交换二次积分的积分顺序次序

二重积分交换积分次序解题训练
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今日搜狐热点交换二次积分∫dy∫f(x,y)dx的积分次序_百度知道
交换二次积分∫dy∫f(x,y)dx的积分次序
x的积分上限是根号y,下限是y。y的积分上限是1,下限是0。求过程详细
我有更好的答案
2、原来的积分,是先对 x 积分://b,有问必答。<a href="http://c.hiphotos://c
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交换二次积分次序方法初探
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交换二次积分次序方法初探
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广义二次积分能否交换积分次序的问题
[这个贴子最后由luyuanhong在
09:16am 第 1 次编辑]
对于广义二次积分能否交换积分次序的问题,标准的微积分理论和“非标准分析”有不同的看法:
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广义二次积分能否交换积分次序的问题
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广义二次积分能否交换积分次序的问题
[这个贴子最后由luyuanhong在
04:44pm 第 1 次编辑]
& &我在上面帖子中说的是:
& &按照标准微积分的观点,如果一个函数的两个二次积分的值不相等,就说明这个函数的二次积分不能交换积分次序。
& &按照“非标准分析”的观点,二次积分是可以任意交换积分次序的,如果一个函数的两个二次积分的值不相等,说明
这个函数的二次积分可以取各种不同的值,本身就是发散的,并不能用它来否定“二次积分可以任意交换积分次序”。
& &可见,我说的是“如果一个函数的两个二次积分的值不相等”的情况,没有说“如果一个函数的两个二次积分的值相等”
会怎么怎么样,所以,楼上举出的“f(x,y) 的两个二次积分存在而且相等,但是 f(x,y) 的二重积分不存在”的例子,
与我帖子中所说的,是两回事情,没有什么逻辑上的矛盾冲突。
& &但是,楼上举出的例子,非常有趣,确实很有意思。
& &下面我们来看一下,按照标准微积分的观点和“非标准分析”的观点,怎样看待 f(x,y) 的两个二次积分和二重积分:
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广义二次积分能否交换积分次序的问题
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广义二次积分能否交换积分次序的问题
[这个贴子最后由luyuanhong在
02:57pm 第 1 次编辑]
我说:“交换积分次序后得到不同的积分值,是因为这个广义二次积分本身就是不收敛的。”我的意思是说:
这个二次积分是不收敛的,它可以取各种各样不同的值,所以,有时候两个二次积分的值会相等,有时候二次积分的值会不相等。
因此,我们看到两个二次积分的值不相等,就没有什么奇怪了,这是因为这两个二次积分可以取各种不同值,有时就会不相同。
如果我们看到两个二次积分的值相等,而二次积分不收敛,那也没有什么奇怪,因为它们可以取各种不同的值,有时就会相同。
楼上所举的程其骧《实变函数与泛函分析基础》书中的二次积分不相等的例子,与我在1楼中所举的例子十分相似。
我们完全可以仿照1楼那样,看看标准的微积分(程其骧书中的论述就属于标准的微积分)和“非标准分析”是怎么看待它的:
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广义二次积分能否交换积分次序的问题
不错,很精彩的分析!
不过有一点想说明一下,按照"非标准分析",可以随意交换积分次序,但如果使用等号"="把交换积分次序前后的两个积分连接起来,就应该保证这两个积分收敛于同一个值或相同的某几个值,否则,就不应该使用等号"="把两个积分连接起来.因为等号"="本来就表达了这个意思.
而随意交换积分次序中的"随意"一词,就含有随意交换积分次序后仍与原积分收敛于同一个或同几个值的意思.否则,讨论随意交换积分次序的问题是没有什么意义的.也就是说,我们讨论的"随意",应该是保证等号成立前提下的"随意".
不论怎样,luyuanhong兄的帖子总让人眼界开阔不少!
广义二次积分能否交换积分次序的问题
fm1134兄的说法有道理。确实,“=”通常表示等号两边两个量绝对相等或等号两边两个量收敛于同一个值。
现在等号两边两个式子都是发散的,能不能用“=”联系起来?这是一个可以研究的问题。
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