君，已阅读到文档的结尾了呢~~
关于四元数的几何意义和物理应用（学位）
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
关于四元数的几何意义和物理应用（学位）
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='/DocinViewer--144.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口【图文】3D数学基础第10章3D中的方位与角位移课件_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
评价文档：
3D数学基础第10章3D中的方位与角位移课件
上传于|0|0|文档简介
&&《3D数学基础：图形与游戏开发》第10章课件
大小：6.00MB
登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！
你可能喜欢四元数计算 - yuxikuo_1的专栏 - CSDN博客
四元数计算
Uinty3D高级
感谢一叶斋技术分享：/yiyezhai/p/3176725.html
本文基于一叶斋博客内容做更详细分析，如果错误，恳请指正。
四元数是今天的主角，它能够很方便的刻画刚体绕任意轴的旋转。四元数是一种高阶复数，四元数q表示为：
q=(x,y,z,w)=xi+yj+zk+wqxyzwxiyjzkw
其中，i，j，k满足：
i2=j2=k2=-1i2j2k21
ij=k,jk=i,ki=jijkjkikij
由于i，j，k的性质和笛卡尔坐标系三个轴叉乘的性质很像，所以可以将四元数写成一个向量和一个实数组合的形式：
q=(v?&+w)=((x,y,z),w)qvwxyzw
可以推导出四元数的一些运算性质，包括：
* 四元数乘法
q1q2=(v1→×v2→+w1v2→+w2v1→,w1w2-v1→?v2→)q1q2v1v2w1v2w2v1w1w2v1v2
* 共轭四元数
q*=(-v?&,w)qvw
* 四元数的平方模
N(q)=N(v?&)+w2NqNvw2
* 四元数的逆
q-1=q*N(q)q1qNq
四元数可以看做是向量和实数的一种更加一般的形式，向量可以视作为实部为0的四元数，而实数可以是作为虚部为0的四元数。上述四元数的运算性质也是实数或向量的运算性质的更一般的形式。
四元数可用来刻画三维空间中的旋转，绕单位向量(x,y,z)表示的轴旋转θ，可令：
q=((x,y,z)sinθ2,cosθ2)qxyzsinθ2cosθ2
刚体坐标系中的点p(P,0)（写成四元数的形式），旋转后的坐标p'为：
p′=qpq-1pqpq1
接下来我们来证明这一点。
首先，我们证明
qpq-1=(sq)p(sq)-1qpq1sqpsq1
其中s为实数。显然
(sq)p(sq)-1=sqpq-1s-1=sqp-1sqpsq1sqpq1s1sqp1
注：此处原文貌似有误，实为(sq)p(sq)-1=sqpq-1s-1=qpp-1
常数的逆为常数的倒数
此时，我们可以将q看做是单位矩阵，因为如果q不是单位矩阵，我们就可以乘以一个常数s将其化为单位矩阵。
然后，我们证明qpq^{-1}和p的模长相等
下面将q视为单位四元数：
四元数q的标量:
S(q)=(q+q*)/2Sqqq2
2S(qpq-1)=2S(qpq*)=qpq*+(qpq*)*=qpq*+qp*q*=q(p+p*)q*=q2S(p)q*=2S(p)
注：S(q)为标量，q与q的共轭相乘为1，q同乘pq-1
最后，我们证明
p′=qpq*pqpq
如图所示，u为旋转轴，旋转角度为σ，向量v旋转到w处。旋转到σ/2处为k（图中未标出）。
下面也用相同的字母指代四元数，如u就表示向量u的四元数形式((ux,uy,uz),0)。
首先，令u方向上的单位向量为u（为了方便，命名不变，后面的u都是指旋转轴方向的单位四元数），那么根据q的定义，参见四元数乘法法则：
q=(u?&sinθ2,cosθ2)=(v?&×k?&,v?&?k?&)=(v?&,0)(-k?&,0)=kv*qusinθ2cosθ2vkvkv0k0kv
注：单位向量点积：a·b表示b在a上的投影。单位向量的差积：a*b表示垂直于a和b向量平面的向量
原文有误：实为（k,0)(-v,0)，才能得到kv*
w=qvq*wqvq
如果能证明w与v的夹角是σ，那么就说明w确实是v旋转σ得到的，整个命题就得证了。
注意v，k和w都是实部为0的单位四元数，表示单位向量，我们有：
wk*=(qvq-1)k*=qvq*k*=qvvk*k*=qwkqvq1kqvqkqvvkkq
注：单位四元数vv相乘的结果为1
wk*=kv*wkkv
上面的式子拆分成实部和虚部，虚部表明w与-k的平面和k与-v的平面重合，实部表明w和-k之间的夹角与k和-v之间的夹角相等，都是π-σ/2。这就说明了w与v的夹角是σ，原命题就得证了。
我的热门文章
即使是一小步也想与你分享四元数小总结
四元数小总结
编辑：www.fx114.net
本篇文章主要介绍了"四元数小总结"，主要涉及到四元数小总结方面的内容，对于四元数小总结感兴趣的同学可以参考一下。
四元数记法：
一个四元数包含一个标量分量和一个3D向量分量。记标量为w，记向量为v或分开的x,y,z。如下：
[w,(x,y,z)]
四元数与复数：
四元数扩展了复数系统 ，它使用三个虚部i,j,k。它们的关系如下：
i2=j2=k2=-1
ij=k,ji=-k
jk=i,kj=-i
ki=j,ik=-j
一个四元数[w,(x,y,z)]定义了复数 w+xi+yj+zk。
四元数和轴-角对：
四元数能被解释为角位移的轴-角对方式。其公式为下：
设向量n为旋转轴，&为绕轴旋转的量。
q=[cos(&/2) &sin(&/2)n]
& =[cos(&/2) &(sin(&/2)nx &sin(&/2)ny &sin(&/2)nz)]
负四元数：
-q=[-w (-x -y -z)]=[-w -v]
q和-q代表的实际角位移是相同的，很奇怪吧！如果我们将&加上360度的倍数，不会改变q代表的角位移，但它使q的四个分量变负了。因此，3D中的任意角位移都有两种不同的四元数表示方式，它们互相为负。
单位四元数：
几何上存在2个单位四元数：[1,0]和[-1,0]。它们的意义是：当旋转角为360度的整数倍时，方位并没有改变，并且旋转轴也是无关紧要的。
数学上只有一个单位四元数：[1,0]。任意四元数q乘以单位四元数[1,0]仍为q。
四元数的模：
公式如下：
||q||=||[w (x y z)]||=sqrt(w2+x2+y2+z2)
　 & =||[w v]||=sqrt(w2+||v||2)
几何意义：
||q||=sqrt(cos(&/2)2+sin(&/2)2||n||2)
若n为单位向量，则：||q||=1
四元数共轭：
q*=[w -v]=[w (-x -y -z)]
四元数的逆：
q-1=q*/||q||
但我们只使用单位四元数，故q-1=q*
几何解释：使向量v反向，则旋转方向也反向了。因此q绕轴旋转&角，而q*沿相反的方向旋转相同的角度。
四元数乘法（叉乘）：
[w1 &v1][w2 &v2]=[w1w2-v1v2 &w1v2+w2v1+v2&v1]
四元数叉乘满足结合律但不满足交换律：
(ab)c=a(bc)
四元数乘积的模等于模的乘积：
||q1q2||=||q1|| ||q2||
四元数乘积的逆等于各个四元数的逆以相反的顺序相乘：
(ab)-1=b-1a-1
如何用四元数将3D点绕轴旋转：
让我们&扩展&一个标准3D点(x,y,z)到四元数空间，通过定义四元数p=[0, (x,y,z)]即可。设q为我们讨论的旋转四元数形式[cos(&/2) &sin(&/2)n]，n为旋转轴，单位向量，&为旋转角。你会惊奇地发现，执行下面乘法可使3D点p绕n旋转：
四元数乘法的优势在哪？对点p先执行a旋转再执行b旋转：
p'=b(apa-1)b-1=(ba)p(a-1b-1)=(ba)p(ba)-1
注意，先进行a旋转再进行b旋转等价于执行乘积ba代表的单一旋转。因此，四元数乘法可用来连接多次旋转，这和矩阵乘法效果一样。
四元数的&差&：
定义：从一个方位到另一个方位的角位移。
如给定方位a和方位b，求a到b的角位移d。用四元数表示为：ad=b &=& &d=a-1b
四元数点乘：
q1&q2=[w1 &v1]&[w2 &v2]=w1w2+v1&v2
几何解释：类似于向量点乘的几何解释，两四元数点乘绝对值越大，其代表的角位移越相似。
四元数的对数：
首先，令&=&/2，||n||=1，则q=[cos& &nsin&]=[cos& &xsin& &ysin& & zsin&]，公式如下：
log q=log[cos& &nsin&]=[0 &&n]
注意log q的结果，它一般不是单位四元数。
四元数的指数：
设四元数p的形式为[0, &n]，n为单位向量：
p=[0 &&n]=[0 &(&x &&y &&z)]
公式如下：
exp p=exp([0 &&n])=[cos& &nsin&]
根据定义，exp p问题返回单位四元数。
四元数指数运算为四元数对数运算的逆运算：
exp(log q)=q
四元数与标量相乘：
kq=k[w &v]=[kw &kv]
　 =k[w &(x &y &z)]=[kw &kx &ky &kz]
四元数求冥：
qt=exp(tlog q)
几何意义：对数运算log q提取了轴n和角度&；接着和指数t进行标量乘时，结果是&乘以t；最后，指数运算&撤消&了对数运算，以t&和n重新计算w和v。
求四元数冥的代码如下：
/// &summary&
/// 四元数求冥
/// &/summary&
/// &param name="e"&指数&/param&
/// &param name="w,x,y,z"&四元数输入，输出&/param&
static void Calc(float e, ref float w, ref float x, ref float y, ref float z)
// 检查单位四元数的情况，避免除零
if (Mathf.Abs(w) & 0.9999f)
10
// 提取半角(&/2)
12
float alpha = Mathf.Acos(w);
13
// 计算新的alpha值
14
float newAlpha = alpha *
15
// 计算数的w值
16
w = Mathf.Cos(newAlpha);
17
float multi = Mathf.Sin(newAlpha) / Mathf.Sin(alpha);
18
// 计算新的xyz值
19
四元数插值&&"slerp"：
&当今3D数学中四元数存在的理由是由于一种称作slerp的运算，即球面线性插值（Spherical Linear Interpolation）。slerp运算非常有用，因为它可以在两个四元数之间平常插值。slerp插值避免了欧拉角插值的所有问题（如万向锁）。
设开始与结束的四元数为q0，q1，插值变量设为t，t在[0, 1]之间变化 。则slerp函数定义为: slerp(q0,q1,t)
计算此函数的思路如下：
lerp(a0,a1,t)=a0+t△a
四元数中，
1. 计算差值：q0△q=q1 &=& &△q=q0-1q1
2. 取插值的一部分，应用求冥的办法，即(△q)t
3. 初始值加上插值的一部分，应用四元数乘法。
综上，公式如下：
slerp(q0,q1,t)=q0(q0-1q1)t
这是理论上的公式，实践中，将使用更有效的一种办法。
转载请注明出处：
一、不得利用本站危害国家安全、泄露国家秘密，不得侵犯国家社会集体的和公民的合法权益，不得利用本站制作、复制和传播不法有害信息！
二、互相尊重，对自己的言论和行为负责。
本文标题：
本页链接：