如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，直线y=x+2交y轴交于点D，交抛物线于E、F两点，点P为线段EF上一个动点（与E、F不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形？求出此时点P的坐标；（3）是否存在点P使△POB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．-乐乐题库
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如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，直线y=x+2交y轴交于点D，交抛物线于E、F两点，点P为线段EF上一个动点（与E、F不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形？求出此时点P的坐标；（3）是否存在点P使△POB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2011-老河口市模拟
分析与解答
习题“如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，直线y=x+2交y轴交于点D，交抛物线于E、F两点，点P为线段EF上一个动点（与E、F不重合），PQ∥y轴...”的分析与解答如下所示：
（1）把A与B的坐标代入抛物线的解析式中，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到a与b的值，然后把a与b的值代入抛物线的解析式即可确定出抛物线的解析式；（2）因为PQ与y轴平行，要使四边形PDCQ为平行四边形，即要保证PQ等于CD，所以令x=0，求出抛物线解析式中的y即为D的纵坐标，又根据抛物线的解析式求出C的坐标，即可求出CD的长，设出P点的横坐标为m即为Q的横坐标，表示出PQ的长，令其等于2列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，判断符合题意的m的值，即可求出P的坐标；（3）存在．分两种情况考虑：当OB作底时，求出线段OB垂直平分线与直线EF的交点即为P的位置，求出此时P的坐标即可；当OB作为腰时，得到OB等于OP，根据等腰三角形的性质及OB的长，利用勾股定理及相似的知识即可求出此时P的坐标．
解：（1）根据题意，得{a-b+4=016a+4b+4=0，解得{a=-1b=3，∴所求抛物线的解析式为y=-x2+3x+4；（2）∵PQ∥y轴，∴当PQ=CD时，四边形PDCQ是平行四边形，∵当x=0时，y=-x2+3x+4=4y=x+2=2，∴C（0，4），D（0，2），∴CD=2，设P点横坐标为m，则Q点横坐标也为m，∴PQ=（-m2+3m+4）-（m+2）=2，解得m1=0，m2=2，当m=0时，点P与点D重合，不能构成平行四边形，∴m=2，m+2=4∴P点坐标为（2，4）；（3）存在，P点坐标为（2，4）或(-1+√7，1+√7)．
此题考查学生灵活运用待定系数法求函数的解析式，掌握平行四边形的性质及判断，灵活运用等腰三角形的性质化简求值，是一道综合题．
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如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，直线y=x+2交y轴交于点D，交抛物线于E、F两点，点P为线段EF上一个动点（与E、F不重合），...
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经过分析，习题“如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，直线y=x+2交y轴交于点D，交抛物线于E、F两点，点P为线段EF上一个动点（与E、F不重合），PQ∥y轴...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，直线y=x+2交y轴交于点D，交抛物线于E、F两点，点P为线段EF上一个动点（与E、F不重合），PQ∥y轴...”相似的题目：
已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx-3a（b＜0），若抛物线C1经过点（0，-3），方程ax2+bx-3a=0的两根为x1，x2，且|x1-x2|=4．（1）求抛物线C1的顶点坐标．（2）已知实数x＞0，请证明x+1x≥2，并说明x为何值时才会有x+1x=2．（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x1，y1），Q（x2，y2），则P，Q两点间的距离为√(x2-x1)2+(y2-y1)2）
有一组抛物线：y1=12x2-13x；y2=16x2-112x；y3=112x2-125x．过x轴上的三点A（1，0）B（2，0）C（3，0）向x轴作垂线，分别交抛物线组y，y2，y3于A1，B1，C1；A2，B2，C2；A3，B3，C3．依次记△A1B1C1的面积为S1，△A2B2C2的面积为S2，△A3B3C3的面积为S3．则S1+S2+S3=&&&&．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-2经过（2，1）和（6，-5）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，点P是在直线x=4右侧的此抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若以A、P、M为顶点的三角形与△OCB相似，求点P的坐标；（3）点E是直线BC上的一点，点F是平面内的一点，若要使以点O、B、E、F为顶点的四边形是菱形，请直接写出点F的坐标．
“如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax...”的最新评论
该知识点好题
1（2013o淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有（　　）
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（　　）
该知识点易错题
1（2012o南浔区二模）如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（　　）
2（2012o静海县二模）如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，直线y=x+2交y轴交于点D，交抛物线于E、F两点，点P为线段EF上一个动点（与E、F不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形？求出此时点P的坐标；（3）是否存在点P使△POB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，直线y=x+2交y轴交于点D，交抛物线于E、F两点，点P为线段EF上一个动点（与E、F不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形？求出此时点P的坐标；（3）是否存在点P使△POB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．”相似的习题。如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）_百度知道
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出门在外也不愁【答案】分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A的坐标为（-4，0），对称轴是x=-1，利用待定系数法求解即可求得二次函数的解析式；（2）由（1）即可求得点B的坐标，则可求得AB与BM的长，又由MN∥AC，即可证得△BMN∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得NE的长，S△CMN=S△CBM-S△NBM，求得S△CMN=，则可求得△CMN的面积最大时，点M的坐标；（3）由A（-4，0）、B（2，0）、C（0，4）、M（-1，0），则可证得△AOC是等腰直角三角形，求得AC的长，又由MN∥AC，证得△MOP是等腰直角三角形，即可求得△CPM的面积，然后由S△CPN=S△CMN-S△CPM求得△CPN的面积，又由S△ABC=AB?OC=12，求其比值即可求得答案．解答：解：（1）由题意，得，解得，∴所求抛物线的解析式为：．（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NE⊥x轴于点E．由，得x1=-4，x2=2．∴点B的坐标为（2，0）．∴AB=6，BM=2-m．∵MN∥AC，∴△BMN∽△BAC．∴，即．∴．∴S△CMN=S△CBM-S△NBM====．又∵-4≤m≤2，∴当m=-1时，S△CMN有最大值3，此时M（-1，0）．（3）∵A（-4，0）、B（2，0）、C（0，4）、M（-1，0），∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC=4，∵MN∥AC，∴∠PMO=∠CAO=45&，∴△MOP是等腰直角三角形，∴点P的坐标为（0，1），∴CP=3，∴S△CPM=CP?MO=，∴S△CPN=S△CMN-S△CPM=3-=，∵S△ABC=AB?OC=12，∴．点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质以及三角形面积的求解方法等知识．题目综合性很强，解题时注意数形结合思想的应用．
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科目：初中数学
已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为-1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在此抛物线上，矩形面积为12，（1）求该抛物线的对称轴；（2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；（3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．
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（2013?宁化县质检）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．（1）求原抛物线的解析式；（2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．（3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果精确到0.001）
科目：初中数学
已知，如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（4）若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
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已知，如图，抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．（1）求p、q的值．（2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．如图，已知抛物线C1：2，把它平移后得抛物线C2，使C2经过点A（0，8），且与抛物线C1交于点B（2，n）．在x轴上有一点P，从原点O出发以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴的方向移动，设点P移动的时间为t秒，过点P作x轴的垂线l，分别交抛物线C1、C2于E、D，当直线l经过点B前停止运动，以DE为边在直线l左侧画正方形DEFG．（1）判断抛物线C2的顶点是否在x轴上，并说明理由；（2）当t为何值时，正方形DEFG在y轴右侧的部分的面积S有最大值？最大值为多少？（3）设M为正方形DEFG的对称中心．当t为何值时，△MOP为等腰三角形？【考点】；；；；．【专题】综合题；动点型．【分析】（1）把点B的坐标代入抛物线C1，进行计算求出n的值，从而得到点B的坐标，然后根据平移变换不改变二次函数图象的形状，设抛物线C2的解析式为y=x2+bx+c，然后利用待定系数法求解，再根据抛物线的顶点坐标进行判断；（2）根据两抛物线的解析式表示出点D、E的坐标，然后求出DE的长度，然后根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题求解即可；（3）根据正方形的性质结合抛物线的对称性可以判断，当正方形的中心在y轴右侧时，△MOP为等腰三角形，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得点M到直线l的距离等于正方形边长的一半，然后列式求解即可．【解答】解：（1）抛物线C2的顶点在x轴上．理由如下：∵点B（2，n）在抛物线C1上，∴×22=n，解得n=2，∴点B的坐标为（2，2），∵抛物线C2是抛物线C1平移得到，∴设抛物线C2的解析式为y=x2+bx+c，又∵C2经过点A（0，8），∴，解得，∴抛物线C2的解析式为y=x2-4x+8=（x-4）2，∴抛物线C2的顶点在x轴上；（2）时间为t时，点D、E的坐标分别为D（t，t2-4t+8），E（t，t2），∴DE=t2-4t+8-t2=-4t+8，∴S=OPoDE=t（-4t+8）=-4t2+8t=-4（t-1）2+4，∵直线l经过点B前停止运动，∴0＜t＜2，∴当t=1时，正方形DEFG在y轴右侧的部分S有最大值，最大值为4；（3）如图，可以判定当点M在y轴左侧时，△MOP不能为等腰三角形，∴当点M在y轴右侧，且在OP的垂直平分线上时，△MOP为等腰三角形，此时∵点M是正方形的中心，∴DE=OP，即（-4t+8）=t，解得t=，∵＜2，∴符合题意，故当t=时，△MOP为等腰三角形．【点评】本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，正方形的性质，等腰三角形的性质，以及二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，需仔细分析并理解方可解决．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　难度：0.45真题：1组卷：0
解析质量好中差如图，抛物线y=ax2+bx-3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA，直线与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式和E点坐标；（2）求∠DBC-∠CBE的大小；（3）点F是抛物线第四象限上的点，问四边形OBFC面积最大值为多少？并求此时的点F坐标．查看本题解析需要普通用户：1个优点。用户与用户即可查看。