数学笔记 | 关于数学的任何想法，包括别人的，但很多都是自己的。（原72松博客：）第四次数学危机
190 5年,‘月C ( ) 入I 入1.应 用 数学与 计 算数 学学报( )N2 第 1 卷丫.第N.、.11期J一i 一 、 e19 9 8A P I L,.I 、 AT H.A N D C ( ) 、I P I TV一1 1 2.编者 按 下列 一 文 作者 认 为现 代 数 学基 础 存在着 问 题 出 现 了第 四 次 危 机 容 对 于 这 一 提 法及 其 丙 的 正 确 性健有 争 议 的 本 刊 并 非 同 意作者 的观 点 本 着 文一,,,、责 自负 原 则,本 刊 予以 刊 登,尽是 作 为 作 者 研 究 工 作 的记 录?) I 第 四次 数学危机 (畜万一一 总 述,王鸣,鹤上海:( 上 海大 学 理 学 院0 ) 摘 要 功夏 年,2洲 (1 7 2 )?希 尔拍特 第 一 问 题 提 出年神 系r ,: Lf连 续 统 能 否 良序”.‘每 一 个 数学 家 都 会,说,“9 ) 它已在 1 ( 4。二 的 良序 定 理 所 解 决..木 文 建立 了 集 合 三 分 法‘产洛证 明 了一 个 良 序 集 一 定 是 一 个可 数 集 同 时 揭 琳 厂良序 定理 及 其它 一 些 定 理 中 证 明 的 错 误 因此 现 代数 学存 在 着 第四 次 数 学 危 机,关健 词:数 学危 机,悖论良序 定 理,良序 集,,,序教。前、。. J曰. . . 目 勺. . . .‘J 二数 学 由于 它 理 论 的 严 密 性 结 论 的 绝 对 正 确性 和 l勺容的 高 度 和 谐 性 而 被 誉 为 科 学 的 女 王 正 因 为 这 些 美 好 特 征 数 学 赢 得 了 人 们 的 绝 对 信 任 在 科学 技 术 各 领 域 及 人类 各 种 活 动 中得 到 了 广 泛 的应 用 、 一 旦 数 学 研 究 中 出 现 了 所 谓 十 仑 翔 以 克 服 这 是 毫 无 疑 问 的 在 1叫 !, 将 立 即 会 引起所 有 数 学 家 的 关注 并 能 及 时: 加 , r “ 而 年 第二 届 国 际 数 学 家大 会 卜 庞 加 莱 沙 今天 我 们 可 以 行曾 骄 傲地 宣 称,,“”,,。。,。 L,说 绝 对 的 严 格 已 经 取得 了 但 现 实 却 是 严 酷的 作 为 整 个 数 学 学 科 基 础 的 集 合 论 在本世 纪 初 出 现 了 代系 列 的 悖 论 而 且 至 今 没 有 得到 公 认 的 彻 底 的 解 决 以 后 又 出现 各 种 类 型 的怪 论 例 如 分 球 奇 论 任 意 实 数 集 恒 勒 贝 格可 测 等 等 数 学 家 也没 有 能 够 用 科 学 的 方 法 找 出 这 些 怪 论 的症 结 所 在 只 是 热 衷 于 对 选 择 公理 f 或集 合 定 义 的 不 同 观 点 的 争 论 因 此 数学 的 严 密性 正 确 性 和 谐 性 似 乎 已 l 始 丧 失 了 人 们 只 能 无 可 奈 何 地 叹 道 : 数学 大厦 的 草 础 出 现 了 裂 缝 i ’ J 本 文 不 再 烈 些 怪 论 来怀 疑 集 合论 的 正 确 性 , ( 是 用 科 学 的论 证 ) 去 找 ‘“ l l:’ 产 1 洲4 年 以 来 集合论 研 究 中潜 在 的根 本 错 误 这 些 错 误 不 仅广 泛 存 在 于 近 九 十 来 年 已 渗 透 到 数 学 的 很 多分 支 因 此 本 文 指 出 数 学 基 础 的大 部 分 研 究 工 作 中 而 且 现 代数 学 出 现 了 第 四 次数 学危 机 而 且 这 次危 机 的广度 和 深 度 大 大超 过 历 史 卜的, , 。 ,、一,”。。。,。,、、一。。。?,。,,前 三 次数 学 危 机 克 服 第 四 次 数 学 危 机 并 不 是 一 篇 文 章 一 个 人 的 努力 所 能 解 决 的 这 应 滚 一 成 为本 世纪 最 后 几 年 所 有 数 学 家 的 共 同 职 责 本 义 仅 作 为本 人 对 这 一 问 题 系 列 努 力 的 第 一 篇 文 章 以 唤 起 大 家 的 关注 只 有 通 过 大 家 的 共 同 努 力 才 能 币 新 恢, ,。 。 , 。。,本文i 。。s年3月3H 收到.1期、王 鸣鹤:I 第四 次 数学 危 机 ( )-一一总述。复 数学 严密正确、和谐 的 完 美特 征1.,迎 接 二 十 一 世 纪 数学 更 健 康 的 发 展历 史 上 的数 学危 机L l什 么 是 数 学危 机,?。矛 盾 是 人 类 社 会 和 科 学技 术发 展 的 重 要 动 力 在 整 个 数学 发 展 过程 中 充 满 着 矛 盾 的 发 现 斗 争 和 解决 例 如 正 与 负 有 理 数 与 无 理 数 有 限 与 无 穷 连 续。,,,,与 离 散 微 分 与积 分 具 体 与 抽象 逻 辑 与 直 觉 等 每 一 次 矛 盾 的 发 展 和 解 决 都 使 人 们 对 客 观 世 界 的 认 识 更加 深 刻 更 加 丰 富 这 种 新 的 认 识有 时 并 不 完 全 排 除 旧 的 认 识 例 如 非 欧 几 何 的 建立 丰 富 了 人 们 对 空 间 形 式 的 了 解 但 并 不 否 定 欧 氏 几 何 的 正 确 性 即 使 发 现 旧 的 认 识 有 错 误 时 人 们 自 然 而 然 地 会 得 到 认 识 卜的 升 化 建 立 新 的 正 确 认 识 然 而 当 矛 盾 激 化到 将 动 摇 人 们普遍 承 认 的 数 学 基 本 理 论 一 时 又 无 法 建 立 正 确 的认 识 时 就 会对 大 量 数 学 结 论 的 正 确 性 产 生怀 疑、 。。,,,。,,。,。,,,,这 就 产 生 了数 学 危 机 由 于 数 学 固 有的 严 密 性。性。相反,数 学 危机 对 数 学 本 身 并 没 有 破 坏 每 次 数 学危 机 都 使 人 们 产 生 认 识 卜的 重 大 飞 跃 使 数 学 以 一 种崭 新 的,、正 确性 及和谐 性。,面 貌 出现L Z,得 到 生 气 勃 勃 的 新 发展前 三 次 数 学危 机 的 简介。 。-在 整 个 数 学发 展 史 卜共 发 生 过 三 次 数 学 危 机,第 一 次 发 生 在 公 元前 五 世 纪 占希 腊 的 毕 达 哥 拉斯 学 派是 由 毕达 哥 拉 斯 ( P y ‘如助 r 二 ) 亲 自组 建 的 一 个 有 严 格 纪 律 带 有 宗 教 色 彩 的 学 术 团 体 他 们 对 数 学作 出 了大 量 的贡 献 其 中 最 大的 贡 献 是 强 调 了数 学 中的 数 和 形 是 思 维 的 抽 象 ; 最 著 名 的 成 就 是 发 现 了直 角 三角 形 的 毕达 哥拉斯 定 理 为 了 庆 祝 这 一 伟 大 发 现 曾 屠 宰 了 1 的 头 牛 以 祭 谢 神灵 他 们的 哲 学观 点 认 为 数 是 宇宙 的实 质 和 形 式 是 一 切 现 象 的 根 源 他 们 的 基本 信 条 是 宇 宙 间 的 一 切 现 象 都 能 归 结 为 整 数 或 整 数 之 比 可 是 在 进 一 步 研 究 毕 达 哥 拉 斯 定 理 时 发 现 了 线段 币 和 1 的 不 可 公 度 性 这 完 全 否 定 了他 们 数 学 卜的 基 本 信 条 并 严 重 打 击 了 他 们 的 哲 学 观 和 数学 观 这 就 是 第 一 次 s I i ) 数 学 危 机 的 背 景 和 表 现 据 传说 希 帕苏斯 ( H l 爪 叩 ) 就 是 因 发 现 ( 或 泄 露 ) 了线 段 的 不 可 公 度 性 而 被 同 伴 抛 进 大海 处 死 ( 或 被当 作 死 人 且 开 除 出学 派 ) 成 为 第 一 次 数 学 危 机 的 殉 葬 品 第 一 次数 学危机 的 结 果 是 产 生 了 无 理 数 概 念 的 重 大 ( 飞 跃 使 人们对 实 数 形 成 了 完 整 的 认 识 这 为 后 来 欧 几 里 德 ( E l 阴 ) 阿 基 米 A 二 1 。 油, N w 加1 i J ) 等 人 在 数学 卜的 杰 出 成 就 直 至 牛 顿 ( ) 创建微 积 分 德 〔。 ,,。,。。。,。。,,。,。?,,,_仁莫 定 了数 的 基 础 第 二 次数 学危 机 出 现 在十 九 世 纪 初 牛 顿 和 莱 布 尼 兹 〔 卜 i 亩 ) 分 别 在十 l ) 1 七 世 纪 六 十 年 代 和 七十年代 开 始 创 建 微 积 分 在 这 以 前 几 千 年 的 数 学 基 本 上 只 ; 建 立 了 两 大 分 支 一 门 是 算 术 与代数 一 门 是 几 何与 三 角 可 是 在 创 建微 积 分 以 后 短 短 的 一 百 多 年 建 立 了 包 括 一 元 多 元 微积 分 常 微 分 方 程 偏 微分 方 程 级 数 理 论 富 里 埃 分 析 复变 函 数 向量 分 析 微 分几 何 变 分 法 解 析 数 论 概 率 论 以 及 它 们 在 物 理 力 学 天 文 音乐 军 事 建 筑 保 险 业 等 领 域 中应 用的。一。。,.。。,,,,,,,,,,,,,,,,,,应 用 数 学 与计 算 数 学 学 报。’12卷庞 大 分 析 体 系 只 是 到 了 十九世 纪 初 人 们才 发 现 在分析 中 确 实 发 现 了 惊 人 的 含 糊 不 清之 处 函 数 概 念 布身就 不清稗 大部 分 概 念 和 定 理 的 证 明 都 是 不 严 格 的 在 级数 中还 产 生 了 不 少 的悖 论 这 忘 切 引起整 个数 学 界 的 思 想 混 乱 这 就是 ) ( 第 二 次 数 学 危 机 的 背 景 和 内 容 经 过 波 尔 查 诺 ( D 加 川 l( ) 阿 贝 尔 ( A 阮 ! ) 、。 :y : r i , 1 、 r r z ) 狄利克 雷 ( D i l ) 外 尔斯 特 拉 斯 ( 掀 i 、 。; , ) 等一大 柯西 ( e 批 数 学 家 约 半 个世 纪 的 努力 才 建 立 了 严 格 的 函 数与 极 限 的理 论 克 服 了危 机 第 二 次数 学 危机 的结 果 不 仅 建 立 了严 密 的分 析 基 础 而 且 出现 了一 大 批 新 的 数 学 理 论 和 分支 例 如 实变 函数 论 泛 函 分 析 认 积 分方 程 抽象 代 数 集 合 论 拓 扑 、1 : 学 等 数学 又 一 次 得 到 生 气 勃勃 的 新 发 展 其 中康 托 ( C 而 ) 创 建 的 集 合 论 是 人 们认 识 上 的 一 个 巨 大 的 匕 跃 对 数 学 的 发 展 具 育极 其 深 刻 的 意 义”。 , ,,“。。。,,;‘,‘ 二.。,:,,,,。,。,,,,。。,。4 第 三 次 数 学 危 机 出现 在 本 世 纪 初 1 8 7 年 康托 发表 了 具 有 划 时 代 意 义 的 第 一 , 8 8 、 18 0 4 7 篇集 合 论 论 文 年康 托 又 连 续 发 表 了 七 篇 论 文 奠 定 了 集 合 论 的 基 础 由子康 托 的集 合论 是 数 学 中 最 具 有革 命 性 的 理 论 一 开 始 就 受 到 以 克 罗 内克 ( K r 。 : 、 h : ) 为 代 表 的 一 批 数 学 权 威的 顽 固 反 对 和 横 蛮 攻 击 在 这 种 形 势 卜 大 部分 数 学 家 都对 集 合论 抱 怀 疑 态度 长期 的 精 神压 力 使康 托 从 : 5 8 4 年 起 患 精神 疾 病 而 住 院 一 度 中断 了集 合 论 的 研 究工 作 1 8 9 1 年克 罗 内克 去 世 也 由 于 著名 r i 数 学 家 希 尔 伯特 ( H l t ) 等 人 的热 情 支 持 集 合 论 才 逐 步 获 得 数学 家 的 普 遍 承 认 一 旦 人 们接 受 了 集 合 论 马 卜认 识 到 整 个 数 学可 以 通 过 集合 论 建 饥 其 严 格 i l J l j l’ t 氏 : “ ) 分 别 发 现 了 最 大 基 数 的 基 础 十九 世 纪 末 康 托 及 布 拉 里 福 蒂 ( I 1卯 2 和 最 大 序数 悖 论 一 开 始 未引 起 大 家 的 重 视 年哲 学 家 罗 素 ( R 、 1 ) 发 现 的 集合 论 悖 论 以 及 以 后 发现 的 一 些 其 它 悖论 震撼 了整 个 数学 界 使 不 少 数学 家 认 为集 剑仓靠不 住 了 自然 数 的 算 术也 不 一 定 可靠 整 个数 学 大 厦 都 动 摇 了 这 就 是 第 三 次 数学 危 机 的背 景 及 表 现 据 信 第 三 次 数 学危 机 在 你 }8 一 1 0 2 。 年 分 r l , ; k l v 卫 N : , , .; 1, ) ) r ) 冯 诺伊 曼 ( 别 由策 梅 罗 ( 2 弗 兰克 尔 ( F 等 人 建 立 的 公 理化 集合 论 所 解 决 这 次危 机 的 结 果 是 促 进 了 数 学 基 础 的 深 入 研 究 ; ; 及 一 场大论 战 推 动 了 数 理 逻 辑 的 大发 展 进 一 步 确 立 了 集 合 论 在 现 代 数 学 中的 ; 重 要 地 位 为 二 十 世 纪 抽 象代数 拓 扑学 泛 函 分析 测 度 论 积 分 论 概 率 论 的进 一 步 发 展 及 非 标准分 析 突变 理论 模 糊数 学的 建 立 奠 定 了新 的 理 论 基 础. ,。。,, ,。,。,。,, 一,。,。,?:一、,。,:. ,,,,。。,.::.:.,; L. ::二,?。, ,一1, , 、 ,。、、、、、、、。(。l) 数 学 是 无 穷 的科 学。每 次 危 机 的 产 生 和 解 决 都是 关 系 到 对,一“无穷”* ’ . 的认识 例 如 第 一 次 数 学 危 机 根 据 数学 史研 究 的 观 点 现 代意 义 l 的数 学 就 是 起 始 于 古 希 腊 的 毕达 哥拉斯 学派 他们提 出 一 切 现 象都 能 归 结 为 整 数 或 整 数 之。“从现 代 的 观 点 来 看 当 然 是 错 误 的 但 从 历 史 的 观 点 来 看 在 当时非 f 理不 是 认 识 卜的 错 误 或 倒 退 相 反 是 对 数 的 认 识 卜的 一 个重 大 类破 这 产 生 了 一切 数 的 根 据 现 代观 点 有 理 数 己 经 在 实 轴 卜处 处 稠 抽 象概 念 这 一 切 就 是 无 穷 ; ; 密 从 实 用 的 观 点 人们能 测 量 或 计 算得 到 的具 体 值只 能 是 有 理 数 现 代计 算 机 进 行 运 算 的 数 或 运 算结 果 都 是有 限 小 数 无 理 数则 是 数 在 无 穷 意 义 卜的 深 化 第 二 次 数 学 危 机 也是 对 无 穷 认识 的 深化 但 第 三 次 数 学 危 机 产 生 于 对 康托 理 论 的 错 误 理 解 是 对 无 穷 认 识 的 倒退比, 。 ,”,。,“”“”。,,。。。,。1期王鸣 鹤二第 四 次 数学 危 机 山 一 一 总 述。数 学 危 机 是 矛 盾 激 化 的 结 果 每 次 数 学 危 机 都 和 悖 论 有直 接 联 系 因 此 在 数 学 研 究 中 不 能 回 避 矛盾 要 敢 于 正 视 矛 盾 揭露 矛盾 解 决 矛 盾 越 是 回避 矛盾 其 结果 只 能 激 化 矛盾 三 次 数 学 危 机 的实践 告 诉 我 们 一 旦 发 现 了危 机 同 时 也 就 找 到 了 克 服 危 机 的 途 径 任 何 数 学悖 论 的 发 现 也 一 定 带 来 数 学 卜 更 正 确 的 认 识 使悖 论 得 到 合理 的 解 释 最 终 消 除 悖 论 例 如 最 大 甚 数 和 最 大 序 数 悖 论 的发 现 都 使 人 们 对 超 限 数 的 认识有 一 定 的 进 步, , ,,(2)。。,。,,。,,,。,。每 次数学危 机 的 发 现 都 会 引起 一 部 分 数学 家 的 恐 慌 或 仿 徨 不 安 但 是 学 危 机 不 会像社 会 卜其 它 危 机 那 样 具 有 很 大 的破 坏 性 它 只 会 使 人 们抛 弃 旧 的 数 错误 观点 克 服 片 面 性 带 来 更 加 正 确 更 加 丰 富 的 认 识 推 动 数 学 更 健 康 更。 . , 、,( 3 )。、蓬勃 地 发 展 因 此 一 旦 面 临 数 学 危 机 我 们 应 该 善 于 修 正 白 己 不 够 全 面 的 认 识 ; 共 同 为 消 除 危 机 探 索 数 学 真 理 作 出 贡 献 必 须 提 倡 平 等 的 学 术 讨论 绝 对 不 可 ; 为 了 保 住 自 己 的 权 威 地 位 抱 住 固 有 的 旧 观 点 不 放 更 不 应 像 克 罗 内克 对 待 康 托 那 样 充 当阻 挠 或 打击 新 观 点 新 思 想 的 不 光 彩 角 色,。,,,、,,、。2.第 四 次 数 学危机的 发现2.1第 四 次 数 学 危 机 的 背景,一十 九 世 纪 末 期 人 们 开 始 认 识 到 康 托 的 集 合 论 可 以 作 为整 个 数 学 学 科 的 基 础 一 百年 来 尽 管数 学 的 基 础 理 论 研 究 和 应 用 领 域 研 究 都取 得 了 突 飞 猛 进 的 发 展 集 合论 作为 整 个数 学 学 科 基 础 的 地 位 仍 然 没 有改 变 因 此 集 合论 不 应 有错 误 一 旦 集 合 论 的 基 本 理 论 发 现 错 误 必 将 对 二 f 世纪 核 个 数 学 造 成 灾 难 性 的 后 二 果 让 我 们 来 回忆 一 卜 十 世 纪 集 合 论 的 特 点 :。 ,, 。。,一。十 九世 纪 的 集 合 论 几 乎 是 康 托 一 个 人 创 造 的 二 十 世 纪 很 多 杰 出 的 数 学 家 都 曾投 身于 集 合论 的 研 究 其 中 主 要 的 代 表 是 策 梅 罗 他 的 主 要 贡 献 是 :),(l。一。(。) 在 ” 旧 年 首次 明 确 提 出选 择 公 理 的 方 法) 在 1洲 4。。年 同 一 篇 义 章 中 证 明 了 良序 定 理 ( ) 以 他 为 首 创 建 的 z F c 公 理 系统 至 今 没 有 发 现 任 何 悖 论 数学 家 所接 受。(b。,已 为大 多 数以 卜 个 贡 献 是 现 代 集 合 沦的 核 心 三。但 对 悖 论 产 生 原 因 及 如 何才 能 彻 底 根 除 悖 论 仍 未 得 到 满 意 的 结 果 为 此 目的 引 出 了 一 场 关 于 数 学 基 础 的 三 大 派 别 的 大 论 战 虽 然 三 大 派 别 的 观 点 都 对 数 学 发 展 作 出 了 各别 的 贡 献 但 是 争 论 的 问 题 没 有 得 出 正 确 的结 论。(2) 公 理 化 集合 论 虽 然 避 免 了 已 发 现 的 悖 论,。,,。争 论 的 焦 点 是 选 择 公 理 的 合理 性 大 部 分 数 学 家接受 : z H 川 选 择 公 理 并 花 了 大量 精 力 证 明 了 选 择公 理 与 良 序 定理 引理 l , ( I 汗 卜的 争 辩 极 大 原 理 等 等 几 十 种定 理 是 等 价 的 选 择 公 理 的 怀 疑 派 只 停 留 在 哲 学 提 不 出 选 择 公 理 错 误 的 任 何 依据,,( 3 ) 二 十 世纪 集 合 论。〔,,;,.,‘。、。(4,) 二十 世纪,不 仅 集 合论 的 大 量结 论 是 建 立 在 良 序 定理 的 基 础 卜 而 且‘,抽象 代数拓扑学,泛 函 分 析 等 很 多 基 本 理 论 都 是 通 过 良序 定 理 乡 到 证 明 的 得。应 用 数学 与 计 算 数 学 学 报2 2.12卷提 出第 四 次数学 危 机的依据。,数 学 卜的 发 现 往 往 有 类 似性 康 托 本来 不 是 研 究 集合 问 题 的 而 是 在 研 究 富 里 埃 级 数 的 唯 一 性 时 突 然 发现 和 创 建 集 合 论 的 笔 者也 是 在 研 究 概 率论 公 理 系统。,9 从 1 以 年 良 序定 理 的 证 明和 以 后 集 合 论 很 多 定 理 的 证 明 中 都 包 含 着 一 个 人 们 不 易 发 现 的错 误和 测 度 论 时 突 然 发现,。法。正 确 掌 握 集 合 论 揭 露 这 些 错 误 的 有效 且 简 明 易懂 的 方 法 就 是 翁 合的 三 分 9 希 尔 伯特 在 1 0 0 年 说 : 把 证 明 的严 格 化 与 简单 化 完 全 对 立 起 来是 错 误 的“。,、有大 量 的 例 子 可 证 实 : 严 格 的 方 法 同 时 也 是 较 简单 和 较 易 理 解 的 ) o 设 D 是 一 个 可 列 无穷 集 且 已 被 划 分 为 A B 岛 o ( 其 中 B 为可 列 无 穷 集 。 , 1 : ‘ ; 一 般 情 况 对 任何 我 们 可 以 把 B 划 分 为 三 个可 列 无 穷集 A 刀 c 把几 , 十1 十 ; 十 ; 刀 C 划 分 为三 个 可 列 无 穷 集 人 这 种 划 分 可以 无 限进 行 ! 去 任 何 集 论 学者 不 仅 知 道 存 在 这 种 划 分 而 且 容 易给 出 具 体 的 划 分 方 法 显 然 成 立 卜 一 合 : 公式相反, , , , 。、,”。,,,,., .,。,一。,。一一其中2 式 (.沙)。 ,。叼 (县 ) t cB 二?(自 、《 分 叫也可 以 使B() 1 . 2公B 二一自碑二刀.当 然 我 们可 以 使功,为 某确 定 的 非 空集合。。O扫 D 的 每 一 个 分 解 式 内 出 现 的 集 合 都是 互 不 相 交 的 集合三 分 法 的 直 观 解 释 是 : 当 一 个 人的 财 产 是 可 列 无 穷 胜每 次 费 用 都 不 超 过 可 列 无 穷 的 条 件 下 他 既 可 以 把 全 部 财 产 一 次 用 完 ; 也 可以 先 在 银 行 存 一 个 可 列 无 穷 留 「 个可 列 无 穷 作为今 后 使 用 的 备 用 金 把 剩 卜 可 列 无 穷 作 为费 一 的 用 那 末 他 的 财 产 永 远 用 不 完 且 银 行 存款 总 是 越 来 越 多 ( 当 然 仍 是 可 列 无 穷 ) ) 2 ) 我 们 强 调 : ( 1 式 仅 是 集 合 三 分 法 的 形 式 表 示 特别 它 随 击 肠 已 的 不 。 ’ 同选 取 而 有 不 同 的 具 体 内 容 令 初 始 划 分是 A 罗 二 衅 ’= 叭 风 ’二 D 则 D 的初 始 三 等分式 应 为,_1),,一,。,。.。,.).、。,。一(息 )?{())。?:一u(愈 ) (g ),司(1 〕一?}, 《)U一日(自 )。. ,,司‘”,2 不一 ,良 序定理 悖 论若 良 序 定理 成 立,则任 何 集合 的 基 数 都 不超 过证明由 良 序定 理任何 集 合 E 可表 示 为E ={.(、.‘?:.…}二 {。。记 、:‘,&‘ 〔 , ,其中。。 。是E良序 后 的 序 型,即 序数E。 , 、,义 对 任意‘、 ,三。。),记=笼了 :‘ 、:‘,&‘,1设-D是 一 个 可列 无 穷 集G。一 对应 映射我 们 的 目的 就 是 去 建 立 一 个 双 这 就 证 明 了悖 论。、‘.到 D 的 子 集 }泊勺大期工呜鹤:第 四 次 效 学 危 机 ( ) 一一 总 述 I‘,二 我 们 利 用超 限 归 纳 法 原 理 先 令 〔 。’ 2 ( 2 ) 式 中 创” 的 非 空 总 能 找 到 l 。 砚 ) (.。,1。,并令‘(。‘ ,,i l二:了z。J 以￡1二{‘ 。、} 及,、了若记)人,,这 就建 立了对,到.日留 卜 叮)”卜的 映 射GG。我 们规 定从E. ,双到 氏,;二的扩 展 如 卜 设,:(;是 双 到叭、,、. 阵 01 七. 沪 ..。〔一,卜的e‘--寸 一 又 应映‘(石‘ 、,射 若CUGt一( G)非 空 则从 中取 一 元 索 心、 ,记。、‘一“若.断 曰 U二、);,在G二O八 中取 一 元 素 试r口,记, , ‘ 、、 1=。,.+ 1。。由E、1及、: J{. , 、} 只要令G (.)二l‘ 、十1、 l 是 乙, 到日以,卜的,一’ , c对 应映射‘,再 假 设 尸 三伪在 整数且当‘ 砂2, , ‘且 对 任意 满 足1厂的,‘,L,都有 ‘ 在 尤”、、卜的 扩 展:即存?曰、 .及一个otD的三分 法 式 2 ) l .‘是。双、到七 J魂二C,卜的,.t)一,对 应映平庄‘,时,它是在。刀.、:卜映 射 的 扩 展‘ 、 、我 们 将 i正明,存在’ } (刀、卜的,扩展。l。先 设 /‘ 是 极 限 序数,‘,一.对每 一 个。任。娜由 尸 是 极 限 序数 及丑,、_口恒存在 满足 卜规 定 二 的 映 象 就 地、, ,, ,,长,,。刃.、 1因此 卜的 自。「、,‘任「瓦、、 ,.。由 在 卜己 仃定 义 我 们 在 乙 , 容 易证 明 自 。 ) 的 决 定 与 “ 的 选 择无,、“1一关,t 是 唯一 确定 生 一 对应 的 以 卜方法 定 义在 双 卜的 映 射 “,,--.’ , ( 、肠 、:,一定是’ i (D的 子集;。为 了能 满 足 招 限 归C。纳 法 结 论 条件 的 要 求分 三 种 情 况 讨论,同 当长 男,协是 非 零 有限 仇。记为“,?这时是 凡 到日卜的 映 射,已满足 超 限 归 纳法 的结 论 条件, l ( ) 当, 长肾“。二一(?.易证 明GE (,)。L J从DC,?这 卜满 足 超 限 归 纳 法 的 结 沦 条件.?我 们 需 要 修改 集 合,D的 三 分法 公 式‘ ”的 初 始三 分法 姆2 、式出发“ 、,记{‘’ 一” 日 {一” “ ‘ ;{”{、 ’ ,?A{‘,! ’ ,一“: “, ‘以,, ’二C U :,.币新 t 分 为 川 州 J l 产’、 ’ ‘.‘ 、‘ ’ 按 丫照 集合 三 分 法 的 法 则l可以 得到D的 新的分(2.二我 们称 (2劝,(中)沙。。(自 劝,3): 为 集 合 二分 法 i 第 一 次 压 缩 更 一 般 当集 合三 分 法 己经 过 荟次 压 缩 ] { ( 分可 以 是 超 限 序 数 ) 则 第 牛 、 1 次 压 缩 前 及 压 缩后 的 集 合 三 分 法 公 式 分 别 为?拍 冲? ￡、,山。(息 )口‘气 2.们应 用数 学 与计 算 数学 学 报一12卷(县 ) 一 (g,?‘:一 uu司“”),2 ‘一 ,. 2 ) 其中 ( 5 由A梦, 十 ‘’ 刀梦十”以+ ‘ ‘’按 集 合三 分 法 的法 则 产 生且 第 ￡+1次 压 缩的关 系式为,梦+ ‘, =’ A ‘’一 U : A梦;刀护+ ‘,=A, 梦uB “, ;以‘ +‘,=U司口‘’(2 6 )?二0因 为当黔、。=‘ 时,) 4 一 定 存 在 一 个 共 同的 三 分 法 公 式 ( 今 满 足 超 限 归 纳。法 的 假设 条件 这 时 我 们修 改 。 为。。二( 0: ‘三脚,.容 易看 出,当‘ :三月时,G都。是E 到 oU 创壮‘:‘,=以, ‘ 、十 ‘ ‘’一卜的一,对 应映射满 足 了超 限 归 纳 法 的 结 论 条 件. 2 ) ) c ( 若 & 口 时 找 不 到 一 个 共 同 的三 分 法 公 式 ( 4 满 足 超 限 归 纳 法 的 假 设 、 & 三 条 件 这 时 一定 有 ) j / 即 在 月 前 集 合三 分 法 的 压 缩 次 数 创/ 是 一 个 ) 州 极 限 序 数 由 序 数理 论 可 知 每 一 个 极 限 序 数 都 是 由 小于 它 的 无 穷 个 序 数 来 定 义 这 得 的 下 面 的 引理 是 显 然 的 ( 引 理 2 1 每 一 个 非零 极 限 序 数 石 一 定 能 找到 一 个 小 于 石的 序 数 F 别 使 ( F 。 的关 系 是 一 一 对 应 的 & 时二。, 。,。.。.,,。利 用引理刀2 1.,我 们令护‘? ,‘一 ’=,了月? ,、 “ 一 ”:嵘?,’=‘( :,):,{ 沂。、” ,’二。一n{ 产勺” ’一己“ ‘ ‘? ’(2 7 ).心’.衅’,才“, ’一 定 都是 可列 无 穷 集戈 ? ‘一按 集合三 分 法 的 法 则?,可得2 ‘一一保 留 假设 条 件 中 的.(息 ) 一 (g )八) 令,:。U,( ‘一 ’了! , ‘三 ‘ ‘! & , (, ‘。=‘ ,?这时 对。r ,: 。G?都是E.、到U :户=C “” ,’0上的 一 一对 应 映 射o 2,满 足 了 超 限 归 纳 法 的结 论 条件,。 这时 G 在 凡 再设 八 是 非 极 限 序数 则存 在 前 趋 序 数 满 足 口 = 十 1 十 : 上 的扩 展就 是前 面讨论 的 从 E 到 双 的扩 展 用 超 限 归 纳 法 原 理 证 得 了 存 在 E 到 D 的 子 集 卜的 一 个 一 一 这 样 我 们利 对 应 映射 G 证毕 z Fc 系 以 上 论 的 证 明 只 用 到 良 序 定 理 超 限 归 纳 法 原理 及 悖 统 允 许 的 常用 逻 则 所 以 它 是 z F c 系统 建 立 以 来 发 现 的 第 一 个 悖 论 也说 明 z F c 系统 辑 推理 法,f 。,。。、。,,_.__、。,的内 部 矛 盾性 良 序定 理 悖 论 可 能 会 引起 选 择 公 理 怀疑 者 对 选 择 公理 的 重 新 攻 击 事实 卜 悖 以 找 出 良 序定 理 证 明 中 的 潜 在 论 不 是 选 择公 理 造 成 的 只 要 利 用 集 合三 分 法 可 错 误 由 于 篇 幅 关 系 我 们将 在 下 一 篇 文 章 中 予 以 详 细 讨 论 为 了说 明悖 论 与 选择 公 理 无 关 我 们 再 举 出 一 个 z F 系统 的悖 论 : , 序 数 悖论 若 从 存在 则 议 = 断。.。,。,。,。,1期 已知杖1王鸣 鹤:第 四 次 数学 危 机 ( I 一 一 总 述 )证明是集 合=z。{一 切 可 数 序 数 全 休 } = {1,,2,…,。 ‘ 十 l,,…(2 勿?的 基 数 由 序 数理 论 z 是 良序 集 ( 这 不 需 要 良序 定 理 ) 因 此 重 复 良 序定 理 悖 论 的 证 明 即 得证 证毕 杖。 从; 从: 完 全 由序数 理论 产 生 的 虽然 都 是基 数 但 所 以 称 此 为序 数悖 : 论 对 以 上 证 明 解 释如 下 2 ) ( a 为 什 么 集 合三 分 法 能 证 明意 想不 到 的结 论 ? 我 们进 一 步 剖 析 ( 4 式 ) ‘ ” ’= , + “一 : 》 , , , = , ‘ , + 。 3 , ( 、全 3 ) ; ( ‘七 1 则 令 { 几 ) 创, 。 、 , , 。.。.一O‘,X〕U {‘ 0 =A ‘, 〕0i 三U、 三; A ‘+ i )((U C{‘ o =‘ = ,0U+ 三‘ 、 ( 石 三1(2).10 )这说 明 不 管 G (E,) 使 用 了 D 的 多少 个 可 列 无 穷集。,则D( 中未 被 G 局 ) 使 用 的 子集U川,‘ ’中包 含 比 G 场 ) 更加 多 个 可 列 无 穷 集 (, ,所 以 超 限 归 纳 法 的 结 论 条件 永远 能满 足 & ( l ) 利 用 (2 9 ) 式 记 Z 。 = { ; 石 共 = {z 。 中 的 非 零 极 限 序 数 } } 则 十、 十, 二 * : 。+ ; 兵 共 叫朴 所 以 共 比 Z 小 得 多 而 兵 仅 比 入 少 一 个 元 素 因 此 引理 + , 1 . 2 的 结 论 : 存在 F 把 共 一 一 对 应 映 射 到 二 中 显 然 是 容 易 满 足 的 我 们 记?.。 ,。 ,,,。,.。。二 。,。, + :=:; 易刀:’根 据 序 数理 论,当 石=,, 、。+ ”:或 石=1,?”2,我 们总 能 假 定的 极 限度 不 低 于 华.这样,是唯 一 确 定 的 我 们规 定: ”F(。 )=2,F?(,,: +=,,2i)?=11+ F(1 2 )(2(2.11)F ( , 11F, ,2),F(7 21) (石&: , + :.12)(:,, + :)=。补F? ,F( 。 乞= )。“ 万,)(2?13)。容 易证 明例 (i,卜面 定 义 的 映 射( 是 一 一 对 应 的 现 举 例说 明 F 韵 的 确 定方 法。)2尸 ( (。 , + 。=。峨 + 。 3卜。3?5)?=。F(。 怪 +=。3?5) =?F (。谧 + 。3。Z?4 + 。2曰3?。)??4 + F(。2)。峨 + 。34 +F( )。=。4 +?4 + 。22例 (11尸 (( 。 、 ‘=囚‘曰. ?。“)?。、’) = r (。 “?。‘,)= 。.“ 尸( 。‘?,‘ 公r 喂 2 ) =公‘ 甲二‘r(‘ ) =公 ‘曰“2应 用 数学 与 计 算数 学 学 报1 2卷例 (11 1 :‘嵘汾+?) 拭朴‘一。淤‘。十￡ 一;十呼科’ 互, _扭“ ‘ ’)。岔十‘( :r?) ; 孟)‘?(+‘”‘:二”子;。‘ :1心2 1 ) 2 里 扩 与 护 在 公 式 件 1 ) 里 的 扩 极 限度 是 小 于 护 的 极 限 度 而 在 公 式 ( F 立 还 需 一 定 的 篇 幅 笔 者 将在 下 一 篇 文 章 中 论 有相 同 的 极 限 度 但 要 完 全 建 述 这 二 个悖 论 探 刻 地 揭 示 出 集 合论 基 本 理 论 中存 在的 矛 盾 现 象 不 仅 动 摇 了 集 合论 的 大 量 结论 而且 动 摇 了 现 代 数 学 很 多 分支 的 基 础 因 此 笔 者 提 出 第 四 次、 , 。。。,.,,。,数 学 危 机 并 不 是 危 言耸 听一一,而是 正 确 反 映 了 现 代 数 学 的 实 际 情 况。。焦3但 由于 数 学 真 理 的 无 限性 与 人 的认 识 的 有 阴 性 数 学中 出 现 矛 盾 现 象 甚 至 悖 论是 很 难 避 免的 每一 个 悖 论 的 出现 都 对 数 学 的 发 展 起 着 推 动作 用 因 此 一 个 真 正的 数学 悖论 的 发现需 要 对 数 学 有 深 刻 的 洞 察 力 但 是 数 学家发 规数 学 悖 论 的 目的 本是 为了 制造 数 学 认 识 卜的 混 乱 必 须 在 发 现 悖 论 的 同 时 给 出 对 悖 论 的 正 确 解 释 最 后 消 除悖 论 这 二 个 悖 论 至 少 告 诉我 们,一。二 个 悖论 的 启 示 数 学 这 门 科学 是 不 存 在 悖论 的。 ,。_,,。如 卜 实: 事 的 z = 蓬一 切 可 数 序数 的 全 体 } 不 是 一 个 集 合;‘,-其 理 由与 布 拉 里 福 蒂 悖 沦 二 { 尸 } 不 是 一 个 集合 的 理 由 相 同 告 诉 我们 姗 切 序数 的全体 ) h 不 存 在 不 可 数 序 数 因 此 历 史 义 恢 复 了 人 们 的 直 觉 : 可 数 就 贞 i丁 梦 列 就 是 可 良 序 良序 定理 及 同 它 等 价 的 一 切 公 理 的 研 究都 是 错 误 的 凡 是 通 过 良 序 定 理 推 出的 所 有 结 论 建 立 起 来 的 所 有 理 论 都是 不 可 靠 的 超 限 归 纳法 只对 可 数 序一。「。。,。。,。有效,。)通 过 序数 理 论 来 定 义基 数 的 方 法 是 行 不 通 的“t 】 ;,。把康 托 猜 想 归结 为 2 二 从 诃 德 与 风 车 的 战斗 动 公 理 化 集 合 论 虽 然 从 形 式 上 克 服 J 第 三 次 数学 危机 但 是 它 认 部 仍 然 存 ’ 在 着 潜 在 的 矛 盾 孕 育 出 一 次 更 加 严 重 的 数学 危 机 从 平 质 卜讲 卜 四 点 不 仅 给出 了二 个 悖 论 的 正 确解 释 而 且 给 第 四 次 数 学 述 危 机 的 克 服指 明 了 方 向 只 要大 家 掌 握 了 集合 的三 分 法 ( 其 实 每 个 大 擎 生 或 中 学 。 ) , l ) ) l t 第 四 次 数学 危 州 就 泪 除 了 但 生 都 可以 掌 握 ) 接 受 了 卜述 司 1 洲 4 年 以 来建 立 起 来 的 传 统 认 补 必 项 有 一 实 际 卜并 不 那 么 容 易 要 改 变 人 们 自 个 痛 苦 的 过 程 尤 其是 有些 数 学 权 威 会顽 固 地 拒绝 新的 正 确 思 想 即 使 得 到 数 学 界 认 识 卜的 统一 集 合 论 数 学 基 础 和 泛 函 分 析 等书 籍 都 要 进 行重 大 他 攻 近 九 十 年来大 量数 学 研 究 成 果 和 几 万 篇 论 文 需 要 重 新 检 验 和审 定 其 正 确 性 这 更需 要?(”,是 不 存 在的 人 们 入歧 途 变 成了 唐 吉 是 把 为 解 决 康 托 猜 想 的 努力 引因此,一。从:。,。,_,,,、、、,。。,。,、,。经 厉 较 长 的 时 期 及 耗 费大 最 的 精 力 当 然 第 四 次 数 学 危 机 并 不 是说 所 有 数 学 都 要 推 倒 重 来 在 1 洲 4 年 以 前 建 认 起 来 的 各 数 学 分 支 它 们的 墓 础 是 完 全 可靠 的 即使 对 二 十 世 纪 建 立 起 来的 数 学, 。 ,一。。新 分支 或 新 理 论,第 四 次数 学 危机 只涉及 其 中 基 础数 学 的 理 论 研 究。对 在本 世 纪l期,王 鸣 鹤 : 第 四 次数 学 危 机 ( ) I、 、一一总 述,得 到 广 泛 应用 的分 支如 运 筹学 数 理 统 计 有 限 元 法等 都没 有受 到 良序 定 理 和 公 理 化 集合 论 的 影 响 但是 克 服第 四 次数 学 危 机应该 是 每个 数学 家 的 共 同 职。 ,责?.3.第四 次 数 学危 机 的 原因 分 析, 、 , 。在 科 学 技 术高 度 发 展 的 令 天 作 为 科 学 领 域 中 最 精 确 最 严 密 的 一 门 学 科 一 一 数学 竟 然会 出现 如 此 深 刻 的 危 机 这是 国 内外 数 学 界 绝 对 想 不 到 的 经过 三 年 多 来 广泛 和 深 入 地 探 讨 已 取 得 以 下 一 些 新 的 认识 : l ( ) 集 合 论 是 康 托 在 1 8 7 3 一 1 8 9 7 年 长 达 二 十 多 年 间 几 乎 是 一 个 人 单枪 匹 马 创 的 ( 这 在 科 学 发 展 史 上 是 罕 见 的) 而 且 又 经 历 了 从 大 部 分 数 学 权 威 的 怀 疑 反 对 立 到 被 普 遍 接 受 成 为 整 个数学科 学 基 础 的 突 变 过 程 第 三次 数学 危机 的 产 生 很 多数 学 家 又 把原 因 归 咎于 康 托 关 于 集合 的 定 义 人 们 这 种 反 反 复复 的 态 度 说 明 人 们 对 康 托集 合 论 缺 乏 正 确 的 认 识 虽然 集 合 作为 集合 论 最 基 本的 概念 本来 就 无 法精 确 定 义 但 是 我 们 发 现 : 迄 今为 止 康 托 的 叙 述 仍 是 唯 一 正 确 的 任何 背 离 康托 定 义 的 一 切 途径 都 会 导 致 错误 我 们 的 任 务 不 是 批 判 它 摒 弃 它 而,, , ,。_一,。。“”,,。“”。、,应 该 是 丰 富 它 丫 正确 领 会 它 : 为了 ) z ( 虽 然公 理 化集 合论 避 免 了 过 去 发 现 的 悖 论 庞 加 莱对 此 曾 评论 说 狼 羊 群 已 用 篱 笆 圈起 来 了 但 不 知 道 圈 里 有 没 有 狼 我 们 的 工 作 证实 了 庞 防备 加 莱 的 担 心 确实 发 生 了 在 形 式 化 了 的 集合 论 公 理 系统 内存 在 着 更 隐 蔽 的 狼 它 吞 食 了 大 量 数学 家 的 辛 勤 劳 动 导 出 了 一 系 列 错 误 的 结 论 : 二 十 世 纪 数 学从 理 论 到 理 论 这条 路 是 否 走 错 ) 3 ( 有 些 数 学 权 威 曾告 诫 了 论 者却常常 回 避 这 个 带 有根 本 性 的 问 题 在 发 现 有 裂缝 的 基 础 上 现 代 集合 大 量 发 展 集 合 论 新 概 念 康 托 的 集 合 论 己经 很抽象 了 有 些 人 把 这 贬 低 为 朴素 集 合论 提 出 更 高 级更 抽象 的 集合 论 第 四 次 数 学 危 机 的 事 实 说 明 这 种 不 顾 实 际 : 背 景 的 不 断抽 象 导 致 二 十 世 纪 的 数 学 基 本 理 论 研 究 走 了 一 段 大 弯 路 而 是 创造 了超 限 基 数 和 超 限 序数 的 ) a ( 康 托 的 伟 大 创造 不 是 发 现 了 集合 光 辉 理 论 但 任 何伟 大 理 论 一 开 始 不 可 能 十 分 完 善 即 使 是 实 数 的 概 念 人 们 已 经 经过 了几 千 年 的 深 化 到 了十 九 世 纪 末才 有 了 比 较 完 整 比 较 深刻 的 认 识 事 实 卜康 托 自 己 已 发 现 他 的 理 论 有 不 完 全 之 处 ( 很 可 能 是 卜述 提 到 的 序 数 悖 论 ) 所 以 在 1 8 9 7 年 至 1 叭 8 年 病 逝 前 的 二 十 年 间 没 有再 发 表 一 篇 论 文 ? ! 可是 康 托 的 继 承 者 没 有 正 确 地 谨 慎 地 对 待 这 个 问 题 反 而 责 怪 康 托 自 己 动 摇 了对 集 合 论 的 信念 结 果 他 们 不 恰 当 地 扩大 了 集 合 论 中 不 成 熟 的 部分 而 且 越 陷 越 深 最 后 发 展 成 为第 四 次 数 学 危 机 5 ( ) 第 四 次 数 学危机 的 间接 原 因 而 且 是 更深 刻 的 原 因 是 对 本世 纪 出 现 的 数 学 基 础 大论 战 并 没 有 得 出 较 正 确 较 全 面 的 结 论 应 该 说 论 战 三 大 派 的 一 些 论 述 都 对 数 学 的 发 展 有 积 极 的 推 动 作 用 但 任 何 片面 性 只 会 损 害 数 学 的 健 康 发 展 例 0 ) 4 如 寇 尼 希 ( K 彻 i 在 1 1 年 8 月 第 三 届 国 际 数 学 家大 会 卜证 明 了 连 续 统 是 不 可 良 ) t r 序 的 而 一 个月 后 策 梅 罗 却 证 明 了 任 何 集 合 都 能 良 序 的 良 序 定 理 这 本 来 是 集 合 论 者重 新 认 识 序 数 理 论 的 大 好 机 会 可 是 现 代 集 合 论 者 在 没 有 指 出 寇 尼 希 的 证 明’一。‘,“,,。”。“”,,。“,”。,。,,。,,。厂“”,。。,,、。。,.、,.,,。,,、。。。,.,应 用 数 学 与计 算数学 学 报, ,xZ卷中有 任 何 错 误 的 条 件 下 片 面 认 为策 梅 罗 用 了 选 择公 理 经 过 逻辑 证 明 的 良 序定 理 当 然是 正 确 的 而 且 现 代集 合 论 的 大 部 分 书籍 采 取 故意 隐 瞒的 手 法 只 字 不 提 集合 论 发 展 过 程 中这 一 重 要 事件 使 后 人 在 学 习 集 合 论 时 根 本 不 知 道 这 件事 这 种 采 取 鸵 鸟 政 策 的 不 严 肃 态 度 导 致 了 一 场 本 来 可 以 避免 的 数 学 危 机 所 以 产 生 第 四 次 数 学危 机 的责 任 不 应 该 全 部 推 到 策 梅 罗 身 匕 也 由于 策 梅 罗 的 继 承 者 对数 学 乏 正 确 的 认 识 和 科学 的 态 度 本文 涉 及 的 有 些 问 题 将 在 以 后 的 文 章 中 予 以 详细 讨 论 由 于 笔 者学 习 代集 减 合 论 时 间 不 长 领 会 不 深 因 此 难 免有 不 足 之 处 欢 迎批 评 指 正。 , , 。 。.。。,,,。参,,考文献,19 85 《 三 次 数 学危 机 》 四 川 人 民 出 版 社 ] l I 胡作 玄 著 第 年 1 , 79 《 穷 数 与 超穷 论法 》 古 林 人 民 出 版 社 周 谢邦杰 著 超 年 198 4 《 卜世 纪 数 学 史 话 》 知识 出版 社 阁 张 奠宙 赵斌著 二 年,,,,,,.1 哎 学基础》 团 莫绍 投著 数 高等教育出 版 社 ”1 年 《 1 同 张 锦 文著 公理 集 合 论 导 引 》 科 学 出 版社 玲8 年 L l 。 ( 古 今 数 学 思 想} 叫 M K i 著 北京大学 译 上 海 科技 出 版 社 1 。粗 年 l i ‘ 、, 、 、 : . r 0 1: 、 ‘ ‘ ‘ 7 , i: , 、 , M t l A 川 6 ‘ p z 7 7 一 1 8 (, ( l 。 , 5 ) 1 ] J K 6 i只 Z 、 K 上 川 P 1 1 0 8 E Zo r i, , l 一 1 M 1‘ 。 w o l 1 毛, ‘ 、 w r l , 、 b : , 二 M t l 黑 9 ‘ B e w i, A: i‘ 59 1〕 伪, ,,’,,,.,,,,.,。,:1〔 ,.,;.,.,,..‘ 。, :,. ,,。.:‘叹. :.,.。L ::L:.‘.,,I, 5 1 4一52 6.(1 90 4 )!I M 1 (, K 1 〕g,H K; ‘, 、 . 、.l r1(,r作 G、,r 、, ,. ,12 ‘ 19.,:.1, :rM“i ‘一 只 : ‘ ‘l ‘ l : r一,.一 L 。注, : i 只 19 24 y、.: 、 。,twki;‘ ‘ , .1 A M 。, 、 t . , w 、 k i s.t.‘r l ‘,、, 、 :W; ‘r 、 、 ;‘w:‘.29 7‘1 11 ‘ F (’、)t , l、t1 t l 、 人 : 、 11 (、, , 、 ti 、s (?’ri 、i、G。 。夕(I ), 几。 ‘ 2S , : 1 , l , l , : 、r 人?M I N G }I E W A N(D,了,子‘了M,一班 hs儿二。,h, :‘U?, ,‘ ,,.Sh,户 0,) 7 2]A I) s t, , 〕 l : , 1 9 {)奄 H i l子、 r t,’r a et,:、r 五一、上 I,, r ‘ !),、I‘, z , 一r , ‘、 , , ‘ i1 t l , , 、tt i( :i‘I J“‘w l,) t 1,::?r“众, ],:(: , , z ,.t, , i一 1 一 : J , 一 e,一声 , 1一 ‘ 、 , , :(‘ l,。 :一 。一5 二 11‘l一,, ,-、r .:(l凡, f(: 、w?,:11一。) r ‘ ‘l、r.,.1。仁’‘Ev一 y.; x , 一 ‘ l, t. :l 一:、 ,l x, ; 、 y: ‘yi t l , : ‘ 1 1) .z 、r。: , . ,Iv) 。: 1 1y Z r,:,二lw.;1 1一 、)l(:x 11只111.;.) : 。r .:一 J :,11, 1 9 ( )4t.:‘ ’1z l5一 ,.t仁1 王 l?一5) .: 1) 、 x) 、: rt, l、 :ris . 。. ( 1川,()f一:、. 、t?. :‘ ) l f , i、 丘 一 一 1 1 生 i..、t,ri( t ly!) v 一r ( 一.: 、 ,,一 一咬上, l一r‘ 、 t; ‘w。,一 ( . : . :、 11 ) r 1 r i、,tz; ,11、:、 (丫, 1 l x ‘ : 、 , t115 . :t:、」 一《1 tltlr,、r :。 ,一、11,tll一r,: ,,。,介‘s、 ,f tllr,只,、w, z,:11一1 i 耳 tlr一l 一一 : r ( , r 。 xli 。彻‘ d.tl:, 、 s r; 、r ,。11、 .) v 一r e , f15t li..、一,tl一 r .: e15, 一五川 rtl: 一 一‘ tl t l , . x l 一: ‘。、i一i i i川一(1川 tl:‘, 二 l 一、 t ‘ie s、r ( )kley.wo rds1 1 1: t一: ‘ ti、、‘一r i、 i, 一, : 、 、L‘1. , x.w11一 。Jr (: 一 e 卜r ix 只 t l一、) r . : 一 ; , :w。 :11一(,r l,、., (1: 5 。t,; l ix 一 ‘ l川 一 1一, , 七
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