如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）试说明：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是以OD为底边的等腰三角形？【考点】；；．【专题】计算题．【分析】（1）由旋转的性质可知CO=CD，∠OCD=60°，可判断：△COD是等边三角形；（2）由（1）可知∠COD=60°，当α=150°时，∠ADO=∠ADC-∠CDO，可判断△AOD为直角三角形；（3）当△AOD是以OD为底边的等腰三角形时，∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°，根据∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，列方程求α．【解答】解：（1）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°∴OC=OD则△COD是等边三角形；（2）△AOD为直角三角形．∵△COD是等边三角形．∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=α=150°，∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，于是△AOD是直角三角形．（3）α=125°．理由：∵△AOD是以OD为底边的等腰三角形，∴∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°．∵110°+α+（60°+∠AOD）=360°，∴110°+α+（60°+α-60°）=360°，解得α=125°．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是利用旋转前后，对应边相等，对应角相等解题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：zhangCF老师　难度：0.77真题：3组卷：15
解析质量好中差【答案】分析：（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；（2）结合（1）的结论可作出判断；（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．解答：（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60&得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60&，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α=150&时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60&得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150&，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60&，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90&，∵∠α=150&∠AOB=110&，∠COD=60&，∴∠AOD=360&-∠α-∠AOB-∠COD=360&-150&-110&-60&=40&，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360&-110&-60&-α=190&-α，∠ADO=α-60&，∴190&-α=α-60&，∴α=125&；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180&-（∠AOD+∠ADO）=180&-（190&-α+α-60&）=50&，∴α-60&=50&，∴α=110&；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠OAD=360&-110&-60&-α=190&-α，∠AOD==120&-，∴190&-α=120&-，解得α=140&．综上所述：当α的度数为125&或110&或140&时，△AOD是等腰三角形．点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
21、如图，点D是等边三角形ABC内的一点，将△BDC绕点C顺时针旋转60°，试画出旋转后的三角形，并指出图中的全等图形以及它们的对应顶点、对应边和对应角．
科目：初中数学
16、如图，点P是等边三角形ABC内一点，BP=5cm，△PAB绕点B旋转后能与△MCB重合，连接PM，则PM=cm．
科目：初中数学
21、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
科目：初中数学
（2011?清流县质检）星期天，小明在解答下列题目时卡壳了．题目1：如图①，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，O为△ABC内的一点，OC=1，OA=，OB=．求∠AOC的度数．小明去请教小颖正在解答下列题目．题目2：如图②，点O是等边三角形ABC内的一点，将△BCO绕C顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．（1）试判断△COD的形状，并说明理由；（2）当∠COB=150°时，试判断△AOD的形状，并写出OA、OB、OC三者之间的等量关系式．小颖说：“等等，等我做完了，我们一起来看．”小明看完，小颖做完后高兴地说：“哈哈，太好了，我会了．”聪明的同学，你能先解答完题目2，再根据解答所得到的启迪来完成题目1吗？写出你的解答过程．
科目：初中数学
如图：点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将线段OC绕点C按顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接OD、AD．（1）求证：AD=BO；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时（直接写出答案），△AOD是等腰三角形？点O为等边三角形ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=135°.（1）以OA、OB、OC为边能否构成三角形?若能,求出该三角形各个内角的度数；若不能,请说明理由.（2）如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于_百度作业帮
点O为等边三角形ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=135°.（1）以OA、OB、OC为边能否构成三角形?若能,求出该三角形各个内角的度数；若不能,请说明理由.（2）如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于
点O为等边三角形ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=135°.（1）以OA、OB、OC为边能否构成三角形?若能,求出该三角形各个内角的度数；若不能,请说明理由.（2）如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度,以OA,OB,OC为边的三角形是直角三角形?
1、∵△ABC是等边三角形∴BC=AC,∠ACB=∠BAC=60°将△BOC绕C现旋转到BC和AC重合,连接OB′,得△BOC≌△CAB′那么∠BCO=∠ACB′,OB=AB′,OC=B′C,∠AB′C=∠BOC=135°∵∠ACB=∠BCO+∠ACO=∠ACB′+∠ACO=∠OCB′=60°∴△OCB′是等边三角形∴OB′=OC=B′C∠COB′=∠CB′O=60°∵∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=360°-110°-135°=115°∴∠AOB′=∠AOC-∠COB′=115°-60°=55°∠AB′O=∠AB′C-∠CB′O=135°-60°=75°∴∠OAB′=180°-∠AOB′-∠AB′O=180°-55°-75°=60°∴能构成三角形&：60°、55°、75°&&2、∠BOC=100°或150°&将△AOC绕C现旋转到AB和AC重合,连接OO′,得△AOC≌△AO′BOA=O′A,∠OAO′=60°,那么△OAO′是等边三角形,OO′=OA,∠AOO′=∠AO′O=60°OC=O′B,∠AOC=∠AO′B∴∠BOO′=∠AOB-∠AOO′=110°-60°=50°那么：(1)∠OBO′=90°,那么∠BO′O=90°-50°=40°∴∠AO′B=∠AOC=∠AO′O+∠BO′O=60°+40°=100°∴∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=360°-110°-100=150°(2)如果∠BO′O=90°∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+90°=150°那么∠AOC=150°∴∠BOC=100°&
因为三角形ABC是等边三角形，所以设AB=BC=AC=d，再表示出一个角的大小，用余弦定理表示出OAOBOC的大小。第二问用刚才求出的关系来做。
我是初一的，没学过余弦定理。。。当前位置：
＞＞＞如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺..
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
题型：解答题难度：中档来源：浙江省同步题
（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．（2）答：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠AOD==120°﹣，∴190°﹣α=120°﹣，解得α=140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺..”主要考查你对&&图形旋转，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形，全等三角形的性质，三角形全等的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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图形旋转直角三角形的性质及判定等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等边三角形全等三角形的性质三角形全等的判定
定义：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。图形旋转性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。旋转对称中心把一个图形绕着一个点旋转一定的角度后，与原来的图形相吻合，这种图形叫做 旋转对称图形，这个定点叫做 旋转对称中心，旋转的角度叫做 旋转角。（旋转角大于0°小于360°）直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。 直角三角形性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD)2=BD·DC。（2）（AB)2=BD·BC。（3）（AC)2=CD·BC。性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则&&& BD:DC=AB:AC直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形中腰大于高10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定：1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④&两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&三角形全等判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。三角形全等的判定公理及推论：(1)“边角边”简称“SAS”(2)“角边角”简称“ASA”(3)“边边边”简称“SSS”(4)“角角边”简称“AAS” 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：①S.S.S. (边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。②S.A.S. (边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。③A.S.A. (角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。④A.A.S. (角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：⑥A.A.A. (角、角、角)：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。⑦A.S.S. (角、边、边)：各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。解题技巧：一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
发现相似题
与“如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺..”考查相似的试题有：
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如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
主讲：张小军
评分：4.0分
【思路分析】
（1）由旋转的性质可知CO=CD，∠OCD=60°，可判断：△COD是等边三角形；（2）由（1）可知∠COD=60°，当α=150°时，∠ADO=∠ADC-∠CDO，可判断△AOD为直角三角形；（3）当△AOD是以OD为底边的等腰三角形时，∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°，根据∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，列方程求α．
【解析过程】
解：（1）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°∴OC=OD则△COD是等边三角形；（2）△AOD为直角三角形．∵△COD是等边三角形．∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=α=150°，∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，于是△AOD是直角三角形．（3）α=125°．理由：∵△AOD是以OD为底边的等腰三角形，∴∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°．∵110°+α+（60°+∠AOD）=360°，∴110°+α+（60°+α-60°）=360°，解得α=125°．
（1）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°∴OC=OD则△COD是等边三角形；（2）△AOD为直角三角形．∵△COD是等边三角形．∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=α=150°，∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，于是△AOD是直角三角形．（3）α=125°．理由：∵△AOD是以OD为底边的等腰三角形，∴∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°．∵110°+α+（60°+∠AOD）=360°，∴110°+α+（60°+α-60°）=360°，解得α=125°．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是利用旋转前后，对应边相等，对应角相等解题．
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