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高等数学问题,2元函数的极限求lim
（1 + xy）^(1/(x+y))的极限
y→0书上解法是是原式=lim e^xy/(x+y)
(x,y)→(0,0)请问高手这一步是怎么得来的,我已经知道lim
（1 +x) ^1/x=e
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对于幂指函数的极限,常取对数,所以化为e^[ln(1+xy)/(x+y)],用等价无穷小ln(1+x)~x(x→0),则ln(1+xy)替换为xy,得原式=lim e^xy/(x+y)
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（1 +x) ^1/x=e，所以可知lim
（1 +xy) ^1/(xy)=e，
x→0 ,y→0
（1 + xy）^(1/(x+y))= lim(1+xy)^[(1/xy)*(xy/(x+y))]=l...
令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
= lim(x趋于0)
我是问=lim e^xy/(x+y)
是怎么推出来的
（1 + xy）^(1/(x+y))=lim
（1 + xy）^[1/xy*xy(1/(x+y))]（将xy当成一个数来看）=lim e^[xy/(x+y)]{e^[xy/(x+y)]}‘=0时有极值求导得：(x^2+y^2)/(x+y)^2=0x→0
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高数极限的几种求法
转载自https://www.zybang.com/question/59de3e1eb43a6bc92c0e51.html1. 代入法, 分母极限不为零时使用.先考察分母的极限,分母极限是不为零的常数时即用此法.【例1】lim[x--&√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)lim[x--&√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)=(3-3)/(9+3+1)=0【例2】lim[x--&0](lg（1+x）+e^x)/arccosxlim[x--&0](lg（1+x）+e^x)/arccosx=(lg1+e^0)/arccos0=(0+1)/1=12. 倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用.【例3】 lim[x--&1]x/(1-x)∵lim[x--&1] (1-x)/x=0 ∴lim[x--&1] x/(1-x)= ∞以后凡遇分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时,可直接将其极限写作∞.3. 消去零因子（分解因式）法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用.【例4】 lim[x--&1](x^2-2x+1)/(x^3-x)lim[x--&1](x^2-2x+1)/(x^3-x)=lim[x--&1](x-1)^2/[x(x^2-1)=lim[x--&1](x-1)/x=0【例5】lim[x--&-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)lim[x--&-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)= lim[x--&-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]= lim[x--&-2]x(x+1) / (x-3)=-2/5【例6】lim[x--&1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)lim[x--&1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)= lim[x--&1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]= lim[x--&1](x-2) /[(x-1)=∞【例7】lim[h--&0][(x+k)^3-x^3]/hlim[h--&0][(x+h)^3-x^3]/h= lim[h--&0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h= lim[h--&0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2]=2x^2这实际上是为将来的求导数做准备.4. 消去零因子（有理化）法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用.可利用平方差、立方差、立方和进行有理化.【例8】lim[x--&0][√1+x^2]-1]/xlim[x--&0][√1+x^2]-1]/x= lim[x--&0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝= lim[x--&0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝= lim[x--&0] x / [√1+x^2]+1]=0【例9】lim[x--&-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))lim[x--&-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))=lim[x--&-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]}=lim[x--&-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}=lim[x--&-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]=-25. 零因子替换法.利用第一个重要极限：lim[x--&0]sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用.常配合利用三角函数公式.【例10】lim[x--&0]sinax/sinbxlim[x--&0]sinax/sinbx= lim[x--&0]sinax/(ax)*lim[x--&0]bx/sinbx*lim[x--&0]ax/(bx)=1*1*a/b=a/b【例11】lim[x--&0]sinax/tanbxlim[x--&0]sinax/tanbx= lim[x--&0]sinax/ sinbx*lim[x--&0]cosbx=a/b6. 无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常借用无穷大和无穷小的性质.【例12】lim[x--&∞]sinx/x∵x--&∞ ∴1/x是无穷小量 ∵|sinx|∞]sinx/x=0【例13】lim[x--&∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)lim[x--&∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)= lim[x--&∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)=1/2【例14】lim[n--&∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)lim[n--&∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)=lim[n--&∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1)=lim[n--&∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)=1/4【例15】lim[x--&∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50lim[x--&∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50= lim[x--&∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30= lim[x--&∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50
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