八年级数学期中试卷(上)-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载
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八年级数学期中试卷(上)
八年级数学期中试卷(上)&
一、填空（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1、下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1
(3)y=&(4) (5)y=x2-1&
中，是一次函数的是： （填序号）。
2、将函数y＝２x＋４的图象向下平移３个单位，所得函数的解析式为 。
3、对某班同学的身高进行统计(单位:厘米),频数分布表中165.5～170.5这一组学生人数是12,频率为0.25,则该班共有 名同学。
4、若点（a,b）在第四象限，则直线y＝aX+b不经过第 象限。
5、如图所示根据SAS，如果AB=AC， = ，
即可判定ΔABD≌ΔACE。
6、某种储蓄的月利率为0.2％，存入100元本金，则本息和y（元）与所存月数x之间的函数关系为
7、如果直线y=3x+b与y轴交点的纵坐标为-2，那么这条直线一定不经过第
8、若一次函数y=（1-2m）x+m的图象经过点A(x1,y1),B(x2,y2),
当x1＜x2时y1＞y2，则m的取值范围是
。
9、如图在ΔABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，
∠B=40°，则∠CAE= 。
（第10题图） （第9题图）
10、根据上图所示的程序计算函数值，
若输入x的值为，则输出的结果为 。
二、选择（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11、下列函数中，y随x的增大而减小的有（ ）。
A、1个 B、2个 &
C、3个 &
12、对某班４０名学生的一次数学测试成绩进行统计，频数分布表中８０≤x＜９０这一组的频率为０．２，那么这４０名学生的数学成绩在８０≤x＜９０这个分数段的人数是（ ）。
A、２０ B、１０ C、８ D、１２
13、 如图，线段AB对应的函数表达式为（ ）
A、y=-x+2 &
C、y=-x+2（0≤x≤3） D、y=-x+2（0&x&3）
14、如图在DABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若DADB≌DEDB≌DEDC，则∠C的度数为（ ）
A、30° &
B、25°
C、20° D、15°
15、甲、乙两人在一次赛跑中，路程s（米）与时间t（秒）的关系如图所示（实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系 图象），小明根据图象得到如下四个信息，其中错误的是（ ）
A、这是一次1500米的赛跑
B、甲、乙同时起跑
C、甲、乙两人先到达终点的是乙
D、甲在这次赛跑中的速度是5米/秒 16、在△ABC和△A＇B＇C＇中，①AB=A＇B＇ ②BC=B＇C＇，③CA=C＇A＇④∠A=∠A＇ ⑤∠B=∠B＇&
⑥∠C=∠C＇，则下列各组条件中能判定两个三角形全等的是（ ）。
A、 ①②④ B、 ②④⑥ C 、④⑤⑥ D、
三、（本大题共3小题，第17小题6分，第18、19小题每题7分，共20分）
17、如图：已知AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2,垂足分别为B、D。
求证：AB=AD
18、消费者协会在3月15日消费者权益日来临之际，对一周内收到的投诉电话作了统计，如图所示。其中接到关于种子的投诉电话最多，共70个，请就下列问题予以解答：
〈1〉本周共接到多少个投诉电话？
〈2〉有关化肥农药的电话有多少个？
〈3〉请就上图提供的信息提一些建议。
19、如图小明是这样验证旗杆是否垂直，他先在西侧选取一点A，再在东侧选取一点B，使旗杆的底部D与A、B在同一条直线上，并且AD=BD，然后将旗杆从旗杆顶部C拉至A、B，只要绳子CA=CB，即知道旗杆CD是和地面垂直的。请你说说这是什么道理。
四、(本大题共３小题，每题８分，共２４分)
20、为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式。其中，使用的“便民卡”与“如意卡”，在某市范围内每月（３０天）的通话时间x（分）与通话费y（元）的关系如图所示。
〈1〉分别求出通话费用y（用便民卡）、y（用如意卡）与通话时间x之间的函数关系式；
〈2〉请帮助用户计算一下，在一个月内使用哪种卡便宜？
21、已知一次函数y=（４m＋1）x－(m＋1)求：（１）m为何值时，y随x的增大而减小？（２）m为何值时，此直线与y轴交点在x轴的下方？（３）m为何值时，此直线不过第三象限？
22、已知一次函数的图象经过点A（-3，4）、B（-1，-2）。
〈1〉求出这个一次函数的解析式，并画出图象。
〈2〉求ΔAOB的面积。
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
0.55～1.05
1.05～1.55
1.55～2.05
2.05～2.55
2.55～3.05
3.05～3.55
3.55～4.05
23、为了了解学校开展“孝敬父母，从家务做起”活动的实施情况。该校抽取初二年级50名学生，调查他们一周（按七天计算）做家务所用的时间（单位：小时），得到一组数据，并绘制成下表。请根据该表回答下列各题：
〈1〉将频数分布表补充完整。
〈2〉由以上信息判断，每周做家务的时间不超过1.5小时的学生所占的百分比。〈3〉作出反映调查结果的统计图。
24、如图，AB=CD，AD=BC，EF经过AC的中点O，分别交AB、CD于E、F。 求证：OE=OF.
六、（本大题共１小题，共１０分）
25、⑴已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，求证：AN=BM，这时可以证明 ____________，得到AN=BM. （3分）
⑵如果去掉“点C为线段AB上一点”的条件,而是让△CBN绕点C旋转成图2的情形,还有“AN=BM”的结论吗?如果有,请给予证明.（7分）&
图1 &据悉，上海市发改委在今年举行了一次居民用水价格调整听证会，会上将两个方案（方案一、方案二）提供听证．如图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y（元）与每户每月的用水量x（立方米）之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元；方案二如表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为1：1.5：2（精确到0.01元后）．
{[级数][水量基数（立方米）][调整后价格（元/立方米）][第一级][0～15（含15）][2.61][第二级][15～25（含25）][3.92][第三级][25以上][n]}（1）写出现行的用水价是每立方米多少元？（2）求图（1）中m的值和射线OB所对应的函数解析式，并写出定义域；（3）若小明家某月的用水量是a立方米，请分别写出三种情况下（现行的、方案一和方案二）该月的水费b（用a的代数式表示）；（4）小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图2所示，估计小明会赞同采用哪个方案？请说明理由．-乐乐题库
& 频数（率）分布直方图知识点 & “据悉，上海市发改委在今年举行了一次居民用...”习题详情
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据悉，上海市发改委在今年举行了一次居民用水价格调整听证会，会上将两个方案（方案一、方案二）提供听证．如图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y（元）与每户每月的用水量x（立方米）之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元；方案二如表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为1：1.5：2（精确到0.01元后）．
级数&水量基数（立方米）&调整后价格（元/立方米）&第一级&0～15（含15）&2.61&第二级&15～25（含25）&3.92&第三级&25以上&n&（1）写出现行的用水价是每立方米多少元？（2）求图（1）中m的值和射线OB所对应的函数解析式，并写出定义域；（3）若小明家某月的用水量是a立方米，请分别写出三种情况下（现行的、方案一和方案二）该月的水费b（用a的代数式表示）；（4）小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图2所示，估计小明会赞同采用哪个方案？请说明理由．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2009-南汇区三模
分析与解答
习题“据悉，上海市发改委在今年举行了一次居民用水价格调整听证会，会上将两个方案（方案一、方案二）提供听证．如图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y（元）与每户每月的用水量x（立方米）之间的...”的分析与解答如下所示：
（1）用水单价=用水费÷用水量；（2）m的值=方案单价×用水量；（3）现行的、方案一是正比例关系，方案二要分情况计算；（4）计算出平均用水量就可以进行判断出那一方案更好．
解：（1）现行的用水价为1.84元/立方米；（2）因为方案一的用水价=1.84+0.96=2.8元/立方米，所以m=2.8×50=140，设OB的解析式为y=kx（x≥0），则140=50k，所以k=2.8，所以y=2.8x（x≥0）；（3）现行的情况下：b=1.84a，方案一的情况下：b=2.8a，因为第一、二、三级的用水价格比为1：1.5：2，所以n=5.22元/立方米，方案二的情况下：①当0≤a≤15时，b=2.61a，②当15＜a≤25时，b=3.92a，③当x＞25时，b=5.22a；（4）估计小明赞同方案一，因为小明家的平均月用水量超过了15立方米，此时方案一的水价2.8元＜方案二的水价3.92元，所以，他可能会赞同方案一．（注：只要理由有道理，都得1分）
此题考查的知识点是一次函数的应用，本题信息量比较大，仔细审题，理清题中各种量的关系十分重要．
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据悉，上海市发改委在今年举行了一次居民用水价格调整听证会，会上将两个方案（方案一、方案二）提供听证．如图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y（元）与每户每月的用水量x（立方...
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经过分析，习题“据悉，上海市发改委在今年举行了一次居民用水价格调整听证会，会上将两个方案（方案一、方案二）提供听证．如图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y（元）与每户每月的用水量x（立方米）之间的...”主要考察你对“频数（率）分布直方图”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图． 注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积=组距×频数组距=频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
与“据悉，上海市发改委在今年举行了一次居民用水价格调整听证会，会上将两个方案（方案一、方案二）提供听证．如图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y（元）与每户每月的用水量x（立方米）之间的...”相似的题目：
为了了解初三学生身体发育情况，某中学对初三女学生的身高进行了一次测量，所得数据整理后，列出了频率分布表如下：（1）表中m和n所表示的数分别是多少m：&&&&n：&&&&．（2）请补全频率分布直方图．
某班一次数学测试成绩如下：63，84，91，53，69，81，57，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70，87，81，86，90，88，85，67．（1）补充完整频数分布表：
成绩&50≤x＜60&60≤x＜70&70≤x＜80&80≤x＜90&90≤x＜100&频数&&&&&&（2）补充完整图中的频数分布直方图；（3）若80分以上的成绩为优秀，那么该班这次数学测验的优秀率是多少？
一所中学，为了让学生了解环保知识，增强的环保意识，特地举行了一次“保护家乡”的环保知识竞赛，共有900名学生参加这次竞赛．为了解本次竞赛的情况，从中抽取了部分学生的成绩进行统计．&
分组&频数&频率&50.5～60.5&4&0.08&60.5～70.5&8&0.16&70.5～80.5&10&0.20&80.5～90.5&16&0.32&90.5～100&&&合计&&&请根据上表和图，解答下列问题：（1）填充频率分布表中的空格；（2）补全频率分布直方图；（3）在该问题中，样本容量是&&&&；（4）全体参赛学生中，竞赛成绩的中位数落在哪个组内？（5）若成绩在90分以上（不含90分）可以获奖，在全校学生的试卷中任抽取一张，获奖的概率是多大？
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该知识点好题
1（2009o温州）九年级（1）班共50名同学，如图是该班体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于29分的成绩评为优秀，则该班此次成绩优秀的同学人数占全班人数的百分比是（ ）
2频数分布直方图中，小长方形的高等于（ ）
3（2009o衢州）某班体育委员调查了本班46名同学一周的平均每天体育活动时间，并制作了如图所示的频数分布直方图，从直方图中可以看出，该班同学这一周平均每天体育活动时间的中位数和众数依次是（ ）
该知识点易错题
1对一组数据进行适当整理，下列结论正确的是（ ）
2（2009o衢州）某班体育委员调查了本班46名同学一周的平均每天体育活动时间，并制作了如图所示的频数分布直方图，从直方图中可以看出，该班同学这一周平均每天体育活动时间的中位数和众数依次是（ ）
3绘制频数分布直方图时，各小长方形面积占全体小长方形总面积的百分比刚好等于相应各组的（ ）
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{[级数][水量基数（立方米）][调整后价格（元/立方米）][第一级][0～15（含15）][2.61][第二级][15～25（含25）][3.92][第三级][25以上][n]}（1）写出现行的用水价是每立方米多少元？（2）求图（1）中m的值和射线OB所对应的函数解析式，并写出定义域；（3）若小明家某月的用水量是a立方米，请分别写出三种情况下（现行的、方案一和方案二）该月的水费b（用a的代数式表示）；（4）小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图2所示，估计小明会赞同采用哪个方案？请说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“据悉，上海市发改委在今年举行了一次居民用水价格调整听证会，会上将两个方案（方案一、方案二）提供听证．如图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y（元）与每户每月的用水量x（立方米）之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元；方案二如表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为1：1.5：2（精确到0.01元后）．
{[级数][水量基数（立方米）][调整后价格（元/立方米）][第一级][0～15（含15）][2.61][第二级][15～25（含25）][3.92][第三级][25以上][n]}（1）写出现行的用水价是每立方米多少元？（2）求图（1）中m的值和射线OB所对应的函数解析式，并写出定义域；（3）若小明家某月的用水量是a立方米，请分别写出三种情况下（现行的、方案一和方案二）该月的水费b（用a的代数式表示）；（4）小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图2所示，估计小明会赞同采用哪个方案？请说明理由．”相似的习题。欢迎来到高考学习网，
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& 2011数学学案与测评人教A版理科第12单元 统计、概率
2011数学学案与测评人教A版理科第12单元 统计、概率
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资料概述与简介
11. （2008·北京）将甲、乙两粒骰子先后各抛掷一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两粒骰子所出现的点数.
x＞0, （1）若点P(a,b)落在不等式组
x+y≤4表示的平面区域记为事件A， 求事件A的概率; （2）若点P（a，b）落在直线x+y=m(m为常数)上，且使此事件的概率最大，求m的值. 解析
（1）基本事件总数为6×6=36. 当a=1时，b=1,2,3;当a=2时，b=1,2;当a=3时，b=1. 共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）6
个点落在条件区域内，所以P(A)=
（2）当m=7时，共有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，
2），（6，1）6种可能，易知此时P=
最大. 12. 如图所示，在一个木制的棱长为3的正方体的表面上涂颜色，将它的棱3等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个棱长为1的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中. （1）从这个口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面恰好没涂颜色的概率是多少？ （2）从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是多少？ ∵在27个小正方体中，表面没涂颜色的只有1个， ∴从这个口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面恰好没涂颜色的概率是P=
. （2）从27个小正方体中，同时任取2个，共有
种等可能的结果.在这些结果中，有1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个正方体至少有2个面涂有颜色包含的结果有
种. ∴从这个口袋中同时任意取出2个正方体，其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是P=
在27个小正方体中，恰好3个面都涂有颜色的共8个，恰好2个面涂有颜色的共12个，恰好1个面涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个. （1）从27个小正方体中任意取出1个，共有C127种等可能的结果. 第七节
随机数与几何概型 基础梳理 1. 几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称
. 2. 几何概型的特点 （1）无限性：即在一次试验中，基本事件的个数可以是
. （2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性是
. 因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”.即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占的总面积（体积、长度）”之比来表示. 3. 几何概型的计算公式 设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A?Ω）,则P（A）=
几何概型 无限的 均等的 4. 几何概型与古典概型的区别与联系 （1）共同点： （2）不同点：基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的.基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关. 5. 均匀随机数：在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率.一般地，利用计算机或计算器的rand()函数可以产生0~1之间的均匀随机数.a~b之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0~1之间的均匀随机数x=rand()，然后利用伸缩和平移变换x=rand()*(b-a)+a,就可以产生\[a,b\]上的均匀随机数，试验的结果是产生a~b之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的. 6. 均匀随机数的应用：①
. 基本事件都是等可能的. 用随机模拟法估计几何概率
用随机模拟法计算不规则图形的面积
与长度有关的几何概型
【例1】（2009·盐城模拟）某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率. 典例分析 分析
因为乘客在两车间隔的10分钟内任何时刻都可能到，所以该事件包含的基本事件是无限多个，并且每个事件发生的可能性都是一样的，故是几何概型问题.
每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站，因此每个乘客到达车站的时刻t可以看成是均匀落在长为10分钟的时间区间(0,10]上的一个随机点，等待时间不超过7分钟则是指点落在区间[3,10]上.
设第一辆车于时刻T1到达，而第二辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长度等于7.如图所示.
记“等车时间不超过7分钟”为事件A，事件A发生即点t落在线段TT2上，则Ω的长度=T1T2=10,A的长度=TT2=7,所以P（A）=A的长度/Ω的长度=7/10.故等车时间不超过7分钟的概率是7/10.
我们将每一个事件理解为从某个特定的区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定的区域内的点，这样的概率模型就可以用几何概型求解. 1. （2009·山东）在区间［-1，1］上随机取一个数x,
的值介于0到12之间的概率为
举一反三 解析：在区间［-1,1］上随机取一个实数x，
的值位于［0,1］区间，若使
区间，取到的实数x应在区间
内，根据几何概型的计算公式可知 答案：A
与面积（体积）有关的几何概型 【例2】在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？
因为带病种子的位置是随机的，所以取到这种带病种子概率只与取出的种子的体积有关.
解 病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.取出10毫升种子其中“含有病种子”这一事件记为A， 则
所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.
学后反思 解决此类问题，应先根据题意确定该试验为几何概型，然后求出事件A和基本事件的几何度量，借助几何概型的概率计算公式求出.
举一反三 2. 设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间［0，1］上的诸数字，另一半均匀地刻上区间［1，3］上的诸数字，旋转这陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于［0.5，1.5］上的概率. 解析：如图，旋转陀螺，其圆周上任一点与桌面的接触是等可能的，因此只要接触点落在阴影部分，就表示圆周上触及桌面的刻度位于［0.5，1.5］.由几何概型的求概率公式得
会面问题中的概率 【例3】两人约定在20:00到21:00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.
两人不论谁先到都要等40分钟，即2/3小时,设两人到的时间分别为x、y,则当且仅当|x-y|≤2/3时，两人才能见面，因而此问题转化为面积性几何概型.
设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见，当且仅当|x-y|≤2/3. 如图两人到达约见地点的所有 时刻（x,y）的可能结果可用图中 的单位正方形内（包括边界）的点来表示； 两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻 （x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）的点来表示. 因此,阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即
学后反思 对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率.根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域.
解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概率问题.
举一反三 3. 送报人每天早上6：30至7：30之间把刘师傅订的报纸送到刘师傅家，若刘师傅离开家去上班的时间在7：00至8：00之间，问：刘师傅在离家前收到报纸的概率是多少？ 解析：设“刘师傅在离家前收到报纸”为事件A， 在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸 送到的时间和刘师傅离家的时间，则刘师傅 能收到报纸的充要条件是x≤y，而（x,y）的 所有可能结果是边长为1的正方形，刘师傅在 离家前收到报纸的可能结果为图中的阴影部分. 题型四
均匀随机数的应用 【例4】(12分)利用随机模拟方法计算图中阴影部分（由曲线y=
与x轴、x=±1围成的部分）的面积. 分析 计算不规则图形的面积，可借助频率近似于概率.借助事先做好的模型，利用落在所求图形中的点与落在所求图形外的一个规则图形内的点的个数之比，从而得所求图形的面积与规则图形的面积的比.
做投点试验.（1）利用计算机产生两组 [0,1]上的随机数,
=rand()……………………………………………….…2′ （2）进行平移和伸缩变换，a=(
-0.5)*2,产生[-1,1]之间的均匀随机数，表示所投点的横坐标;b=
*2，得到一组[0,2]上的均匀随机数表示所投点的纵坐标……………………………………………………………4′ （3）统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1…………………………6′ （4）计算频率
即为落在阴影部分的概率的近似值………..8′ （5）利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率
…………..10′ （6）因为
即为阴影部分的面积……………….12′
根据几何概型计算公式，概率等于面积之比.如果概率用频率近似，在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率.而频率可以通过随机模拟的方法得到，从而求得不规则图形面积的近似值.
举一反三 4. 如图，在长为4宽为2的矩形中有一个以矩形 的长为直径的半圆，试用随机模拟法近似计算 半圆的面积，并估计出π值. 解析：设“向矩形内随机投点，所投点落在半圆内”为事件A. S1（第一步）：用计数器记录所做投点试验次数n，用计数器记录所做投点（x,y）满足
<4（即所投点落在半圆内）的次数m. 首先设置n=0,m=0; S2（第二步）：用变换rand()*4-2产生的-2～2之间的随机数x表示所投点的横坐标，用变换rand()*2产生的0～2之间的随机数y表示所投点的纵坐标； S3（第三步）：判断点是否落在半圆内，即是否满足
0.75,所以这10名学生的两次数学成绩具有显著的线性相关关系. 学后反思
利用相关系数r进行判断相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，需要借助计算器，但计算应该特别细心，不能出现计算错误.
举一反三 下表1是一组数据. 根据表中的数据分析：y与
之间是否存在线性相关关系？如果有，求出回归方程
解析：令u=
得到如上表2所示的数据，
编号 1 1 10.15 2 5 2.85 3 10 2.11 4 50 1.30 编号 1 1 10.15 2 0.2 2.85 3 0.1 2.11 4 0.02 1.30 表1 表2 【例3】为研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：
（1）用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据 的散点图； （2）描述解释变量x与预报变量y之间的关系. 天数x/天
1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个
6 12 25 49 95 190 分析
由已知数据画出散点图，可以看出，随着天数的增加，细菌繁殖个数也在增加，但x与y的散点图并不分布在一条直线的周围,不能直接利用线性相关知识解决，因而要通过合理转化，利用线性相关知识解决. 解
（1）所作散点图如图所示. (2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数
的周围，于是令
,则 x 1 2 3 4 5 6
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 学后反思
当解释变量与预报变量存在非线性关系时，可以通过变量替换，将非线性回归问题转化为线性回归问题，然后用线性回归的方法进行研究.
举一反三 某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：
试检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数
之间是否具有线性相关关系，如果有，求出y对x的回归方程. x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 Y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 解析：首先作变量置换，令u=
,题目所给数据变成如下表所示的10对数据，
然后作相关性检验.经计算得r≈0.999 8＞0.75,从而认为u与y之间具有很强的线性相关关系.由公式得
≈8.973,所以
=1.126+8.973u,最后回代u=
,这就是题目所要求的y对x的回归方程. u 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
题型四独立性检验 【例4】(12分)在调查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲.分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲是否与性别有关,你所得到的结论在什么范围内有效？ 分析
本题应先作出调查数据的列联表，再根据列联表画出二维条形图或三维条形图，并进行分析，最后利用独立性检验作出判断. 解
根据题目所给的数据作出如下的列联表.
………………………2′
根据列联表作出相应的二维条形图，如下图所示.
………………………4′ 色盲 不色盲 合计 男 38 442 480 女 6 514 520 合计 44 956 1000 从二维条形图来看，在男人中患色盲的比例
,要比在女人中患色盲的比例
要大，其差值为
≈0.068,差值较大，因而我们可以认为“性别与患色盲是有关的”.
……………………7′ 根据列联表中所给的数据有a=38,b=442,c=6,d=514,a+b=480,c+d=520,a+c=44,b+d=956, n=1 000,代入公式
…………… 8′ 得
…………… 11′ 由于
=27.1＞6.635，所以我们有99.9%的把握认为性别与患色盲有关系.这个结论只对所调查的480名男人和520名女人有效…12′ 学后反思
利用图形来判断两个变量之间是否有关系，可以画出三维柱形图，也可以画出二维条形图,从图形上只可以粗略地估计两个分类变量的关系，可以结合所求的数值来进行比较.作图应注意单位统一、图形准确，但它不能给我们两个分类变量有关或无关的精确的可信程度;若要作出精确的判断，可以作独立性检验的有关计算.
为考察性别与是否喜欢饮酒之间的关系，在某地区随机抽取290人，得到如下列联表：
判断性别与是否喜欢饮酒有关系与否. 喜欢饮酒 不喜欢饮酒 总计 男 101 45 146 女 124 20 144 总计 225 65 290 解析：由列联表中数据得:
所以我们有99.9%的把握认为性别与饮酒有关. 10.（2009·盐城模拟）已知x、y之间的一组数据如下表：
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y=x+1,②y=2x-1,③y= x- ,④y=
x，现根据最小二乘思想得拟合程度最好的直线是
. （填序号） X 2 3 4 5 6 Y 3 4 6 8 9 解析：由题意得
=6，故①②不符，再由公式可求得
考点演练 11在一次飞机航程中调查男女乘客的晕机情况，其二维条形图如图.（1）写出2×2列联表； （2）判断晕机与性别是否有关.
晕机 不晕机 合计 男 10 70 80 女 10 20 30 合计 20 90 110 12. （创新题）某市对该市一重点中学2008年高考上线情况进行统计，随机抽查244名学生，得到如下表格:
试求各科上线与总分上线之间的关系，并求出哪一科目与总分上线关系最大？
不上线 总分上线201人
总分不上线43人
43 解析：对于上述四个科目，分别构造四个随机变量
由表中数据可以得到， 语文： 数学： 英语： 综合科目： 所以有99%的把握认为语文上线与总分上线有关系，有99.9%的把握认为数学、英语、综合科目上线与总分上线有关系.数学上线与总分上线关系最大. 第五节
事件与概率 基础梳理 1. 随机事件和确定事件
(1)在一定条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件；在一定条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件.必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.
(2)在一定条件S下，可能发生也可能不会发生的事件叫做相对于条件S的随机事件.一般用A、B、C等大写英文字母表示随机事件.
（3）在试验中，能够用来描绘其他事件且不能再分的最简单的事件称为基本事件.所有基本事件构成的集合称为基本事件空间. 2. 频率和概率
(1)频数与频率：在相同条件S下进行n次试验，观察某一事件A是否出现，则称在n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；事件A出
为事件A出现的频率.
（2）概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数n的增加，事件A发生的频率
稳定在某个常数上，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率.
3. 事件的关系与运算
(1)包含关系：一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作B?A(或A?B).
（2）相等关系：一般地，若B?A且A?B，则事件A与事件B相等,记作A=B. （3）几种运算的比较
运算 内容 表示 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） A∪B(或A+B)
交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） A∩B或（AB） 互斥事件 若A∩B为不可能事件（A∩B=?）,则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件
4. 概率的基本性质 (1)任何事件的概率都在0-1之间，即0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
（2）当事件A与事件B互斥时，P（A∪B）=P(A)+P(B).
（3）对立事件的概率之和为1,即事件A与事件B对立,则 P（A）+P（B）=1.
典例分析 题型一
事件的判断 【例1】判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件. （1）“抛一石块，下落”; （2）“在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化”; （3）“某人射击一次，中靶”; （4）“如果a＞b,那么a-b＞0”; （5）“掷一枚硬币,出现正面”; （6）“导体通电后，发热”;
（7）“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签”; （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； （9）“没有水分，种子能发芽”； （10）“在常温下，焊锡熔化”. 解
根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件. 学后反思
熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别，针对不同的问题加以区分. 举一反三 1. 抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是(
D. C与D 解析:
事件A、B是互斥而且是对立的；事件A、D是互斥但不对立的；事件B、C不互斥；事件C、D不互斥. 答案:
互斥事件、对立事件的概率 举一反三 3. 据调查，某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下：
（1）计算该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； （2）假如副董事长的工资从5 000提升到20 000,董事长的工资从5 500提升到30 000,那么新的平均数、中位数、众数又是多少？ （3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈谈你的看法. 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 00 00 1500 解析： （1）该公司职工的月工资的平均数为
（5 500+5 000+2×3 500+3 000+5×2 500+3×2 000+20×1 500）=
×69 000≈2 091. 中位数是1 500,众数是1 500. （2）当副董事长的工资从5 000提升到20 000,董事长的工资从5 500提升到30 000时，所得新数据的平均数为
（30 000+20 000+2×3 500+3 000+5×2 500+3×2 000+20×1 500）=
×108 500≈3 288. 所以平均数为3 288,中位数是1 500,众数是1 500. （3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平.因为公司中少数人的月工资额与大多数人的月工资额差别较大，这样导致了平均数与中位数的偏差较大，所以平均数不能客观真实地反映这个公司员工的工资水平. 【例4】(12分)某种瓶装溶液，因为装瓶机的不稳定性，所以很可能每瓶装的容量都不是标准的容量.我们随机抽出了20瓶，测得它们的容量（单位：百毫升）如下: 12.1
（1）根据数据列出频数分布表，画出频数分布图；
（2）计算出这组数据的平均数和标准差（结果精确到0.01）;
（3）结合（1）、（2）的结果,描述一下样本的分布情况，并根据实际意义写一个简短的报告（对总体情况作出估计）. 分析
现实中对一组数据，往往是从多角度、多层面进行分析.主要标准是平均数、方差的大小,频率分布直方图是否集中等. 题型四
综合问题 解
（1）频数分布表如下：
[11.0,11.5)
[11.5,12.0)
[12.0,12.5)
[12.5,13.0]
……………2′
频数分布图如图所示:
………………………..4′ （2）平均数
(12.1+11.9+12.2+…+12.2)=
≈12.02………………………………………………………………..6′ 标准差
≈0.41………………………………………………………………..8′
（3）标准差相对于平均数来说比较小;从频数分布图中可以看出，每瓶的容量大致位于1 150毫升到1 250毫升之间.因此判断装瓶机工作稳定………………………………………………………………….12′ 学后反思
数据的图形分布情况和数字特征从不同方面对总体（或样本）的分布作出了刻画.在解决实际问题时，这两个方面应结合起来，发挥各自的长处，以便能更清晰地描绘总体（或样本）的分布. 举一反三 4. （2009·海南、宁夏）某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数），从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.表1：
表2： 生产能 力分组 ［100,110） ［110，120） ［120，130） ［130,140) ［140,150) 人数 4 8 x 5 3 生产能 力分组 ［110，120） ［120，130） ［130,140) ［140,150) 人数 6 y 36 18 (1)先确定x、y,再完成下列频率分布直方图，就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
（2）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 解析： （1）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名. 故4+8+x+5+3=25,得x=5；6+y+36+18=75,得y=15. 频率分布直方图如下：
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小. （2）
A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1. 10. (2008·海南、宁夏)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）,结果如下： 甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 根据以上数据设计了茎叶图如下： 根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ①
根据题目要求，从所给数表和茎叶图中提炼有用信息,便能得到结论. 答案:①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）. ②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中、稳定). ③甲品种棉花的纤维长度的中位数为307 mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为318 mm. ④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀. (上面四个结论，任选两个即可) 11. （2009·广东改编）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间［0,50］,(50,100］,(100,150］,(150,200］,（200,250］,（250,300］进行分组，得到频率分布直方图如图. API 0~50 51~100 101~150 151~200 201~250 251~300 >300 级别 Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅲ Ⅲ Ⅳ Ⅳ 状况 优 良 轻微污染 轻度 污染 中度 污染 中度重 污染 重度 污染
（1）求直方图中x的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数. 解析：（1）根据频率分布直方图可知，
(2)空气质量为Y的天数=（Y对应的频率÷组距）×组距×365天， 所以一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别 是
×50×365=119(天)和
×50×365=100(天). 12. 为了解A、B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每个轮胎行驶的最远里程数（单位：1 000 km）：
轮胎A:96,112,97,108,100,103,86,98
轮胎B:108,101,94,105,96,93,97,106 （1）分别计算A、B两种轮胎行驶的最远里程数的平均数、中位数； （2）分别计算A、B两种轮胎行驶的最远里程数的极差、标准差； （3）根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定?
（1）A轮胎行驶的最远里程数的平均数为
B轮胎行驶的最远里程数的平均数为
(2)A轮胎行驶的最远里程数的极差为112-86=26,标准差为
B轮胎行驶的最远里程数的极差为108-93=15,
（3）由于B轮胎行驶的最远里程数的极差和标准差较小，所以B轮胎性能更加稳定. 左下角 右上角 左上角 右下角 一条直线附近 线性相关 两个变量间的相关关系
（1）正相关
在散点图中，点散布在从
的区域.对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.
（2）负相关
在散点图中，点散步在从
的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.
（3）线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看是大致在
，就称这两个变量之间具有
关系，这条直线叫做回归直线. 第三节 变量间的相关关系 基础梳理 距离的平方和最小 2.线性回归方程
（1）最小二乘法
求回归直线使得样本数据的点到回归直线的 的方法叫做最小二乘法.
（2）线性回归方程
是两个具有线性相关关系的变量的一组数据
的线性回归方程，其中a,b是待定参数。
相关关系的判断
【例1】下列两个变量之间的关系是相关关系的是
) A. 正方体的棱长与体积
B. 单位面积产量为常数时，土地面积与产量 C. 日照时间与水稻的亩产量 D. 电压一定时，电流与电阻
分析 函数关系和相关关系都是指两个变量之间的关系，函数关系是两变量之间的一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系.
A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系，C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产.
判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系，关键是判断两个变量间的关系是否是确定的.若确定，则是函数关系；若不确定，则是相关关系.
典例分析 1.有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况;④正方形的边长和面积；⑤汽车的载重量和百公里耗油量.其中两个变量成正相关的是
D. ④⑤ 解析:由相关的有关概念可知②⑤为正相关，①③为负相关，④为函数关系.
举一反三 480 470 460 410 360 330 320 水稻产量 45 40 35 30 25 20 15 施化肥量 【例2】下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据
（1）将上述数据制成散点图； （2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ 分析
判断变量间是否是线性相关，一种常用的简便可行的方法就是作散点图.
解（1）散点图如下：
（2）从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系.当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长. 学后反思
散点图是由大量数据点分布构成的，是定义在具有相关关系的两个变量基础之上的，对于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地分析它们有无关系及关系的密切程度. 2.下表是某地的年降雨量（mm）与年平均气温（℃）的数据资料，两者是线性相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？ 举一反三 年平均 气温（℃）
12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.47 13.05 年降雨 量(mm)
748 542 507 813 574 701 432 解析：以x轴为年平均气温,y轴为年降雨量，可得相应的散点图如图所示.因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合.如果用公式求得回归直线方程也是没有意义的. 题型二
求回归直线方程 【例3】在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：
利用公式确定参数a、b的值，从而求出回归直线方程.
0 10 20 50 70 溶解度（y）
66.7 76.0 85.0 112.3 128.0 由资料看y对x呈线性相关，试求回归直线方程. 学后反思
因为y对x呈线性相关关系，所以可以用一元线性相关的方法解决问题. （1）利用公式
来计算回归系数，有时常制表对应求出
,以便于求和. （2）本题在计算时可以借助计算器.
举一反三 3. （2009·日照模拟）某中学期中考试后，对成绩进行分析,从某班中选出5名学生的总成绩和外语成绩如下表：
学生 学科 1 2 3 4 5 总成绩（x） 482 383 421 364 362 外语成绩（y） 78 65 71 64 61 则外语成绩对总成绩的回归直线方程是
利用回归直线方程对总体进行估计 【例4】(12分)下表是几个国家近年来男性与女性的平均寿命（单位：岁）情况：
国家 男性平均寿命（x） 女性平均寿（y） 调查年号 中国 70 73 2000 韩国 73.4 80.4 2002 马来西亚 71 75.5 2003 美国 78.1 82.6 2005 法国 75.5 82 2001 日本 78.6 85.6 2004 （1）如果男性与女性的平均寿命近似成线性关系,求它们之间的回归直线方程； （2）科学家预测，到2075年，加拿大男性平均寿命为87岁.现请你预测，到2075年，加拿大女性的平均寿命（精确到0.1岁）. 分析（1）本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归直线方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的. （2）求回归直线方程的关键：计算出 解
.16 …………………………………………………… 4’ ………………………………………………………………..……………
6’ ……….…………………….. 8’ ……………………..…
10’ 可预测，到2075年，加拿大女性的平均寿命为95.3岁……….…… 12’ 学后反思
利用回归直线方程对总体进行估计时，需先求出回归直线方程，然后代入回归直线方程得到估计值.
举一反三 4. 下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）的对比表. 气温/℃
26 18 13 10 4 -1 杯数 20 24 34 38 50 64 （1）将上表中的数据制成散点图;
（2）你能从散点图中发现当天气温与热茶杯数近似成什么关系吗？ （3）如果近似成线性关系的话，请求出回归直线方程来近似地表示这种线性关系； （4）如果某天的气温是-5 ℃时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数. 解析
（1）散点图如图：
（2）从散点图中发现当天气温与热茶杯数近似成线性相关关系. （3）求出回归直线方程（用来近似地表示这种线性关系），用
来近似地表示这种线性关系. （4）如果某天的气温是-5℃，用
预测这天小卖部卖出热茶的杯数约为 10. （2009·滨州模拟）某小卖部为了了解热茶销量y（杯）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表如下：
气温（℃） 18 13 10 -1 杯数 24 34 38 64 由表中数据算得线性回归方程
，预测当气温为-5℃时，热茶的销量约为 解析：由题意知
,所以样本中心点为（10，40），因为样本中心点必在线性回归方程上，易得a=60,所以线性回归方程为
,根据回归方程的预测，当气温为-5 ℃时，热茶销量为（-2）×（-5）+60=70. 答案：70
考点演练 11. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据.
x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线
性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5） 解析 （1）如图,从散点图看出两组变量具有线性相关关系.
第十二单元
统计﹑概率 知识体系
随机抽样 基础梳理 1. 简单随机抽样 （1）定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. （2）最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
2. 系统抽样 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，步骤如下: （1）先将总体的N个个体编号； （2）确定分段间隔k,对编号进行分段，当
是整数时，取k=
； （3）在第1段用简单随机抽样确定第1个个体编号 ( ≤k); （4）按照一定的规则抽取样本，通常是将 加上间隔k得到第2个个体编号( +k)，再加k得到第3个个体编号( +2k),依次进行下去，直到获取整个样本. 3. 分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样. （2）分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样. 4. 三种抽样方法比较 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽到的机会均等 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少
系统抽样 将总体均匀分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多
分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 典例分析 题型一
简单随机抽样 【例1】某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件在同一条件下测量，请设计一种抽样方案. 分析
考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数法容易获取样本. 解
方法一（抽签法）:将100件轴编号为1,2,…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，与这10个号签号码相同的轴的直径即为所要抽取的样本.
方法二(随机数表法):将100件轴编号为00,01，…,99,在随机数表（见教材附表）中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68,34,30,13,70,55,74,30，77,40,这10个号码对应的轴的直径即为所要抽取的样本. 学后反思
（1）随机数法的步骤：①将总体的个体编号；②在随机数表中选择开始数字；③读数获取样本号码.随机数法简单易行，它很好地解决了抽签法在总体个数较多时制签难的问题，但是当总体中的个体很多，需要的样本容量也很大时，用随机数法抽取样本仍不方便; （2）一个抽样试验能否用抽签法，关键要看：①制签是否方便；②号签是否容易被搅匀.一般地，总体容量和样本容量都较小时，可用抽签法. 举一反三 1.
某事业单位有102名职工，从中抽取10人参加体检，试采用简单随机抽样进行具体实施. 解析： ①将每一个人编一个号由001至102； ②制作大小相同的号签并写上号码； ③放入容器中，均匀搅拌； ④依次抽取10个号码，具有这十个编号的人组成一个样本. 题型二
系统抽样 【例2】从某厂生产的905辆家用轿车中随机抽取90辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程. 分析
由于总体容量较大，因此，采用系统抽样法进行抽样，又因总体容量不能被样本容量整除，需先剔除5辆家用轿车，使得总体容量能被样本容量整除，取间隔k=
=10;然后利用系统抽样的方法进行抽样. 解
可用系统抽样法进行抽样，抽样步骤如下： 第一步，将905辆轿车用随机方式编号； 第二步，从总体中剔除5辆（剔除法可用随机数法），将剩下的900辆轿车重新编号(分别为001,002,…,900)并分成90段； 第三步，在第一段001,002,…,010这十个编号中用简单随机抽样法抽出一个作为起始号码（如006）; 第四步，把起始号码依次加间隔10，可获得样本. 学后反思
在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，则可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除. 举一反三 2. 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施. 解析： （1）将每个人编一个号由； （2）利用随机数表法找到3个号，将这3名工人排除; （3）将剩余的1 000名工人重新编号; （4）分段，取间隔
,将总体均分为10组，每组含100个工人; （5）从第一段，即从0001号到0100号中随机抽取一个号L; （6）按编号将L，100+L，200+L，…，900+L共10个号选出.这10个号所对应的工人组成样本. 题型三
分层抽样 【例3】某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的
,且该组中，青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本. （1）在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例; （2）在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数. 分析
因本题中已给出了青年人、中年人和老年人三类，如何分配他们之间的比例和他们各自的人数是解决本题的关键. 解
采用分层抽样的方法. (1)设登山组人数为x,在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，根据题意得
解得b=50%,c=10%.
故a=100%-50%-10%=40%,即在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.
（2）在游泳组中，抽取的青年人人数为200×
×40%=60(人)；抽取
的中年人人数为200×
×50%=75(人);抽取的老年人人数为200×
×10%=15(人). 学后反思
分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点： （1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠； （2）为保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性应相同； （3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样. 举一反三 3. 某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本.（1）如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体，求样本容量n；（2）如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除一个个体，求样本容量n. 解析：
（1）总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为
，分层抽样的比例是
,抽取工程师
（人），抽取技术员
（人）,抽取技工
（人）.所以n应是6的倍数，36的约数，即n=6,12,18,36. (2)当样本容量为（n+1）时，总体容量是35，系统抽样的间隔为
必须是整数，所以n只能取6,即样本容量n=6. 题型四
抽样方法的综合应用 【例4】(12分)为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号,假定该校每班学生的人数相同）：①从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.根据上面的叙述，试回答下列问题： （1）上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？ （2）上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？ （3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤. 分析
本题主要考查基本概念和三种抽样方法的联系与区别，准确把握三种抽样方法的概念与特点是解此题的关键;另外要注意叙述的完整性和条理性. 解 （1）这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100…………………………………..3′
（2）三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法；第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法;第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法…………………………………………….6′
（3）第一种方式抽样的步骤：第一步，用抽签法在这20个班中任意抽取一个班;第二步，从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩………………………………..7′
第二种方式抽样的步骤如下：第一步，用简单随机抽样法从第一个班中任意抽取一名学生，记其学号为a;第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，加上第一个班中的一名学生，共计20人……………..9′
第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层.因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次;第二步，确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个数之比为100∶1 000=1∶10,所以在每个 层次中抽取的个体数依次为
,即15,60,25;第三步，按层 次分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人…………………………………………..12′ 学后反思
本题主要考查数理统计中一些基本的概念和方法.做这种题目时，应该注意叙述的完整性和条理性. 举一反三 4. 判断下面这几个抽样调查选取样本的方法是否合适. (1)一啤酒厂为了了解其产品的质量情况，在其生产流水线上每隔1 000瓶选取一瓶检验其质量； （2）一手表厂欲了解6～11岁少年儿童带手表的比例，周末来到一家业余艺术学校调查200名在那里学习的学生； （3）为调查全校学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率，用简单随机抽样方法在全校所有的班级中抽取8个班级，调查这8个班级中所有学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率； (4)为调查一个省的环境污染情况，调查省会城市的环境污染情况. 解析： （1）合适；（2）不合适，这所学校的200名学生不能代表全部的6～11岁儿童；（3）合适；（4）不合适,调查的城市为省会，不满足随机抽样的随机性和机会均等性原理.
易错警示 【例】下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？并说明理由. （1）从无限多个个体中抽取100个个体作样本. （2）盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检查，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后，再把它放回盒子中. 错解
（1）是简单随机抽样，因为样本是随机任意抽取的. （2）是简单随机抽样，因为就是从80个零件中任取5个零件的抽样. 错解分析
上述两问题不具有简单随机抽样的特点：不放回、有限性. 正解
（1）不是简单随机抽样，由于被抽取样本的总体的个数不是有限的而是无限的. （2）不是简单随机抽样，由于它是放回抽样，而简单随机抽样的前提是不放回抽样. 考点演练 10. （2010·茂名模拟）一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t,则在第k组中抽取的号码个位数字与t+k的个位数字相同，若t=7，则在第8组中抽取的号码应是. 解析:
t+k=7+8=15,第8组中75的个位数字与t+k的个位数字相同，所以为75. 答案:
75 11. 某校有在校高中学生1 600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人.如果想抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，应当采用
抽样，高三学生中应抽查
因为不同年级的学生消费情况有明显的差别，所以应采用分层抽样.由于520∶500∶580=26∶25∶29,于是将80分成26∶25∶29三部分，设三部分各抽个体数分别为26x,25x,29x,则26x+25x+29x=80,解得x=1,故高三年级中应抽取29×1=29（人）. 答案
29 12. 某校高中三年级有253名学生，为了解他们的身体状况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试写出用系统抽样法进行抽样的过程. 解析
第一步，计算要抽取的个体数：
，所以先从253个个 体中随机剔除3个;第二步，把剩下的250名学生随机编号为：1,2,…，250，然后分组为1 ～5,6 ～10,…,246 ～250;第三步，在1 ～5之间任选一个号，记为i(1≤i≤5)，然后依次在第n组选取[i+(n-1)×5]号(2≤n≤50).这样就得到所需的样本. 第二节
用样本估计总体 基础梳理 1. 作频率分布直方图的步骤 （1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）; （2）决定组距与组数; （3）将数据分组; （4）列频率分布表; （5）画频率分布直方图.
2. 频率分布折线图和总体密度曲线 （1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图; （2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线. 3. 众数、中位数、平均数 （1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. （2）将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
（3）如果有n个数
叫做这n个数的平均数.
4. 标准差和方差
（1）标准差是样本数据到平均数的一种平均距离;
（3）方差：
是样本数据，n
是样本容量， 是样本平均数).
5. 用茎叶图刻画数据有两个优点 (1)所有的信息都可以从图中得到; (2)茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情况. 但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图的效果就不是很好了. 典例分析 题型一
图形信息题 【例1】为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级女生进行了一次身高测量，所得数据整理后,列出了频率分布表如下：
分组 频数 频率 145.5-149.5 1 0.02 149.5-153.5 4 0.08 153.5-157.5 20 0.40 157.5-161.5 15 0.30 161.5-165.5 8 0.16 165.5-169.5 m n 合计 M N （1）求出表中m,n,M,N所表示的数分别是多少;
（2）画出频率分布直方图；
（3）试问：全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的概率. 分析
每一组距的频率是该组距中个体的个数与所研究对象的个数之比；所有组距的频率之和为1;每一组距的频率是频率分布直方图中该组距所对应的矩形的面积. 解
=50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,N=1,
（2）作出直角坐标系，组距为4,纵轴表示
，横轴表示身高,画出直方图如图：
（3）在153.5-157.5 cm范围内最多，估计身高在161.5 cm以上的概
=0.2. 学后反思
频率分布直方图反映样本的频率分布（其中纵轴表示
，横轴表示样本数据）.
直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小 矩形的面积之和等于1,即频率之和为1.由此可以估计样本数据落在某个区 间的频率或概率或者总体的数字特征. 举一反三 1. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2 500,3 000)(元)月收入段应抽出
∵月收入在［2 500,3 000）(元)段的频率为0.000 5×500=0.25，∴应抽人数为100×0.25=25（人）. 答案:
用样本分布估计总体 【例2】对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： （1）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计电子元件寿命在100 h~400 h以内的频率； （4）估计电子元件寿命在400 h以上的频率. 寿命（h） [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600]
个数 20 30 80 40 30 分析
从分组中看寿命在某一范围内的电子元件的比例即寿命在该范围内的频率. 解
（1）样本频率分布表如下： 寿命(h) 频数 频率 [100,200) 20 0.10 [200,300) 30 0.15 [300,400) 80 0.40 [400,500) 30 0.15 [500,600] 30 0.15 合计 200 1 （2）频率分布直方图如图： （3）电子元件寿命在100 h～400 h以内的频数为130,则频率
=0.65. （4）寿命在400 h以上的电子元件的频数为70，则频率
=0.35. 学后反思利用样本的频率分布可近似地估计总体的分布.从本例可以看出，要比较准确地反映出总体分布的情况，必须准确地作出频率分布表或频率分布直方图，充分利用所给的数据正确地作出估计. 举一反三 2. （2009·银川模拟）某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如下图）.根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦.已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25、0.20、0.10、0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为(
) A. 1 000,0.50
B. 800,0.50 C. 800, 0.60
D. 1 000,0.60 解析:
由题知，体重在［55，60）的频率为1-（0.25+0.20+0.10+0.05）=0.40，又频数为400，故总人数为1 000；体重正常的频率为0.4+0.2=0.60. 答案:
用样本的数字特征估计总体的数字特征 【例3】对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测
得他们最大速度的数据如下：
甲：27,38,30,37,35,31;
乙：33,29,38,34,28,36.
根据以上数据，试判断他们谁更优秀. 分析
要判断甲、乙两人谁更优秀，只需计算它们的平均数与方差即可.已知一组数据
由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀. 学后反思
平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.
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