71求定积分的几种特殊技巧
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71求定积分的几种特殊技巧
科技信息○高校讲台○ＳＣＩＥＮＣＥＩＮＦＯＲＭＡ；求定积分的几种特殊技巧；孙昌龙；（荆州职业技术学院湖北；荆州；４３４１００）；摘要：论述并举例说明在一些特殊的定积分的计算过程；关键词：定积分；计算方法；特殊技巧定积分的计算方；πππ；解：Ｉ＝；ｓｉｎｘｄｘ＝０；ｓｉｎ（π－ｘ）；ｃｏｓｘｄｘｄｘ＝０ｓｉｎ（－ｘ）＋ｃｏｓ（－ｘ；对于积分区间关于原点对称的定
科技信息○高校讲台○ＳＣＩＥＮＣＥＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ２００７年第１０期求定积分的几种特殊技巧孙昌龙（荆州职业技术学院湖北荆州４３４１００）摘要：论述并举例说明在一些特殊的定积分的计算过程中，巧用对称区间、公式、几何意义等方法求定积分的几种特殊技巧，使这些特殊的定积分的计算大大简化。关键词：定积分；计算方法；特殊技巧定积分的计算方法与技巧丰富多彩，除用定积分的定义、性质、基本公式、换元法积分法与分部积分法等方法外，还有很多方法值得我们不断地去探究，下面介绍几种求定积分的计算方法及特殊技巧，供学生学习时参考，以提高学生定积分的计算能力。πππ解：Ｉ＝０ｓｉｎｘｄｘ＝０ｓｉｎ（π－ｘ）ｃｏｓｘｄｘｄｘ＝０ｓｉｎ（－ｘ）＋ｃｏｓ（－ｘ）一、巧用对称区间求定积分对于积分区间关于原点对称的定积分，可利用《高等数学》课本中一个习题（本文的性质１）和一个例题（本文的性质２）的结论来计算，这样可以简化计算。定义在对称区间［－ａ，ａ］上的任何函数ｆ（ｘ）都可以表示为性质１、一个奇函数和一个偶函数之和。事实上，φ（ｘ）＝１［ｆ（ｘ）－ｆ（－ｘ）］是奇函数，ψ（ｘ）＝１［ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）］是偶函数，而ｆ（ｘ）＝φ（ｘ）＋ψ（ｘ）．如果连续函数ｆ（ｘ）定义在对称区间［－ａ，ａ］上，那么当ｆ（ｘ）性质２、ａπ所以，原式＝Ｉ＝１（Ｉ＋Ｉ）＝１π００１ｓｉｎｘｃｏｓｘｄｘ＋ｄｘ＝０π０．!ｄｘ＝ππ同法可求：０ｘｄｘ＝ｃｏｓｘｄｘ＝π（ｎ为正整数）．ｓｉｎｎｎππ奇函数时，－ａ!ｆ（ｘ）ｄｘ＝０；当ｆ（ｘ）偶函数时，!ｆ（ｘ）ｄｘ＝２!ｆ（ｘ）ｄｘ．－ａ０１－１ａａ求定积分Ｉ＝例４、π０ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘｄｘ的值．９９π９求定积分例１、ｌｎ（ｘ＋）＋ｘ２－１ｄｘ．９解：Ｉ＝９０ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ!９ｄｘ＝０!ｓｉｎ９（π－ｘ）－ｃｏｓ９（π－ｘ）ｄｘ＝１＋７ｓｉｎ（－ｘ）ｃｏｓｘ（－ｘ）π０!分析：此题若采用常规求法，过程复杂，但采用上面的性质就比较容易。）＋ｘ２－１很明显，在对称区间［－１，１］上，被积函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘｄｘ＝－Ｉ．所以，原式＝Ｉ＝０．三、巧用几何意义求定积分定积分有非常明确的几何意义，课本上常用定积分求几何图形的面积，我们可以反过来做，对于较复杂的被积函数且又很明显是一个容易求面积的常见图形，转化成求面积比求定积分更容易。ｂ２）和一个偶函数ψ为一个奇函数φ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋（ｘ）＝之和ｘ－１。１解：－１１０１ｌｎ（ｘ＋）＋ｘ２－１ｄｘ＝ｌｎ（ｘ＋）ｄｘ＋ｘ２－１ｄｘ－１－１１１求定积分例５、ａ!&ｄｘ（ｂ＞ａ）．＝０＋２．&πｘ２－１ｄｘ＝２（１－４）ｄｘ＝２（ｘ－４ａｒｃｔａｎｘ）｜１＝２－４０&&０２!解：因为被积函数ｆ（ｘ）＝&＝以（ａ＋ｂ，０），为圆心，以ｂ－ａ为半径的上半圆，则上半圆的面积ｓ＝&)()１ｂ－ａａ＋ｂ－ｘ－２是求定积分例２、－２!ｘｌｎ（１＋ｅ）ｄｘ．ｘｂ－ａπｒ２＝１π＝π（ｂ－ａ）．所以，由定积分的几何意义，原式＝π（ｂ－ａ）．)２１２分析：此题的积分区间［－２，２］关于原点对称，从这一点就引起我们的兴趣，但被积函数ｆ（ｘ）＝ｘｌｎ（１＋ｅｘ）既不是奇函数，又不是偶函数，又不明显表示为一个奇函数和一个偶函数之和，如果按性质１求奇函数φ例６、求定积分Ｉ＝１（ｘ）＝１［ｆ（ｘ）－ｆ（－ｘ）］＝１［ｘｌｎ（１＋ｅｘ）＋ｘｌｎ（１＋ｅ－ｘ）］＝ｘｌｎ（１＋ｅｘ）－１ｘ２，则偶函数ψ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－φ（ｘ）＝１ｘ２，很复杂的问题可以简单地解决。解：利用性质１和性质２２－１ｘ）ｄｘ的值．!（&１－４ｘ＋ｃｏｓｘｌｎ１－１解：因为Ｉ＝－１!（&１－４ｘ＋ｃｏｓｘｌｎ１－ｘ）ｄｘ＝－１!&１－４ｘ１ｄｘ＝－１!ｃｏｓｘｌｎ－２!ｘｌｎｘ２（１＋ｅｘ）ｄｘ＝２２２－２ｘｌｎ（１＋ｅ）－１ｘ＋１ｘ&ｄｘ#!%ｘ２２２２２＝－２!１－ｘｄｘ１ｘｌｎ（１＋ｅ）－１ｘ’ｄｘ＋１ｘｄｘ＝０＋２１ｘｄｘ＝８．#－２０容易验证ｃｏｓｘｌｎ１－ｘ为奇函数，故－１１ｘｄｘ＝０，!ｃｏｓｘｌｎ１－二、巧用公式求定积分ｂ１ｂ又由于公式：设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则πａ!ｆ（ｘ）ｄｘ＝!ｆ（ａ＋ｂ－ｘ）ｄｘ．ａ－１!&１－４ｘｄｘ＝２－１－ｘ）ｄｘ，而ｙ＝－ｘ!&（&２为圆心在原点，半径为１的上半圆，则上半圆的面积ｓ＝１πｒ２＝１π（１）２＝π．求定积分Ｉ＝例３、０ｓｉｎｘｄｘ的值．（下转第１４４页）１６７科技信息○高校讲台○ＳＣＩＥＮＣＥＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ２００７年第１０期见男人们选择是明智的。再如，蒙古族人善骑马，各式马靴体现了他们骁勇善战的需求，藏族人民喜着靴筒较大的鞋，以便将裤脚套入靴内，还可以插上一把藏刀；塔吉克人喜穿高筒绣花皮鞋，白族妇女则爱穿绣花布鞋，泥族妇女有缠足习惯，小足绣花鞋受宠……从上面的叙述中，我们不妨可以这样总结：世上原本没有路，走的人多了，就成了路；世上原本没有鞋，要征服脚下的路，就有了鞋！因此，我们可以说，鞋的历史勾画的正是人类历史的轨迹，鞋的文化正是整个人类文化的折射。设计为人服务的归宿使创造一个更合理、更完［２］从这个角度来认识设计的话，可以说设计是一美的生存方式与空间。种文化行为。它是为人类的明天，而不只是把技术转化为产品的行为。它更不是技术，也不是艺术，不能让设计被动的依附技术，也不能把技术视作设计的仆人；同样，不能让艺术家指挥设计，也不能把艺术视为设计的点缀。只有正确认识设计是协调诸矛盾因素的人类改造自然与自身的主动的文化行为，才能明确设计的观念。５．现代鞋文化的发展鞋的种类多多，女鞋最有特色。它作为艺术品，具有纯粹女性的特性，满足了女人的心理、生理的需求。在西方数百年的历史上，女孩子三寸金莲”作为女性美之而在中国，“的鞋，一直隐藏在长裙大摆里面。不可缺的部分，也曾风行了一段漫长的岁月，其共同的要点是要让女性的脚藏起来，不轻易显露，使人产生既显高贵，亦带几分神秘的感受。女性的内心愿望，无一不喜欢展示其自身特有的魅力，以获得异性或同性的另眼高看。鞋也是她们千方百计精心打扮、展示自我的重要道具之一。人的眼睛乃心灵的窗户，而鞋则是这个窗户外的第一道风景。因此，鞋的艺术价值，在人体包装艺术中所占有的重要份额，可想而知。鞋，它最初只是单纯的护脚用品，在设计制作者发起的一次次创新和革命中，不仅只是讲求各种各样的实用，而且朝着提高人体审美、独有韵味显示各人声望、展示富豪财力这方面发展，逐步成为专一的、的人体包装艺术品。近年来，从松糕鞋到大头鞋，从解放鞋到洋波鞋，从方头鞋到尖头鞋，无不都述说着一个又一个的时尚故事，同时也凝聚着一个民族的希腊文化重视平等，从而能欣赏文化习惯，具有一定的文化象征意义。裸体，美不美全在人的天生丽质。中国文化讲究等级，因此特别需要服饰，以此来看鞋的设计就显得很重要。一看脚上所穿马上清楚此何许人也。同样是尖头鞋，也能分出贵妇级和平民级。贵妇级来自意大利，设计并不复杂，但强调质感与品位，即穿久，站久都不会累，是许多明镂空，朋克感等许多流行元素星们的最爱r平民级多来自日本，钉珠、被融人其中，价格是平常人都能接受的那种。２００３年鞋之设计文化的一大特色就是尖头鞋的盛行，尖长的设计，狭窄的斜身，搭配着一身身各样的衣装将２００３踩在了脚底之下（图４）。已在西方叫嚣了大半年的波希米亚流行风就这样征服了全中国。又一个夏来之时，尖图４头皮鞋虽然还在大行其道，但细心的时尚人士已经从夏奈尔、瑟琳、菲拉格慕等品牌的皮鞋设计中注意到，原本尖尖的鞋头正在趋于柔和，不再是细尖型的，而是带点圆头或弧型的曲线。尽管在穿着尖头鞋时脚趾被狭窄的鞋头挤压，会造成血液循环受阻的恶果，这是尖头鞋隐退的健康上的原因；但是曾经在波普风的带动下成为风靡一时的尤物之尖头细长鞋的渐渐隐退更有着它设针锋相计文化上的深层含义，因为世界正变得更加平和，不必再如此“对”的恐惧，让鞋多一点春天的明媚。。世界需要摆脱“?９１１”从鞋子的设计中，不难认识到：设计是综合的讯息，创造新的讯那个民族、或地域的息。每一双鞋子都是讯息的载体，它是那个时代、●社会观念及经济基础的总和。既有人们对材料、样式、和制作工艺的理解―――即自然科学的讯息凝聚，也有人们生活方式、社会结构的反馈―――即社会科学信息的记录。设计是社会文化的一个有机组成部分，它在文化的参与和制约下展开和完成并体现出当时文化的风貌。不同的文化有着不同的精神风习和文化心理结构或说文化心理逻辑，反映不同的价值和审美观念，它们在工业产品、建筑、服饰、环境建设等设计过程中起到不可忽视的［３］纵观鞋的设计发展的历史，我们可以发现，任何时代、作用。任何款式鞋子的设计都是与当时的文化紧密联系在一起的。多姿、百花就是可见，设计文化就像万花筒，绚丽多姿，百花齐放。分殊就会发生冲突。文化冲突是指诸文化要素性质、差分、分殊；差分、特征、功能、力量、过程的差异和由差异而互相冲撞、伤害、抵牾的状态。文化融合是指任何可差分的文化诸要素，在其差分或继承过程中，它们各自的生命潜能、力量、特质、价值取有赖于另一方面的聚会、渗［４］文化冲突与文化融合的关系是：冲突是融合的前提，透、补充和支援。融合是冲突的理势。冲突若不走向融合，冲突便毫无所成，只有负面价值和意义，故冲突需要融合来肯定和认可；融合若无冲突，就无所谓融作为冲突融合的和合合，融合的正面价值和意义，亦无所肯定和定位。体，是一种提升，使原来的冲突融合进入一个新的和合体中，冲突和融合才能继续发展和获得价值。６．结语经过上面对鞋的设计文化符码的解读，经过设计文化变迁走向的以前，一提到设计许多人喜欢把它解释成思考，我得到了下面的体会。创意啦、造型什么的，我也是如此，但现在我更愿意把它理解成一个概念”文化概念”设计不仅仅只是一种行为，更是一种文化意“，一种“。［５］识，是一种思维方式。一个具有好的思维方法和审美观的人，如果能认真研究人的生活样式的话，那么他也会产生顺应时代文化的设计感觉，即使他不动笔也可以是一名出色的设计师。这种理念如果能扎根于社会和市民生活中的话，就会产生好的设计文化氛围，生活的设计性就会提高，久而久之就会形成一种文化。设计是社会文化的一个有机组成部分，它在文化的参与和制约下展开和完成并体现出当时文化的风貌。不同的文化有着不同的精神风习和文化心理结构或说文化心建筑、服饰、环理逻辑，反映不同的价值和审美观念，它们在工业产品、境建设等设计过程中起到不可忽视的作用。纵观设计发展的历史，我任何物件的设计都是与当时的文化紧密联系们可以发现，任何时代、在一起的。最后，愿因为鞋之设计文化的发展可以使得人们的爱美之心发挥鞋的设计艺术更加丰得更加淋漓尽致，愿鞋艺术走得更远，愿鞋文化、富我们人类生活的设计文化之旅。科●参考文献――艺术设计与文化研究文集．西安：陕西人民美术［１］许平．造物之门―出版社出版发行，１９９８．３．［２］赵江洪编著．设计艺术的含义．长沙：湖南大学出版社，１９９９．９．［３］李砚祖著．造物之美―――产品设计的艺术与文化．北京．中国人民大学出版社，２０００．２．［４］韩民青著．文化论．南宁：广西人民出版社．１９８９．５．［５］桂宇晖．合乎情理的反叛．美术与设计，２００２．１（上接第１６７页）所以，由定积分的几何意义，１１－１－ｘ）ｄｘ＝π．&#（２且可以增强他们的学习兴趣，引导他们积极思考问题，培养他们分析问题和解决问题的能力。科●参考文献数学分析》上册［Ｍ］（人民教育出版社１９７９年２月）．［１］陈传璋等《高等数学》［２］郝永清等《［Ｍ］（湖北科学技术出版社２００３年８月）．妙用公式求积分》［３］钱林等《［Ｊ］（高等数学研究２００４年第６期）．作者简介：孙昌龙，男，１９５９年３月出生，汉族，湖北省荆州市人，大学本科毕业，高级讲师职称，研究方向：高职高专数学教育。所以，原式＝Ｉ＝－１π＝π．－ｘ）ｄｘ＝２&#１－４ｘｄｘ＝２&#（２－１求定积分的方法还有很多，值得我们不断地去探究，但在一些特殊的定积分的计算过程中，巧用对称区间、公式、几何意义等方法和技巧求定积分，使这些特殊的定积分的计算大大简化。我们把这些方法和技巧介绍给学生，不仅可以增加他们的定积分计算方法和技巧，而１４４包含各类专业文献、应用写作文书、中学教育、幼儿教育、小学教育、外语学习资料、行业资料、文学作品欣赏、71求定积分的几种特殊技巧等内容。
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稍等,图片解答已经传上.&（点击放大,再点击,再放大）
你要是实在不会做，就画个图，y=根(4-x^2),0<x<1是原点为圆心，半径2的上半圆上（0，1）的一段，其积分是扇形(30度)+直角三角形（斜边长2，一条直角边1） 其结果为pi/3+（根3）/2
实在是，念了定积分的都会的
令x=2sint,则dx=2costdt,且当x=0时，t=0;当x=1时，t=1/6pi(4-x^2)^05=2(1-sint^2)^0.5=2cost∫【1,0】((4-x^2)^0.5)dx=4∫【0,1/6pi】cost^2dt=4∫【0,1/6pi】(1+cos2t)/2dt=2∫【0,1/6pi】(1+cost2t)dt=2(t+1/2sin2t)丨【0,1/6pi】=2分之根号3。很难打出来的，不知道你能不能看清楚
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