学习大数据，需要掌握哪些数学基础
文 / 曾剑平
由于工作关系，在我的周围存在这两类人，一是正在学校学习的大学生，二是在IT公司从事研发设计的工程师。他们在数学学习和应用方面出现了两个极端。在校大学生，特别是大一、大二的学生每学期都有一些诸如数学分析、线性代数、数论之类数学课程，尽管在课堂上可以听到莱布尼茨和牛顿的纠葛故事、笛卡尔的爱情故事，但是他们往往感到很迷茫，因为不知道所学的数学知识到底有什么用。对于IT公司的研发人员来说，他们在进入大数据相关岗位前，总是觉得要先学点数学，但是茫茫的数学世界，哪里才是大数据技术的尽头？
一谈到大数据技术，很多人首先想到的是数学，大概是因为数字在数学体系中稳固的位置吧，这也是理所当然的。本文对大数据技术的数学基础这个问题进行一些探讨。
我们知道数学的三大分支，即代数、几何与分析，每个分支随着研究的发展延伸出来很多小分支。在这个数学体系中，与大数据技术有密切关系的数学基础主要有以下几类。（关于这些数学方法在大数据技术中的应用参见《互联网大数据处理技术与应用》一书， 2017，清华大学出版社）
（1）概率论与数理统计
这部分与大数据技术开发的关系非常密切，条件概率、独立性等基本概念、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、方差分析及回归分析、随机过程（特别是Markov）、参数估计、Bayes理论等在大数据建模、挖掘中就很重要。大数据具有天然的高维特征，在高维空间中进行数据模型的设计分析就需要一定的多维随机变量及其分布方面的基础。Bayes定理更是分类器构建的基础之一。除了这些这些基础知识外，条件随机场CRF、隐Markov模型、n-gram等在大数据分析中可用于对词汇、文本的分析，可以用于构建预测分类模型。
当然以概率论为基础的信息论在大数据分析中也有一定作用，比如信息增益、互信息等用于特征分析的方法都是信息论里面的概念。
（2）线性代数
这部分的数学知识与大数据技术开发的关系也很密切，矩阵、转置、秩 分块矩阵、向量、正交矩阵、向量空间、特征值与特征向量等在大数据建模、分析中也是常用的技术手段。
在互联网大数据中，许多应用场景的分析对象都可以抽象成为矩阵表示，大量Web页面及其关系、微博用户及其关系、文本集中文本与词汇的关系等等都可以用矩阵表示。比如对于Web页面及其关系用矩阵表示时，矩阵元素就代表了页面a与另一个页面b的关系，这种关系可以是指向关系，1表示a和b之间有超链接，0表示a,b之间没有超链接。著名的PageRank算法就是基于这种矩阵进行页面重要性的量化，并证明其收敛性。
以矩阵为基础的各种运算，如矩阵分解则是分析对象特征提取的途径，因为矩阵代表了某种变换或映射，因此分解后得到的矩阵就代表了分析对象在新空间中的一些新特征。所以，奇异值分解SVD、PCA、NMF、MF等在大数据分析中的应用是很广泛的。
（3）最优化方法
模型学习训练是很多分析挖掘模型用于求解参数的途径，基本问题是：给定一个函数f:A→R，寻找一个元素a0∈A，使得对于所有A中的a，f(a0)≤f(a)（最小化）；或者f(a0)≥f(a)（最大化）。优化方法取决于函数的形式，从目前看，最优化方法通常是基于微分、导数的方法，例如梯度下降、爬山法、最小二乘法、共轭分布法等。
（4）离散数学
离散数学的重要性就不言而喻了，它是所有计算机科学分支的基础，自然也是大数据技术的重要基础。这里就不展开了。
最后，需要提的是，很多人认为自己数学不好，大数据技术开发应用也做不好，其实不然。要想清楚自己在大数据开发应用中充当什么角色（关于当前大数据技术的岗位现状，阅读“”一文）。参考以下的大数据技术研究应用的切入点，上述数学知识主要体现在数据挖掘与模型层上，这些数学知识和方法就需要掌握了。
当然其他层次上，使用这些数学方法对于改进算法也是非常有意义的，例如在数据获取层，可以利用概率模型估计爬虫采集页面的价值，从而能做出更好的判断。在大数据计算与存储层，利用矩阵分块计算实现并行计算。在“”一文中，我也解释了矩阵分块在解决大规模数据计算复杂度时的作用。
如果是其他层次上的大数据技术研发，并不需要太多的数学方法，只要会码就可以了。特别需要说明的是，由于涉及到的数学知识方法较多，本文涉及的大部分数学方法的具体应用可以参阅我编著的《互联网大数据处理技术与应用》一书中关于模型、算法、隐私保护等章节。这里只是做个总体概述，可以有个总体了解。作为大数据技术的学习开发人员，系统地理解大数据技术知识体系非常重要。
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如何培养小学生在数学上分析问题和解决问题的能力
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柯西（Cauchy，Augustin Louis ），出生于，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国的官员，在动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的，柯西本人属于拥护的正统派，是一位虔诚的徒。并且在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如、。
柯西人物简介
柯西(Cauchy, )是法国、、。19世纪初期，已发展成一个庞大的分支,，内容丰富，应用非常广泛。与此同时，它的薄弱之处也越来越暴露出来，微积分的理论基础并不严格。为解决新问题并澄清微积分概念，数学家们展开了严谨化的工作，在分析基础的奠基工作中，做出卓越贡献的要首推伟大的数学家柯西。
柯西日出生于。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家与交往密切。柯西少年时代的数学才华颇受这两位数学家的赞赏，并预言柯西日后必成大器。拉格朗日向其父建议“赶快给柯西一种坚实的文学教育”，以便他的爱好不致把他引入歧途。父亲因此加强了对柯西的文学教养，使他在诗歌方面也表现出很高的才华。　　1807年至1810年柯西在工学院学习，曾当过交通道路工程师。由于身体欠佳，接受了拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师而致力于纯数学的研究。柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的精华，也是柯西对人类科学发展所做的巨大贡献。　　
德国数学家魏尔斯特拉斯
1821年柯西提出极限定义的方法，把极限过程用不等式来刻画，后经魏尔斯特拉斯改进，成为现在所说的柯西极限定义或叫
定义。当今所有微积分的教科书都还（至少是在本质上）沿用着柯西等人关于极限、连续、导数、收敛等概念的定义。他对微积分的解释被后人普遍采用。柯西对定积分作了最系统的开创性工作，他把定积分定义为和的“极限”。在定积分运算之前，必须确立积分的存在性。他利用中值定理首先严格证明了。通过柯西以及后来魏尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格的论述。从而结束微积分二百年来思想上的混乱局面，把微积分及其推广从对几何概念、运动和直观了解的完全依赖中解放出来，并使微积分发展成现代数学最基础最庞大的数学学科。　　数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。在一次学术会议上柯西提出了级数收敛性理论。会后，拉普拉斯急忙赶回家中，根据柯西的严谨判别法，逐一检查其巨著《天体力学》中所用到的级数是否都收敛。　　柯西在其它方面的研究成果也很丰富。的微积分理论就是由他创立的。在方面、、光学、方面，也有突出贡献。柯西的数学成就不仅辉煌，而且数量惊人。柯西全集有27卷，其论著有800多篇，在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家。他的光辉名字与许多定理、准则一起铭记在当今许多教材中。　　作为一位学者，他思路敏捷，功绩卓著。从柯西卷帙浩大的论著和成果，人们不难想象他一生是怎样孜孜不倦地勤奋工作。但柯西却是个具有复杂性格的人。他是忠诚的保王党人，热心的天主教徒，落落寡合的学者。尤其作为久负盛名的科学泰斗，他常常青年学者的创造。例如，由于柯西“失落”了才华出众的年轻数学家与的开创性的论文手稿，造成晚问世约半个世纪。　　日柯西在巴黎病逝。他临终的一句名言“人总是要死的，但是，他们的业绩永存。”长久地叩击着一代又一代学子的心扉。
柯西在纯数学和的功力是相当深厚的，在写作上，他是被认为在数量上仅次于的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能有四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其它地方。
柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员和两位大数学家。他们对他的才能十分赏识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。
柯西人物生平
柯西于1802年入中学。在中学时，他的拉丁文和希腊文取得优异成绩，多次参加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。他于1805年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学；1807年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业，前往参加海港建设工程。
柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的《论》和拉普拉斯的《》，后来还陆续收到从寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从直到天文学方面。根据拉格朗日的建议，他了多面体的研究，并于年向科学院提交了两篇论文，其中主要成果是：
（1）证明了凸正多面体只有五种（面数分别是4，6，8，12，20），星形正多面体只有四种（面数是12的三种，面数是20的一种）。
（2）得到了欧拉关于多面体的顶点、面和棱的个数关系式的另一证明并加以推广。
（3）证明了各面固定的多面体必然是固定的，从此可导出从未证明过的的一个定理。
这两篇论文在数学界造成了极大的影响。柯西在瑟堡由于工作劳累生病，于1812年回到巴黎他的父母家中休养。
柯西1813年
柯西于1813年在巴黎被任命为运河工程的工程师，他在巴黎休养和担任工程师期间，继续潜心研究数学并且参加学术活动。这一时期他的主要贡献是：
（1）研究代换理论，发表了代换理论和在历史上的基本论文。
（2）证明了关于多角形数的猜测，即任何正整数是个角形数的和。这一猜测当时已提出了一百多年，经过许多数学家研究，都没有能够解决。以上两项研究是柯西在瑟堡时开始进行的。
（3）用复变函数的计算实积分，这是中的出发点。
（4）研究液体表面波的传播问题，得到中的一些经典结果，于1815年得法国科学院数学大奖。
以上突出成果的发表给柯西带来了很高的声誉，他成为当时一位国际上著名的青年数学家。
1815年法国失败，波旁王朝复辟，当上了法王。柯西于1816年先后被任命为法国科学院院士和综合工科学校教授。1821年又被任命为力学教授，还曾在授课。这一时期他的主要贡献是：
（1）在综合工科学校讲授分析课程，建立了微积分的基础，还阐明了极限理论。在此以前，微积分和的概念是模糊不清的。由于柯西的讲法与传统方式不同，当时学校师生对他提出了许多非议。
柯西在这一时期出版的著作有《代数分析教程》、《无穷小分析教程概要》和《微积分在几何中应用教程》。这些工作为微积分奠定了基础，促进了数学的发展，成为数学教程的典范。
（2）柯西在担任巴黎大学力学教授后，重新研究。在1822年的一篇论文中，他建立了弹性理论的基础。
（3）继续研究复平面上的积分及留数计算，并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等。
他的大量论文分别在法国科学院论文集和他自己编写的期刊“数学习题”上发表。
柯西1830后
巴黎爆发了反对波旁王朝的革命
1830年法国爆发了推翻波旁王朝的革命，法王第十仓皇逃走，路易·菲力浦继任法王。当时规定在法国担任公职必须宣誓对新法，由于柯西属于拥护波旁王朝的正统派，他拒绝宣誓效忠，并自行离开法国。他先到瑞士，后于年任意大利大学数学物理教授，并参加当地科学院的学术活动。那时他研究了复变函数的级数展开和（强级数法），并为此作出重要贡献。
年柯西先在、后在戈尔兹担任波旁王朝“王储”公爵的教师，最后被授予“男爵”封号。在此期间，他的研究工作进行得较少。
1838年柯西回到巴黎。由于他没有宣誓对法王效忠，只能参加科学院的学术活动，不能担任教学工作。他在创办不久的法国科学院报告“和他自己编写的期刊分析及数学物理习题”上发表了关于复变函数、天体力学、等方面的大批重要论文。
路易十四一家
1848年法国又爆发了革命，路易·菲力浦倒台，重新建立了共和国，废除了公职人员对法王效忠的宣誓。柯西于1848年担任了巴黎大学数理天文学教授，重新进行他在法国高等学校中断了18年的教学工作。
1852年拿破仑第三发动政变，法国从共和国变成了帝国，恢复了公职人员对新政权的效忠宣誓，柯西立即向巴黎大学辞职。后来拿破仑第三特准免除他和物理学家阿拉果的忠诚宣誓。于是柯西得以继续进行所担任的教学工作，直到1857年他在巴黎近郊逝世时为止。柯西直到逝世前仍不断参加学术活动，不断发表科学论文。
日，他突然去世，享年68岁，他因为热病去世，临终前，他还与巴黎大主教在说话，他说的最后一句话是：
“人总是要死的，但是，他们的功绩永存。”
柯西个人轶事
柯西在学生时代，有个绰号叫『苦瓜』，因为他平常像一颗苦瓜一样，静静地不说话，如果说了什么，也很简短，令人摸不着头绪，和这种人沟通，是很痛苦的。柯西的身边没有朋友，只有一群妒嫉他聪明的人。当时法国正在流行社会哲学，柯西工作之余常看的书，却是拉格朗日(Joseph Louis Lagrance，)的数学书，与灵修书籍《效法基督》，这使他赢得另一个外号『脑筋劈哩啪啦叫的人』，意即神经病。
柯西的母亲听到了传言，就写信问他实情。柯西回信道：『如果基督徒会变成精神病人，那疯人院早就被哲学家充满了。亲爱的母亲，您的孩子像原野上的风车，数学和信仰就是他的双翼一样，当风吹来的时候，风车就会平衡地旋转，产生帮助别人的动力。』
1816年，柯西回到巴黎，担任母校的数学教授，柯西自己写道：『我像是找到自己河道的鲑鱼一般地兴奋。』不久他就结婚，幸福的婚姻生活，有助于他与别人沟通的能力。
柯西任教的巴黎大学
数学大师曾说过：『只有数学能够探讨「无穷」，而「无穷」正是上帝的属性之一』。物理、化学、生物都是有限之内的学科，『无穷』才能代表永远测不透的极限。『无穷』的观念令哲学家疯征、让神学家叹息，使许多人深感惧怕。柯西却把『无穷』应用来厘定更精确的数学含义，他把数学的微分看或是『无穷小时的变化』，把积分表示为『无穷多个无穷小之和』。柯西用无穷重新定义微积分，至今仍为每一本微积分课本的开宗明义篇。
1821年，柯西的名声远播。远自柏林、马德里、圣彼得堡的学生，都来到他的教室里上课，他又发表非常有名的『特征值』理论，同时写道：『在纯数学的领域里，似乎没有实际的物理现象来印证，也没有自然界的事物可说明，但那是数学家遥遥望见的应许之地。理论数学家不是一个发现者，而是这个应许之地的报导者』。
四十岁后的柯西不愿对新政府效忠，他认为学术应有不受政治影响的自由。他放弃工作与祖国，带着妻子到瑞士、意大利旅行教书，各地大学都很欢迎他。但是他写道：『对数学的兴奋，是身体无法长期的负荷，累！』柯西四十岁后，下课后就不再做研究工作了。
他身体逐渐衰弱，一八三八年他再回巴黎大学教书，但为政治效忠问题再度离开。因着他的坚持，一八四八年法国通过大学教授的学术自由，是以个人的良心为底限，不在政治限制之内。从此世界各大学纷纷跟进这个制度，大学成为学术自由的地方。[1]
柯西巴黎纸贵
传说柯西年轻的时候向巴黎科学院学报投论文，非常之快，非常之多使得印刷厂为了印制这些论文抢购了巴黎市所有纸店的存货，使得市面上纸张短缺，纸价大增，印刷厂成本上升，于是科学院通过决议，以后发表论文每篇篇幅不得超过4页。柯西不少长篇论文不得在本国发表，只能改投别国刊物。
柯西个人成就
柯西是一位著名的多产数学家，他的全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷，总计28卷。他的主要贡献如下；
柯西单复变函数
柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。
柯西分析基础
柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从和发明微积分（即无穷小分析，简称分析）以来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展，必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了。
柯西极限论的功能
设f(x）在点x。的某一内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0&|x-x。|&δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|&ε
那么常数A就叫做函数f(x）当x→x。时的极限。
“严格来说，没有这种东西，分析到最后，除了指指点点，我们什么也不会干；……证明就是我和李托叫做神吹的那套玩意儿，是编出来打动人心的花言巧语，是上课够在黑板上的图画，是激发学生想象力的手法。”——哈代。
数学太重要了，在与语文学有着同样的地位。其原因就在于数学本身就是一种语言，而且是一种世界语言，具有普遍性。所以，严格的区分数学概念的词性，是非常有必要的，不仅是数学本身的要求，也是语言科学的要求。
谈到语言和词性，就要了解部分语文基础知识了。
1、名词：表示人或事物、处所、方位等名称的词。
2、动词：表示动作行为、发展变化、心理活动等意义的词。
微积分从诞生的第一天开始，就没有离开过矛盾和驳论。例如，驳论（无穷小驳论）、芝诺悖论等。如果，透过这些争论，可以发现其实他们不过是变相的探讨最终形态的问题！正如关注微粒最终命运一样。有一些人说：柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，有“极限回避”的现象。这种说法是片面的也是不客观的，但还是指出了一些问题（应该说最终形态回避）。柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，被翻译成的时候，是非常经典的。柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，不单纯的定义了极限，还刻画了一种运动现象-向极限（最终形态）靠近的运动。最后画龙点睛，把最终形态a（如果存在，就是说不清怎么来的）叫做极限。
从语法的分析上看，这个说法本质上给了“最终形态”一个称谓（名字）--极限。所以，柯西-威尔斯特拉斯的极限定义中，极限是一个名词，而不是动词。
于是，就把向极限靠近的运动叫做极限现象。许多人在理解柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，混淆了极限现象与极限，笼统的把“极限现象”和“极限”都叫做极限。
关于最终形态的研究，我曾在《微积分秘密报告4》中简单的谈过。既然现代函数极限定义并没有解释最终形态（回避了）！那么，函数的极限定义是要说些什么故事呢？有关的数学证明又在证明什么呢？
其实，是在说一件事：有极限（最终形态），必有极限现象；反过来，有极限现象，必有极限存在！简单来说，就是极限现象是极限（最终形态）的充要条件。所以，要证明极限存在（不必去研究怎么来的），只需证明极限现象存在就够了，确实有投机取巧的嫌疑！
就因为如此，所以现代极限的定义不能告诉你极限怎么来的，只能告诉你极限存在（并且可以证明）。极限现象就本质来看是一种运动现象，描述运动现象的理想工具是什么-函数。所以现代的函数（专业）极限定义，有些函数的味道（一一对应，总有ε和δ对应）也就不起怪了。
有一些人也挺离谱的，把极限说成是动词。理由是，极限的本质是：“一个变化的量无限接近一个固定的量。”这是极限现象的精髓，不是极限的。
可是，要描述极限现象。非要柯西-威尔斯特拉斯绕口的模型吗！当然不是，模型是可以改变的，微积分初等化，就改变了这一模型。使一些复杂的数学证明得到了简化，比如极限的唯一性、函数单调性等。
在柯西的著作中，没有通行的语言，他的说法看来也不够确切，从而有时也有错误，例如由于没有建立一致连续和一致收敛概念而产生的错误。可是关于微积分的原理，他的概念主要是正确的，其清晰程度是前所未有的。例如他关于及其积分的定义是确切的，他首先准确地证明了，他给出了级数收敛的定义和一些判别法。
柯西常微分方程
柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。在他以前，没有人提出过这种问题。通常认为是柯西提出的三种主要方法，即柯西－利普希茨法，逐渐逼近法和强级数法，实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数，可以证明逼近步骤收敛，其就是方程的所求解。
柯西弹性力学数学理论
柯西是在力学方面是弹性力学数学理论的奠基人。他在1823年的《弹性体及流体(弹性或非弹性)平衡和运动的研究》一文中，提出(各向同性的)弹性体平衡和运动的一般方程(后来他还把这方程推广到各向异性的情况)，给出应力和应变的严格定义，提出它们可分别用六个分量表示。这论文对于流体运动方程同样有意义，它比C．-L．-M．-H．纳维于1821年得到的结果晚，但采用的是连续统的模型，结果也比纳维所得的更普遍。1828年他在此基础上提出的流体方程只比现在通用的纳维-斯托克斯方程(1848)少一个静压力项。[2]
虽然柯西主要研究分析，但在数学中各领域都有贡献。关于用到数学的其他学科，他在天文和方面的成果是次要的，可是他却是数理弹性理论的奠基人之一。除以上所述外，他在数学中其他贡献如下：
1．分析方面：在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念；认识到变换在解微分方程中的作用等等。
2．方面：开创了，得到了把平面凸的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。
3．方面：首先证明了阶数超过了的有特征值；与比内同时发现两相乘的公式，首先明确提出置换群概念，并得到群论中的一些非平凡的结果；独立发现了所谓“代数要领”，即的外代数原理。
．善科网[引用日期]
词条作者：朱照宣，《中国大百科全书》74卷（第一版）力学 词条：柯西，A.-L.：中国大百科全书出版社 ，1985 ：265页
中国力学学会是国际理论...
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高中数学必修1-5错解分析第1-3章修改稿
第一章§1.1集合与常用逻辑用语集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. 2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元. 3.子集：如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素（若 a ? A 则 a ? B ），则称 集合 A 为集合 B 的子集，记为 A ? B 或 B ? A；如果 A ? B，并且 A ? B，这时集合 A 称为集合 B 的真子集，记为 A B 或 B A.4.集合的相等：如果集合 A、B 同时满足 A ? B、B ? A，则 A=B. 5.补集：设 A ? S，由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集，记 为 Cs A . 6.全集：如果集合 S 包含所要研究的各个集合，这时 S 可以看做一个全集，全集通常 记作 U. 7.交集：一般地，由所有属于集合 A 且属于 B 的元素构成的集合，称为 A 与 B 的交集， 记作 A ? B. 8.并集：一般地，由所有属于集合 A 或者属于 B 的元素构成的集合，称为 A 与 B 的并 集，记作 A ? B. 9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 ? . 10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集. 12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）. 13.常用数集的记法：自然数集记作 N，正整数集记作 N+或 N ，整数集记作 Z，有理数 集记作 Q，实数集记作 R. 二、疑难知识导析 1.符号 ? ， ， ? ， ，=，表示集合与集合之间的关系，其中“ ? ”包括“ ”和“=”*两种情况，同样“ ? ”包括“ ”和“=”两种情况.符号 ? ，? 表示元素与集合之间的关系. 要注意两类不同符号的区别. 2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时， 要特别注意它的“互异性”、“无序性”. 3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质. 4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表 示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思 维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式 中，B= ? 易漏掉的情况. 5.若集合中的元素是用坐标形式表示的， 要注意满足条件的点构成的图形是什么， 用数 形结合法解之. 6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.1 / 737.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出 来. 8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9.含有 n 个元素的集合的所有子集个数为： 2 ，所有真子集个数为： 2 -1 三、经典例题导讲 2 [例 1] 已知集合 M={y|y =x ＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则 M∩N=（ ） A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）} C．{y|y=1,或 y=2} D．{y|y≥1} 错解：求 M∩N 及解方程组 ?n n?y ? x2 ?1 ?x ? 0 ?x ? 1 得? 或 ? ∴选 B y ? 1 y ? 2 y ? x ? 1 ? ? ?错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素 是什么．事实上 M、N 的元素是数而不是实数对(x,y)，因此 M、N 是数集而不是点集, 2 M、N 分别表示函数 y=x ＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求 M∩N 即求两函数值域的交集． 2 正解：M={y|y=x ＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选 D． 2 2 注： 集合是由元素构成的， 认识集合要从认识元素开始， 要注意区分{x|y=x ＋1}、 {y|y=x 2 ＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x ＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．[例 2] 已知 A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且 A∪B=A，求实数 a 组成的集合 C．错解：由 x2－3x＋2=0 得 x=1 或 2． 当 x=1 时，a=2， 当 x=2 时，a=1． 错因：上述解答只注意了 B 为非空集合，实际上，B= 时，仍满足 A∪B=A. 当 a=0 时，B= ，符合题设，应补上，故正确答案为 C={0，1，2}． 正解：∵A∪B=A ∴B ∴B= 或 ?? 1 或?2? A 又 A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴C={0，1，2}[例 3]已知 m ? A,n ? B, 且集合 A= ?x | x ? 2a, a ? Z ?，B= ?x | x ? 2a ? 1, a ? Z ?，又 C= ?x | x ? 4a ? 1, a ? Z ?，则有： （ ）A．m+n ? A B. m+n ? B C.m+n ? C D. m+n 不属于 A，B，C 中任意一个 错解：∵m ? A，∴m=2a,a ? Z ,同理 n=2a+1,a ? Z, ∴m+n=4a+1,故选 C 错因是上述解法缩小了 m+n 的取值范围. 正解：∵m ? A, ∴设 m=2a1,a1 ? Z, 又∵n ? B ,∴n=2a2+1,a2 ? Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2 ? Z , ∴m+n ? B, 故选 B.2 / 73[例 4］ 已知集合 A={x|x2－3x－10≤0}，集合 B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若 B 数 p 的取值范围． 错解：由 x2－3x－10≤0 得－2≤x≤5．A，求实欲使 BA，只须 ??? 2 ? p ? 1 ? ?3 ? p ? 3 ?2 p ? 1 ? 5∴ p 的取值范围是－3≤p≤3. 错因：上述解答忽略了&空集是任何集合的子集&这一结论，即 B= 时，符合题设． 正解：①当 B≠ 时，即 p＋1≤2p－1 p≥2. 由 B A 得：－2≤p＋1 且 2p－1≤5. 由－3≤p≤3. ∴ 2≤p≤3 ②当 B= 时，即 p＋1&2p－1 p＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关 A∩B= 、A∪B= ，A B 等集合问题易忽视空集 的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 2 [例 5] 已知集合 A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac }．若 A=B，求 c 的值． 分析：要解决 c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合 元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． 2 2 （1）若 a＋b=ac 且 a＋2b=ac ，消去 b 得：a＋ac －2ac=0， a=0 时，集合 B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故 a≠0． 2 ∴c －2c＋1=0，即 c=1，但 c=1 时，B 中的三元素又相同，此时无解． 2 2 （2）若 a＋b=ac 且 a＋2b=ac，消去 b 得：2ac －ac－a=0， 2 ∵a≠0，∴2c －c－1=0， 即(c－1)(2c＋1)=0，又 c≠1，故 c=－1 ． 2 1 ? A， a ? 1 且 1?A. 1? a点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. [例 6] 设 A 是实数集，满足若 a∈A，则⑴若 2∈A，则 A 中至少还有几个元素？求出这几个元素. ⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若 a∈A，证明：1－1 ∈A. a⑷求证：集合 A 中至少含有三个不同的元素.1 ∈A ? 2∈A 2 1 ∴ A 中至少还有两个元素：－1 和 2 1 ⑵如果 A 为单元素集合，则 a＝ 1? a解：⑴2∈A ? －1∈A ? 即 a ? a ? 1 ＝023 / 73该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集 ⑶a∈A ?1 ∈A ? 1? a1 1? 1 1? a∈A?1? a ? 1 A，即 1－ ∈A a 1? a ?11 1 1 1 ∈A， 1－ ∈A .现在证明 a,1－ , 三数互不相等. a a 1? a 1? a 1 1 ①若 a= ,即 a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠ 1? a 1? a 1 1 2 ②若 a=1－ ，即 a -a+1=0，方程无解∴a≠1－ a a 1 1 1 1 ③若 1－ = ，即 a2-a+1=0，方程无解∴1－ ≠ . a 1? a a 1? a⑷由⑶知 a∈A 时， 综上所述，集合 A 中至少有三个不同的元素. 点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例 7] 设集合 A={ a | a = n ? 1 , n ∈N }，集合 B={ b | b = k ? 4k ? 5 , k ∈N }，试证：2+2+A B． 证明：任设 a ∈A， 则 a = n ? 1 =( n ＋2) －4( n ＋2)＋5 ( n ∈N ),22 +∵ n∈N*，∴ n＋2∈N* ∴ a∈B 故 ① 显然，1 ? A ? a | a ? n 2 ? 1, n ? N * ，而由 B={ b | b = k ? 4k ? 5 , k ∈N }={ b | b = (k ? 2) 2 ? 1 ， k ∈N }知 1∈B，于是 A≠B2+ +??② 由①、② 得 A B． 点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系． （2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义． 四、典型习题导练 1．集合 A={x|x －3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x －x－6＞0， x∈ Z}，则 A∩B 的非空真子 集的个数为（ A．162 2 2） B．14 C．15 D．32 ） D．{ 5 ，－ 5 }2．数集{1，2，x －3}中的 x 不能取的数值的集合是（ A．{2，-2 } B．{－2，－ 5 }C．{±2，± 5 }3. 若 P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则 P∩Q 等于（ ） A．P B． Q C． D．不知道4. 若 P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ） A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P Q4 / 735．若集合 M＝｛ x |1 ? 1 ｝，N＝{ x | x 2 ≤ x }，则 M ? N＝ （ x A． {x | ?1 ? x ? 1} B． {x | 0 ? x ? 1} C． {x | ?1 ? x ? 0} D． ?）6.已知集合 A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若 A∩R＋= ，则实数 m 的取值范围是 _________． 7.（06 高考全国 II 卷）设 a ? R ，函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 2a. 若 f ( x) ? 0 的解集为 A，B ? ?x |1 ? x ? 3? , A B ? ? ，求实数 a 的取值范围。8.已知集合 A= x | x 2 ? ax ? 12b ? 0 和 B= x | x 2 ? ax ? b ? 0 满足????C I A∩B= ?2?，A∩ C I B= ?4?，I=R，求实数 a,b 的值.§1.2．常用逻辑用语 一、知识导学 1．逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“ ? ”“ ? ”“ ? ”表示. 2．命题：能够判断真假的陈述句． 3．简单命题：不含逻辑联结词的命题 4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p 或 q；p 且 q； 非p 5．四种命题的构成：原命题：若 p 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命题：若 否命题：若 q 则 p. “若 q 则 p ” . 6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若 p 则 q” 即“若 p 则 q”为真 . 8．充分条件与必要条件 ： ①p ②p q ：p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件； q ：p 是 q 的充要条件 . p 则 q ；逆7．反证法：欲证“若 p 则 q”，从“非 q”出发，导出矛盾，从而知“若 p 则非 q”为假，9．常用的全称量词： “对所有的” 、 “ 对任意一个” “ 对一切” “ 对每一个” “任给”等；并 用符号“ ? ” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题. 10．常用的存在量词： “存在一个” 、 “至少有一个” 、 “有些” 、 “有一个” 、 “有的” 、 “对某 个” ； 并用符号“ ? ”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题. 二、疑难知识导析 1．基本题型及其方法 （1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成； （2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假； （3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别 是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的. （4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；5 / 73方法：利用定义 （5）证明 p 的充要条件是 q ； 方法：分别证明充分性和必要性 （6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立 而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一. 注：常见关键词的否定： 关键词 是 都是（全是） ? （ ? ） 至少有一个 至多有一个 任意 存在 否定 不是 不都是 （全是） ? （ ? ） 一个也没有 至少有两个 存在 任意 2．全称命题与特称命题的关系： 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ,它的否定 ? p : ?x ? M , ?p( x) ； 特称命题 p: ?x ? M , p( x) , 它的否定 ? p : ?x ? M , ?p( x) ；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命 题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明. 三、经典例题导讲 [例 1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若 p 则 q”的形式，并写出它的逆命题、否命 题与逆否命题. 错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似. 逆命题：若两个三角形相似，则它们全等. 否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似. 逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等. 错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相 当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的 例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了. 正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似. 逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等. [例 2] 将下列命题改写成“若 p 则 q”的形式，并写出否命题.a&o 时，函数 y=ax+b 的值随 x 值的增加而增加. 错解：原命题改为：若 a&o 时，x 的值增加，则函数 y=ax+b 的值也随着增加. 错因：如果从字面上分析最简单的方法是将 a&o 看作条件，将“随着”看作结论，而 x 的值 增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若 a&o 时，则函数 y=ax+b 的值随着 x 的值增加而增加，其否命题为若 a ? o 时，则函数 y=ax+b 的值不随 x 值的增加而增加.此题 错解在注意力集中在“增加”两个字上，将 x 值的增加当做条件，又不把 a&o 看作前提，就 变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了. 正解：原命题改为： a&o 时，若 x 的值增加，则函数 y=ax+b 的值也随着增加. 否命题为： a&o 时，若 x 的值不增加，则函数 y=ax+b 的值也不增加. 原命题也可改为：当 x 的值增加时，若 a&o，，则函数 y=ax+b 的值也随着增加. 否命题为： 当 x 增加时，若 a ? o，则函数 y=ax+b 的值不增加. [例 3] 已知 h&0，设命题甲为：两个实数 a、b 满足 a ? b ? 2h ，命题乙为：两个实数 a、b 满足 a ? 1 |? h 且 b ? 1 |? h ，那么6 / 73A．甲是乙的充分但不必要条件 C．甲是乙的充要条件B．甲是乙的必要但不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件错解： a ? b ? 2h ? (a ? 1) ? (b ? 1) ? 2h ? h ? h ? | a ? 1 |? h , | b ? 1 |? h 故本题应选 C. 错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误； （2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误. 正解：因为 ?? ? a ?1 ? h , b ? 1 ? h ? ?所以 ??? h ? a ? 1 ? h , ?? h ? b ? 1 ? h两式相减得 ? 2h ? a ? b ? 2h 故 a ? b ? 2h 即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件. 由于 ?? ?a ? 2 ? h ? ?b ? 2 ? h同理也可得 a ? b ? 2h 因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选 B. [例 4] 已知命题甲：a+b ? 4, 命题乙:a ? 1 且 b ? 3 ，则命题甲是命题乙的 的充分不必要条件. 错因 ：对命题的否定不正确.a ? 1 且 b ? 3 的否定是 a=1 或 b=3. 正解：当 a+b ? 4 时,可选取 a=1,b=5，故此时 a ? 1 且 b ? 3 不成立(? a=1). 同样，a ? 1 ,且 b ? 3 时，可选取 a=2,b=2,a+b=4，故此时 a+b=4. 因此，甲是乙的既不充分也不必要条件. 注：a ? 1 且 b ? 3 为真时，必须 a ? 1 ,b ? 3 同时成立. [例 5] 已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立的 ( ) .错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若 a=1 且 b=3 则 a+b=4 成立，所以命题甲是命题乙A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析：本题考查简易逻辑知识. 因为 p ? r ? s ? q 但 r 成立不能推出 p 成立，所以 p ? q ,但 q 成立不能推出 p 成立，所 以选 A 解：选 A [例 6] 已知关于 x 的一元二次方程 (m∈Z) ① mx －4x＋4＝02② x －4mx＋4m －4m－5＝022求方程①和②都有整数解的充要条件.7 / 73解：方程①有实根的充要条件是 ? ? 16 ? 4 ? 4 ? m ? 0, 解得 m ? 1. 方程②有实根的充要条件是 ? ? 16m 2 ? 4(4m 2 ? 4m ? 5) ? 0 ，解得 m ? ?5 . 4??5 ? m ? 1.而m ? Z , 故 m=－1 或 m=0 或 m=1. 4当 m=－1 时，①方程无整数解.当 m=0 时，②无整数解； 当 m=1 时，①②都有整数.从而①②都有整数解 m=1.反之，m=1①②都有整数解. ∴①②都有整数解的充要条件是 m=1.2 [ 例 7] 用 反 证 法 证 明 ： 若 a 、 b 、 c ? R ， 且 x ? a ? 2b ? 1 ， y ? b 2 ? 2c ? 1 ，z ? c 2 ? 2a ? 1 ，则 x 、 y 、 z 中至少有一个不小于 0证明： 假设 x 、 y 、 z 均小于 0，即：王新敞奎屯新疆x ? a 2 ? 2b ? 1 ? 0 ----① ；y ? b 2 ? 2c ? 1 ? 0 ----② ；z ? c 2 ? 2a ? 1 ? 0 ----③；①+②+③得 x ? y ? z ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ? (c ? 1) 2 ? 0 ， 这与 (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ? (c ? 1) 2 ? 0 矛盾， 则假设不成立，∴ x 、 y 、 z 中至少有一个不小于 02王新敞奎屯新疆[例 8] 已知命题 p:方程 x ＋mx＋1=0 有两个不等的负根；命题 q:方程 4x ＋4(m－2)x＋1 ＝0 无实根．若“p 或 q”为真， “p 且 q”为假，求 m 的取值范围． 分析：“p 或 q”为真，则命题 p、q 至少有一个为真，“p 且 q”为假，则命题 p、q 至少 有一为假，因此，两命题 p、q 应一真一假，即命题 p 为真，命题 q 为假或命题 p 为假，命 题 q 为真.2?? ? m 2 ? 4 ? 0 2 解： 若方程 x ＋mx＋1=0 有两不等的负根，则 ? 解得 m＞2， ?m ? 0即命题 p：m＞2 2 若方程 4x ＋4(m－2)x＋1＝0 无实根， 2 2 则 Δ ＝16(m－2) －16＝16(m －4m＋3)＜0 解得：1＜m＜3.即 q：1＜m＜3. 因“p 或 q”为真，所以 p、q 至少有一为真， 又“p 且 q”为假，所以命题 p、q 至少有一为假， 因此，命题 p、q 应一真一假，即命题 p 为真，命题 q 为假或命题 p 为假，命题 q 为真.?m ? 2 ?m ? 2 ∴? 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3解得：m≥3 或 1＜m≤2.8 / 73四、典型习题导练 1．方程 mx ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负根，则（2） D. m ? 1 ）A. 0 ? m ? 1 或 m ? 0B. 0 ? m ? 1C. m ? 12 2． “ x ? 3x ? 2 ? 0 ”是“ x ? 1 或 x ? 4 ”的（A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．三个数 a, b, c 不全为 0 的充要条件是 （ A. a, b, c 都不是 0. B. a, b, c 中至多一个是 0. C. a, b, c 中只有一个是 0. D. a, b, c 中至少一个不是 0. 4． 由命题 p:6 是 12 的约数， q:6 是 24 的约数，构成的“p 或 q”形式的命题是：_ “p 且 q”形式的命题是__ _， “非 p”形式的命题是__ 5．若 a, b ? R ，试从 A. ab ? 02 2）___， _.B. a ? b ? 0C. a ? b ? 02 2D. ab ? 0E. a ? b ? 0F. a ? b ? 0 中，选出适合下列条件者，用代号填空： （1）使 a , b 都为 0 的充分条件是 ； （2）使 a , b 都不为 0 的充分条件是 （3）使 a , b 中至少有一个为 0 的充要条件是 （4）使 a , b 中至少有一个不为 0 的充要条件是 ； ； ．6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假． （1）p: 梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等． （2）p: 1 是方程 x ? 4 x ? 3 ? 0 的解；q：3 是方程 x ? 4 x ? 3 ? 0 的解．2 2（3）p: 不等式 x ? 2 x ? 1 ? 0 解集为 R；q: 不等式 x ? 2 x ? 2 ? 1 解集为2 22 2．7．命题：已知 a、b 为实数，若 x ＋ax＋b≤0 有非空解集，则 a － 4b≥0.写出该命题的逆 命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假． 8．用反证法证明：若 a、b、c、d 均为小于 1 的正数，且 x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1 －d)，t=4d(1－a)，则 x、y、z、t 四个数中，至少有一个不大于 1．第二章§2.1函数概念与基本初等函数映射、函数、反函数 ，对于集合 A 中的任何一、知识导学1.映射：一般地，设 A、B 两个集合，如果按照某种对应法则 的映射，记作 f：A→B.(包括集合 A、B 及 A 到 B 的对应法则) 2.函数： 设 A，B 都是非空的数集，如果按某种对应法则 f ，对于集合 A 中每一个元 一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合 A 到集合 B9 / 73素 x ，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，且 B 中每一个元素都的原象，这样的对应叫做 从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y ? f ( x) . 其中所有的输入值 x 组成的集合 A 称为函数 y ? f ( x) 定义域. 对于 A 中的每一个 x ， 都有一个输出值 y 与之对应， 我们将所有输出值 y 组成的集合称 为函数的值域. 3.反函数：一般地，设函数 y=f(x)(x∈A)的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系， 用 y 把 x 表示出来，得到 x=f-1(y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x 在 A 中都有唯 一的值和它对应，那么 x=f-1(y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数，这样的函数 叫做函数 y=f(x)(x∈A)的反函数，记作 x=f-1(y). 我们一般用 x 表示自变量，用 y 表示函 数， 为此我们常常对调函数 x=f-1(y)中的字母 x,y， 把它改写成 y=f-1(x) 反函数 y=f-1(x) 的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析1.对映射概念的认识 (1) 与 是不同的，即 与 上有序的.或者说：映射是有方向的，(2) 输出值的集合是集合 B 的子集.即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到对应的输入值. 集合 A 中每一个输入值，在集合 B 中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合 B 中有剩留 元素；允许多对一，不允许一对多. (3)集合 A，B 可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合. 2.对函数概念的认识 （1）对函数符号 f ( x ) 的理解知道 y= f ( x ) 与 f ( x ) 的含义是一样的，它们都表示函数，其中 是自变量， f ( x ) 是函数值，连接的纽带是法则 . 是单值对应. 是 的(2)注意定义中的集合 A，B 都是非空的数集,而不能是其他集合； （3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法. 3.对反函数概念的认识 （1）函数 y= f ( x ) 只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数； （2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不 能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得. （3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于 y=x 对称.三、经典例题导讲[例 1]设 M＝｛a，b，c｝ ，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从 M 到 N 的映射种数； （2）从 M 到 N 的映射满足 f (a)& f (b)≥f(c),试确定这样的映射 f 的种数.10 / 73错解： （1）由于 M＝｛a，b，c｝ ，N＝｛－2,0,2｝ ，结合映射的概念，有?a ? ?2 ?a ? ?2 ?a ? 0 ?a ? 0 ?a ? 2 ?a ? 2 ? ? ? ? ? ? ?b ? 0 , ?b ? 2 , ?b ? 2 , ?b ? ?2, ?b ? 0 , ?b ? ?2 ，共 6 个映射 ? c ? 2 ? c ? 2 ? c ? ?2 ? c ? 2 ? c ? ? 2 ? c ? 0 ? ? ? ? ? ? ?a ? 2 ? (2)由（1）得满足条件的映射仅有 ?b ? 0 一种情况 ? c ? ?2 ?错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清 正解： （1）由于 M＝｛a，b，c｝ ，N＝｛－2,0,2｝ ，结合映射的概念，有 一共有 27 个映射?a ? 0 ?a ? 2 ?a ? 2 ?a ? 2 ? ? ? ? （2）符合条件的映射共有 4 个 , ?b ? ?2, ?b ? ?2, ?b ? 0 , ?b ? 0 , ?c ? ?2 ?c ? ?2 ?c ? ?2 ?c ? 0 ? ? ? ?[例 2]已知函数 f ( x ) 的定义域为[0，1]，求函数 f ( x ? 1) 的定义域 错解：由于函数 f ( x ) 的定义域为[0，1]，即 0 ? x ? 1 ，?1 ? x ? 1 ? 2 ∴ f ( x ? 1) 的定义域是[1，2] 错因：对函数定义域理解不透，不明白 f ( x ) 与 f (u ( x)) 定义域之间的区别与联系，其实在 这里只要明白： f ( x ) 中 x 取值的范围与 f (u ( x)) 中式子 u ( x) 的取值范围一致就好了. 正解：由于函数 f ( x ) 的定义域为[0，1]，即 0 ? x ? 1 ∴ f ( x ? 1) 满足? 0 ? x ? 1 ? 1?1 ? x ? 0 ，∴ f ( x ? 1) 的定义域是[－1，0][例 3]已知： x ? N * , f ( x) ? ??x ? 5 ? f ( x ? 2)( x ? 6) ，求 f (3) . ( x ? 6)错解：∵ f ( x) ? ??x ? 5 ? f ( x ? 2)( x ? 6) ，∴ f ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 5 ? x ? 3 ( x ? 6)故 f ( x) ? ??x ? 5 ?x ? 3( x ? 6) ，∴ f (3) ＝3－3＝0. ( x ? 6)错因： 没有理解分段函数的意义， f (3) 的自变量是 3， 应代入 f ( x ? 2) 中去， 而不是代入 x －5 中，只有将自变量化为不小于 6 的数才能代入解析式求解. 正解：∵ f ( x) ? ?11 / 73?x ? 5 ? f ( x ? 2)( x ? 6) ， ( x ? 6)∴ f (3) ＝ f (3 ? 2) ? f (5) ＝ f (5 ? 2) ? f (7) ＝7-5＝2 [例 4]已知 f ( x ) 的反函数是 f ?1 ( x) ，如果 f ( x ) 与 f ?1 ( x) 的图像有交点，那么交点必在直 线 y ? x 上，判断此命题是否正确？ 错解：正确 错因：对互为反函数的图像关于直线 y ? x 对称这一性质理解不深，比如函数1 1 1 1 1 （ ，） 不在直线 y ? x 上，由此可以 y ? ( ) x 与y ? log 1 x 的图像的交点中，点 ( , ), 2 4 4 2 16 16说明“两互为反函数图像的交点必在直线 y ? x 上”是不正确的. [例 5]求函数 y ? f ( x) ? x2 ? 4 x ? 6 ， x ? [1,5) 的值域. 错解：f (1) ? 12 ? 4 ?1 ? 6 ? 3, f (5) ? 52 ? 4 ? 5 ? 6 ? 11又 x ? [1,5) ，? f ( x) 的值域是 ?311 ，? 错因:对函数定义中，输入定义域中每一个 x 值都有唯一的 y 值与之对应，错误地理解为 x 的两端点时函数值就是 y 的取值范围了. 正解：配方，得 y ? f ( x) ? x2 ? 4x ? 6 ? ( x ? 2)2 ? 2 ∵ x ? [1,5) ，对称轴是 x ? 2 ∴当 x ? 2 时，函数取最小值为 f (2) ? 2，f ( x) ? f (5) ? 11 ? f ( x) 的值域是 ?211 ，??1 [例 6]已知 f ( x) ? 3x ? 4 ，求函数 f ( x ? 1) 的解析式.错解：由已知得 f ( x ? 1) ? 3( x ? 1) ? 4 ? 3x ? 7?y ? 3x ? 7, 即 x ??1x?7 y?7 ?1 ，∴ f ( x ? 1) ? 3 3错因：将函数 f( x ? 1) 错误地认为是 f ( x ? 1) 的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻?1 ?1 所致，实际上 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 并不是互为反函数，一般地应该由 f ( x ) 先求 f ( x) ， ?1再去得到 f( x ? 1) .x?4 ， 3?1 正解：因为 f ( x) ? 3x ? 4 的反函数为 f ( x) ＝ ?1所以 f( x ? 1) ＝( x ? 1) ? 4 x ? 3 1 ? ＝ x ?1 3 3 3[例 7]根据条件求下列各函数的解析式：12 / 73（1）已知 f ( x ) 是二次函数，若 f (0) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1，求 f ( x ) . （2）已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ，求 f ( x ) （3）若 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? ax, 求 f ( x ) 解： （1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解 设 f ( x ) ＝ ax2 ? bx ? c1 x(a ? 0) 由于 f (0) ? 0 得 f ( x) ? ax2 ? bx ，又由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ，∴ a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? ax2 ? bx ? x ? 1 即ax2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? ax2 ? (b ? 1) x ? 11 21 2 1 x ? x 2 2? 2a ? b ? b ? 1 ? ? ?a ? 0 ?a ? b ? 1 ??a ? b ?因此： f ( x ) ＝(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解 设 u ? x ? 1 ( x ? 0),? x ? u ? 1 (u ? 1)? f (u) ? (u ? 1)2 ? 2(u ? 1) ? u 2 ? 1∴ f ( x) ＝ x ? 12( u ? 1)（ x ? 1）（3）由于 f ( x ) 为抽象函数，可以用消参法求解1 1 1 代 x 可得： f ( ) ? 2 f ( x) ? a , x x x 1 与 f ( x) ? 2 f ( ) ? ax x 1 2a ax ? 联列可消去 f ( ) 得： f ( x ) ＝ . x 3x 3 点评： 求函数解析式 （1） 若已知函数 f ( x ) 的类型， 常采用待定系数法； （2） 若已知 f [ g ( x)]用 表达式，常采用换元法或采用凑合法； （3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. [例 8] 已知 3x ? 2 y ? 6 x ，试求 x ? y 的最大值.2 2 2 2分析：要求 x ? y 的最大值，由已知条件很快将 x ? y 变为一元二次函数2 2 2 21 9 f ( x) ? ? ( x ? 3) 2 ? , 然后求极值点的 x 值，联系到 y 2 ? 0 ，这一条件，既快又准地求 2 2出最大值. 解 由3x 2 ? 2 y 2 ? 6 x 得13 / 733 y 2 ? ? x 2 ? 3 x. 2 3 ? y 2 ? 0,? ? x 2 ? 3 x ? 0,? 0 ? x ? 2. 23 2 1 9 x ? 3x ? ? ( x ? 3) 2 ? , 2 2 2 1 9 ? 当 x ? 2 时， x 2 ? y 2 有最大值，最大值为 ? (2 ? 3) 2 ? ? 4. 2 2又x ? y ? x ?2 2 2点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：3 2 x ? 3 x, 2 3 1 9 ? x 2 ? y 2 ? x 2 ? x 2 ? 3x ? ? ( x ? 3) 2 ? , 2 2 2 9 ? 当 x ? 3 时， x 2 ? y 2 取最大值，最大值为 2由 3x 2 ? 2 y 2 ? 6 x 得 y ? ?2这种解法由于忽略了 y 2 ? 0 这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能 从表面形式上发现特点， 而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件， 既要注意主要的已知条件， 又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.. [例 9]设 f ( x ) 是 R 上的函数，且满足 f (0) ? 1, 并且对任意的实数 x , y 都有f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) ，求 f ( x) 的表达式.解法一：由 f (0) ? 1, f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) ，设 x ? y ， 得 f (0) ? f ( x) ? x(2 x ? x ? 1) ，所以 f ( x ) ＝ x ? x ? 12解法二：令 x ? 0 ，得 f (0 ? y) ? f (0) ? y(? y ? 1) 即 f (? y) ? 1 ? y(? y ? 1) 又将 ? y 用 x 代换到上式中得 f ( x ) ＝ x ? x ? 12点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相 等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 四、典型习题导练 1. 已知函数 f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的 个数是（ ） A.0 B.12C.0 或 1D.1 或 2 )2.对函数 f ( x) ? 3x ? ax ? b 作代换 x=g(t)，则总不改变 f(x)值域的代换是( A. g (t ) ? log1 t2B. g (t ) ? ( )1 2t14 / 73C.g(t)=(t－1)2D.g(t)=cost )3.方程 f(x,y)=0 的曲线如图所示，那么方程 f(2－x,y)=0 的曲线是 (ABCD19 4.（06 年高考全国 II）函数 f(x)＝ ?|x－n|的最小值为 i＝1 A．190 5. 若函数 f(x)= B.171 C.90 D.45 ) D.－3mx 3 (x≠ )在定义域内恒有 f［f(x)］=x,则 m 等于( 4 4x ? 3 3 3 A.3 B. C.－ 2 2 6.已知函数 f ( x ) 满足： f (a ? b) ? f (a ) ? f (b) ， f (1) ? 2 ，则f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? ? . f (1) f (3) f (5) f (7) a 1 ( x ? ) (其中 a&0,a≠1,x&0),求 f(x)的表达式. 7.已知函数 f(x)满足 f(logax)= 2 x a ?18. 已知函数 f ( x ) 是函数 y ?2 ? 1 （ x ? R ）的反函数，函数 g ( x) 的图像与函 数 10 ? 1xy?4 ? 3x 的图像关于直线 y＝x－1 成轴对称图形，记 F ( x) ＝ f ( x ) + g ( x) . x ?1（1）求函数 F（x）的解析式及定义域； （2）试问在函数 F（x） 的图像上是否存在两个不同的点 A、 B，使直线 AB 恰好与 y 轴垂直？ 若存在，求出 A、B 两点的坐标；若不存在，说明理由. §2.2 函数的性质 一、知识导学 1.函数的单调性： （1）增函数：一般地，设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I，如果定义域 I 内某个区间上任意 两个自变量的值 x1,x2,当 x1＜x2 时， 都有 f(x1)&f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数. （2）减函数：一般地，设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I，如果定义域 I 内某个区间上任意 两个自变量的值 x1,x2,当 x1＜x2 时,都有 f(x1)＞f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函 数. （3）单调性（单调区间）如 y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数 f(x)15 / 73在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间. 2.函数的奇偶性： （1） 奇函数： 一般地， 如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x， 都有 f(－x) =－f(x)， 那么函数 f(x)就叫做奇函数. （2）一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x) =f(x)，那么函 数 f(x)就叫做偶函数. （3）如果函数 f(x)是奇函数或偶函数，那么就说 f(x)具有奇偶性. 3.函数的图像：将自变量的一个值 x0 作为横坐标，相应的函数值 f(x0)作为纵坐标，就 得到平面内的一个点（x0,f(x0)） ，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列 这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数 y=f(x)的图像. 二、疑难知识导析 1. 对函数单调性的理解， 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨 论，函数 y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数 在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间 而言的，所以要受到区间的限制. 2.对函数奇偶性定义的理解， 不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上， 要明确对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于 原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数 f(x)的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意 x， 都有 f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图 像的特殊的对称性的反映. 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选 择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求. 3. 用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数 图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲 目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的. 三、经典例题导讲 [例 1]判断函数 y ? ( ) 错解：1 3?x的单调性.0?1 1 ? 1,? y ? ( ) ? x 是减函数 3 3错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间） ，16 / 73仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化. 当然这个函数可化为 y ? 3x ，从而可判断出其单调性. 正解： 令 t ? ?x ，则该函数在 R 上是减函数，又 ∴0?1 1 ? 1,? y ? ( )t 在 R 上是减函数， 3 31 y ? ( ) ? x 是增函数 3[例 2]判断函数 f ( x) ? (1 ? x)1? x 的奇偶性. 1? x错解：∵ f ( x) ? (1 ? x)1? x 1? x ＝ (1 ? x)2 ? 1 ? x 2 1? x 1? x2 2 ∴ f (? x) ? 1 ? (? x) ? 1 ? x ? f ( x)∴ f ( x) ? (1 ? x)1? x 是偶函数 1? x错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面 . 对定义域内任意一个 x ，都有 f(-x)=f(x) ， f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件. 正解： f ( x) ? (1 ? x)1? x 1? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 有意义时必须满足 1? x 1? x即函数的定义域是｛ x ｜ ?1 ? x ? 1 ｝ ，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇 函数也不是偶函数 [例 3] 判断 f ( x ) ? log 2 ( x ?x 2 ? 1) 的奇偶性. x 2 ? 1)2 错解：∵ f (? x) ? log 2 (? x ? (? x) ? 1) ? log 2 (? x ?∴ f ( ? x ) ? f ( x ) 且 f ( ? x) ? ? f ( x) 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)，也可改为研究 f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0 是否成立.2 正解：方法一：∵ f (? x) ? log 2 (? x ? (? x) ? 1) ? log 2 (? x ?x 2 ? 1)＝ log21 x ? x ?12＝ ? log2 ( x ?x 2 ? 1) ＝－ f ( x)∴ f ( x) 是奇函数17 / 73方法二：∵ f ( x) ? f ( ? x) ? log 2 ( x ? ＝ log 2 [( x ?x 2 ? 1) ? log 2 (? x ? x 2 ? 1)x 2 ? 1) ? (? x ? x 2 ? 1) ? log 2 1 ? 0∴ f ( x) 是奇函数f ( ? x ) ? ? f ( x)[例 4]函数 y= 5 ? 4x ? x 2 的单调增区间是_________. 错解：因为函数 g ( x) ? 5 ? 4x ? x2 的对称轴是 x ? ?2 ，图像是抛物线，开口向下，由图可 知 g ( x) ? 5 ? 4x ? x2 在 (??, ?2] 上是增函数，所以 y= 5 ? 4x ? x 2 的增区间是 (??, ?2] 错因： 在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法， 但没有考虑到函数的单调 性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误. 正解：y= 5 ? 4x ? x 2 的定义域是 [?5,1] ，又 g (x) ?5 ? 4 x ?x2在区间 [?5, ?2] 上增函数，在区间 [?2,1] 是减函数，所以 y= 5 ? 4x ? x 2 的增区间是 [?5, ?2] [例 5] 已知奇函数 f(x)是定义在(－3， 3)上的减函数， 且满足不等式 f(x－3)+f(x －3)&0, 求 x 的取值范围. 错解：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)&－f(x －3)= f (3－x ),又 f(x)在(－3，3)上是减函 数， ∴x－3&3－x ,即 x +x－6&0 解得 x&2 或 x&－3 又 f(x)是定义在(－3，3)上的函数， 所以 2＜x＜3 错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域. 正解：由 ?2 2 2 2 2?0 ? x ? 6 ,故 0&x& 6 , 得 ? 2 ?? 3 ? x ? 3 ? 3 ?? 6 ? x ? 6 ?? 3 ? x ? 3 ? 32 2又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)&－f(x －3)=f(3－x ),又 f(x)在(－3，3)上是减函数， ∴x－3&3－x ,即 x +x－6&0,解得 x&2 或 x&－3,综上得 2&x& 6 ,即 A={x|2&x& 6 }, [例 6] 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x＋1)；(2) y ? 10|lg x|2 2.18 / 73分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还 应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思 想. 解： (1)当 x≥2 时， 即 x-2≥0 时，当 x＜2 时，即 x-2＜0 时，1 9 ? (x ? )2 ? ( x ? 2) ? ? 2 4 所以 y ? ? ?? ( x ? 1 ) 2 ? 9 ( x ? 2) ? 2 4 ?这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当 x≥1 时，lgx≥0，y =10lgx=x；当 0＜x＜1 时，lgx＜0，所以 这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图) 点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要 特别注意 x，y 的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、 二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像. [例 7]若 f(x)=ax ? 1 在区间（－2，＋ ? ）上是增函数，求 a 的取值范围 x?2解：设 ?2 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?ax1 ? 1 ax2 ? 1 ? x1 ? 2 x2 ? 219 / 73? ? ?(ax1 ? 1)( x 2? 2) ? (ax ? 2 1)( x ?12) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) (ax1 x2 ? 2ax1 ? x2 ? 2) ? (ax1 x2 ? 2ax2 ? x1 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 2ax1 ? x1 ? 2ax2 ? x2 (2a ? 1)( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)ax ? 1 在区间（－2，＋ ? ）上是增函数得 x?2 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? 2a ? 1 ? 0 ∴a＞ 2由 f(x)=点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上 去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉. [例 8] 已知函数 f(x)在(－1，1)上有定义，f( 意 x、y∈(－1,1)都有 f(x)+f(y)=f(1 )=－1,当且仅当 0&x&1 时 f(x)&0,且对任 2x? y ),试证明： 1 ? xy(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减 解：证明： (1) 由 f(x)+f(y)=f(x? y ), 令 x=y=0, 得 f(0)=0, 令 y= － x, 得 f(x)+f( － 1 ? xyx)=f(x?x )=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. 1? x2 (2)先证 f(x)在(0，1)上单调递减.令 0&x1&x2&1,则 f(x2)－f(x1)=f(x2)＋f(－x1)=f(x 2 ? x1 ) 1 ? x1 x 2∵0&x1&x2&1,∴x2－x1&0,1－x1x2&0，∴x2 ? x1 &0, 1 ? x1 x 2又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)&0 ∴x2－x1&1－x2x1, ∴0&x 2 ? x1 x ? x1 &1,由题意知 f( 2 )&0 1 ? x 2 x1 1 ? x1 x 2即 f(x2)&f(x1). ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又 f(x)为奇函数且 f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. 点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、 单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不 过关，结果很难获得. 对于(1)，获得 f(0)的值进而取 x=－y 是解题关键；对于(2)，判定x 2 ? x1 的范围是解题的焦点. 1 ? x1 x 220 / 73四、典型习题导练 1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中 y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )2. （05 年高考重庆卷） 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，在 (??,0] 上是减函数， 且 f (2) ? 0 ，则使得 f ( x) ? 0的x 的取值范围是 （ A. (??,2) B. (2,??) C. (??,?2) ? (2,??) ） D.（－2，2） .3. （05 年高考江西卷）若函数 f ( x) ? log n ( x ?x 2 ? 2a 2 ) 是奇函数，则 a=4. （05 年高考辽宁卷）已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的单调函数，实数 x1 ? x 2 ，? ? ?1, a ?x1 ? ?x 2 x ? ?x1 ,?? 2 ，若 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f (? ) ? f ( ? ) | ，则（ 1? ? 1? ?B. ? ? 0 C. 0 ? ? ? 1 D. ? ? 1 .）A. ? ? 05.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ? (0, ??) 时， f ( x ) ＝ x(1 ? 3 x ) ，求 f ( x ) . 6. 已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且 f(－1 )=0, 21 时，f(x)&0. 2 (1)求证：f(x)是单调递增函数；当 x&－ (2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 7.已知函数 y=f(x)= 其中 b∈N 且 f(1)&ax 2 ? 1 (a,b,c∈R,a&0,b&0)是奇函数，当 x&0 时，f(x)有最小值 2， bx ? c5 . 2(1)试求函数 f(x)的解析式； (2)问函数 f(x)图像上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存 在，说明理由. §2.3 基本初等函数 一、知识导学 1. 二次函数的概念、图像和性质. （1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c2(a ? 0)21 / 73二次函数的顶点式 f ( x) ? a( x ? m)2 ? n 二次函数的坐标式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) 和 (a ? 0)（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根 的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解. ① f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ，当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时图像与 x 轴有两个交点.M（x1,0）N(x2,0),|MN|=| x1- x2|=? . |a|② 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值， 它只能在区间的端点或二次函数的顶点 处取得.x 2.指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 和对数函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 的概念和性质.（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则： ①a ?a ? am n m? n；② (am )n ? amn ；③ (ab)n ? an bn （这时 m,n 是有理数）对数的概念及其运算性质、换底公式.log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ;log a M n ? n log a M ;log aM ? log a M ? log a N Nlog a n M ?1 log a M ； nlog a b ?log c b log c a（2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点. ①指数函数图像永远在 x 轴上方，当 a＞1 时，图像越接近 y 轴，底数 a 越大；当 0&a&1 时，图像越接近 y 轴，底数 a 越小. ②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数 a 的讨论. ③当 a&1 时， 图像越接近 x 轴， 底数 a 越大; 当 0&a&1 时， 图像越接近 x 轴， 底数 a 越小. 3.幂函数 y ? x 的概念、图像和性质. 结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y= y ? x?1 , y ? x ? 2 ,y= x 2 的图像，了解它们的变化情况.2 3?1① ? ＞0 时，图像都过（0,0） 、 （1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数； 注意 ? ＞1 与 0& ? ＜1 的图像与性质的区别. ② ? ＜0 时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图 像向上无限接近 y 轴，向右无限接近 x 轴. ③当 x&1 时，指数大的图像在上方. 二、疑难知识导析 1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称 轴与区间的位置通常有三种情况： （1）定义域区间在对称轴的右侧； （2）定义域区间在对称 轴的左侧； （3）对称轴的位置在定义域区间内22 / 732.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些 运算性质防止出现下列错误： （1）式子 n an ＝ a ， （2） loga (M ? N ) ? loga M ? loga N ;loga (M ? N ) ? loga M ? loga N3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值. 4.函数 y ? a f ( x ) 的研究方法一般是先研究 f ( x ) 的性质，再由 a 的情况讨论 y ? a f ( x ) 的 性质. 5.对数函数 y ? log a x (a ? 0, a ? 1) 与指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 互为反函数，会将 指数式与对数式相互转化. 6.幂函数 y ? x? 的性质，要注意 ? 的取值变化对函数性质的影响. （1）当 ? ?奇 偶 奇 时，幂函数是奇函数； （2）当 ? ? 时，幂函数是偶函数； （3）当 ? ? 奇 奇 偶时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数. 三、经典例题导讲 [例 1]已知 log18 9 ? a,18b ? 5, 求 log36 45 错解：∵ 18 ? 5, ∴ log18 5 ? bb∴ log36 45 ?log18 45 log18 5 ? log18 9 b?a ? ? log18 36 log18 4 ? log18 9 log18 4 ? a错因：因对性质不熟而导致题目没解完. 正解：∵ 18 ? 5, ∴ log18 5 ? bb∴ log 36 45 ?log18 45 log18 5 ? log18 9 ? ? log18 36 log18 4 ? log18 9b?a b?a b?a ? ? 18 18 2?a log18 ( ) 2 ? a 2 log18 ( ) ? a 9 92 [例 2]分析方程 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 （ a ? 0 ）的两个根都大于 1 的充要条件. 2 错解：由于方程 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 （ a ? 0 ）对应的二次函数为f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴交点的横坐标都大于 1 即可.? f (1) ? 0 ? f (1) ? 0 ? ? 故需满足 ? b ，所以充要条件是 ? b ? ?1 ? ?1 ? ? ? 2a ? 2a23 / 73错因：上述解法中，只考虑到二次函数与 x 轴交点坐标要大于 1，却忽视了最基本的的前题 条件，应让二次函数图像与 x 轴有交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条 件，而是必要不充分条件.? f (1) ? 0 ? b ? 正解：充要条件是 ?? ?1 ? 2a 2 ? ?? ? b ? 4ac ? 0[例 3]求函数 y ? 36x ? 12 ? 6x ? 5 的单调区间. 错解：令 6 ? t ，则 y ? 36x ? 12 ? 6x ? 5 ＝ t ? 12 ? t ? 5x 2∴当 t≥6,即 x≥1 时，y 为关于 t 的增函数， 当 t≤6,即 x≤1 时，y 为关于 t 的减函数 ∴函数 y ? 36x ? 12 ? 6x ? 5 的单调递减区间是 ( ??, 6] ，单调递增区间为 [6, ??) 错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围. 正解：令 6 ? t ，则 t ? 6 为增函数，x xy ? 36x ? 12 ? 6x ? 5 ＝ t 2 ? 12 ? t ? 5 ＝ (t ? 6)2 ? 41∴当 t≥6,即 x≥1 时，y 为关于 t 的增函数， 当 t≤6,即 x≤1 时，y 为关于 t 的减函数 ∴函数 y ? 36 ? 12 ? 6 ? 5 的单调递减区间是 (??,1] ，单调递增区间为 [1, ??)x x[例 4]已知 y ? loga (2 ? ax) 在[0，1]上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是 错解：∵ y ? loga (2 ? ax) 是由 y ? loga u ， u ? 2 ? ax 复合而成，又 a ＞0 ∴ u ? 2 ? ax 在[0，1]上是 x 的减函数，由复合函数关系知y ? loga u 应为增函数，∴ a ＞1错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制， 单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义. 正解：∵ y ? loga (2 ? ax) 是由 y ? loga u ， u ? 2 ? ax 复合而成，又 a ＞0 ∴ u ? 2 ? ax 在[0，1]上是 x 的减函数，由复合函数关系知y ? loga u 应为增函数，∴ a ＞1又由于 x 在[0，1]上时 y ? loga (2 ? ax) 有意义， u ? 2 ? ax 又是减函数，∴ x ＝1 时，u ? 2 ? ax 取最小值是 u min ? 2 ? a ＞0 即可，综上可知所求的取值范围是 1＜ a ＜224 / 73∴ a ＜2[例 5]已知函数 f ( x) ? log a (3 ? ax) . （1）当 x ? [0, 2] 时 f ( x ) 恒有意义，求实数 a 的取值范围. （2）是否存在这样的实数 a 使得函数 f ( x ) 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为 1，如 果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由. 分析：函数 f ( x ) 为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题 思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明. 解： （1）由假设， 3 ? ax ＞0，对一切 x ? [0, 2] 恒成立， a ? 0, a ? 1 显然，函数 g(x)= 3 ? ax 在[0，2]上为减函数，从而 g(2)＝ 3 ? 2a ＞0 得到 a ＜ ∴ a 的取值范围是（0，1）∪（1，3 23 ） 2(2)假设存在这样的实数 a ，由题设知 f (1) ? 1 ，即 f (1) ? loga (3 ? a) ＝1 ∴a＝3 3 此时 f ( x) ? log a (3 ? x) 2 2当 x ? 2 时， f ( x ) 没有意义，故这样的实数不存在. 点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处 理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立. 即不存在，反之没有矛盾，则问题解决. [例 6]已知函数 f(x)= lg1? 2x ? 4x ? a , 其中 a 为常数，若当 x∈(－∞, 1］时, f(x)有意 a2 ? a ?1义，求实数 a 的取值范围. 分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于 a 的不等式（组）非常 困难，故应转换思维角度，设法从原式中把 a 分离出来，重新认识 a 与其它变元(x)的依存 关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 解：1 2 3 1? 2x ? 4x ? a 2 &0, 且 a －a+1=(a－ ) + &0, 2 2 4 a ? a ?11 1 ? x ), x 4 2 1 1 当 x∈(－∞, 1]时, y= x 与 y= x 都是减函数， 4 2 3 1 1 1 1 ∴ y= ? ( x ? x ) 在(－∞, 1]上是增函数， ? ( x ? x ) max=－ , 4 4 2 4 2 3 3 ∴ a&－ , 故 a 的取值范围是(－ , +∞). 4 4∴ 1+2 +4 ?a&0, a& ? (x x点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换25 / 73位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表 现.本题主客换位后，利用新建函数 y= ? ( 实数 a 的取值范围.此法也叫主元法. [例 7]若 (a ? 1)? 1 3 ?1 1 ? x ) 的单调性转换为函数最值巧妙地求出了 x 4 2? (3 ? 2a)1 3?1 3，试求 a 的取值范围.解：∵幂函数 y ? x有两个单调区间，∴根据 a ? 1 和 3 ? 2a 的正、负情况，有以下关系?a ? 1 ? 0 ? ?3 ? 2 a ? 0 . ① ? a ? 1 ? 3 ? 2a ?解三个不等式组：①得?a ? 1 ? 0 ? ?3 ? 2 a ? 0 . ② ? a ? 1 ? 3 ? 2a ??a ? 1 ? 0 .③ ? ?3 ? 2a ? 02 3 ＜ a ＜ ，②无解，③ a ＜－1 3 2 2 3 ∴ a 的取值范围是（－∞，－1）∪（ ， ） 3 2点评：幂函数 y ? x? 1 3有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为 a ? 1 ? 3 ? 2a ，从而导致解题错误. [例 8] 已知 a&0 且 a≠1 ,f (logax ) =a 1 (x － ) x a ?12(1)求 f(x)； (2)判断 f(x)的奇偶性与单调性； 2 (3)对于 f(x) ,当 x ∈(－1 , 1)时 , 有 f( 1－m ) +f (1－ m ) & 0 ,求 m 的集合 M . 分析：先用换元法求出 f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然 后利用以上结论解第三问. 解：(1)令 t=logax(t∈R)，则x ? a t , f (t ) ?(2) ? f (? x) ?2a a (a t ? a ?t ),? f ( x) ? 2 (a x ? a ? x ), ( x ? R). a ?1 a ?12a a (a ? x ? a x ) ? ? f ( x), 且x ? R,? f ( x)为奇函数.当a ? 1时, 2 ? 0, a ?1 a ?1 u ( x) ? a x ? a ? x 为增函数, 当0 ? a ? 1时, 类似可判断f ( x)为增函数.综上, 无论a ? 1或0 ? a ? 1,f(x)在 R 上都是增函数. (3) ? f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0, f ( x)是奇函数且在 R上是增函数 ,? f (1 ? m) ? f (m2 ? 1).又 ? x ? (?1,1)?? 1 ? 1 ? m ? 1 ? ? ?? 1 ? m 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? m ? 2 . ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入 f（x）的表达式 可求出 m 的取值范围，请同学们细心体会. 四、典型习题导练26 / 731. 函数 f ( x) ? a x?b 的图像如图，其中 a、b 为常数，则下列结论正确的是（ A. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 （05 年高考福建试题） 2、已知 2lg(x－2y)=lgx+lgy,则 x 的值为（ y A.1 B.4 ） C.1 或 4 ） D.3 D.4 或 8 B. a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0）3、方程 loga ( x ? 1) ? x 2 ? 2 (0&a&1)的解的个数为（ A.0 4 、函数 f(x) 与 g(x)=( B.1 C.21 x 2 ) 的图像关于直线 y=x 对称 , 则 f(4 － x ) 的单调递增区间是 2( ） B. ?? ?,0?nA. ?0,???C. ?0,2?D. ?? 2,0?1 25、 图中曲线是幂函数 y＝x 在第一象限的图像， 已知 n 可取±2， ± 四个值,则相应于曲线 c1、c2、c3、c4 的 n 依次为( 1 1 1 1 A.－2，－ ， ，2 B．2， ，－ ，－2 2 2 2 21 1 C. － ，－2,2， 2 2 1 1 D. 2， ，－2, － 2 2)6. 求函数 y = log2(x －5x+6) 的定义域、值域、单调区间.227. 若 x 满足 2(log1 x) ? 14log4 x ? 3 ? 0 ,求 f(x)= log22x log 22x 最大值和最小值. 28.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ? 2 ?xa , a 为常数 2x（1）如果 f ( x ) ＝ f (? x) ，求 a 的值； （2）当 f ( x ) 满足（1）时，用单调性定义讨论 f ( x ) 的单调性. §2.4 一、知识导学 1.函数的零点与方程的根的关系： 一般地，对于函数 y ? f ( x) （ x ? D ）我们称方程 f ( x) ? 0 的实数根 x 也叫做函数的 零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程 f(x)=g(x)的根或根的个27 / 73函数与方程数就是求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点. 2.函数的图像与方程的根的关系： 一般地，函数 y ? f ( x) （ x ? D ）的图像与 x 轴交点的横坐标就是 f ( x ) ? 0 的根.综 合方程 f(x)=g(x)的根，就是求函数 y＝f(x)与 y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程y ? f ( x) ? g ( x) 的图像与 x 轴交点的横坐标.3.判断一个函数是否有零点的方法： 如果函数 y ? f ( x) 在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ，那 么，函数 y ? f ( x) 在区间（ a,b ）上至少有一个零点，即至少存在一个数 c ? (a, b) 使得f (c ) ? 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的一个根. 对于我们学习的简单函数，可以借助 y ? f ( x) 图像判断解的个数， 或者把 f ( x ) 写成 g ( x) ? h( x) ， 然后借助 y ? g ( x) 、y ? h( x)的图像的交点去判断函数 f ( x ) 的零点情况. 4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系： 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的零点，就是二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根，也是二次函数2y ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴交点的横坐标.5. 二分法： 对于区间[a,b]上的连续不断，且 f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法 叫做二分法. 二、疑难知识导析 1.关于函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点，就是方程 f ( x) ? g ( x) 的实数根，也就是 y ? f ( x) 与 函数 y ? g ( x) 图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.2 2.如果二次函数 y ? f ( x) ? ax ? bx ? c ，在闭区间[m,n]上满足 f (m) ? f (n) ? 0 ，那么方程 ax ? bx ? c ? 0 在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的 x1 ? (m, n) ，使 f ( x1 ) ? 0 ，2方程 ax ? bx ? c ? 0 另一解 x2 ? (??, m) ? (n, ??) .23. 二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方2程 f ( x ) ＝ ax ? bx ? c ? 0 的根都在区间 (m, n) 时228 / 73?? ? 0 ? b ? ?n ?m ? ? 应满足： ? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 04.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 （1）取一个区间（ a , b ）使 f (a) ? f (b) ? 0 （2）取区间的中点， x0 ?a?b 2（ 3 ） 计 算 f ( x0 ) ， ① 若 f ( x0 ) ? 0， 则 x0 就 是 f ( x ) ? 0的 解 ， 计 算 终 止 ； ② 若f (a) ? f ( x0 ) ? 0 ，则解位于区间（ a, x0 ）中，令 a1 ? a, b1 ? x0 ；若 f ( x0 ) ? f (b) ? 0 则解位于区间（ x0 , b ）令 a1 ? x0 , b1 ? b （4）取区间是（ a1 , b1 ）的中点， x1 ? 总位于区间（ an , bn ）内 （5）当 an , bn 精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解. 三、经典例题导讲 [例 1]已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a 若 x ? [?2, 2] 时，f ( x ) ≥0 恒成立， 求 a 的取值范围.2a1 ? b1 重服第二步、第三骤直到第 n 步，方程的解 2错解： （一）f ( x) ? 0 恒成立，∴△＝ a 2 ? 4(3 ? a) ≤0 恒成立解得 a 的取值范围为 ?6 ? a ? 22 错解： （二）∵ f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a 若 x ? [?2, 2] 时， f ( x ) ≥0 恒成立?(?2) 2 ? 2a ? 3 ? a ? 0 ? f (?2) ? 0 ? ∴? 即? 2 ? ? f (2) ? 0 ? 2 ? 2a ? 3 ? a ? 0解得 a 的取值范围为 ?7 ? a ?27 3错因：对二次函数 f ( x ) ＝ ax ? bx ? c 当 x ? R 上 f ( x ) ≥0 恒成立时，△≤0 片面理解为， ax ? bx ? c ≥0， x ? [?2, 2] 恒成立时，△≤0 ；或者理解为 ?2? f (?2) ? 0 ? f (2) ? 0这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对 对称轴进行分类讨论； “轴定区间变”要对区间进行讨论. 正解：设 f ( x ) 的最小值为 g (a )29 / 73（1）当 ?7 a ? ? 2 即 a ＞4 时， g (a ) ＝ f (?2) ＝7－3 a ≥0，得 a ? 故此时 a 不存在； 3 2(2) 当 ?a a2 ? [?2, 2] 即－4≤ a ≤4 时， g (a ) ＝3－ a － ≥0，得－6≤ a ≤2 2 4又－4≤ a ≤4，故－4≤ a ≤2； （3） ?a ? 2 即 a ＜－4 时， g (a ) ＝ f (2) ＝7＋ a ≥0，得 a ≥－7，又 a ＜－4 2故－7≤ a ＜－4 综上，得－7≤ a ≤2 [例 2]已知 mx ? x ? 1 ? 0 有且只有一根在区间（0,1）内，求 m 的取值范围.2错解：设 f ( x) ? mx2 ? x ? 1 ∵ mx ? x ? 1 ? 0 有且只有一根在区间（0,1）内2∴ f (0) ? f (1) ? 0 得 m ＜－2 错因：对于一般 f ( x ) ，若 f (a) ? f (b) ? 0 ，那么，函数 y ? f ( x) 在区间（a,b）上至少有 一个零点，但不一定唯一.对于二次函数 f ( x ) ，若 f (a) ? f (b) ? 0 则在区间（a,b）上存在 唯一的零点，一次函数有同样的结论成立. 但方程 f ( x ) ＝0 在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是 f (a) ? f (b) ? 0 ，也有可 能 f (a) ? f (b) ? 0 .如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况. 由图可知 f ( x ) ＝0 在区间（a,b）上有且只有一根，但是f (a) ? f (b) ? 0正解：设 f ( x) ? mx ? x ? 1 ， （1）当 m ＝0 时方程的根为－1，不满足条件.2（2）当 m ≠0∵ mx ? x ? 1 ? 0 有且只有一根在区间（0,1）内2又 f (0) ＝1＞0 ∴有两种可能情形① f (1) ? 0 得 m ＜－2 或者② f (1) ? 0且0& ? 综上所得， m ＜－2 [例 3]已知一次函数 y ? kx ? b 与二次函数 y ? ax 2 图像如图，其中30 / 731 &1 得 m 不存在 2m，B（0，2） ；与二次函数 y ? ax 2 的 y ? kx ? b 的交点与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A（2，0） 交点为 P、Q，P、Q 两点的纵坐标之比为 1U4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程：ax 2 ? kx ? b（1）错解：把 A（2，0） ，B（0，2）两点坐标分别代入一次函 数 y ? kx ? b 解得 ? ∴一次函数为?k ? ?1 ?b ? 2y ? ?x ? 2设 P（ x 1， y 1） ，Q（， y 2） ，则 y 1U y 2＝1U42 ∴ ax12 U ax2 ＝1U4∴ x 1U x 2＝1U2 或 x 1U x 2＝（－1）U2当 x 1U x 2＝1U2 时，Q 点坐标为（2 x 1，4 y 1） ，把 P、Q 两点坐标分别代入直线方程即得? y1 ? ? x1 ? 2 ? x1 ? 3 解得 ? ? ?4 y1 ? ?2 x1 ? 2 ? y1 ? ?1∴P（3，－1） ，Q（6，－4） ，抛物线方程为 y ? ?9 x 2 当 x 1U x 2＝（－1）U2 时， Q 点坐标为（－2 x 1，4 y 1）把 P、Q 两点坐标分别代入直线方 程即得? x1 ? 1 ? y1 ? ? x1 ? 2 解得 ? ? ? y1 ? 1 ?4 y1 ? 2 x1 ? 22∴P（1， 1） ，Q（－2， 4） ，抛物线方程为 y ? x错因：在得到 x 1U x 2 值之后，要注意题意判断点的位置关系，多余的解要舍去，题中 Q 在 第二象限，所以 ?? x1 ? 3 不合条件. ? y1 ? ?12正解： （1）抛物线方程为 y ? x（2）方法一：由（1）得方程 ax ? kx ? b2即为x2 ? ? x ? 2解得 x 1＝－2， x 2＝1. 方法二：方程 ax ? kx ? b 的根即为二次函数 y ? ax2 与一次函数 y ? kx ? b 的交点的2横坐标.由（1）知它们交点的坐标分别为 P（1， 1） ，Q（－2， 4） ， ∴方程 ax ? kx ? b 的解为 x 1＝－2， x 2＝1.2[例 4]是否存在这样的实数 k，使得关于 x 的