西南大学2014年春《高等几何》作业及答案(已整理) 第一次作业。1 写出下列..
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西南大学2014年春《高等几何》作业及答案(已整理)(共5次)
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高等几何答案
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3秒自动关闭窗口解：（1）设直线l的方程为，代入y2=2px，可得y2-2pay-p2=0（*），由于A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l与抛物线的两交点，故y1，y2是方程（*）的两个实根，∴，又y1y2=-4，所以-p2=-4，又p＞0，可得p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．　　　　　　　　　　　　　（2）由（1）可知y1+y2=2pa=4a，设点D是线段AB的中点，则有，，由题意知点D在直线2x+3y=0上，∴2（2a2+1）+6a=0，解得a=-1或，设直线l的倾斜角为α，则或-2，又α∈[0，π），故直线l的倾斜角为或π-arctan2．　　　　
（3），可得yM=-2，由（1）知y1+y2=4a，又y1y2=-4，∴==，所以k1+k2为定值．分析：（1）设直线l的方程为，代入y2=2px，消掉x得y的二次方程，利用韦达定理及y1y2=-4即可求得p值，从而得抛物线方程；（2）由（1）可知y1+y2=2pa=4a，设点D是线段AB的中点，由中点坐标公式可得D点横坐标，代入直线l方程可得纵坐标，根据点D在直线2x+3y=0上可求得a值，设直线l的倾斜角为α，则tanα=，根据倾斜角范围即可求得α；（3）由k0=1可求得yM，从而得知M点坐标，由（1）知y1+y2=4a，y1y2=-4，根据点A、B在直线l上及斜率公式把k1+k2表示出来，进行化简即可求得定值；点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线斜率及抛物线方程，直线方程、斜率公式是解决该类问题的基础，应熟练掌握．
请选择年级高一高二高三请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：高中数学
设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点，若△BDF为等边三角形，△ABD的面积为6，则p的值为3，圆F的方程为2+y2=12．
科目：高中数学
（2013?宝山区一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．（1）若p=2，求线段AF中点M的轨迹方程；（2）若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求△OAB的面积；（3）若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列．
科目：高中数学
（2012?长宁区二模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，已知|P1P2|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）过点M（3，0）作方向向量为的直线与曲线C相交于A，B两点，求△FAB的面积S（a）并求其值域；（3）设m＞0，过点M（m，0）作直线与曲线C相交于A，B两点，问是否存在实数m使∠AFB为钝角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
科目：高中数学
设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　）A．y2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x
科目：高中数学
（2013?黄浦区二模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2）且y1y2=-4．（1）求抛物线C的方程；（2）若（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求直线l倾斜角；（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2．求证：当k0为定值时，k1+k2也为定值．已知：△ABC中，顶点A（2，2），边AB上的中线CD所在直线的方程是x+y=0，边AC上的高BE所在直线的方程是x+3y+4=0．（1）求点B、C的坐标；
（2）求△ABC的外接圆的方程．
（1）由题意得直线BE的斜率为-
，根据垂直得到直线AB的斜率为3，则直线AC：y-2=3（x-2）联立
y-2=3(x-2)
，所以C（1，-1）设B（a，b），代入BE：x+3y+4=0，则AB中点D(
)代入直线x+y=0，得
所以B（-4，0）；（2）设圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，A，B，C三点代入得：
4+4+2D+2E+F=0
1+1+D-E+F=0
所以圆方程为x2+y2+
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC=6，BC=8，则CD=______．
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC=6，BC=8，则CD=______．
如图，将△ABC放在平面直角坐标系中，使B、C在X轴正半轴上，若AB=AC．且A点坐标为（3，2），B点坐标为（1，0）．（1）求边AC所在直线的解析式；（2）若坐标平面内存在三角形与△ABC全等且有一条公共边，请写出这些三角形未知顶点的坐标．
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《高等几何》期末复习资料36-2
解先求二直线（2,1,3），（1，－1，0）的交；x1：x2：x3=；1?1；30；30；21；21；1?1；?3:3:?3?1:1:?1；再求两点（1，1，－1），（1，2，－1）的联线；12；?1?1；:?1?1；1:112；?1:0:1所求直线方程为：x1+x3=0或x+；4、求直线（1,－1,2）与二点（3，4，－1）；解：先求二点（3，4，－1），
先求二直线（2,1,3），（1，－1，0）的交点坐标：x1：x2：x3=1?130:3021:211?1?3:3:?3?1:1:?1再求两点（1，1，－1），（1，2，－1）的联线的坐标：
u1：u2：u3=12?1?1:?1?11:112?1:0:1
所求直线方程为：x1+x3=0或x+1=04、求直线（1,－1,2）与二点（3，4，－1）,(5,－3,1)之联线的交点坐标。解：先求二点（3，4，－1），(5,－3,1)的联线坐标：u1：u2：u3=4?3?11:?1135:354?3?1:?8:?29再求二直线（1,－1,2），（1，－8，－29）的交点坐标： x1：x2：x3=?1?82?29:2?291:1?1?8?45:31:?7所求交点坐标为（45，31，－27）。
5、方程u1－u2+2u3=0代表什么？u12－u22=0代表什么？
解：方程u1－u2+2u3=0表点（1，－1，2）的方程或表示以点（1，－1，2）为中心的线束方程。∵u1－u2=（u1+u2）（u1－u2）= 0，∴u1+u2=0表示点（1，1，0）的方程；u1－u2=0表示点（1，－1，0）的方程。
∴u1－u2=0表示两点（1，1，0）和（1，－1，0）的方程。6、将2x－y+1表示成3x+y－2，7x－y的线性组合，这种表达的几何依据何在？ 解：设2x－y+1=λ（3x+y－2）+μ（7x－y）=（3λ+7μ）x+（λ－μ）v－2λ，?3??7??2?得方程组 ??????1解得：???1,??122???2??12222∴2x－y+1=?1(3x+y－2)+212(7x－y)。依据是若令它们为零，所得三直线共点。 7、将（2，1，1）表成（1，－1，1）和（1，0，0）的线性组合，这说明什么几何性质？ 解：设（2，1，1）=λ（1，－1，1）+μ（1，0，0）（1）?????2?则????1此方程组无解， ????1即找不到λ和μ满足（1）式，这说明它们表示的三点（线）不共线（点）。8、求直线x－2y+3=0上的无穷远点的坐标。
解：x3=0是无穷远直线方程∴??x1?2x2?3x3?0 x?0?3从而x1－2x2=0, 取x1=2, 得x2=1, 所求无穷远点坐标为（2,1.0）。 9、下列概念，哪些是仿射的，哪些是欧氏的？①非平行线段的相等；
②不垂直的直线； ③四边形；
④梯形； ⑤菱形；
⑥平行移动； ⑦关于点的对称；
⑧关于直线的对称； ⑨绕点的旋转；
⑩面积的相等。 答：①欧氏；
②欧氏；③仿射；④仿射；⑤欧氏；⑥仿射；
⑦仿射；⑧欧氏；⑨欧氏；⑩仿射。 第三章 一维射影几何 1、设A、B、C、D、E为直线上五点，证明(AB,CD)(AB,DE) (AB,EC)=1。 证明: (AB,CD)(AB,DE) (AB,EC)?2、证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点。
证明：设C为线段AB的中点，D∞为直线AB上的无穷远点，
（AB?CD∞）?AC?BD?AD??BC?ACBC??1AC?BDAD?BC?AD?BEAE?BD?AE?BCAC?BE?13、直线上顺序四点A、B、C、D相邻两点距离相等，计算这四点形成的六个交比的值。 解:（AB，CD）?AC?BDAD?BC13?13（AB，DC）??(AB,CD)4?2?2?43 (AC，BD)=1－（AB，CD）?1?
（AC，DB）?1(AC,BD)??343??13 （AD，BC）?1?(AB,DC)?1?（AD，CB）?1(AD,BC)?434?14 4、求四点（2，1，－1）,（1，－1，1）,（1，0，0）,（1，5，－5）顺这次序的交比。
解：以（2，1，－1）和（1，－1，1）为基底。则（2，1，－1）+μ1（1，－1，1）=（1，0，0） ?2??11?1??1 ??1??1 ??1?1；（2，1，－1）+μ2（1，－1，1）=（1，5，-5）?2??21?1??25?1??2?52??23? 2所求交比为 ??1?2??3 5、设P1,P2,P4三点的坐标为（1，1，1）,（1，－1，1）,（1，0，1）且（P1P2, P3P4）=2,求点P3的坐标。
解：以 P1，P2为基底，则（1，1，1）+μ2（1，－1，1）∝（1，0，1）。?1??21?1??2 ?1??21??2?1设μ1是基底P1，P2表示P3的参数，由已知条件（P1P2,
P3P4）=?1?2?2，且μ2=1，∴μ1=2，因此，P3的坐标为（1，1，1）+2（1，-1，1）=（3，-1，3）。6、设A、B、C、D为共线四点，O为CD的中点，且OC2=OA?OB，证明（AB，CD）=-1
证明：∵OC2=OA?OB?OCOAOCOC?OAOB?OCACCB因此OC=－OD） ?,（∵OA?ODOB?ODACCBAC?BD?????1，即：(AB,CD)??1， DADBAD?BC1CD1?OBOC?OAOB?OC，由合分比得? 7、设A、B、C、D成调和点列，即(AB，CD)=－1，求证 证明：由假设得：(AB，CD)?AC?BDAD?BC?2CA(1?1CB).??1?AC?BD+BC?AD=0 (1)∵BD=CD－CB,
AD=CD－CA,代入（1）式得
AC（CD－CB）+BC（CD－CA）=0，化简得： AC?CD－AC?CB+BC?CD－BC?CA=0，－CA?CD+CA?CB－CB?CD+CB?CA=0
2CB?CA=CA?CD+CB?CD
以CA?CB?CD除（2）式两边，得：1CD?12CA(1?1CB). 8、证明在X轴上由方程a11x2+2a12x+a22=0和b11x2+2b12x+b22=0之根所决定的两个点偶成调和分割的充要条件是a11b22－2a12b12+a22b11=0。证明：必要性，设两方程的根依次是x1,x2和x3，x4，则
x3+x4=?2a12a112b12b11a22a11b22b11，x1?x2= ，x3?x4=（1）??1若 (x1x2，x3x4)=－1，即(x1?x3)(x2?x4)(x1?x4)(x2?x3)有（ x1－x3）（ x2－x4）+（ x1－x4）（x2－x3）=0，2（x1x2＋x3x4）－（x1＋x2）（x3＋x4）=0，
（2）将（1）代入（2），得：2b22b11?2a22a11?4a12b12a11b11?0∴a11b22+a22b11-2a122b12=0。充分性，以2b2b1122a11b11?2aa乘a11b22+a22b11－2a12b12=0的两边，得12?2aa12212bb1211?011将（1）代入上式后按必要性步骤倒推即得：(x1x2，x3x4)=－1。9、试证四直线2x－y+1=0,3x+y－2=0, 7x－y=0,5x－1=0共点，并顺这次序求其交比。
证明：以2x－y+1=0和3x+y－2=0为基线表示 7x－y=0，5x－1=0，
∵7x－y=0与（2x－y+1）+λ1（3x+y－2）=0重合，
72?3?152?3?2??1?1??10?1??2?01?2?1?11?2?2??1?12;∵5x－1=0与（2x－y+1）+λ2（3x+y－2）=0重合. ∴????2?1,所求交比为?1?2?12，由于交比存在，所以四直线共点。10、试证，一角的两边和它的内外分角线成调和线束。
证明：设直线c、d是a、b为边的角的内外分角线，
以直线1截a、b、c、d分别于A、B、C、D∵（AB，CD）?AC?BDAD?BC??ACCB?BDAD??SASB6???1
图SBSA∴（ab，cd）=（AB，CD）=－1。11、ABCD为平行四边形，过A引AE与对角线BD平行，证明
A（BD，CE）=－1。证明：设AC×BD=O，AE×BD=P∞（图7），因此A（BD，CE）=（BD，OP∞）=（BDO）?BODO??1图
712、AB为圆之直径，C为直径延长线上一点，从C向圆引切线CT，证明T在AB上的垂直射影D是C对于A、B的调和共轭点，若C在线段AB本身上，如何作它的调和共轭点？ 证法1：设O是AB的中点，∴OT⊥CT，TD⊥AB
∴OT2=OD?OC，即OA2=OD?OC，由本章6题结论得（AB，CD）=－1。证法2：∠ATD=∠ATE，∠DTB=∠BTC，
∴TB，TA是∠DTC的内外分角线（图8）， 图8因此（AB，CD）=T（AB，CD）=－1。如果C在线段AB内部，过C作CT⊥AB交圆于T，过T作圆的切线交AB的 延长线于D，则A，B调和分割C，D，因为当C确定后，T也确定，所以点D 唯一确定。13、设两点列同底，求一射影对应使0，1，∞分别变为1，∞，0 解：设第四对对应点为x，x'，由于射影对应保留交比不变，所以（01,∞x）=（1∞，0x'）由交比性质得：（10，x∞）=(0x'，1∞) ，即：（10x）=（0x'1）， 展开得：14、设点列上以数x为笛氏坐标的点叫做x，试求一射影对应，使点列上的三点1,2,3对应于点列上三点：（1）4,3,2；（2）1,2,3；（3）－1,－2,－3.
解：设第四对对应点x，x'，
（1）∵（12，3x）=（43，2x'）
?2(x?2)(x?1)??2(x??3)?1(x??4),?x???x?5,且???1?0
01?1?0x?1x?0?1?01?x??x??11?x,且0?111?1?0（2）∵（12,3x）=(12,3x')，∴x'=x为恒等变换，且（3）∵（12,3x）=（-1-2，-3x'），∴x' = - x且?10??1?015、当射影对应使一点列上的无穷远点对应于另一点列上的无穷远点时，证明两点列的对应线段成定比。证法1：∵三对对应点A→A' ，B→B'，C∞→C'∞，决定射影对应，设M→M'为任一对对应点，则由（AB，C∞M）=（A'B'，C'∞M'）得： （ABM）=（A'B'M'）， 即A?M?B?M??AMBM?A?M?AM?B?M?BM?A?M??B?M?AM?BM?A?B?AB?定比。a?bdx,证法2：射影变换式为；x??ax?bcx?d且acbd?0或：x??c?因为当x→∞时，x'→∞，所以c=0。此时射影变换式为：x??ax?bd，或dx'－ax－b=0。设x1→x1'，x2→x2' 为两对对应点，因此
dx1'－ax1－b=0
① dx2'－ax2－b=0
②包含各类专业文献、高等教育、生活休闲娱乐、各类资格考试、专业论文、中学教育、文学作品欣赏、外语学习资料、行业资料、《高等几何》期末复习资料36等内容。　
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