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山西省2016年高考数学三模试卷(理科附解析)
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山西省2016年高考数学三模试卷(理科附解析)
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文章 来源天添 资源网 ww w.tT z y w.C oM 2016年山西省高考数学三模（理科）　一、1．复数 + 的共轭复数为（　　）A．5+i&B．5+i&C．5i&D．5i2．若集合A={x|1＜x2＜5x}，B={y|y=3x，x∈A}，则A∪B等于（　　）A．（1，2）&B．（2，2）&C．（1，5）&D．（2，5）3．P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别为抛物线y2=4x上不同的两点，F为焦点，若|QF|=2|PF|，则（　　）A．x2=2x1+1&B．x2=2x1&C．y2=2y1+1&D．y2=2y14．设A、B、C、D四点都在同一个平面上，且 +4 =5 ，则（　　）A．& =4 &B．& =5 &C．& =4 &D．& =5 5．将函数y=cos（3x+ ）的图象向左平移 个单位后，得到的图象可能为（　　）A． &B． &C． &D． 6．四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两侧的排法数为（　　）A．&& 2& &B．&& & C．&& 2& &D．&& & 7．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，给出下列两个命题：命题p：若S3，S9都大于9，则S6大于11命题q：若S6不小于12，则S3，S9中至少有1个不小于9．那么，下列命题为真命题的是（　　）A．Vp&B．（Vp）∧（Vq）&C．p∧q&D．p∧（Vq）8．执行如图所示的程序框图，则输出的y等于（　　）&A．1&B．0&C．1021&D．20459．设a＞0，且x，y满足约束条件 ，若z=x+y的最大值为7，则 的最大值为（　　）A． &B． &C． &D． 10．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）&A．& +8π&B．& +8π&C．16+8π&D．& +16π11．设函数y=ax2与函数y=| |的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（　　）A．（ e， ）&B．（ e，0）∪（0，& e）&C．（0，& e）&D．（ ，1）∪{ e}12．已知Sn，Tn分别为数列{ }与{ }的前n项和，若Sn＞T10+1013，则n的最小值为（　　）A．1023&B．1024&C．1025&D．1026　二、题13．已知函数f（x）= 为奇函数，则g（2）=　　　　　　．14．设x（1x）7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，则a1+3a2+7a3+15a4+31a5+63a6+127a7+255a8=　　　　　　．15．长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为 ，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为　　　　　　．16．如图，在△ABC中，|AB|=4，点E为AB的中点，点D为线段AB垂直平分线上的一点，且|DE|=3，固定边AB，在平面ABD内移动顶点C，使得△ABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点，且C、D在直线AB的同侧，在移动过程中，当|CA|+|CD|取得最小值时，点C到直线DE的距离为　　　　　　．&　三、17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a+c）sinB=2csinA．（1）若sin（A+B）=2sinA，求cosC；（2）求证：BC、AC、AB边上的高依次成等差数列．18．某脐橙基地秋季出现持续阴雨寡照等异常天气，对脐橙物候和产量影响明显，导致脐橙春季物候期推迟，畸形花增多，果实偏小，落果增多，对产量影响较大．为此有关专家退出2种在异常天气下提高脐橙果树产量的方案，每种方案都需分两年实施．实施方案1：预计第一年可以使脐橙倡粮恢复到灾前的1.0倍、0.8倍的概率分别是0.4、0.6；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.1倍的概率分别是0.5、0.5．实施方案2：预计第一年可以使脐橙产量达到灾前1.2倍、0.8倍的概率分别是0.5、0.5；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.6、0.4．实施每种方案第一年与第二年相互对立，令X1表示方案1实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数，X2表示方案2实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数．（1）分别求X1、X2的分布列和数学期望；（2）不管哪种方案，如果实施两年后，脐橙产量不高于和高于灾前产量的预计利润分别为12万元和20万元，为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择哪种方案？19．如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且A1A⊥底面ABCD，点P，Q分别在DD1，BC上，且 =& ，BQ=4．（1）证明：PQ∥平面ABB1A1；（2）求二面角PQDA的余弦值．&20．如图，F1，F2为椭圆C：& + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（ ， ）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．&21．已知函数f（x）=（ax2+bx+ab）ex （x1）（x2+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x轴切于原点O．（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）•（x2+mxn）≥0恒成立，求m+n的值．　[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在⊙O的直径AB的延长线上取点P，作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M，使PN=PM，连接NM并延长交⊙O于点C．（1）求证：OC⊥AB；（2）若⊙O的半径为 ，OM=MP，求MN的长．&　[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ+ ）．（1）写出曲线C的参数方程；（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的面积的最大值．　[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式 ＜|1+ ||1 |＜ 对x∈（0，+∞）恒成立．（1）求实数a的取值范围；（2）不等式|x1|+|x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．　 2016年山西省高考数学三模（理科）参考答案与解析　一、1．复数 + 的共轭复数为（　　）A．5+i&B．5+i&C．5i&D．5i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：& + = + =2+2i+3i=5+i的共轭复数为5i．故选：C．　2．若集合A={x|1＜x2＜5x}，B={y|y=3x，x∈A}，则A∪B等于（　　）A．（1，2）&B．（2，2）&C．（1，5）&D．（2，5）【考点】并集及其运算．【分析】先化简集合A，B，再根据并集的运算即可得到结论．【解答】解：∵1＜x2＜5x，∴ 解得1＜x＜5，∴A=（1，5），∵y=3x，∴2＜y＜2，∴B=（2，2），∴A∪B=（2，5），故选：D．　3．P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别为抛物线y2=4x上不同的两点，F为焦点，若|QF|=2|PF|，则（　　）A．x2=2x1+1&B．x2=2x1&C．y2=2y1+1&D．y2=2y1【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质将|PF|，|QF|转化为到准线的距离，得出答案．【解答】解：抛物线的准线方程为x=1，∴|PF|=x1+1，|QF|=x2+1．∵|QF|=2|PF|，∴x2+1=2（x1+1），即x2=2x1+1．故选：A．　4．设A、B、C、D四点都在同一个平面上，且 +4 =5 ，则（　　）A．& =4 &B．& =5 &C．& =4 &D．& =5 【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据向量的数乘运算便可由 得到 ，而 ，从而根据向量加法的几何意义便可得出 ，从而便可找出正确选项．【解答】解： ；∴ ；∴ ；∴ ；∴ ．故选：A．　5．将函数y=cos（3x+ ）的图象向左平移 个单位后，得到的图象可能为（　　）A． &B． &C． &D． 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得向左平移 个单位后，得到的函数解析式为：y=sin3x，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：将函数y=cos（3x+ ）的图象向左平移 个单位后，得到的函数解析式为：y=cos[3（x+ ）+ ]=sin3x，此函数过原点，为奇函数，排除C，D；原点在此函数的单调递减区间上，故排除B．故选：A．　6．四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两侧的排法数为（　　）A．&& 2& &B．&& & C．&& 2& &D．&& & 【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，利用间接法，五位女演员全排，有& 种方法，插入四位男演员，女演员甲站两侧，有2& ，即可求出不同的排法．【解答】解：由题意，利用排除法，五位女演员全排，有& 种方法，插入四位男演员，女演员甲站两侧，有2& 种方法，所以不同的排法有& 2& 种．故选：A．　7．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，给出下列两个命题：命题p：若S3，S9都大于9，则S6大于11命题q：若S6不小于12，则S3，S9中至少有1个不小于9．那么，下列命题为真命题的是（　　）A．Vp&B．（Vp）∧（Vq）&C．p∧q&D．p∧（Vq）【考点】复合命题的真假．【分析】由等差数列的前n项和的性质可得：S3，S6S3，S9S6成等差数列，即可判断出命题p，q的真假．【解答】解：对于命题p：由等差数列的前n项和的性质可得：S3，S6S3，S9S6成等差数列，∴2（S6S3）=S3+S9S6，∴3S6=3S3+S9≥3×9+9，∴S6≥12，因此命题p正确；命题q：由上面可知：3S3+S9=3S6≥3×12=36，因此S3，S9中至少有1个不小于9，是真命题．那么，下列命题为真命题的是p∧q．故选：C．　8．执行如图所示的程序框图，则输出的y等于（　　）&A．1&B．0&C．1021&D．2045【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的y，x的值，当x=2048时，满足条件x＞2016，退出循环，输出y的值为1021，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得x=1，y=1不满足条件y≤0，y=2，x=2不满足条件x＞2016，执行循环体，满足条件y≤0，y=3，x=4不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=0，x=8不满足条件x＞2016，执行循环体，满足条件y≤0，y=9，x=16不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=13，x=32不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=29，x=64不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=61，x=128不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=125，x=256不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=253，x=512不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=509，x=1024不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=1021，x=2048满足条件x＞2016，退出循环，输出y的值为1021．故选：C．　9．设a＞0，且x，y满足约束条件 ，若z=x+y的最大值为7，则 的最大值为（　　）A． &B． &C． &D． 【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，利用z=x+y的最大值为7，推出直线x+y=7与x+4y16=0的交点A必在可行域的边缘顶点，得到a，利用所求的表达式的几何意义，可得 的最大值．【解答】解：作出不等式组约束条件 表示的平面区域，直线x+y=7与x+4y16=0的交点A必在可行域的边缘顶点． 解得 ，即A（4，3）在3axy9=0上，可得12a39=0，解得a=1．&的几何意义是可行域的点与（3，0）连线的斜率，由可行域可知（3，0）与B连线的斜率最大，由 可得B（1， ）， 的最大值为：& = ．故选：D．&　10．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）&A．& +8π&B．& +8π&C．16+8π&D．& +16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，且两个四棱锥的定点相对、底面是俯视图中两个矩形两条边分别是2、4，其中一条侧棱与底面垂直，高都是2，圆柱的底面圆半径是2、母线长是4，∴几何体的体积V=2× + = ，故选：B．　11．设函数y=ax2与函数y=| |的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（　　）A．（ e， ）&B．（ e，0）∪（0，& e）&C．（0，& e）&D．（ ，1）∪{ e}【考点】函数的图象．【分析】令ax2=| |得a2x3=|lnx+1|，作出y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象，利用导数知识求出两函数图象相切时对应的a0，则0＜a＜a0．【解答】解：令ax2=| |得a2x3=|lnx+1|，显然a＞0，x＞0．作出y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象，如图所示：&设a=a0时，y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象相切，切点为（x0，y0），则 ，解得x0=e ，y0= ，a0= ．∴当0＜a＜ 时，y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象有三个交点．故选：C．　12．已知Sn，Tn分别为数列{ }与{ }的前n项和，若Sn＞T10+1013，则n的最小值为（　　）A．1023&B．1024&C．1025&D．1026【考点】数列的求和．【分析】化简 =1+
，从而利用分类求和与裂项求和法求和，对 =1+ ，利用分类求和求和．【解答】解：∵ = =1+ =1+
，∴Sn=1+1 +1+
=n+1 ，∵ =1+ ，∴T10=1+ +1+ +…+1+ =10+ =11 ，∵Sn＞T10+1013，∴n+1 ＞11 + ，而1025 ＞1024 ， ．故n的最小值为1024，故选B．　二、题13．已知函数f（x）= 为奇函数，则g（2）=　4　．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，f（2）=f（2），利用函数f（x）= ，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（2）=f（2），∴g（2）6=log39，∴g（2）=4．故答案为：4．　14．设x（1x）7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，则a1+3a2+7a3+15a4+31a5+63a6+127a7+255a8=　2　．【考点】二项式系数的性质．【分析】x（1x）7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，分别：令x=2，1即可得出．【解答】解：∵x（1x）7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，∴令x=2，则2=2a1+4a2+8a3+…+256a8，令x=1，则0=a1+a2+a3+…+a8，∴2=a1+3a2+7a3+15a4+31a5+63a6+127a7+255a8．故答案为：2．　15．长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为 ，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为　4或 　．【考点】球内接多面体．【分析】设AB=2x，则AE=x，BC= ，由余弦定理可得x2=9+3x2+92×3× × ，求出x，即可求出球O的直径．【解答】解：设AB=2x，则AE=x，BC= ，∴AC= ，由余弦定理可得x2=9+3x2+92×3× × ，∴x=1或 ，∴AB=2，BC=2 ，球O的直径为 =4，或AB=2 ，BC= ，球O的直径为 = ．故答案为：4或 ．&　16．如图，在△ABC中，|AB|=4，点E为AB的中点，点D为线段AB垂直平分线上的一点，且|DE|=3，固定边AB，在平面ABD内移动顶点C，使得△ABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点，且C、D在直线AB的同侧，在移动过程中，当|CA|+|CD|取得最小值时，点C到直线DE的距离为　8 　．&【考点】轨迹方程．【分析】由题意画出图形，以AB所在直线为x轴，ED所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线的性质求得C的轨迹为 （x＞0），再利用双曲线定义把|CA|+|CD|取得最小值转化为|CB|+|CD|取最小值，可得C的位置，写出BD所在直线方程，联立直线方程与双曲线方程求得C的坐标得答案．【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴，ED所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（2，0），D（0，4），设△ABC的内切圆切AC、AB、BC分别于G、H、F，则|CA||CB|=|AG||BF|=|AH||HB|=2＜4，∴C点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且a=1，c=2，b2=c2a2=3，∴C的轨迹方程为 （x＞0）．∵|CA||CB|=2，∴|CA|=|CB|+2，则|CA|+|CD|=|CB|+|CD|+2，则当C为线段BD与双曲线右支的交点时，|CA|+|CD|最小，BD所在直线方程为 ，即2x+y4=0．联立 ，解得C（ ）．∴点C到直线DE的距离为 ．故答案为：8 ．&　三、17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a+c）sinB=2csinA．（1）若sin（A+B）=2sinA，求cosC；（2）求证：BC、AC、AB边上的高依次成等差数列．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）使用正弦定理将角化边，得出a，b，c的关系，利用余弦定理解出cosB；（2）用三角形的面积S表示出三条高，利用等差中项的性质进行验证即可．【解答】解：（1）∵（a+c）sinB=2csinA．∴ab+bc=2ac．∵sin（A+B）=sinC=2sinA，∴c=2a．∴ab+2ab=4a2．∴b= ．∴cosB= = = ．（2）设BC、AC、AB边上的高分别为h1，h2，h3，则S= ah1= bh2= ch3，∴2S=ah1= h2=2ah3．∴h1= ，h2= ，h3= ．∴h1+h3=2h2．∴BC、AC、AB边上的高依次成等差数列．　18．某脐橙基地秋季出现持续阴雨寡照等异常天气，对脐橙物候和产量影响明显，导致脐橙春季物候期推迟，畸形花增多，果实偏小，落果增多，对产量影响较大．为此有关专家退出2种在异常天气下提高脐橙果树产量的方案，每种方案都需分两年实施．实施方案1：预计第一年可以使脐橙倡粮恢复到灾前的1.0倍、0.8倍的概率分别是0.4、0.6；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.1倍的概率分别是0.5、0.5．实施方案2：预计第一年可以使脐橙产量达到灾前1.2倍、0.8倍的概率分别是0.5、0.5；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.6、0.4．实施每种方案第一年与第二年相互对立，令X1表示方案1实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数，X2表示方案2实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数．（1）分别求X1、X2的分布列和数学期望；（2）不管哪种方案，如果实施两年后，脐橙产量不高于和高于灾前产量的预计利润分别为12万元和20万元，为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择哪种方案？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）把实施方案一的数据列表整理，能求出X1的分布列的数学期望；把实施方案二的数据列表整理，能求出X2的分布列的数学期望．（2）记方案一的预计利润数为Y1，求出Y1的分布列和期望；记方案二的预计利润数为Y2，求出Y2的分布列和期望，由EY1＜EY2，得到为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择方案2．【解答】解：（1）实施方案一的数据具体见下表：& 第一年（对于灾前）& 第二年（对于第一年）& 第二年（对于灾前）&倍数& 1.0&0.8& 1.25&1.10& 1.25& 1.1&0.9& 0.88&相应频率& 0.4&0.6& 0.5&0.5& 0.2&0.2&0.3&0.3由表可得X1的分布列：&X1& 1.25& 1.1& 0.9& 0.88&P& 0.2& 0.2& 0.3& 0.3EX1=1.25×0.2+1.1×0.2+0.9×0.3+0.88×0.3=1.004．实施方案二的数据具体见下表：&第一年（对于灾前）&第二年（对于第一年）&第二年（对于灾前）倍数&1.2&0.8&1.25&1.10&1.5&1.32&1.0&0.88相应频率&0.5&0.5&0.6&0.4&0.3&0.2&0.3&0.2由表可得X2的分布列为：&X2& 1.5&1.32&1.0&0.88&P&0.3&0.2&0.3&0.2EX2=1.5×0.3+1.32×0.2+1.0×0.3+0.88×0.2=1.19．（2）记方案一的预计利润数为Y1，则Y1的分布列为：&Y1& 12& 20&P& 0.6& 0.4EY1=12×0.6+20×0.4=15.2．记方案二的预计利润数为Y2，则Y2的分布列为：Y2&12&20P&0.5&0.5EY2=12×0.5+20×0.5=16．∵EY1＜EY2，∴为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择方案2．　19．如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且A1A⊥底面ABCD，点P，Q分别在DD1，BC上，且 =& ，BQ=4．（1）证明：PQ∥平面ABB1A1；（2）求二面角PQDA的余弦值．&【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）在AA1上取一点N，使得AN= AA1，由已知可证四边形BQPN为平行四边形，从而证明PQ∥BN，即可判定PQ∥ABB1A1．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角PQDA的余弦值．【解答】证明：（1）在AA1上取一点N，使得AN= AA1，∵DP= DD1，且A1D1=3，AD=6，∴PN& AD，又BQ& AD，∴PN BQ，∴四边形BQPN为平行四边形，∴PQ∥BN，∵BN⊂平面ABB1A1，PQ⊄ABB1A1．∴PQ∥ABB1A1．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，6，0），D1（0，3，0），P（0，4，4），Q（6，4，0），A（0，0，0），&=（0，2，4）， =（6，2，0），设平面DPQ的法向量 =（x，y，z），则 ，取x=2，得 =（2，6，1），平面ADQ的法向量 =（0，0，1），设二面角PQDA的平面角为θ，cosθ= = = ．&　20．如图，F1，F2为椭圆C：& + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（ ， ）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．&【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（ ，y1），Q（ ），由OP⊥OQ，即 =0，当直线AB的斜率不存在时，S=1．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立 ，得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ABC的面积为1．【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C：& + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，∴ ，解得a=2，b=1，c= ，∴椭圆C的标准方程为 =1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（ ，y1），Q（ ），由OP⊥OQ，即 =0，（*）①当直线AB的斜率不存在时，S= |x1|×|y1y2|=1．②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立 ，得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，△=16（4k2+1m2）， ，同理， ，代入（*），整理，得4k2+1=2m2，此时，△=16m2＞0，AB= |x1x2|= ，h= ，∴S=1，综上，△ABC的面积为1．　21．已知函数f（x）=（ax2+bx+ab）ex （x1）（x2+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x轴切于原点O．（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）•（x2+mxn）≥0恒成立，求m+n的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得f′（0）=a=0，f（0）=（ab）+1=0，即可得到a，b的值；（2）由题意可得（x1）[ex （x2+2x+2）]•（x2+mxn）≥0，（*）由g（x）=ex （x2+2x+2），求出导数和单调区间，可得（x1）（x2+mxn）≥0恒成立，即有0，1为二次方程x2+mxn=0的两根，即可得到m，n的值，进而得到m+n的值．【解答】解：（1）函数f（x）=（ax2+bx+ab）ex （x1）（x2+2x+2）的导数为f′（x）=ex（2ax+ax2+bx+a） （3x2+2x），由曲线y=f（x）与x轴切于原点O，可得f′（0）=a=0，f（0）=（ab）+1=0，即有a=0，b=1；（2）f（x）•（x2+mxn）≥0恒成立，即为[（x1）ex （x1）（x2+2x+2）]•（x2+mxn）≥0，即有（x1）[ex （x2+2x+2）]•（x2+mxn）≥0，（*）由g（x）=ex （x2+2x+2）的导数为g′（x）=exx1，设h（x）=exx1，h′（x）=ex1，当x≥0时，h′（x）≥0，h（x）递增，可得h（x）≥h（0）=0，即g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，可得g（x）≥g（0）=0，即ex （x2+2x+2）≥0；当x≤0时，h′（x）≤0，h（x）递减，可得h（x）≤h（0）=0，即g′（x）≤0，g（x）在[0，+∞）递减，可得g（x）≤g（0）=0，即ex （x2+2x+2）≤0．由（*）恒成立，可得x≥0时，（x1）（x2+mxn）≥0恒成立，且x≤0时，（x1）（x2+mxn）≤0恒成立，即有0，1为二次方程x2+mxn=0的两根，可得n=0，m=1，则m+n=1．　[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在⊙O的直径AB的延长线上取点P，作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M，使PN=PM，连接NM并延长交⊙O于点C．（1）求证：OC⊥AB；（2）若⊙O的半径为 ，OM=MP，求MN的长．&【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接ON，运用圆的切线的性质和等腰三角形的性质，由垂直的判定即可得证；（2）运用直角三角形的勾股定理和圆的相交弦定理，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OCN为等腰三角形，则∠OCN=∠ONC，∵PN=PM，∴∠PMN=∠PNM，∵∠OCM+∠OMC=∠ONC+∠PNM=90°，∴∠COM=90°，∴OC⊥AB．（2）在Rt△ONP中，由于OM=MP，∴OP2=PN2+ON2，∴ ，∴4PN2=PN2+12，∴PN=2，从而 ，∴ ，由相交弦定理可得MN•CM=BM•AM，又 ，∴ ．&　[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ+ ）．（1）写出曲线C的参数方程；（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由极坐标化为标准方程，再写出参数方程即可，（2）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），表示出矩形OAPB的面积为S，再设t=sinθ+cosθ，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：（1）由 得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ+1），所以x2+y2=2x+2y+2，即（x1）2+（y1）2=4．故曲线C的参数方程 （θ为参数）．（2）由（1）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π），则矩形OAPB的面积为S=|（1+2cosθ）（1+2sinθ）|=|1+2sinθ+2cosθ+4sinθcosθ）|令 ，t2=1+2sinθcosθ， ，故当 时， ．　[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式 ＜|1+ ||1 |＜ 对x∈（0，+∞）恒成立．（1）求实数a的取值范围；（2）不等式|x1|+|x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）根据x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）分别求出集合A，B，结合a的范围，判断A，B的交集是否是空集即可．【解答】解：（1）∵x＞0，∴1+ ＞0，不等式 ＜|1+ ||1 |＜ 对x∈（0，+∞）恒成立，即不等式 ＜1+ |1 |＜ 对x∈（0，+∞）恒成立．即 对x∈（0，+∞）恒成立．即 ，∴ ，解得：1＜a＜8；（2）∵x＞0，∴x+1＞0，令f（x）=|x1|+|x+1|，∴f（x）=|x1|+x+1= ，由（1）a=8时，得：2x＜8，解得：x＜4，故集合A的最大范围是（0，4），由4≤2x≤8，解得：2≤x≤3，故集合B=[2，3]，故A∩B不一定是空集．　日
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