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不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题型：单选题难度：中档来源：山东省中考真题
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据魔方格专家权威分析，试题“不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有[]A.1个B.2个C.3个D.4个-九年..”主要考查你对&&一元一次不等式的解法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解集：一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如﹕不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x﹥0的解集是所有正实数。求不等式解集的过程叫做解不等式。将不等式化为ax&b的形式(1)若a&0，则解集为x&b/a(2)若a&0，则解集为x&b/a
一元一次不等式的特殊解：不等式的解集一般是一个取值范围，但有时需要求未知数的某些特殊解，如求正数解、整数解、最大整数解等，解答这类问题关键是明确解的特征。 不等式的解与解集：不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如x=1是x+2&1的解①不等式的解是指某一范围内的某个数，用它来代替不等式中的未知数，不等式成立。②要判断某个未知数的值是不是不等式的解，可直接将该值代入等式的左、右两边，看不等式是否成立，若成立，则是；否则不是。③一般地，一个不等式的解不止一个，往往有无数个，如所有大于3的数都是x&3的解，但也存在特殊情况，如|x|≦0，就只有一个解，为x=0不等式的解集和不等式的解是两个不同的概念。①不等式的解集一般是一个取值范围，在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解，不等式一般有无数个解。②不等式的解集包含两方面的意思：解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；解集外的任何一个数值，都不能使不等式成立。（即不等式不成立）③不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，如不等式x-1&2的解集是x&3,可以用数轴上表示3的点左边部分来表示，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括这一点。一元一次不等式的解法：解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似，只是在利用不等式基本性质3对不等式进行变形时，要改变不等式的符号。有两种解题思路：（1）可以利用不等式的基本性质，设法将未知数保留在不等式的一边，其他项在另一边；（2）采用解一元一次方程的解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。&解一元一次不等式的一般顺序： （1）去分母 （运用不等式性质2、3） 　　（2）去括号 　　（3）移项 （运用不等式性质1） 　　（4）合并同类项。 　　（5）将未知数的系数化为1 （运用不等式性质2、3） 　　（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集&不等式解集的表示方法： （1） 用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来。例如：x-1≤2的解集是x≤3。 　　（2） 用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解。用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。
发现相似题
与“不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有[]A.1个B.2个C.3个D.4个-九年..”考查相似的试题有：
182031188248543001516440190256543503衣服先涨10%,后九折售,则现价( )A原价的（1+10％B原价的100％C原价的（1-10％D. 原价的（1+10％）（1-10％_百度知道
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2. 若a-b=2，那么3（b-a）2-2（b-a）+2的值为（　　）A. 16　　B. 4　　C. 10　　D. 无法计算答案：［ ］
正确答案：
3. 如果（x-2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值是（　　）A. p=5， q=6　　　B. p=1， q=-6　　C. p=1， q=6　　　D. p=5， q=-6答案：［ ］
正确答案：
4. 减去3x等于5x2-3x-5的代数式是（　　）A. 5x2-6x-5　　　　　B. 5+5x2C. 5x2-5　　　　　D. -5x2-6x+5答案：［ ］
正确答案：
5. 若a+b=10，a-b=20，则a-b2的值是（　　）A. -10　　B. 10　　C. 40　　D. -40答案：［ ］
正确答案：
6. 下列各组单项式是同类项的是（　　）①　3a2b与－4ab2；　　②　13abc与－4ab；　　③　ab与－3ba；④　0.5与4；　　⑤　2ab2与3xy2；　　⑥　a4与4a.A. ①④；　　B. ①③④；C. ③④；　　D. ④⑥.
提问者采纳
1\D2 a-b=2,b-a=-2带入算即可3、将左边展开，与右边相等即可4、后面那个代数式加上3X即可5、求出a、b分别为15、-5，带入即可6、C
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第三章 一元一次方程.doc30页
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··········
一元一次方程
从算式到方程
一元一次方程 1
学习要求：
了解方程的意义，理解方程的概念；通过列式子、方程，加深对数学语言的理解，体会用抽象符号――字母代表数量关系的优越性，学会分析问题中的数量关系．
1．含有未知数的________是方程．
2．温度由t℃下降5℃后是＿＿＿＿℃．
3．x与y的和的4倍是＿＿＿＿．
4．c除以a与b差的商＿＿＿＿．
5．比m的大3的数是________．
6．乙数是a，且乙数是甲数的30％，则甲数是＿＿＿＿．
7．长方形的长为x，宽为y，它的周长c＝＿＿＿＿，面积S＝＿＿＿＿；如果x＝6cm，y＝4cm，那么c＝________cm，S＝________cm2．
8．若圆的半径为r，则周长c＝＿＿＿＿，面积S＝＿＿＿＿；若r＝3cm，则周长c＝＿＿＿＿cm，面积S＝＿＿＿＿cm2．
9．在式子①3＋5＝8；②x＋2＝y＋3；；④4x＜3；⑤S＝a2中，方程的个数为
10．某商场上月的营业额是m万元，本月比上月增长25％，那么本月的营业额是
m＋1 ?25％万元
B 25％?m万
1＋25％ m万元
25％＋m 万元
11．买单价为a元的体温计n个，付出b元，应找回的钱数是
12．一本书读了三分之一还剩100页，这本书共多少页?根据上述条件列方程．
13．某电脑用户购买单价为80元的单片软件m片，盒装磁盘n盒，共付款1 000元．问盒装磁盘单价为多少?根据上述条件列方程．
14．在甲处劳动的有100人，乙处劳动的有88人，现在要从甲、乙两处共调走70人，并使甲、乙两处留下的人数相等，那么应从甲、乙两处各调出多少人?根据上述条件列方程．
问题探究：
15．如图3－1，请观察下列图形
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&&2014届高考数学（理）一轮复习考点预测训练：第九篇《解析几何》1（新人教A版）
2014届高考数学（理）一轮复习考点预测训练：第九篇《解析几何》1（新人教A版）
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2014届高考数学（理）一轮复习考点预测训练：第九篇《解析几何》1（新人教A版）
第九篇　解析几何
第1讲　直线方程和两直线的位置关系
【2014年高考会这样考】
1．考查倾斜角的概念、倾斜角与斜率的关系及直线方程的几种形式．
2．考查由两条直线的斜率判定两直线平行与垂直．
3．考查点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式及求解等．
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
倾斜角的范围是[0，π)．
(2)直线的斜率
定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_θ；
计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝.
2．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2) 和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
3.两直线平行与垂直
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2?k1＝k2，l1l2?k1k2＝－1.
4．距离公式
(1)平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为|P1P2|＝.
(2)平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝.
(3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离为d＝.
【助学·微博】
与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：
一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.
(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．
(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应先化为一般式．
1．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)．
A．[0，π)
解析　设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α[－1,1]，又θ[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P在两条平行直线l1，l2外．
过P点作直线l，使ll1，则ll2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的d的最小值．由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|＝＝3.
(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1,3)，B(x2,3)，则3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5.
6．(13分)已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程．
解　法一　因为l1l，所以l2l，
设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．
直线l1，l2关于直线l对称，
所以l1与l，l2与l间的距离相等．
由两平行直线间的距离公式得＝，
解得m＝－5或m＝3(舍去)．
所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
法二　由题意知l1l2，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．
在直线l1上取点M(0,3)，
设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，
于是有解得即M′(4，－1)．
把点M′(4，－1)代入l2的方程，得m＝－5，
所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
第2讲　圆的方程
【2014年高考会这样考】
1．考查圆的标准方程、一般方程及其应用．
2．考查两圆的公共弦及与圆有关的交汇性问题等．
1．圆的标准方程
(1)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．
(2)圆的标准方程
方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程．
特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为2＋2＝.故有：
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
3．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)20，即3a2＋4a－4<0，解得－2<a<，符合条件的a只有一个，a＝0，原方程只能表示一个圆．
4．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)．
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析　由题意得，AB的中垂线方程为y＝x，
圆心C的坐标为(1,1)，r2＝|AC|2＝(1－1)2＋(1＋1)2＝4，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
5．如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为________．
解析　因为三角形AOB是直角三角形，所以内切圆半径为r＝＝＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝9.
答案　(x＋3)2＋(y－3)2＝9
考向一　求圆的方程
【例1】(1)已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．
(2)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________．
[审题视点] (1)设圆心坐标，由直线与圆相切可求；
(2)设圆心坐标，由圆的性质可求．
解析　(1)设圆心为(a,0)(a0，b>0)，由题意可得b＝1.
又圆心C到直线4x－3y＝0的距离d＝＝1，
解得a＝2或a＝－(舍)．
所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆上，所以该直线过圆心，即圆心满足方程x＋y－1＝0，所以－＋1－1＝0，解得a＝0，所以圆心坐标为(0,1)．
答案　(1)(x－2)2＋(y－1)2＝1　(2)(0,1)
考向二　与圆有关的最值问题
【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
[审题视点] 根据代数式的几何意义(斜率、直线、圆)，借助平面几何知识，数形结合求解．
解　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图)．
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图)．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
【训练2】 已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
解　(1)由C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4.
|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，所以≤2.
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
考向三　与圆有关的轨迹问题
【例3】已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC中点M的轨迹方程．
[审题视点] 可以先画出草图，结合三角形有关知识寻找动点与定点之间的关系，然后列式化简即可，切记动点与定点之间的约束条件．
解　(1)法一　设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.
又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
法二　设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．
(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝(x≠3且x≠1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．
与圆有关的轨迹问题主要是求动点的轨迹方程，其求解的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、求解．要灵活运用图形的几何性质．对于“双动点”问题，即已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，通常用代入法．
【训练3】 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)．
方法优化12——巧设坐标求圆的方程
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，单独考查求圆的方程的题目较少，多数考查直线与圆的位置关系问题．题型多数是选择题、填空题，题目难度为中等．
【真题探究】 (2011·辽宁)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．
[教你审题] 思路1 设圆的一般方程，列方程组求解；
思路2 设圆心坐标，利用|CA|＝|CB|求解．
[一般解法] 设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得D＝－4，E＝0，F＝－6.
故圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0.
[优美解法] 设圆心C(x,0)，由|CA|＝|CB|，
解得：x＝2，半径r＝|CA|＝.
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
[答案] (x－2)2＋y2＝10
[反思] 分析题目中的条件，选择适当的方程形式，利用圆的有关性质解题，往往方便快捷．
【试一试】 已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．
解析　设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则R2＝d2＋2＝10，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.
答案　x2＋(y－1)2＝10
A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·济宁一中月考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)．
解析　化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．直线过圆心，3×(－1)＋2＋a＝0，a＝1.
2．(2013·太原质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是(　　)．
A．原点在圆上
B．原点在圆外
C．原点在圆内
解析　将圆的一般方程化为标准方程(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a0，所以原点在圆外．
3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)．
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
解析　由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.
4．(2013·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为(　　)．
A．x2＋y2＝32
B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16
D．x2＋(y－1)2＝16
解析　设P(x，y)，则由题意可得：2＝，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________．
解析　由中点坐标公式得AB的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为＝，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝2.
答案　(x－2)2＋(y－4)2＝2
6．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．
解析　由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.
三、解答题(共25分)
7．(12分)求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解　(1)法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二　过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．
半径r＝＝2，
所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)法一　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
法二　由A(1,12)，B(7,10)，
得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－，
则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0.
同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0.
即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10.
所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.
8．(13分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解　(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，
直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.
又直径|CD|＝4，|PA|＝2，
(a＋1)2＋b2＝40，
圆心P(－3,6)或P(5，－2)，
圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2013·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为(　　)．
D．无法确定
解析　圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，m＝6.
2．圆心为C的圆与直线l：x＋2y－3＝0交于P，Q两点，O为坐标原点，且满足·＝0，则圆C的方程为(　　)．
A.2＋(y－3)2＝
B.2＋(y＋3)2＝
C.2＋(y－3)2＝
D.2＋(y＋3)2＝
解析　法一　圆心为C，
设圆的方程为2＋(y－3)2＝r2.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由圆方程与直线l的方程联立得：5x2＋10x＋10－4r2＝0，
x1＋x2＝－2，x1x2＝.
由·＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即：
x1x2－(x1＋x2)＋＝＋＝0，
解得r2＝，经检验满足判别式Δ>0.
故圆C的方程为2＋(y－3)2＝.
法二　圆心为C，
设圆的方程为2＋(y－3)2＝r2，
在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即2＋(y－3)2＝，故选C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．
解析　由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为＝，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案　(x－2)2＋(y－1)2＝5
4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上的动点，则d＝|PA|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________．
解析　设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝2(x＋y)＋2，欲求d的最值，只需求u＝x＋y的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最值．圆C上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.
答案　74　34
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2013·大连模拟)已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解　(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得：
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积
S＝SPAM＋SPBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为
S＝2＝2＝2.
6．(13分)(2013·南昌模拟)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．
解　(1)设圆心C(a，b)，则解得
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，
令x＝cos θ，y＝sin θ，
·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin－2，
所以·的最小值为－4.第3讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
【2014年高考会这样考】
1．考查直线与圆的相交、相切、相离和弦长问题．
2．考查圆与圆的位置关系．
1．直线与圆的位置关系
位置关系有三种：相离、相切、相交．
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d＜r相交弦长＝2，d＝r相切，d＞r相离．
2．圆与圆的位置关系
设C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)，则有：
|C1C2|＞r1＋r2C1与C2相离；
|C1C2|＝r1＋r2C1与C2外切；
|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2C1与C2相交；
|C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)C1与C2内切；
|C1C2|＜|r1－r2|C1与C2内含．
【助学·微博】
一法巧解“相交”
直线与圆相交时，适当使用垂径定理(半径、半弦、弦心距满足勾股定理)，可以减少运算量．
两个重要结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：
内含时：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
1．(2012·陕西)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　)．
A．l与C相交
B．l与C相切
C．l与C相离
D．以上三个选项均有可能
解析　圆C的方程是(x－2)2＋y2＝4，点P到圆心C(2,0)的距离d＝1<2，点P在圆C内部，直线l与圆C相交．
2．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(　　)．
A．x＋y－1＝0
B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y＋3＝0
解析　圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0可化为标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝4，要使直线平分此圆，则直线需过圆心(1,2)．因此可通过代入法，看哪一条直线过圆心(1,2)即可．经检验，选项C满足条件．故选C.
3．(2012·山东)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)．
解析　两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.3－2<d1，m10.
答案　(－∞，0)(10，＋∞)
考向一　直线与圆的位置关系的判定及应用
【例1】(1)(2012·重庆)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　)．
C．相交但直线不过圆心
D．相交且直线过圆心
(2)(2012·江西)过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
[审题视点] (1)由几何法或代数法判断；
(2)思路1：由数与形结合分析，得|OP|＝2，从而确定P为CD中点，然后求得点P.
思路2：由思路1知|OP|＝2，建立方程组求解．
解析　(1)因为直线y＝kx＋1过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)，故选C.
(2)法一　如图所示，
|OP|＝＝2，易得P为CD中点，故P(，)．
法二　设P(x，y)，则
答案　(1)C　(2)(，)
(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
(2)解决直线与圆的位置关系的应用问题，常常借助几何性质结合数形结合思想解题．
【训练1】 (1)(2012·东莞模拟)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
(2)(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
解析　(1)设直线l的方程为：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，
则：≤1.解得：k2≤，即－≤k≤.
(2)将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为得弦心距为.设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，＝，化简得7k2－24k＋17＝0，k＝1或k＝.
答案　(1)　(2)1或
考向二　圆与圆的位置关系的判定及应用
【例2】a为何值时，圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
(1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切．
[审题视点] (1)分别表示出两圆的圆心坐标和半径；(2)利用两圆心之间的长度与两圆半径的关系求解．
解　将两圆方程写成标准方程．
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2，设两圆的圆心距为d，
则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.
(2)当1<d<5，即1<2a2＋6a＋5<25时，两圆相交，此时－5<a<－2或－1<a5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a0.
由根与系数的关系可得x1＋x2＝4－a，x1x2＝.
由OAOB可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.
由可得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
热点突破21——破解直线与圆位置关系的有关问题
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，对直线与圆位置关系的考查是个热点，几乎每年必考，题型多为选择题、填空题，题目难度稍大．
【真题探究】 (2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
[教你审题] 第1步 把圆的一般方程化为标准方程；
第2步 求圆心到直线的距离；
第3步 建立不等式求解．
[解法] 圆C的方程可化为(x－4)2＋y2＝1，直线y＝kx－2是过定点(0，－2)的动直线．圆心C到直线y＝kx－2的距离d＝，要使其满足已知条件，则需d≤1＋1，即≤1＋1，解得0≤k≤.故k的最大值为.
[反思] 所给题设条件看似繁杂，实则较为清晰简单，画出草图一目了然．
【试一试】 设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是________．
解析　由题意结合圆的性质得，当圆C2的圆心C2为AB的中点时，圆C2的半径最大．而原点到直线3x＋4y－5＝0的距离为1，圆C1的半径为2，所以圆C2的半径最大值为1.
A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2012·福建)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于(　　)．
解析　由题意作出图象如图，由图可知圆心O到直线AB的距离d＝＝1，故|AB|＝2|BC|＝2＝2.
2．(2012·安徽)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)．
A．[－3，－1]
B．[－1,3]
C．[－3,1]
D．(－∞，－3][1，＋∞)
解析　由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
3．(2013·潍坊模拟)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)．
A．(＋1，＋∞)
B．(－1，＋1)
C．(0，－1)
D．(0，＋1)
解析　计算得圆心到直线l的距离为＝>1，得到右边草图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1，故选A.
4．(2013·银川一模)若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(aR)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(bR)恰有三条切线，则a＋b的最大值为(　　)．
解析　易知圆C1的圆心为C1(－a,0)，半径为r1＝2；
圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝1.
两圆恰有三条切线，两圆外切，
|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9.2≤，
a＋b≤3(当且仅当a＝b＝时取“＝”)，
a＋b的最大值为3.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2012·北京)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．
解析　由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝.
设截得的弦长为l，则由2＋()2＝22，得l＝2.
6．(2011·江苏)设集合A＝(x，y)(x－2)2＋y2≤m2，x，yR，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，yR}，若A∩B＝，则实数m的取值范围是________．
解析　A∩B≠?，A≠?，
m2≥.∴m≥或m≤0.显然B≠.
要使A∩B≠，只需圆(x－2)2＋y2＝m2(m≠0)与x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1有交点，即≤|m|或≤|m|，≤m≤2＋.
又m≥或m≤0，≤m≤2＋.
当m＝0时，(2,0)不在0≤x＋y≤1内．
综上所述，满足条件的m的取值范围为.
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
解　将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
解得a＝－7或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
8．(13分)已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.
(1)求直线PQ与圆C的方程；
(2)若直线lPQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
解　(1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，
设圆心C(a，b)半径为r，
由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，
即y＝x－1，所以b＝a－1.
又由在y轴上截得的线段长为4，知r2＝12＋a2，
可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2，
由得：a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.
当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意，
当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，
故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.
(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，
由题意可知OAOB，即·＝0，
x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0，
化简得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0.
由得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，
x1＋x2＝m＋1，x1x2＝.
代入式，得m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0，
m＝4或m＝－3，经检验都满足判别式Δ>0，
y＝－x＋4或y＝－x－3.
B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2013·南昌模拟)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)．
解析　C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±，即直线处于两切线之间时满足题意，
则－<m<0或0<m<.
综上知－<m<0或0<m<.
2．(2011·江西)如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是(　　)．
解析　如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记AOM＝θ，则OM1O1＝M1OO1＝θ，故M1O1A＝M1OO1＋OM1O1＝2θ.大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合．即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A符合．故选A.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．设m，nR，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB面积的最小值为________．
解析　l与圆相交所得弦的长为2，＝，
m2＋n2＝≥2|mn|，|mn|≤.
l与x轴交点A，与y轴交点B，
S△AOB＝·＝·≥×6＝3.
4．(2012·浙江)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.
解析　x2＋(y＋4)2＝2到直线y＝x的距离为－＝，所以y＝x2＋a到y＝x的距离为，而与y＝x平行且距离为的直线有两条，分别是y＝x＋2与y＝x－2，而抛物线y＝x2＋a开口向上，所以y＝x2＋a与y＝x＋2相切，可求得a＝.
三、解答题(共25分)
5．(12分)设直线l的方程为y＝kx＋b(其中k的值与b无关)，圆M的方程为x2＋y2－2x－4＝0.
(1)如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；
(2)b＝1时，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
解　圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝5，
圆心M的坐标为(1,0)，半径为r＝.
(1)不论k取何值，直线l总过点P(0，b)，
欲使l与圆M总有两个不同的交点，必须且只需点P在圆M的内部，即|MP|<，即1＋b2<5，
－2<b0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是(　　)．
解析　圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，由直线被圆截得的弦长为4可知直线通过圆心，即2a·(－1)－b·2＋2＝0，即a＋b＝1，故＋＝(a＋b)·＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
9．(2013·豫东、豫北十所名校联考)圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为(　　)．
A．(x－2)2＋2＝9
B．(x－3)2＋(y－1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－3)2＝2
D．(x－)2＋(y－)2＝9
解析　设所求圆的圆心坐标是(a>0)，则点(a>0)到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝＝≥＝3，当且仅当3a＝，即a＝2时取等号，因此所求圆的圆心坐标是，半径是3，所求圆的方程为(x－2)2＋2＝9，选A.
10．点P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，过焦点作F1PF2外角平分线的垂线．垂足为M，则点M的轨迹是(　　)．
A．圆B．椭圆C．双曲线
解析　如图，延长F2M交F1P延长线于N.|PF2|＝|PN|，|F1N|＝2a.连结OM，则在NF1F2中，OM为中位线，则|OM|＝|F1N|＝a.M的轨迹是圆．
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．(2013·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．
解析　分两种情况：(1)直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；(2)l不过原点时，设方程为＋＝1，将x＝－2，y＝3代入得a＝1，直线方程为x＋y＝1.综上：l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.
答案　x＋y－1＝0或3x＋2y＝0
12．(2013·长春一模)已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是________．
解析　l1∥l2，可设直线l1：3x＋4y＋b＝0.
l1与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，＝1，
b＝9或b＝－1，
l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.
答案　3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0
13．过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
解析　易知PA的斜率kPA＝＝－1，PB的斜率kPB＝＝1，又直线l与线段AB没有公共点．
直线l的斜率k的取值范围为k1，
结合正切函数图象得倾斜角的范围是.
14．过点M的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为________．
解析　由题意得，当CMAB时，ACB最小，从而直线方程y－1＝－，即2x－4y＋3＝0.
答案　2x－4y＋3＝0
15．(2013·苏州一模)过直线l：y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y－1)2＝2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________．
解析　如图，据题意，
1＝2，3＝4；
1＋2＋3＋4＝180°，
2∠2＋23＝180°，
2＋3＝90°，
CP⊥l.∴P到圆心C的距离等于C到l的距离d＝＝3.
易失分点清零(十一)　解析几何(一)
易失分点1　忽视斜率不存在的情况
【示例1】 已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0，且l1l2，则a＝________.
解析　法一　当直线斜率不存在，即a＝0时，有l1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1l2；
当直线斜率存在时，l1l2?－＝a＝－，经检验，a＝－符合题意．故使l1l2的a的值为－或0.
法二　由l1l2?3·(－a)－(3a－1)·2a＝0，得a＝0或a＝－.经检验，a＝0和a＝－均符合题意．
故使l1l2的a的值为0或－.
答案　0或－
易失分点2　忽视圆存在的条件
【示例2】 已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，过定点A(1,2)可作该圆的两条切线，则a的取值范围为________．
解析　圆C的方程可变形为：2＋(y＋1)2＝，其中>0，即－<a0，即a2＋a＋9>0.
由可得：－<a0，所以由均值不等式，得k≥.又k<0，所以－1≤k<0，即－1≤tan α<0.所以≤α2，m2＋n2<4，＋<＋＝1－m2<1，点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个，故选B.
10．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)．
B.[0，＋∞)
解析　圆(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离d＝，则弦MN的长为|MN|＝2＝2 ＝2 ≥2，解得k.
11．经过点A(3,2)且在两轴上截距相等的直线方程是________．
解析　当直线过坐标原点时，直线方程为2x－3y＝0；当直线不过坐标原点时，设直线在两坐标轴上的截距为a，由＋＝1，得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.
答案　2x－3y＝0或x＋y－5＝0
12．已知l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1l2的充要条件是________．
解析　由l1l2知a(a－2)－3＝0，解得a＝3或a＝－1.
检验当a＝3时两直线重合，舍去．故a＝－1.
答案　a＝－1
13．已知直线2xsin α＋2y－5＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是________．
解析　由题意，得直线2xsin α＋2y－5＝0的斜率为k＝－sin α.又－1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.
当－1≤kb>0) ＋＝1(a>b>0)
范　围 －a≤x≤a－b≤x≤b －b≤y≤b－a≤y≤a
对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距|F1F2|＝2c
离心率e＝(0,1)
a，b，c的关系c2＝a2－b2
【助学·微博】
椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：
给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上n>m>0.
求椭圆方程的两种方法：(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程；
(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．
1．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是(　　)．
解析　椭圆＋＝1的右焦点为(1,0)，由点到直线的距离公式得.
2．(2013·福州模拟)已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是(　　)．
B.＋＝1或＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析　a＝4，e＝，c＝3.b2＝a2－c2＝16－9＝7.
椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
3．(2012·上海)对于常数m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的(　　)．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　mn>0，或当m>0，n>0，且m≠n时，方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，但m<0，n0，所以“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
4．(2011·浙江)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上．若＝5，则点A的坐标是________．
解析　由题意知F1(－，0)，F2(，0)．
设A(a，b)，B(xB，yB)，
则＝(a＋，b)，＝(xB－，yB)．
由＝5得xB＝，yB＝，代入椭圆方程得＋2＝1.
又因为＋b2＝1，联立，解得a＝0，b＝±1.
答案　(0,1)或(0，－1)
5．(2012·四川)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B.当FAB的周长最大时，FAB的面积是________．
解析　依题意得知，点F(－1,0)，不妨设点A(2cos θ，sin θ)(sin θ>0)，则有B(2cos θ，－sin θ)，|FA|＝|FB|＝＝2＋cos θ，|AB|＝2sin θ，|FA|＋|FB|＋|AB|＝4＋2cos θ＋2sin θ＝4＋4sin，当θ＋＝2kπ＋，kZ，即θ＝2kπ＋，kZ,2cos θ＝1，sin θ＝时，FAB的周长最大，此时FAB的面积等于×(1＋1)×3＝3.
考向一　椭圆定义的应用
【例1】(2013·泰安质检)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1
(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b＝________.
[审题视点] 关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用进而求解．
解析　由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，
2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2.
|PF1|·|PF2|＝2b2，
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2b2＝b2＝9.
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
【训练1】 已知ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是(　　)．
解析　由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，周长为4a＝4.
考向二　求椭圆的标准方程
【例2】(2013·西安模拟)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
[审题视点] 利用定义法或待定系数法求解．
解析　法一　椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即
c＝4.由椭圆的定义知，
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二　因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.
又点(，－)在所求椭圆上，
所以＋＝1，即＋＝1.
由得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
答案　＋＝1
用待定系数法求椭圆标准方程时，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
【训练2】 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．
解析　设所求的椭圆方程为
＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得
解得a＝4，c＝2，b2＝12.
故所求方程为＋＝1或＋＝1.
答案　＋＝1或＋＝1
考向三　椭圆几何性质的应用
【例3】(2012·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；
(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>.
[审题视点] (1)根据椭圆的性质直接求离心率；(2)将直线方程与椭圆方程联立，利用a>b>0建立不等式求解．
(1)解　设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有＋＝1.
由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝，kBP＝.
由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入并整理得
(a2－2b2)y＝0.
由于y0≠0，故a2＝2b2.
于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.
(2)证明　法一　依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．
消去y0并整理得x＝.
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得
(x0＋a)2＋k2x＝a2.
整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝，代入，整理得
(1＋k2)2＝4k22＋4.由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4，因此k2>3，所以|k|>.
法二　依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．
由点P在椭圆上，有＋＝1.
因为a>b>0，kx0≠0，所以＋<1，即(1＋k2)x<a2.
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，于是x0＝.代入，
得(1＋k2)3，所以|k|>.
求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
【训练3】 (1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)．
(2)(2013·郑州质检)直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(　　)．
解析　(1)由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．
(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c，由y＝－x，得AOF2＝，AOF1＝.|AF2|＝c，|AF1|＝c.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＝2a，c＋c＝2a，e＝＝－1.
答案　(1)B　(2)C
热点突破22——高考中椭圆离心率的求解问题
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查对象，尤其是考查椭圆的离心率问题是重中之重，常以选择题和填空题的形式出现，难度中等．
【真题探究】 (2012·新课标全国)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)．
[教你审题] 第1步 画图，得出结论|PF2|＝|F1F2|；
第2步 抓住“F2PF1是底角为30°的等腰三角形”可得|PF2|；
第3步 列出等式求解．
令c＝.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，F1PF2＝30°，F1F2P＝120°，
PF2x＝60°，
|F2P|＝2＝3a－2c.
|F1F2|＝2c，3a－2c＝2c，
3a＝4c，＝，即椭圆的离心率为.故选C.
[反思] 在求解有关椭圆离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．
【试一试】 在以O为中心，F1，F2为焦点的椭圆上存在一点M，满足||＝2||＝2||，则该椭圆的离心率为(　　)．
解析　延长MO与椭圆交于N，因MN与F1F2互相平分，所以四边形MF1NF2是平行四边形．
根据平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，
所以有：MN2＋F1F＝MF＋MF＋NF＋NF，且MF1＋MF2＝2MF2＋MF2＝3MF2＝2a(长轴长)，
NF1＝MF2＝a，NF2＝MF1＝a，F1F2＝2c，代入上式，
2＋(2c)2＝2＋2＋2＋2，
所以＝，e＝ ＝.
A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝(　　)．
解析　a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝.
2．(2012·江西)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　)．
解析　因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.
又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，
所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.
所以离心率e＝＝，故选B.
3．(2013·嘉兴测试)已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e，则实数m的取值范围是(　　)．
解析　椭圆标准方程为x2＋＝1.当m>1时，e2＝1－，解得m>；当0<m<1时，e2＝＝1－m，解得0<mb>0)的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点.·＝0且·＝2，则该椭圆的离心率是(　　)．
解析　因为·＝0，且·＝·(－)，所以·＝2，所以||＝||＝c，所以||＝c，且AOF＝45°，设椭圆的右焦点是F′，在AOF′中，由余弦定理可得AF′＝ c，由椭圆定义可得AF＋AF′＝ c＋ c＝2a，即(1＋)c＝2a，故离心率e＝＝＝.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·青岛模拟)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．
解析　抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，m2－n2＝4，e＝＝，m＝4，代入得，n2＝12，椭圆方程为＋＝1.
答案　＋＝1
6．(2013·佛山模拟)在等差数列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，则椭圆C：＋＝1的离心率为________．
解析　由题意，得a4＝10，设公差为d，则a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，d＝3，a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，e＝＝.
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，·＝0，若椭圆的离心率等于.
(1)求直线AO的方程(O为坐标原点)；
(2)直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程．
解　(1)由·＝0，知AF2F1F2，
椭圆的离心率等于，c＝a，可得b2＝a2.
设椭圆方程为x2＋2y2＝a2.
设A(x0，y0)，由·＝0，知x0＝c，
A(c，y0)，代入椭圆方程可得y0＝a，
A，故直线AO的斜率k＝，
直线AO的方程为y＝x.
(2)连接AF1，BF1，AF2，BF2，
由椭圆的对称性可知，SABF2＝SABF1＝SAF1F2，
·2c·a＝4.
又由c＝a，解得a2＝16，b2＝16－8＝8.
故椭圆方程为＋＝1.
8．(13分)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
解　(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.
所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l的倾斜角为60°，知y10，
直线l的方程为y＝(x－2)．
整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
因为＝2，所以－y1＝2y2，
即＝2·，解得a＝3.
而a2－b2＝4，所以b2＝5.
故椭圆C的方程为＋＝1.
B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1. (2013·厦门质检)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆2＋y2＝相切于点Q，且＝2Q，则椭圆C的离心率等于(　　)．
解析　记椭圆的左焦点为F′，圆2＋y2＝的圆心为E，连接PF′，QE.
|EF|＝|OF|－|OE|＝c－＝，＝2Q，＝＝，PF′∥QE，
＝，且PF′PF.
又|QE|＝(圆的半径长)，|PF′|＝b.
据椭圆的定义知：|PF′|＋|PF|＝2a，|PF|＝2a－b.
PF′⊥PF，|PF′|2＋|PF|2＝|F′F|2，
b2＋(2a－b)2＝(2c)2，2(a2－c2)＋b2＝2ab，
3b2＝2ab，b＝，c＝＝a，＝，
椭圆的离心率为.
2．(2012·山东)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)．
解析　因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2012·泰安一模)F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足MAB＝30°，则该双曲线的离心率为________．
解析　如图，以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝c2，双曲线的渐近线为y＝x.
由得M(a，b)，
MAB为直角三角形．
在RtMAB中，tan 30°＝＝＝.
＝.e＝ ＝ ＝.
4.如图，OFB＝，ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．
解析　设标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题可知，|OF|＝c，|OB|＝b，|BF|＝a，
OFB＝，＝，a＝2b.
SABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b
＝(2b－b)b＝2－，
b2＝2，b＝，a＝2，椭圆的方程为＋＝1.
答案　＋＝1
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2012·南京二模) 图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．
(1)解　由题意知，b＝＝.
因为离心率e＝＝，所以＝ ＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明　由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，
则直线PM的方程为y＝x＋1，
直线QN的方程为y＝x＋2.
法一　联立解得x＝，y＝，
即T.由＋＝1，可得x＝8－4y.
因为2＋2＝
＝＝＝＝1，
所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
法二　设T(x，y)，联立解得x0＝，y0＝.
因为＋＝1，所以2＋2＝1.
整理得＋＝(2y－3)2，
所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
6．(13分)(2012·重庆) 图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程．
解　(1)图，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．
因AB1B2是直角三角形，
又|AB1|＝|AB2|，
故B1AB2为直角，
因此|OA|＝|OB2|，得b＝.
结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.
在RtAB1B2中，OAB1B2，
故SAB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由题设条件SAB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，
因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，
又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－－＋16＝－，
由PB2QB2，得·＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
版权所有：中华资源库
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