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数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章
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第八章 不定积分
一. 填空题
1．若f (e) 1 x，则f(x) ___________
2．设f(x)的一个原函数为xe，则 xf (x)dx _____________ 3．若e
是f(x)的一个原函数，则 xf(x)dx ________________
4．若f(x) 1，则f(x) ____________ 5． max(x,x)dx ___________________
6．若f(x)有原函数xlnx，则 xf
(x)dx _______________ 7．
ln(sinx)sin
dx ________________
dx(1 2cosx)
Asinx1 2cosx
，则A __________，B __________
9．设 xf(x)dx arcsinx C，则
_________________
dx _________________
12． 13． 14．
a sin(lnx) cos(lnx)
________________
f(x) xf (x) dx
________________
_____________
dx _____________________
4sinx 3cosxsinx 2cosx
dx ______________
17．已知f (2 cosx) sinx tan
x，则f(x) _______________
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数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 ...第八章 不定积分习题§1 不定积分概念与基本积分公式 1. 验证下列等式,并与...数学分析课本(华师大三版)-习题及答案8.0_理学_高等教育_教育专区。数学分析课本(华师大三版)-习题及答案1.验证: y = x2 sngx 是 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案07_理学_高等教育_教育专区。数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课本(华...数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十三章_理学_高等教育_教育专区。数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课...数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第三章_理学_高等教育_教育专区。数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课本...数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十二章_理学_高等教育_教育专区。数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课...数学分析课本(华师大三版)-习题及答案02_理学_高等教育_教育专区。数学分析课本...n →∞ n →∞ 提示:参考第一章总练习题 1。 习题答案§1 数列极限概念 ...数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第九章_理学_高等教育_教育专区。数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课本...数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案 数学...数学分析课本(华师大三版)-习题及答案01_理学_高等教育_教育专区。数学分析课本...第一章 实数集与函数习题 §1 实数 1、 设 a 为有理数,x 为无理数。...[方法二]第二换元积分法（令x?sect）：；?dxx2x?12??secsect?tant2；二分部积分法；定理5（分部积分法）若u(x)与v(x)可导，不；u(x)v?(x)dxu?(x)v(x)dx存在；也存在，且?u(x)v?(x)dx?u(x)v(；即?u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(；证明：由[u(x)v(x)]??u?(x)v(x；
[方法二] 第二换元积分法（令x?sect）： ?dxx2x?12??secsect?tant2t?tantdt??costdt?sint?C?x?1x2?C（优于方法一！！）。 二 分部积分法 定理5（分部积分法）
若u(x)与v(x)可导，不定积分?分?分公式）； u(x)v?(x)dxu?(x)v(x)dx存在，则不定积也存在，且?u(x)v?(x)dx?u(x)v(x)??u?(x)v(x)dx，（此式称为分部积即
?u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x)，（此式称为分部积分公式）。 证明：由[u(x)v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)即可得。 例11 求?xcosxdx。 则【分析】 令 u?x，dv?cosx?dsinx，用分部积分分式即可求出。 dv?cosx?dsinxu?x解：令 ，，?xcxo?dxssxx?i?snxi?dxsnxx?icxn?oC。 s例12
求?arctanxdx。 x12说明：在熟练后，u,v不须写出。 解：?arctanxdx?xarctanx?3?1?x142dx?xarctanx?ln(1?x)?C2. x例13
?lnxdx。 解：?3xlnxdx??lnxd(x44)?(xlnx?4?x3dx)?x416(4lnx?1)?C。 注：分部积分可多次使用。 例14
求?解：?xe2xe2?xdx。 2?x?xdx??axxd(?e2?x)??xe?x2?x?2?xe?x?xdx??xe2?x?2?xd(?e?x)
求解：I1?I2???xe?2xe?2?edx??e?x(x2?2x?2)?C. sinbxdxaxI1?1a1a?ecosbxdxax和1a1aI2?ax?eax. sinbx)?1a(eax?cosbxd(e?sinbxd(e)?)?(e(ecosbx?b?esinbx?bI1)cosbx?bI2). axax。 ax??aI1?bI2?ecosbx?ax?bI1?bI2?esinbx?由此得到
解此方程组，求得
I1??eaxcosbxdx?bsinbx?acosbxa?b22?C;I2??eaxsinbxdx?asinbx?bcosbxa?b22?C 结论：当n是正整数时，如?xedxnnx，?xsinxdxxn，?xcosxdxn，这种类型的积分，都xlnxdxndv分别为edx，sinxdx，cosxdx；可用分部积法解决，这时，设u?x，同样?，?xnarctanxdxx，?narcsinxdx kxn这种类型的积分，也可用分部积分法解决，这时，设dv?xdx，u分别为lnx，arctanx，，
（a，b，k为常数）这种类型的积分如例15那样，也可以用分部积分法来解决。 课后记
1． 在教学过程中,告诉学生使用换元积分法原则和分部积分法的:化为积分表中有的形式,所以拿到题目先确定用换元积分法还是用分部积分法,其次与积分表中已有的公式比较,最后决定用哪一个具体的代换或看哪部分是u哪部分是dv效果明显.
2．应该提醒同学们注意P189习题2、（7）这种类型的题目的解法(在第九章第五节例13中再次用到). arcsinx。
?ekxsin(ax?b)dx?ecos(ax?b)dx?[ln(lnx)?1lnx]dx??ln(lnx)dx??lnx1dx?xln(lnx)??lnx1?1x?xdx??lnxdx?xln(lnx)?c 1§3
有理函数和可化为有理函数的不定积分 教学目的要求:能熟练的计算有理函数的不定积分，会用万能变换等计算一些三角函数有理式的不定积分和某些无理根式的不定积分. 教学重点难点:重点是有理函数的不定积分.难点求分部分式. 学时安排:
4学时 教学过程: 一 有理函数的不定积分 有理函数的一般形式为： R(x)?P(x)Q(x)?a0x?a1xb0xmnn?1m?1???an???bm?b1x。 a0?b0?0其中n,m为非负整数，a0,a1,?,an与b0,b1,?,bm都是常数，且。若m?n，则称R(x)为真分式；若m?n，则称R(x)为假分式。 结论：假分式=多项式+真分式。 因此，对有理函数的积分，只要讨论真分式的积分即可。 重要结论：任何一个有理真分式必定可以表示为若干个形如（称为部分分式）： AAk（1） x?a；
（2） (x?a)Ax?B；(k?2) 2（3）x?px?q2(p?4q?0)2Ax?B；
（4）(x?px?q)2k(p?4q?0)(k?2)。 的真分式之和，其中A，B，a,p,q,为常数，k为正整数。 因此，对有理真分式的积分只要讨论上述四种形式的真分式的积分即可。 （1）?x?adx?lnx?a?C。 （2）?(x?a)?x2dxk?1(1?k)(x?a)dx?k?1?C， (k?1)。 2Ax?B?px?q?(x?Ax?Bp2)?24q?p4dx（3） N?B?pA2，则 ，令t?x?p2，并记r2?4q?p42，?x
Ax?B2?px?qdx??(x?2Ax?Bp2)?224q?p4Nr2dx?A?tr?C2tdtt?r2?N?tdt2?r2 ?A2ln(t?r)?arctan
Ax?B2。 dt(t?r)?N?222k（4） 同（3）可得 (k?2)，
?(x?px?q)k?A??tdt(t?r)A222k?N? 2kdt(t?r)。 2(1?k)(t?r)2k?1Ik?
?(tdt2?r)，则 22kIk?1r
?(t?r)?t(t?r)222222kdt?1r2Ik?1?1r2?(t)t222k?r)dt 1
=r?1r22Ik?1?12r(k?1)12?td(21(t?r)t2k?1k?1 Ik?1?t
Ik?22r(k?1)(t?r)?2k?32r(k?1)2[?Ik?1]，于是，有递推公式 2r(k?1)(t?r)x?Ik?1。 将这些结果代回，即可求得所求积分。 ?2x?2)例1 求 。 解：因本题中，被积函数的分母不能再分解，故 x?12?(xdx
(x?2x?2)22?(x?2x?2)?(2x?1)(x?2x?2)222?1x?2x?22?2x?1(x?2x?2)22； 而
?xdx2?2x?22x?12??(x?1)d(x?1)2?1?arctan(x?1)?C1； dx?2dt2
?(x?2x?2)dx?2?(x(2x?2)?12?2x?2)??(xd(x?2x?2)22?2x?2)2??[(x?1)d(x?1)2?1] 2?1
x?2x?22?(t?1)2(t?x?1)； I2?又
?(tdt2?1)?2?t2(t?1)x?122?12??t12dt2?1?t2(t?1)2?12arctant?C2 2(x?2x?2)dx?arctan(x?1)?C2； ?32arctan(x?1)?C故
?(xx?122x?32(x?2x?2)2?2x?2)2。 课堂练习： P198,T1.(1)、（3）、（5）。 二
三角有理式的不定积分
由u(x)，v(x)及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于u(x)，v(x)的有理式，R(sinx,cosx)dx并记为
R(u(x),v(x))。对于三角有理式的不定积分
?。 一般通过变t?tanx2（万能变换），可把它化为有理函数的积分： 换2sinsinx?sincoscosx?sin222x2cosx222tanx22x2
?cos2x2?1?tan1?tan1?tan1?t1?t22x2?2t1?t2； 2x2x2?sin?cosx2?x22t2x2?1?t2x1?t221?t222dx?dt；
??R(sinx,cosx)dx?R(1?tdx,2)1?tdt。 例2
求 ?sin1?sinxx(1?cosx)t?tanx。 2对三角有理式的不定积分总是有效的，但并不一定是最好的注意：上述变换变换，在实际计算中要注意选择不同的变换。 ?1) 若R(?sinx,cosx)??R(sinx,cosx),则可令t?cosx,如求cossin54xx2dx 3sinxcosxdx2) 若R(sinx,?cosx)??R(sinx,cosx)，则可令t?sinx，如求 ?。 3) 若R(?sinx,?cosx)?R(sinx,cosx)，则可令t?tanx，如P195例4。 三
某些无理根式的不定积分 1．化。 ?R(x,nax?bcx?d1)dxnax?bcx?d
(ad?bc?0)型的不定积分。只要令?t就可有理例3
。 说明：用下面的方法计算本题较为简单 ?xx?2x?2dx ?x1x?2x?2?dx?x?2x?dxx?42??dxx?42??1221?()x2d()x。 例4 求 (1?x)2?x?xt?1?x?dx2。 2?x即可有理化，解：令（略）。 说明：用下面的方法计算本题较为简单 dx(1?x)2?x?x2???dx(1?x)3(1?x)?(1?x)2??(1?x)2dx31?x?1 ??13?131?x?1d(31?x?1)??2331?x?1?C
2．2。 ?R(x,ax2?bx?c)dx2型不定积分(a?0时，b?4ac?0，a?0时，b?4ac?0)。 一般地，当a?0时，令ax?ba?c?22ax?t即可将积分有理化之；当c?0时，令ax?ba?c?xt?c即可将积分有理化之。以上两种变换均称为欧拉变换。 注意：初等函数的原函数不一定是初等函数，因此，在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函数可积（见教材P198）。 课后记 在今后的教学中应注意强掉
P193公式(7)的推导过程中所使用的方法. 三亿文库包含各类专业文献、外语学习资料、文学作品欣赏、应用写作文书、生活休闲娱乐、行业资料、各类资格考试、高等教育、38(数学分析教案)第八章等内容。　
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