13概率论与统计学1-4(包含第一章小结)
上亿文档资料，等你来发现
13概率论与统计学1-4(包含第一章小结)
第一章概率论的基本概念；§1.4事件的独立性.本章小结；?事件的独立性是什么意思？；?独立性具有什么性质？?独立性的实用背景是什么？；1.事件的相互独立性；引例：E:抛一颗骰子，观察点数；(1)A与B相互独立定义:；A与B相互独立：；性质：；例1：E:将一颗骰子抛两次记A={第一次出现1、；注：上述定义中共有；例2：；解：；注意不相容与独立的区别！；
第一章 概率论的基本概念§1.4 事件的独立性. 本章小结? 事件的独立性是什么意思？? 独立性具有什么性质？ ?独立性的实用背景是什么？ ? #二项概型(自学) ? 本章小结练习11.事件的相互独立性引例：E: 抛一颗骰子，观察点数。 记A={1,2,3}, B={1,5}, C={4,5,}, D={2,3,} 问：已知A发生的条件下B、C 、D发生的概率是多少？(1) A与B相互独立定义:A与B相互独立：2性质：例1：E: 将一颗骰子抛两次 记A ={第一次出现1、2点}, B ={第二次出现1、2、3点} 求：p(A), p(B), p(AB), 并指出A、B的独立性 (2) n个事件相互独立定义注：上述定义中共有3例2：解：注意不相容与独立的区别！4(3)事件独立的实际背景与事件的近似独立性引例：一盒中装有5只产品，3只正品，2只次品。E：从中取2次，每次取一只。a）放回，b）不放回 求：1)第二次取到次品的概率 2)已知第一次取到次品，问第二次还取到次品的概率3)若把产品数改为100000，次品数改为200，结论又如何？ 放回抽样的各步之间是独立的，而不放回抽样的各步之间 是不独立的，但当产品数很大时，各步之间几乎独立，从 而把不放回抽样当作放回抽样，这是数理统计的重要观点 独立时： 不相容时：5* 关于事件近似独立性的推算（一）6* 关于事件近似独立性的推算（二）它们的绝对误差都是1/M的等价无穷小7#2二项概型例3:产品抽样问题(P8) 设有N件产品，其中有M件次品。 E：从中任取n件。 1）放回， 2）不放回 3）N很大，次品率为p问：n件中恰有k件次品的概率是多少？答:1) 2) 3)83. 本章小结（1）主要概念： 随机试验、样本空间、随机事件 古典、几何、统计概率定义及其三个基本性质 条件概率 事件独立性及其性质 # 二项概型与二项概率 注意： A,B互不相容： A,B相互独立：9（2） 主要公式：加法公式：减法公式：乘法公式：补集公式： 独立性：条件概率：全概率公式：贝叶斯公式：10(3)求解概率题思路(综合运用工具 定义 公式思维方式分步法(排列、组合） 分块法 逆向法114.第一章习题讲解例1：为了防止意外，在矿内同时设有甲、乙两种报警系统。各 系统有效的概率:甲为0.92，乙为0.93，在甲失灵时乙仍有效的 概率为0.85。 求 ⑴发生意外时两系统至少有一个有效的概率； ⑵乙失灵的条件下，甲仍有效的概率。 解：12例2：盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的。第一 次比赛时从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时 再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。解：13例3：P23第21题 问题分解为: (1)抽得的产品使用n次未发生故障的概率? (2)已知抽得的产品使用n次未发生故障,问该产品为正品的概率? (3)原问题 例4：P17例1.3.6 (生产检验问题) 实际背景: 生产中次品是难以避免的. 次品率的高低往往由以下两个因素造成: (1)机器是否调整好. (机器调整好的概率为0.95) (2)机器调整好坏情况下的次品率.(好时: 0.02 坏时: 0.45)因此工人开工时总要先调整机器.为了确认机器是否调整好,工人会先生产一件产品,若是好的,则认为机器调整好了,否则 重新调试.试分析这一做法的正确性14思考证：答:所以，A与B相互独立15选择题 1.设A、B为互斥事件，且P(A)&0, P(B)&0, 下面四个结论中，正确的是： 1）P(B|A)&0， 3）P(A|B)=0， 2）P(A|B)=P(A)， 4）P(AB)=P(A)P(B)。2.设A、B为独立事件，且P(A)&0, P(B)&0, 下面四个结论中，正确的是：1） P(B|A)&0， 3）P(A|B)=0 ， 2） P(A|B)=P(A)， 4） P(AB)=P(A)P(B)。16√√17包含各类专业文献、中学教育、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、生活休闲娱乐、高等教育、行业资料、13概率论与统计学1-4(包含第一章小结)等内容。
　2财富值 第2-5章 概率论与统计学基... 66页 2财富值喜欢此文档的还喜欢 ...一、选择题: (每空 4 分,共 20 分) 1、设 A , B 为两个随机事件,且... 　概率论与数理统计总结之第一章(_自考_成人教育_教育专区。第一节 概率论的基本...B, AB ? A 4. 差事件(A-B) 当 A 发生、B 不发生,记 A ? B 。 1... 　统计学第一章_经济学_高等教育_教育专区。统计学知识...但是,他把概率论引入统计学,使统计学在 “政治算术...统计学攻击工作经验的概括和总结;反之,统计学所 ... 　概率论与数理统计 张帼奋 第一章答案_理学_高等教育_教育专区。第一章 概率论...4、解(1)因为 A,B 不相容,所以 A,B 至少有一发生的概率为: P( A B)... 　3 4 1 2 ? 1 2 ? 3 4 , ? 48 个金币,B...统计学是应用数学的一个分支, 主要通过利用概率论...总结,并进而进行推断和预测,为相关决策提供依据和... 　第一章 统计学_法学_高等教育_教育专区。第一章 ...1、统计的产生与发展 2、统计的涵义 3、统计学的...概率论引进统计学,发展了概率论,推广了概率论在统计... 　概率论与统计学概率论与统计学隐藏&& 第一章习题答案基础训练一 一、选择题:...训练一 一、选择题:ABDAB 二、填空题 1、0 2、0.5 3、1 ;1/4 4、0... 　概率论与数理统计学习心得_理学_高等教育_教育专区。...3/4 ,乙获胜的概率为 (1/2)*(1/2)=1/4 ...主要包括:极限理论、随 机过程论、数理统计学、概率... 　 学年第二学期 概率论与数理统计练习题 任课老师: 学院 专业 班级 ...1/4, P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求 A,B,C 至少有一个发生的概率... 上传我的文档
 下载
 收藏
该文档贡献者很忙，什么也没留下。
 下载此文档
正在努力加载中...
概率论章节总结
下载积分：400
内容提示：概率论章节总结
文档格式：DOC|
浏览次数：6|
上传日期： 08:28:42|
文档星级：
该用户还上传了这些文档
概率论章节总结
官方公共微信概率论小结_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
格式 文档名称 用户评分 浏览量 下载量概率论小结（一）
首先，我认为这种学习小结是很好的复习方法，在越来越注重结果的中国大学教育体制中，这就显得特别难能可贵。我们做事总存在一种心理，结果好就是好，过程可以忽略，也就是说我们平时总是在强化结果监控；然而，你要看到，这是个“苹果与果树”的问题，只有加强过程监控，你才能吃到真正可口的苹果，否则你只得到加入食用香精的苹果。我们再谈高考状元的学习经验，同样也是不断加强过程监控，例如“错题本”“学习日记”等。当然，说归说做起来要很大的决心与强大的自制力不可，所以，这一点，我自己也要检讨，做的还远远不够。
好了，废话说了这么多，下面我们步入正题——概率论与数理统计。自从开始研究经济学，我就特别关注香港中文大学的“郎咸平”教授，他一直是我认为的，最出色的经济学家（没有之一），虽然比不上克鲁格曼等人名气大，但他敢讲真话，真正为百姓着想，同时批判性的对我国“传统经济”提出非常合适且非常具体的建议。面对被人迫害的风险与“愚论”的压力，他没有退缩，而是有理有据的提说自己的观点，这些不是为了名与利（他根本不缺这些，甚至对此不屑），而是因为他有科研工作者必须具备的素质——责任心。你可以将他与那些“宠物经济学家”（）比较，你就知道什么是真正的水平。同样，概率论这门课作为经济学研究的基础性课程，要想领会到它的实质，我们也必须具备责任心。我们可以对统计学家作出重要的评论：最好的统计学家在国家统计局——他们聪明到作假报表足以愚民；最差的统计学家也在国家统计局——他们丧失了统计学最宝贵的“信托责任”。所以，学习这门课最重要的是你要有责任心。
下面对于课程具体的知识结构，我给出“拙见”：
第一章——简单的概率类型及其定义与性质；
第二章——描述简单随机变量的数学指标与随机变量的刻画方法（分布的定义与相关概念）。
接下来，我简单复述一遍自己学习中发现的问题：
其实，第一章的内容，我们在高中时就学过了，现在就是将样本空间范围扩大到n，然后对有关概念给出明确定义，学习中发现：
（1）求概率的几何方法运用不到位，甚至不知道如何下手；
（2）条件概率与概率独立性区分混淆——P(AB)=?P(A)*P(B)；
对于第二章，个人感觉一开始学一头雾水，通过不断地反思，现在感到大致掌握了，但远没达到熟练的程度，具体发现问题：
（1）将积分知识首次用到连续随机变量概率中，适应的比较慢，尤其是对于F(x）与p(x)的关系认识不是很清晰；
（2）对于伽马分布、贝塔分布等特殊的分布不熟悉（数学分析的弱势开始显现）；
（3）对于连续随机变量函数的分布掌握的不好，也就是说还需要不断强化。在大量练习时丧失了“责任心”，对于个别较难题目开始“蒙”，甚至凭空猜测，几乎可以去国家统计局上班了！
个人感觉从第二章开始，概念逐渐增多，知识难度逐渐加大，课本尤其是例题的掌握特别关键，自己在学习中的心得是：
（1）对于古典概率，样本空间特别重要，例如“抽样”等问题；
（2）概率条件概率中对“条件”的分析，例如“传球”等问题；
（3）对期望方差公式尤其是定义的运用是证明此类问题的手段；
（4）“无记忆性”的理解，有利于对比学习其他分布；
（5）好好“看”书，“看”——“望闻问切”（定义-例题-练习-问题-解决问题-定义的理解-掌握）。
总体来说，这是一门特别需要责任心的学科，其概念不比经济学少，同时又服务于实践，尤其是经济生产，理论与实践结合的很紧密。
已投稿到：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。度函数，典型例子 随机变量的函数，变量变换公式 分布函数 随机向量，边缘分布，联合分布，条件分布，高维正态分布 随机变量独立性定义 数学期望 （定义，性质，举例） 方差 （定义，性质，举例，Chebyshev 不等式） 高阶矩 协方差与相关系数的定义, Cauchy-Schwartz 不等式，性质，与独立 性的关系，高维情况 关键词：随机事件 概率 离散型 连续性 期望 方差 目录： 一、概率论的基本概念1.1、试验、 事件、 样本空间 1.2、事件的概率 1.3、概率空间 1.4、条件概率 1.5、独立性 1.6、贝努力试验模型 二、随机变量及其分布 2.1、随机变量及其分布函数 2.2、离散型随机变量及其分布 2.3、连续型随机变量及其分布 2.4、随机变量函数的分布 三、多维随机变量及其分布 3.1、多维随机变量及其分布 3.2、边缘分布 3.3、条件分布 3.4、随机变量的独立性 3.5、两个随机变量的函数的分布 四、随机变量的数字特征 4.1、随机变量的数学期望 4.2、方差、矩第一章 概率论的基本概念第一节试验、 事件、 样本空间 ③不确定性⑴ 随机试验的三个特点：①可重复性 ②多结果性⑵ 随机事件:随机试验的某种结果，一般用大写字母 A、B、C 表示 ⑶ 必然事件： 每次实验都必然发生的事件， 称为必然事件， 记为Ω。 ⑷ 不可能事件：每次试验都不发生的事件，称为不可能的事件，记 ⑸ 样本空间：实验 E 的所有基本结果构成的集合称为样本空间，记 为Ω，Ω中的元素集 E 的基本结果称为样本点。 将随机事件样本点组成的集合，如：掷一颗骰子，观察出现的点 数，S = { i ：i=1,2,3,4,5,6｝ 是样本空，事件 B：出现偶数点， =1,2,3,4,5,6｝ 即 B={1,3,5｝是 S 的一个子集。 {1,3,5｝ {1,3,5⑹ 事件的关系及其运算 ① 包含：事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记为 B?A 或 A?B 相等，记为 A＝B。 相等：若 A?B 且 A?B 则称事件 A 与事件 B 相等 事件 ② 事件的和：事件 A 与事件 B 至少有一个发生，记为 A∪B。用集 合表示为: A∪B={e|e∈A，或 e∈B}。 ③ 积事件：事件 A 与事件 B 都发生，记为 A∩B 或 AB，用集合表 示为 AB={e|e∈A 且 e∈B}。 ④ 互不相容事件：如果 A，B 两事件不能同时发生，即 AB＝Φ ， 则称事件 A 与事件 B 是互不相容事件 互斥事件。 互不相容事件或互斥事件 互不相容事件 推广 对有限个事件或可列个事件 A1，A2，…，An …，如果对任意 i≠j, Ai Aj＝Φ,则称 A1，A2，…，An 两两互斥 两两互斥，或 A1，A2，…， 互不相容 An …两两互不相容 逆事件，记为?。 ⑤ 对立事件 ：称事件“A 不发生”为事件 A 的逆事件 逆事件 事件 A 发生而事件 B 不发生,这一事件为事件 A 与事 ⑥ 事件的差： 件 B 的差事件,记为 A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B}。 ?相关性质：交换律、结合律 分配律： （Ｂ∪Ｃ） （AB） （AC） A∪(BC)=(A A = ∪ 、 ∪B) ∩(A∪C)
德.摩根律： A I B = A U B ， I B = A U B A 若 A、B 互为对立事件 对立事件，则 A、B 互不相容。它 互不相容。 对立事件 的逆不成立，即 A、B 互不相容，未必有 A、 B 互为对立事件。 例 将 n 个人任意分配到 N 个房间(n≤N),令 A 表示“恰有 n 个房间各有一人”，B 表 示“第一个房间恰有两人”，从而 AB=Φ,但 B 不等于?。第二节 事件的概率概率的统计定义： 由于当实验次数 n 趋于无穷大时， 频率 fn(A)=nA/n 1、会逐渐稳定于某一常数 p，因此可将 A 的概率定义为:P(A)=p。 2、古典概型 Ⅰ 若试验 E 满足（1）有限样本空间：样本点总数有限； （2）等可能性：各基本事件发生的可能性相同。 则称试验 E 为古 典概型（或有限等可能概型） ． Ⅱ 设试验 E 是古典概型, 其样本空间 S 由 n 个样本点组成 , 事件A 由 k 个样本点组成 则定义事件 A 的概率为： A 包含的样本点数 P(A)＝k/n＝ ―――――――――― P(A)＝ S 中的样本点总数性质 （1）非负性：对于每一个事件 A，有 P(A)≥0； （2）规范性：P(?)=1； （3） 有限可加性： A1， 2， 设 A ..... Am 是两两互不相容的事件， 即对于 i≠j , AiAj=φ ,i, j=1,2,......m, 则有?m ? m P ? U Ai ? = ∑ P ( Ai ) ? ? ? i =1 ? i =1如何计算： 如何计算： 1、确定样本点并计算其总数； 2、计算时间所含样本点数。 ★排列组合是计算古典概率的重要工具 . 排列组合是计算古典概率的重要工具 3、几何概型 Ⅰ若试验 E 具有如下特征： ⑴ 样本空间Ω是一维二维或三维空间中度量有限的区间（ 这 里所说的度量指区间的长度，区域的面积、体积） ⑵样本点在Ω中均匀分布 则称试验 E 为几何概型， 为 E 的一事件， A 我们定义 A 的概 为：P( A) =Ⅱ? ( A) ? (S )几何概率的性质 （1）对于每一个事件 A，有 P(A)≥0； （2）P(?)=1； （3）设 A1，A2，.. Am ..是两两互不相容的事件，即对于 i≠j , AiAj=φ , i, j=1,2,......, 则有?∞ ? ∞ P? U Ai ? = ∑ P( Ai ) ? ? ? i =1 ? i =1Ⅲ 典型题① 约会问题 ②蒲丰投针第三节 概率的性质（1）P(φ)=0 φ ⑵Ai , A j , i, j = 1,2,L, n, i ≠ j , 两两互不相容， ? n ? n 则 P? U Ak ? = ∑ P( Ak ); ? ? ? k =1 ? k =1⑶P ( A) = 1 ? P ( A ),（4）若 A?B，则 P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A). P(B-A)=P(B)（5）P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB). P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A 同理 ：P(A1 ∪ A2 ∪ A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3) 6）概率的连续性：若A1 ? A2 ? L , A = U Am , 则 : P( A) = lim P ( Am );m =1 ∞ m →∞ ∞若A1 ? A2 ? L , A = I Am , 则 : P( A) = lim P ( Am ).m =1 m →∞例 2. 甲、乙两人先后从 52 张牌中各抽取 13 张,求甲或乙拿到 4 张 A 的概率. 1) 甲抽后不放回，乙再抽; 2) 甲抽后将牌放回，乙再抽. 解：1)A、B 互斥，P(A+B)=P(A)+P(B)2) A、B 相容P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)第四节 条件概率 ⑴条件概率：在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率称为 A 对 B 的条件概率，记作 P(A|B).P( ⑵公式： A | B ) = P ( AB ) P (B )一般 P(A|B) ≠ P(A)。（P(B)&0 P(B)&0） P(B)&0⑶概率的一切性质都适用于条件概率： A|B）=1? A|B） P（Φ|B）=0 ； P（A|B）=1?P（A|B） |B） |B)? P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)?P(A1A2|B) ⑷计算： 例题：1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 6 点,问“掷出点数之 和不小于 10”的概率是多少? 解法 1: 解法 2：P( A | B) = P( AB) P( B) 3 1 P( A | B) = = 6 2= 3 36 1 = 6 36 2⑸乘法公式：若 P(B)&0,则 P(AB)=P(B)P(A|B) 或 若 P(A)&0,则 P(AB)=P(A)P(B|A) ⑹全概率公式 设 A1,A2,…,An 是试验 E 的样本空间Ω的一个划分， P(Ai)&0， 且 i=1,2,…,n, B 是任一事件, 则 P ( B) = ∑ P ( Ai ) P ( B｜Ai )i =1n⑺ 贝叶斯公式设 A1,A2,…,An 是试验 E 的样本空间Ω的一个划分，且 P(Ai)&0，i=1,2,…,n, B 是任一事件且 P(B)&0, 则P ( Ai | B) = P ( Ai ) P ( B｜Ai )∑ P ( A ) P ( B｜A )j =1 j jn全概率公示和贝叶斯公式是加法公式和乘法公式的综合应用。 全概率公示和贝叶斯公式是加法公式和乘法公式的综合应用。 第五节 独立性 ⑴定义：若两事件 A、B 满足：P(AB)= P(A) P(B) 则称 A、B 独立，或称 A、B 相互独立。 推广： P(AB)= P(A)P(B) 四个等式同时 成立,则称事件P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C)A、B、C 相互独立注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系 ⑵ 定理： 若两事件 A、 独立， B 则 A 与 B, A与 B , A 与 B 也相互独立 ⑶ 计算：①A1 , A 2 ,… , A n 至少有一个发生的概率为P(A1∪…∪An) =1- (1-p1 ) …(1-pn ) =1- (1…(1② A1 , A2 ,… , An 至少有一个不发生的概率为 P( A1 + A2 + … + An ) = 1 ? P ( A1 ) P ( A2 ) … P ( An ) =1=1- p1 … pn 个元件， 例：电路系统的可靠性。如图，两个系统各有 2n 个元件， 电路系统的可靠性。如图， 其中系统Ⅰ先串联后并联，系统Ⅱ 先并联后串联。 其中系统Ⅰ先串联后并联，系统Ⅱ 先并联后串联。求 两个系统的可靠性大小并加以比较。 两个系统的可靠性大小并加以比较。第六节 伯努利试验概型 ⑴ n 重贝努利试验有下面四个约定 重贝努利试验有下面四个约定：（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果 每次试验的结果只能是两个可能的结果，A 和?A 之一 之一, （2）A 在每次试验中出现的概率 p 保持不变, （3）各次试验相互独立 各次试验相互独立, （4）共进行了 n 次. . ⑵定理 对于 n 重贝努利试验 事件 A 在 n 次试验中出现 k 次的概率 重贝努利试验， 为k Pn ( k ) = C n p k q n? kk = 0,1, K , n,q = 1? p第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量极其分布函数 随机变量：设 X(ω)是定义在概率空间(?, F, P )上的单值实函数,如果 对于每个 ω∈? ,有一个实数 X(ω) 与之对应, 且?x∈(∞,+∞) , {ω|X(ω) ≤ x}∈F ,则称 X(ω)为随机变量, 通常用大 写字母 X,Y,Z 表示 。 引入意义：随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对 事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律 的研究. 分类：离散型随机变量和连续型随机变量。 研究方法：共同――分布函数，随机――分布律，连续――密度函 数。 定义：设 X 是一个 r.v ， x 为 一 个 任 意 实 数 ， 称 函 数F ( x ) = P ( X作 X ～ F(x) 或 FX(x).≤x ) 为为 X 的分布函数，记分布函数的性质：(1) F(x) 非降，即若 x1&x2，则 F(x1) ： ⑵ F ∞ F ∞ ⑶F(x) 右连续，即lim 练：设连续性随即变量 X 的分布函数为 F x lim lim F xF(x2) ; F x F x 0; 1其中， λ & 0 为参数， A,B 的值， 求 并计算 P(-1&X≤1)的概率。? A + Be ? λ x , x & 0 F ( x) = ? ?0, x ≤ 0第二节 离散型随机变量极其分布律 定义： 设 X 为一随机变量 为一随机变量，如 X 的全部可能取到的值是有限个或可 列无限多个， ，则称随机变量 X 为离散型随机变量。 为离散型随机变量。 分布律：设 xk(k=1,2, …) …)是离散型随机变量 X 所取的一切可能值 所取的一切可能值，称等式P ( X = x k )= p k ,为离散型随机变量 X 的概率函数或分布律 的概率函数或分布律，也称概率分布. 表示方法： 列表法―― ――公式法―― ――P( X =k)=3 k C3 ? k C 2 , k = 0,1,2 C53图示法―― ――性质：⑴p⑵∑ p =1几种常见的分布： （1） 0－1）分布：设随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值 （ － ）分布： 两个值，它的分布 律为 P{X=k}=pk(1 P{X=k}=pk(1-p)1-k , k=0，1. (0&p&1)则称 X 服从（0－1）分 ， 服从（ － ） 布,记为 X?（0－1）分布。 ? －1） X P 0 1-p（0－1）分布的分布律用表格表示为 － ）分布的分布律用表格表示为： 易求得其分布函数为： 易求得其分布函数为x&0 ? 0 ? F ( x ) = ?1 ? p 0 ≤ x & 1 ? p x ≥1 ?（2）二项分布： 二项分布： 二项分布k 定义： 定义：若离散型随机变量 X 的分布律为 P {X = k } = C n p k q 1? kk = 0, 1, L , n其中 0&p&1,q=1-p p,则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布 的二项分布，记为 X?B(n,p). ? 试验模型： 试验模型：在 n 重贝努利试验中，若以 X 表示事件 A 出现的次 数，则 X 是一随机变量 是一随机变量，X 可能取的值为 0，1，2，…，n，由二项 ， ， ， ， 概率公式可得 X 的分布律为 P {X = k } = C n p qk k 1? kk = 0, 1, L , n即 X 服从二项分布 服从二项分布。 （3）泊松分布 ） 定义： 定义：设随机变量 X 所有可能取的值为 0 , 1 , 2 , … , 且概率分布 为： P ( X = k ) =e ?λ λ ,k称 X 服从参数为 λ 泊松分布,记作 X~π( λ). 泊松分布的图形特点： 泊松分布的图形特点：k!k=0,1,2,LL,其中&0 是常数,则二项分布的泊松近似： 二项分布的泊松近似：定理的条件意味着当 n 很大时， 必定很小. 因此， pn 泊松定理表明， 当 n 很大，p 很小时有以下近似式：C p (1 ? p)k n kn ?k≈λk e ?λk!其中 λ=np。也就是，n 很大时，B(n,p) ≈P(np) n &=100, np&=10 时近似效果就很好. 2.3 连续型随机变量及其分布 连续型随机变量的概率密度 的概率密度： 第三节 连续型随机变量的概率密度：实际计算中，定义： 定义：设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，若存在非负函数 f(x)，使 对于任意实数 x， F ( x ) = ∫ ?∞ f (t )dt 有x则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f(x)称为随机变量 X 的概率密度函数，简称为 概率密度 的性质： 概率密度 f(x)的性质： 的性质 （1）f(x)≥0 ） ≥ （2）∫+∞ ?∞f ( t )dt = 1 （这是因为 F ( +∞ ) = ∫ ? ∞ f ( t )dt = 1）+∞反之，满足（1） （2）的一个可积函数 f(x)必是某连续型随机 变量 X 的概率密度，因此，常用这两条性质检验 f(x)是否为 概率密度。 几何意义为曲线 y=f(x)与 x 轴之间的面积等于 1． (3).X 落在区间(x1，x2)的概率 P{x1 & X ≤ x 2 } = F ( x 2 ) ? F ( x1 ) = ∫ x f ( x )dx ， x2 1几何意义为 X 落在区间(x1，x2)的概率 P{x1&X≤x2}等于区 ， ≤ 间(x1，x2)上曲线 y=f(x)之下的曲边梯形的面积． ， (4).若 f(x)在点 x 处连续，则有 F′(x)=f(x)。 ′的关系： 概率密度 f(x)与分布函数 F(x)的关系： 与分布函数 的关系 (1)若连续型随机变量 X 具有概率密度为 f(x)，那么它的分布函数为F ( x) = ∫x ?∞f (t )dt(2)若连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)，那么它的概率密度为 f(x)=F′(x). ′ 三种重要的连续型分布： 三种重要的连续型分布： (1)均匀分布： 均匀分布： 均匀分布? 1 ? f ( x) = ? b ? a 定义： 定义：设连续随机变量 X 具有概率密度 ? 0 ? a& x&b 其他x&a则称 X 在区间(a，b)上服从均匀分布，记为 X?U(a，b).若 X?U(a，b)，则容易计算出 X 的分布函数为? 0 ?x?a ? F ( x) = ? ?b ? a ? ? 1a≤x≤b x≥b特性：若 X?U(a，b)，对于任意的区间(c，c+l)∈(a，b)，则 特性： ? ， ， ∈ ，P {c & X & c + l } = ∫c+l c1 l dx = 就是说在同样长的子区间内概 b?a b?a率是相同的， 这个概率只依赖于区间的长度而不依赖于区间的位 置。 （2）指数分布： ）指数分布： 定义：若 r.v X 具有概率密度 定义：?χ ? ? λl x? 0 存在 f ( x) = ? λ&0，则称 X ?0 χ ≤ 0 ?服从参数为 λ 的指数分布。常简记为 X~E(λ ) 。?1 ? e ? λx x&0 容易验证:指数分布的分布函数为 F ( x) = ? x≤0 ? 0 特性： 特性：指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.设随机变量 X 满足：对于任意的 s&o，t&0,有 ，P{X ≥ s + t | X ≥ s} = P{X ≥ t }则称随机变量 X 具有无记忆性。指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命. （3）正态分布 ）? 1 定义： 定义：若 r.v X 的概率密度为 f ( x ) = e σ 2π ( x ? ? )2 2σ 2, ?∞& x &∞其中 ? 和 δ 都是常数，? 任意，δ&0，则称 X 服从参数为 ? 和2δ2 的正态分布，记作 X ~ N ( ? , σ 几何特征： 几何特征：)? 决定了图形的中心位置，δ 决定了图形中峰的陡峭程度. a、f(x)在 x=μ处达到最大值:f (? ) =1 2π σb、曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近 x 轴。即 f (x)以 x 轴为渐 近线。 c、x = μ ±为 f (x)的两个拐点的横坐标。 标准正态分布： 标准正态分布： 定义：μ=0，σ=1 的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和? 分布函数常用 ψ（x）和 φ（x）表示： ? ( x) = 1 e 2 , ? ∞ & x & ∞ 2π x2任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态 分布. 2.4 随机变量的函数的分布 离散型随机变量函数的分布：设 X 是离散型随机变量，则 Y=g(X) 离散型随机变量函数的分布：也是离散型随机变量。此时，只需由 X 分布律求得 Y 的分布律即 可。 一般地， 我们先由 X 的取值 xk， ， ， k=1 2 …求出 Y 的取值 yk=g(xk)， k=1，2… ①如果诸 yk 都不相同，则由 P{Y=yk}=P{X=xk}可得 Y 的分布律； ②如果诸 yk 中有某些取值相同，则把相应的 X 的取值的概率相 加。 连续型随机变量函数的分布： 连续型随机变量函数的分布：设 X 为连续型随机变量，具有概率 密度 fx(x)，求 Y=g(X) （g 连续）的概率密度。 一般方法――分布函数法： 分布函数法： 一般方法 分布函数法 可先求出 Y 的分布函数 FY(y)：因为 FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，设 ly={x|g(x)≤y}则FY ( y ) = P {X ∈ l y } = ∫ f X ( x )dx = ∫ly g ( x )& yf X ( x )dx再由 FY(y)进一步求出 Y 的概率密度 小结： 小结：求随机变量函数的分布的方法：fY ( y ) = FY′ ( y )1.设离散型随机变量 X 的分布律为 P{X=xi}=pi，i=1,2,…,n ,…又 y=f(x) 是 x 的连续函数，则 Y=f(X)是随机变量，其分布律为 P{Y=f(xi)}=pi， i=1,2,…,n ,…若某些 f(xi)相等，将它们作适当并项即可。 2. 设连续型随机变量 X 的密度函数为 ?X(x), y=f(x)连续, 求 Y= f(X) 的密度函数的方法有三种： （1）分布函数法； （2）若 y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则 可用公式法；（3）若 y=f(x)在不相重叠的区间 I1,I2,…上逐段严格单 调，其反函数分别为 g1(y), g2(y), …,且 g′1(y), g ′2(y), ′ …,均为连续函数，则 Y= f(X)是连续型随机变量，′ ′ ?Y ( y ) = ? X [g1 ( y )] g1 ( y ) + ? X [g2 ( y )] g2 ( y ) + L′′三、多维随机变量及其分布 3.1 多维随机变量及其分布 多维随机变量： 多维随机变量：设 E 是一个随机试验 , 它的样本空间是 ? = {ω} , 设 X 1 = X 1 (ω ) , X 2 = X 2 (ω ) , L , X n = X n (ω ) , 是定 义在 ?上的 n个随机变量 , 由它们构成的一个 n 维向量 ( X 1 , X 2 , L , X n ) 叫做 n 维随机向量或 n 维随机变量 .n 维随机变量 ( X 1 , X 2 , L , X n ) 取值范围是 R n 或其子集。多维随机变量分布函数： 多维随机变量分布函数： 分布函数n 维随机变量 ( X 1 , X 2 , L, X n ) 的联合分布函数F ( x1 , x 2 , L , x n ) = P { X 1 ≤ x1 , X 其中 x1 , x 2 , L , x n 为任意实数n i =12≤ x2 ,L , Xn≤ x n },.其中{ X 1 ≤ x1 , X 2 ≤ x2 , L , X n ≤ xn } = I{ X i ≤ xi}二维随机变量： 二维随机变量：　　设 E 是一个随机试验 , 它的样本空间是 ? = {ω} ,设 X = X (ω ) 和 Y = Y (ω ) 是定义在 ? 上的随机变量 , 由它们构成的一个向量 ( X , Y ) , 叫作二维随机向量或 二维随机变量 .二维随机变量的分布函数： 二维随机变量的分布函数：设 ( X , Y ) 是二维随机变量 , 对于任意实数 x , y , 二元函数 : F ( x , y ) = P{( X ≤ x ) I (Y ≤ y )} = P{ X ≤ x , Y ≤ y} 称为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数 , 或称为随机变分布函数的性质： 分布函数的性质：1oF ( x , y ) 是变量 x 和 y 的不减函数 , 即对于任 y , 当 x 2 & x1 时 F ( x 2 , y ) ≥ F ( x1 , y ),意固定的对于任意固定的x , 当 y 2 & y 1时 F ( x , y 2 ) ≥ F ( x , y 1 ).2o0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 , 且有对于任意固定的 y, F ( ?∞ , y ) = lim F ( x , y ) = 0 ,x → ?∞对于任意固定的 x， F ( x , ?∞ ) = lim F ( x , y ) = 0 ,F (?∞,?∞) = lim F ( x, y ) = 0,x → ?∞ y → ?∞F (+∞,+∞) = lim F ( x, y ) = 1.x → +∞ y → +∞y → ?∞3oF ( x , y ) = F ( x + 0, y ) , F ( x , y ) = F ( x , y + 0 ) ,即 F ( x, y ) 关于 x 右连续 , 关于 y 也右连续 .4o对于任意 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), x1 & x 2 , y1 & y 2 ,有 F ( x2 , y2 ) ? F ( x2 , y1 ) + F ( x1 , y1 ) ? F ( x1 , y2 ) ≥ 0.二维离散型随机变量及其分布函数： 二维离散型随机变量及其分布函数：若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的 可能值是有限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变 量. 二维连续型随机变量及其概率密度： 二维连续型随机变量及其概率密度： 连续型随机变量及其概率密度对于二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数 F ( x , y ) , 如果存在非负的函数 f ( x , y ) 使对于任意 x , y 有 F ( x, y ) = ∫y ?∞ ?∞∫xf (u , v ) d u d v ,则称 ( X , Y ) 是连续型的二维随机变 量 , 函数 f ( x, y ) 称为二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度 , 或称为随机 变量 X 和 Y 的联合概率密度 .二维均匀分布： 设 二维均匀分布： D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二维随机变 ?1 ? , ( x, y ) ∈ D , 量 ( X , Y ) 具有概率密度 f ( x, y ) = ? S ?0, 其他. ? 则称 ( X , Y ) 在 D 上服从均匀分布. 二维正态分布： 二维正态分布：若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度f ( x, y ) =1 2 πσ1σ 2 1 ? ρ2e?1 ? ( x ? ?1 ) 2 2 ρ ( x ? ?1 )( y ? ? 2 ) ( y ? ? 2 ) 2 ? ? + ? ? 2 2 σ1σ 2 σ2 2 (1? ρ 2 ) ? σ1 ? ? ?(?∞ & x & ∞, ? ∞ & y & ∞),其中?1 , ?2 , σ1 , σ 2 , ρ均为常数, 且σ1 & 0, σ 2 & 0,?1 & ρ & 1.则称 ( X , Y ) 服从参数为 ? 1 , ? 2 , σ 1 , σ 2 , ρ 的二维2 正态分布 .记为 ( X , Y ) ~ N ( ?1 , ?2 , σ12 , σ 2 , ρ)3.2 边缘分布 边缘分布函数： 边缘分布函数： 定义： 定义：设 F ( x , y ) 为随机变量 ( X , Y ) 的分布函数 , F ( x , y ) = P{ X ≤ x , Y ≤ y } . .则令 y → ∞ , 称 P { X ≤ x} = P { X ≤ x , Y & ∞ } = F ( x , ∞ ) 为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘分布函数记为F X ( x ) = F ( x , ∞ ).离散型随机变量的边缘分布律 ： 定义： 定义： 设二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为 记P{ X = xi , Y = y j } = pij , i, j = 1, 2, L . pi? = ∑ pij = P{ X = xi },j =1 ∞ ∞i = 1, 2, L , j = 1, 2, L ,p? j = ∑ pij = P{Y = y j },i =1分别称 pi? (i = 1, 2, L) 和 p? j ( j = 1, 2, L) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 .因此得离散型随机变量关于 X 和 Y 的边缘分布函数分别为FX ( x ) = F ( x, ∞) = ∑∑ pij , FY ( y ) = F (∞, y ) =xi ≤ x j =1∞y j ≤ y i =1∑∑ p .ij∞连续型随机变量的边缘分布： 连续型随机变量的边缘分布： 定义： 对于连续型随机变量 ( X , Y ) , 设它的概率密 定义：度为 f ( x, y ) , 由于 FX ( x) = F ( x, ∞) = ∫ [ ∫?∞ x ∞ ?∞f (u , v) d v] d u ,记f X ( x) = ∫∞?∞f ( x, v ) d v ,称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度 .在求连续型 r.v 的边缘密度时， 往往要求联合密度在某区域上的 积分. 当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 . e.g.设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为1 2πσ1σ 2 1 ? ρ 2f ( x, y ) =? ? 1 ? ( x ? ?1 ) 2 ( x ? ?1 )( y ? ?2 ) ( y ? ?2 ) 2 ? ? ? exp? ? 2ρ + ? ?? 2 2(1 ? ρ 2 ) ? σ12 σ1 σ 2 σ2 ?? ?? ∞ & x & +∞ , ? ∞ & y & +∞ ,其中 ? 1 , ? 2 , σ 1 , σ 2 , ρ 都是常数+∞, 且 σ1 & 0 , σ 2 & 0,? 1 & ρ & 1 . 试求二维正态随机变量的边缘概率密度 .f X ( x) = ∫?∞f ( x, y ) d y ,解：2 ( y ? ?2 ) 2 ( x ? ?1 )( y ? ?2 ) ? y ? ? x ? ?1 ? ( x ? ?1 ) 2 2 ? 2ρ =? ?ρ ? ρ2 , 2 ? σ2 σ1σ 2 σ1 ? σ12 ? σ2由于f X ( x) = 11 2 πσ1σ 2 1 ? ρ 22?( x ? ?1 ) 22 2 σ1e∫+∞?∞ex ? ?1 ? ?1 ? y ? ? 2 ?ρ ? ? 2 (1? ρ0 ) ? σ 2 σ1 ?dy ,( x ? ?1 ) 22 2 σ1令 t=? y ? ?2 x ? ?1 ? ? ∫?∞ e d t , 2 ? σ ? ρ σ ? , 则有 ? ( x ? ?2 ) 1? ρ ? 2 1 ? ? 2 ( x ? ?1 ) 2 1 ? 2 fY ( y ) = e 2σ 2 , ? ∞ & y & +∞. 1 2 σ1 即 f X ( x) = e , ? ∞ & x & +∞. 同理可得 2πσ 2 2 π σ11 ? f X ( x) = e 2 πσ1+∞?t2 2二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 并且都不依赖于参数 3.3 条件分布 的条件分布： 离散型 r.v 的条件分布：设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定 的 j，若 P(Y=yj)&0，则称 P(X=xi|Y=yj)= 件下随机变量 X 的条件概率函数. 连续型 r.v 的条件分布 e.g. 求 设(X,Y)的概率密度是 P(X&1|Y=y) 解: P(X&1|Y=y)=ρ.P(X = xi ,Y = yj ) Y=yj 条 为在= pi j p? jP(Y = yj )，?e ? x y e ? y , 0 & x & ∞, 0 & y & ∞ ? f ( x, y) = ? y ? 0 , 其它 ?∫∞1f X |Y ( x | y )为此，需求出 dxfX|Y (x | y)由于f Y ( y) = ∫∞?∞f ( x, y )dx = ∫0∞∞ e ? x ye ? y e? y dx = [? ye ? x y ] 0 y y= e? y ,0& y&∞于是对 y&0, f X |Y ( x | y ) = 故对 y&0, P(X&1|Y=y)f ( x, y ) e?x y = , x&0 fY ( y ) yy ∞ 1=∫∞1e?x y dx = ?e ? x y= e ?1 y3.4 随机变量的独立性 定义： 定义：　　设 F ( x, y ) 及 FX ( x) , FY ( y ) 分别是二维随机变 量 ( X , Y ) 的分布函数及边缘分布函数 . 若对于所有 x , y 有 即 P{ X ≤ x, Y ≤ y} = P{ X ≤ x}P{Y ≤ y}, F ( x, y ) = FX ( x) FY ( y ) ,则称随机变量 X 和 Y 是相互独立 的 .已知概率密度，判断独立性： 已知概率密度，判断独立性： e.g. 设(X,Y)的概率密度为? xe?( x + y ) , x & 0, y & 0 f ( x, y ) = ? 问X和 0, 其它 ?Y 是否独立？ 解：fY ( y ) = ∫ xe ?( x + y ) dx = e ? y , 0即：f X ( x) = ∫ xe0∞∞?( x + y )= xe ? x , x&0 dyy&0?e ? y , y & 0 ? xe ? x , x & 0 fY ( y ) = ? f X ( x) = ? ? 0, 其它 ? 0, 其它3.5 两个随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布： 离散型随机变量函数的分布： 求解二维离散型随机变量的分布律的方法： 若二维离散型随机变量的 求解二维离散型随机变量的分布律的方法： 分布率为P { X = x i , Y = y j } = p ij ,i , j = 1 , 2 ,L ,k = 1 , 2 , L.则随机变量函数 Z=g（x，y）的分布律为P{Z = z k } = P{g ( X , Y ) = z k } =具有可加性的两个离散分布： 具有可加性的两个离散分布：ij z k = g ( xi y j )∑p,(1)设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立，则 X + Y ~ B ( n1+n2,p) (2)设 X ~ P (λ1), Y ~ P (λ2), 且独立，则 X + Y ~ P(λ1+ λ2)连续型随机变量函数的分布: 连续型随机变量函数的分布 求解二维连续型随机变量的分布律的方法： 求解二维连续型随机变量的分布律的方法： e.g.已知 r.v.( X ,Y )的 d.f.或 p.d.f.，g(x,y)为已知的二元函数， Z= g( X ,Y ) 求 的 d.f. 方法 1. 从求 Z 的分布函数出发,将 Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件其中FZ ( z )D z : {( x , y ) | g ( x , y ) ≤ z }= P ( Z ≤ z ) = P ( g ( X , Y ) ≤ z ) = ∫∫ f ( x, y )dxdyDz平方和的分布: （1）.平方和的分布 Z = X 2+Y 2 ） 平方和的分布 设(X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x,y)， 则2 20, z & 0, ? ? FZ ( z ) = P ( X + Y ≤ z ) = ? f ( x, y )dxdy z ≥ 0, ? 0, ?∫∫x 2 + y 2 ≤ z z & 0, ? ? 2π z =? dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ )rdr , z ≥ 0, 0, z & 0, 0 ??∫ 0 ? ? 2π f Z ( z) = ? 1 ? ∫ f ( z cos θ , z sin θ )dθ , z ≥ 0,?20（2）. Z=X+Y 的分布 ） 设 X,Y 的概率密度为 ?(x,y),则 Z=X+Y 的分布函数为FZ ( z ) = P{Z ≤ z} ==x+ y≤ z∫∫f ( x, y ) d x d y =∫ ∫?∞+∞ z?y ?∞f (x, y)d x d y∫∫z+∞?∞∫∫zy?∞f (u ? y , y ) d u d yf (u ? y , y ) d y d u .x+ y = z=+∞?∞?∞Ox由此可得概率密度函数为fZ (z) =∫+∞?∞f ( z ? y , y ) d y.由于 X 与 Y 对称, f Z ( z ) = 当 X, Y 独立时,f Z ( z) = ∫+∞ ?∞∫+∞?∞f ( x , z ? x ) d x.f Z ( z ) 也可表示为记作f X ( z ? y ) fY ( y ) d y,= f X (z) ? fY (z) 或f Z ( z ) = ∫ f X ( x) fY ( z ? x) d x .?∞+∞称之为函数 fX(z)与 fY(z)的卷积（3） Z = .X 的分布 Y X 设 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) , 则 Z = 的分布 Y ?X ? 函数为 FZ ( z ) = P{Z ≤ z} = P ? Y ≤ z ? = ∫∫ f ( x, y ) d x d y + ∫∫ f ( x, y ) d x d y? ?G1 G2=∫G1+∞ yz0∫?∞f (x, y) d x d y + ∫yz ?∞0?∞ yz∫+∞f (x, y) d x d y,z ?∞令 u = x y,z +∞ ?∞ 0∫∫ f ( x, y ) d x d y = ∫ ∫ f ( x, y) d x d y = ∫ ∫ yf ( yu, y) d u d y = ∫ ∫ 同理可得 ∫∫ f ( x, y ) d x d y = ? ∫ ∫ yf ( yu, y ) d y d u,0 0 z+∞+∞yf ( yu, y) d y d u0G2?∞ ? ∞故有FZ ( z ) = P{Z ≤ z} = ∫∫ f ( x, y ) d x d y + ∫∫ f ( x , y ) d x d yG1由此可得概率密度为 当 X, Y 独立时,f ( z) = ∫∞ ?∞+∞G20yf ( yz , y ) d y ? ∫ yf ( yz , y ) d y = ∫?∞0+∞?∞y f ( yz , y ) d y.f ( z) = ∫y f X ( yz ) fY ( y ) d y.（ 4） M = max( X , Y ) 及 N = min( X , Y ) 的分布 .F max ( z ) = F X ( z ) FY ( z ), F min ( z ) = 1 ? [1 ? F X ( z )][ 1 ? F Y ( z )].方法 2.建立新的二维 r.v.(Z ,X )或(Z, Y ),求其边缘分布得 Z 的 d.f.第四章 随机变量的数字特征第一节 随机变量的数学期望 定义 1： ：设离散型随机变量 X 的分布律为 P{ X = x k } = p k , k = 1 , 2 , L . 若级数∑∞k =1x k p k 绝对收敛 , 则称级数∞∑xk =1∞kp k 为随机变量 X 的数学期望 , 记为 E ( X ) . 即 E(X ) =∑xk =1kpk .设连续型随机变量 X 具有概率密度f x ， 若 定义 2： ∞,则称积分 xf x d|x|f x dxf x d 为 X 的数学期望，简称期望或均值，记为E（X） ，即 E（X）=随机变量函数的期望： 随机变量函数的期望：⑴ 离散型：Ｙ＝ｇ（ｘ） E Ｙ ＝Ｅ ｇ ｘ ＝ ∑ｋ＝１ ｇ（ｘ）ｐｋ Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ） Ｅ Ｚ ＝Ｅ ｇ Ｘ，Ｙ ＝ ∑ｊ＝１ ∑ｉ＝１ ｇ ｘ，ｙ ｐｉｊ ⑵ 连续型：Ｙ＝ｇ（ｘ） E Ｙ ＝Ｅ ｇ ｘ ＝＋ｇ ｘ ｆ（ｘ）ｄｘＺ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）＋ ＋Ｅ Ｚ ＝Ｅ ｇ Ｘ，Ｙ ＝ 期望的性质ｇ ｘ，ｙ ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ ｄｙ■E (C ) = C■E (CX ) = CE (X )E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )D( X ) = E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 .当 X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) . 若存在数 a 使 P(X ≥ a) = 1, 则 E (X ) ≥ a ； 若 存 在 数 b 使 P(X 性质 5 的推论：当 X≥≤b) = 1, 则 E (X )≥≤b.0，则 E (X )E Y0.当 X Y 时，E X |E(X)| E(|X|)方差、 方差、矩2 定义 ： 设 X 是一个随机变量 , 若 E{[ X ? E ( X ) ] } 存在 ,则称 E{[ X ? E ( X ) ]2 } 为 X 的方差 ,记为 D( X ) 或 Var( X ) , 即 D( X ) = Var( X ) = E{[ X ? E ( X ) ]2 }.称 D( X ) 为r.v. X的标准差或均方差 , 记为 σ ( X ) .计算方差： 方差的性质：D( X ) = E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 .1.D (C) = 0 2.D (CX ) = C2D(X) 3、D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y ) ± 2 E (( X ? E ( X ))( Y ? E ( Y )) )特别地，若 X ,Y 相互独立，则D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y )4. 对任意常数 C, D (X ) 号成立≤E(X C C)2 ,当且仅当 C = E(X )时等5. D (X ) = 0 常数 E(X)。P (X = E(X))=1，称为 X 依概率 1 等于总结各个常见分布的期望和方差 分布 期望 方差 pq npqλX～（0-1）参数为 P P 参数为 X～B(n,p) 泊松分布∏（ λ ） ∏ 几何分布 均匀分布 U(a,b) 指数分布 E（ λ ） 正态分布 U（ ? ，σ 2 ） 矩　　设 X 和 Y 是随机变量 , 若 E ( X k ) , k = 1, 2,L 存在 , 称它为 X 的 k 阶原点矩 , 简称 k 阶矩 . 　　若 E{[ X ? E ( X )]k }, k = 2 , 3 , Lnpλa1 p 21 b 1λσ2ppb （ba） 12 1λ?存在 , 称它为 X 的 k 阶中心矩 . 　　若 　　若 E ( X k Y l ) , k , l = 1, 2 , L E ( X k Y l ) , k , l = 1, 2 , L存在 , 称它为 X 和 Y 的 k + l 阶混合矩 . 存在 , 称它为 X 和 Y 的 k + l 阶混合矩 .切比雪夫不等式： 第三节 协方差与相关系数 定义： 量 E{[ X ? E ( X ) ][Y ? E (Y ) ]} 称为随机变量 X与 Y 的协方差 . 记为 Cov( X , Y ) , 即 C ov( X , Y ) = E{[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]}.若 D (X ) & 0, D (Y ) & 0 ,称ρ XY = Cov( X , Y ) D( X ) ? D(Y )、为随机变量 X 与 Y 的相关系数 .说明：X 和 Y 的相关系数又称为标准协方差，无量纲 计算：(1) Cov( X , Y ) = E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ); (2) D ( X + Y ) = D ( X ) + D (Y ) + 2 Cov( X , Y ). ( 协方差的性质：1) Cov( X , Y ) = Cov(Y , X );(2) Cov(aX , bY ) = ab Cov( X , Y ) , a, b 为常数 ; (3) Cov( X 1 + X 2 , Y ) = Cov( X 1 , Y ) + Cov( X 2 , Y ).相关系数的性质： (1) ρ XY ≤ 1.(2) ρ XY = 1的充要条件是 : 存在常数 a, b 使 P{Y = a + bX } = 1. 定义 2：若 X 和 Y 的相关系数 ρ XY = 0 称 X 与 Y 不相关。
概率论知识总结1―汇集和整理大量word文档,专业文献,应用文书,考试资料,教学教材,办公文档,教程攻略,文档搜索下载下载,拥有海量中文文档库,关注高价值的实用信息,我们一直在努力,争取提供更多下载资源。