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习题1.2 1. 按行列式定义,计算下列行列式(要求写出过程) (1) ; (2) ; (3 b...b
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习题1.2 1. 按行列式定义,计算下列行列式(要求写出过程) (1) ; (2) ; (3 b...b
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行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练 行列式综合训练第一部分例 2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是 a，未写出的元素都是零．a1 O aDn =1解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法 1 利用性质，将行列式化为上三角行列式．Dn1 c1 ? ?cn aa?1 a0 L 1 a O a= (a ?=1 n ?1 n n ?2 )a = a - a a方法 2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．rn ? r1aO1 a ?1a +1c1 + cn1 aO= a n - a n ?2Dn ==1? aa ?1方法 3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式．c1展开aO+ ( ?1)n +1Dn = a0 a0 L 1 0 O O a a 0 n ?1a n ?10 a 0 L 1 0 O O a 0 n ?1而( ?1)n +1最后列展开=(?1)2 n +1O a n ?2= ?a n?2Dn = a ? a n ?1 - a n ?2 = a n - a n ?2方法 4 利用公式A O O B= A B．将最后一行逐行换到第 2 行，共换了 n ? 2 次；将最后一列逐列换到第 2 列，也共换了 n ? 2 次．1Dn = ( ?1)2( n?2)a 1 1 aO=a 1 1 aa O a n ?2=a -an n ?2a方法 5 利用公式A O O B= A B．例 2.2 计算 n 阶行列式：Dn =a1 + b1 a2 L a1 a2 + b2 L M a1 M a2an anM L an + bn( b1b2 L bn ≠ 0 )解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素 a1 , a2 ,L, an ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化 简后出现大量的零元素．1升阶a1a2Lan an an Mr2 ? r1 r3 ? r1 Lrn +1 ? r11=a1 a2 L an 0 L b2 L M 0 0 0 M L bn0 a1 + b1 a2 L Dn = 0 a1 a2 + b2 L M 0 M a1 M a2?1 b1 ?1 0M?1M 0L an + bn1+c1 + 1 cj b j ?1a1 a +L + 1 b1 b1 0 0 M 0a1 a2 L an b1 0 M 0 0 L 0 0 M= b1b2 L bn (1 +j = 2,L,n +1=b2 L M 0 an ana1 a +L + n ) b1 bnL bn这个题的特殊情形是Dn =a1 + x a2 L a1 a2 + x L M a1 M a2M L an + x= x n ?1 ( x +∑a )i =1 in可作为公式记下来． 例 2.3 计算 n 阶行列式：2Dn =1 + a1 1 L 1 1 + a2 L M 1 M 11 1M L 1 + an其中 a1a2 L an ≠ 0 ． 解这道题有多种解法． 方法 1 化为上三角行列式ri ? r1Dni = 2,L,n=1 + a1 1 L ?a1 a2 M ?a1 O1c1 +j = 2,L,n=a1 cj ajb 1 L 0 a2 M 0 O1anan其中 b = 1 + a1 + a1∑ai =2n1in n ? ? 1? 1? = a1 ? 1 + ∑ ? ，于是 Dn = a1a2 L an ? 1 + ∑ ? ． i =1 ai ? i =1 ai ? ? ?方法 2 升阶（或加边）法1升阶11L1 1 1 Mri ? r1 i = 2,3,L,n +1111L1 0 0 M0 1 + a1 1 L Dn = 0 1 1 + a2 L M 0 M 1 M 1n=?1 a1 0 L ?1 0 a 2 L M ?1 M 0 M 0L 1 + anL an1+ ∑c1 + 1 c j +1 aj i =11 aj1 a11L1n ? 1? = a1a2 L an ? 1 + ∑ ? i =1 ai ? ?j =1,2,L,n ?1=a2 O an方法 3 递推法．将 Dn 改写为Dn =1 + a1 1 L 1+ 0 1 1 + a2 L 1 + 0 M 1 M 1 M L 1 + an按cn 拆开=1 L 0 1 + a1 1 L 1 1 + a1 1 1 + a2 L 0 1 1 + a2 L 1 + M M M M M M 1 1 L an 1 1 L 13由于1 + a1 1 L 1 1 1 + a2 L 1 M M M 1 1 L 1a1ri ? rn i =1,L,n ?1=a2 1 1L 1= a1a2 L an ?11 + a1 1 L 1 1 + a2 L M 1 M 10 0按cn 展开M L an=an Dn?1因此 Dn = an Dn ?1 + a1a2 L an ?1 为递推公式，而 D1 = 1 + a1 ，于是? Dn ?1 1? Dn = an Dn?1 + a1a2 L an ?1 = a1a2 L an ? + ? ? a1a2 L an ?1 an ?= a1a2 L an ??Dn ?2 1 1? + + ? = LL ? a1a2 L an ?2 an ?1 an ? ? D1 1 1? + + L + ? = a1a2 L an an ? ? a1 a2 ? 1 1 1? ?1 + + + L + ? an ? ? a1 a2= a1a2 L an ?1 x ? 1 2x ?1 例２.4 设 f ( x) = 1 x ? 2 3 x ? 2 ，证明存在 ζ ∈ (0,1), 使 f ′(ζ ) = 0 . 1 x ? 3 4x ? 3证 因为 f ( x ) 是关于 x 的二次多项式多项式,在 [0,1] 上连续,(0,1)内可导,且1 ?1 ?1 1 0 1 f (0) = 1 ? 2 ? 2 = 0 , f (1) = 1 ?1 1 = 0 1 ?3 ?3由罗尔定理知,存在 ζ ∈ (0,1) ,使 f ′(ζ ) = 0 .1 ?2 11 a 例 2.5 计算 D = 2 a a41 b b2 b41 c c2 c41 d ． d2 d4解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解． 方法 1 借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作．4D =r4 ? a 2 r3 r3 ? ar2 r2 ? ar11 01 b?a1 c?a1 d ?a0 b(b ? a ) c(c ? a ) d (d ? a) 2 2 2 2 2 2 0 b (b ? a ) c (c ? a ) d 2 (d 2 ? a 2 )c1展开= (b ? a )(c ? a )( d ? a )1 b1 c1 db 2 (b + a) c 2 (c + a) d 2 (d + a)r3拆开1 = (b ? a )(c ? a )( d ? a ) （ b b3 1 b b31 c c31 1 d +a b d3 b2 1 d ?b1 c c21 d ） d2其中1 c c31 d d3r3 ? b2 r2 r2 ?br1=1 01 c?b0 c( c 2 ? b 2 ) d ( d 2 ? b 2 )= ( c ? b)( d ? b)11c ( c + b) d ( d + b)= ( c ? b)( d ? b) [d ( d + b) ? c ( c + b)]1 由于 b b21 c c21 1 d 是范德蒙行列式，故 b d2 b21 c c21 d = ( c ? b)( d ? b)( d ? c ) d2D = ( a + b + c + d ) (b ? a )(c ? a )( d ? a ) ( c ? b)( d ? b)( d ? c )c2 ? c1 c3 ? c1 c4 ? c11 a a2 a40 b?a b2 ? a 2 b4 ? a 40 c?a c2 ? a 2 c4 ? a 40 d ?a d 2 ? a2 d 4 ? a4方法 2D =r1展开= (b ? a )(c ? a )( d ? a )1 b+a1 c+a1 d +a(b2 + a 2 )(b + a ) ( c 2 + a 2 )(c + a ) (d 2 + a 2 )( d + a )c2 ? c1 c3 ? c1= (b ? a )(c ? a )( d ? a )1 b+a (b2 + a 2 )(b + a ) c?b d ?b x y0 0 c?b d ?b x yc1展开= (b ? a )(c ? a )( d ? a )5其中 x = (c ? b)( a + b + c + ac + bc + ab) ， y = (d ? b)(a + b + c + ad + bd + ab)2 2 2 2 2 2D = ( a + b + c + d ) (b ? a )(c ? a )( d ? a ) ( c ? b)( d ? b)( d ? c )= ( a + b + c + d ) ( a ? b)( a ? c )( a ? d ) (b ? c )( b ? d )( c ? d ) 方法 3 用升阶法． 由于行列式中各列元素缺乏 3 次幂的元素， D 中添加 3 次幂的一 在 行元素，再添加一列构成 5 阶范得蒙行列式：1 a D5 = a 21 b b21 c c2 c3 c41 d d2 d3 d41 x x2 x3 x4a 3 b3 a 4 b4D5 按第 5 列展开得到的是 x 的 4 次多项式，且 x 3 的系数为A45 = ( ?1)4+5 D = ? D又利用计算范得蒙行列式的公式得D5 = ( b ? a )( c ? a )( d ? a )( x ? a ) ( c ? b)( d ? b)( x ? b) ( d ? c )( x ? c )( x ? d )= (b ? a )( c ? a )( d ? a ) ( c ? b)( d ? b) ( d ? c ) [( x ? a )( x ? b )( x ? c )( x ? d )] = (b ? a )( c ? a )( d ? a ) ( c ? b)( d ? b) ( d ? c ) [ x ? ( a + b + c + d ) x +L]4 3其中 x 3 的系数为 ? ( b ? a )( c ? a )( d ? a ) ( c ? b)( d ? b) ( d ? c ) ( a + b + c + d ) 由 x 3 的系数相等得：D = ( a + b + c + d ) (b ? a )(c ? a )( d ? a ) ( c ? b)( d ? b)( d ? c )1 ?5 1 1 例 2.6 设 | A |= 1 1 2 2中元素 a4j 的代数余子式.1 3 2 33 4 ，计算 A41 + A42 + A43 + A44 = ?其中 A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A| 3 4解 直 接 求 代 数 余 子 式 的 和 工 作 量 大 ． 可 将 A41 + A42 + A43 + A44 改 写 为1 ? A41 + 1 ? A42 + 1 ? A43 + 1 ? A44 ，故61 ?5 1 1 A41 + A42 + A43 + A44 = 1 1 1 11 3 2 13 1 ?6 4 1 0 = 3 1 0 1 1 00 2 1 02 3 2 0= ( ?1)4 +1?6 0 2 ?6 0 0 2 3 =?1 0 2 0 1 2 0 02 3 =6 1 2例 2.7 求解方程:1 1 1 L 1 1? x 1 L f ( x) = 1 1 2?x L M 1解 方法 11 1 1=0M 1M 1M L ( n ? 1) ? x 1 0 0ri ? r1f ( x)i = 2,L,n=1 1 1 L 0 ?x 0 L = 0 0 1? x L M 0 M 0 M 0= (?1)n ?1x( x ? 1) L ( x ? n + 2)M L ( n ? 2) ? x由题设知f ( x) = (?1)n ?1 x( x ? 1) L ( x ? n + 2) = 0所以 x1 = 0, x2 = 1,L , xn ?1 = n ? 2 是原方程的解. 方法 2 由题设知,当 x = 0,1,2,L , n ? 2 时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式 值为零,因此 f (x ) 可写成f ( x) = Ax ( x ? 1) L ( x ? n + 2)于是原方程 f ( x ) = Ax ( x ? 1) L ( x ? n + 2) = 0 的解为:x1 = 0, x2 = 1,L , xn ?1 = n ? 2例 2.8 计算元素为 aij = | i－j|的 n 阶行列式. 解方法 1 由题设知， a11 =0， a12 = 1 ， L , a1n = n ? 1,L ，故70 1 1 0 Dn = M n ?1 n ? 2L n ?1 L n?2 O Lri ? ri ?1 i = n ,n ?1,L,2=00 1 1 ?1 M 1 1L n ?1 L O L?1 ?1c j + cn j =1,L,n ?1n ?1 n L L n ?1 0 ?2 L L ?1 M M 00 1M=O O 0 ?2 0 L 01 0L = (?1) n ?1 2n ? 2 (n ? 1) ?1?1 ?1M其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第 n 列．L n ?1 L n?2 Ori ? ri +1 i =1,2,L,n ?1方法 2Dn ==1 ?1L 1 L 1 On ?1 n ? 2 L ?1c j + c1 j = 2,L, n0 0n ?1 n ? 2 L 00L=?1 ?2 L 0 n ?1 n ? 2 = ( ?1) 2 (n ? 1) M O n ? 1 2n ? 3 L n ? 1例 2.9 计算行列式 D =a2 0 0 d20 a1 d1 00 c1 b1 0c2 0 0 b2．解方法 1 按第一列展开：a1 c1 D = a2 d1 b1 0 00 0 0 - d 2 a1 b2 d1a1 d10 c1 b1c2 a 0 = a 2 b2 1 d1 0c1 a1 - d 2 c2 b1 d1c1 b1=（ a 2 b2 - d 2 c 2）c1 =（ a 2 b2 - d 2 c2） a1b1 - d 1 c1） （ b1方法 2 本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第 2、3 行，有：D = ( ?1)2+3+2 +3a1 c1 a2 d1 b1 d 2c2 =（ a1b1 ? d1c1） a 2 b2 ? d 2c2） （ b28an O例 2.10 计算 D2n =bn N a1 b1 c1 d1 N O dn= A B． ，其中未写出的元素都是 0．cn解方法 1 利用公式A O O B采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第 2 行（作 2n ? 2 次相邻 对换） ；最后一列逐列和上列换，换到第 2 列（作 2n ? 2 次相邻对换） ，得到an cn 0bn dn 00 0 an ?1 O a1 b1 c1 d1 N O N0 0 bn ?1D2n = ( ?1)2(2 n?2)00cn ?1d n ?1= D2 D2( n ?1) = ( an d n ? bn cn ) D2( n ?1) = ( an d n ? bn cn ) ( an ?1d n ?1 ? bn ?1cn?1 )D2( n ?2)= L = ( an d n ? bn cn ) ( an?1d n?1 ? bn?1cn ?1 )L (a1d1 ? b1c1 ) = ∏ (ai d i ?bi ci )i =1 n方法 2 利用行列式展开定理进行求解．an ?1 O a1 b1 c1 d1 N cn ?1 0 Obn ?10D2n = anr1展开d n ?1 dn90an ?1 O N a1 b1 c1 d1 N cn ?1 Obn ?1+ bn ( ?1)1+ 2 nd n ?1 0cn上面第 1 个行列式是A O O B的形式，而第 2 个行列式按第 1 列展开，所以D2n = an d n D2 n ?2 ? bn cn ( ?1) 2 n?1+1 D2 n ?2= ( an d n ? bn cn ) D2( n ?1) = L = ∏ (ai d i ?bi ci )i =1 n1? a a 0 ?1 1 ? a a 例 2.11 计算 D5 = 0 ?1 1 ? a 0 0 1 0 0 0 ?a1? ac1展开0 0 a0 0 0 ．0 0 a 0 1? a a ?1 1 ? a 0 0a1? a?1 0 0 0 a1? a a ?1 1 ? a 0 0 0解 方法１ 采用递推的方法进行求解．c1 + c2 +Lc5D5=?1 001? a a ?1 1 ? a0a000=?1 0 0?1 0a 0 1? a a 0 0 5+1 + ( ? a )( ?1) 1? a a ?1 1 ? a a 0 ?1 1 ? a 0 ?1 1 ? a a即D5 = D4 + ( ?a )( ?1)5+1 a 4 ， D4 = D3 + ( ?a )( ?1)4+1 a 3 ， D3 = D2 + ( ?a )( ?1)3+1 a 2 ， D2 = 1 ? a + a 2故D5 = 1 ? a + a 2 ? a 3 + a 4 ? a 5方法 2 采用降阶的方法进行求解．10r1 + (1? a ) r20 1 ? a + a2 ?1 1? a 0 0 0 ?1 0 0a ? a2 a 1? a ?1 00 0 a0 0 0D5=1? a a ?1 1 ? a 0 0 0 a 1? a a ? a 2 + a3 ? a 4 0 0 a 1? ar1 + (1? a + a 2 ) r30 0 1 ? a + a2 ? a3 ?1 1 ? a a 0 0 0 ?1 0 0 0 0 ?1 1 ? a 0 0 0 ?1 0 0 0 0 ?1 1 ? a 0 0 0 ?1 0 0 0 a 1? a ?1 0 0 a 1? a ?1 0 0 0 a 1? a ?1 1? a ?1 0a ? a 2 + a3 0 a 1? a ?1=r1 + (1? a + a 2 ? a 3 ) r41 ? a + a2 ? a3 + a4 0 a 1? a ?1=r1 + (1? a + a 2 ? a 3 + a 4 ) r51 ? a + a 2 ? a3 + a4 ? a5 0 0 a 1? a=r1展开= (1 ? a + a 2 ? a 3 + a 4 ? a 5 ) ? ( ?1)5+1 ( ?1) 4 = 1 ? a + a 2 ? a 3 + a 4 ? a 5例 2.12 证明Dn =x 0 M an?1 x M0 ?1 MK K0 0an ?1 an? 2M K x + a1?1 x ?1= x + a1 xnn ?1+ L + an?1 x + an证方法 1 递推法按第 1 列展开，有D n = x D n ?1 +（－1） n +1 a nx?1 O O x ?1 n?1= x D n ?1 +a n由于 D 1 = x + a 1 ， D2 =x a2?1 ，于是 x + a1D n = x D n ?1 +a n =x（xD n ? 2 +a n ?1 ）+ a n =x 2 D n ? 2 +a n ?1 x + a n11= L =x n ?1 D 1 +a 2 x n ? 2 + K +a n ?1 x + a n = x + a1 xnn ?1+ L + an?1 x + an方法 2 第 2 列的 x 倍，第 3 列的 x 2 倍， K ，第 n 列的 x n ?1 倍分别加到第 1 列上0?1 x 0 M0 ?1 x M ?1 x 0 MK K K0 0 0 M K K KDn =c1 + xc2x 0 M2an + xan ?1 an ?1 an ?2 K x + a1 0c1 + x 2 c30 ?1 x M M0 0 ?10 0 0 M0 x3 M an + xan ?1 + x 2 an ?2=an ?1 an ?2an ?3 K x + a10= LL =?1 x ?1 O O ?1O按rn展开=?1 x ?1( ?1) n+1 fx O O x ?1 n ?1=ffxn ?1其中 f = an + an ?1 x + L + a1 x+ xnK或c1 + xc2 + x 2 c3 +K+ x n ?1cnDn=0 0 M 0 f?1 0 x ?1 M M 0 0 an ?1 an ?20 K 0 M K x K a20 0 M ?1 x + a1按c1展开?1 x ?1( ?1) n+1 f x O O x= ( ?1)n +1=f ( ?1) n?1 =f?1 n ?1其中 f = an + an ?1 x + L + a1 xn ?1+ xn方法 3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．121 c2 + c1 x 1 c3 + c2 xx 0 0 M an0 x 0 M an ?1 + an x0 0 x M a a an ?2 + n ?1 + n x x2K K K0 0 0 MDnL=1 cn + cn?1 xK kn按cn 展开=x n ?1 k n =x n ?1 (an a n? a + n ?1 + K + 2 +a 1 +x) n ?1 2 x x xn ?1= an + an ?1 x + L + a1 x+ xn0 0M按rn 展开方法 4 Dn=( ?1)n +1 an?1 0 K 0 x ?1 K 0M M M+0 x 0 K 0 0 ?1 K 0 M M M 0 00K x ?1( ?1) n +2 an ?10 x ?1 K 0 0 0 x K 0 2 n ?1 a2 + K + ( ?1) M M M M 0 00 0 MK x ?1K 0 ?1x ?1 K 0 0 0 x K 0 0 2n + ( ?1) (a1 + x ) M M M M 0 0 L 0 x=（－1） n +1 （－1） n ?1 a n +（－1） n + 2 （－1） n ? 2 a n ?1 x + K +（－1） 2 n ?1 （－1）a 2 x n ? 2 +（－1） 2 n (a 1 +x)x n ?1 = an + an ?1 x + L + a1 xn ?1+ xn例 2.13 计算 n 阶“三对角”行列式α+βDn =1 0 M 0αβ α+β1 M 0K 0 αβ K 0 α＋β K 0 0 M 00 0 0M M K 1 α+β解方法 1 递推法．13αβ按c1展开Dn=(α + β ) D n ?1 ―1 M 00 α+β M 0K 0 αβ K 0 0 M 00 0M M K 1 α+β( n ?1)按r1展开=(α + β ) D n ?1 － αβ D n?2D n = (α + β ) D n ?1 － αβ D n ? 2 (n ≥ 3)即有递推关系式故 Dn ? α Dn ?1 ＝ β ( Dn ?1 ? α Dn ?2 ) 递推得到 Dn ? α Dn ?1 ＝ β ( Dn ?1 ? α Dn ?2 ) ＝ β ( Dn ?2 ? α Dn ?3 )2＝L ＝ β 而 D1 = (α + β ) ， D2 ＝n?2( D2 ? α D1 )2α +β 1αβ α +β＝ α + αβ + β ，代入上式得2Dn ? α Dn ?1 = β n Dn = α Dn ?1 + β n （2.1）由递推公式得Dn = α Dn ?1 + β n ＝ α (α Dn ?2 + β n ?1 ) + β n＝α 2 D n? 2 ＋ αβn ?1+ β n ＝L? β n+1－α n +1 ，当α ≠ β时 ? n ?1 n ?1 n ＝ α n ＋ α β ＋ K ＋ αβ + β ＝ ? β－α ?(n + 1)α n +1 ，当α＝β时 ?方法 2 把 D n 按第 1 列拆成 2 个 n 阶行列式ααβ 1 α+β1 M 0 M 0Dn = 0K 0 αβ K 0 α＋β K 0 0 M 00 0 0βαβ 1 α+β0 M 0 0 1 M 0 00＋αβ α+β KM 0 0K K0 0 0 M0 0 0 MM M K 1 α+βK α+β K 1αβ αβ上式右端第一个行列式等于αD n ?1 ，而第二个行列式14βαβ 1 α+β0 M 0 0 1 M 0 00αβ α+β KM 0 0K K0 0 0 M0 0 0 Mci ? aci ?1 i = 2,L, nβ=1 0 M 00β1 M 00 K 0 0 K 0 β K 00 0 0 =β nK α+β K 1nαβ αβM M M 0 K 1 β于是得递推公式 Dn = α Dn ?1 + β ，已与（2.1）式相同． 方法 3 在方法 1 中得递推公式 D n = (α + β ) D n ?1 － αβ D n ? 2 又因为当 α + β 时 D 1 =α + β =α2 ?β2 α ?βD2 =α+β13 3 αβ 2 2 2 α ?β = (α + β ) ? αβ = α + αβ + β = α+β α ?βα +βD3=1 0αβ α +β12 20αβ = (α + β )3 -2 αβ (α + β ) α+β α4 ?β4 α ?β= (α + β ) (α + β ) =α n +1 ? β n +1 ，下面用数学归纳法证明． 于是猜想 Dn = α ?β当 n=1 时，等式成立，假设当 n ≤ k 时成立． 当 n=k+1 是，由递推公式得 D k +1 = (α + β ) D k － αβ D k ?1 = (α + β ) 所以对于 n ∈ N + ，等式都成立．α k +1 ? β k +1 α k ? β k α k +2 ? β k +2 ― αβ = α ?β α ?β α ?β第二部分这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到 相关内容学习后再看． 但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多．15? A1 ? ? ? 例 2.14 设 A 为 3×3 矩阵, |A| =－2, 把 A 按行分块为 A = A2 , 其中 Ai (i = 1, 2,3) 是 A ? ? ?A ? ? 3?A3 ? 2 A1 = ______. 的第 i 行, 则行列式 2 A2 A1 A3 ? 2 A1 A3 ? 2 A1 A3 A1 = 2 A2 解 2 A2 = 2 A2 = ?2 A2 = ?2 | A |= 4 A1 A1 A1 A3例 2.15 判断题 (1) 若 A，B 是可乘矩阵，则 AB = A B ． （） （） (2)若 A，B 均为 n 阶方阵，则 A ? B = A ? B ． 解 (1) 错误，因为 A，B 不一定是方阵，即不一定有对应的行列式． (2) 错误，例如取 A = ?? 3 0? ?2 0? ? ， B = ?0 2? ， A ? B = 1 ≠ A ? B = 5 ． ? 0 3? ? ?例 2.16 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 证 A = ? A, | A |=| A |=| ? A |= ( ?1) | A |= ? | A | (n 为奇数). 所以|A| = 0.T T n?k ?1 例 2.17（数四，01，3 分）设矩阵 A = ? ?1 ? ?1 1 1 1 1 k 1 1 解由于 A = 1 1 k 1 1 1 1 k kr1 + r2 +Lr41 k 1 11 1 k 11? 1? ? ，且秩 R ( A) = 3，则 k = 1? ? k? 1 k 1 1 1 k 1 1k +3 k +3 k +3 k +3=1 1 1 1k 1 1 11 1 1 1= ( k + 3)1 k 1 1 0 k ?1 0 0 = ( k + 3) 1 1 k 1 0 0 k ?1 0 1 1 1 k 0 0 0 k ?13= ( k + 3)( k ? 1)由 R ( A) = 3，知 A =0，而 k = 1 时， R ( A) = 1，故必有 k = ?3 ．C 计算 2C ( A B ) C ． 例 2.18 若 A，B ， 均为 3 阶可逆方阵， A = ?1 ，B = 2 ，T?1?1 216解2C ?1 ( AT B ?1 ) 2 C = 23 C ?1 AT B ?1 C21 C AT =2 C32B?1 21 =2 A =2 B3 22例 2.19 设 3 阶方阵 A， 满足方程 A 2 B ? A ? B = E ， 试求矩阵 B 以及行列式 B ， B? 1 0 1? ? ? 其中 A = 0 2 0 ． ? ? ? ?2 0 1 ? ? ?解 由 A 2 B ? A ? B = E ，得 ( A ? E ) B = A + E ，即2( A + E )( A ? E ) B = A + E? 2 0 1? ? ? 由于 A + E = 0 3 0 ， A + E = 18 ≠ 0 ? ? ? ?2 0 2 ? ? ? ? 0 0 1? A ? E = ? 0 1 0? ， A ? E = 2 ≠ 0 ? ? ? ?2 0 0 ? ? ? B = ( A ? E ) ?1 ( A + E ) ?1 ( A + E ) = ( A ? E ) ?1? 0 0 1? ? 0 0 ?1/ 2 ? ? 0 1 0? = ?0 1 = 0 ? ? ? ? ? ? ?2 0 0 ? ?1 0 ? 0 ? ? ? ?所以 | B |= 1 / 2 ． 例 2.20 设 A 为 3 阶方阵， A =2，求 (?11 ?1 A) ? 3 A* 的值． 2解方法 1 化为关于 A* 的形式进行计算． 利用公式 (λ A)?1=1λA?1 ， A?1 =A* n ?1 ? ， A = A 有 AA* 1 ( A) ?1 ? 3 A* = 2 A?1 ? 3 A* = 2 ? 3 A* = A* ? 3 A* 2 A* 3 * 3 = ?2A = ( ?2) A = ( ?2) A = ?32 217方法 2 化为关于 A?1 的形式计算． 利用公式 (λ A)?1=1λA?1 ， A* = A A?1 ， A?1 =1 ，有 A1 1 = ?32 ( A) ?1 ? 3 A* = 2 A?1 ? 3 A A?1 = ?4 A?1 = ( ?4)3 2 A例 2.21（数四，98，3 分）设 A，B 均为 n 阶方阵， A =2， B =-3，求 2 A B* ?1 n * ?1 * ?1的值．解 2A B=2 A B= 2n An ?1?1 1 2 2 n ?1 = 2 n 2 n ?1 =? B ?3 3例 2.22 若 α 1 , α 2 , α 3 , β 1 , β 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 α 1 , α 2 , β 2 , α 3 = n ，α 1 , α 2 , α 3 , β 1 = m ，计算 4 阶行列式 α 3 , α 2 , α1 , β1 + β 2 的值．解如果行列式的列向量组为 α 1 , α 2 , L, α n ，则此行列式可表示为 α 1 , α 2 , L , α n ，利用 行列式的性质，有α 3 , α 2 , α 1 , β 1 + β 2 = α 3 , α 2 , α1 , β1 + α 3 , α 2 , α1 , β 2 = ? α1 , α 2 , α 3 , β1 - α 3 , α 2 , β 2 , α1= ? α1 , α 2 , α 3 , β1 + α1 , α 2 , β 2 , α 3 = n ? m| 例 2.23 计算行列式 | A | ，B | ，2 ? 1 ? 1 2 ? A=? M M ? 2+ x ? 1 ?1 + x 2 ? 1 1解| A | =OAB O，其中L n ?1 n + x? ?1 ? ?0 L (n ? 1) + x n ? ? M M ?，B =?M ? ? L n ?1 n ? ?0 ? ?0 L n ?1 n ? ? 2 2 n ?1 n+x L L (n ? 1) + x n M n ?1 n ?1 M n n0? 0? ? M M M? ? 0 L n ?1 0 ? ? 0 L 0 n? 0 L 2 L 0 0M M 1 2+ x L 1+ x 2 L18ri ? r1 i = 2,L, n1 2 L n ?1 n + x 0 0 L x ?x M M 0 x L x 0 L M 0 0 M ?x ?x1 2 L n ?1cn + c j j =1,L,n ?1==0 0 L M 0 M x Lx M 0 0n(n + 1) +x 2 0 M 0 0x 0 L这是逆对角的上三角行列式，所以A = ( ?1)O An ( n ?1) 2(n (n + 1) + x ) x n ?1 2( n(n + 1) + x)n ! x n?1 ． 2又 | B |= n ! ，故B O= (?1)n ( n ?1) 2 +n 2注这里用了公式：若 A 为 m 阶方阵， B 为 n 阶方阵，则OAB O= ( ?1)mnA B．例 2.24 若 A 为 n 阶方阵， E 为单位矩阵，满足 AAT = E ， A & 0 ，求 A + E ． 解方法 1 由 AAT = E 有A + E = A + AAT = A( E + AT ) = A( E + A)T= A ( E + A) = A E + A = A A + ET即 (1 ? A ) A + E =0，而 (1 ? A ) & 0 ，所以 A + E =0． 方法 2 因为 ( A + E ) A = AA + A = E + A = A + ET T T T即 A+ E A = A+ E 有 (1 ? A ) A + E =0，而 (1 ? A ) & 0 ，所以 A + E =0． 方法 3T 由 AAT = E 知矩阵 A 为正交矩阵，即 AA =1， A =1，又因为 A & 0 ，所 2以有 A = ?1 ，故A + E = A E + A?1 = ? E + AT = ? E + A即 2 A + E =0， A + E =0． 例 2.25 若 A 为 n 阶正定矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，证明 A + E 的行列式大于 1． 证方法 1 因为 A 为正定矩阵，因此所有的特征值大于零．设 A 的 n 个特征值为19λi = 1, i = 1, 2,L , n ， 且 λi & 0 ， 由 特 征 值 的 性 质 知 ， A + E 的 n 个 特 征 值 为 λi + 1, i = 1,2,L , n ，于是 (λ1 + 1)L (λn + 1) & 1 ．方法 2 因为正定矩阵是对称矩阵，因此 A 可对角阵，且所有的特征值大于零，故存在 可逆阵 P 有? λ1 ? ? ? （ λ & 0, i = 1, 2,L , n ） P AP = ? O i ? ? ? λn ? ??1即? λ1 ? ? ? P ?1 A = P? O ? ? ? λn ? ? ? λ1 ? ? λ1 + 1 ? ? ? P ?1 + PP ?1 = P ? ? P ?1 A+ E = P? O O ? ? ? ? ? ? ? λn ? λn + 1? ? ?λ1 + 1A+ E = POP ?1 = (λ1 + 1)L (λn + 1) & 1λn + 11 1 L 1 ? ?1 + a ? 2 2+a 2 L 2 ? ? ? ，求 A 例 2.26 设 A = ? M M M M ? ? ? n n L n + a? ? n解利用特征值法进行求解，即利用公式 A = λ1λ2 Lλn ．1 1 L 1 ? ?1 + a ? 2 2+a 2 L 2 ? ? ? A= ? M M M M ? ? ? n n L n + a? ? n ?1 ? 0 =a? ?M ? ?0 1 1 L 1 ? 0 L 0? ? 1 ? ?2 2 + a 2 L 2 ? 0 L 0? ? ? + M M M ? M M? ?M ? ? ? n n L n + a? 0 L 0? ?n 1? 2? ? M? ? n??1 1 1 L ?2 2 2 L = L = aE + ? ?M M M ? ?n n n L20?1 1 1 L ?2 2 2 L 矩阵 ? ?M M M ? ?n n n L1? 2? ? 的秩为 1，由第十三讲的注意（7）知它特征值为 M? ? n? n(n + 1) λ1 = a11 + a22 +L ann = ， λ2 = λ3 = L = λn =0 2 n( n + 1) n( n + 1) n?1 , a,L , a ，故 A = [a + ]a ． 所以 A 特征值为 a + 2 221
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