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浅析高等数学中的数学思想
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作者：李杰
浅析高等数学中的数学思想
　　一、函数思想　　函数概念和函数思想的提出和运用，使得变量数学诞生了，常量数学到变量数学，函数思想起了决定性作用。函数是数学分析的研究对象，函数思想就是运用函数的观点，把常量视作变量、化静为动、化离散为连续，将待解决的问题转化为函数问题，运用函数的性质加以解决的一种思想方法。　　在数学分析中，我们通常用来解决不等式的证明、方程根的存在性与个数、级数问题、数列极限等。　　例1，证明：当x&0时，x- &1n（1+x）。　　分析：这是一个不等式证明问题本文由联盟收集整理，直接证明有一定难度，但是将此问题转化为函数问题的单调性，即可解决问题。　　证明：构造辅助函数f（x）=1n（1+x）-x+ ，则f`（x）= -1+x，可证当x&0时，f`（x）&0，因此单调递增。又因为f（0）=0，所以当x&0时，f（x）&f（0）=0，即原不等式成立。　　例2，判断&（-1）n 的敛散性。　　分析：这是一个级数问题，该级数为交错级数，从函数的观点出发，化离散为连续，转化为函数问题，运用函数的性质，从而解决问题。　　解：该级数为交错级数，由莱布尼兹判别法知，要判断其敛散性，只需判断通项的绝对值un= =是否单调减少且趋于为0。为此，将un连续化，设f（x）= ，由于f`（x）= ，当x&9时，f`（x）&0，即f（x）在（9，+&）内单调递减。将特殊值x=n（n为大于9）的自然数代入知，un=f（n）也递减且极限为0，故此级数收敛。　　二、极限的思想　　极限的思想方法是近代数学的一种重要思想方法，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究初等函数的一门学科。极限是研究无限的有力工具，&极限&揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动对立统一的关系。极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，一方面利用极限的思想给出了连续函数、导数、定积分、无穷小（大）量、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分、曲线积分、曲线弧长、曲面积分等的概念，数学分析中几乎所有的概念都离不开极限的思想。另一方面在闭区间列上的区间套定理体现了极限的思想，泰勒定理中的泰勒公式就是利用多项式函数去逼近已知函数等。学习者以&极限理论&为工具，以现实具体的问题为背景，从具体到抽象，特殊到一般地去理解概念及定理的本质，可以增强分析和解决问题的能力。　　对所求量，先构造与其相关的变量，前提是该变量无限变化的结果就是所求量，此时采用极限运算得到所求量。例如邱瞬时速度、曲面弧长、曲变形面积等问题，就是采用了极限的思想。　　例3，如果物体做非匀速直线运动，其运动规律的函数是s=f（t），其中t为时间，s是距离，求它在时刻t0的瞬时速度。　　解：物体从时刻到时刻这段时间内的平均速度是：　　v= = ，当|△t|很小时，时刻t0的瞬时速度v0&v，因此当无限趋近于0（△t&0） 时，就无限趋近于v0，即v0=1im =1im 。　　三、连续的思想　　在数学分析中，把函数的连续性局部化到当函数的自变量在某点邻域内作微小变动时，相应函数值也在对应点的函数值邻域内作微小变动。　　这种思想到连续函数求极限的情形，就可以把极限的复杂问题转化为求函数值的问题，从而大大简化了运算。如果给定的函数不连续，可以通过整理、化简、变换等途径将其转化为连续函数，再利用上面的方法求其极限。　　例4，求1im ，（a&0，a&1）。　　解：将给定的函数变形为1oga（1+x） ，再根据对数函数的连续性，有1im =1im1og（1+x） =1oga[1im（1+x） ]=1ogae。　　四、数形结合的思想　　数学是研究空间形式和数量关系的科学，而空间形式和数量关系之间往往存在密切的，又有各自特点。数形结合思想方法，就是充分利用形的直观性和数的规范性，通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题。具体包括：数转化为形的思想；形转化为数的思想。这种方法使得复杂问题简单化、抽象问题具体化、形象化、直观化，化难为易，最终找到最优解决方案。　　数形结合的思想在数学分析课程中的应用广泛，很多抽象问题中都蕴含着某种几何意义，借助几何图形，对抽象问题进行几何解释，使抽象问题结合图形更容易深入理解，更容易掌握其最本质的知识。　　比如：极限、曲线的渐近线、导数与微分、二元函数偏导数与全微分、定积分与重积分、反常积分（无穷积分与瑕积分）、函数的单调性、函数的凹凸性等概念的几何意义，对于确切理解并正确掌握这些基本概念是非常重要的，同时为解决各种实际问题提供了多样化的方法。　　又比如：闭区间上连续函数基本性质（介值性定理、根的存在定理）、微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理）、积分中值定理、费马定理、隐函数存在唯一性定理等几何意义，不论对定理的深入理解，还是对启发证明定理结论方面有很大帮助。　　例5，下面仅谈谈几何图形对拉格朗日定理的内容的理解及证明所起的作用。　　为了叙述的方便，首先将拉格朗日定理陈述如下：若函数f满足如下：（1）f在闭区间[a，b]上连续；（2）f在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点，使得f`（）= 。　　它的几何意义是若一条曲线在[a，b]上连续，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少存在一点&（，f（）），过点&的切线平行于割线AB（图1）。此定理的证明关键在于运用其几何意义，考虑到这个定理比罗尔定理少了一个条件，构造辅助函数使其满足罗尔定理的要求，即满足函数在端点的取值相同，最后用罗尔定理得出最后的结论。因此，想办法构造一个辅助函数F（x），使得在[a，b]上连续，在（a，b）内可导并且F（a）=F（b）。观察图1可知，割线与曲线有两个交点A与B，要使F（a）=F（b），只需使F（x）的图像经过A，B两点，F（x）可取为曲线纵坐标与割线纵坐标之差。其中，曲线的方程为y=f（x），割线AB的方程为y=f（a）+ （x-a），可见，几何图形在此定理的证明起到关键的作用。
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&受姬&明天小光棍节.
节日快乐各位..并且晚安.
晚安。。。
=&=是啊小光棍节
唉.思修刚考完.“如果你的同学失恋了你会怎么安慰..”
回复5楼：这种题。。。我想知道如果我回答“毛主席说，不以结婚为目的的恋爱都是耍流氓。不就是耍流氓失败了吗，正好把你从错误中拯救出来。“能拿几分。。。
=&&&=啧啧不知道.但我写了毛毛毛毛主席说的话..平时是跟舍友说:“他丫不跟你分手难道跟你结婚啊..”还有更雷人的题目比如_国足咋拯救..天雷救我..
国足…唯一拯救方法：改为中国武术超级联赛我觉得我一定是n种零分答卷的创造者。。。
啧啧(貌似这成了语癖).明天高数唉唉那些自己死也不让别人活的先人比如牛顿,莱布尼兹,拉格朗日..(愿啥啥水妖风魅火精地灵科本列侬薛定谔邦乔维虹殿蓝殿的保佑哀家=&=..
0 0明天考期末。。。同球各种保佑
哇..理科生..?
=&=冷了啧啧.
今天下午古代文学外加年级大会…这意味着我得做慢点耗时间不然的话对着卷子坐等年级大会很无聊的…悲剧啊变态学院非得把时间连在一起搞…TAT
啧啧..想回高中诶..能学古代文学..真羡慕.我们这工科大学连大学语文都没有=&&=.
大学语文不是公共课吗？
…小学时立志当理科生因为不用学语文…（纯粹被各种抄写写怕了现在想想没语文课很悲惨。。。
语文不用抄写只用背书就好…我一学期就没动什么笔可是背了多少文章啊TAT
=&=没发现并且选课悲剧...有一科叫“二百二十伏声控电灯的安装与调试”..
那是什么神物…教你们怎么装电灯么…
点头..各种天雷..
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保存至快速回贴x/(1+x)&ln(1+x)&x,
解：设f(x)=x-ln(1+x)
则f'(x)=1-1/(1+x)>0,所以函数f(x)单调递增.
f(0)=0,所以x>0时x>ln(1+x).
设g(x)=ln(1+x)-x/(1+x)
则g'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)²=x/(1+x)²>0
g(0)=0,所以当x>0时ln(1+x)>x/(1+x)
综上所述,x/(1+x)<ln(1+x)0
给你提供两种方法。
第一种有点技巧，思路略微复杂，在t∈[0,1]上研究，表达清晰简单。
第二种没有什么技巧，在t∈[x,x+1]上研究，表达不容易写清楚。
1、对于任意的x＞0，取函数f(t)＝arctant，t∈[0，x].
f(x)－f(0)＝f&#039;(ξ)×x，ξ∈(0，x).
即arctanx＝x/(1＋ξ^2...
用拉格朗日中值定理：
对于任意的x＞0，取函数f(t)＝ln(1＋t)，t∈[0，x]。
则f(t)在[0，x]上连续，在(0，x)内可导，所以存在一点ξ∈(0...
解：设f(x)=arctanx+arccotx，x∈(-∞，+∞).
f&#039;(x)≡0,所以f(x)≡C(常数).
又f(0)=π/2,所以C=π/2.
答: 如何开发右脑
答: 视觉注意力不集中，被动注意过于敏感，细微的声音刺激也会引起学生的反应，很难将注意力较稳定地、较长时间地集中在目标任务上，从而影响学习效率。
视觉记忆力不好，或是...
答: 专家建议，父母可使用如下方法一：以身作则给孩子树榜样方法例示一个初一的小男孩，偷偷地抽烟，被父亲发现了
答: 一般般，答案与试题不配
销售额：指企业在销售商品、提供劳务及让渡资产使用权等日常活动中所形成的经济利益的总流入。税法上这一概念是不含任何税金的收入。销售额适用于制造业、商业等。
营业额会计上指的是营业收入，税法指的是应税营业收入。营业额属于含税收入，适用于饮食业、运输业、广告业、娱乐业、建筑安装业等 。
工行的网银没有软键盘，主要通过安全控件来保证安全，只有安装了工行的安全控件，才能在工行网页上输入密码。
修改密码的操作，你可以在登陆工行网银以后，在“客户服务”的“修改客户密码”里找到相关链接。
tann转成假名就是たん，拼音的话，相当于tang吧……
bakka转成假名是ばっか
kkou转成假名是っこう
benn转成假名是べん
kyo转成假名是きょ
系统学过五十音的话，看罗马音就能直接读了。用拼音来学是不合适的，有些发音没法用拼音标的。
P.S.罗马音里，“nn”就是波音“ん”，“kka”是前面带促音小写“っ”的“か”，同理“tta”就等于“った”。
你好!那要看那种车型,A6有很多型号的,
方法步骤：01现在女性患有宫颈糜烂的疾病越来越多，得了宫颈糜烂我们经常会感到自己的腹部特别的疼痛，还有的时候会感到自己的腰腿酸疼痛，还有的时候我们会发现自己的阴道出现出血的现象。02记得我同事的妈妈前阵子忽然感到自己的腹部有坠胀的感觉，后来疼痛更加的明显，逐渐的发现自己的白带中加有血丝，后来去了医院检查才知道自己得了宫颈糜烂，后来大夫开了玉竹、虫草、桂圆肉、丁香、广东紫珠、坤草、鸡血等中药服用了几天之后症状得到了好转。03当我们发现自己得了宫颈糜烂我们要保持自己的饮食清淡，少吃一些辛辣刺激的食物，我们不要经常的抽烟，不要喝酒，我们不要自己熬夜，我们要保持自己的心情舒畅，适当的参加体育锻炼。04以上内容仅供参考，如果发现自己得了这种疾病我们要及时的去医院治疗，我们不要自己乱用药物，使自己的病情更加恶化，错过疾病治疗的最佳时间。
方法步骤：01子宫附件囊肿在进行微创手术的时候，人们是比较安全的，而且这种微创手术只需住院3天就可以回家了，但是子宫附件囊肿微创手术，大概需要8000元左右的价钱的，价格虽然贵了点，但是效果特别的好。02如果人们患有的子宫附件囊肿是卵巢囊肿的话，应该到正规医院进行科学的子宫检查了，因为这种疾病会有恶性的可能的，这种疾病在早期的时候难诊断，因此如果有恶性的卵巢囊肿很容易使人们失去生命的。03超声治疗子宫附件囊肿也有着一定的疗效的，但是人们需要使用超声来只要病灶准确显示出来的，这是需要考验医生的技能的，找到病灶以后，人们还要穿刺病变组织的，然后人们会注射一些使这些组织脱水的药物来进行治疗疾病的。04子宫附件囊肿疾病患者的内分泌千万要调理好的，生闷气发脾气的这些不好习惯要改正的，还有的就是在吃饭的时候不要大量吃一些高热量的东西。
方法步骤：01一般来说月经不调这种疾病到底要调理多久需要根据患者自身的情况来说的如果患者的病情不严重的话本身身体素质比较好听从医生接受正规治疗的话，有良好护理的患者，一般来说半个月到一个月就可以调理好了。02如果患者的本身身体素质比较差，并且无法避免要长期承受巨大工作压力的患者，可能这种疾病调理起来是比较麻烦的。有些女性几个月都没有办法恢复健康有些女性可能半年内都有月经不调的状况。03一般来说，在治疗这种疾病的期间女性一定要注意养成良好的生活习惯和饮食习惯，一般来说良好的生活作息以及良好的饮食习惯，对于这种疾病的治疗有很大的帮助。也有利于患者更快的恢复健康。04要想快点治愈好这种疾病患者在生活中也要注意多进行一些体育锻炼，增强自身的身体素质提升自己的免疫力和抵抗力。平时应该要少吃一些辛辣刺激的食物多吃一些健康的有营养的食物。
有以下的表现：
01患上外阴白斑Ⅰ期增生型的患者最明显的症状就是外阴周围的皮肤曾白色，并且患者还能感觉到外阴瘙痒的症状，但是有些患者出现的瘙痒是很剧烈，主要的时间是表现在晚间瘙痒加剧，因此自己无法忍受瘙痒的患者会抓伤外阴或是皮肤。02并且当患者的病情发展严重后，还有些患者会出现溃烂、外阴发红或是烧灼的症状，但疾病早期的时候症状并不明显，很多患者会想到是炎症类的疾病，造成患者在治疗上走入了误区，就没有对症医治。03患者要治疗外阴白斑Ⅰ期增生型的疾病时，可使用药物治疗、手术治疗与物理治疗，在治疗疾病期间患者要注意病情必须与药对症，不可因为患上妇科病有阴影或是其它的原因而胡乱治疗，对造成疾病加重的。04患者上疾病后，患者会经常因为瘙痒而无法入睡，因此患者在饮食上可做预防，平时多吃清热解毒的食物，饮食也要清淡些，禁止食用辛辣刺激类的饮食。
方法步骤：01乳房胀痛这个症状不是乳腺癌，乳房胀痛有很多种原因，在来月经之前也会出现乳房胀痛，怀孕了也会导致乳房胀痛，这个都是和激素有关系，有什么不舒服，要尽快去医院检查，治疗，不要随随便便的使用药物的治疗，那样是不正确的，要正确的治疗这个疾病，有利于恢复。02乳房癌这个疾病，是外科的一种疾病，要是治疗晚，就会出现转移，乳房癌这个疾病具有一定的遗传性，遗传的比正常人发病率要高，要定期去医院检查，要早发现，早诊断，早治疗，早愈合。03乳房癌这个疾病，要合理的饮食，要注意补充营养，可以多吃一些新鲜的水果，补充维生素，要多吃新鲜的蔬菜，保持大便的通畅，防止便秘，要多喝开水，有利于毒素的排出来，加快新陈代谢。04乳房癌这个疾病，手术后，要注意锻炼，要循序渐进，要定期去医院复查疾病，心情不要过于的担心，要保持愉快的心情，积极治疗疾病。
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