求教英语中and的连接意思?

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这几天,不断有朋友留言,希望我可以继续分享英语口语、写作方面的经验。

在这里,首先,要真诚感谢大家的信任。

这一个月呢,手头工作较多,十一月又将参加国家心理咨询师二级考试,所以,以上两个方面的分享,忙完后,会陆续认真更新。

今天结合自己的体会,想分享两点不花时间就能学到英文的懒人方法。

我们无数次听人说,要不断运用所学到的英语,否则,学它根本就没有任何意义。

然而,如果没有生活在国外,也不是从事英语相关工作,且每天日程满满,想要学习、练习英语,有时候,真是力不从心。

那么,对于这类朋友,学英语,是不是就真变成了痴人说梦、天方夜谭了呢?

你可以有意识地为自己营造一个英语环境,不在国外,似在国外;没在专门学英文,却又在潜移默化中学到了英文。

两点经验,分享给大家:

第一,将内心独白换成英语,培养英语思维;

第二,培养“耳朵虫”,令英语“背景音乐化”。

因为自己一直在实践,很有效果,所以才想写出来,盼朋友们也可一试。

将手机语言也可以改为英文

01 用英语与自己对话,培养英语思维


用英文思维,是许多英语学习者都希望达到的一种境界,因为这是用英语流畅地表达思想的基础。

对于我们中国学习者来说,要做到部分或全部用英文来思考,是有一定的难度的,但我们一定要尽力而为,相信,最终是能培养起来的。

多听多读等方法,都可以帮助我们有效形成英语思维,但今天,我想分享的是,通过用英语思考、用英语与自己对话去培养英文思维。

心理学家研究表明,人的大脑中,每天都会有6到9万个念头和想法,我们完全可以用英文与自己进行这6到9万次的对话。

在这里,先说一个故事。

念高中时,我们住集体宿舍。有一个室友特别爱说梦话。说梦话也就罢了,她每次说梦话,说的还都是英语。

我们十分困惑。向她告状,她就反问,“怎么可能?那你们倒是说说,我都说了什么?”

可,她说英语的语速超快,我们几个姑娘实在复述不出来。

这个室友是我们文科实验班的第一名,当年以湖南省文科状元的身份,考进了北大元培班,目前,在哈佛大学攻读博士学位。

后来,有一次同学聚会,席间,聊起当年她用英语说梦话的事儿,她才大方地承认,其实,那可能和她白天总是用英语思考,与自己对话有关。

上高中那会,她不好意思承认,是因为害怕被别人看成变态呢。

现在回头看,这位室友当年羞于承认的东西,却证明是一种极佳的英文学习方法。

一个很重要的技巧,就是将自己内心的独白,换成英文。

人的大脑是十分活跃的,我们的内心,无时无刻不在流动着各种各样的想法,这些想法的产生,其实,也就是你与自我进行的无声对话。

尝试着将这些对话用英文进行。

如果碰到不会的单词,互联网如此发达,可以在手机上下载一个有道词典,打开,输入一下,立马就知道英文表达了。

就如今早,去地铁站,一路闻到浓郁的桂花香,我就在心里头念叨,“桂花的香味儿,可真是浓啊”,桂花一词儿,说实在话,我真不懂它的英文表达。

将自己的内心独白转化成英文,是一个非常有效的方法,许多多语言学习者都使用过。

当然,刚开始会很难,但如果能够下功夫,经常练习,慢慢的,英文思维能力,就自然会提高了,并最终形成了。

其实,采用英文思考,无异于用英文说话。

我自己也正走在培训英文思维的路上,与您共勉。

02 培养耳朵虫,沉浸全英文环境


学习一门语言,最快的方式,自然是去目标语国家生活。一年半载后,不知不觉就掌握了它。

为何?因为有了语言环境,听得多了,语音、语调、词汇日渐内化,自然慢慢就会说了。

但大多数人,可能并没有机会去英语国家生活或工作。

那,能否想到办法,为自己营造一个全英文的语言场,让浸润其中,恍如置身国外呢。

答案是肯定的:培养耳朵虫,令英语背景音乐化。

什么是“耳朵虫”?耳朵虫,不是指耳朵里的虫子,而是一种心理现象。

最初,它是指人对某些节奏感超强的音乐的感受,听得久了,那些歌曲或音乐作品的某个片断,会不由自主地反复在人脑子里出现的情况,甚至不自觉就会哼出来或者脱口而出唱出来,也即,“萦绕在心头的旋律”,或“不由自主的音乐想象”。

比如《最炫民族风》里的那句“你是天边最美的云彩”。

谈英语学习中培养“耳朵虫”的重要性,意义在于,我们完全可以将促使耳朵虫产生的音乐片段换成英语材料,英文歌也好,英文电影片段也行。

长期浸润在一段英文材料里,反复听,最终,这段英语就能成为一种耳朵虫,它的语音语调形成了某种旋律,你可以脱口而出。

在这里,不是要你去抛开一切,专门花时间,去认真听,而是只要将“英语背景音乐化”。

在《我自己如何学习英文》一文,我也稍微提及过这种方法。

其实,“英语背景音乐化”,是我自己coin(生造)的一个词儿,也就是,随时随地去播放英语材料,开车的路上,地铁上,散步时,拖地板时,甚至躺在床上,你都可以去营造英文环境。

你不一定非得花心思认真听,或去并听懂什么意思,播放着就好了,让英语流动着,就好了。

这样做的好处,就在于为自己营造一个“英语环境”。我们不是都抱怨学习语言没有环境嘛,自己创造啊。

浸泡在一段英文材料中的时间长了,慢慢的,材料的语音语调就会形成大脑中的“耳朵虫”,进而内化成你自己的语音语调。

不过,要强调一点,要形成“耳朵虫”,建议在一段时间内,就只听相同的某个材料。

我喜欢美音,练习过一段时间的美式发音。听了好几年《老友记》了,第一年那会,不管是在图书馆、在跑步还是在床上睡觉,耳机里放的都是《老友记》。

以至于现在,对剧中的每一句台词的语音语调都分外熟悉,瑞秋的语调,甚至变成了一种音乐,一种旋律,不自觉,我就会模仿了说出来。

现在,每天一回到家,第一件事就是打开电脑,点开英文材料,或是BBC新闻,或是英文纪录片,或是英文电影,屋子里流动的都是英文,让自己置身于英文场中,自己就去忙别的了。

说实话,写这篇文字的时候,我的耳机里,播放的还是《老友记》第3季第23集。有图为证哦。

此刻,我的耳机里播放着《老友记》

你还在抱怨自己没时间学英文,发音不地道吗?其实,随时随地就能学呀。把你手机里的中文歌曲、中文视频换成英文的就好了!

即使每天真抽不出一点时间来专门学英语,只要你坚持以上两点,时间长了,英语语感和英语思维都能有突飞猛进的进步。

而语感和思维,对于学到纯正地道的英文表达,却又至关重要。

而且,即使你没有刻意专门去学习,只要坚持沉浸在英语之中,坚持用英语思考,一些你经常听到、想到的词儿,无形中,也就都掌握了呢。

本人水平有限,与其写点cliché,不如先推荐一些不为人所知的贴子,这似乎有极大的价值却从来没有人去做过。这些古老的讨论仍然存留在互联网上,虽然有一些not even wrong的玄学贴子,但大家交流得很愉快,分享了很多见解。很多人十五年之后并没有从事数学或物理的理论研究,可能这些东西只能成为回忆了。

在此选取旧贴档案馆其一的一些贴子作为记录,附上一些评注。太多错误,没营养的就不列了。所谓太阳底下无新事,可能在我们还不会任何数学的时候,别人已经在讨论一些日经数学帖了,而看起来fancy的学问,其实十五年前就有很多人感兴趣/讨论过了。

所有帖子都能在 找到,序号是原来就有的。

在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题,
它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其它几何学家都不相信它存在,我却锲
而不舍,不分昼夜地去研究它,就如屈原所说:
  “亦余心之所善兮,虽九死其犹未悔。”
  我花了五年工夫,终于找到了具有超对称的引力场结构,并将它创造成数学

有一些内容,比如Deligne和Weil的作品确实值得好好学习,半整权模形式(复叠群)和志村簇的研究现在来看也是很热门的,关于Hecke、Deligne的历史段子还行。

要经常问自己,我真的懂了吗。一个测验的方法是,不看书我能不能讲给别人听。
Weil还有一个当哲学家的妹妹,真的太佩服了,昨天在书店里看到了她的传记,好象是西蒙娜.韦依。
曾经也有一个朋友建议我EGA只要看前三卷就够了,没有必要看第四卷,你知道第四卷有多少吗?总共有四册啊,可惜,他说这个话的时候已经迟了,听了之后,总是感觉有点不舒服,惆怅?庆幸?很难言说。

书单本身有点过时了,不过应该还是有一些帮助。EGA 4确实会包含很多别的地方没有的小结论。代数几何也分各种各样的方向,并不需要读过EGA、FGA 、SGA才能开始工作,这大概是初学者常见的错觉。需要读一些其他专门的书籍:做MMP的人会推荐Kollar-Mori和Lazarsfeld的书,做K3曲面的人会推荐Huybrechts的书。

而且列书单很容易,读书则需要花很多精力。另外,认为读了某几本书自己就能做好研究的想法像是受到了武侠小说的影响。

另外一些历史段子可以一看。

自从Hilbert和上世纪的Bourbaki学派以来,数学的形式化趋势越来越明显。现在的学生也越来越难入门。其实这不是什么好的现象,我本人是站在Arnold一边的(Arnold和Bourbaki)。
俄罗斯的数学和美国的数学比较注重几何直觉,特别是俄罗斯的学派,几乎人人是懂物理的,不懂物理及不懂物理问题是被认为不可思议的,因为数学物理本是同支,我碰到过一个俄罗斯学生,是做String的,谈起代数几何与Grothendieck,他就很不喜欢那一套,而且说很多俄罗斯数学家不喜欢这些,而更喜欢复代数几何与拓扑,认为那才是问题的来源。

不严格的数学的泛滥是数学蜕变的象征。很多人甚至会认为Poincare甚至更早的Riemann是不严格的数学大师,但是他们的不严格上有着天才的直觉为后盾的。而一般人的不严格又有什么资本?
意大利学派的工作不严格,固然有特别贡献,但是只有经过Poincare、Zariski和Weil等人的不断改造和发展才有今天的代数几何基础
还有,形式化是在数学发展到一定程度的必然,Grothendieck的数学够形式化了吧?有谁敢否认他呢?没有他的形式化,Weil Conjucture如何解决?形式化并不是简单的形式化,儿时一种提升或者说是一种升华。

注重实际问题,不要为形式化的动人外表所迷惑。历史上的那些大牛都是明白此道理的,把形式化的工作留给专家和老人。多做一些创造性的工作。

这也是老议题了,每年都有人讨论,可是没有太多超出这个讨论贴的新意。

也没有你直觉里那么难不可及。关键是要对极小子流形的一系列工具有比较熟练的掌握
相信你在学习广义相对论时就对测地线非常熟悉的
那么将一维推广到二维就是极小曲面了,这个非常重要,当年Yao和Schoen(寒,前几天打漏了一个字母,成shoen了)证明一个重要定理时就用到这个类比,类比虽简单,计算却繁难。
定理如下(这里称为定理A):3维正数量曲率的紧致定向流形中不存在正亏格的紧致稳定极小浸入2维定向子流形。
证明这个定理类似于著名的Synge定理的证明,只是将极小测地线换成稳定极小曲面。
用这个定理可以证明以下一个与正质量猜想有联系的定理(这里称为定理B):设3维Euclid空间中一个Riemann度规在一个紧致集K的外部是平坦的,且处处具有非负数量曲率,则它必为平坦的。
这个定理是Yao和Schoen1979年论文中的核心定理的特殊情形。
证明的大意是把K包裹在一个立方体内,将此立方体粘合成环面T。T上一个诱导度规g确实不平坦的话,则具有正数量曲率,利用调和映照和Teichmuller理论的一些已知事实,Schoen和Yau证明了T必须包含2维环面的一个极小浸入,它是极小化的,因而是稳定的。而定理A说明了这是不可能的,因此度规g是平坦的。因此3维Euclid空间的原始度规也是平坦的。
在Schoen和Yau的精彩论文中,定理3.1是核心定理

关于极小曲面理论还要多说几句,极小曲面理论中的一个重要问题是流形中多个极小曲面的存在性。在二维球上,至少存在三条闭的、嵌入的测地线,椭球面上恰有三条,这是Poincare的成果。极小曲面(更广的说是极小子流形)直接关系着非线性PDE,就像测地线关系着非线性ODE(常微分方程)一样。这一点Lagrange在写出极小曲面方程时就很明了了。因此,在Yau的许多著作中只要涉及到极小子流形(或特殊些:极小曲面)的,都要有非线性PDE的扎实功底才可以看得较顺畅。被国际数学大师唐纳森(Singer. Donaldson)誉为“近四分之一世纪里最有影响的数学家”。Yau被S.Donaldson誉为“近四分之一世纪里最有影响的数学家”,并非虚誉。

有些历史段子倒非常经典:

至于Teichmuller理论,对于复分析的要求是很高的,通常本科生是不可能开这课程的,但是分析学的研究生有这个方向。这个理论要追溯到Riemann的参模理论,但是Teichmuller在25岁左右时创立了这个漂亮却艰深的课题,他本人是狂热的纳粹党卫军分子,30岁时在战场上为了纳粹而当了炮灰。
细节的讹误在所难免,但是思想和意向的严格是数学家和数学的生命所在。要不然Gauss为什么要把所有想法都深思熟虑后才发表?
过度的形式化是有害的,即使对于数学也是如此,这一点在许多数学大家那里亦有共识
但是,从数学自身来看,公理化是一种很好的规范途径
如果没有公理集合论的建立,人们甚至无法解决Russel Paradox
如果没有Lebesgue积分的建立,我们无法进入现代分析的领地
这些都是当时被认为是无用的形式化的东西。
形式化是一个很模糊的概念,在这里既有好的形式化,也有很坏的“抽象”
因此,没有必要把形式化一棍打死,形式化很大程度上为了公理化而做
有坏的形式化工作就否定形式化,那么在应用数学中也经常出现一些(甚至很多)末流工作,那么,是不是要废了应用数学呢?
其实,不论形式化还是从直观出发研究问题,都在很大程度上决定于具体的操作者,像Riemann,他只要用通电导线一接,就得出了Riemann存在定理,后世的Weierstrass却硬要鸡蛋里挑骨头,到底谁对?Riemann那时应用的Dirichlet原理是不经严格证明的,但他是伟大的,因为他凭着天才的直觉和粗糙的实验加上不严格的论证得出这个著名定理。而Weierstrass同样是伟大的,因为他的严格,促使了Dirichlet原理最终得到真正的证明,当然,这归功于Hilbert早年的工作。Poincare探索三体运动时曾经出现巨大失误,如果他没有纠正这个错误,就无法瞥见确定性系统中的混沌,也就无法在更大程度上革新动力系统的研究。
而且为什么一定要老人和专家才能去做形式化工作?
如果形式化很坏,那么就算是老人和专家也不应该去做,老人就代表能力衰退吗?不见得。Gauss在曲面论中的内蕴几何学是在50岁时做出的,Cartan关于微分几何的著名工作一直延续到60岁之后,Poincare工作到58岁,临死前还提出一个限制性三体运动的最后猜想,这个工作很大程度上造就了Birkhoff。Weil直到60多岁还能提出模形式的重要定理,Yau也56了却仍然活跃在世界数学的最前沿。这样的老人太多了。
如果形式化是好的,为什么就不能让年轻人做?Bourbaki学派几乎是清一色年轻人,并且总是及时让老人退出,不是因为老人无能(上面说了很清楚了),而是因为年轻人更少束缚,更能勇往直前。Galois创立群论和域论时,那理论是那个时代极其形式化的东西,他是为了判断何种代数方程是可解方程而创立这个理论,不论他的动机中有多少是为了应用,但是至少他的工作非常形式化。但是今天,不懂群论就不懂数学和物理。
形式化是无罪的,有罪的是那些不入流的数学家。

萍踪比较推崇形式化数学,而星空道德主要提出在形式化数学中所含的对研究者的陷阱。我觉得两者都是有道理的。
东汉的马援给子侄辈写信,讲到为人时,写了这样一段
有个人叫龙伯高,为人稳重少言,廉洁自持,我很敬重他,希望你们能学他的为人。又有一个叫杜季良的,为人任侠尚义,乐于助人,不拘小节,他父亲去世,很多人前来吊丧,这个人我也很敬重他,但却不希望你们你们学他的为人。因为学伯高学得不象,还不失为一个谨
口之士,所谓刻(告鸟)不成尚类骛,如果学杜季良学得不象,就可能成为轻薄之人,所谓画虎不成反类犬者。
这个道理恐怕是我们在选择走形式化道路,还是走一点一滴累积研究成果时可以参考的。
星空道德有个看法我比较赞成,就是如果觉得对形式化数学的内容(物理也是一样的)没有一种天生的能学习,掌握,挥洒自如的感觉的话,应该早点下功夫在比较踏实,能弄得动的内容上。星空道德的一个隐含的意思似乎是那些各门各派的开山祖师的能力是天生的,“生而之知”。象我们属于“学而知之”的人应该更踏实一点。

同上,比较精彩的讨论,可能后无来者。

感觉作者是刚听说Langlands program这个名词,里面的讨论基本上都是胡说八道。

想法是好的,然而似乎没有实践下去。

今天开始学群的上同调。
记得经常用‘今天开始‘,但很少说已经学完某某某。希望今天开始可以改变现状。
我觉得自己有一个毛病,就是思考不够深入。很多看似简单的东西就已经有很多的应用,值得好好下功夫,不必要一开始花很多时间去学很一般的理论,因为如果这些简单的东西学会了的话,到一般的推广只是照搬照抄,并没有太多的实质内容。而如果直接去学这些一般的理论,可能被卡住的地方还是那些简单的问题,而且往往是被同一个问题卡住。

群的上同调和SGA相比难度是天差地别,Etale Cohomology的本质这一定论也太过广泛(也不对,倒不如说更像是拓扑里的singular cohomology+ Galois group cohomology),“到一般的推广只是照搬照抄,并没有太多的实质内容”这也得看是什么推广,总之让人产生一种神必的感觉。之后楼下回复:

实际上很多现在的学者都形成一种夸夸其谈的恶习
说起来天花乱坠,做起来无从下手
当年Hua就说自己的学生中有很多人都是这样堕落的

发帖是15年前,有股酸味。不过十五年前就有英才班了....

首先一个问题:怎么判断一个扭结是不是平凡扭结? 办法说起来很多,但都不可行: 第一,看它的补集是不是开实心环,这个表面上看就知道不可行,揉成一团的平凡扭结的补集看起来也是非常复杂的;第二,看它的补集的基本群是不是无限循环群,这个也不可行,因为word problem 不可解;第三,看它的Seifert genus 是不是 0,这个也不现实,因为我们没有办法计算genus。
还有一个既可行又不可行的办法:算扭结的 Vassilev 不变量。现在还不能证明 Vassilev 不变量能判断一个扭结是否平凡,但这个命题是 volume conjecture 的一个推论。所以又引出一个小热门 volume conjecture. 一直以来日本人在对这个猜想的研究上处于领先地位,最近有个越南人做出了重要贡献,有些激活了这个领域。
的双曲体积。这个猜想的证明将进一步肯定双曲几何在三维流形理论中的特殊地位,就像Atiyah所说,这个猜想把三维流形近三十年表面上看来毫不相干的两大进展,Jones-Witten-Drinfeld 的量子不变量(拓扑量子场论)和 Thurston 的双曲几何(几何化猜想)联系起来。
(3)双曲几何。这是一个极其需要 100%天才+100%勤奋 的领域。可以称这个领域里的人们为"Thurston 学派",里面的老一辈人受到Thurston 的极大影响,年轻一辈基本上是 Thurston 的徒子徒孙。这个领域里面的问题很多很杂,但是都很难。方法上也是博采众长,几何,拓扑,分析,群论,动力系统,甚至数论代数几何,都是他们信手拈来的工具。Dannis Sullivan 也是这个领域的祖师爷级人物,去 SUNY stony brook 看看他属于哪个教研组。 这个领域最近也很活跃,有一系列的进展,限于我所知有限,没有办法将这个领域的美景展现出来。

好文章,现在的热点又是什么呢?

值得一提的是,最近北大的新科博士郑浩在volume conjecture 上面取得重要进展,他对一类扭结证明了 volume conjecture. 这一类扭结都是以 环面结为伴随结的卫星结,叫做环面结的Whitehead double. 这类扭结的补集都分成两个部分,一个是 Seifert fibered 流形(环面结的补集),一个是双曲流形(Whitehead link 的补集)。Seifert fibered 流形的双曲体积为零,所以这一类扭结的双曲体积都等于 Whitehead link 补集的双曲体积,但是当然,它们的Jones polynomial 是不同的。郑浩的文章在 arxiv 上面,有兴趣的同修可以去看看。有了这个贡献,至少我们可以说,在这个课题上中国不输于亚洲其它国家,呵呵

可惜底下的讨论太初级(牛头不对马嘴),感觉配不上这么好的主题帖:

一般我们把扭结当作S1--->S3 的嵌入。S3是 R3 的一点紧化。 在S3中考虑问题有很多好处,因为S3是紧致的。扭结的分类,或者更广义的,链结的分类,是要看在连续的微小形变(isotopy,也叫同痕)下哪些链结能互相转换哪些不能。链结分类问题是三维流形的中心问题。所有闭三维流形都能由S3在链结上做“手术”得到,分类了链结就几乎等于分类了所有闭三维流形。
在80年代,有人证明了扭结在S3中的补集完全决定了扭结,也就是说,如果两个扭结的补集同胚,那么这两个扭结同痕。(注意,链结的补集一般不能完全决定链结,这与只有一个分支的扭结不同。)而三维几何拓扑在7,80年代的发展,特别由于Bill Thurston的贡献,使扭结分类问题从某种意义上归结为三维双曲流形的分类问题。这是因为,Thurston 的双曲化定理表明,大多数扭结(甚至链结)的补集都有完备的双曲度量(这些链结叫双曲链结),只有两类扭结例外:
(1)环面上的扭结:环面上的扭结的补集是所谓 Seifert fibered 流形,简单点说就是由圆圈组成的三维流形,这种流形上面不可能有双曲度量,而且这种流形已经被彻底分类了。也就是说,环面上的扭结已经被分类了。其实在几何化潮流以前环面上的扭结(甚至链结)就应该已经被初等方法分类了。
(2)卫星结:这种扭结 K 本身处在另外一个扭结 K1(伴随扭结)的管状邻域里面。这种扭结的补集被这个管状邻域的边界(一个环面)分割成内外两个开流形:外部同胚于伴随扭结 K1 的补集,内部同胚于一个开的实心环除去这个扭结 K。如果你能想象两个实心环怎么粘成S3, 你就能知道这个内部开流形实际上同胚于另一个链结L的补集,这个 L 比 K 多了一个圈,类似于Whitehead link 的那个圈。现在, S3- K = (S3 - K1) & (S3- L), 这里 & 表示通过一个环面粘起来。现在 L 已经不是卫星结了,如果 K1 还是卫星结,再重复以上步骤。可以证明这个分解过程在有限步中止, S3- K = & (S3- L_i), 使得所有L_i 要么是双曲链结,要么是环面上的链结。而后者的补集是我们已经分类了的Seifert fibered 流形。
综上所述,如果分类了双曲流形,那么首先,双曲扭结被分类了,然后,卫星结的补集也已经清楚了,所有的扭结就都清楚了。
figure 8 是一个双曲扭结,而 trefoil (三叶结) 是一个环面上的扭结。

一个简单的介绍,我对这方面毫无了解。关于扭结理论的一些进展,可以参考ICM2018的 。

LAGRANGE四平方定理的证明是模形式的经典应用之一。

这使我必须审视自己做与说两方面的能力。
很幸运的是,繁星论坛上的物理版和数学版都有热烈和严谨的讨论精神,没有那种狂妄之徒的喧嚣,在宁静的港湾中,心船让智慧之浪轻轻拍打。何必去羡慕那些一片腐臭的所谓热闹之地呢。

冷门的地方也有冷门的好处。

我们看一百本论述QCD的科普著作,不如自己亲手去计算一个里面一个具体问题,我们唾沫横飞地侃复几何,不如去仔细计算一个Kahler流形的双截曲率或者去深入了解Poincare-Koebe定理的证明过程,我们兴致十足地谈论Fermat大定理地证明,不如去深入学习一下模曲线的精义。
当我们深入这些技术细节时,我们可以从内心深处呼喊:“数学太美了,物理太美了!”而不是像那些鹦鹉学舌的人一样空喊着数学和物理之美。
我记得一年前曾经和我们学校的一位从事计算数学的教授谈话,我说:“两种人会说数学美,一种是自身研究领域中做出一流成果的数学家,他们发自内心地感叹数学之美,一种是不入流的学者,他们是人云亦云地说数学美,以让别人以为他们已经研究很深似的。对于那些处于二流阶段的数学学者,他们感受到的痛苦要多于快乐,因为一个个棘手的问题早就把他的头弄大了,那里还有美可言。”其实,就像Chern这样的大师,也常常被难题困扰,所以才会说自己数学研究中“甘苦自知”。像Yau这样的大师,他都承认自己每作十个研究都有九个要犯错误。当年他不就处心积虑要推翻Calabi的猜想吗?而且在一次会议上宣称自己达到目的了,在寻找Calabi猜想的反例的过程中,他感受的痛苦一定不少。后来,Calabi听说他的宣言后向他厘清了几个概念后,Yau才注意到自己走错方向了。最后,他去证明这个结论,获得了大成功,他为了这个成功,奋斗了六年。
说数学的人往往流于表面,他们看不到做数学的艰辛,还以为很好玩,让这种人做数学,不到三个小时他就会崩溃。
写得比较好,起点不高但是很全面,包括了代数拓扑,微分拓扑和微分几何以及示性类理论等
还有关键是可以免费下载做个人学习之用,作者好人啊,愿大家成名成家后以此为典。

苏竞存的《流形的拓扑学》确实是一本好书,作者本人是物理专业出身改做代数拓扑,在麻省大学任教后退休。

经典习题,Jacobson的一个定理的特例。其他有几题是Atiyah的交换代数前面习题。

建议大家列出研究方向和感兴趣分支,学生可以列硕博论文的课题作为研究方向。这样大家的讨论可以有针对性一些。

题目太大导致讨论比较泛,不难从作者之前的发言看出他对某些东西是浅尝辄止(甚至有错误)。但他能够提炼出一些对初学者有帮助的东西,能够把故事说好,可以随便看看。

许多人认为Minkowski是实现对称性在相对论中乃至于物理学中的作用的第一人,但是我显然不同意这个偏颇的观点。1908年,Minkowski将Lorentz变换解释为四维pesuedo-Euclidean空间中的伪旋转或者说是推动(boost),这些伪旋转形成的群即Lorentz变换群。但是Lorentz变换群的思想已经为Einstein与Poincare于1905年分别提出,Minkowski的功劳是实现了相对论的几何化,而不是代数化,实现代数化的其实是Einstein,连Poincare都不算,因为他看见了代数化却看不见相对论,只有Einstein既看见相对论又看见代数化。狭义相对论中的变换群为Poincare群,包括十个生成元:三个真旋转,三个伪旋转,四个坐标平移。在这里,对称性的作用空前突出。Poincare群是Lorentz群与平移群的半直积,而非直积。因为Lorentz群是其正规子群而平移群却只是其子群而不是正规子群。1939年Wigner定出了Poincare群的不可约表示。但是由Poincare群是无法导出Maxwell理论的,因为Maxwell理论还包括五个共形变换。这一点Einstein本人早已认识到并且指出,从这里也可以看出单纯的数学模式很难在这样一个成熟的物理理论中产生太多新的东西。
Minkowski的几何化工作架起了等效原理到广义相对论的桥梁(有些现代相对论专家如Synge等人认为早应该把等效原理这个接生婆埋葬掉了,但这里我不讨论这个问题)到了广义相对论,线性的Poincare群已无法表述广义协变性,必须用非线性微分同胚变换群即Einstein群表述,这是主动变换观点,从被动观点说,是标架变换群。更重要的是微分几何在此中得到巨大的应用,直接促进了这门学科走向数学的核心地位。
另一方面,量子力学本质上是矩阵力学(Heisenberg、Born等人的形式),此后被解释为Hilbert空间的态矢量分析。1928年,Dirac结合了狭义相对论和量子力学,创立了相对论性量子力学,揭开了现代量子场论的辉煌篇章。这个理论仍然遵从着数学美的原则。正是Dirac不愿意破坏数学美,使得他最终于1931年提出反电子这一伟大概念。当然这一理论只是现代量子场论的过渡形式,有些教程认为应该放在量子力学中讲授,有的说要放在量子场论中讲授,夹在中间难做人的尴尬境遇并没有掩盖这个理论的伟大意义。

在量子场论的进展中,群论越来越重要,经典电磁学被解释为U(1)群作用下的理论,同位旋不变性的研究导致了SU(2)群的Non-Abelean规范场论的开端,以1954年Yang和Mills提出的Yang-Mills理论为标记,现代物理的数学化进程明显加速
无疑,Einstein想以自己坚持的理想去实现大统一理论,但是他没有成功,顺便说一下,很多人趁机给Einstein戴高帽子,说他思想深邃以致于想到了大统一,这是个绝对的大笑话,同意自然界的思想远的不说,就近代来看,从哲学家Kant的冥思到实验物理学家Faraday的实践,再到Riemann的不屑努力,任何一个人都可以去设想,Einstein的伟大用不着这么庸俗的吹捧。从现在物理学的角度看,大统一理论的每一步进展都是在Yang-Mills理论的框架中实现的。从上世纪60年代到70年代末,弱力-电力统一理论被Weinberg、Salam、Glashow、t Hooft等人实现,用的就是U(1)和SU(2)的直乘表示实现的。1983年,这个理论被Rubia等人的实验辉煌验证。强力的理论以SU(3)群的表示为基础,夸克理论异军突起,格点规范理论迅猛发展。超弦理论更是将这种数学化的趋势推到一个新阶段。当然,我对这个理论能否实现大统一是抱怀疑态度的,毕竟现实物理世界太复杂了。

首先,先简略分析全测地子流形概念,如果一个流形的子流形上的测地线在这个流形上仍然是测地线,则这个子流形是全测地子流形,全测地子流形必定是极小子流形,反之未必。
为直观起见,我们看看二维球面S^2上的所有大圆S^1,S^1上所有弧段都是S^1的测地线,同时又是S^2上的测地线,所以这些S^1都是S^2上。Yau的这个定理是极小子流形刚性的重要定理。
另一方面,对于极小子流形,S=m(m-1)-s,其中s为流形标量曲率,为内蕴不变量,与子流形的外围空间无关,所以S也为内蕴不变量;Simons证明:如果M^m上处处成立S〈=m/(2-1/p),则或者S恒等于0,此时根据定义,M^m为全测地子流形,或者S恒等于m/(2-1/p)。随后,Chern等人完全确定了S^(m+p)中所有满足S恒等于m/(2-1/p)的所有极小子流形为以下几种:全测地子流形、Clifford环面、4维球面S^4上的Veronese曲面。
在m〉=8时,何太平将Yau的定理中的m/(m^1/2+3-1/(p-1)改进为2(m-1)^1/2这样的最好结果,并且给出了M^m在此时的分类。(以上关于极小子流形刚性的结果参阅徐森林,薛春华《微分几何》,中国科学技术大学出版社, 1997)
计算这些Pinching常数是这个课题中的核心任务,用的主要工具全是Cartan发展出的活动标架法。这些美妙定理的主要特点是当S小于或者等于某个数(这个数被称为Simons型常数)时,都统一地具备一个特征,如躺在流形的某个全测地子流形中。这就是“刚性”这个词之由来,例如我们弯曲一个木棍,只要弯曲程度超过一定程度,所有情况下木棍都要断裂。

还行,不过评论区就有点胡说之嫌了:CP3中由 (Z_0)^2+(Z_1)^2+(Z_2)^2+(Z_3)^2=0定义的是二次超曲面(同构于CP^1xCP^1),当然不是K3曲面,作者对代数几何的刚性理解也有问题,可见作者的代数几何知识并不多。

上古时期竟然有人能用字符画出单纯复形...

物理学家说起“量子化”,就像讨论吃饭睡觉一样平凡。要么正则量子化,要么路径积分量子化。虽然正则量子化涉及数学上很难操作的Dirac delta和并不收敛的 Fourier 积分,而路径积分所假设的测度至今也没有在数学意义上定义出来,这些数学家不承认的“数学”对于物理研究来说已经足够好了。物理学家还证明了这两种量子化方法是等价的。
从数学上看,这个等价性已经很耐人寻味。假设我们的宇宙是一个紧致流形,取一个类空超曲面(这相当于某个参照系的等时截面),它把宇宙分割成“过去”和“未来”。现在我们想计算宇宙的真空期望值(一个路径积分),我们可以分别计算“过去”和“未来”的真空期望值(两个路径积分),然后把它们“乘”起来。但是我们发现“过去”和“未来”的真空期望值不能是“数”。如果它们是“数”,那么“过去”和“未来”的概率分布就独立了,也就是说过去部分和未来部分没有相互作用。如果我们想要相互作用,我们就必须假设“过去”和“未来”的真空期望值都是“向量”,而整个宇宙的真空期望值是这两个向量的某种“内积”。这两个向量所在的向量空间显然是由这个等时截面决定的,这个向量空间的“大小”反应了相互作用的强度---如果这个向量空间是一维的(数),那么就没有相互作用。这个向量空间一般来说是无穷维的,它就是物理理论的"Hilbert 以上的观点导致了conformal field theory 和 topological field theory 的公理化定义。在TFT 的情况,不同时空区域间的作用是如此的微弱以至于 Hilbert space 是有限维的。采用公理化定义并不是为了使理论更抽象,而是要避开路径积分的构造。数学家并不喜欢抽象,抽象大多数时候是迫于无奈。

Seiberg-Witten 的单极子方程定义了三维流形的Floer homology 和四维流形的数值不变量。现在已经证明Seiberg-Witten 不变量是某个“Hilber bundle” 的经典代数拓扑不变量。然而 Seiberg-Witten 方程是超对称量子场论的经典方程,这个量子场论本身在数学上意味着什么? 这个量子场论是无穷维空间的几何吗?

一个问题。下面有继续讨论:

你更有资格谈论这个话题,不过我顺便聊一下这个东西的某些历史。
物理上最原始的原因是Heisenberg 为了解决原子光谱问题,建议用矩阵来代替数值变量。这个过程本身就是从交换到非交换。之后才有了形式化。
形式化的第一步是所谓对应原理,如果我没有理解错的话,就是说当Plank 常数趋于零的时候,量子力学方程趋于经典力学的Hamilton 方程。由于Hamilton 方程可以用 Poisson 括号写出来 (用数学的语言来说,辛流形和它的函数Poisson 代数是相互决定的),Dirac 就试图找出 Poisson 括号的量子类似物。
这个令他自己都激动不已的发现就是,Poisson 括号 {u,v} 的量子类似物就是算子的交换子 UV-VU. 这个发现,虽然当初看来非常天才,但是在现代数学研究中是比较常用的思维:辛流形上的函数空间是一个交换代数,有乘法,又是一个李代数,有 Poisson 括号。一个自然的问题是,这两个结构的相容关系是什么? (这就像我们定义向量空间上的附加结构,比如内积或者范数的时候总要使用一些公理规定这个新结构怎么与老结构,加法,数乘,零元相容。这些相容性质就是我们通常要求的三角不等式,线性,齐次性,正定性。)
函数空间上的交换代数结构和李代数结构的相容关系早在 Poisson, Jacobi 时代就知道了,这就是 Leibniz 法则, {uv, w}= {u,w} v + {v,w} u. 用现代数学的语言来说,每个{w, . } 都是这个交换代数的导子 (derivation)。 Dirac 的天才就在于在那个形式数学远未成熟的年代他就意识到了这个相容关系是整个结构的关键。他想,如果在这个 以上推导的实质是,Dirac 无意中发现了李代数的泛包络代数 (universal enveloping algebra)。但是Dirac所做的不止是泛包络代数,还是“形变量子化”。任给一个李代数,当然有它的泛包络代数(这是一种结合化,李代数是不结合的)。然而 Poisson 代数不仅是一个李代数,本身已经是一个结合代数。所以 Dirac 定理其实是说,经典可观察量的代数对于其 Poisson 括号的泛包络就是量子可观察量的代数。
形变量子化是更有远见的,可以说它在“等待”量子力学的“不精确” 出现。它认为 [U,V] 是 \hbar 的形式幂级数,第一项由 Poisson 结构决定,后面的项可能由经典相空间上更多的几何结构决定, [U,V]=i\hbar + O( \hbar^2 ). 当然,从正则量子化到形变量子化不需要多少想象力(这并不是说我这种普通人也能想得到,呵呵)。
Kontsevich 在1997年证明每个配有 Poisson 结构 (函数空间上满足 Leibniz 法则的 李代数结构) 的有限维流形有唯一的形变量子化。

魔群月光猜想浅谈(非数学)。

operad的发明可以参考Peter May(没错,就是那个代数拓扑书的作者)关于loop space的工作,AMS Notice有一篇 也介绍了这个概念。

无论哪个年代,做数学物理相关的人里总会有对语言学相关东西感兴趣的朋友。

为了便於你深入理解词义,最好的方法应该是来点词源学。Sulba和Sutra都是梵文(Sanskrit)词汇,和印度的各种宗教有关。Sutra(也可拼作Sutta)在佛教中专指经文(唐玄奘音译为“修多罗”),也就是释迦牟尼的话形成的文字。对婆罗门教而言,则专指<吠陀>经中的箴言集。Sutra一词用英文字面直译就是"list of rules",隐含着"thread"的内涵,即“用丝线装订成集”。Sulba就是弦的意思,但在古印度数学中,“弦”并不限于圆内的线段,例如长方形的对角线也被称为“弦”("sulba" or "chord")。将与“弦”有关的规则收集起来就形成了一门与古希腊几何学同类的学问。也就是说Sulba Sutra相当于“古印度数学的<几何原本>”。
其实印度文化遗产中最享誉世界的Sutra与数学无关,而是春宫著作"Kama Sutra",呵呵。Kama就是欲望的意思,印度人写的这本“关于欲望的专著”和中国的<素女经>有得一拼。而且由於梵文和西方文字的密切关系,更容易被翻译成英文,所以其在西方的知名度远远在<素女经>之上。"Kama
模空间M_g(X,A)定义为所有这样的稳定映射的空间,要求他具有一定的范性。实际上它是一个奇点非常坏的Scheme,一般来说reduced,reducible,not connected.
幸好这个空间的期望维数是零,也就是说可以定义这个scheme期望的长度(length)。这个值的几何意义是这种稳定映射的期望个数。
也就是说,一般来讲这种稳定映射的个数是有限的,我们可以数出来有多少个,但这是个分数,不一定是整数,记为N_{g,A} 。
在镜像对称中,X上的Gromov-Witten可以转化为镜像X'上的Hodge theory的问题,而后者往往简单很多,基本上是ODE,这样使得计算成为可能。
如果两边都是Gromov-Witten,两边都是同一类的东西,两边都不能算,镜像对称这个理论就没有那么大震撼了。
原来版本的镜像对称在数学上太难了,很多人后来以此为启发提出一些另外的对应理论,如
Vafa甚至大胆猜测有一个对偶的理论可以使得Donaldson Polynomial的计算简单,如同镜像对称使得Gromov-Witten的计算简单一样。不过他真的只是猜猜,什么具体idea也没有。如果有的话也在未成熟阶段不便公开。我更相信前者。
我曾经认真想过如果要教授代数的Gromov-Witten理论应该如何下手,最后我得到的结论是要从简单情形入手,不能一开始就拿模空间出来吓唬人。而且我也找到了好的途径。但我没有机会和时间实践我的想法。
我认为可以从3维复射影空间中一般3次曲面上有27条直线这样一个经典结果入手,介绍现代代数几何的计数问题处理方法。理解这个以后,开始学习模空间基本概念,然后运用到计算Stable map在计数中的local contribution问题,这有点像平面上两条曲线在一个交点处的相交几重的问题,比如相切算作两重以上相交,为得到不变量不能只算一个交点。当然这里问题复杂得多。有机会的话我可以在这里介绍一些。

Mumford说射影几何就是一堆垃圾装在垃圾袋里
但是他还特意说“CP3中三次曲面上有27条曲线”这个定理是垃圾袋中的宝石

我是数学本科二年级,想请教下各位前辈
我现在在学抽象代数,微分几何,常微,还有复变。
但是不知道哪本参考书比较好(水平略高,但适合本科看的),尤其是微分几何(教材看的有点不明不白的,很多细节搞不清楚)
微分几何用苏步青的一本老书的影印和一本老师编的整体微分几何讲义。

这段话放到今天问可能都不会产生倒错感。只能说像这样的泛泛地问该学什么的新人帖(通常是中学生、大一大二本科生),没有上千可能也有上万了。下面还有二次元头像的朋友,可以说是老二次元了。太阳底下无新事,当年的新人如今又在何处呢?

我刚想推荐龚升教授的《简明复分析》, 你抢险了:)这本书起点还是比较高的,先读了初等的复变函数教程后,看这本书绝对是醍醐灌顶。这么多年来一直珍藏此书。龚升教授没有当选院士,让我感觉很离奇,他是华大师的高足,在复分析分析方面厉害,我因此怀疑院士评审制度。
《紧Riemann曲面引论》写得潇洒自如,初学者看了估计摸不到北,但是多看多补基础后,细细体会,会有很大收获。此书每章末尾都有历史回顾,不可不读。
太感谢各位了。以后我要经常来看看。
复分析我今天去图书馆借数正好借到龚升的那本,看来运气不错。
在《微分几何讲义》中,S.T.Yau和他当年的学生、合作伙伴R.Schoen将这个风格大大展示一番。从第一章开始就直接应用Jacobi场理论进行比较定理的论证,这是典型的大范围微分几何课题,然后就是关于梯度估计和Ricci曲率非负的完备Riemann流形的体积增长等问题的探讨。第二章的分析气息更浓烈,因为直接和调和分析相关联,历史悠久的Dirichlet问题的可解性分析我们可以追溯到Riemann时代与Hilbert时代,在Rauch比较定理和Topologov比较定理的应用先获得必要的估计后,直接应用到“无限远球面”的性质分析。
接着两位作者讨论了Harnach不等式与Poisson核、Martin边界与Martin积分表示的相关课题,这些课题在原书上有精彩的计算,就不照搬了,大家有机会得到此书后细看。我这里要提及的是,这些东西与多复变函数论中的积分理论有着极其密切的关系,所以掌握这些内容对多复变函数论的学习有着非常好的启示作用。

Jacobi场是很好的工具,这书现在已经成为了经典(很多几何人都认为必读)。

老弟的见识已经足够广足够深了。不过别太相信 Baez ---- 这位老兄跟 Atiyah 比较像,都喜欢瞎想,区别在于 Atiyah 想的多半都是对的,至少是可以实现的,而 Baez 是真正的瞎想,呵呵。至于说弦论跟代数拓扑的关系,肯定没有 Baez 想的那么简单。最近有个看上去很大的进展(当然,都是道听途说,我自己对此一无所知),
你估计会有点兴趣,作者使用的语言应该是你比较熟悉,或者至少是你比较欣赏的那种。

Baez确实有很多瞎想,喜欢简化问题,没有道理。但偶尔也有一些观察,他写了很多note。

简单科普怎么证明复射影空间P3中的一个光滑三次曲面X上有且只有27条直线。这算是计数几何的起源。关于27条直线的故事,中文互联网社区也有很多人写过了。

拓扑学的一个重大问题是Poincare猜想,这个猜想的解决会导致一系列问题的迎刃而解。最早的突破是Smale在1961年证明5维及5维以上的Poincare猜想成立。1982年,Michael Freedman证明了4维的Poincare猜想,这个成果以及他的一系列相应的结论让他拿到1986年的Fields Medal。值得注意的是,同年另一位年仅29岁的数学家也因为拓扑学贡献而得奖,他就是S.K.Donaldson。他们两人的工作合在一起开创了4维流形的分类的新局面。

光滑4维Poincare猜想至今是开的。

Freedman证明了每一个整系数酉模(unimodular)正定对称双线性形都可以实现为一个4维流形的相交形式:
Donaldson后来证明任何一个4维单连通光滑流形的正定相交形式都可以对角化成恒等矩阵。
这样取一个不可对角化的正定对称双线性形,他对应的拓扑流形上就没有光滑微分结构。
construction)早已观察到这个instanton的模空间与原来的S4有很微妙的关系。Donaldson发展了这个想法,将他推广到一般的4维流形上(适当的拓扑限制)。

呵呵,两位太客气。我无地自容啊。俗话说见过猪跑不一定吃过猪肉,知道一些方向不代表我真正懂这些方向。
loop 的期望值是这些对应的多项式在单位根上的取值)。
既便是这些不变量,也无法从数学上严格证明它们就是 Chern-Simons 理论的真空期望值。或者说,少数人可能知道怎么证,比如 Atiyah, Segal 和 Witten 自己,但是他们都没有写下一个证明。关键是要证明三维 Chern-Simons 生成的 TQFT 和 共形场论生成的 Modular functor 是一回事,也就是 "2+1" 理论 和 "1+1+1"

这个话题要从 Morse 理论谈起。
Morse理论最初产生于“大范围变分学”,是关于流形上函数的临界点的理论。这个思想是很不可思议的。我们只需要研究流形上的某一个函数(这个函数满足一些非常普通的要求),我们就能得到流形的大量信息,比如它的胞腔结构。
Morse 理论在Witten 之前主要应用在两个方面:(1)有限维流形的构造。比如Milnor的怪球,四维流形的一般构造和Kirby calculus,Smale 关于5维以上Poincare猜想的证明等等。(2)某些无限维流形的胞腔结构,黎曼流形和李群的道路空间等等。据考证,Milnor和Smale 多少知道一些现在流行的关于Morse理论的看法。Thom 和 Smale

Morse理论是非常漂亮的,很多人学习微分拓扑时会接触到这一话题。其有各种应用,比如说简单证明Reeb球定理(Milnor用这种方法证明了他构造的七维怪球确实是拓扑球);Smale进一步发展了这套理论(Morse-Smale function,Morse homology)并配合简单的配边理论(高维有Whitney技巧)证明了h配边定理从而得到5维及以上的Poincare猜想的证明;Milnor在他的Morse theory书最后证明了酉群的Bott周期律(用到一些黎曼几何比如Morse指标定理),这个证明的一个总结可以参考 。

到了1982年,Witten 还没有正式开始做弦论的时候,已经写出了"Supersymmetry and Morse theory"这么一篇文章。这篇文章研究一维超对称非线性sigma模型,就是研究一个质点在一个弯曲的超空间M里怎么运动。通过对这个模型的研究,Witten 把 Hodge 理论和 Morse 理论联系起来。
再晚些时候,Floer 吸收了 Witten 这篇论文的思想, 进而用这种看法研究了两个数学问题。

Floer真是传奇人物。

第一个问题是 Arnold 猜想的一个特殊形式,简单说,就是辛流形里面的一个 Lagrange 子流形 L,在沿着 Hamilton 向量场滑动以后跟原来相交,交点的个数不能太少,至少应该是 L 所有 Betti 数的和。这个比拓扑上的限制强多了,单从拓扑的角度,对 L 做任意扰动以后跟自己相交,交点个数不能少于 L 的 Euler 数。所以辛扰动所受的限制更强。Floer 构造了一个链复形,由那些交点生成,边缘算子是对交点之间的“全纯条带”进行计数。这个链复形的同调被证明同构于 L 的奇异同调,所以生成元的个数至少是 L 的 Betti 数的和。这样就证明了这个特殊条件下的 Arnold conjecture. 这种 Lagrange 子流形相交形成的同调理论就叫做 Langrangian Floer homology theory.

第二个问题是三维流形的 Casson 不变量问题。这个不变量对流形 M 基本群的二维不可约酉表示 (严格来说,到 SU(2) 的表示)进行计数。在这个不变量提出不久,Taubes 给出了一个规范理论的解释:任一个从基本群到 SU(2) 的表示对应到流形上一个平坦 SU(2) 联络,而平坦联络正好是 Chern-Simons 泛函的临界点。这样在所有联络的这个无穷维空间上有一个自然的 Morse 函数 --- Chern-Simons 泛函。这个泛函的“梯度流”决定的微分方程实际上是自对偶 Yang-Mills 方程。Floer 结合了 Taubes 和 Witten,构造了一个链复形,生成元是三维流形 M 上的 SU(2)-平坦联络,而边缘算子是对四维流形 M*R 上“连接”两个三维流形平坦联络的自对偶 Yang-Mills 联络的计数。这个链复形的同调群的

今天,这两种homology theory的名字仍不断被人提起,其重要性我不能估量。

在 Casson 发明他的不变量的时候,他已经找到了一个计算方法,即,把三维流形 M 分解成两个“手柄” X, Y,沿一个曲面 S 粘合 ( Heegaard splitting )。从 S 的基本群到 SU(2) 的表示形成一个空间 R,从 X 的基本群到 SU(2) 的表示形成 R 的一个子空间 U, 从 Y 的基本群到 SU(2) 的表示形成 R 的另一个子空间 V,这个两个子空间 U 和 V 的交集就是那些在曲面上相容的表示,从而就是三维流形 M 的基本群到 SU(2) 的表示。所以计算 Casson 不变量的问题变成数两个子流形交点的问题。说到这个,大家可能觉得似曾相识,不错,这个两个子流形 U, V 还真的可以作为 R 的 Lagrange 子流形。
本人就没有意识到),这两种同调其实是同构的。这个猜想是 Atiyah 在纪念 Weyl 的一个会议上提出来的,所以被称为 Atiyah-Floer 猜想。在同一个报告中,他还提出了另一个猜想,即 Jones 多项式一定跟 Floer instanton homology 有关系,从而跟量子场论有关系。Witten 在很大意义上解决了这个猜想,这就是他著名的文章“量子场论与 Jones
飘飘何所似,天地一沙鸥。每个人都曾做过梦,只不过有些人梦已醒,有些人还沉醉其中,就如我,一个无聊的沉醉者。
版上不知道有懂顶点(算子)代数的么(Vertex operator algebras),我不懂,主要是看了Frenkel 和董崇英的一些文章。在这里大家相互讨论一下。因为这牵涉到比较多的知识,先是Lie algebras ,然后是Z-分次线性空间,书中讲了一个Virasoro 代数,作为顶点算子代数的例子,但我还是没有很明白为什么它是一个VOA。
还有这里的硕士,博士们,请指点一下,做一篇上等的学士论文,在广度和深度上需要注意一些什么?以前也想过要做一篇很有意义的论文,但现在开始觉醒,自己不是Galois,这篇学士论文只不过是这个世界上无穷篇垃圾中的一篇而已,我所说的“上等”,所倚的参考系是一群平庸的教授和一群平庸的学生。
唉,快毕业了,我什么都没有学到,浪费了好多青春,中国的大学,越来越变成垃圾制造厂了,连五四的一点余辉都要和我们挥手作别了。数学于我,只是一种精神上的鸦片,四年的结果,我成了一个瘾君子,我真的希望在数学上有一个不可能被解决的问题,但是此问题又如Hilbert所说的像一只会下金蛋的老母鸡,并且还要有RH那样的杀伤力,然后我过了30岁后,就跳进那个坑自己把自己活埋了算了,我认为Nash从那个梦中醒来对于他个体来说是一个悲剧,一个彻头彻尾的悲剧,所以,在我心中,Riemann,Ramanujan和Grothendeick是伟大的英雄。

梦醒时分(注意这是十五年前的感慨)。

季候风的推荐依然很好。

如果你能在毕业前剩下的两三个月时间消化一下这些东西,然后选择其中一个部分或者一个方面整理一下,就应该是一篇很好的学士论文了。不过要注意,整理不是抄书,呵呵。
我自然不认为旋量真如季候风兄所调侃的那样是数学家的马后炮,因为旋量是1913年Cartan研究reprezentation of topology group的时候引进的,他发现了spin_n的Lie代数的旋量和半旋量表示的存在性,1928年Dirac得出著名的Dirac方程,本质上就是应用旋量描述电子的旋转(确切说是:自旋)。但是旋量的重要性却是在Dirac的工作之后才大大得到提升的,所以从这个角度说,我非常同意季候风兄的看法。
自旋是表示量子场内部自由度的变量之一。
一个非相对论粒子(场),如果其态向量在SU(2)的不可约酉表示的表示空间中取值,则该粒子具有自旋。
1929年,van der Waerden研究量子力学时使用了旋量。旋量在解决代数拓扑和微分拓扑中有巨大作用。
旋量群的表示和Clifford代数密切相关,1935年,Brauer和Weyl用Clifford代数的语言来描述旋量和半旋量的表示。
流形上旋量结构是指其上自旋标架的纤维化。相对论时空结构上的旋量结构则被定义为从属于Lorentz度量的旋量结构。此时,旋量空间作为旋量群上的模,可以分解成两个复二维复共轭的SL(2,G)模。

Clifford代数又是一个经典的话题,与Bott周期律也有联系,可以看这份 。

一个马马虎虎的小词典,有一些问题,不过引发了不错的讨论。

fundamental class,使得Gromov-Witten不变量可以在一般的辛流形上定义(以前只能对某一类辛流形有定义),并且定义了代数的Gromov-Witten不变量.在这基础上,后来有人推广了Atiyah&Bott的Localization到这种情形下,并结合Kontsevich的想法,使得具体的计算成为可能。
70年代末,ADHM等人构造了S^4上的instanton的模空间, 在对这个例子的计算中可以看到一些Cobodism的痕迹。Donaldson首次利用4流形上的这个模空间构造了一个4流形到#CP^2(n copies)的Cobodism, 后来他在模空间上对一些特殊的微分形式积分,得到了多项式不变量。具体的很长,可以看他的那本4流形的几何学。

只能算是科普书,并不深入(incomplete)。

好故事,不过到了结尾。

十五年过去了,互联网上的中文数学社区经历了各种时代变迁,我们也看到了无数好帖子(和更多坏贴子)。我想前人在讨论数学时,也多半带着好奇与激动之情,写下不同的见解。他们今天在何处,可能已经成为了一个谜,这些贴子则是证明他们存在的印记之一。
一代过去,一代又来,地却永远存在。太阳升起,太阳落下,匆忙回到它上升之处。风向南刮,又往北转,循环周行,旋转不息。
我们要超越上一代人们的创作范畴,发现更多美妙的东西,那就应该避免在同一条河流里过多停留,早日向着人迹罕至的地方进发。互联网前人留下的这些讨论,是大路上的指示牌,希望能对读者有一些帮助。

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