【微积分数列极限的证明】用ε-N证明极限是0。（1）n^2/e^n (2)e^n/n!

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-11-21 03:03 标签： 数列极限的证明
关于数列极限已知lim（n→∞）（1+1/n）^n=e,证明li - 爱问知识人
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关于数列极限
见上传文件：
lim（1+1/n+1/n2）n=lim e(n ln(1+1/n+1/n2) )
lim(n+1/n)n =e
lim e (n ln(n+1/n) )=e
证明见上传文件：
翻开任何一本微积分或高等数学教材，都可以找到这个证明，这里仅说一下思路：
定理：单调有界数列一定存在极限。
这是微积分学五个最基本的定理之一。
推论：单调...
大家还关注一个极限问题,有关e(2.71828……）lim(n趋向正无穷）(1+1/n)^n=(lim(n趋向正无穷）(1+1/n))^n=1^n=1上面的推理错在什么地方?大家都知道结果应该是e啊!还有lim(n趋向正无穷）(1+n）^（1/n）=?我都快被折磨死了,那lim(n趋向正无穷)(n!)^(1/n)也等于1么？像这种n（尤其是1/n）在指数上的极限怎么解？能不能先求某一部分的极限（如上面补充问题，先使指数=0，就不管底数，直接得1；或是如原题先使底数等于1，不管指数，直接得1）？后一种是错的，那前一种呢？有没有什么好方法？我很纠结…… 什么时候可以舍去无穷小，什么时候不可以？决不食言！
匵匵匵匵匵匵
你们都没有说到点子上去,首先无穷小是一个变量,它的含义是比小给的任意数都要小,这点很重要,无穷大的含义类似,是比你给的任意数都要大.做指数的极限题目时最好是这样做：求lim（x趋向于无穷或0）f（x）^g（x）=e^g（x）*lng（x）.所以lim(n趋向正无穷）(1+1/n)^n =lime^n*ln（1+1/n）,因为limn*ln（1+1/n）=1,所以所求极限为e（这就是楼上们都说的不用证明的,事实上这样就已经证明了）同样的,lim(n趋向正无穷）(1+n）^（1/n）=e^（1/n）*ln(1+n),lim（1/n）*ln(1+n)可以用罗比达法则求出极限为0,所以所求极限为1,第三题稍微难一点lim(n趋向正无穷)(n!)^(1/n）=e^1/n*（ln1+ln2+……lnn）而lim1/n*（ln1+ln2+……lnn）=lim1/n*（ln1/n+ln2/n+……lnn/n+nlnn）=∫（上限为1,下限为0）lnxdx（这是个反常积分,不过是收敛的）+lnn=-1+lnn,所以lim(n趋向正无穷)(n!)^(1/n）=limn*e^(-1）=∞.二楼的还行,三楼说的虽然多,不过没有说到点子上.关于什么时候可以舍去无穷小,什么时候不可以?再求lim(n趋向无穷或零）f（n）=?时记住它的含义是求n趋向无穷或零时,f（n）趋向于多少?所以只有f（n）中的单独无穷小量才会在nn趋向无穷或零时趋向于零,或者说是在这个无穷小量周围只有加减,没有乘除,没有幂,他才一定是无穷小量.当然这个无穷小量也可以是包括幂运算的整体.lim(n趋向正无穷）(1+n）^（1/n）=1不是因为lim(1+n）^（1/n）=lim(1+n）^0=1~而是因为lim(n趋向正无穷）(1+n）^（1/n）=e^（1/n）*ln(1+n),lim（1/n）*ln(1+n)可以用罗比达法则求出极限为0,所以所求极限为1这样你总明白了吧.
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