对非直角三角形，tana乘以tanbtanBtanC等于tana乘以tanb加tanB加tanC证明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-11-17 00:45 标签： 1 tana tanb 2c b
必修五之一个等式的巧妙证明
&是这样的一道题目：
这道题若按照常规方法，通分的话，将会非常麻烦，虽然分母都相同，但是到后面将会变得一团糟。不过，若是我们细细观察，就会发现一个新的渠道。
x+y+z=xyz。这个式子你在哪个地方见过？稍微想想你就容易想起来：在非直角三角形里，若三个角为A、B、C，则有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。而若你进一步观察要证明的结论，左边是三个式子相加，右边不也是这三个式子的乘积吗？这下就是殊途同归了。不过在证明之前，先要对上面的红色字部分进行说明：
实际上，不一定非要要求A、B、C是三角形的三个角，只要A+B+C=kπ，那么必然就有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。证明过程很简单，只需要用到简单的诱导公式：
∵tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)
tan(A+B)=tan(kπ-C)=-tanC
∴(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)=-tanC
整理移项即得:
tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
那么现在我们就来证明这道题：
令x=tanA，y=tanB，z=tanC，那么根据题意，必然有A+B+C=kπ。所以2A+2B+2C=2kπ。
这种题，说是巧，其实没有什么含量，只要对这个结论熟悉的话，一看见这个题里面就会想到它。所以，我们在平时做题的过程当中，经常记住一些我称之为“半成品”的结论，对解题还是其他方面都是很有帮助的。
出处：学夫子：
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。如果△ABC不是直角三角形，且A、B、C是△ABC的三个内角：（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC（2）如果sinA=45，cosB=1213，求cosC．-数学试题及答案
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1、试题题目：如果△ABC不是直角三角形，且A、B、C是△ABC的三个内角：（1）求证：ta..
发布人：繁体字网（） 发布时间： 07:30:00
如果△ABC不是直角三角形，且A、B、C是△ABC的三个内角：（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC（2）如果sinA=45，cosB=1213，求cosC．
&&试题来源：汕头一模
&&试题题型：解答题
&&试题难度：中档
&&适用学段：高中
&&考察重点：同角三角函数的基本关系式
2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）证明：由题意知：A≠π2，B≠π2，C≠π2，且A+B+C=π∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC…．…（1分）又∵tan（A+B）=tanA+tanB1-tanAtanB…．…（2分）∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB）=-tanC+tanAtanBtanC…．…（4分）即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC…．…（5分）（2）由cosB=1213＞0知道：B∈(0，π2)，∵sin2B+cos2B=1，∴sinB=513…．…（6分）而sinA＞sinB，∴A＞B①当A∈（0，π2）时，cosA=35…（7分）∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=45×513-35×213=-1665…．…（9分）②当A∈（π2，π）时，cosA=-35…．…（10分）∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=45×513-(-35)×213=5665…（12分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：
&&&&经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如果△ABC不是直角三角形，且A、B、C是△ABC的三个内角：（1）求证：ta..”的主要目的是检查您对于考点“高中同角三角函数的基本关系式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中同角三角函数的基本关系式”。
4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50、51、52、一道习题的证明引申及应用--《数理天地(高中版)》2003年12期
一道习题的证明引申及应用
【摘要】：正 很多教辅资料上都有这样一道习题: 在锐角△ABC中,求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 这是一道很平常的题,证法如下:因为△ABC为锐角三角形,所以tanA,tanB,tanC,tan(A+B)都有意义.又因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=-tanC,所以tanA+tanB+tanC
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：G634.6【正文快照】：
很多教辅资料上都有这样一道习题: 在锐角△ABc中,求证奴nA十tanB+奴nc-奴”八tanBtanC. 这是一道很平常的题,证法如下:因为△乃刀C为锐角三角形,所以tanA,故nB,tanC,tan(A十B)都有意义.又因为A十B一汀一C,所以故n(A+B)=一奴nC,所以tanA+tanB+故nC 二故n(A+B)(1一故nAtanB)十
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京公网安备75号证明：在非直角三角形ABC中,tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
啊姗笨蛋0044
∵tan(A+B)=tanA+tanB/1-tanA*tanB tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC ∴tanA+tanB/1-tanA*tanB=-tanC 整理移项即得 tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
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全部把Tan拆分成Sin除以Cos就可以了
然后再通分相加,最后再把Sin/Cos=Tan就可以了
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