我假设这个级数是一致收敛的，那么我取一个ε& a/2（ε可以任意取嘛），这很容易取到。按照定义，应该会有一个对应的N使得当n&N时，一切x都满足x n &ε& a/2，可是很显然，x= a1/ n 这个点就不满足这个条件，因此这个假设是错误的。
d.& 刚刚搞清这个，现在却要面对一个更让人匪夷所思的结论：这个级数虽然在（0，1）内不一致收敛，但如果任意给一个正数r&1，则在[0，r]这个闭区间上却一致收敛。这是什么意思？倘若我用刚才的思路如法炮制，在[0，r]内也找一个不满足条件的点不就使这个结论崩溃了吗？好吧，让我们再来演一遍：我取一点x=a在[0，r]区间内，那么x= a1/ n也应在区间[0，r] 内，那么x= a1/ n需要接受检验。现在我取一个ε& a/2，同样地，应该会有一个对应的N使得当n&N时，一切x都满足x n &ε& a/2，可是x= a1/ n 这个点不满足这个条件，所以在[0，r]内该级数不是一致收敛的，这样结论就错了。
e.& 如果各位对真理怀有一点敬畏的话，就不会胡乱怀疑前人总结出来的经典定理。事实上结论没有错，错的是上面那个推导，是推理过程发生了偏差。可是推理是仿效上面的正确推理，一切都按部就班，究竟错在哪里呢？我们来看一下：大家可以注意一下那行黑体字，实际上这个判断是没有根据的，x= a在[0，r]区间内，并不等于说x= a1/ n一定也在区间[0，r] 内。正确的情况是：可能在其内也可能不在其内，比如令r=0.8,a=0.04,当n=2时，a1/ n =0.2，在0.8内，但如果令r=0.1,就不在其内了（r可以是任意取的）据此，就不能以此作为判断依据。事实上，我猜想，如果最终结论是正确的话，那么x= a1/ n应该是在区间[0，r] 之外的。虽然现在我已经不知道这到底意味着什么（太抽象了），不过我可以运用逻辑作如下证明：
&----------------------------------------------------------------------------
&&&&&命题：已知任意给一个正数r&1，在[0，r]这个闭区间上级数∑(x n－x n-1)一致收敛，即对于[0，r]内任意一点x都使得x n &ε成立，那么对于其内一点a（0 & a & r ）, a1/ n 在[0，r]之外。
&&&&&&证明：运用反证法。
&&&&&假设0 & a1/ n & r 。取一个ε使得ε& a & r ，那么在[0，r]内对于任意x都有
&&&&&x n &ε
&&&&&做x n 的导数
&&&&&(x n)’ = nx n-1&&= 0
&&&&&因此该函数在[0，r]内单调递增，从而MAX{x n} = r n，
&&&&&因此有
&&&&&r n&&ε
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&=&&& r n&&ε& a
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&=&&& r& a1/ n
&&&&&&&&&&&&这与假设矛盾，故假设错误。a1/ n & r , 即 a1/ n 在[0，r]之外。证毕。^_^！
&----------------------------------------------------------------------------
f.& 这个级数之所以这么特殊，是因为余项的形态和所选区间之故，因为余项为x n 而区间为（0，1），这就导致当x趋于1时无论n为多少余项必然会趋于1，因此x无限接近于1时，x n&也必然无限接近于1，这样就不满足接近于0（ε充分小）的条件了。这也就比较好形象地理解它为什么不是一致收敛了，对于一致收敛的级数，每一个区间内的点最终都会同时到达终点，但对于非一致收敛函数（像今天讨论的这个例子），虽然可以保证每一个区间内的点最终都会到达终点，但却不可能有同时全部都到达终点的情况，再详细点说，就是当你期待的那些非常远的点终于到达终点时，后面仍然总是有很多点还离终点尚早，然而它们也正朝终点赶来，最终它们也会到达终点，可是它们之后，还是会有前仆后继的点朝终点赶来。。。。。。今天的这个例子也有一个名字，叫“逐点收敛”。而“一致收敛”还有另外一个名字，叫“均匀收敛”。有关逐点收敛和均匀收敛更多的知识，可以查阅维基百科。
下面是我用flash as2 做出的y= x n 的曲线图，x取在（0，1）内，n分别取到1,2,3,10,20,30（n越大耗费的功夫越久，为了让这些曲线同时出现，机子问了我是否继续不下5遍…….）。
g.& 我最近的感触，关于数学的，我发现这玩意越往下看越不能以常识和直观形象思维去理解，而是建立在一套抽象的，正确的逻辑上而进一步合理、仍然抽象地推理，以至于后面的定理我们根本不知道他在说什么，因为抽象的关系，我们能知道这个定理是正确而且有用的，但是我们的确不知道他在说什么。。。生于Code，死于Bug
函数列的一致收敛性
设fn(x)=(1+xn)n,n=1,2,3…研究{fn(x)}在[0,σ](σ&0)上的一致收敛性。
Clear[x,n];
f[x_,n_]:= (1+x/n)^n;
Animate[Plot[{f[x,n],E^x},{x,-3,3},PlotRange-&{-3,10},PlotLegends-&{f[x],e^x}],{n,1,50},AnimationRunning-&False]
Export["f.gif",Table[Plot[{f[x,n],E^x},{x,-2,3},PlotRange-&{-3,10},PlotLegends-&Placed[{f[x],e^x},Above]],{n,1,50}]]
通过放缩，利用定义即可证明。
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２０ ０ ７年 ９月　 第３ 期　
连 云港 师 范高 等专科 学校 学 报　 Ｊ ｕ ａ ｏ　 ｉｎ ｕ ｇｎ 　 ｅ ｃ ｅｓＣ ｌ ｇ　 ｏ ｒ ｌ ｆ ａ ｙ ｎ ａ ｇＴ ａ ｈ ｒ　 ｏｌ ｅ ｎ 　 Ｌ ｅ
Ｓ ｐ ，０ ７ ｅ ｔ２ ０ 　 Ｎｏ． 　 ３
文章编号 ：０９ ７０ ￣０ ）３ ０５— ４ １０ —７４ （ ７ ０ —０８ ０ 　
类分 式 函数 列一 致 收 敛 性 的研 究 ※ 　 刘秀梅　 （ 连云港师范高等专科学校 数学 系 ， 江苏 连云港 ２２０ ） ２０ ６　
要： 分式 函数列是指在分子 、 分母 中带有 ｔ及　的表达式的 函数 列 ． 用函数列 的一致收 敛的充要条件 ， ／ ， 利 可　
以对此类 函数列 的一致收敛性进行判 别． 利用几何画板软件作 图， ＂Ｚ 助我们进一 步掌握 此类函数列 的一致收敛　 － ｒ帮 ｑ ＊： 性的性 态． 　
关 键 词 ： 式 函数 列 ； 致 收 敛 ； 何 画板 　 分 一 几
中图分类号 ： １３ ０ ７　
文献标识码 ： 　 Ａ
分 式 函数 列是 指 在 分子 、 母 中带 有 ｎ及　 的　 分
上一 致 收敛 于 ０　 ．
表达式的函数列 ， 不同的分式函数列 ， 其一致收敛性　 也不同． 利用 函数列的一致收敛的充要条件 ， 我们可　 以对 此类 函数 列 的 一致 收敛 性 进 行 判别 ， 时利 用　 同
对 任 意 的　 ∈ （ 一∞ ， ＋∞）极 限 函数　 ，
） ｌ　（ － ＿ ｉ 　） ａ ｒ
ｎ　 — ’ ∞ …
ｎ南 ｒ 　 ， ｌ１ Ｌ ０ — －　 　 ｉｔ ’　 ｍ－ ∞ …
几何画板软件作图 ， 可以帮助我们进一步掌握此类　 函数 列 的一致 收敛 性 的性 态 ． 　 １ 函数 列一致 收敛 的定 义和 判别　 　
＝± ， 　 　
函数 列在 （ 一∞， ＋∞） ， 上 有　 ｓｐ ｌ （ 一 ｕ 　 　 　） 　 ＝ 　
定义： 函数列 ｛ ｝ 函数定义在 同一数集 Ｄ 设 　 与 　 上， 若对任给的正数 ｅ 总存在某一正整数 Ⅳ， ， 使得　 当ｎ ＞Ｎ时， 对一切　∈Ｄ， 都有 １ （ 一 （ ｌ ， 　） ｆ 　） ＜ｅ　 ．　
） ＝ ｎｘ Ｉ　 ｌ　 ａ
（ 　 　）
（ 　 ） 　 — １ ｎ ∞）　 ± ＝ ’（一 Ｄ ，
则称 函数列 ｛ ｝ Ｄ上一致收敛于 厂 在 ． 　 ．　 ．
所 ，数 　（ ＝ 以函 列 　 南 ） 上一致收敛于 ０ ． 　 例 ２ 证明函数列　 （ 　 　） 上一致收敛于 ０　 ．
在 一 ，∞ （∞ ＋ ） 　 ｘ 在（ 　 一∞， ＋∞） 　
函数列一致收敛的判别方法 ： 　 （）柯西 准则 ） １（ 函数 列 ｛ ｝ 在数 集 Ｄ 上 一 致 收　 ．　
敛的充要条件是 ： 对任给的正数 ｅ 总存在正数 Ⅳ， ， 　 使得当 ｎ ｍ＞Ｎ时， ， 对一切　∈Ｄ， 都有　 ｌ （ 一， （ ｌ ． 　 　） － 　） ＜ｅ　 　
对 任 意 的　 ∈（ 一∞， ∞）极 限 函数　 － ４ ，
（）充要条件） ２（ 函数列 ｛ ｝ 区间 Ｄ上一致 收　 　 在 敛于　的充要条件是 ： Ｓｌｆ （ 一 ） ＝ 　 ｌ Ｕ ｌ 　） 　 　 ￣． ｌ０ ． ＿
） ｉａ（ ） ｉ ＝ｌ 　 ＝ｌ 　÷１ ＝