 上传我的文档
 下载
 收藏
该文档贡献者很忙，什么也没留下。
 下载此文档
概率论中几种常用的重要的分布
下载积分：1000
内容提示：概率论中几种常用的重要的分布
文档格式：DOC|
浏览次数：377|
上传日期： 17:22:46|
文档星级：
全文阅读已结束，如果下载本文需要使用
 1000 积分
下载此文档
该用户还上传了这些文档
概率论中几种常用的重要的分布
关注微信公众号您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
概率论与数理统计_教案32课时.doc 52页
本文档一共被下载：
次 ,您可全文免费在线阅读后下载本文档。
下载提示
1.本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
2.该文档所得收入(下载+内容+预览三)归上传者、原创者。
3.登录后可充值，立即自动返金币，充值渠道很便利
你可能关注的文档：
··········
··········
随机事件及其概率
概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域. 本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.
【教学目的与要求】
通过学习，使学生理解随机事件和样本空间的概念；熟练掌握事件间的关系与基本运算。理解事件频率的概念；了解随机现象的统计规律性。 知道概率的公理化定义；理解古典概型的概念；了解几何概率；掌握概率的基本性质（特别是加法定理），会应用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算。理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。掌握贝努里概型及有关事件概率的计算。
【教学重点】
事件的关系与运算；概率的公理化体系；古典概型的计算；概率的加法公式、乘法公式与全概率公式；条件概率与事件的独立性。贝努里概型。
【教学难点】
古典概率的计算；全概公式与贝叶斯公式的应用；
【计划课时】8
【教学内容】
第一节 随机事件
一. 随机现象
从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用, 但直到20世纪初, 人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究. 概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的数学学科.
二. 随机现象的统计规律性
由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.
为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为.
例如, 观察某射手对固定目标进行射击; 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数; 记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验.
随机试验具有下列特点:
1. 可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行;
2. 可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;
3. 不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知.
三. 样本空间
尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为（或）；它们的全体称为样本空间, 记为(或).
基本事件的称谓是相对观察目的而言它们是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.
四. 事件的集合表示
按定义, 样本空间是随机试验的所有可能结果(样本点)的全体, 故样本空间就是所有样本点构成的集合, 每一个样本点是该集合的元素. 一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成的, 所以一个事件对应于中具有相应特征的样本点(元素)构成的集合, 它是的一个子集. 于是, 任何一个事件都可以用的某一子集来表示,常用字母等表示.
五. 事件的关系与运算
因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.
六. 事件的运算规律
事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：
例题选讲：
在管理系学生中任选一名学生, 令事件A表示选出的是男生, 事件B表示选出的是三年级学生, 事件C表示该生是运动员.
(1)叙述事件的意义;
(2)在什么条件下成立?
(3)什么条件下?
(4)什么条件下成立?
考察某一位同学在一次数学考试中的成绩, 分别用A, B, C, D, P, F表示下列各事件(括号中表示成绩所处的范围):
则是两两不相容事件与是互为对立事件，即有 均为的子事件，且有
甲，乙，丙三人各射一次靶，记“甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：
(1) “甲未中靶”：
(2) “甲中靶而乙未中靶”：
(3) “三人中只有丙未中靶”
(4) “三人中恰好有一人中靶”：
(5)“三人中至少有一人中靶” (6)“三人中至少有一人未中靶”或
(7)“三人中恰有兩人中靶”(8)“三人中至少兩人中靶”
(9)“三人均未中靶”
(10)“三人中至多一人中靶
(11)“三人中至多兩人中靶”
正在加载中，请稍后...概率论（数学分支）_百度百科
清除历史记录关闭
声明：百科词条人人可编辑，词条创建和修改均免费，绝不存在官方及代理商付费代编，请勿上当受骗。
[gài lǜ lùn]
（数学分支）
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面。随机现象的实现和对它的观察称为。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。典型的随机试验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。
概率论发展过程
概率论起源
概率论是一门研究事情发生的可能性的学问，但是最初概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者（Girolamo Cardano）开始研究等赌博中的一些简单问题。
概率与的一些和简单的方法，早期主要用于赌博和人口统计模型。随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用研究各种结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科。概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中。[1]
概率论发展
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家，他建立了概率论中第一个定理，即，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后和又导出了第 二个基本极限定理（）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家、、等人用分析方法建立了及的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多近似服从。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面、、马尔可夫、、及等人作了杰出的贡献。[1]
概率论定义
概率论传统概率
传统概率又叫概率，因为其定义是由法国数学家提出的。如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验。在拉普拉斯试验中，事件A在事件空间S中的概率P(A)为：
例如，在一次同时掷一个硬币和一个骰子的随机试验中，假设事件A为获得国徽面且点数大于4，那么事件A的概率应该有如下计算方法：S={(国徽，1点)，(数字，1点)，(国徽，2点)，(数字，2点)，(国徽，3点)，(数字，3点)，(国徽，4点)，(数字，4点)，(国徽，5点)，(数字，5点)，(国徽，6点)，(数字，6点)}，A={(国徽，5点)，(国徽，6点)}，按照拉普拉斯定义，A的概率为2/12=1/6，注意到在拉普拉斯试验中存在着若干的疑问，在现实中是否存在着这样一个试验，其单位事件的概率具有精确的相同的概率值，因为人们不知道，硬币以及骰子是否&完美&，即骰子制造的是否均匀，其重心是否位于正中心，以及轮盘是否倾向于某一个数字等等。尽管如此，传统概率在实践中被广泛应用于确定事件的，其理论根据是：如果没有足够的论据来证明一个事件的概率大于另一个事件的概率，那么可以认为这两个事件的概率值相等。 如果仔细观察这个定义会发现拉普拉斯用概率解释了概率，定义中用了&相同的可能性&（原文是égalementpossible）一词，其实指的就是&相同的概率&。这个定义也并没有说出，到底什么是概率，以及如何用数字来确定概率。在现实生活中也有一系列问题，无论如何不能用传统概率定义来解释，比如，人寿保险公司无法确定一个50岁的人在下一年将死去的概率等。[1]
概率论公理化定义
如何定义概率，如何把概率论建立在严格的上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。20世纪初完成的与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为体系的建立奠定了基础。在这种背景下，苏联数学家1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的的定义和一套严密的体系。他的成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。
以下是公理化定义：
设随机实验E的为Ω。若按照某种方法，对E的每一事件A赋于一个实数P(A)，且满足以下公理：
（1）非负性：P(A)≥0；
（2）规范性：P(Ω)=1；
（3）可列（完全）可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1，A2，……，An，……，有
，则称实数P(A)为事件A的概率。[1]
概率论统计定义
设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数n很大时，频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数p为随机事件A的概率，记为P(A)=p。[1]
概率论事件
事件包括单位事件、事件空间、随机事件等。
在一次随机试验中可能发生的唯一的，且相互之间独立的结果被称为单位事件，用e表示。在随机试验中可能发生的所有单位事件的集合称为事件空间，用S来表示。例如在一次掷骰子的随机试验中，如果用获得的点数来表示单位事件，那么一共可能出现6个单位事件，则事件空间可以表示为S={1，2，3，4，5，6}。 上面的事件空间是由可数有限单位事件组成，事实上还存在着由可数无限以及不可数单位事件组成的事件空间，比如在一次直到获得面朝上的随机掷硬币试验中，其事件空间由可数无限单位事件组成，表示为：S={国，数国，数数国，数数数国，数数数数国，···}，注意到在这个例子中&数数数国&是单位事件。将两根筷子随意扔向桌面，其静止后所形成的假设为α，这个随机试验的事件空间的组成可以表示为
随机事件是事件空间S的，它由事件空间S中的单位元素构成，用大写字母A，B，C...表示。例如在掷两个骰子的随机试验中，设随机事件A=&获得的点数和大于10&，则A可以由下面3个单位事件组成：A={(5，6)，(6，5)，(6，6)}。 如果在随机试验中事件空间中的所有可能的单位事件都发生，这个事件被称为，表示为
；相应的如果事件空间里不包含任何一个单位事件，则称之为不可能事件，表示为
事件的计算
因为事件在一定程度上是以的含义定义的，因此可以把集合直接应用于事件的计算，也就是说，在计算过程中，可以把事件当作集合来对待。
不属于A的事件发生
或者A或者B或者A，B同时发生
事件A，B同时发生
不属于B的A事件发生）
空集A∩B=?A，B事件不同时发生
如A发生，则B也一定发生
在轮盘游戏中假设A代表事件“球落在红色区域”，B代表事件&球落在黑色区域&，C代表事件&球落在绿色区域&，因为事件A和B没有共同的单位事件，因此可表示为概率P(AB)=0。
注意到事件A和B并不是互补的关系，因为在整个事件空间S中还有一个单位事件C，其即不是红色也不是黑色，而是绿色，因此A，B的补集应该分别表示如下：
一事件A在一事件B确定发生后会发生的概率称为B给之A的；其数值为
时）。若B给之A的条件概率和A的概率相同时，则称A和B为。
且A和B的此一关系为对称的，这可以由一同价叙述：“当A和B为独立事件时，P(A∩B)=P(A)P(B)”看出。[1]
概率论相关事例
人们普遍认为，对将要发生的机率的一种不好的感觉，或者说不安全感（俗称“点背”）是实际存在的。下面列出的几个例子可以形象阐述人们有时对机率存在的错误的认识：
（1）六合彩：在（49选6）中，一共有种可能性，普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在（周）=268919年后获得头等奖。事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。
（2）生日悖论：在一个足球场上有23个人（2×11个运动员和1个裁判员），不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50%。
（3）轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆”，它不会意识到以前都发生了什么，其机率始终是18/37。
（4）三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？
正确结果是，如果参赛者改变初衷，他的中奖概率将变成2/3。因为打开山羊门的那一刹那，本来的选择结果已经从1/3几率变到了1/2几率，如果改变初衷此时将是1/2中奖的几率。
有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)︰参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。在头两种情况，参赛者可以通过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者通过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是通过转换选择而赢的，所以通过转换选择而赢的概率是2/3。[1]
概率论计算
需要提及的是下面将要介绍的9个计算概率的定理与上面已经提及的事件的计算没有关系，所有关于概率的定理均由概率的3个公理得来，同时适用于包括拉普拉斯概率和统计概率在内的所有概率理论。
概率论定理1
又称互补法则。
与A互补事件的概率始终是1-P(A)。
第一次旋转红色不出现的概率是19/37，按照，第二次也不出现红色的概率是
，因此在这里互补概率就是指在两次连续旋转中至少有一次是红色的概率，为
概率论定理2
不可能事件的概率为零。
证明： Q和S是互补事件，按照公理2有P(S)=1，再根据上面的定理1得到P(Q)=0
概率论定理3
如果A1...An事件不能同时发生（为事件），而且若干事件A1，A2，...An∈S每两两之间是关系，那么这些所有事件的概率等于单个事件的概率的和。
例如，在一次掷骰子中，得到5点或者6点的概率是：
概率论定理4
如果事件A，B是关系，则有
概率论定理5
任意事件加法法则：
对于事件空间S中的任意两个事件A和B，有如下定理： 概率
概率论定理6
乘法法则：
事件A，B同时发生的概率是：
，前提为事件A,B有一定关联。
概率论定理7
无关事件乘法法则：
两个不相关联的事件A，B同时发生的概率是：注意到这个定理实际上是定理6(乘法法则)的特殊情况，如果事件A，B没有联系，则有P(A|B)=P(A)，以及P(B|A)=P(B)。观察一下轮盘游戏中两次连续的旋转过程，P(A)代表第一次出现红色的概率，P(B)代表第二次出现红色的概率，可以看出，A与B没有关联，利用上面提到的公式，连续两次出现红色的概率为：
忽视这一定理是造成许多玩家失败的根源，普遍认为，经过连续出现若干次红色后，黑色出现的概率会越来越大，事实上两种颜色每次出现的概率是相等的，之前出现的红色与之后出现的黑色之间没有任何联系，因为球本身并没有&记忆&，它并不&知道&以前都发生了什么。
所以，连续10次至少有1次出现红色的概率为
概率论统计概率
统计概率是建立在频率理论基础上的，分别由英国逻辑学家约翰(John Venn,)和数学家理查德(Richard VonMises,)提出，他们认为，获得一个事件的概率值的唯一方法是通过对该事件进行100次，1000次或者甚至10000次的前后相互独立的n次随机试验，针对每次试验均记录下绝对频率值和相对频率值hn(A)，随着试验次数n的增加，会出现如下事实，即相对频率值会趋于稳定，它在一个特定的值上下浮动，也即是说存在着一个P(A)，相对频率值趋向于这个极限值。
这个极限值被称为统计概率，表示为：
例如，若想知道在一次掷骰子的随机试验中获得6点的概率值可以对其进行3000次前后独立的扔掷试验，在每一次试验后记录下出现6点的次数，然后通过计算相对频率值可以得到趋向于某一个数的统计概率值。
获得6点的绝对频率
获得6点的相对频率
上面提到的这个有关相对频率的经验值又被称为，是频率理论学家定义概率论的基础。然而没有人可以将骰子无限的扔下去，因此在实践中也就无法有力的证明大数定律，许多来自数学理论的论证至今也没有取得成功。尽管如此，统计概率在今天的实践中具有重要意义，它是的基础。[1]
概率论完全概率
n个事件H1，H2，...Hn互相间独立，且共同组成整个事件空间S，即
。这时A的概率可以表示为
例如，一个随机试验工具由一个骰子和一个柜子中的三个抽屉组成，抽屉1里有14个和6个黑球，抽屉2里有2个白球和8个黑球，抽屉3里有3个白球和7个黑球，试验规则是首先掷骰子，如果获得小于4点，则抽屉1被选择，如果获得4点或者5点，则抽屉2被选择，其他情况选择抽屉3。然后在选择的抽屉里随机抽出一个球，最后抽出的这个球是白球的概率是：
P(白)=P(白|抽1)·P(抽1)+P(白|抽2)·P(抽2)+P(白|抽3)·P(抽3)
=(14/20)·(3/6)+(2/10)·(2/6)+(3/10)·(1/6)
=28/60=0.4667
从例子中可看出，完全概率特别适合于分析具有的随机试验的情况。[1]
概率论贝叶斯定理
贝叶斯定理由英国数学家(Thomas Bayes,)发展，用来描述两个之间的关系，比如P(A|B)和P(B|A)。按照定理6的乘法法则，
，可以立刻导出贝叶斯定理：
如上公式也可变形为例如：
一座别墅在过去的20年里一共发生过2次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫3次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为0.9，问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率是多少？
人们假设A事件为狗在晚上叫，B为盗贼入侵，则
，按照公式很容易得出结果：
另一个例子，现分别有A，B两个容器，在容器A分别有7个红球和3个白球，在容器B里有1个红球和9个白球，现已知从这两个容器里任意抽出了一个球，且是红球，问这个红球是来自容器A的概率是多少?
假设已经抽出红球为事件B，从容器A里抽出球为事件A，则有：
，按照公式，则有：
虽然概率论最早产生于17世纪，然而其公理体系却在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速发展，在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性，例如：物理、化学、生物、医学、心理学、社会学、政治学、教育学，经济学以及几乎所有的等领域。
特别值得一提的是，概率论是今天数理统计的基础，其结果常被用做问卷调查的分析资料，而且也用于对经济前景进行预测。[1]
解读词条背后的知识
王明慈，沈恒范 ．概率论与数理统计第二版：高等教育出版社 ，2007
．360doc．[引用日期]
本词条认证专家为
副教授审核
北京邮电大学
清除历史记录关闭万题库小程序
?章节练习?免费真题
微信扫码，立即获取！
扫码免费使用
?12-20?12-20?12-20?12-20?12-20?12-15?11-30?11-01?09-26?09-01
?12-20?12-20?12-20?09-01?04-29?04-29?04-29?04-19?04-19?04-18
?12-20?12-20?12-20?12-20?12-14?12-04?02-27?02-26?02-25?02-25
? ? 　 ? ? 　 ? ? 　 ? ? 　 ? ?
? ? 　 ? ? 　 ?
? 　 ? ? 　　 ? ? 　 ? ? 　 ? ? 　 ? ?
? ? 　 ? ?
实用工具 |
　　　　 |
Copyright & 2004- 网　出版物经营许可证新出发京批字第直170033号　中国科学院研究生院权威支持(北京)　电 话：010-　传 真：010-
大数据宝典
通关大法！