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　　昨天分模块的练习题（）上传后，很多家长表示很有用，下载量也很多，能够为大家提供需要的东西，小六也很开心~~
　　那今天还是干货哦~小学数学中应用题是不是经常困扰大家呢?也有不止一个家长说希望做一个应用题的汇总，那今天我们的资料就是应用题~
　　这是比较全面的一篇资料啦，大家觉得有用欢迎分享~点赞~
　　小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。
　　应用题可分为一般应用题与典型应用题。
　　没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。
　　题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题。
　　以下资料主要研究以下30类典型应用题：
　　1、归一问题2、归总问题3、和差问题4、和倍问题5、差倍问题6、倍比问题7、相遇问题8、追及问题9、植树问题10、年龄问题11、行船问题12、列车问题13、时钟问题14、盈亏问题15、工程问题16、正反比例问题17、按比例分配18、百分数问题19、“牛吃草”问题20、鸡兔同笼问21、方阵问题22、商品利润问题23、存款利率问题24、溶液浓度问题25、构图布数问题26、幻方问题27、抽屉原则问题28、公约公倍问题29、最值问题30、列方程问题
　　1 归一问题
　　【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
　　【数量关系】
　　总量&份数＝1份数量
　　1份数量&所占份数＝所求几份的数量
　　另一总量&（总量&份数）＝所求份数
　　【解题思路和方法】
　　先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
　　例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？
　　解（1）买1支铅笔多少钱？ 0.6&5＝0.12（元）
　　（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12&16＝1.92（元）
　　列成综合算式 0.6&5&16＝0.12&16＝1.92（元）
　　答：需要1.92元。
　　例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？
　　解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？ 90&3&3＝10（公顷）
　　（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？ 10&5&6＝300（公顷）
　　列成综合算式 90&3&3&5&6＝10&30＝300（公顷）
　　答：5台拖拉机6 天耕地300公顷。
　　例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？
　　解 （1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？ 100&5&4＝5（吨）
　　（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？ 5&7＝35（吨）
　　（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？ 105&35＝3（次）
　　列成综合算式 105&（100&5&4&7）＝3（次）
　　答：需要运3次。
　　2 归总问题
　　【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
　　【数量关系】
　　1份数量&份数＝总量
　　总量&1份数量＝份数
　　总量&另一份数＝另一每份数量
　　【解题思路和方法】
　　先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
　　例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？
　　解 （1）这批布总共有多少米？ 3.2&791＝2531.2（米）
　　（2）现在可以做多少套？ .8＝904（套）
　　列成综合算式 3.2&791&2.8＝904（套）
　　答：现在可以做904套。
　　例2 小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？
　　解 （1）《红岩》这本书总共多少页？ 24&12＝288（页）
　　（2）小明几天可以读完《红岩》？ 288&36＝8（天）
　　列成综合算式 24&12&36＝8（天）
　　答：小明8天可以读完《红岩》。
　　例3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？
　　解 （1）这批蔬菜共有多少千克？ 50&30＝1500（千克）
　　（2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500&（50＋10）＝25（天）
　　列成综合算式 50&30&（50＋10）＝（天）
　　答：这批蔬菜可以吃25天。
　　3 和差问题
　　【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
　　【数量关系】
　　大数＝（和＋差）& 2
　　小数＝（和－差）& 2
　　【解题思路和方法】
　　简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
　　例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？
　　解 甲班人数＝（98＋6）&2＝52（人）
　　乙班人数＝（98－6）&2＝46（人）
　　答：甲班有52人，乙班有46人。
　　例2 长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。
　　解 长＝（18＋2）&2＝10（厘米）
　　宽＝（18－2）&2＝8（厘米）
　　长方形的面积 ＝10&8＝80（平方厘米）
　　答：长方形的面积为80平方厘米。
　　例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
　　解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知
　　甲袋化肥重量＝（22＋2）&2＝12（千克）
　　丙袋化肥重量＝（22－2）&2＝10（千克）
　　乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
　　答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
　　例4 甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？
　　解 “从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14&2＋3），甲与乙的和是97，因此甲车筐数＝（97＋14&2＋3）&2＝64（筐）
　　乙车筐数＝97－64＝33（筐）
　　答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。
　　4 和倍问题
　　【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
　　【数量关系】
　　总和 &（几倍＋1）＝较小的数
　　总和 － 较小的数 ＝ 较大的数
　　较小的数 &几倍 ＝ 较大的数
　　【解题思路和方法】
　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
　　例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？
　　解 （1）杏树有多少棵？ 248&（3＋1）＝62（棵）
　　（2）桃树有多少棵？ 62&3＝186（棵）
　　答：杏树有62棵，桃树有186棵。
　　例2 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？
　　解 （1）西库存粮数＝480&（1.4＋1）＝200（吨）
　　（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）
　　答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。
　　例3 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？
　　解 每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，
　　那么，几天以后甲站的车辆数减少为
　　（52＋32）&（2＋1）＝28（辆）
　　所求天数为 （52－28）&（28－24）＝6（天）
　　答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。
　　例4 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？
　　解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。
　　因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；
　　又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；
　　这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么，
　　甲数＝（170＋4－6）&（1＋2＋3）＝28
　　乙数＝28&2－4＝52
　　丙数＝28&3＋6＝90
　　答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。
　　5 差倍问题
　　【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
　　【数量关系】
　　两个数的差&（几倍－1）＝较小的数
　　较小的数&几倍＝较大的数
　　【解题思路和方法】
　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
　　例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？
　　解 （1）杏树有多少棵？ 124&（3－1）＝62（棵）
　　（2）桃树有多少棵？ 62&3＝186（棵）
　　答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。
　　例2 爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？
　　解 （1）儿子年龄＝27&（4－1）＝9（岁）
　　（2）爸爸年龄＝9&4＝36（岁）
　　答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。
　　例3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？
　　解 如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因此
　　上月盈利＝（30－12）&（2－1）＝18（万元）
　　本月盈利＝18＋30＝48（万元）
　　答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
　　例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？
　　解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，因此
　　剩下的小麦数量＝（138－94）&（3－1）＝22（吨）
　　运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）
　　运粮的天数＝72&9＝8（天）
　　答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
　　6 倍比问题
　　【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。
　　【数量关系】
　　总量&一个数量＝倍数
　　另一个数量&倍数＝另一总量
　　【解题思路和方法】
　　先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
　　例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
　　解 （1）3700千克是100千克的多少倍？ （倍）
　　（2）可以榨油多少千克？ 40&37＝1480（千克）
　　列成综合算式 40&（）＝1480（千克）
　　答：可以榨油1480千克。
　　例2 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？
　　解 （1）48000名是300名的多少倍？ ＝160（倍）
　　（2）共植树多少棵？ 400&160＝64000（棵）
　　列成综合算式 400&（）＝64000（棵）
　　答：全县48000名师生共植树64000棵。
　　例3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？
　　解 （1）800亩是4亩的几倍？ 800&4＝200（倍）
　　（2）800亩收入多少元？ ＝2222200（元）
　　（3）16000亩是800亩的几倍？ ＝20（倍）
　　（4）16000亩收入多少元？ ＝（元）
　　答：全乡800亩果园共收入2222200元，
　　全县16000亩果园共收入元。
　　7 相遇问题
　　【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
　　【数量关系】
　　相遇时间＝总路程&（甲速＋乙速）
　　总路程＝（甲速＋乙速）&相遇时间
　　【解题思路和方法】
　　简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
　　例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？
　　解 392&（28＋21）＝8（小时）
　　答：经过8小时两船相遇。
　　例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？
　　解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
　　因此总路程为400&2
　　相遇时间＝（400&2）&（5＋3）＝100（秒）
　　答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
　　例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
　　解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3&2）千米，因此，
　　相遇时间＝（3&2）&（15－13）＝3（小时）
　　两地距离＝（15＋13）&3＝84（千米）
　　答：两地距离是84千米。
　　8 追及问题
　　【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
　　【数量关系】
　　追及时间＝追及路程&（快速－慢速）
　　追及路程＝（快速－慢速）&追及时间
　　【解题思路和方法】
　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
　　例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
　　解 （1）劣马先走12天能走多少千米？ 75&12＝900（千米）
　　（2）好马几天追上劣马？ 900&（120－75）＝20（天）
　　列成综合算式 75&12&（120－75）＝900&45＝20（天）
　　答：好马20天能追上劣马。
　　例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
　　解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40&（500&200）］秒，所以小亮的速度是
　　（500－200）&［40&（500&200）］
　　＝300&100＝3（米）
　　答：小亮的速度是每秒3米。
　　例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？
　　解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10&（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知
　　追及时间＝［10&（22－6）＋60］&（30－10）
　　＝220&20＝11（小时）
　　答：解放军在11小时后可以追上敌人。
　　例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。
　　解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16&2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，
　　这个时间为 16&2&（48－40）＝4（小时）
　　所以两站间的距离为 （48＋40）&4＝352（千米）
　　列成综合算式 （48＋40）&［16&2&（48－40）］
　　＝88&4
　　＝352（千米）
　　答：甲乙两站的距离是352千米。
　　例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？
　　解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180&2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，
　　那么，二人从家出走到相遇所用时间为
　　180&2&（90－60）＝12（分钟）
　　家离学校的距离为 90&12－180＝900（米）
　　答：家离学校有900米远。
　　例6 孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。
　　解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了 （10－5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。
　　步行1千米所用时间为 1&［9－（10－5）］
　　＝0.25（小时）
　　＝15（分钟）
　　跑步1千米所用时间为 15－［9－（10－5）］＝11（分钟）
　　跑步速度为每小时 1&11／60＝5.5（千米）
　　答：孙亮跑步速度为每小时 5.5千米。
　　9 植树问题
　　【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。
　　【数量关系】
　　线形植树 棵数＝距离&棵距＋1
　　环形植树 棵数＝距离&棵距
　　方形植树 棵数＝距离&棵距－4
　　三角形植树 棵数＝距离&棵距－3
　　面积植树 棵数＝面积&（棵距&行距）
　　【解题思路和方法】
　　先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
　　例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？
　　解 136&2＋1＝68＋1＝69（棵）
　　答：一共要栽69棵垂柳。
　　例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？
　　解 400&4＝100（棵）
　　答：一共能栽100棵白杨树。
　　例3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？
　　解 220&4&8－4＝110－4＝106（个）
　　答：一共可以安装106个照明灯。
　　例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？
　　解 96&（0.6&0.4）＝96&0.24＝400（块）
　　答：至少需要400块地板砖。
　　例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？
　　解 （1）桥的一边有多少个电杆？ 500&50＋1＝11（个）
　　（2）桥的两边有多少个电杆？ 11&2＝22（个）
　　（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22&2＝44（盏）
　　答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。
　　10 年龄问题
　　【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
　　【数量关系】
　　年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
　　【解题思路和方法】
　　可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
　　例1 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？
　　解 35&5＝7（倍）
　　（35+1）&（5+1）＝6（倍）
　　答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，
　　明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
　　例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？
　　解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37－7＝30（岁）
　　（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30&（4－1）－7＝3（年）
　　列成综合算式 （37－7）&（4－1）－7＝3（年）
　　答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
　　例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？
　　解 今年父子的年龄和应该比3年前增加（3&2）岁，
　　今年二人的年龄和为 49＋3&2＝55（岁）
　　把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此，今年儿子年龄为 55&（4＋1）＝11（岁）
　　今年父亲年龄为 11&4＝44（岁）
　　答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。
　　例4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？
　　这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：
　　过去某一年
　　将来某一年
　　表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。
　　因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，
　　因此二人年龄差为 （61－4）&3＝19（岁）
　　甲今年的岁数为 △＝61－19＝42（岁）
　　乙今年的岁数为 □＝42－19＝23（岁）
　　答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。
　　11 行船问题
　　【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
　　【数量关系】
　　（顺水速度＋逆水速度）&2＝船速
　　（顺水速度－逆水速度）&2＝水速
　　顺水速＝船速&2－逆水速＝逆水速＋水速&2
　　逆水速＝船速&2－顺水速＝顺水速－水速&2
　　【解题思路和方法】
　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
　　例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？
　　解 由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320&8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时 320&8－15＝25（千米）
　　船的逆水速为 25－15＝10（千米）
　　船逆水行这段路程的时间为 320&10＝32（小时）
　　答：这只船逆水行这段路程需用32小时。
　　例2 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？
　　解由题意得 甲船速＋水速＝360&10＝36
　　甲船速－水速＝360&18＝20
　　可见 （36－20）相当于水速的2倍，
　　所以， 水速为每小时 （36－20）&2＝8（千米）
　　又因为， 乙船速－水速＝360&15，
　　所以， 乙船速为 360&15＋8＝32（千米）
　　乙船顺水速为 32＋8＝40（千米）
　　所以， 乙船顺水航行360千米需要
　　360&40＝9（小时）
　　答：乙船返回原地需要9小时。
　　例3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？
　　解 这道题可以按照流水问题来解答。
　　（1）两城相距多少千米？
　　（576－24）&3＝1656（千米）
　　（2）顺风飞回需要多少小时？
　　1656&（576＋24）＝2.76（小时）
　　列成综合算式
　　［（576－24）&3］&（576＋24）
　　＝2.76（小时）
　　答：飞机顺风飞回需要2.76小时。
　　12 列车问题
　　【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
　　【数量关系】
　　火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）&车速
　　火车追及： 追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）&（甲车速－乙车速）
　　火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）&（甲车速＋乙车速）
　　【解题思路和方法】
　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
　　例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？
　　解 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
　　（1）火车3分钟行多少米？ 900&3＝2700（米）
　　（2）这列火车长多少米？ ＝300（米）
　　列成综合算式 900&3－（米）
　　答：这列火车长300米。
　　例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？
　　解 火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8&125）米，这段路程就是（200米＋桥长），所以，桥长为
　　8&125－200＝800（米）
　　答：大桥的长度是800米。
　　例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？
　　解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此，所求的时间为
　　（225＋140）&（22－17）＝73（秒）
　　答：需要73秒。
　　例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？
　　解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。
　　150&（22＋3）＝6（秒）
　　答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。
　　例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？
　　解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（88－58）秒的时间内行驶了（）米的路程，因此，火车的车速为每秒
　　（）&（88－58）＝25（米）
　　进而可知，车长和桥长的和为（25&58）米，
　　因此，车长为 25&58－（米）
　　答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。
　　13 时钟问题
　　【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。
　　【数量关系】
　　分针的速度是时针的12倍，
　　二者的速度差为11/12。
　　通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
　　【解题思路和方法】
　　变通为“追及问题”后可以直接利用公式。
　　例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？
　　解 钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以
　　分针追上时针的时间为 20&（1－1/12）≈ 22（分）
　　答：再经过22分钟时针正好与分针重合。
　　例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
　　解 钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5&4） 格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走 （5&4－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5&4＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出 二针成直角的时间。
　　（5&4－15）&（1－1/12）≈ 6（分）
　　（5&4＋15）&（1－1/12）≈ 38（分）
　　答：4点06分及4点38分时两针成直角。
　　例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？
　　解 六点整的时候，分针在时针后（5&6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。
　　（5&6）&（1－1/12）≈ 33（分）
　　答：6点33分的时候分针与时针重合。
　　14 盈亏问题
　　【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
　　【数量关系】
　　一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
　　参加分配总人数＝（盈＋亏）&分配差
　　如果两次都盈或都亏，则有：
　　参加分配总人数＝（大盈－小盈）&分配差
　　参加分配总人数＝（大亏－小亏）&分配差
　　【解题思路和方法】
　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
　　例1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？
　　解 按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）&分配差”的数量关系：
　　（1）有小朋友多少人？（11＋1）&（4－3）＝12（人）
　　（2）有多少个苹果？ 3&12＋11＝47（个）
　　答：有小朋友12人，有47个苹果。
　　例2 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？
　　解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）&分配差”的数量关系，可以得知
　　原定完成任务的天数为
　　（260&8－300&4）&（300－260）＝22（天）
　　这条路全长为 300&（22＋4）＝7800（米）
　　答：这条路全长7800米。
　　例3 学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？
　　解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有
　　（1）有多少车？（30－0）&（45－40）＝6（辆）
　　（2）有多少人？ 40&6＋30＝270（人）
　　答：有6 辆车，有270人。
　　15 工程问题
　　【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
　　【数量关系】
　　解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
　　工作量＝工作效率&工作时间
　　工作时间＝工作量&工作效率
　　工作时间＝总工作量&（甲工作效率＋乙工作效率）
　　【解题思路和方法】
　　变通后可以利用上述数量关系的公式。
　　例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？
　　解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。
　　由此可以列出算式： 1&（1/10＋1/15）＝1&1/6＝6（天）
　　答：两队合做需要6天完成。
　　例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？
　　解 设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1&（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以
　　（1）每小时甲比乙多做多少零件？
　　24&［1&（1/6＋1/8）］＝7（个）
　　（2）这批零件共有多少个？
　　7&（1/6－1/8）＝168（个）
　　答：这批零件共有168个。
　　解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：
　　两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8＝4∶3
　　由此可知，甲比乙多完成总工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7
　　所以，这批零件共有 24&1/7＝168（个）
　　例3 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
　　解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是
　　60&12＝5 60&10＝6 60&15＝4
　　因此余下的工作量由乙丙合做还需要
　　（60－5&2）&（6＋4）＝5（小时）
　　答：还需要5小时才能完成。
　　例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
　　解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。
　　要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。
　　我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1&4&5），2个进水管15小时注水量为（1&2&15），从而可知
　　每小时的排水量为 （1&2&15－1&4&5）&（15－5）＝1
　　即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
　　一池水的总工作量为 1&4&5－1&5＝15
　　又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 1&2，
　　所以，2小时内注满一池水
　　至少需要多少个进水管？ （15＋1&2）&（1&2）
　　＝8.5≈9（个）
　　答：至少需要9个进水管。
　　16 正反比例问题
　　【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
　　【数量关系】
　　判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
　　【解题思路和方法】
　　解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。
　　正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
　　例1 修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？
　　解 由条件知，公路总长不变。
　　原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
　　现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
　　比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为 300&（4－3）&12＝3600（米）
　　答： 这条公路总长3600米。
　　例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？
　　解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系
　　设91分钟可以做X应用题 则有 28∶4＝91∶X
　　28X＝91&4 X＝91&4&28 X＝13
　　答：91分钟可以做13道应用题。
　　例3 孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？
　　解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系
　　设X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15
　　36X＝24&15 X＝10
　　答：10天就可以看完。
　　例4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。
　　解 由面积&宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，
　　A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16
　　解这两个比例，得 A＝45 B＝20
　　所以，大矩形面积为 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162
　　答：大矩形的面积是162.
　　17 按比例分配问题
　　【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
　　【数量关系】
　　从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数＝比的前后项之和
　　【解题思路和方法】
　　先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
　　例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？
　　解 总份数为 47＋48＋45＝140
　　一班植树 560&47/140＝188（棵）
　　二班植树 560&48/140＝192（棵）
　　三班植树 560&45/140＝180（棵）
　　答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
　　例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？
　　解 3＋4＋5＝12 60&3/12＝15（厘米）
　　60&4/12＝20（厘米）
　　60&5/12＝25（厘米）
　　答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
　　例3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。
　　解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到
　　1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2
　　9＋6＋2＝17 17&9/17＝9
　　17&6/17＝6 17&2/17＝2
　　答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。
　　例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？
　　一共多少人？
　　对应的份数
　　12月8日
　　8＋12＋21
　　解 80&（12－8）&（8＋12＋21）＝820（人）
　　答：三个车间一共820人。
　　18 百分数问题
　　【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示 “量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。
　　在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。
　　【数量关系】
　　掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：
　　百分数＝比较量&标准量
　　标准量＝比较量&百分数
　　【解题思路和方法】
　　一般有三种基本类型：
　　（1）求一个数是另一个数的百分之几；
　　（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；
　　（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
　　例1 仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？
　　解 （1）用去的占 720&（720＋6480）＝10%
　　（2）剩下的占 6480&（720＋6480）＝90%
　　答：用去了10%，剩下90%。
　　例2 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？
　　解 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以 （525－420）&525＝0.2＝20%
　　或者 1－420&525＝0.2＝20%
　　答：男职工人数比女职工少20%。
　　例3 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？
　　解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此
　　（525－420）&420＝0.25＝25%
　　或者 525&420－1＝0.25＝25%
　　答：女职工人数比男职工多25%。
　　例4 红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？
　　解 （1）男职工占 420&（420＋525）＝0.444＝44.4%
　　（2）女职工占 525&（420＋525）＝0.556＝55.6%
　　答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。
　　例5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：
　　增长率＝增长数&原来基数&100%
　　合格率＝合格产品数&产品总数&100%
　　出勤率＝实际出勤人数&应出勤人数&100%
　　出勤率＝实际出勤天数&应出勤天数&100%
　　缺席率＝缺席人数&实有总人数&100%
　　发芽率＝发芽种子数&试验种子总数&100%
　　成活率＝成活棵数&种植总棵数&100%
　　出粉率＝面粉重量&小麦重量&100%
　　出油率＝油的重量&油料重量&100%
　　废品率＝废品数量&全部产品数量&100%
　　命中率＝命中次数&总次数&100%
　　烘干率＝烘干后重量&烘前重量&100%
　　及格率＝及格人数&参加考试人数&100%
　　19 “牛吃草”问题
　　【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
　　【数量关系】 草总量＝原有草量＋草每天生长量&天数
　　【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。
　　例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
　　解 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量&天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
　　（1）求草每天的生长量
　　因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1&10&20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
　　1&10&20＝原有草量＋20天内生长量
　　同理 1&15&10＝原有草量＋10天内生长量
　　由此可知 （20－10）天内草的生长量为
　　1&10&20－1&15&10＝50
　　因此，草每天的生长量为 50&（20－10）＝5
　　（2）求原有草量
　　原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1&15&10－5&10＝100
　　（3）求5 天内草总量
　　5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5&5＝125
　　（4）求多少头牛5 天吃完草
　　因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
　　因此5天吃完草需要牛的头数 125&5＝25（头）
　　答：需要5头牛5天可以把草吃完。
　　例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？
　　解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：
　　（1）求每小时进水量
　　因为，3小时内的总水量＝1&12&3＝原有水量＋3小时进水量
　　10小时内的总水量＝1&5&10＝原有水量＋10小时进水量
　　所以，（10－3）小时内的进水量为 1&5&10－1&12&3＝14
　　因此，每小时的进水量为 14&（10－3）＝2
　　（2）求淘水前原有水量
　　原有水量＝1&12&3－3小时进水量＝36－2&3＝30
　　（3）求17人几小时淘完
　　17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是
　　30&（17－2）＝2（小时）
　　答：17人2小时可以淘完水。
　　20 鸡兔同笼问题
　　【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
　　【数量关系】
　　第一鸡兔同笼问题：
　　假设全都是鸡，则有
　　兔数＝（实际脚数－2&鸡兔总数）&（4－2）
　　假设全都是兔，则有
　　鸡数＝（4&鸡兔总数－实际脚数）&（4－2）
　　第二鸡兔同笼问题：
　　假设全都是鸡，则有
　　兔数＝（2&鸡兔总数－鸡与兔脚之差）&（4＋2）
　　假设全都是兔，则有
　　鸡数＝（4&鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）&（4＋2）
　　【解题思路和方法】
　　解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
　　例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？
　　解 假设35只全为兔，则
　　鸡数＝（4&35－94）&（4－2）＝23（只）
　　兔数＝35－23＝12（只）
　　也可以先假设35只全为鸡，则
　　兔数＝（94－2&35）&（4－2）＝12（只）
　　鸡数＝35－12＝23（只）
　　答：有鸡23只，有兔12只。
　　例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？
　　解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1&2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3&5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有
　　白菜亩数＝（9－1&2&16）&（3&5－1&2）＝10（亩）
　　答：白菜地有10亩。
　　例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？
　　解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有
　　作业本数＝（69－0.70&45）&（3.20－0.70）＝15（本）
　　日记本数＝45－15＝30（本）
　　答：作业本有15本，日记本有30本。
　　例4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
　　解 假设100只全都是鸡，则有
　　兔数＝（2&100－80）&（4＋2）＝20（只）
　　鸡数＝100－20＝80（只）
　　答：有鸡80只，有兔20只。
　　例5 有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？
　　解 假设全为大和尚，则共吃馍（3&100）个，比实际多吃（3&100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚
　　（3&100－100）&（3－1/3）＝75（人）
　　共有大和尚 100－75＝25（人）
　　答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
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中国高校校报协会副会长......
北京教育音像报刊总社评论部评论员.....
中国青少年研究中心首席专家
美国独立教育顾问协会认证顾问
中国人民大学政治学教授