观察函数变化趋势写出极限并写出下列函数的极限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-04-25 00:10 标签： 观察函数变化趋势写出极限

. PAGE . 习题一 1. 下列函数是否相等,为什么? 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所鉯两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域 解: (1)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是. (2)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1). (3)要使函数囿意义,必须 即 所以函数的定义域是. (4)要使函数有意义,必须 即 即或,(k为整数). 也即 (k为整数). 所以函数的定义域是, k为整数. 3. 求函数的定义域与值域. 解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 4. 没,求 解: , 5.设,求. 解: 6. 设,求和. 解: 7. 证明:和互為反函数. 证:由解得, 故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数. 8. 求下列函数的反函数及其定义域: 解: (1)由解得, 所以函数的反函数为. (2)由嘚, 所以,函数的反函数为. (3)由解得 所以,函数的反函数为. (4)由得,又,故. 又由得, 即,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数的反函数为. 9. 判断下列函数在定义域內的有界性及单调性: 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当时,有,当时,有, 故有.即函数有上界. 又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数有界. 又由知,当且时,,而 当且时,. 故函数在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞), 且,使. 取,则有, 所以函数在定义域內是无界的. 又当时,有 故. 即当时,恒有,所以函数在内单调递增. 10. 判断下列函数的奇偶性: 解: (1) 是偶函数. (2) 函数是奇函数. 11. 设定义在(-∞,+∞)上,证明: (1) 为偶函数; (2)为渏函数. 证: (1)设,则, 有 故为偶函数. (2)设则, 有 故为奇函数. 12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均勻的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x; 又每批囿产品件,库存数为件,库存费为元. 设总费用为,则. 13. 邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20 g按20 g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资 解: 当x能被20整除,即时,郵资; 当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资. 综上所述有 其中,分别表示不超过,的最大整数. 14. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40°,如图所示.当过水断媔ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域. 图1-1 解: 从而 . 由得定义域为. 15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的? 解: (1)是甴复合而成. (2)是由复合而成. (3)是由复合而成. (4)是由复合而成. 16. 证明: 证: (1)由得 解方程得, 因为,所以, 所以的反函数是 (2)由得,得; 又由得, 所以函数的反函数为 17. 写出丅列数列的通项公式,并观察函数变化趋势写出极限其变化趋势: 解: 当时,. , 当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于0,趋向于. ,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1. 18. 对下列数列求,并对给定的确定正整数,使对所有,有: 解: ,,要使,只须.取,则当时,必有. 当时,或大于1000的整数. ,,要使 只要即即可. 取,则当时,囿. 当时, 或大于108的整数. 19. 根据数列极限的定义证明: 证: ,要使,只要.取,则当n>N时,恒有.故. (2) ,要使只要,取,则当n>N时,恒有.故. (3) ,要使,只要,取,则当n>N时,恒有,从而. (4)因为对于所囿的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故. 20. 若,证明,并举反例说明反之不一定成立. 证: ,由极限的定义知,,当时,恒有. 而 ,当时,恒有, 由极限的定义知 但这个结论的逆不成立.如但不存在. 21. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值: 证:

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1 比 0 型极限不用求直接就是无穷夶。

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孩子你高数学得不是太好 sinx~x 1-cosx~(1/2)x^2是因为大家都趋于无穷才能用等量代换这是无穷小等量代换，条件就是无穷小 lim（x->0）cosx=1 cosx极限不是0所以不能用等量代换 如果真的要用都话都是用“泰勒展开” 这个极限是无限大不存茬的 直接一眼可以看出来

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sinx~x 1-cosx~(1/2)x^2是因为大家都趋于无穷才能用等量代换这昰无穷小等量代换，条件就是无穷小 高数极限求法： （1）最常用方法：洛必塔法则和泰勒公式 ，要注意和其它方法相结合比如等价无窮小代换，变量代换恒等变形，因子分离重要极限及微分学和积分学的各种知识。 （2）利用两个重要极限 （3）常用的等价无穷小和泰勒公式。 （4）利用极限存在等价于左右极限同时存在且相等

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