微分方程的通解公式...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-08-19 13:49 标签： 微分方程的通解
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　　　　论文关键词：教学研究　双语教学　微分方程
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线性微分方程
简单来讲，线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为。
线性微分方程定义
：在中,仅含的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。
：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。
如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。
线性微分方程表达式
线性微分方程的一般形式是：
其中D是d/dx（也就是Dy = y'，D2y = y&，……），
是给定的函数。这个微分方程是n阶的，因为方程中含有y的n阶，而不含n+1阶导数。
如果? = 0，那么方程便称为齐次线性微分方程，它的解称为补函数。这是一种很重要的方程，因为在解时，把对应的齐次方程的补函数加上非齐次方程本身的一个特解，便可以得到非齐次方程的另外一个解。如果是常数，那么方程便称为常系数线性微分方程。
同济大学数学系．高等数学第六版．上海：高等教育出版社，2007
宋国华，崔景安．高等数学第二版上册：石油工业出版社，2013
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同济大学数学科学学院
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3秒自动关闭窗口《常微分方程的基本概念》及注意事项小结与课件节选
常微分方程：含有一元未知函数y(x)导数或微分的等式称为常微分方程．
微分方程的阶：在微分方程中，未知函数导数的最高阶数.
一般的n阶微分方程的形式（也称隐式表达式）为
微分方程的解：函数y=y(x)在区间I上连续，且有直到n阶的导数，将函数及各阶导数代入(*)，有
微分方程的通解：n阶微分方程（*）的包含n个相互独立的任意常数C1,C2,…,Cn的解：
包含有与微分方程阶数相同个数任意常数的解为通解的判定：雅可比行列式不恒等于0，即
直观地讲，n个任意常数相互独立就是不能用少于n个常数等价描述n个常数.
微分方程的特解：不包含任意常数的解．
初值问题(柯西问题)：微分方程加上定解条件构成的问题：
积分曲线：微分方程的特解对应的曲线为相应初值问题的积分曲线。若不给定初始条件，微分方程的通解在几何上对应一簇积分曲线．
【注1】：有些初值问题的解可能不止一个，也即解不是惟一的．
【注2】：许多实际问题中的微分方程模型，一般不能够求出精确解（解析解），即微分方程不一定存在有通解．
【注3】：对于包含有个数少于微分方程阶数的任意常数的微分方程的解既不是通解，也不是特解，对应着微分方程的一组解。
【注4】：通解不一定包含微分方程的所有解.
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