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直线l：x-ky+22=0与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为原点，△ABO的面积为S．（1）试将S表示为k的函数S（k），并求定义域；（2）求S的最大值，并求此时直线l的方程．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）圆心O到直线l的距离d=221+k2，∵l与圆O相交，∴d＜2，∴k＞1或k＜-1．∴s(k)=12×24-d2od=4-81+k2o221+k2=42k2-1(1+k2)2（k＞1或k＜-1）．（2）s(k)=42-2(1+k2)2+11+k2=42-2(11+k2-14)2+18≤2，∴k=±3时，有s（k）max=2．故，直线l的方程为：x-3y+22=0或x+3y+22=0．
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据魔方格专家权威分析，试题“直线l：x-ky+22=0与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为原点，△ABO的面..”主要考查你对&&函数的定义域、值域&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的定义域、值域
定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则& 。
&3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
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高中数学专题二基本初等函数
专题二函数函数是中学数学中的重点内容， 是描述变量之间依赖关系的重要数学模型． 本章内容有 两条主线： 一是对函数性质作一般性的研究， 二是研究几种具体的基本初等函数――一次函 数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函 数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1函数【知识要点】 要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解 在很多情况下要借助映射这一概念． 1、设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f，对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中有一个且仅有一个元素 y 与 x 对应，则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射．记作 f：A→B， 其中 x 叫原象，y 叫象． 2、设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法则 f，都有唯一确定 的数 y 与它对应，则这种映射叫做集合 A 上的一个函数．记作 y＝f(x)，x∈A． 其中 x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构 成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确 定． 3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都 有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心． 【复习要求】 1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象． 2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数． 3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号 f(x)(对应法则)， 能依据一定的条件求出函数的对应法则． 4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域． 【例题分析】 例 1 设集合 A 和 B 都是自然数集合 N． 映射 f： A→B 把集合 A 中的元素 x 映射到集合 x B 中的元素 2 ＋x，则在映射 f 作用下，2 的象是______；20 的原象是______． 【分析】由已知，在映射 f 作用下 x 的象为 2x＋x． 所以，2 的象是 22＋2＝6； 设象 20 的原象为 x，则 x 的象为 20，即 2x＋x＝20． 由于 x∈N，2x＋x 随着 x 的增大而增大，又可以发现 24＋4＝20，所以 20 的原象是 4． 例 2 设函数 f ( x ) ? ?? x ? 1, x ? 0,2 ?? x ? 2 x ? 2, x ? 0,则 f(1)＝______；若 f(0)＋f(a)＝－2，则 a的所有可能值为______． 【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则． 所以 f(1)＝3． 又 f(0)＝－1，所以 f(a)＝－1， 当 a≤0 时，由 a－1＝－1 得 a＝0； 当 a＞0 时，由－a2＋2a＋2＝－1，即 a2－2a－3＝0 得 a＝3 或 a＝－1(舍)． 综上，a＝0 或 a＝3． 例 3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A) y ? (C) y ?x 2 , y ? ( t )2x2 ? 1 , y ? x ?1 x ?1(B) y ?| x |, y ? (D) y ? x, y ? xt2x2【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的 定义域相同，化简后为 y＝｜x｜及 y＝｜t｜，法则也相同，所以选(B)． 【评析】 判断两个函数是否为同一函数， 就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相 同． 一般有两个步骤： (1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域， 看定义域是否一致． (2) 对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致． 例 4 求下列函数的定义域 (1) y ?x ? 1? 1;lg(3 ? x) ? ( x ? 1)0 ; x(2) y ?1 x ? 2x ? 32;(3) y ?(4) y ?1 ? x2 ; |2? x|?2解：(1)由｜x－1｜－1≥0，得｜x－1｜≥1，所以 x－1≥1 或 x－1≤－1，所以 x≥2 或 x≤0． 所以，所求函数的定义域为{x｜x≥2 或 x≤0}． (2)由 x2＋2x－3＞0 得，x＞1 或 x＜－3． 所以，所求函数的定义域为{x｜x＞1 或 x＜－3}．?3 ? x ? 0, ? (3)由 ? x ? 0, 得 x＜3，且 x≠0，x≠1， ? ? x ? 1 ? 0, ? ?所以，所求函数的定义域为{x|x＜3，且 x≠0，x≠1} (4)由 ??1 ? x 2 ? 0， ?1 ? x 2 ? 0， ?? 1 ? x ? 1, 所以－1≤x≤1，且 x≠0． 得? 即? | 2 ? x | ?2 ? 0, ?| 2 ? x |? 2， ? x ? 0, 且x ? 4, ? ? ? ?所以，所求函数定义域为{x｜－1≤x≤1，且 x≠0}． 例 5 已知函数 f(x)的定义域为(0，1)，求函数 f(x＋1)及 f(x2)的定义域． 【分析】此题的题设条件中未给出函数 f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之 间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指 x 的取值范围；②受对应法则 f 制约的量的 取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由 f(x)的定义域是(0，1)可知法则 f 制约 的量的取值范围是(0，1)，而在函数 f(x＋1)中，受 f 直接制约的是 x＋1，而定义域是指 x 的 范围，因此通过解不等式 0＜x＋1＜1 得－1＜x＜0，即 f(x＋1)的定义域是(－1，0)．同理可 得 f(x2)的定义域为{x｜－1＜x＜1，且 x≠0}． 例 6 如图，用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长 为 2x，求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB＝2x．l ? 2 x ? πx ? 2 l ? 2 x ? πx 1 π ? ? πx 2 ? ?(2 ? ) x 2 ? lx. 所以， y ? 2 x ? 2 2 2 ? πx, AD ?? x ? 0, l ? 得0 ? x ? . 根据问题的实际意义．AD＞0，x＞0．解 ? l ? 2 x ? πx 2?π ? 0, ? 2 ?所以，所求函数定义域为 {x | 0 ? x ?l }? 2?π【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题． (1)给出函数解析式求定义域(如例 4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值 范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的． 中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有： ①分式中分母不为零； ②偶次方根下被 开方数非负； ③零次幂的底数要求不为零； ④对数中的真数大于零， 底数大于零且不等于 1； ⑤y＝tanx，则 x ? kπ ?π ，k∈Z． 2(2)不给出 f(x)的解析式而求定义域(如例 5)．其解决办法见例 5 的分析． (3)在实际问题中求函数的定义域(如例 6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限 制，还应考虑实际问题对自变量的限制． 另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研 究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．x ，求 f(x)的解析式； 1 ? x2 1 1 2 (2)已知 f ( x ? ) ? x ? 2 ，求 f(3)的值； x x例 7 (1)已知 f ( ) ? (3)如果 f(x)为二次函数，f(0)＝2，并且当 x＝1 时，f(x)取得最小值－1，求 f(x)的解析式； (4)*已知函数 y＝f(x)与函数 y＝g(x)＝2x 的图象关于直线 x＝1 对称，求 f(x)的解析式． 【分析】(1)求函数 f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有 下面两种方法解决(1)这样的问题．1 x1 1 1 x ? 通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则 方法一． f ( ) ? ? 1 1 2 x ? x ( ) ?1 x x x ? f 是“原象对应于原象除以原象的平方减 1” ．所以， f ( x ) ? 2 x ?11 1 方法二．设 ? t ，则 x ? ．则 f (t ) ? x t1 t 1? 1 t2?x t ? ，所以 f ( x ) ? 2 x ?1 t ?12这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么． (2)用 “凑型” 的方法， f ( x ? ) ? x ?21 x1 1 ? ( x ? ) 2 ? 2.所 f ( x) ? x 2 ? 2, f (3) ? 7. 以 2 x x(3)因为 f(x)为二次函数，并且当 x＝1 时，f(x)取得最小值－1， 所以，可设 f(x)＝a(x－1)2－1， 又 f(0)＝2，所以 a(0－1)2－1＝2，所以 a＝3． f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2． (4)这个问题相当于已知 f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数 f(x)的解析式．所以， 可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求 f(x)的解析式． 设 f(x)的图象上任意一点坐标为 P(x，y)，则 P 关于 x＝1 对称点的坐标为 Q(2－x，y)， 由已知，点 Q 在函数 y＝g(x)的图象上， － 所以，点 Q 的坐标(2－x，y)满足 y＝g(x)的解析式，即 y＝g(2－x)＝22 x， －x 所以，f(x)＝22 ． 【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形” 及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法． 值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方 法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系． 例 8 已知二次函数 f(x)的对称轴为 x＝1， 且图象在 y 轴上的截距为－3， x 轴截得的 被 线段长为 4，求 f(x)的解析式． 解：解法一 设 f(x)＝ax2＋bx＋c， 由 f(x)的对称轴为 x＝1，可得 b＝－2a； 由图象在 y 轴上的截距为－3，可得 c＝－3； 由图象被 x 轴截得的线段长为 4，可得 x＝－1，x＝3 均为方程 ax2＋bx＋c＝0 的根． 所以 f(－1)＝0，即 a－b＋c＝0，所以 a＝1． f(x)＝x2－2x－3． 解法二 因为图象被 x 轴截得的线段长为 4，可得 x＝－1，x＝3 均为方程 f(x)＝0 的根． 所以，设 f(x)＝a(x＋1)(x－3)， 又 f(x)图象在 y 轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点． 即－3a＝－3，a＝1．所以 f(x)＝x2－2x－3． 【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重． 二次函数的解析式有三种形式： 一般式 y＝ax2＋bx＋c； 顶点式 y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标； 双根式 y＝a(x－x1)(x－x2)，其中 x1，x2 为函数图象与 x 轴交点的横坐标，即二次函数所 对应的一元二次方程的两个根． 例 9 某地区上年度电价为 0.8 元／kW?h，年用电量为 akW?h．本年度计划将电价 降到 0.55 元／kW?h 至 0.75 元／kW?h 之间，而用户期望电价为 0.40 元／kW?h． 经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为 0.30 元／kW?h． (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式； (2)设 k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20％? 解：(1)依题意，当实际电价为 x 元／kW?h 时，用电量将增加至 故电力部门的收益为 y ? (k ? a, x ? 0.4k ? a)( x ? 0.3)( 0.55 ? x ? 0.75) ． x ? 0.4(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a，依题意，(0.2a ? a)( x ? 0.3) ? a(0.8 ? 0.3)(1 ? 20%), 且 0.55≤x≤0.75， x ? 0.4解得 0.60≤x≤0.75． 所以，当电价最低定为 0.60 元／kW?h 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20％． 练习 2－1 一、选择题 1．已知函数 f ( x) ?1 的定义域为 M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为 N，则 M∩N＝( 1? x(C){x｜－1＜x＜1} (D) ? ))(A){x｜x＞1} (B){x｜x＜1} 2．图中的图象所表示的函数的解析式为(3 | x ? 1 | (0 ? x ? 2) 2 3 3 (B) y ? ? | x ? 1 | (0 ? x ? 2) 2 2 3 (C) y ? ? | x ? 1 | (0 ? x ? 2) 2(A) y ? (D)y＝1－｜x－1｜(0≤x≤2) 3．已知 f(x－1)＝x2＋2x，则 f ( ) ? (1 x)(A)1 2 ? x2 x(B)1 ?1 x2(C)3x 2 ? 4 x ? 1 x2(D)2x ? 1 x2? x ? 3, x ? ?1, ? 2 4．已知 f ( x) ? ? x ,?1 ? x ? 2, 若 f(x)＝3，则 x 的值是( ?3 x, x ? 2 ?)(A)0(B)0 或3 2(C) ? 3(D) 3二、填空题 5．给定映射 f：(x，y)→(x＋2y，x－2y)，在映射 f 下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是 ______． 6．函数 f ( x) ?3? x 的定义域是______． | x|?2x f(x) 1 1 2 3 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 17．已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出则 f[g(1)]的值为______；满足 f[g(x)]＞g[f(x)]的 x 的值是______． 8．已知函数 y＝f(x)与函数 y＝g(x)＝2x 的图象关于点(0，1)对称，则 f(x)的解析式为______． 三、解答题 9．已知 f(x)＝2x＋x－1， g ( x) ? ?? x 2 ( x ? 0), ? x ? 1( x ? 0),求 g(－1)，g[f(1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点 A(0，9)，其轨迹方程为 y＝ax2＋c(a＜ 0)，D＝(6，7)为 x 轴上的给定区间．为使物体落在区间 D 内，求 a 的取值范围．11．如图，直角边长为 2cm 的等腰 Rt△ABC，以 2cm／s 的速度沿直线 l 向右运动，求该三 角形与矩形 CDEF 重合部分面积 y(cm2)与时间 t 的函数关系(设 0≤t≤3)， 并求出 y 的最 大值．§2－2函数的性质【知识要点】 函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称 性等等．本章着重研究后四个方面的性质． 本节的重点在于理解与函数性质有关的概念， 掌握有关判断、 证明的基本方法以及简单 的应用．数形结合是本节常用的思想方法． 1．设函数 y＝f(x)的定义域为 D，如果对于 D 内的任意一个 x，都有－x∈D，且 f(－x) ＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数． 设函数 y＝g(x)的定义域为 D， 如果对于 D 内任意一个 x， 都有－x∈D， g(－x)＝g(x)， 且 则这个函数叫做偶函数． 由奇函数定义可知，对于奇函数 y＝f(x)，点 P(x，f(x))与点 P? (－x，－f(x))都在其图象 上．又点 P 与点 P? 关于原点对称，我们可以得到： 奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形； 通过同样的分析可以得到， 偶 函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形． 2．一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 M ? A．如果取区间 M 中的任意两个值 x1，x2，改变量 ? x＝x2－x1＞0，则 当 ? y＝f(x2)－f(x1)＞0 时，就称函数 y＝f(x)在区间 M 上是增函数； 当 ? y＝f(x2)－f(x1)＜0 时，就称函数 y＝f(x)在区间 M 上是减函数． 如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间 M 上具 有单调性，区间 M 称为单调区间． 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的． 3．一般的，对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域中的每一 个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数 y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这 个函数的周期． 4．一般的，对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 a，使得当 x 取定义域中的每一 个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称． 【复习要求】 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性， 会利用函数的单调性处理有关的不等式问题； 2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性． 3．了解函数周期性的含义． 4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题． 【例题分析】 例 1 判断下列函数的奇偶性． (1) f ( x) ? x ?1(2) f ( x) ? (4) y ? lg1 ? 1; x(3)f(x)＝x3－3x； (5) y ?1? 1? x2x ? 1 ? 2x ? 1解：(1)解x ? 0 ，得到函数的定义域为{x｜x＞1 或 x≤0}，定义域区间关于原点不 x ?1对称，所以此函数为非奇非偶函数． (2)函数的定义域为{x｜x≠0}，但是，由于 f(1)＝2，f(－1)＝0，即 f(1)≠f(－1)，且 f(1) ≠－f(－1)，所以此函数为非奇非偶函数． (3)函数的定义域为 R，又 f(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－f(x)， 所以此函数为奇函数． (4)解1? x ? 0 ，得－1＜x＜1， 1? x又 f (? x) ? lg1 ? ( ? x) 1? x 1? x ? lg ? ? lg ? ? f ( x), 1 ? ( ? x) 1? x 1? x所以此函数为奇函数． (5)函数的定义域为 R，又 f (? x) ?2? x ? 1 1 ? 2 x ? ? ? f ( x) ， 2? x ? 1 1? 2 x所以此函数为奇函数． 【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论： ①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称； ②f(x)是奇函数，并且 f(x)在 x＝0 时有定义，则必有 f(0)＝0； ③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为 f(x)＝0． 判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤： ①判断函数的定义域是否关于原点对称； ②考察 f(－x)与 f(x)的关系． 由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函 数四类． 例 2 设函数 f(x)在 R 上有定义，给出下列函数： ①y＝－｜f(x)｜；②y＝xf(x2)；③y＝－f(－x)；④y＝f(x)－f(－x)． 其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号) 【分析】 ①令 F(x)＝－｜f(x)｜， F(－x)＝－｜f(－x)｜， 则 由于 f(x)与 f(－x)关系不明确， 所以此函数的奇偶性无法确定． ②令 F(x)＝xf(x2)，则 F(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－F(x)，所以 F(x)为奇函数． ③令 F(x)＝－f(－x)，则 F(－x)＝－f[－(－x)]＝－f(x)，由于 f(x)与 f(－x)关系不明确，所 以此函数的奇偶性无法确定． ④令 F(x)＝f(x)－f(－x)，则 F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，所以 F(x) 为奇函数． 所以，②④为奇函数． 例 3 设函数 f(x)在 R 上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的 x，y∈R，恒有 f(x＋ y)＝f(x)＋f(y)，则函数 f(x)的奇偶性为______． 解：令 x＝y＝0，则 f(0)＝f(0)＋f(0)，所以 f(0)＝0， 再令 y＝－x，则 f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以 f(－x)＝－f(x)，又 f(x)的值不恒为零， 故 f(x)是奇函数而非偶函数． 【评析】关于函数方程“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的使用一般有以下两个思路：令 x，y 为某 些特殊的值，如本题解法中，令 x＝y＝0 得到了 f(0)＝0．当然，如果令 x＝y＝1 则可以得到f(2)＝2f(1)，等等． 令 x，y 具有某种特殊的关系，如本题解法中，令 y＝－x．得到 f(2x)＝2f(x)，在某些情 况下也可令 y＝1 ，y＝x，等等． x总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候， 要有试一试的勇气． 例 4 已知二次函数 f(x)＝x2＋bx＋c 满足 f(1＋x)＝f(1－x)，求 b 的值，并比较 f(－1)与 f(4)的大小． 解：因为 f(1＋x)＝f(1－x)，所以 x＝1 为二次函数图象的对称轴， 所以 ?b ? 1 ，b＝－2． 2根据对称性，f(－1)＝f(3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以 f(3)＜f(4)，即 f(－1)＜f(4)． 例 5 已知 f(x)为奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x2－2x， (1)求 f(－1)的值； (2)当 x＜0 时，求 f(x)的解析式． 解：(1)因为 f(x)为奇函数，所以 f(－1)＝－f(1)＝－(12－2?1)＝1． (2)方法一：当 x＜0 时，－x＞0．所以，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x． 方法二：设(x，y)是 f(x)在 x＜0 时图象上一点，则(－x，－y)一定在 f(x)在 x＞0 时的图 象上．所以，－y＝(－x)2－2(－x)，所以 y＝－x2－2x． 例 6 数． 证明：设 x1、x2 ? ( ? 用函数单调性定义证明，函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间 ( ?b ,?? ) 上为增函 2ab ,?? ) ，且 x1＜x2 2af(x2)－f(x1)＝(ax22＋bx2＋c)－(ax12＋bx1＋c)＝a(x22－x12)＋b(x2－x1) ＝a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(x2－x1)＝(x2－x1)[a(x1＋x2)＋b] 因为 x1＜x2，所以 x2－x1＞0，又因为 x1、x2 ? ( ?b ,?? ) ， 2a所以 x1 ? x2 ? ? , a ( x1 ? x2 ) ? b ? 0 ，所以 f(x2)－f(x1)＞0， 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间 ( ?b ab ,?? ) 上为增函数． 2a例 7 已知函数 f(x)是定义域为 R 的单调增函数． (1)比较 f(a2＋2)与 f(2a)的大小； (2)若 f(a2)＞f(a＋6)，求实数 a 的取值范围． 解：(1)因为 a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，所以 a2＋2＞2a， 由已知，f(x)是单调增函数，所以 f(a2＋2)＞f(2a)． (2)因为 f(x)是单调增函数，且 f(a2)＞f(a＋6)，所以 a2＞a＋6， 解得 a＞3 或 a＜－2． 【评析】回顾单调增函数的定义，在 x1，x2 为区间任意两个值的前提下，有三个重要的 问题： ? x＝x2－x1 的符号； ? y＝f(x2)－f(x1)的符号；函数 y＝f(x)在区间上是增还是减． 由定义可知：对于任取的 x1，x2，若 x2＞x1，且 f(x2)＞f(x1)，则函数 y＝f(x)在区间上是 增函数；不仅如此，若 x2＞x1，且函数 y＝f(x)在区间上是增函数，则 f(x2)＞f(x1)； 若 f(x2)＞f(x1)，且函数 y＝f(x)在区间上是增函数，则 x2＞x1； 于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例 5 例 6 体会这一点． 函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在 复习中要予以充分注意． 例 8 设 f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函 数． (1)试比较 f(－2)与－f(3)的大小； (2)若 mn＜0，且 m＋n＜0，求证：f(m)＋f(n)＞0． 解：(1)因为 f(x)是奇函数，所以－f(3)＝f(－3)， 又 f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以 f(－3)＞f(－2)，即－f(3)＞f(－2)． (2)因为 mn＜0，所以 m，n 异号，不妨设 m＞0，n＜0， 因为 m＋n＜0，所以 n＜－m， 因为 n，－m∈(－∞，0)，n＜－m，f(x)在区间(－∞，0)上是减函数， 所以 f(n)＞f(－m)， 因为 f(x)是奇函数，所以 f(－m)＝－f(m)， 所以 f(n)＞－f(m)，即 f(m)＋f(n)＞0． 例 9 函数 f(x)是周期为 2 的周期函数，且 f(x)＝x2，x∈[－1，1]． (1)求 f(7.5)的值； (2)求 f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式． 解：(1)因为函数 f(x)是周期为 2 的周期函数，所以 f(x＋2k)＝f(x)，k∈Z． 所以 f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)＝1 ． 4(2)设 x∈[2n－1，2n＋1]，则 x－2n∈[－1，1]． 所以 f(x)＝f(x－2n)＝(x－2n)2，x∈[2n－1，2n＋1]． 练习 2－2 一、选择题 1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( ) (A)y＝x2－4x (B)y＝｜x｜ (C) y ?1 x(D)y＝x2＋2x2．下列判断正确的是( ) (A)定义在 R 上的函数 f(x)，若 f(－1)＝f(1)，且 f(－2)＝f(2)，则 f(x)是偶函数 (B)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)＞f(1)，则 f(x)在 R 上不是减函数 (C)定义在 R 上的函数 f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数， 则 f(x)在 R 上是减函数 (D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数 3． 已知函数 f(x)是 R 上的奇函数， 并且是周期为 3 的周期函数， 又知 f(1)＝2． f(2)＝( 则 ) (A)－2 (B)2 (C)1 (D)－1 4．设 f(x)是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) (A)f(x)f(－x)是奇函数 (B)f(x)｜f(－x)｜是奇函数 (C)f(x)－f(－x)是偶函数 (D)f(x)＋f(－x)是偶函数 二、填空题 5．若函数 f(x)＝4x2－mx＋5 在区间[－2，＋∞)是增函数，则 m 的取值范围是______；f(1)的取值范围是______． 6．已知函数 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当 x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝______．( x ? 1)( x ? a ) 为奇函数，则实数 a＝______． x π π 8．已知函数 f(x)＝x2－cosx，对于 [? , ] 上的任意 x1，x2，有如下条件： 2 27．设函数 f ( x) ?2 2 ①x1＞x2； ② x1 ? x2 ;③｜x1｜＞x2．其中能使 f(x1)＞f(x2)恒成立的条件序号是______ 三、解答题 9．已知函数 f(x)是单调减函数． (1)若 a＞0，比较 f (a ?3 ) 与 f(3)的大小； a(2)若 f(｜a－1｜)＞f(3)，求实数 a 的取值范围．10．已知函数 f ( x) ? x ?2a ( x ? 0, a ? R ). ? x(1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)当 a＝1 时，证明函数 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．11．定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中 x，y 为任意正实 数，③任意正实数 x，y 满足 x≠y 时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0 恒成立． (1)求 f(1)，f(4)的值； (2)试判断函数 f(x)的单调性； (3)如果 f(x)＋f(x－3)≤2，试求 x 的取值范围．§2－3基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数， 三角函数在三角部分复习． 函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知 函数图象包括三个方面：作图，读图，用图． 掌握初等函数一般包括以下一些内容： 首先是函数的定义， 之后是函数的图象和性质． 函 数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值 的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑． 函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的 性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y＝kx＋b(k≠0) (1)定义域为 R，值域为 R； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k＞0 时，函数为增函数，k＜0 时，函数为减函数； (4)当且仅当 b＝0 时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数 y＝kx＋b 的零点为 ?b ? k2．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 通过配方，函数的解析式可以变形为 y ? a( x ? (1)定义域为 R：b 2 4ac ? b 2 ) ? ? 4a 2a4ac ? b 2 ,?? ) ； 4a 4ac ? b 2 ]； 当 a＜0 时，值域为 ( ?? , 4a当 a＞0 时，值域为 [ (2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为 x ? ?b b 4ac ? b2 , )． ，顶点坐标为 (? 4a 2a 2a当 a＞0 时，抛物线开口向上；当 a＜0 时，抛物线开口向下．b b ] 是减区间， [ ? ,?? ) 是增区间； 2a 2a b b ] 是增区间， [ ? ,?? ) 是减区间． 当 a＜0 时， ( ?? ,? 2a 2a(3)当 a＞0 时， ( ?? ,? (4)当且仅当 b＝0 时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数． (5)当判别式 ? ＝b2－4ac＞0 时，函数有两个变号零点? b ? b 2 ? 4ac ； 2a当判别式 ? ＝b2－4ac＝0 时，函数有一个不变号零点 ?b ； 2a当判别式 ? ＝b2－4ac＜0 时，函数没有零点． 3．指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1) (1)定义域为 R；值域为(0，＋∞)． (2)a＞1 时，指数函数为增函数；0＜a＜1 时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)， 对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax 互为反函数． (1)定义域为(0，＋∞)；值域为 R． (2)a＞1 时，对数函数为增函数；0＜a＜1 时，对数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为 1． 5．幂函数 y＝x? (??∈R) 幂函数随着??的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同 的性质： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)； (2)如果??＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数； (3)如果??＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当 x 从右边趋向 于原点时，图象在 y 轴右方无限地接近 y 轴，当 x 趋于＋∞时，图象在 x 轴上方无限地接近 x 轴．要注意： 因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当 x∈(0，＋∞)时，x??＞0，所以所有的 幂函数 y＝x??(??∈R)在第一象限都有图象． 根据幂函数的共同性质， 可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象， 再根据幂 函数的定义域和奇偶性， 我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象， 这样就能够得到这个 幂函数的大致图象． 6．指数与对数 ＋ (1)如果存在实数 x，使得 xn＝a?(a∈R，n＞1，n∈N )，则 x 叫做 a 的 n 次方根． 负数没有偶次方根．(n a )n ? a(n ? 1, n ? N? ) ；奇 时 ?a, 当n为 数 (n a n ) ? ? 偶 时 ?| a |, 当n为 数(2)分数指数幂，1 na ? n a (a ? 0) ；a ? (n a ) m ? n a m (a ? 0, n，m∈N*，且? m nm nm 为既约分数)． na?1 am n(a ? 0, n, m ? N* ，且m 为既约分数)． n(3)幂的运算性质 ＋ a??a??＝a?? ??，(a??)??＝a????，(ab)??＝a??b??，a0＝1(a≠0)． (4)一般地，对于指数式 ab＝N，我们把“b 叫做以 a 为底 N 的对数”记为 logaN， 即 b＝logaN(a＞0，且 a≠1)． (5)对数恒等式： aloga N＝N．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是 1，1 的对数是 0． (7)对数的运算法则及换底公式：log a ( MN ) ? log a M ? log a N ; log aM ? log a M ? log a N Nloga M ? ? ? loga M ；logb N ? loga N .(其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，M＞0，N＞0) loga b【复习要求】 1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂1 函数主要掌握 y＝x，y＝x ，y＝x ， y ? , y ? x 2 这五个具体的幂函数的图象与性质． x2 312．准确、熟练的掌握指数、对数运算； 3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题． 【例题分析】 例 1 化简下列各式：2(1) 325 ? 27 3 ；1 3?1(2) 21 10 ? ? ( 2 ) 3 ? 2π 0 ； 4 271(3) (0.027)?1 7 1 ? (? ) ? 2 ? (2 ) ； 7 9 2(4)log2[log3(log464)]；(5)lg 2 ? lg 5 ? lg 8 ． 1g 50 ? 1g 402 ? 1 3 2解：(1) 325 ? 27? (25 ) 5 ? (33 )1?1 3? 22 ? 3?1 ?14 ? 3(2) (2 )1 40.5? (2? 1 310 ? 3 9 64 ? 3 3 1 ) ? 2π 0 ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 27 4 27 2 4 41 1 11(3) (0.027)1 ?2 7 2 33 ? 3 25 10 5 ? (? ) ? (2 ) ? ( 3 ) ? 49 ? ( ) 2 ? ? 49 ? ? ?44 10 7 9 9 3 3(4)log2[log3(log464)]＝log2[log3(log443)]＝log2[log33]＝log21＝0．2?5 5 lg lg 2 ? lg 5 ? lg 8 8 ? 4 ? 1. (5) ? 50 5 lg 50 ? 1g 40 lg lg 40 4 lg【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使 用是关键． 例 2 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值为 8，试确定 f(x) 的解析式． 解：解法一 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意? ?4a ? 2b ? c ? ?1, ?a ? ?4, ? ? 2 ?a ? b ? c ? ?1 , 解之得?b ? 4, 解之得所以所求二次函数为 f(x)＝－4x ＋4x＋7． ? 4ac ? b 2 ?c ? 7, ? ? ? 8, ? 4a解法二 f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 为 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为 x ? 又 f(x)的最大值为 8，所以 f ( x) ? a ( x ? ) ? 8 .22 ? (?1) 1 ? ， 2 21 2因为(－1，－1)点在抛物线上，所以 ? 1 ? a ( ?1 ? ) ? 8 ，解得 a＝－4．21 2所以所求二次函数为 f ( x) ? ?4( x ? ) ? 8 ? ?4 x ? 4 x ? 7 .2 21 2例 3 (1)如果二次函数 f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5 在区间(2，＋∞)上是增函数，则 a 的取值 范围是______． (2)二次函数 y＝ax2－4x＋a－3 的最大值恒为负，则 a 的取值范围是______． (3)函数 f(x)＝x2＋bx＋c 对于任意 t∈R 均有 f(2＋t)＝f(2－t)，则 f(1)，f(2)，f(4)的大小关 系是_______． 解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数， 画简图可知此抛物线对称轴 x ? ? 于是有 ?a?2 ? 2 ，解之得 a ? ?6 . 2a?2 或与直线 x＝2 重合，或位于直线 x＝2 的左侧， 2(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数 a＜0， 且判别式 ? ＜0” ，即 ??a ? 0, ，解得 a∈(－∞，－1)． ?16 ? 4a(a ? 3) ? 0(3)因为对于任意 t∈R 均有 f(2＋t)＝f(2－t)，所以抛物线对称轴为 x＝2，又抛物线开口 向上，做出函数图象简图可得 f(2)＜f(1)＜f(4)． 例 4 已知函数 f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧， 求实数 m 的范围． 解：当 m＝0 时，f(x)＝－3x＋1，其图象与 x 轴的交点为 ( ,0 ) ，符合题意； 当 m＜0 时，注意到 f(0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与 x 轴的两个交点必在原 点两侧．所以 m＜0 符合题意； 当 m＞0 时，注意到 f(0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与 x 轴的两个交点必在原1 3?? ? (m ? 3) ? 4m ? 0, 点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则 ? b 3? m ? ? ? 0, ? 2a 2m2解得 0＜m≤1．综上，m∈(－∞，1]．【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式， 二次曲线都应着重去理解、掌握． 例 2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思 想在函数问题的解决中被普遍使用． 例 5 (1)当 a≠0 时，函数 y＝ax＋b 与 y＝bax 的图象只可能是( )(2)函数 y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx 的图象分别是图中的①、②、③、④， 则 a，b，c，d 的大小关系是______． 【分析】(1)在选项(A)中，由 y＝ax＋b 图象可知 a＜0，b＞1， 所以 ba＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)， 所以 y＝bax＝(ba)x 应为减函数． 在选项(B)中，由 y＝ax＋b 图象可知 a＞0，b＞1， 所以 ba＞b0＝1，所以 y＝bax＝(ba)x 应为增函数． 在选项(C)中，由 y＝ax＋b 图象可知 a＞0，0＜b＜1， 所以 ba＜b0＝1，所以 y＝bax＝(ba)x 应为减函数．与图形提供的信息相符． 在选项(D)中，由 y＝ax＋b 图象可知 a＜0，0＜b＜1， 所以 ba＞b0＝1，所以 y＝bax＝(ba)x 应为增函数．综上，选 C．(2)如图，作直线 y＝1 与函数 y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx 的图象 依次交于 A，B，C，D 四点，则 A，B，C，D 四点的横坐标分别为 a，b，c，d， 显然，c＜d＜a＜b．【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用． 这里， 对基本初等函数图象的熟悉是前提， 对图象的形态的进一步研究与关注是解决深 层问题要重点学习的，例 4 中“注意到 f(0)＝1” ，例 5 中“作直线 y＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线 y＝1” ． 例 6 已知幂函数 f ( x) ? x 23 1 ?k ? k 2 2(k ? Z) ．(1)若 f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求 k 的取值范围． 解：(1)因为 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以 因为 k∈Z，所以 k＝0，1，2， 又因为 f(x)为偶函数，所以 k＝1，f(x)＝x2． (2)因为 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以 解得 k＜－1，或 k＞3(k∈Z)． 例 7 比较下列各小题中各数的大小 (1) log 2 0.6,0, log 0.633 1 ? k ? k 2 ? 0 ，解得－1＜k＜3， 2 23 1 ? k ? k2 ? 0， 2 21 ；(2)lg2 与 lg(x2－x＋3)；(3)0.50.2 与 0.20.5； 211 2 1 － － (4) 2与 3 ；(5) ( ) 3 , , log1 ；(6)am＋a m 与 an＋a n(a＞0，a≠1，m＞n＞0) 2 3 2 3【分析】(1)函数 y＝log2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以 log20.6＜log21＝0， 函数 y＝log0.6x 在区间(0，＋∞)上是减函数，所以 log 0.6 所以 log 2 0.6 ? 0 ? log 0.621 ? log 0.6 1 ? 0 21 . 22(2)由于 x ? x ? 3 ? ( x ? ) ?1 211 ? 2 ，所以 lg2＜lg(x2－x＋3)． 4(3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5． (4)因为 ( 2 )6 ? 8, (3 3)6 ? 9 .根据不等式的性质有 2 ? 3 3.1 8 1 8 3 1 2 , 所 ( )3 ? ( 以 ) , 即( ) 3 ? ; (5)因为 ? 2 27 2 27 2 3比较1112 与 log32，只需比较 log3 3 3 与 log32， 322因为 y＝log3x 是增函数，所以只需比较 3 3 与 2 的大小， 因为 (3 ) ? 9 ? 8 ? 2 ，所以 3 ? 2 ，所以312 3 32 32 ? log 3 2 ， 31 2 综上， ( ) 3 ? ? log3 2. 2 3(6) a ? am ?m? (a n ? a ? n ) ?1 am?n(a m ? a n )( a m ? n ? 1) ，当 a＞1 时，因为 m＞n＞0，am＞an，am n＞1，所以 am＋a m＞an＋a n； ＋ － － 当 0＜a＜1 时，因为 m＞n＞0，am＜an，am n＜1，所以 am＋a m＞an＋a n． － － 综上，am＋a m＞an＋a n． 例 8 已知 a＞2，b＞2，比较 a＋b，ab 的大小． 【分析】方法一(作商比较法)＋－－a?b 1 1 1 1 1 1 a?b ? ? ，又 a＞2，b＞2，所以 ? , ? ，所以 ? 1 ，所以 a＋b＜ab． ab a b a 2 b 2 ab方法二(作差比较法)a ? b ? ab ?1 1 1 (2a ? 2b ? 2ab ) ? [( 2a ? ab ) ? (2b ? ab )] ? [a(2 ? b) ? b(2 ? a)] ， 2 2 2因为 a＞2，b＞2，所以 2－a＜0，2－b＜0，所以 a＋b－ab＜0，即 a＋b＜ab． 方法三(构造函数) 令 y＝f(a)＝a＋b－ab＝(1－b)a＋b，将 y 看作是关于 a 的一次函数， 因为 1－b＜0，所以此函数为减函数，又 a∈(2，＋∞)， y 最大＜f(2)＝(1－b)?2＋b＝2－b＜0，所以 a＋b－ab＜0，即 a＋b＜ab． 【评析】两个数比较大小的基本思路： 如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法” ，如例 8 的方 法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例 7(1)(2)(3)，例 8 的方法三)． 如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比 较，也可以考虑借助中间量来比较(如例 7(4)(5)(6))． 例 9 若 log2(x－1)＜2，则 x 的取值范围是______． 解：log2(x－1)＜2，即 log2(x－1)＜log24， 根据函数 y＝log2x 的单调性，可得 x－1＜4，所以 x＜5， 结合 x－1＞0，所以 x 的取值范围是 1＜x＜5． 例 10 已知 A，B 为函数 y＝log8x 的图象上两点，分别过 A，B 作 y 轴的平行线与函数 y＝log2x 的图象交于 C，D 两点． (1)如果 A，B 两点的连线经过原点 O，请问 C，D，O 三点也共线么?证明你的结论． (2)当 A，B，O 三点共线并且 BC 与 x 轴平行时，求 A 点的坐标． 略解：(1)设 A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，log8 x1 log8 x2 x1 ? x2 ?①. log 8 x1 log x , 又设 C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，于是有 kOC ? x2 1 ? x1 log8 2 1 log 2 x1 log 8 x2 同样可得 kOD ? x1 ? x2 log8 2 ,由于 A，B，O 在同一条直线上，所以 结合①式，有 kOC＝kOD，即 C，D，O 三点共线． (2)当 BC∥x 轴时，即 log8 x2 ? log2 x1 ? log8 x1 , 于 x2 ? x1 . 是3 3代入①式中可得 x1 ? 3 ，于是 A( 3, log8 3). 练习 2－3 一、选择题 1．已知集合 M＝{－1，1}， N ? {x ? Z |1 ? 2 x ?1 ? 4} ，则 M∩N＝( 2)(A){－1，1}(B){－1}(C){0}(D){－1，0} )2．设 ? ? {?1,1, ,3}，则使函数 y＝x??的定义域为 R 且为奇函数的所有??的值为( (A)1，3 (B)－1，1 (C)－1，3 (D)－1，1，3 3．已知 0＜a＜1，logam＜logan＜0，则( ) (A)1＜n＜m (B)1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D)n＜m＜1 2 4．已知函数 f(x)＝ax ＋2ax＋4(0＜a＜3)，若 x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则( ) (A)f(x1)＞f(x2) (B)f(x1)＜f(x2) (C)f(x1)＝f(x2) (D)f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 二、填空题 5．1 2log8 9 的值是______． log2 36．若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的反函数，其图象经过点 ( a , a) ，则 f(x)＝ ______．?e x , x ? 0. 1 g ( x) ? ? 7．设 则 g (g ( )) ＝______． 2 ?ln x, x ? 0.8．对于函数 f(x)定义域中任意的 x1，x2(x1≠x2)，有如下结论： ①f(x1＋x2)＝f(x1)?f(x2)；②f(x1?x2)＝f(x1)＋f(x2)； ③x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ；④ f ( 1 2 ) ? 2 2 x1 ? x2当 f(x)＝lgx 时，上述结论中正确结论的序号是______． 三、解答题 9．计算下列各式的值： (1) [(?2) ] ? (?1) ；0 1 6 2(2) 102 ? lg5 2；1 27 10 ? ?2 (3) (2 ) 2 ? (2 ) 3 ? 0.1 ； 9 2711(4) log5 35 ? 2 log2 ? log5 7 ? 5 log5 3 .10．二次函数 f(x)的顶点是 P(4，3)，图象交 x 轴于 A，B 两点，且三角形 PAB 的面积为 6， 求 f(x)的解析式．11．已知函数 f(x)是函数 g(x)＝ax 的反函数，且(－1，2)在 y＝g(x)的图象上． (1)求 f(x)的表达式； (2)若｜f(m)｜＝｜f(4)｜(m＞0)，求 m 的值．§2－4函数的图象在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此， 快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函 数问题及其他相关问题的一种重要方法． 【知识要点】 作函数图象最基本的方法是列表描点作图法． 常用的函数图象变换有： 1．平移变换 y＝f(x＋a)：将 y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位可得． y＝f(x)＋a：将 y＝f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜个单位可得． 2．对称变换 y＝－f(x)：作 y＝f(x)关于 x 轴的对称图形可得． y＝f(－x)：作 y＝f(x)关于 y 轴的对称图形可得． 3．翻折变换 y＝｜f(x)｜：将 y＝f(x)的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴的上方，其他部分不 变即得． y＝f(｜x｜)：此偶函数的图象关于 y 轴对称，且当 x≥0 时图象与 y＝f(x)的图象重合． 【复习要求】 1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象． 2．能够对已知函数 y＝f(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象． 3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用 数形结合的思想解决一些与函数有关的问题． 【例题分析】 例 1 做出下列函数的图象： ＋ (1)y＝log2(x＋1)；(2)y＝2x 1－1． 答：(1)将 y＝logx 的图象左移 1 个单位，得到函数 y＝log(x＋1)的图象； ＋ ＋ (2)将 y＝2x 的图象左移 1 个单位，得到函数 y＝2x 1 的图象，再将 y＝2x 1 的图象向下平 ＋ 移一个单位得到函数 y＝2x 1－1 的图象．例 2 作函数 y ?1 的图象． | x | ?1【分析】方法一(描点法) 分析函数的性质，得 定义域：x≠±1；当｜x｜＞1 时，y＞0； 当 0≤｜x｜＜1 时，－1≤｜x｜－1＜0，所以 y≤－1． 与坐标轴的交点：(0，－1)； 对称性：偶函数，关于 y 轴对称； 单调性：当 x＞1 时， y ?1 是减函数； x ?1用同样的方法可得[0，1)为函数的减区间；(－∞，－1)，(－1，0)为函数的增区间．结 合上面的分析，经过简单的描点作图可得如右图所示的函数图象． 方法二(函数图象变换法) 先作函数 y ?1 1 1 的图象，再作 y ? 的图象，再作 y ? 的图象．如下图： x ?1 x | x | ?1【评析】 作函数图象之前， 先对函数的性质作些研究是必要的， 它可以简化作图过程． 比 如在明确本题函数为偶函数之后，就只需做出 y ?1 ( x ? 0, x ? 1) 的图象了． ? x ?1函数图象是函数规律的直接表现， 函数性质对函数规律进行了理论上的刻画， 两者之间 是具体与抽象的两方面，它们相互支撑，是学习、研究函数的两个入手点． 对于方法二，有些学生用这种方法易出现的错误是：先作函数 y ?1 的图象，再作 xy?1 1 的图象，再作 y ? 的图象． |x| | x | ?1在这个过程中，由 y ?1 1 变到 y ? 时，误以为应遵循 y＝f(x)变化到 y＝f(x－1) |x| | x | ?1的规律．事实上，若 f ( x) ?1 1 1 ? ，则 f ( x ? 1) ? ，直接变换得不到要得的 ? | x ? 1 | | x | ?1 |x|函数图象． 例 3 若 a＞1，－1＜b＜0，则函数 y＝ax＋b 的图象一定不过 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 x 【分析】将 y＝a (a＞1)图象向下平移｜b｜个单位(0＜｜b｜＜1)，依图象可知函数 y＝ x a ＋b 的图象一定不过第四象限．选 D． 例 4 已知 f(x)＝｜2x－1｜，且 a＜b＜c＜0，则 f(a)、f(b)、f(c)的大小关系为______． 【分析】先画 y＝2x 的图象；然后将图象下移一个单位得到 y＝2x－1 的图象；最后将 x 轴下方的图象对称翻折到 x 轴上方，原 x 轴上方的图象不变，就得到了 f(x)＝｜2x－1｜的图 象． 函数 f(x)的图象如图所示．所以 f(x)在(－∞，0]是减函数， 所以，a＜b＜c＜0 所以 f(a)＞f(b)＞f(c)． 例 5 函数 y＝－xcosx 的部分图象是()【分析】对于函数 f(x)＝－xcosx，x∈R， f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcosx＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数，否定(A)(C)选项． 又，当 x ? (0, ) 时，f(x)＜0， 所以 f(x)在原点右侧附近时值为负，否定(B)选项．于是选(D)． 例 6 已知函数 f(x)是定义在(－3，3)上的偶函数，当 0≤x＜3 时，f(x)的图象如图所示， 那么不等式解集是______．π 2【分析】根据偶函数图象关于 y 轴对称，补全函数 f(x)在(－3，3)上的图象． 解不等式 f(x)≤0，就是“找到”使得 f(x)≤0 的所有的 x，就是在函数 y＝f(x)的图象上 找到使得纵坐标小于或等于零的所有自变量． 根据补全的 f(x)图象，识图可得不等式 f(x)≤0 解集为{x｜－3＜x≤－1 或 1≤x＜3}． 思考：如果问“不等式 xf(x)＜0 解集是______． ”该怎样利用已知函数的图象呢? 答：{x｜－1＜x＜0 或 1＜x＜3}． 例 7 在某种金属材料的耐高温实验中， 温度随着时间变化的情况由微机记录后显示出 的图象如图所示，给出下列说法： ①前 5 分钟温度增加的速度越来越快； ②前 5 分钟温度增加的速度越来越慢； ③5 分钟后温度保持匀速增加；④5 分钟后温度保持不变． 其中说法正确的是______．【分析】5 分钟后温度保持不变，这一点通过图象易于判断． 前 5 分钟的情况， 通过图象可以看到每分钟的变化率越来越小， 于是变化速度是越来越 慢的．所以②④正确． 例 8 已知函数 f ( x) ? 对称图形． 证明： P(x0， 0)是函数 y ? f ( x ) ? 设 y2x ? 1 ( x ? 1) ，求证：函数 y＝f(x)的图象关于点(1，2)成中心 ? x ?12x ? 1 2x ?1 ( x ? 1) 的图象上任意一点， y0 ? 0 则 ? x ?1 x0 ? 1( x0 ? 1) ，设 P(x0，y0)关于(1，2)的对称点为 Q(x1，y1)， ?? x0 ? x1 ? x1 ? 2 ? x0, ? 2 ? 1, 根据中点坐标公式得 ? 解 ? 得 ? y1 ? 4 ? y0 , ? y0 ? y1 ? 2, ? 2以下只需证明 Q(x1，y1)也在函数 y＝f(x)的图象上． 因为 f ( x1 ) ?2 x1 ? 1 2(2 ? x0 ) ? 1 3 ? 2 x0 ? ? , 1? x0 x1 ? 1 (2 ? x0 ) ? 1 2 x0 ? 1 2 x0 ? 3 ? , 所以 y1＝f(x1)，即 Q(x1，y1)在函数 y＝f(x)的图 x0 ? 1 x0 ? 1而 y1 ? 4 ? y0 ? 4 ?象上．所以函数 y＝f(x)的图象关于点(1，2)成中心对称图形． 练习 2－4 一、选择题 1．将指数函数 f(x)的图象向右平移一个单位，得到如图的 g(x)的图象，则 f(x)＝()(A)2x (C) ( )(B)3xx1 2(D) ( )1 3x2．已知 a＞0，a≠1，函数 y＝ax，y＝loga(－x)的图象是下面的()3．已知 f(x)＝｜log3x｜，则下列不等式成立的是()1 (A) f ( ) ? f (2) 24．函数 y ?1 (B) f ( ) ? f (3) 3)(C) f ( ) ? f ( )1 41 3(D)f(2)＞f(3)e x ? e? x 的图象大致为( e x ? e?x二、填空题 5．如下图据新华社 2002 年 3 月 12 日电，1985 年到 2000 年间，我国农村人均居住面积如 图所示，其中，从______年到______年的五年间增长最快．6．函数 y＝lg(－x)＋1 的图象是由 y＝lgx 的图象____________得到的．? x ? 1, x ? ?2, ? 7．在函数 f(x)＝lg(1＋x )， g ( x) ? x ， h( x) ? ?0,?2 ? x ? 2, 中，图象关于 y 轴对称的是 ?? x ? 1, x ? 2, ?21 2______． 8．已知函数 f ( x) ? ??(3a ? 2) x ? 6a ? 1 x ? 1x ?a x ? 1在(－∞，＋∞)上单调递减，那么实数 a 的取值范围是______. 三、解答题 9．作出函数 y ? x ?|x| 的图象． x10．设函数 f(x)＝－4x＋b，且不等式｜f(x)｜＜k 的解集为{x｜－1＜x＜2}． (1)求 b，k 的值； (2)证明：函数 ? ( x ) ?1 4x 的图象关于点 p ( ,?1) 对称． 2 f ( x)11．已知函数 f ( x ) ?1? x ，求证： 1? x(1)函数 y＝f(x)的图象关于直线 y＝x 成轴对称图形； (2)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于 x 轴．§2－5函数的最值最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题， 也是高中数学中最重要的问题之 一．函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起． 函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的． 【知识要点】 本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用． 1．基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题．解决这类问题的方法是：作出函 数图象，观察单调性，求出最值(或值域)． 2．一些简单的复合函数的最值问题．解决这类问题的方法通常有： (1)通过作出函数图象变成第 1 类问题； (2)通过换元法转化成第 1 类问题； (3)利用平均值定理求最值； (4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值．其中讨论单调性的方法可以用单调性定 义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)； (5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等． 【复习要求】 从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路． 【例题分析】 例 1 求下列函数在给定区间上的值域． (1)y＝2x－1，x∈[－2，3)； (2)y＝x2－2x，x∈(－2，2)； (3) y ? sin x, x ? (?π 2π , ). 6 3【分析】分别画出三个函数的图象，看在给定区间内图象上点的纵坐标的范围．根据上面的简图，观察得出： (1)函数的值域为[－5，5)； (2)函数的值域为[－1，8)； (3)函数的值域为 (? ,1]. 例 2 求下列函数的最值． (1)求函数 y＝2|x|，x∈[－2，1]的最大、最小值； (2)求函数 y＝sin2x－2sinx－3 的最大、最小值； (3)求函数 y ?1 2? x 2 ? x ? 2 的最大、最小值；2(4)求函数 y ? log1 (? x2 ? x ? 2) 的最小值； (5)求函数 y ? x ?3 ( x ? 0) 的最小值． x｜ ｜略解：(1)利用图象变换的知识作出函数 y＝2 x 的图象(如下图)，观察在区间[－2，1] 上函数值的取值情况，得函数的最大值为 4，最小值为 1．(2)设 t＝sinx，因为 x∈R，所以 t∈[－1，1]，于是，原函数最大最小值问题转化为求函 数 y＝t2－2t－3，t∈[－1，1]的最大最小值问题．用例 1 作图观察的方法，可得最大值为 0， 最小值为－4． (3)解－x2＋x＋2≥0 可得－1≤x≤2，即函数的定义域为{x｜－1≤x≤2}． 设 t＝－x2＋x＋2，则 y＝ t ， 由 t＝－x2＋x＋2，－1≤x≤2，可得 0 ? t ? 由 y＝ t ， 0 ? t ? 所以，函数 y ?9 ， 49 3 ，可得 0 ? y ? . 2 43 ? x 2 ? x ? 2 的最大值为 ，最小值为 0． 2(4)解－x2＋x＋2＞0 可得－1＜x＜2，即函数的定义域为{x｜－1＜x＜2}． 设 t＝－x2＋x＋2，则 y ? log 1 t ,2由 t＝－x2＋x＋2，－1＜x＜2，可得 0 ? t ? 由 y ? log1 t , ， 0 ? t ?29 ， 49 9 ，可得 y ? log 1 . 2 4 42所以，函数 y ? log1 (? x ? x ? 2) 的最小值为 log1229 ? 2 ? 2 log2 3 ． 4(5)因为 x＞0，所以 x ? 所以，函数 y ? x ?3 3 3 ? 2 x ? ? 2 3 ，当且仅当 x ? 即 x ? 3 时等号成立． x x x3 ( x ? 0) 的最小值为 2 3 . x 3 例 3 求函数 f ( x) ? x ? ( x ? [1,4]) 的最大、最小值． x 【分析】设 x2＞x1＞0，则 ? x＝x2－x1＞0，?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ?3 3 3 3 ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? x1 ) ? ( ? ) x2 x1 x2 x1? ( x2 ? x1 ) ?3( x1 ? x2 ) 3 x x ?3 ? ( x2 ? x1 )(1 ? ) ? ( x2 ? x1 )( 1 2 ). x1 x2 x1 x2 x1x2因为 x2－x1＞0，x1x2＞0， 所以，只需分析 x1x2－3 的符号． 观察上式可知，只有当 x1，x2∈[ 3 ，＋∞)时，才能保证当 x1，x2 在区间[ 3 ，＋∞) 内任意取值时 x1x2－3＞0；同时，只有当 x1，x2∈(0， 3 ]时，才能保证当 x1，x2 在区间(0，3 ]内任意取值时 x1x2－3＜0．所以，函数 y ? x ?3 在区间(0， 3 ]上是减函数，在区间[ 3 ，＋∞)上是增函数． x所以，函数的最小值为 f( 3 )＝2 3 ．3 3 ，f'(4)＞f(1)，所以函数的最大值为 f (4) ? 4 . 4 4 3 综上，函数的最大、最小值分别为 4 ,2 3. 4又 f ' (1) ? 4, f (4) ? 4 另外，本题更适合用导数研究函数的单调性，进而求函数的最大、最小值． 由已知 f ( x) ? 1 ?3 x2 ? 3 ? ，解 f'(x)＞0 得 x ? 3. 或 x ? ? 3 ， x2 x2注意到定义域为{x｜x≠0}，可得 f(x)的单调递增区间为 (??,? 3),( 3,??) ，单调递 减区间为 (? 3,0),(0, 3) ．之后的解法同上． 【评析】请认真体会在知识要点中提到的求值域的方法在例 1 例 2 例 3 中的具体应用． 最简单也重要的是会利用基本函数的图象观察得到函数在特定区间的函数的值域， 如例 1；利用图象变换得到图象进而观察得到函数在特定区间的函数的值域，如例 2(1)． “换元法” 求值域无非是通过换元， 将复合函数的值域问题变成两个基本初等函数的值 域问题，如例 2(2)、(3)、(4)； 例 3 通过讨论函数的单调性，进而求函数的最大最小值，这是解决函数最值问题的实 质性方法．前面用到的其他方法无非是我们知道函数的图象，可以观察函数的单调性，不需 要自己讨论而已．当然，有了导数的知识之后研究函数的单调性将更为便捷． 例 2 (5)利用均值定理求函数的最值， 这种方法可以解决一些解析式为特殊形式的函数 最值问题．如 y＝ ax ? y＝uv 的最值，等等． 用均值定理求最值要注意条件： “正” “定” “等” ．如利用 a ? b ? 2 ab 求最值应满足： ①a＞0，b＞0；②a＋b 或 ab 为定值；③a＝b 可以成立．三个条件缺一不可． 例 4 下列函数中值域为(0，＋∞)的是( ) (A) y ?b (其中 a，b 同号)；uv＝常数，求 y＝u＋v 的最值；u＋v＝常数，求 xx(B) y ? x ? (D) y ? ( )1 ( x ? 0) x1? x(C) y ? ln x, x ?[e,??) 解：根据幂函数的图象， y ? 根据均值定理， y ? x ?1 2x 的值域为[0，＋∞)；1 ( x ? 0) 的值域为[2，＋∞)； xy＝lnx，x∈[e，＋∞)的值域为[1，＋∞)；1 1? x 2x x ?1 因为 y ? ( ) ? 2 ? ，所以值域为(0，＋∞)．选 D． 2 21 ，则 a 的值为______． 2 1 3 1 0 以 解：当 a＞1 时，函数 y＝ax 在[0，1]上是增函数，依题意 a ? a ? , 所 a ? ． 2 2 1 1 0 1 以 当 0＜a＜1 时，函数 y＝ax 在[0，1]上是减函数，依题意 a ? a ? , 所 a ? ． 2 2 1 3 综上，a 的值为 或 ． 2 2例 5 函数 y＝ax 在[0，1]上的最大值与最小值之差为 例 6 建一个容积为 8 立方米、深为 2 米的长方体无盖水池，如果池底造价是 120 元／ 平方米，池壁的造价是 80 元／平方米，求当池底宽为多少米的时候水池的总造价最低，并 求出最低造价是多少．解：设 BC＝x(米)，则 AB ?4 (米)，其中 x＞0， x所以底面积为 4 平方米，造价为 120?4＝480(元)． 左、右两侧面造价为 80?2?2x＝320x(元)， 前、后两侧面造价为 80 ? 2 ? ( ? 2) ? 所以 y ? 480? 320x ? 当且仅当 320 x ?4 x1280 (元)． x ? 480? 2 320x ? ? 1760 元) . ( x x1280 ，即 x＝2(米)时等号成立， x所以，当池底宽为 2 米的时候水池的总造价最低． 【评析】例 4、5、6 是函数最值问题的直接应用，注意体会求最值方法的简单应用． 例 7 已知 f(x)＝loga(1＋x)(其中 a＞1)，且在区间[1，＋∞)上 f(x)＞2 恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：因为 loga(1＋x)＞2 在[1，＋∞)上恒成立． 所以 loga(1＋x)＞logaa2 在[1，＋∞)上恒成立， 因为 a＞1，所以 a2＜1＋x 在[1，＋∞)上恒成立． 所以 a2＜2(注：因为 a2 应小于 1＋x 在[1，＋∞)上的最小值．) 即? 2 ? a ?2 ，结合 a＞1，得 1 ? a ? 2 ．所以 a 的取值范围是 {a | 1 ? a ? 2} ． 例 8 定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x，都有 f(x)≥M(M 为常数)，那么称 M 为 f(x)的下界，下界 M 中的最大值叫做 f(x)的下确界．现给出下列函数： ①f(x)＝cosx；②f(x)＝lnx；③f(x)＝3x；④ f ( x) ? ?? x, x ? 0, ?? 1, x ? 0其中有下确界的函数是____________． 略解： ①因为函数 f(x)＝cosx 的值域为[－1， 即 f(x)≥－1， 1]， 所以下界 M 的集合为{M｜ M≤－1}，所以 M 中的最大值为－1，有下确界． ②因为函数 f(x)＝lnx 的值域为 R，不存在 M，使得对于函数 f(x)定义域内的任意 x，都 有 f(x)≥M，所以这个函数没有下确界． ③因为函数 f(x)＝3x 的值域为(0，＋∞)，即 f(x)＞0，所以下界 M 的集合为{M｜M≤0}， 所以 M 中的最大值为 0，有下确界． ④因为函数 f ( x) ? ? 下确界．? x, x ? 0, 的值域为{－1}∪(0，＋∞)，所以 f(x)≥－1，同①，有 ?? 1, x ? 0,所以，填①③④． 【评析】例 7、8 是最值问题较灵活的应用． 例 7 中的“恒成立”问题往往和“最值”问题联系在一起，而且常常用到“分离变量” 这一变形方法． 在此题中， 2＜1＋x 在[1，＋∞)上恒成立． “a ”就是最终的“分离变量”的形式． 2 应 “a 小于 1＋x 在[1，＋∞)上的最小值． ”就是在将恒成立的问题转化成了最值的问题． 例 9 有甲、 乙两种商品， 经营这两种商品所能获得的利润分别记为 p(万元)和 q(万元)， 它们与投入的资金 M(万元)的关系近似满足下列公式： P ?1 3 M ,q ? M 现有 a(a＞0)万 5 5元资金投入经营这两种商品，为获得最大的利润，应对这两种商品分别投入资金多少万元? 获得的最大利润是多少万元? 解：设对乙种商品投资 x 万元，总利润为 y 万元，则对甲种商品投资(a－x)万元．依题 意，得 y ? 设t ?1 3 (a ? x) ? x (0 ? x ? a ) ： 5 5x ，则 x ? t 2 (0 ? t ? a )1 3 1 3 a 9 (a ? t 2 ) ? t ? ? (t ? ) 2 ? ? ，其中 0 ? t ? a . 5 5 5 2 5 20 3 9 3 9 a 9 ①当 a ? 即 a ? 时， ymax ? ? 此时 t ? 即 x ? ; 5 20 2 4 4 2 3 9 3 3 此时 t ? a 即 x＝a． ②当 a ? ，即 0 ? a ? 时， y max ? 5 2 4 9 9 9 所以当 a ? 时，应对乙种商品投资 万元，对甲种商品投资 ( a ? ) 万元，可获得最 4 4 4 4 a 9 ) 万元； 0 ? a ? 时， 大利润 ( ? 当 应对乙种商品投资 a 万元， 不对甲种商品进行投资， 5 20 9 3 a 万元． 可获得最大利润 5所以 y ? 例 10 已知函数 f(x)＝－x2＋3x＋1，x∈[m，m＋1]． (1)求 f(x)的最大值 g(m)； (2)当 m≥1，求 g(m)的最大值．3 1 ，即 m ? 时，g(m)＝f(m＋1)＝－m2＋m＋3； 2 2 3 3 1 3 3 13 当 m ? 1 ? , m ? 时，即 ? m ? 时， g (m) ? f ( ) ? ； 2 2 2 2 2 4解：(1)当 m ? 1 ?1 ? ? m 2 ? m ? 3, m ? , ? 2 ? 13 1 3 3 ? ?m? , m ? 时，g(m)＝f(m)＝－m2＋3m＋1．所以， g (m) ? ? , 2 2 2 ?4 3 ? 2 ?? m ? 3m ? 1, m ? 2 ?(2)当 1 ? m ?3 13 3 13 时， g ( m ) ? ，当 m ? 时，g(m)＝－m2＋3m＋1 的最大值为 ， 2 4 2 4综上，当 m≥1，g(m)的最大值为13 . 4练习 2－5一、选择题 1．下列函数中值域为(0，＋∞)的是( (A) y ?) (C) y ? ( )1 x2(B) y ? log1 x31 31x(D) y ? x 3 ) (D)－1＜a＜12．函数 y＝－x ＋2ax＋1 的最大值小于 2，则 a 的取值范围是( (A)a＜1 (B)a＞－1 (C)a＜22 3．函数 y ? x ? (x＞0)取得最大值时的自变量 x 等于( x(A) 2 (B) 2 2 (C)1) (D)34． 对于 f(x)定义域内的任意一个自变量 x1， 都存在唯一一个自变量 x2 使 立的函数是( (A)f(x)＝3lnx ) (B) f ( x ) ? x ? x ?2f ( x1) f ( x2 ) ? 3 成1 2(C)f(x)＝ex (D)y＝2x 二、填空题 5．已知 f(x)是定义在[－2，0)∪(0，2]上的奇函数，当 x＞0 时，f(x)的图象如图所示，那么 f(x)的值域是______．6．设 A＝[1，b](b＞1)，函数 f(x)＝1 (x－1)2＋1(x∈A)，若 f(x)的值域也是 A，则 b 的值是 2______． 7．已知函数 f(x)＝x2－5x＋10，当 x∈(n，n＋1](n＝1，2，3，?)时，函数 f(x)的值域为区间 Dn， 若将 Dn 中整数的个数记为 g(n)， g(1)的值等于______； 则 函数 g(n)的解析式为______． 8．设函数 f ( x) ?ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D，若所有点(s，f(t))(s，t∈D)构成一个正方形区域，则 a 的值为______． 三、解答题 9．设函数 f(x)＝log2x＋log2(1－x)，求 f(x)的定义域及 f(x)的最大值．10．渔场中鱼群的最大养殖量为 m，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量 x 小于 m，以便 留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量 y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与 最大养殖量的比例)的乘积成正比，比例系数为 k(k＞0)． (1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值； (3)当鱼群年增长量达到最大时，求 k 的取值范围．11．已知 f(x)＝loga(a－kax)，(0＜a＜1，k∈R)． (1)当 k＝1 时，求函数 f(x)的定义域； (2)且 f(x)在[1，＋∞)内总有意义，求 k 的取值范围．§2－6函数与方程【知识要点】 1．如果函数 y＝f(x)在实数 a 处的值等于零，即 f(a)＝0，则 a 叫做这个函数的零点． 函数零点的几何意义：如果 a 是函数 y＝f(x)的零点，则点(a，0)一定在这个函数的函数 图象上，即这个函数与 x 轴的交点为(a，0)． 2．零点的判定 如果函数 y＝f(x)在区间[a， b]上的图象是不间断的， 而且 f(a)f(b)， 则这个函数在区间[a， b]上至少有一个零点．这也是二分法的依据． 注意： 上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件． 这种判定零点方法主要适用 于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下． 如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应 的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点． 3．用二分法求函数 y＝f(x)，x∈D 零点的一般步骤为： 第一步、确定初始区间，即在 D 内取一个闭区间[a，b]，使得 f(a)f(b)＜0； 第二步、求中点及其对应的函数值， 即求 x ?1 (a ? b) ＜0 以及 f(x)的值，如果 f(x)＝0， 2则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间； 第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若 相等，则计算终止，否则重复第二步． 【复习要求】 1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存 在性及根的个数． 2、能够用二分法求相应方程的近似解． 【例题分析】 例 1 求函数 f(x)＝x(x－2)(x－3)的零点，作出其图象的草图，并解不等式 f(x)＞0．【分析】求函数零点只需求解方程 f(x)＝0 即可．知道函数的零点之后，就知道了这个 函数的图象与 x 轴的交点坐标，再通过简单的描点作出图象的草图． 然后由草图可以得出不 等式 f(x)＞0 的解集． 解：令 f(x)＝0，即 x(x－2)(x－3)＝0，可得 x＝0，或 x＝2，或 x＝3．因此，所求函数 的零点是 0，2，3． 列表，描点作图： x f(x) －1 －12 0 0 1 2 2 0 2.5 －0.625 3 0 5 30由此可知，f(x)＞0 的解集为(0，2)∪(3，＋∞)． 【评析】如果已经知道一个函数 y＝f(x)的所有的零点，我们就能够画出这个函数的图 象与 x 轴的交点．然后再通过描点作图，可作出这个函数的大致图象，从而可以求出 f(x)＞ 0 以及 f(x)＜0 等不等式的解． 因此，我们可以借助一个函数的零点去研究这个函数的一些性质．例如，我们就曾通过 研究一个函数导函数的零点及导函数值的正负进而研究这个函数的单调性，最值等等． 例 2 求函数 f ( x) ? x ? 解：因为 f ( x) ? x ?2 ? 3( x ? 0) 的零点． x2 x 2 ? 3x ? 2 ?3 ? ， x xx 2 ? 3x ? 2 ? 0 ，即 x2－3x＋2＝0， 令 f(x)＝0，即 x解得 x1＝1，x2＝2，所以函数 f ( x) ? x ?2 ? 3( x ? 0) 的零点是 1，2． x例 3 若函数 f(x)的图象在[a，b]上是不间断的，且有 f(a)f(b)＞0，则函数 f(x)在[a，b] 上( ) A．一定没有零点 B．至少有一个零点 C．只有一个零点 D．零点情况不确定 【分析】如图所示，满足题目条件的函数图象与 x 轴的交点情况是不确定的，因此选择 D．【评析】 由二分法的依据可知函数在一定区间内零点存在性的一种判断方法， 即如果函 数 y＝f(x)在区间[a，b]上满足以下两个条件： ①函数图象是连续不断的一条曲线； ②f(a)f(b)＜0． 那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就 是方程 f(x)＝0 的根． 在判断函数零点存在与否或判断函数零点个数的问题中应注意以下几点： (1)函数图象必须是一条不间断的曲线，图象有间断则结论不一定成立； (2)条件①与②必须同时满足； (3)满足条件①②时，只能得出 y＝f(x)的零点存在，但并不能得出零点个数的多少； (4)当 f(a)f(b)＞0 时，并不能说明函数 f(x)在(a，b)内无零点； (5)若函数 f(x)在[a，b]上是单调函数，同时满足条件①②，则零点存在且唯一． 上述五点注意事项同学们可以结合函数图象的简图来理解． 数形结合的思路在本节内容 的学习过程中经常运用． 例 3 以下区间中，一定存在函数 f(x)＝x3＋3x－3 的零点的是( ) A．[－1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[2，3] 3 【分析】显然，f(x)＝x ＋3x－3 的图象是不间断的，因此要保证区间[a，b]内一定有 f(x) 的零点，只需保证 f(a)f(b)＜0 即可．从而，我们只需算出各个区间端点的函数值，看它们是 否异号即可选出正确答案． 因为 f(－1)＝－7，f(0)＝－3，f(1)＝1，所以 f(0)f(1)＜0．因此函数 f(x)在区间[0，1]上一 定存在零点．选 B． 例 4 以区间[1，2]为计算的初始区间，求函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一个零点(精确到 0．1)． 解：用二分法逐步计算，列表如下： 端点或中点横坐标 a0＝1，b0＝2 计算端点或中点的函数值 f(1)＝－2，f(2)＝6 f(x0)＝0.625＞0 f(x1)＝－0.984＜0 f(x2)＝－0.260＜0 f(x2)＝0.162＞0 [1，2] [1，1.5] [1.25，1.5] [1.375，1.5] [1.375，1.4375] 定区间(1 ? 2) ? 1.5 2 (1 ? 1.5) x1 ? ? 1.25 2 (1.25 ? 1.5) x2 ? ? 1.375 2 (1.375 ? 1.5) x2 ? ? 1. ?由上表可知，区间[1.375，1.4375]的左右端点精确到 0.1 所取的近似值都是 1.4，所以 1.4 就是所求函数在给定精确度情况下的一个零点． 例 5 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c．(1)若 a＞b＞c，且 f(1)＝0，试证明 f(x)必有两个零点； (2)若对 x1，x2∈R 且 x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，方程 f ( x ) ?1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 有两个不等实 2根，证明必有一实根属于(x1，x2)． 证明：(1)因为 f(1)＝0，所以 a＋b＋c＝0，又 a＞b＞c，所以 a＞0，c＜0，即 ac＜0， 所以△＝b2－4ac≥－4ac＞0， 所以方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不等实根，所以函数 f(x)必有两个零点．1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ， 2 1 1 则 g ( x1 ) ? f ( x1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )], 2 2 1 1 g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? [ f ( x2 ) ? f ( x1 )], 2 2 1 2 所以 g ( x1 ) g ( x2 ) ? ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ，因为 f(x1)≠f(x2)，所以 g(x1)g(x2)＜0， 4(2)令 g ( x) ? f ( x) ? 所以 g(x)在区间(x1，x2)上必有一个零点，即方程 g(x)＝0 有一实根属于(x1，x2)， 所以方程 f ( x ) ?1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 必有一实根属于(x1，x2)． 2练习 2－6一、选择题 1． 已知 3 是函数 f(x)＝x3－3x2－x＋3 的零点， 则以下各点中一定在这个函数图象上的是( (A)(－3，0) (B)(3，0) (C)(0，2) (D)(2，0) 2．下列函数图象与 x 轴均有交点，但不易用二分法求交点横坐标的是( ))3．已知－3，0，2 都是函数 f(x)的零点，则不可能是不等式 f(x)＞0 的解集的是( ) (A)(－3，0) (B)(0，2) (C)(－3，2) (D)(2，5) 4．方程 log2(x＋3)＝2x 解的情况是( ) (A)仅有一根 (B)有两个正根 (C)有一个正根和一个负根 (D)有两个负根 二、填空题 5．若函数 f(x)是偶函数，且函数 f(x)有三个零点，则这三个零点之和等于______． 6．函数 f ( x) ? x ?4 的零点是______． x7． 已知函数 f(x)＝x5－5x＋6， 用二分法求这个函数的一个零点时， 可将初始区间取为______． 2 8．若方程 2ax －x－1＝0 在(0，1)内恰有一解，则 a 的取值范围是______． 三、解答题 9．求函数 f(x)＝x(x2＋6x＋8)的零点，作出它的图象的草图，并解不等式 f(x)≤0．10．设函数 f ( x) ? ??2 x ? 2, x ? [1,??), ? x ? 2 x, x ? (??,1)2求函数 f ( x ) ?1 的零点． 411．已知函数 y＝x3 的图象与一次函数 y＝x＋1 的图象有且只有一个交点(x0，y0)． 求证：x0∈[0，2]．习题 2 一、选择题 1．若函数 f(x)在区间[a，b]上为减函数，则 f(x)在[a，b]上( ) (A)至少有一个零点 (B)有一个零点 (C)没有零点 (D)至多有一个零点 2．若 a＝20.5，b＝log?3， c ? log 2sinπ ，则( 5) (C)c＞a＞b (D)b＞c＞a(A)a＞b＞c (B)b＞a＞c 3．设 a＜b，函数的图象可能是( )4．函数 f(x)＝x｜x＋a｜＋b 是奇函数的充要条件是( ) (A)ab＝0 (B)a＋b＝0 (C)a＝b (D)a2＋b2＝0 5．设 a＜c＜b，如果把函数 y＝f(x)的图象被两平行线 x＝a 及 x＝b 所截的一段近似地看作 一条线段，则以下关系式中，f(c)的最佳近似表示式是( )1 [ f (a ) ? f (b)] 2 c?a [ f (b) ? f (a )] C． f (c) ? f (a ) ? b?aA． f (c) ? 二、填空题 6． 2 lg 5 ?B． f (c) ?f (a) f (b)c?a [ f (b) ? f (a )] b?aD． f (c) ? f (a ) ?2 lg 8 等于______． 32 2 27．已知 log 1 b ? log 1 a ? log 1 c ，则 2b，2a，2c 的大小关系为______． 8．已知 f(x)＝x －6x ＋11x－6，而且 f(0)＜0，f(4)＞0，则用二分法可求得这个函数在区间 [0，4]内的零点(精确到 0.1)为______． 9．奇函数 f(x)在[3，7]上是增函数，在[3，6]上的最大值是 8，最小值是－1，则 2f(－6)＋f(－ 3)等于______ 10．对于函数①f(x)＝lg(｜x－2｜＋1)，②f(x)＝(x－2)2，③f(x)＝cos(x＋2)，判断如下两个命3 2题的真假： 命题甲：f(x＋2)是偶函数； 命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是______． 三、解答题 11．计算：log220－log25＋2log32?log43 的值．12．设 a＞1，函数 f(x)＝loga(x＋2)－1． (1)若 f(x)在[0，1]上的最大值与最小值互为相反数，求 a 的值； (2)若 f(x)的图象不经过第二象限，求 a 的取值范围．13．已知 f(x)＝ax2＋5ax＋6a，其中 a 为非零的常数．求这个函数的零点，并确定 f(x)＜0 时 自变量 x 的取值范围． 14． 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体： “在定义域内存在 x0， 使得 f(x0＋1)＝f(x0) ＋f(1)成立” ．1 是否属于集合 M?说明理由； x a ? M ，求 a 的取值范围． (2)设函数 f ( x) ? lg 2 x ?1(1)函数 f ( x) ?专题二一、选择题 1．C 2．B 二、填空题函数参考答案练习 2－13．C4．D 8． f ( x ) ? 2 ? ( )5．(2，－2)， (2, )1 26．{x｜x≤3 且 x≠±2}7．1；21 2x三、解答题 9．答：g(－1)＝－2，g[f(1)]＝g(2)＝4． 10．提示：由 y＝ax2＋c 过 A(0，9)点，得 c＝9．∴y＝ax2＋9． 令 y＝0，得 ?9 9 1 9 ? x 2 ．由已知 36 ? ? ? 49 ．又 a＜0．∴ ? ? a ? ? . a a 4 4911．解：依题意 ①当 0≤t≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角三角形， 所以，此时 y ?1 ? 2t ? 2t ? 2t 2 (cm 2 ) ； 2②当 0＜t≤2 时，重合部分为边长为 2cm 的直角三角形，所以，此时 y ?1 ? 2 ? 2 ? 2(cm 2 ) ； 2③当 2＜t 时，重合部分为直角梯形(如下图)，此时，DQ＝DP＝CP－CD＝2t－4，BD＝2－DP＝2－(2t－4)＝6－2t， 所以，此时 y ?( DQ ? AB ) ? BD ? ?2t 2 ? 8t ? 6(cm 2 ) ； 2?2t 2 (0 ? t ? 1), ? 综上 y ? ?2(1 ? t ? 2), ?? 2t 2 ? 8t ? 6(2 ? t ? 3). ?根据实际情况，当 0＜t≤2 时，重合部分面积最大，最大值为 2．练习 2－2 一、选择题 1．D 2．B 3．A 二、填空题 5．m≤－16，f(1)≥25 三、解答题 4．D 6．－x－x4 7．－1 8．②．9． (1)因为 a＞0， 解： 所以 a ?3 3 ? 2 3 ? 3， 又函数 f(x)是单调减函数， 所以 f (a ? ) ? f (3) a a(2)f(x)是单调减函数，且 f(｜a－1｜)＞f(3)，所以｜a－1｜＜3，－3＜a－1＜3，解得－2 ＜a＜4． 10．解：(1)当 a＝0 时，f(x)＝x2 为偶函数；当 a≠0 时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)设 x2＞x1≥2， f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?21 1 2 ? x2 ? x1 x2x ?x ? 1x x 2 [ x1x2 ( x1 ? x2 ) ? 1] 1 2由 x2＞x1≥2 得 x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0 所以 f(x1)－f(x2)＜0，函数 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数． 11．略解：(1)f(1)＝0；f(4)＝2． (2)设 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1＜x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0， 因为 x2－x1＞0，所以 f(x2)－f(x1)＞0，即 f(x1)＜f(x2)，所以 f(x)在(0，＋∞)上是单调 增函数． (3)因为 f(x)＋f(x－3)≤2，所以 f[x(x－3)]≤2，即 f[x(x－3)]≤f(4)， 又函数 f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，? x( x ? 3) ? 4, ? 所以 ? x ? 0, 解得 3＜x≤4，即 x 的取值范围是 3＜x≤4． ? x ? 3 ? 0, ?练习 2－3 一、选择题 1．B 2．A 二、填空题 5． 3．A 4．B2 36． log1 x27．1 28．②③三、解答题5 ；(4)3 12 3 3 2 2 10． f ( x) ? ? ( x ? 4) ? 3 ? ? x ? 2 x ? 9. 4 49．答：(1)7；(2)40；(3) 102－ 11．解：提示：(1)由已知，a 1＝2，所以 a ?1 ．所以 f ( x) ? log1 x. 2 2(2)由｜f(m)｜＝｜f(4)｜(m＞0)，得 f(m)＝f(4)或 f(m)＝－f(4)，由 f(m)＝f(4)得， log1 m ? log1 4 ，由函数的单调性可得，m＝4．2 2由 f(m)＝－f(4)得， log1 m ? ? log1 4 ? log12 2 21 1 ，由函数的单调性可得， m ? ． 4 4综上，m＝4 或 m ?1 . 4练习 2－4一、选择题 1．A 2．B 二、填空题 5． 8． [ , ). 三、解答题 9．提示： y ? x ?3．C4．A 7．f(x)，h(x)6．关于 y 轴翻折再向 y 轴的正方向平移 1 个单位3 2 8 3| x | ? x ? 1, x ? 0, 图象如下图． ?? x ? x ? 1, x ? 0,10．解：(1）∵f(x)＝－4x＋b，∴｜f(x)｜＜k 可化为｜－4x＋b｜＜k， ∴b?k b?k ?x? , 4 4又｜f(x)｜＜k 的解集为{x｜－1＜x＜2}，?b ? k ? 4 ? ?1, ?b ? 2, ? ∴? 解得 ? ? k ? 6. ? b ? k ? 2. ? 4 ?(2)证明：由(I)知 f(x)＝－4x＋2，∴ ? ( x) ?4x 4x 2x ? ? , f ( x) ? 4 x ? 2 ? 2 x ? 12 x0 ? ? 2 x0 ?1在 ? (x)图象上任取一点 N(x0，y0)，∴ y0 ?设 N(x0，y0)关于 P ( ,?1) 的对称点为 N′，则 N′(1－x0，－2－y0)．1 2因为 ? (1 ? x0 ) ?2(1 ? x0 ) 2(1 ? x0 ) ， ? ? 2(1 ? x0 ) ? 1 2 x0 ? 1 2 x0 4 x ? 2 ? 2 x0 2 x0 ? 2 ? 0 ? ? ? (1 ? x0 ) ， ?2 x0 ?1 ?2 x0 ?1 1 ? 2 x0又 ? 2 ? y0 ? ?2 ?所以 N′(1－x0，－2－y0)在函数 ? (x)图象上， 所以函数 ? ( x ) ?1 4x 的图象关于点 p ( ,?1) 对称． 2 f ( x)11．证明：(1)设(x0，y0)为函数 y＝f(x)图象上任意一点，则 y0 ? 因为(x0，y0)关于直线 y＝x 的对称点为(y0，x0)，1 ? x0 ， 1? x01 ? x0 1? x0 1 ? x0 计算 f ( y0 ) ? f ( 所以(y0，0)也在函数 y＝f(x)图象上， x )? ? x0 ， 1? x0 1 ? x0 1? 1? x0 1?所以函数 y＝f(x)的图象关于直线 y＝x 成轴对称图形． (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数图象上两个不同的点，则 x1≠x2，且 x1，x2≠－1， 假设 AB∥x 轴，即 y1＝y2，则1 ? x1 1 ? x2 ? 整理得 x1＝x2，与 x1≠x2 矛盾， 1? x1 1? x2所以经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于 x 轴． 练习 2－5 一、选择题 1．C 2．D 3．A 4．C 二、填空题5．[－3，－1)∪(1，3]6．3n ?1 ? 2, ? n ? 2； 7． 2, an ? ? 1, ?2n ? 4, n ? 3 ?8．－4．三、解答题 9．答：定义域为{x｜0＜x＜1}； f(x)＝log2(x－x2)，设 u＝x－x2，其最大值为 10．略解：(1) y ? kx (1 ?1 1 ，所以 f(x)的最大值为 log2 ＝－2． 4 4x ) ，定义域为{x｜0＜x＜m}． m k m 2 km m km (2)因为 y ? ? ( x ? ) ? ，所以当 x ? 时 y max ? ． m 2 4 2 4 m km ? m ，解之，并注意到 k＞0，可得 0＜k＜2． (3)由 0＜x＋y＜m，即 0 ? ? 2 411．解：(1)当 k＝1 时，解 a－ax＞0，即 a＞ax，因为 0＜a＜1，所以 x＞1，即函数 f(x)的定 义域为{x｜x＞1}．(2)令 a－k?ax＞0，即 k ? ( ) 所以 k 应小于 ( )1 ax ?1，由于 0＜a＜1，并且上式对于 x∈[1，＋∞)恒成立，1 ax ?1的最小值，因为 x－1∈[0，＋∞)，所以 ( )1 ax ?1的最小值为 1，所以 k＜1．练习 2－6 一、选择题 1．B 2．B 3．C 4．C 二、填空题 5．0 6．±2 7．[－2，0]．注：答案不惟一，只需满足 f(a)f(b)＜0 三、解答题 9．略解：解 x(x2＋6x＋8)＝0 得 x1＝0，x2＝－2，x2＝－4． 即 f(x)的零点为 0，－2，－4． 列表略，简图如图所示，8．a＞1．不等式 f(x)≤0 的解集为{x｜x≤－4 或－2≤x≤0}． 10．解：当 x∈[1，＋∞)时，解 f ( x) ? 当 x∈(－∞，1)时，解 f ( x) ? ∞，1)， 所以 x ? 1 ?1 1 9 ? 0 ，即 2 x ? 2 ? ? 0 得 x ? ； 4 4 85 1 1 ? 0 ，即 x 2 ? 2 x ? ? 0 得 x ? 1 ? ，因为 x∈(－ 2 4 45 1 5 9 ? 所以，函数 f ( x ) ? 的零点为 、 1? . 2 2 8 411． 证明： 函数 y＝x3 的图象与一次函数 y＝x＋1 的图象的交点(x0， 0)一定是方程组 ? y 的解，所以 x0 一定是方程 x3－x－1＝0 的解． 令 f(x)＝x3－x－1，则由题意可知 x0 是这个函数的唯一的零点． 又因为 f(0)f(2)＝－5＜0，所以 x0∈[0，2]． 习题 2 一、选择题 1．D 2．A 3．C 4．D 5．C 二、填空题 6．2 7．2b＞2a＞2c 8．2 9．－15 10．①②． 三、解答题? y ? x3 ? y ? x ?111．答：3． 12．答：(1) a ?6.(2)a＞2．13．解：令 f(x)＝0，即 ax2＋5ax＋6a＝0，由 a≠0 可知 x2＋5x＋6＝0，解得 x＝－2 或 x＝ －3． 所以 f(x)的零点为－2、－3． 如果 f(x)＝ax2＋5ax＋6a＜0，则 当 a＞0 时，即 x2＋5x＋6＜0，解得－3＜x＜－2； 当 a＜0 时，即 x2＋5x＋6＞0，解得 x＜－3 或 x＞－2． 14．解：(1)对于 x0≠0 且 x0≠－1，计算 f ( x0 ? 1) ?1 1 , f ( x0 ) ? f (1) ? ? 1， x0 ? 1 x0如果 f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则1 1 ? ? 1， x0 ? 1 x02 即 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ，这个方程无实数解，所以，在定义域内不存在 x0，使得 f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立． 即函数 f ( x) ? (2) f ( x ) ? lg1 不属于集合 M． xa 定义域为 R，且需满足 a＞0． x ?1 a ? M ，所以 f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立， 因为函数 f ( x) ? lg 2 x ?12即存在 x0 ? R, lga a a ? lg 2 ? lg ， 2 ( x0 ? 1) ? 1 x0 ? 1 2即a a a ? 2 ? ， 2 ( x0 ? 1) ? 1 x0 ? 1 22 整理得 (2 ? a) x0 ? 2ax0 ? 2 ? 2a ? 0 ，根据题意，上述方程有解．所以， 情况①，2－a＝0，此时方程有解，所以，a＝2 符合题意； 情况②， ??2 ? a ? 0 ? ，解得 a ?[3 ? 5,3 ? 5 ] ，且 a≠2； ?? ? 0综上， a ? [3 ? 5,3 ? 5 ].专题三三角函数三角函数是一种重要的基本初等函数， 它是描述周期现象的一个重要函数模型， 可以加 深对函数的概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角 函数、解三角形等四部分．在掌握同角三角函数的基本关系式、 诱导公式、 两角和与两角差、 二倍角的正弦、 余弦、 正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解 斜三角形．重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等．§3－1三角函数的概念【知识要点】 1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数． 2．弧度 rad 以及度与弧度的互化： ? ?l 180 ? ; 180 ? ? π,1rad ? ( ) ? 57.3? ． r π3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角??的顶点在原点，始边在 x 轴正半 轴上，终边上任意一点 P(x，y)，｜OP｜＝r(r≠0)，则 sin ? ? cos ? ? ; tan ? ? ? r r x4．三角函数的定义域与值域： 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] Rπ {x | x ? kπ ? , k ? Z} ? 25．三角函数线：正弦线 MP ，余弦线 OM ，正切线 AT6．同角三角函数基本关系式： sin ? ? cos ? ? 1, tan ? ?2 2sin ? ? cos ?7．诱导公式：任意角??的三角函数与角 ? ? , π ? ? , 可以统一为“k?π ? ? 等的三角函数之间的关系， 2π ±??”形式，记忆规律为“将??看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶 2不变” ． 【复习要求】 1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会 象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】 例 1 (1)已知角??的终边经过点 A(－1，－2)，求 sin??，cos??，tan??的值； (2)设角??的终边上一点 P(? 3, y) ，且 sin ? ? 解：(1) r ?| OA |? 5 ， 所以 sin ? ?12 ，求 y 的值和 tan??． 13y ?2 2 5 x 5 y ? ?? , cos? ? ? ? , tan? ? ? 2. 5 5 r r x 52(2) r ?| OP |? 3 ? y , sin ? ?y 3? y2?12 , 13?y ? 0 y 6 ? ? ?2 3. 得 ? y2 12 ，解得 y ? 6, tan? ? ? x ? 3 ? ? 3? y 2 13 ?【评析】 利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握， 同时应关注其中变量的 符号． 例 2 (1)判断下列各式的符号： ①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知 cos??＜0 且 tan??＜0，那么角??是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (3)已知??是第二象限角，求角?2,2? 的终边所处的位置．解：如图 3－1－1，图 3－1－2 (1)①330°是第四象限角， sin330°＜0； －260°是第二象限角， cos(－260°)＜0； 225° 是第三象限角，tan225°＞0；所以 sin330°cos(－260°)tan225°＞0. ②－3 是第三象限角，sin(－3)＜0；5 是第四象限角，cos5＞0，所以 sin(－3)cos5＜0 或：－3≈－3?57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5?57.3°＝286.5°，是第四象 限角 【评析】 角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、 顺时针两个方向旋转进行判 断，图 3－1－1，图 3－1－2 两个坐标系应予以重视．(2)cos??＜0， 所以角??终边在第二或第三象限或在 x 轴负半轴上 tan??＜0， 所以角??终边 在第二或第四象限中，所以角??终边在第二象限中，选 B. 【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，? π 是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是 ( , π ), 2 2 π π π π ??是第二象限角，所以 2k?＋ ＜??＜2k?＋?，(k∈Z)，所以 kπ ? ? ? kπ ? , (k ? Z) 2 4 2 2 ? 如下图 3－1－3，可得 是第一象限或第三象限角，又 4k?＋?＜2??＜4k?＋2?，2??是第三 2(3)分析：容易误认为 象限或第四象限角或终边落在 y 轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法 (1)利用旋转成角，结合图 3－1－1，图 3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由 1rad ? (180 ) °≈57.3°化为角度处理；