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机械振动习题集与答案123
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下载文档:机械振动习题集与答案123.DOC用微积分推导简谐运动的位移时间公式_百度文库
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用微积分推导简谐运动的位移时间公式|
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你可能喜欢简谐振动运动方程的推导
1引吉各类专科学校使用的《普通物理学》教材。针对大专层次不开设《工程数学——一常微分方程》,在推导简谐振动运动方程（简称谐振动方程）时,都是根据常微分方程o“xyrychin-X一L）直接给出其解为;x—AcOS（mt十叫或x—Asin（。。t+。1本文结台弹簧振子模型,用简单的积分知识推导谐振动方程。2谐振动方程的推导如图所示,一个轻弹簧（倔强系数为k）的左端固定,右端系一个质量为m的物体,放在光滑的水平面上。取平衡位置O为X轴的坐标原点,水平向右为X轴的正方向;t—0时刻,物体处于坐标X。处.速度为矿一时刻物体运动到坐际X处,速度为贰若以弹簧振子系统为研究对象,外力（重力,水平面的支持力,固定端的约束反力）均不作功,只有保守内力/弹性力）作功,所以系统机械能守恒。则有1,,1,1。,1会kx3+手mug。兮kx’十会m。’2一‘～2...&
(本文共2页)
权威出处：
关于简谐振动 ,许多文献[1 ]～[6] 总是直接给出简谐振动的运动方程 ,如 :弹簧振子直接给出ｘ=ＡＣｏｓ(ωｔ+φ0 ) ;单摆直接给出θ=ＡＣｏｓ(ωｔ+φ0 )等 .本文根据简谐振动的物理意义应用机械能守恒定律及牛顿第二运动定律 ,分别推出以上两个运动方程式 ,希望以此与同行共讨 .1　应用机械能守恒定律1 .1弹簧振子 :对于弹簧振子是忽略任何阻力的理想情况 ,在整个运动过程中机械能守恒 ,其势能曲线如图 .图中Ｅ =Ｅｋ+Ｅｐ　Ｅ表示总机械能 ,Ｅｋ 表示振动动能 ,Ｅｐ 表示弹性势能 .可写为 :12 ｍｖ2 +12 ｋｘ2 =Ｅ(ｖ表示物体的振动速度 ,ｘ表示物体离开平衡位置的位移 )变形后得ｖ =ｄｘｄｔ=2Ｅｍ - ｋｍｘ2 =2Ｅｍ(1 - ｋ2Ｅｘ2 )ｄｘ1 - ｋ2Ｅｘ2=2Ｅｍｄｔ…… (1 )令 :ｋ2Ｅｘ=-Ｃｏｓφ…… (2 )图(2 )式两边平方有 :ｋ2Ｅｘ2 =Ｃｏｓ2 φ…… (3)...&
(本文共3页)
权威出处：
在大学普通物理教学中,很多教材都讨论了质点参与两个同频率互相垂直的简谐振动[1-4],设两个互相垂直的同频率的简谐振动,它们振动的方向分别沿着x轴和y轴,其简谐振动方程为:x=Acos(ωt+α)y=Bcos(ωt+β)(1)由以上两式消去t,就得到合振动的轨迹方程。其在Oxy平面运动的轨迹为2xA2+2yB2-2xyABcos(β-α)=sin2(β-α)(2)式(2)是椭圆方程,所以在一般情况下,两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成,其合振动的轨迹为一个椭圆,而椭圆的形状决定于分振动的相位差(β-α),然后讨论了几种特殊情况下合振动的轨迹。但是除了直接写出轨迹方程外都未对其进行详细的推导,由于该推导过程牵涉到复杂的三角函数运算,很多同学感到非常困难,老师在推导过程中也要花较长的时间。为此本文讨论了用不同方法推导该轨迹方程的详细推导过程以及推广到三维的情况的轨迹方程及合成轨道。1用两角的和与差公式推导先将(1)式利用两角的和...&
(本文共4页)
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现行教科书及各类参考书对简谐振动的判据,说法不一.一曰:物体在跟位移成正比而方向相反的回复力作用下的振动是简谐振动;据此判据,摩擦板的振动可视为简谐振动L‘J.二曰:物体振动的运动方程满足余弦或正弦规律时是简谐振动,据此判据,连杆推动活塞往复运动可视为简谐振动LZJ.三曰:物体作往复运动过程机械能守恒,物体的振动是简谐振动;据此判据,小球在液体中的振动可视为简谐振动.本文就机械振动范围的简谐振动的充要判据作深入探讨. !.简谐振动的基本特征 人们常以弹簧振子为理想模型讨论简谐振动.(弹簧振子有一稳定平衡位置.)当振子偏离平衡位置一小的位移:时,忽略弹簧本身质量和摩擦阻力的情况下,振子只受一个线性回复力尸的作用. 声’-一k、,(1)在这个力作用下,物体的加速度与位移成正比,方向相反,即:令一田’“’(2)(1)系统偏离稳定平衡位置,(2)振子受到一个线性回复力的作用,(3)振子的加速度与位移成正比而反向;(4)振子的位移是时间的...&
(本文共2页)
权威出处：
对于具有一个平衡点的体系,若以变量言描述体系的变化,则不论{代表何意义,只要毒 ¨ 1 ● 1满足运动方程a!+b毒=0或能量方程{a砉。+告b{。=E=con st,这样的体系就称为简 二 二谐振动体系,振动规律为l=毒。co s(∞t+伊),振动园频率∞=、/,b/a。 E}1于运动方程的一次积分即得能量方程,而能量方程对时间t的一阶导数又为运动方程。因而在列别或求解简谐振动问题中,不但可用受力分析方法导出运动方程,也可从分析系统能量入手,从而得到能量方程,并进一步得到其解。当然对形形色色的简谐振动问题,有时直接作力的分析来得简单,但有时用能量方法又常常是方便的。教材中一般仅介绍受力分析方法,我认为应该两种方法并举,这也许能对提高学生解决问题的能力和培养学生用能量方法分析物理nd题的兴趣,以至更好地学习后续课程有所帮助。 下面仅以能垣方法分析两个例子: 例1复摆 。 复摆——形状不规则的物体(川体)绕一刨定的水平轴,在重力矩...&
(本文共2页)
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本文描述的变质量物体的运动指:在运动中增加或减少质量而不是与速度有关的变质量。即指如:喷气式飞机,火箭的发射等。关于变质量物体的运动方程的推导最常见的方法为:设一物体的质量在t时刻为m,它的速度为V（Vr=。t、d（mV）ndm二即有:以一十u一U半一F。-。·dt“dt显然此式在推导中未略去什么量,因而此式严格精确成立。另外在该方程的推导中很容易出现下述错误推导:。。。。一——2.一。由牛顿第h定律:F=业生U有HI—。‘一一’—’“dt”二dVndmF=r口p十Vry“““dt”dt考虑到如发射火箭;火箭的质量不断减少,故din。。,。+半为负,于是有:dt”“”’”“’““亏d...&
(本文共2页)
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京公网安备75号2 共同特征
第十五章 机械振动
物体在一定位置附近所作的来回往复的运动称为机械振动.
广义地讲,任何一个物理量在某个定值附近反复变化,都可称为振动.
振动是自然界中最常见的一种物质运动形式。
&& 共同特征：运动在时间、空间上的周期性
? 机械振动分类
按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动
按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动
按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动
按振动位移分：角振动、线振动
按系统参数特征分：线性、非线性振动
15-1 简谐振动(Simple Harmonic Motion)
&? 物体运动时,如果离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)的规律随时间变化，这种运动称为简谐振动。
& 简谐振动是理想化模型。
许多实际的小振幅振动 都可以看成简谐振动。
& 例. 双原子分子, 两个原子之间的振动
& 简谐振动是最简单最基本的振动，
复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。
1.简C振动的特征极其表式
? 弹簧振子
线性微分方程
为积分常数
◆ 物体作简谐振动时的速度与加速度
&2. 简谐振动的振幅,周期,频率和相位
(1)振幅：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A
(2)周期和频率
：完成一次完整振动所经厉的时间称为周期
(3)相位和初相
(ωt+φ) 是决定简谐运动状态的物理量,称为振动的相位,
&t=0 时相位,称为初相位,简称初相.
3.简谐振动的矢量图示法
&& 沿半径 A 的圆周匀速运动的参数方程
旋转矢量法优点：
&&& 直观地表达谐振动的各特征量
&&& 便于解题,特别是确定初相
&&& 便于振动合成
旋转矢量A与谐振动的对应关系
几种常见的简C振动
&在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：
&同样可得简谐振动参数
振动的角频率、周期完全由振动系统本身来决定。
4.简谐振动的能量
? 简谐振动的动能：
? 简谐振动的势能：
? 简谐振动的总能量：
&&&&&&&&&&&
15-2阻尼振动
一个振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为无阻尼自由振动。
在回复力和阻力作用下所作的振动，称为阻尼振动。
? 谐振子的阻尼振动
&& 振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，与其方向相反。
这时的动力学方程：
为振动系统的固有角频率，称β为阻尼系数
◆ 阻尼振动的位移与时间的关系
（1）阻尼较小时，
此方程的解：
阻力使周期增大
这种情况称为欠阻尼
&由初始条件决定 A 和初相位 φ0
（2）阻尼较大时，
&& 方程的解：
其中 C1 C2 是积分常数，由初始条件来决定，这种情况称为过阻尼。
无振动发生
（3）& 如果
方程的解：
为临界阻尼情况。
它是振动系统刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况，
&应用在天平调衡中。
是从有周期性因子
到无周期性的临界点。
15-3受迫振动 共振
& 1.受迫振动
物体在周期性外力（驱动力）的持续作用下发生的振动称为受迫振动
&&& 稳定时系统振动的频率 = 驱动力的频率ω
该方程为常系数、二阶、线性、非齐次微分方程
齐次微分方程的解 + 非齐次的一个特解
（小阻尼时）其解为：
该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；这时
若 β 很小，Ap 很大。
在弱阻尼即
β&&ω0 的情况下，当
ω=ω0 时，系统的振动速度和振幅都达到最大值 ― 共振。
共振小号发出的声波足以使酒杯破碎
1940年华盛顿的塔科曼
大桥在大风中产生振动
共振随后在大风中因产生共振而断塌
15－5同方向的简C振动的合成
1. 同方向同频率的两个简C振动的合成
合振动仍为该直线上同一频率的谐振动
? 几何方法
合振幅最大
&&& 合振幅最小
2. 同方向不同频率的两个简谐振动的合成
ω1，ω2 均较大，而差值较小
合成振动表达式：
振幅随时间变化&&&&&&&& &&&&& 振动
15-6 相互垂直的简谐振动的合成
&(1) 同频率
上式是个椭圆方程，具体形状由相位差 Δф=ф2-ф1
讨论&&& a） Δф=0,π ；合振动为线振动。
±π/2 ；合振动为正椭圆。且当 A1=A2 时,即为圆。
c） 一般情况下，合振动为斜椭圆。
(2) 不同频率,但有简单整数比时
合成运动又具有稳定的封闭轨迹,称为李萨如图.
具体的图形与
有关,可画出。
应用举例：测定未知频率。6.2 简谐运动的动力学
比较上面两式，有
微分方程的理论证明，这一微分方程的解就是
因此，上面的运动微分方程也就是简谐运动的动力学方程。
而根据牛顿第二定律，质量为m的质点作简谐运动时所受的力为
上式表示，质点做简谐运动时，作用力与位移成正比，与位移方向相反。这就是简谐运动的动力学特征。具有以上性质的作用力称做线性回复力。因此，从动力学角度讲，质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动叫做简谐运动。
&&& 广义地说，任何一个物理量如果满足或，那么这物理量就在做简谐运动。
设，则上式可写成
这就是弹簧振子的动力学方程。所以弹簧振子的运动是简谐振动，其周期为
可看作质点的重物就构成一个单摆。
设，则上式可写成
这就是单摆的动力学方程。所以单摆在摆角很小时的摆动是简谐振动，其周期为
上式表明，复摆在摆角很小时的振动是简谐的，其周期为
把复摆的周期与单摆的周期比较可以看出，摆长为的单摆与复摆有相同的振动周期，l0称为复摆的等值摆长。
等值摆长为