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大地测量学思考题及答案(200606)
大地测量学思考题集 解释大地测量学，现代大地测量学由哪几部分组成？谈谈其基本任务和作用？ 1．解释大地测量学，现代大地测量学由哪几部分组成？谈谈其基本任务和作用？ 大地测量学----是测绘学科的分支，是测绘学科的各学科的基础科学，是研究地球的形状、 大小及地球重力场的理论、技术和方法的学科。 大地测量学的主要任务： 测量和描述地球并监测其变化， 为人类活动提供关于地球的空间信 息。具体表现在 （1） 、建立与维护国家及全球的地面三维大地控制网。 （2） 、测量并描述地球动力现象。 （3） 、测定地球重力及随时空的变化。 大地测量学由以下三个分支构成：几何大地测量学，物理大地测量学及空间大地测量学。 几何大地测量学的基本任务是确定地球的形状和大小及确定地面点的几何位置。 作用： 可 以用来精密的测量角度，距离，水准测量，地球椭球数学性质，椭球面上测量计算，椭球数 学投影变换以及地球椭球几何参数的数学模型 物理大地测量学的基本任务是用物理方法确定地球形状及其外部重力场。 主要内容包括位 理论，地球重力场，重力测量及其归算，推求地球形状及外部重力场的理论与方法等。 空间大地测量学主要研究以人造地球卫星及其他空间探测器为代表的空间大地测量的理 论、技术与方法。 大地测量学的发展经理了哪些阶段 简述各阶段的主要贡献和特点。 阶段， 2、大地测量学的发展经理了哪些阶段，简述各阶段的主要贡献和特点。 分为一下几个阶段：地球圆球阶段，地球椭球阶段，大地水准面阶段，现代大地测量新 时期 地球圆球阶段 ，首次用子午圈弧长测量法来估算地球半径。 这是人类应用弧度测量概 念对地球大小的第一次估算。 地球椭球阶段，在这阶段，几何大地测量在验证了牛顿的万有引力定律和证实地球为椭 球学说之后，开始走向成熟发展的道路，取得的成绩主要体现在一下几个方面： 1）长度单位的建立 2） 最小二乘法的提出 3） 椭球大地测量学的形成 4）弧度测 量大规模展开 5）推算了不同的地球椭球参数 这个阶段为物理大地测量学奠定了基础理论。 大地水准面阶段，几何大地测量学的发展：1）天文大地网的布设有了重大发展，2）因 瓦基线尺出现 物理大地测量学的发展 1）大地测量边值问题理论的提出 2）提出了新的椭 球参数 现代大地测量新时期 以地磁波测距、人造地球卫星定位系统及其长基线干涉测量等为 代表的新的测量技术的出现，使大地测量定位、确定地球参数及重力场，构筑数字地球等基 本测绘任务都以崭新的理论和方法来进行。 由于高精度绝对重力仪和相对重力仪的研究成功 和使用， 有些国家建立了自己的高精度重力网， 大地控制网优化设计理论和最小二乘法的配 置法的提出和应用。 大地测量学如何控制地形测图的，大地测量未来发展方向如何？ 3．大地测量学如何控制地形测图的，大地测量未来发展方向如何？ 答：通过分级布设控制网，逐级控制。一等三角网是国家大地控制网的骨干，一等三角网 尽可能沿经纬线方向布设成纵横交叉的网状图形； 二等三角网是在一等网控制下布设的， 它 是国家三角网的全面基础，同时又是地形测图的基本控制；三、四等三角网是在一、二等网 控制下布设的，是为了加密控制点，以满足测图和工程建设的需要。 大地测量未来的发展方向：1）.全球卫星定位系统，激光测卫（SLR）以及基长基线干 涉测量（VLBI）是主导本学科发展的主要的空间大地测量技术。2）.空间大地网是实现本学 科科学技术任务的主要技术方案。3）.精化地球重力场模型是大地测量学的重要发展目标。 简述物理大地测量学的主要任务和内容？ 4．简述物理大地测量学的主要任务和内容？答：物理大地测量学也有称为理论大地测量学。它的基本任务是用物理方法（重力测量） 确定地球形状及其外部重力场。主要内容包括位理论，地球重力场，重力测量及其归算，推 求地球形状及外部重力场的理论与方法等。 解释重力、引力、离心力、引力位、离心力位、重力位、地球重力场、正常重力、 5．解释重力、引力、离心力、引力位、离心力位、重力位、地球重力场、正常重力、正常 重力位、扰动位等概念，简述其相应关系。 重力位、扰动位等概念，简述其相应关系。 答：地球引力及由于质点饶地球自转轴旋转而产生的离心力的合力称为地球重力。 引力 F 是由于地球形状及其内部质量分布决定的其方向指向地心、大小 F=f?M?m/r∧2。 离心力 P 指向质点所在平行圈半径的外方向，其计算公式为 P=m w∧2?p 引力位就是将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。 离心力位 重力位就是引力位 V 和离心力位 Q 之和。 地球重力场是地球的种物理属性。表征地球内部、表面或外部各点所受地球重力作用 的空间。根据其分布，可以研究地球内部结构、地球形状及对航天器的影响。 正常重力 正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度便可直接计算得到的地球重力 位的近似值的辅助重力位。 扰动位是地球正常重力位与地球重力位的差异。 6.简述引力 离心力方向及其决定因素如何？ 简述引力、 6. 简述引力 、 离心力方向及其决定因素如何 ？ 地球引力位公式一般有可以哪几种方式表 达？ 答： （1）引力是由地球形状及其内部质量分布决定，离心力指向质点所在平行圈半径的外方 向，它是由质点绕地球自转轴旋转而产生，其大小由质点质量，地球自转角速度，质点所在 平行圈半径共同决定。 （2）地球引力位公式： V= f?M?m/r V=∫dV=f?∫dm/r A=O-∫dVO=V(Q)-(Q。) 如何理解引力位几何意义及其物理意义？ 7．如何理解引力位几何意义及其物理意义？ 答：几何意义： 按牛顿万有引力定律，空间两质点 M 和 m 相互吸引的引力公式是： F=f?M?m/r? 假设两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量 dr，那么必须做功： dA=f?M?m/ r??dr 此功必等于位能的减少： -Dv= f?M?m/ r??dr 对上式积分后，得出位能： V=f?M?m/ r 物理学意义： 从物理学方面来说，在某一位置处质体的引力位就是将单位质点从无穷远处 移动到该点引力所做的功 引力位、离心力位、重力位是否调和函数，为什么？ 8．引力位、离心力位、重力位是否调和函数，为什么？ 答：引力位是调和函数，它满足拉普拉斯算子。 离心力位的二阶导数算子△Q, △Q=2w?，所以离心力位函数不是调和函数。 重力位二阶导数之和，对外部点：△W=△V+△Q=2w?对内部点，不加证明给出：△W=△V+△Q=-4∏fδ+2w?(δ-体密度)， 由于它们都不等于 0，故重力位不是调和函数。 研究重力位有何意义？为什么要研究正常重力位？ 9．研究重力位有何意义？为什么要研究正常重力位？ 答： （1）研究重力位可以方便的得到一簇曲面，称为重力等位面。 （2） 正常重力位是一个函数简单， 不涉及地球形状和密度便可以直接计算得到的地球重 力位的近似值的辅助重力位。当知道了正常重力位，想法求出它同地球重力位的差异，便可 以求出大地水准面与已知形状的差异，最后解决地球重力位和地球形状的问题。 10．解释大地水准面、大地体、总椭球、参考椭球、大地天文学、拉普拉斯点、黄道面、 10．解释大地水准面、大地体、总椭球、参考椭球、大地天文学、拉普拉斯点、黄道面、 春分点、大地水准面差距。 春分点、大地水准面差距。 答：与平均还平面相重合，不受潮汐、风浪及大气压的影响，并延伸到大陆下面处处与 前垂线相垂直的水准面称为大地水准面。 大地水准面是一个没有褶皱、 无棱角的连续封闭曲面。 由它包围的形体称为大地体。 总的地球椭球中心和地球质心重合，总的地球椭球的短轴与地球地轴相重合，起始 大地子午面和起始天文子午面重合，同时还要求总的地球椭圆和大地体最为密度。 参考椭球是指具有一定参数、定位和定向，用以代表某一地区大地水准面的地球椭 球。 大地天文学主要是研究用天文测量的方法，确定地球表面的地理坐标及方位角的理 论和实际问题。 在天文大地点上同时测定方位角的点称为拉普拉斯点。 黄道是太阳周年的视运动沿着大圆的运动圈。 春分点是黄道和赤道的交点，并被看作固定的恒星点。 大地水准面差距是指大地水准面与地球椭球面之间的距离 11．重力扁率同椭球扁率之间的关系如何？（克莱罗定理） ？（克莱罗定理 11．重力扁率同椭球扁率之间的关系如何？（克莱罗定理） 答： 在旋转的椭球面上， 大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的 乘积等于常数。 解释水准面的含义及性质,为什么说水准面有多个 多个? 14 解释水准面的含义及性质,为什么说水准面有多个? 答:含义:我们把重力位相等的面称为重力等位面,这也就是我们通常所说的水准面. 性质:1、由于重力位是由点坐标唯一确定的，故水准面相互既不能相交也不能相切； 2、在一个水准面上移动单位质量不做功，即所做共为 0，可见水准面是均衡面； 3、在水准面上，所有点的重力均与水准面正交； 4、由于两个水准面之间的距离不是一个常数，故两个水准面彼此不平行； 5、力线与所有水准面都正交，彼此不平行。 由于重力位 W 是标量函数，只与点的空间位置有关，因此当 W(r,θλ)等于某一常数时， 将给出相应的曲面，给出不同常数将得到一簇曲面，在每一个曲面上重力位都相等，显然， 在质体周围可以形成无数个水准面。 解释大地水准面含义及性质，为什么各国的大地水准面实际上不一致？ 答：含义：设想与平均海水面想重合，不受潮汐，海浪及大气压变化影响，并延伸到大陆下 面处处与铅垂线相垂直的水准面称为大地水准面。 性质：大地水准面具有水准面的一切性质。 大地水准面的形状及重力场都是不规则的，不能用一个简单的形状和数学公式表达。我 们目前尚不能唯一的确定它的时候， 各个国家和地区往往选择一个平均海水面代替它。 而各 个国家所测得的平均海水面是不同的。所以各国的大地水准面实际上是不一致的。 15、解释似大地水准面含义和性质，简述水准面、大地水准面、似大地水准面的异同点？ 15、解释似大地水准面含义和性质，简述水准面、大地水准面、似大地水准面的异同点？ 答：含义：似大地水准面与大地水准面在海洋上完全重合，而在大陆上也几乎重合，在山区只有 2~4m 的差异。似大地水准面尽管不是水准面，但它可以严密地解决关于研究与地球自 然地理形状有关的问题。它是我们计算正常高的基准面。 性质：似大地水准面与大地水准面在海洋上完全重合，而在大陆上也几乎重合，在山区 只有 2~4cm 的差异。 异同点：水准面有很多个，大地水准面只有一个，似大地水准面也只有一个； 水准面既不能相交也不能相切，所有的重力均与水准面正交水准面彼此不平行， 大地水准面有水准面的一切性质， 似大地水准面与大地水准面在海洋上完全重合， 而在大陆 上也几乎重合，在山区只有 2~4cm 的差异。 16、解释总椭球、参考椭球及正常椭球的含义、性质和作用，分析它们异同点。 31、30） （31 16、解释总椭球、参考椭球及正常椭球的含义、性质和作用，分析它们异同点。 31、30） （ 答：总椭球 为研究全球性问题， 需要一个和整个大地体最为密合的总的地球椭球。 如果从集合大地测量 来研究全球性问题， 那么总的地球可按几何大地测量来定义： 总地球椭球中心和地球质心重 合，总椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，同时还要求 总椭球和大地体最为密合。 如果从几何和物理两个 方面来研究全球性问题，可把总椭球定义为最密合于大地体的 正常椭球。正常椭球参数是根据天文大地测量，重力测量及人卫观测资料一起处理决定的， 并由国际组织发布。总椭球对于研究地球形状是必要的 参考椭球指具有一定参数、定位和定向，用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。 对于天文大地测量及大地点坐标的推算， 对于国家测图及区域绘图来说， 往往采用其大小及 定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。 这种最接近， 表现在两个面最接近及同点的法 线和垂线最接近， 所有地面测量都依法线投影在这个椭球面上， 我们把这样的椭球叫做参考 椭球。 很显然， 参考椭球在大小及定位定向上都不与总地球重合。 由于地球表面的不规则性， 适合于不同地区的参考椭球的大小， 定位和定向都不一样， 每个参考椭球都有自己的参数和 参考系。 正常椭球 正常椭球面是大地水准面的规则形状。我们选择正常椭球时，除了确定其 M 和 w 值外, 其规则形状可任意选择.对于正常椭球,除了确定其 4 个基本参数 a, j2,,fM 和 w 外,也 要定位和定向.正常椭球的定位是使其中心和质心重合,正常椭球的定向是使其短轴与 地轴重合, 起始大地子午面和起始天文子午面重合. 17、简述我国的高程基准面、原点高程及确定方法。 17、简述我国的高程基准面、原点高程及确定方法。 答： （1）高程基准面就是地面点高程的统一算面，由于大地水准面所形成的体形――大地体 是与整个地球最为接近的体形，因此通常采用大地水准面作为高程基准面。 确定方法： 大地水准面是假想海洋处于完全静止的平衡状态时的海水面延伸到大陆地面以下 所形成的闭合曲面。 事实上， 海洋受潮汐、 风力的影响， 永远不会处于完全静止的平衡状态， 总是存在着不断的升降运动， 但是可以在海洋近岸的一点竖立水位标尺， 成年累月的观测海 水面的水位升降， 根据长期观测的结果可以求出该点处海洋水面的平均位置， 人们假定大地 水准面就是通过这点处实测的平均海水面。 对于同一个国家来说， 只能根据同一个验潮站所 求得的平均海水面作为全国高程的统一起算面――高程基准面。 （2）水准原点：为了长期、牢固地表示出高程基准面的位置，作为传递高程的起算点，必 须建立稳固的水准原点， 用精密水准测量方法将它与验潮站的水准标尺进行联测， 以高程基 准面为零推求水准原点的高程，以此高程作为全国各地推算高程的依据。在“1985 国家高 程基准”系统中，我国水准原点的高程为 72.260m. 述大地测量常用坐标系的定义、建立及相互关系。 18 简述大地测量常用坐标系的定义、建立及相互关系。 答：如图所示，P 点的子午面 NPS 与起始子午面 NGS 所构成的二面角 L，叫做 P 点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经(0－180 度)，向西为负，叫西经(0－180 度)。P 点的法线 Pn 与赤道面的夹角 B，叫做 P 点的大地纬度，由赤道面起算，向北为正，叫北纬 (0-90 度)；向南为负，叫南纬(0－90 度)。在该坐标系中，P 点的位置用 L，B 表示。如果 点不在椭球面上，表示点的位置除 L、B 外，还要附加另一参数――大地高 H。建立大地坐标系包括确定椭球的参数、 定位 、定向等三方面。 当坐标原点为在总地球椭球(或参考椭球)质心时， 此时称为地心(或参心） 空间直角坐标 系。 天文坐标系是以前垂线为依据建立起来的:天文纬度是 P 点的铅垂线与地球赤道形成的 锐角,天文经度是天文起始子午面通过 P 点的天文子午面之间形成的二面角.如图所示，设 P 点的大地经度为 L ，在过 P 点的子午面上，以子午面椭圆中心为原点， 建立 x，y 平面直角坐标系。在该坐标系中，P 点的位置用 L，x，y 表示。设椭球面上 P 点的大地经度 L，在此子午面上以椭圆中心 O 为原点建立地心纬度坐标系。 连接 OP，则 pox 称为地心纬度，而 OP＝ 称为 P 点向径. 设椭球面上 P 点的大地经度为 L，在此子午面上以椭圆中心 O 为圆心，以椭球长半径 a 为半径作辅助圆，延长 P2P 与辅助圆相交 P1 点，则 OP1 与 x 轴夹角称为 P 点的归化纬度， 用 u 表示，在此归化纬度坐标系中，P 点位置用 L，u 表示。 18．简述地球椭球基本参数、相互关系及经验结论， 18．简述地球椭球基本参数、相互关系及经验结论，绘图说明地球椭球辅助函数 W、V 的几 何意义。 （2 28） 何意义。 29、28） （ 地球椭球基本参数有： 地球椭球基本参数及其互相关系W=op’/a,v= op’/b 19、什么是椭球中心三角形，其边长大小如何？（29、28） ？（29 19、什么是椭球中心三角形，其边长大小如何？（29、28） 答：过椭球上任意一点做法线与赤道交点,长短半轴交点构成的三角形是地球中心三角形. 20、为什么说椭球面上的点（两极及赤道除外）的法线一般不通过椭球中心？（29、28） ？（29 20、为什么说椭球面上的点（两极及赤道除外）的法线一般不通过椭球中心？（29、28） 答：同一点的大地坐标和天文坐标的法线和垂线不一致,亦即由垂线偏差引起的. 21、简述大地纬度、地心纬度、归化纬度的概念，其相互关系如何？（29、28） ？（29 21、简述大地纬度、地心纬度、归化纬度的概念，其相互关系如何？（29、28） 答：某点法线与赤道面的夹角，叫做该点的大地纬度。 设椭球面上 P 点的大地经度 L，在此子午面上以椭球中心 O 为原点建立地地心纬度坐标系。 连接 OP，则 POX=称为地心纬度。 设椭球面上 P 点的大地纬度为 L，在此子午面上以椭球中心为圆心，以椭球长半径 a 为半径 作辅助圆，延长 P2P 与辅助圆相交 P 点，则与 x 轴夹角称为 P 点的归化纬度。 大地纬度 B，归化纬度 u，地心纬度之间的关系;22、解释垂线偏差，造成地面各点垂线偏差不等的原因有哪些? 22、解释垂线偏差，造成地面各点垂线偏差不等的原因有哪些?，简述研究垂线偏差有何意 义？ 地面上一点的重力向量 g 和相应椭球面上的法线向 n 量之间的夹角定义为该点的垂线偏 差. 通过垂线偏差把天文坐标同大地坐标联系起来了，从而实现两种坐标之间的相互转换。 23、何为拉普拉斯方程，简述大地坐标系与天文坐标系的关系。 27、26） （27 23、何为拉普拉斯方程，简述大地坐标系与天文坐标系的关系。 27、26） （ 答：1. B=ψ-ξL=λ-ηsecψ A=α-(λ-L)cosψ 以上三个公式是天文方位角规算公式，也叫拉普斯公式 B=ψ-ξ (1) L=λ-ηsecψ (2) 以上两式为天文纬度、经度和大地纬度和经度的关系。若已知一点的垂线偏差，一举上式， 便可将天文纬度和经度换算为大地纬度和经度。 通过垂涎偏差把天文坐标同大地坐标联系起 来了，从而实现两种坐标的互换。 拉普拉斯方程描述了大地方位角与天文方位角之间的关系 24、 大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面和基准线？测量外业及内业计算的基准线与 24、 基准面是什么？天文大地测量和测绘工作关系如何？（27、26） 1.大地坐标系：基准面为：地球椭球 基准线为： 铅垂线 天文坐标系：基准面为：地球椭球 基准线为：铅垂线 2.测量外业和内业的基准线是铅垂线，基准面是大地水准面 3.在天文大地点上推求出的垂线偏差资料可被用来详细研究大地水准面（或似大地水准 面）相对参考椭球的倾斜及高度，从而为研究地球形状提供重要的信息。天文测量还可以给 出关于国家大地网起算点的起始数据，天文坐标还可以解决关于参考椭球定位、定向，大地 测量成果向统一坐标系得归算等问题。总之，天文大地测量和我们测绘工作紧密相连。 25、解释正常位水准面、重力异常、重力位水准面、 25、解释正常位水准面、重力异常、重力位水准面、垂线偏差 正常位水准面： 重力异常： 重力位水准面：重力位相等的面称为重力等位面，即通常所说的水准面。 垂线偏差： 地面上一点的重力向量 g 和相应椭球的法线向量 n 之间的夹角定义为该点的 垂线偏差。 26、参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发生怎样的变形？ 26、参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发生怎样的变形？ 椭圆的长半轴 a 椭圆的短半轴 b 椭圆的扁率α=(a-b)/a 扁率α反映了椭球体的扁平程度，α值介于 1 和 0 之间，如当 a=b 时，a=0，椭球变为 球体；当 b 减小时，α增大，则椭球体变扁；当 b=0 时，α=1 时，则变为平面。 27:我国解放后主要采用哪两种参考椭球 其主要参数是什么？ 我国解放后主要采用哪两种参考椭球? 27:我国解放后主要采用哪两种参考椭球?其主要参数是什么？ 答：我国 1954 年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球 1980 年国家大地坐标系应用的是 1975 国际椭球 这两种椭球的主要参数是： ① 克拉索夫斯基椭球体 a 0000000(m) b 7730473(m) c 7827110(m) ａ 1/298.3 e^2 0.966 e’^2 0.683 ② 1975 国际椭球体a 0000000(m) b 1575287(m) c 9881015(m) ａ 1/298.257 e^2 0.588 e’^2 0.473 28：什么是大地测量的基本坐标系？有何优点？ 28：什么是大地测量的基本坐标系？有何优点？ 答 ：大地测量的基本坐标系是的大地坐标系和空间直角坐标系 这两种坐标系在大地测量、地形测量以及制图学的理论研究及实践工作中都得到 了广泛的应用。因为它们将全地球表面上的关于大地测量、地形测量及地图学的 资料都统一在一个统一的坐标系中。此外，它们是由地心、旋转轴、赤道以及地 球椭球法线确定的，因此，它们对地球自然形状及大地水准面的研究、高程的确 定以及解决大地测量及其他科学领域的科学和实践问题也是最方便的。 29：水准测量为什么产生高程多值问题(理论闭合差) 29：水准测量为什么产生高程多值问题(理论闭合差)？ 答：由水准面不平行而引起的水准环线闭合差，称为理论闭合差 30：水准测量中，研究高程系统的作用如何？高程系统分为几种， 30：水准测量中，研究高程系统的作用如何？高程系统分为几种，我国规定采用哪种作为 高程的统一系统。 高程的统一系统。 答：引进高程系统，是为了解决水准测量高程多值性问题 高程分为正高系统、正常高系统、力高和地区力高高程系统 我国采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统 三角高程属于正高系统 31：解释理论闭合差、正高系统、正高、正常高系统、似大地水准面、大地水准面差距。 31：解释理论闭合差、正高系统、正高、正常高系统、似大地水准面、大地水准面差距。 答：理论闭合差：水准面不平行而引起的水准环线闭合差 正高系统： 以大地水准面为高程基准面， 地面上任一点的正高系指改点沿垂线方向 至大地水准面的距离 正高：是一种唯一确定的数值，可以用来表示地面点的高程。 正常高系统：将正高系统中不能精确测定的 用正常重力代替，便得到另一种系统的高 程，称为正常高 似大地水准面： 由地面沿垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面， 它不是水准面， 只是用以计算的辅助面 大地水准面差距： 任意一点正常高和正高之差， 亦即任意一点似大地水准面与大地水准 面之差的值 解释正常高和正高的几何含义,为什么正高是一种确定的值? 32 解释正常高和正高的几何含义,为什么正高是一种确定的值? 答:正高是以大地水准面为高程基准面,大面上任一点的正高系指该点沿垂线方向至大地水准面的距 离. 将正常高中不能精确测定的 高. 用正常重力代 代替,便得到另一种系统的高程,称其为正常正高是不依水准路线而异的,这是因为式中的是常数,是过 B 点的水准面与起始大地水准面之间位能差,与不随路线而异,因此,正高是唯一一种确定的数值. 写出正常高,正常高高差计算公式,并说明各项的几何意义. 32 写出正常高,正常高高差计算公式,并说明各项的几何意义. 答:有正常高差计算公式:写出正高与正常高的之差公式,并说明在不同地区的差异. 33 写出正高与正常高的之差公式,并说明在不同地区的差异.答: 在海水面上,正常高和正高相等,即大地水准面和似大地水准面重合.在山区或者在平原则不相等. 解释力高系统,说明为什么要引用力高系统. 34 解释力高系统,说明为什么要引用力高系统. 答:力高系统也就是说将正常高公式中的 r(m,A)用纬度 45 度的正常重力 r45 度代替,一点的力高就是 水准面在纬度 45 度处的正常高. 因为如果纬度变化很大,那高程差很大,会远远超过测量误差,这时若继续采用正常高或正高显然是不 合适的,为了解决这个矛盾,可以采用所谓力高系统. 绘图说明大地高,正高与正常高的关系. 35 绘图说明大地高,正高与正常高的关系. 答:B 点为正高,A 点为正常高,O 点为大地高. 大地高是以地球椭球面为基准面。 地面任点的正常高是指该点沿法线方向至似大地水准面的距离。 高程异常是指似大地水准面与地球椭球面之间的距离 36.沿着同一纬度圈进行水准测量是否需要加入正常重力位不平行性改正 为什么? 沿着同一纬度圈进行水准测量是否需要加入正常重力位不平行性改正, 36.沿着同一纬度圈进行水准测量是否需要加入正常重力位不平行性改正,为什么? 答:不需要.因为是沿着同一纬度圈进行水准测量的,而正常位水准面不平行改正数是随纬度变化而变 化的. 37.什么叫子午圈 平行圈、法截面、法截线、卯酉圈？特性如何？ 什么叫子午圈、 37.什么叫子午圈、平行圈、法截面、法截线、卯酉圈？特性如何？ 答： 子午圈就是过椭球旋转轴与椭球的交线； 平行圈就是平行于赤道的平面与椭球体的交线； 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫做法截面； 法截面与椭球面的交线叫法截线；过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与 该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭和的圈称为卯酉圈。特性：(1)B=0°时， 在赤道上，M 小于赤道半径;此时卯酉圈变为赤道,N 即为赤道半径 a.(2)0°&B&90°时,此间 M 随纬度的增大而增大;此间 N 随纬度的增加而增加.(3)B=90°时,在极点上,M 等于极点曲率 半径此时卯酉圈变为子午圈,N 即为极点的曲率半径 c. 椭球面上的一点卯酉圈曲率半径 N 等于界于椭球面与短轴之间的长度。卯酉圈的曲率半径中心一定位于椭球的旋转轴上 38． 三种曲率半径之间的关系。 38．简要叙述 M、N、R 三种曲率半径之间的关系。 答：椭球面上某一点 M、N、R 均是自该点起沿法线向内量取，它们的长度通常是不相等的，由它们各 自的计算公式比较可知它们的关系是 N&R&M，只有在极点上它们才相等，且都等于极曲率半径 c,即 N90=R90=M90=c。 39.试推证卯酉圈 子午圈曲率半径的计算公式。 试推证卯酉圈、 39.试推证卯酉圈、子午圈曲率半径的计算公式。 解:在子午椭圆的一部分上取一微分弧长 DK=dS,相应的有坐标增量 dX,点 n 是微分 dS 的曲率中心, 于是线段 Dn 及 Kn 便是子午圈曲率半径 M. 由任意平面曲线的曲率半径的定义公式,易知 m =ds db子午圈和卯酉圈曲率半径的计算公式的推导见书 64 页。由于需结合图解才能比较好的理解，而且 鄙人还没学会怎样打出公式，所以无法写成电子版，望老师见谅！！ ！ 40． 的平行圈是否可能是法截线？为什么？ 40．B≠0°的平行圈是否可能是法截线？为什么？卯酉圈曲率半径 N 与子午圈半径 M 何时有最大 何时有最小值？ 值？何时有最小值？ 答：不能。法截线是法截面与椭球面的交线，过椭球的任意一点作一条垂直椭球面的法线，包含这 条法线的平面叫作法截面。故各点的法截面都不平行于赤道，所以法截线不可能是平行于赤道的。 B≠0°的平行犬不可能是法截线。当 B=90°时，卯酉圈曲率半径 N 与子午圈半径 M 有最大值，当 B=0°时，N，M 有最小值。 41． 求该点的纬度。a=6378245,α 41．某点到赤道的子午弧长 S= 米，求该点的纬度。a=6378245,α=1/298.3 解：β=X/9=0.588242B f = β+(+22 cos 2 β） 2 β ） 2 β ） ?10 sin β cos β cos cos 10=23°07′06″ 42.已经某点的纬度 B=31°28′16″.2831，求该点自赤道起的子午弧长。a=6378245,α=1/298.3。 42.已经某点的纬度 B=31°28′16″.2831，求该点自赤道起的子午弧长。a=6378245,α=1/298.3。 解： X = C 0 B + (C 2 cos B + C 4 cos B + C 6 cos B + C8 cos B) sin B3 5 7C 0 =9mC 6 =-0.7092mC 2 =-mC 4 =135.3303mC 8 =0.0042m ∴X=m43.为什么说任意方向法截线曲率半径 90°为周期的？ 43.为什么说任意方向法截线曲率半径 RA 随 A 的变化以 90°为周期的？这一结论对椭球问题的解算 有什么意义？ 有什么意义？ 答：RA =N 1+e'2 cos2Bcos2A当 A 由 0°→90°时，RA 之值由 M→N， A 由 90°→180°时，RA 值由 N→M， 当 可见 RA 值的变化是以 90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。子午椭圆的一半， 它的端点与极点相重合， 而赤道又把子午线分成对称的两部分， 因此， 推导从赤道到已知纬度 B 见的子午线弧长的计算公式就足够使用了。 44、当椭球元素确定之后，椭球面上任意方向法截线曲率半径的计算值取决于哪两个变量？ 44、当椭球元素确定之后，椭球面上任意方向法截线曲率半径的计算值取决于哪两个变量？为什 么？ 答：从 RA 的计算公式： R RA=R- ―e′^2cosBcos2A 2 可知，RA 不仅与点的纬度 B 有关，而且还与过该点的法截弧的方位角 A 有关。因为当椭球 元素确定之后，R 确定了， 根据上式可知只要再知道 B、A 即可。 45、解释平均曲率半径、大地测量主题解算正算、大地测量主题解算反算、正常水准面不平行性、 45、解释平均曲率半径、大地测量主题解算正算、大地测量主题解算反算、正常水准面不平行性、高 斯投影坐标正算、高斯投影坐标反算。 斯投影坐标正算、高斯投影坐标反算。 答：平均曲率半径：所谓平均曲率半径就是过椭球面上一点的一切法截弧（丛 0→2 @） 平均曲率半径： ，当其数目趋 平均曲率半径 于无穷时， 它们的曲率半径的算术平均值的极限，用 R 表示。 大地测量主题解算正算： 大地测量主题解算正算：此时已知量：φ1，а1 及σ；要求量：φ2，а2 及λ。 首先按： sinφ2=sinφ1cosσ+cosφ1sinσcosа1 式计算 sinφ2,继而用下式计算φ2： sinφ2 tanφ2=(1-(sinφ2)^2)^1\2 为确定经差λ，将(a)\(f)，得 sinσsinα1 tanλ= cosφ1cosσ-sinφ1sinσcosα1 为求定反方位角α2，将（h）\ (g)，得： sinα1 cosφ1 tanα2= cosφ1cosσcosα1-sinφ1sinσ 大地测量主题解算反算： ，σ，а1 及α2。 大地测量主题解算反算：此时已知量：φ1，φ2 及λ；要求量： 为确定正方位角а1，我们将（a）\（c） ，得： sinλcosφ2 p tanα1 = = cosφ1 sinφ2 -sinφ1 cosφ2 cosλ q 式中 p= sinλcosφ2,q= cosφ1 sinφ2 -sinφ1 cosφ2 cosλ 为求解反方位角α2，我们将（b）\(d),得 sinλ cosφ1 tanα2= cosφ1 sinφ2cosλ-sinφ1 cosφ2 为求定球面距离σ，我们首先将（a）乘以 sinα1， （c）乘以 cosα，并将它们相加； 将相加的结果再除以（e） 则得： ， psinα1+qcosα1 tanσ= cosσ正常水准面不平行性： 正常水准面不平行性：由于两水准面之间的距离 dh = ?dw g可见， 两个无穷接近的水准面之间的距离不是一个常数， 这是因为重力在水准面不同点 上的数值是不同的，故两个水准面彼此不平行。 高斯投影坐标正算： 高斯投影坐标正算：正算时，原面是椭球面，投影面是高斯平面，已知的是大地坐标 （x,y） ，要求的是平面坐标（B,L） ，相应的有如下投影方程 y=φ1 (B,L) x=φ2(B,L) 对投影函数φ1 和φ2 提出如下三个条件： ⑴中央子午线投影后为直线； ⑵中央子午线投影后长度不变； ⑶正形投影条件。 高斯投影坐标反算： 高斯投影坐标反算：反算时，原面是高斯平面， 投影面是椭球面， 已知的是平面坐标 （x,y） 要求的是大地坐标（B,L） 相应的有如下投影方程 ， ， B=φ1 (x,y) L=φ2(B,L) 对投影函数φ1 和φ2 提出如下三个条件： ⑴x 坐标轴投影成中央子午线， 是投影的对称轴; ⑵x 轴上的长度投影保持不变； ⑶正形投影条件。 46、 对椭球解算有何意义？ 46、研究平均曲率半径 R 对椭球解算有何意义？在我国中纬度地区 R 与 RA 的最大差异是多 试将它对距离化算（ RA）的影响作一定量分析。 少？试将它对距离化算（用 R 代替 RA）的影响作一定量分析。 答：平均曲率半径-----指过椭球面上一点的一切法截弧（从 0→2π） ，当其数目趋于无穷 时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，用 R 表示 R =MN 。椭球面上任意点的平均曲率半径不一定相等，意义为：由于 RA 的数值随方位而变化，这给测量计算带来不便。在测 量工作中往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此叫要推 求这个球面的半径，即为平均曲率半径，这就解决了由于 RA 的数值随方位而变化，这给测 量计算带来不便。 由 R 和 R A 的差 R △= ―e′^2cosBcos2A 2 即可推出最大差异. 分析：从 RA 的计算公式： R RA=R- ―e′^2cosBcos2A 2 可知，RA 不仅与点的纬度 B 有关，而且还与过该点的法截弧的方位角 A 有关，要求 RA 还要 知道 R，而 R 只与 M、N 有关，比较简单不用很麻烦。 47、在推导计算子午线弧长公式时，为什么要从赤道算起？ 47、在推导计算子午线弧长公式时，为什么要从赤道算起？若欲求纬度 B1 和 B2 间的子午 线弧长（B1≠B2≠ ，如何计算 线弧长（B1≠B2≠0°） 如何计算? ，如何计算? 答：因为子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合， 而迟到又把子午线分成对称的两部分，因此，推导从赤道开始到已知纬度 B 间的子午线弧长的计算公式就足够使用了。X 1 = ∫ MdB0B1X 2 = ∫ MdB0B2?X = X 2 ? X 1即为所求得弧长。 48、 则可将其视为圆弧，试论证其计算精度的可靠性。 48、当子午线弧长不超过 45km 时，则可将其视为圆弧，试论证其计算精度的可靠性。 答：圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径 Mm，其计算公式为： X= Mm (B2-B1)″ = △B″ ρ″ (1)m 当子午线弧长不超过 45km 时,其弧度 48、简述计算子午椭圆周长的全过程。 48、简述计算子午椭圆周长的全过程。 答：1） 、子午线关于地球椭球长短轴对称，则地球椭球周长为第一象限的子午线弧长的 4 倍； 0 0 2） 、单位长度的子午线长度为，则第一象限的子午线弧长为 MdB 以纬度从 0 到 90 的积 分。x=∫+90MdB.049、如何计算平行圈弧长？比较子午圈弧长和平行圈弧长的变化区别。 49、如何计算平行圈弧长？比较子午圈弧长和平行圈弧长的变化区别。 答： （1） 旋转椭球体的平行圈是一个圆， 其短半轴 r 就是圆上任意一点的子午面直角坐标 x， 即有 r=x=NcosB=acosB/ (1 ? e sin B)2 2如果平行圈上有两点，它们的经度差 l”=L1-L2,于是可以写出平行圈弧长公式： S=NcosBl″ =b1 l ″ ρ″很显然，同一个精度差 l 在不同纬度的平行圈上的弧长是不相同的，所以，平行圈弧长随纬 度变化的微分公式可近似地写为dS =?S ? ?B ≈ ? M sin Bl ″ ? ?B ?B因为 M?B = ?X ,于是 ?S = ?( L2 ? L1 ) sin Bm ? ?X 式中Bm =( B2 + B1 ) 2（2）变化区别：单位纬度差的子午线弧长随纬度升高而缓慢地增长；而单位精度差的平行 圈弧长则随纬度升高而急剧缩短。同时，1°的子午弧长约为 110km，1′约为 1.8km，1″约 为 30m，而平行圈弧长，仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着纬度的升高它们的差 值愈来愈大。 50、研究相对法截线有何意义？ P1、 50、研究相对法截线有何意义？绘图说明为什么不同纬度的 P1、P2 两点相向观测会产生相 对法截面问题 画出某方向在不同象限时正反法截线的关系图。 问题， 对法截面问题，画出某方向在不同象限时正反法截线的关系图。 答：1、在研究法截线的基础上定义大地线，进而研究大地线的性质和微分方程。 2、任取椭球面上两点 P1 和 P2，纬度分别为 B1 和 B2，B1 不等于 B2,通过两点分别作法 线与短轴交于 Na 和 Nb 点，与赤道分别交于 Q1、Q2，产生了两个法截面.如图 ：3、 某方向在不同象限时正反法截线的关系图：51、何谓椭球面上的相对法截线和大地线？试鉴别下列各线是否为大地线并简要说明理由： 51、何谓椭球面上的相对法截线和大地线？试鉴别下列各线是否为大地线并简要说明理由： 任意方向法截线， （2 （3 卯酉圈， （4 （1）任意方向法截线， 2）子午圈， 3）卯酉圈， 4）平行圈 （ 子午圈， （ （ 答：假设经纬仪的纵轴同 A、B 两点的法线 Ana 和 Bnb 重合（忽略垂直偏差） ，如此以两点 为测站，则经纬仪的照准面就是法截面。用 A 点照准 B 点，则照准面 AnaB 同椭球面的截线 为 AaB，叫做 A 点的正法截线，或 B 点的反法截线；同样有 B 点照准 A 点，则照准面 BnaA 与椭球面之截线 BbA,叫做 B 点的正法截线或 A 点的反法截线。因法线 Ana 和 Bnb 互不相交， 故 AaB 和 BbA 这两条法截线不相重合。我们把 AaB 和 BbA 叫做 A、B 两点的相对法截线。 大地线：椭球面上两点间的最短程曲线 2、任意方向的法截线不一定是大地线，大地线是两点间唯一最短线，位于相对法截线之间， 靠近正法截线，但仍有一夹角。 子午圈、卯酉圈都是大地线，因为它们都是法截面与椭球面相交的最短曲线。 平行圈不一定大地线，因为它 52、纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？此线是否就是大地线？ 52、纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？此线是否就是大地线？ 答： 同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法截线是重合的， 纬度相同的两点在同一平行 圈上，所以纬度相同的两个点的相对法截弧是重合的。 此线就是大地线， 大地线是位于相对法截线之间的唯一最短线， 当两点的相对法截弧重 合，所以该重合的法截弧亦为大地线。 53、为什么可以用大地线代替法截线？大地线具有什么性质？ 53、为什么可以用大地线代替法截线？大地线具有什么性质？ 答：大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度的差异总 是可忽略不计的。 大地线是两点间唯一最短线，而且位于相对法截弧之间，并靠近正法截先，它与法截线 间的夹角 δ=1/3△。 54、经过哪几步旋转和平移变换，可将站心系坐标变换到三维空间直角坐标系中。 54、经过哪几步旋转和平移变换，可将站心系坐标变换到三维空间直角坐标系中。 55、大地线微分方程表达了什么之间的关系？有何意义？试述其推导思路。 55、大地线微分方程表达了什么之间的关系？有何意义？试述其推导思路。 答：大地线微分方程：dB=cosA/M?dS dL=sinA/NcosB?dS dA=sinA/N?tanBdS 大地线微分方程表达了 dA dL dB 各与 dS 的关系式。 （设 P 为大地线上的任意一点，其经度为 L，纬度为 B，大地线方位角为 A。当大地线增加 dS 到 P1 点时，则上述各量相应变 化 dL dB 及 dA） 意义：这三个微分方程在解决与椭球体有关的一些测量计算中经常用到。 推导思路：dS 在在子午圈上分量 p2p1=MdB,在平行圈上分量 pp2=rdL=NcosBdL 有三角 形 pp2p1 是一个微分直角三角形，由三角形的各种关系可推得。 56、 的含义？ 56、怎样理解克莱洛定理中大地线常数 C 的含义？ 答：克莱劳方程：r?sinA=C 式中常数 C 也叫大地线常数，它的意义可以从两方面来理解。 当大地线穿越赤道时，B=0°,r=a ,A=A。 ，于是 C=asinA。 当大地线达极小平行圈时 A=90°,设此时 B=B。 ，r=r。 ，于是 C=r。 ?sin90°=r。 由此可见，某一大地线常数等于椭球半径与大地线穿越赤道时的大地方位角的正弦乘 积，或者等于该大地线上具有最大纬度的那一点的平行圈半径。 57、地面观测的方向值归算至椭球面应加哪些改正？ 57、地面观测的方向值归算至椭球面应加哪些改正？ 答：包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正。 58、试述三差改正的几何意义及实质。 58、试述三差改正的几何意义及实质。为什么有时在三角测量工作在中可以不考虑三差改 正？ 答：几何意义是 1、将地面观测的水平方向归算至椭球面 2、将地面观测的长度归算至椭 球面，实质就是垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正。 由公式△Su=[ (u&1+u&2)/2p&](H2-H1)可见， 垂线偏差在基线偏差分量 u 及基线端点的 大地高程有关，其数值一般比较小，此项改正是否需要，须结合测区及计算精度要求的实际 情况作具体分析。 59、绘图说明三差改正对地面观测的方向值影响，三差改正数的大小，各与什么有关？ 59、绘图说明三差改正对地面观测的方向值影响，三差改正数的大小，各与什么有关？ 答：见 p79-p80 页的图和公式就是答案。 （由于绘图和输入公式我不会，所以就这么写 了） 60、试定量分析距离改正公式在何种情况下需用下列或更精密的计算公式： 60、试定量分析距离改正公式在何种情况下需用下列或更精密的计算公式：? y2 ?y 2 ?s = D ? s = ? m2 + ? 2R 24 R 2 ?? ?s ? ?答：当计算要求达到 0.001m 的时候，就要用更精确的距离改化公式。 61、将地面实测长度归化到国家统一的椭球面上，其改正数应用下式求得： 61、将地面实测长度归化到国家统一的椭球面上，其改正数应用下式求得：δH = ?H sH RA应为边长所在高程面相对于椭球面的高差， 而实际作业中通常用什么数值替代？ 式中 H 应为边长所在高程面相对于椭球面的高差， 而实际作业中通常用什么数值替代？ 的计算精度是否有影响？为什么？ 这对 δ H 的计算精度是否有影响？为什么？ 答：实际作业中用平均高程 Hm 替代。有影响，因为改正数主要是与基线的平均高程 Hm 及长度有关。 62．根据垂直角将导线测量中的斜距化为平距时， 62．根据垂直角将导线测量中的斜距化为平距时，有化算至测站高程面以及化算至测站点 与照准点平均高程面上两种公式，两公式之间有何差异？试导出其差异的来源 的来源。 与照准点平均高程面上两种公式，两公式之间有何差异？试导出其差异的来源。 答：公式符号不会输入。 绘图说明利用测距仪测得地面两点的直线斜距归算到参考椭球面上应加哪些改正， 63. 绘图说明利用测距仪测得地面两点的直线斜距归算到参考椭球面上应加哪些改正，写出由电磁波测距仪测得的斜距化算为大地线长度的计算公式，说明各参数含义。 出由电磁波测距仪测得的斜距化算为大地线长度的计算公式，说明各参数含义。 答：将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，称为三差 改正。 由电磁波测距仪测得的斜距化算为大地线长度的计算公式为： d = D√?｛ ｛1-[(H2-H1)/2]^2｝/(1+H1/RA)(1+H2/HA)｝ 64、进行大地测量主题解算与平面投影计算能解决何问题？ 64、进行大地测量主题解算与平面投影计算能解决何问题？ 进行大地测量主题解算与平面投影计算能解决地面同椭球面的矛盾及椭球面与平面的矛盾 64.在边长大致相等的三角网中 各方向的方向改正值是否也大致相等？为什么？ 在边长大致相等的三角网中， 64.在边长大致相等的三角网中，各方向的方向改正值是否也大致相等？为什么？ 答：不是。 65.什么是球面角超 为什么应用球面角超可以检验方向改正值计算的正确性？ 什么是球面角超？ 65.什么是球面角超？为什么应用球面角超可以检验方向改正值计算的正确性？ 答： 如图，假设地球椭球为一圆球，在球面上在轴子午线之东有一条 大地线 AB，当然它定是一条大圆弧。 我们知道，在球面上四边形 ABED 的内角之和等于 360°+ε，ε 是四边形的球面角超。 66.什么叫大地主题解算 为什么要研究大地主题解算？ 什么叫大地主题解算？ 66.什么叫大地主题解算？为什么要研究大地主题解算？其解析 意义是什么？ 意义是什么？ 答：知道某些大地元素推求另一些大地元素，这样的计算问题叫 大地主题解算。 椭球面上两控制点大地坐标，大地线长度方位角的正解和反解问题同平面上两控制 平面坐标、 平面距离及方位角的正反算是相似的。 不过解算椭球面上的大地问题要比平面上 相应计算复杂得多。 大地主题正、反解原是用于推求一等三角锁中各点的大地坐标或反算边长和方位角 的， 目前由于大量的三角网都转化到高斯投影面上计算， 所以它在三角测量计算中的作用就 大大降低了。但是随着现代科学技术。特别是空间技术、航空、航海、国防等方面的科学技 术的发展，大地主题又有了重要作用，解算的距离也由原来几十、几百公里扩大到几千甚至 上万公里。 67.白塞尔投影条件是什么 论述白塞尔大地主题正反解算全过程。 白塞尔投影条件是什么？ 67.白塞尔投影条件是什么？论述白塞尔大地主题正反解算全过程。 答：白塞尔投影条件： （1）椭球面大地线投影到球面上为大圆弧； （2）大地线和大圆弧上相应点的方位角相等； （3）球面上任意一点的纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。 步骤：1）按椭球面上的已知值球面相应值，即实现椭球面的过程。 2）在球面上解算大地问题。 3）按球面上得到的数值椭球面上的相应数值即实现椭球的过渡。 68、为什么要研究投影？简述投影的分类，我国目前采用的是何种投影？P108（ 68、为什么要研究投影？简述投影的分类，我国目前采用的是何种投影？P108（5） 答：就是为了要将椭球面上的元素（包括坐标，方位和距离）按一定的数学法则投影到平面 上，所以要去研究投影，研究这个问题的专门学科――地图投影学 地图投影的分类： 1、 按变形性质分类： 1） 等角投影（正形投影） 2） 等积投影 3） 任意投影（保持某一方向上的长度比为一即为等距离投影） 2、 按经纬网投影分类 1） 方位投影2） 圆锥投影 3） 圆柱（或椭圆柱）投影 在地图投影实际应用中，也可按投影面积和原面的相对位置关系来进行分类： 1） 正轴投影 2） 斜轴投影 3） 横轴投影 除此之外，为调整变形分布，投影面还可以与地球椭球相割于两条标准线，这就是所谓 的割圆锥，割圆柱投影等。 我国大地测量中，采用横轴椭圆柱面等角投影，即所谓的高斯投影。 69、控制测量对投影提出什么样的基本要求？为什么要提出这种的要求？P110（ 69、控制测量对投影提出什么样的基本要求？为什么要提出这种的要求？P110（5） 答：首先，应当采用等角投影。 其次，在所采用的正形投影中，还要求长度和面积变形不大，并能够应用简单公式计 算由于这写变形而带来的改正数。 最后，对一个国家乃至全世界，投影后的应该保证具有一个单一起算点的统一的坐标 系，可这是不可能的。 因为为了控制测量选择地图投影时，应根据测量的任务和目的来进行。 70、椭球是一个不可展曲面，将此曲面上的测量要素转换到平面上去，必然会产生变形， 70、椭球是一个不可展曲面，将此曲面上的测量要素转换到平面上去，必然会产生变形， 此种变形一般可分为哪几类？我们可采取什么原则对变形加以控制和应用？ 此种变形一般可分为哪几类？我们可采取什么原则对变形加以控制和应用？ 答：变形有 4 种，1）长度变形，可利用主方向上的长度比 a，b，即可计算任意方位角为α 方向上的长度比。2）方向变形，计算公式：sin(α-α’ ）=（a-b）/(a+b)*sin(α+α’)。 3）角度变形，所谓角度变形就是投影前的角度 u 与投影后对应角度 u’之差△u=u’-u，最 大角度变形可用最大方向变形计算，且是最大方向变形的两倍。4）面积变形，原面上单位 圆的面积为Л，投影后的面积为Лab，则投影的面积比 P=Лab/Л=ab 70、简述地图投影变形有几种，各适用于何种图件。 （3 70、简述地图投影变形有几种，各适用于何种图件。 3、1） （ 答： ：地图投影变形有 4 种，分别为①长度变形②方向变形③角度变形④面积变形 71.简述高斯投影过程 高斯投影应满足那些条件?6 简述高斯投影过程, ?6° 带的分带方法是什么? 71.简述高斯投影过程,高斯投影应满足那些条件?6°带和 3°带的分带方法是什么?如何计 算中央子午线的经度及测区带号?高斯投影的分带会带来什么问题? 答:高斯投影是想象有一个椭圆柱面横套在地球体外面,并与某一条子午线相切,椭圆柱的中 心轴通过椭球体中心,然后用一定投影方法,将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投 影到椭圆柱面上,再将此柱面展开即成投影面. 满足的条件是:1,中央子午线投影后为直线 2, 中央子午线投影后长度不变.3,投影具有正 形性. 6°带,自 0°子午线起每隔经差 6°自西向东分带，依次编号 1，2，3 等。带号用 N 表示， 中央子午线的经度用 L 表示，则 L = 6N-3。3°带的中央子午线单数带与 6°带重合，偶数 带与 6°带分界子午线重合。L=3N 由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内， 这给使用造成了不 便。 72.为什么在高斯投影带上， 为什么在高斯投影带上 坐标值有规定值与自然值之分， 72.为什么在高斯投影带上，某点的 Y 坐标值有规定值与自然值之分，而 X 坐标值却没有这 种区分？在哪些情况下应采用规定值？在哪些情况下应采用自然值？ 种区分？在哪些情况下应采用规定值？在哪些情况下应采用自然值？ 答： 我国位于北半球， 坐标均为正值， Y 坐标则出现负值， X 而 规定将 X 坐标向西平移 500KM。 此外还应在坐标前面再冠以带号。 当写国家统一坐标时应采用规定值，当计算时要先去掉带号，再减去 500000M。 76. 正形投影有那些特征？何为长度比 正形投影有那些特征？何为长度比?答：特征：微分圆的投影仍为微分圆，投影前后保持微分圆形的形式性； 投影的长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数。 长度比 m 就是投影面上一段无限小的为分线段 ds，与椭球面上相应的微分 线段 ds 二者之比，也就是 m= ds / dS 正形投影的两个基本要求是：①投影任一点和长度比与方向无关；②角度不变形。 77. 投影长度比公式的导出有何意义？导出该公式的脊背思路是什么？给出等量纬度的定 投影长度比公式的导出有何意义？导出该公式的脊背思路是什么？ 引入等量纬度有何作用？ 义，引入等量纬度有何作用？ 答：投影长度比公式的导出为推导正形投影和高斯投影打下了基础。 基本思路：在椭球面上有无限接近的两点 p1 和 p2，投影后为 p1’和 p2’，ds 为 大地线的微分弧长，其方位角为 A ，dS 的投影弧长为 ds 在微分直角三角形 p1p2p3 及 p1’p2’p3’中，有： 2 2 2 dS = (MdB) + (NcosBdl) 2 2 2 ds = dx + dy 2 2 2 2 2 2 则长度比 m = (dx + dy )/((NcosB) ((MdB/NcosB) +dl )) b 为了简化以后公式的推导过程，引用符号 dq = MdB/NcosB,Z 则 q=∫0 MdB/NcosB 称为等量纬度。 因为 q 仅与纬度有关， 因此可以把 dq 和 dl 看作是互为独立的变量的微分， 这样就 可以近一步简化长度比公式。 写出正形投影的一般公式， 为什么说凡是满足此式的函数， 皆能满足正形投影的条件？ 78. 写出正形投影的一般公式， 为什么说凡是满足此式的函数， 皆能满足正形投影的条件？ （柯西黎慢条件） 答：一般公式：a = b 或 a C b =0 因为 sin(△u/2)=(a-b)/(a+b),若 a = b,则可知角度形变为 0，因此能够满足正形 投影的条件。 学习了正形投影的充要条件和一般公式后，你对高斯投影的实质是怎样理解的？ 79. 学习了正形投影的充要条件和一般公式后，你对高斯投影的实质是怎样理解的？ 答：高斯投影是正形投影，保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向 上的长度比的同一性。由于采用了分带投影，这既限制了长度变性，有保证了在不 同投影带中采用的简便公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，并且带与 带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。 85.高斯投影坐标计算公式包括正算公式和反算公式两部分 各解决什么问题？ 高斯投影坐标计算公式包括正算公式和反算公式两部分， 85.高斯投影坐标计算公式包括正算公式和反算公式两部分，各解决什么问题？ 答：高斯投影正算公式是通过大地坐标（L，B）能过求出高斯平面坐标（x,y） 高斯投影反算公式是通过高斯平面坐标（x,y）能过求出大地坐标（L,B） 86.试述建立高斯投影坐标正算公式的基本思路及全过程。 试述建立高斯投影坐标正算公式的基本思路及全过程 86.试述建立高斯投影坐标正算公式的基本思路及全过程。 答：高斯投影必须满足以下三个条件： （1） 中央子午线投影后为直线; （2） 中央子午线投影的长度不变; （3） 投影具有正形性质，即正形投影。 由第一条件可知， 由于地球是个旋转椭球体， 所以中央子午线东西的两侧的投影必然对 称于中央子午线。 在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2，它们的大地坐标分别是（l，B）和 （-l， 。 B） 式中 l 为椭球面上 P 点的经度与中央子午线的经度之差， 点在中央子午线之东， P l 为正；在西，l 为负，则投影后的平面坐标一定为 P1 ′(x,y)和 P2 ′(x,-y)。 令 x，y 与 l，q 的函数关系为 x=x(l,q),y=y(l,q) (1) 因为，高斯投影是按带投影的，所以在每带里经差 l 是不大的，l/q 是一个微小量，所以将（1）式中的函数展开为经差 l 的幂级函数，如下：x = m0 + m 2 l 2 + m 4 l 4 + …(2)y = m1 + m3l + m5 l + …3 5式中 m0、m1，……是待定系数，它们都是纬度 B 的函数。 ∵ ∴?y ?x ?x ?y = , =? ?l ?q ?l ?q对（2）式求偏导，带入上式。得：m1 + 3m3l 2 + 5m5 l 4 + …=dm0 dm 2 2 dm4 4 + l + l +… dq dq dq dm1 dm 3 l? l ?… dq dq(3)2m2 l + 4m4 l 3 + …= ?为使上面两式相等，其必要而充分条件是 l 的同次幂的系数相等。故有：m1 =dm0 dqm2 = ?1 dm1 2 dq(4)m3 =1 dm2 3 dq位于子午线上的点， 投影后的纵坐标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长， 即在第 （1）式中令 l=0 时， x= m0 =X (5)其中，X 是自赤道量起的子午线弧长。 ∵ 子午线弧长微分公式dX dB N cos B =M和 = dB dq M(6)∴dm0 dm0 dB dX N cos B N cos B = , = ? =M ? = NcosB dB dq dB M M dqm1 = N cos B = c cos B V dm1 dm dB d ?c ? dB = ? = ? cos B ? dq dB dq dB ? V ? dq=??∴(7)对（7）式求偏导，得：c ? c dV ? dB cos B ? sin B ? 2 V ? V dB ? dq又∵dV 1 = ? η 2t dB V∴dm1 ? c ? 1 2 ? ? c = ?? 2 ? ? η t ? cos B ? sin B ? dq ? V ? V V ? ?? c sin B η 2 ? V 2 3 ?Vc cos B v c V3=?()?V ??2cos B=? 代入（4）式，得c sin B cos B V N m2 = sin B cos B 2(8)依次求导，并依次代入（4）式右可得 m3 , m4 , …各值：m3 = m4 =N sin B cos 3 B(5 ? t 2 + 9η 2 ) 24 N m5 = cos 5 B(5 ? 18t 2 + t 4 ) 120…6N cos 3 B(1 ? t 2 + η 2 ) b(9)将（9）式代入（2）式，并略去η 2 l 5 及 l 以上各项，最后得到高斯投影坐标正算公式如下：x=X +N N sin B cos Bl ′′ 2 + sin B cos 3 B 5 ? t 2 + 9η 2 l ′′ 4 2 4 2 ρ ′′ 24 ρ ′′(10)()y=N N N cos Bl ′′ + cos 3 B 1 ? t 2 + η 2 l ′′ 3 + cos 5 B 5 ? 18t 2 + t 4 l ′′ 5 3 ′′ ′′ 5 ρ ′′ 6ρ 120 ρ()()当 l& 3.5 时，公式换算的精度为 ± 0.1m 。欲要精确至 0.001m 的坐标公式，可将（10）式 继续扩充，得到如下公式：x=X +N N sin B cos Bl ′′ 2 + sin B cos 3 B 5 ? t 2 + 9η 2 l ′′ 4 + 2 ′′ ′′ 4 2ρ 24 ρ()N sin B cos 5 B 61 ? 58t 2 + t 4 l ′′ 6 720 ρ ′′ 6 N N N cos Bl ′′ + cos 3 B 1 ? t 2 + η 2 l ′′ 3 + cos 5 B 5 ? 18t 2 + t 4 l ′′ 5 + 3 5 ρ ′′ 6 ρ ′′ 120 ρ ′′ N cos 5 B 5 ? 18t 2 + t 4 + 14η 2 ? 58η 2 t 2 l ′′ 5 5 120 ρ ′′ y=()(11)()()()87.试述高斯投影所求得的经线投影影像向中央子午线弯曲（凹向中央子午线） ，平 87.试述高斯投影所求得的经线投影影像向中央子午线弯曲（凹向中央子午线） 平行圈投 试述高斯投影所求得的经线投影影像向中央子午线弯曲 ， 影像向两极弯曲（凸向赤道） 影像向两极弯曲（凸向赤道） （随着 B 或 L 的变化,X 及 Y 的变化规律） 。 答：假设在椭球面某一带内有一要化算到高斯平面上的三角网 P,K,T,M,Q 等，其中 P 点 为起始点，其中大地坐标 B,l,而 l=L-L0 ，L 及 L0 为 P 点及轴子午线的大地经度；起始 边 PK=S；中央子午线 ON，赤道 OE，起始边的大地方位角 Apk ；PC 为垂直于中央子午线 0 的大地线，C 点大地坐标为 B0 , l=0 ;PP1 为过 P 点平行圈，P1 点的大地坐标 B， 0 l=0 ;X 为赤道至纬度的平行圈子午弧长。 在高斯投影面上， 中央子午线和赤道被描写为直线 ON ′ 及 OE ′ 。 其他的子午线和平行圈， 比如 过 P 点的子午线和平行圈均变为曲线，如 P ′N ′ 和 P ′P1 ，点 P 的投影点 P ′ 的直角 坐标为 x,y,椭球面三角形投影后变为边长 s i & S i 曲线三角形，且这些曲线的凹向纵总坐 标 轴；由于是等角投影，所以大地方位角投影后 A pk 没有变化 88.某点的平面直角坐标 是否等于椭球面上该点至赤道和中央子午线的距离？为什么？ 88.某点的平面直角坐标 x,y 是否等于椭球面上该点至赤道和中央子午线的距离？为什么？ (可分自然坐标和统一坐标回答) 答：是，在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交 点 O 作为坐标原点，一种以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴。 89． 什么是子午线收敛角?试用图表示平面表示午线收敛角 之下列特性: 表示午线收敛角γ 89． 什么是子午线收敛角?试用图表示平面表示午线收敛角γ之下列特性: 设 P＇点表示为椭球面 P 点,P＇N＇为过 P 点的子午线 PN,P＇Q ＇为平行圈 PQ 在高斯面上的 描写.所谓点 P＇点子午线收敛角就是 P＇N＇在 P＇上的切线 P＇n＇与坐标北 P＇t＇之间的 夹角,用γ表示. (1)点在中央子午线收敛角以东时, γ为正,反之为负; 由图知,当点在中央子午线收敛角以东时, γ为正,反之为负 (2)点与中央子午线的经差愈大, γ值越大; 因图可以看出,经差越大的时候,它的弦度越大,曲率越大,所以之间的夹角越大 (3)点所处的纬度愈高, γ值越大; 点所处的纬度越高,上面相对于赤道处的曲率更大一些,所以偏角也就越大 (4)写出大地方位角和坐标方位角的关系式. 设坐标方位角为α, 平面表示午线收敛角γ和方向改化δ,A 为大地方位角,可知大地方位 角和坐标方位角的转化公式为α=A-γ+δ 90.高斯投影既然是正形投影 为什么还要引进方向改正?(与点位有关) 高斯投影既然是正形投影, ?(与点位有关 90.高斯投影既然是正形投影,为什么还要引进方向改正?(与点位有关) 因为高斯投影虽然是正形投影,但是在偏离中央子午线收敛角越远的时候,它的投影变 形就会越大,所以要引进方向改正. 91.试推导方向改正计算公式并论证不同等级的三角网应使用不同的方向改正计算公式 试推导方向改正计算公式并论证不同等级的三角网应使用不同的方向改正计算公式. 91.试推导方向改正计算公式并论证不同等级的三角网应使用不同的方向改正计算公式 假设地球为一圆球,在球面上在轴子午线之东有一条大地线 AB 时,它在投影面上投影为 曲线 ab.过 A,B 两面三刀点,在球面上各作一大圆弧与轴子午线正交,其交点分别为 D,E, 它们在投影面上的投影分别为 ad,be.由于是把地球近似看成球,故 ad,be 都有是垂直于 x 轴的直线.在 a,b 点上的方向改化分别为δab, ab,δba.当大地线长度不大于 10 N时,y 坐 ab, 标不大于 100 N时,之差不大于 0.05″,因而可近似的认为δab= ab=δba.在球面上四边形 ab= abed 的内角之和等于 360°+δab+ ab+δba.由于是等角投影,所以之两个四边形内角之和应 ab+ 该相等,即 360°+ε=360°+δab+ ab+δba ab+ 因此得ε=δab+ ab+δba=2δab ab=2δba ab+ ab 由此有δab= ab=δba=1/2ε,又因为在球面上,球面角超有公式ε″=(P/R2)ρ″式中的 P 为 ab=′球面图形面积,在此处为 ABED 的面积,其计算公式为 P=DE(AD+BE)/2,DE 的弧长为 DE=Xd-Xe=Xa-Xb,当边长不大,横坐标 Y 之值较小时,可近似认为弧长 AD≈Ya,弧长 BE≈ Yb.双由于球面角超总为正值,于是可以把球面角超公式写为ε″=(P/R2)（Xa- Yb） （Ya+ Yb）/2所以方向改正的计算公式为δab= ab=δba=ρ″/2R2（Xa- Yb）Ym式中 ab= Ym=（Ya+ Yb）/2 所以方向改正公式应是 δab= ab=ρ″/2R2 Ym(Xa-Xb) δba=-ρ″/2R2 Ym(Xa-Xb) ab= 因为各点的精度要求不一样,各个三角网的要求都不一样,所以对于各个的精度就不一 样. 92、怎样检验方向改正数计算的正确性?其实质是什么? (△a+△b+△c=92、怎样检验方向改正数计算的正确性?其实质是什么? (△a+△b+△c=-ε) 因为椭球面三角形内角之和为 180°+ε,正形投影到平面后由曲线组成的该三角形内角 之各当然是 180°+ε.方向改正是将平面上的曲线三角形的边改直线,则平面角为 a=Nab-Nac=Nab＇+δab-(Nac＇+δac)= Nab＇- Nac＇+(δab-δac) 式中的 Nab＇,Nac＇ 及 Nab,Nac 分别为椭球面及平面上的方向观测值,若 Nab＇- Nac＇=A, δab-δac=△a 为角度改正数,则有 a=A+△a,b=B+△b,c=C+△c,将上面的两式相加得 a+b+c=A+B+C+(△ a+△b+△c)又因为 a+b+c=180°, A+B+C= A+B+C=180°+ε,所以△a+△b+△c=-ε由此可知,一 △a+△b+△c=个三角形的三个内角的角度改正值之和应等于该三角形的球面角超的负值.此式可用来 检核方向改正计算的正确性.其不符值,二等不得大于±0.02″,三等以下不得大于± 0.2″.其实质是根据三角形与球面三角形之间差一个球面角超. 93、要将椭球面的三角关系归算到平面上，包括坐标，曲率改正， 93、要将椭球面的三角关系归算到平面上，包括坐标，曲率改正，距离改正和子午线收敛 角等计算。 角等计算。最后控制网跨越两个相邻的投影带时进行平面坐标的邻带转换。如图-控制测量 下册―图 8-5(自己扫描) 94、已知距离改化计算公式为： 94、已知距离改化计算公式为：D=s+-72 ym s 2R 2-7 问坐标的精度为多少（ R=6370km， 300km）？ 若要求改正数的精度为 10 ，问坐标的精度为多少（已知 R=6370km，ym≈300km）？ (求偏 导计算可) 95、绘图说明平面子午线收敛角、方向改化和距离改化的几何意义。 95、绘图说明平面子午线收敛角、方向改化和距离改化的几何意义。 答(1)p’子午收敛角就是 p’N’在 p’上的切线 p’n’与坐标北 p’t 之间的夹角，用 r 来 表示。在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正行性质，因此它们的描写 线 p’N’及 p’Q’也必正交，由图可见，平面子午收敛角也就是等于 p’Q’在 p’点上的 切线 p’q’同平面坐标系横轴 y 的倾角。(2)方向改正的数值指的是大地线投影曲线和连接大地线两点的弦之夹角。(3)设椭球体上有两点 p1p2 及其大地线 S，在高斯投影面上的投影为 p1’,p2’及 s. S 是一条曲线，而连接 p1’p2’两点的直线为 D，S 化至 D 所加的改正称为距离改正△S96、导出三种纬度φ 的关系。 96、导出三种纬度φ、u 与 B 的关系。 答：B 与 u 之间的关系： ∵( B&u& φ )x = a cos u ，x= a cos B ， Wy = b sin uy=a 1 ? e 2 sin 2 B W()∴sin u =cos u =1 ? e2 sin B W1 cos B W sin B = V sin u cos B = W cos u tan u = 1 ? e 2 tan Bu 与 φ 之间的关系： ∵ ∴tan φ =y xy = 1 ? e 2 tan u xtan φ = 1 ? e 2 tan uB 与 φ 之间的关系： ∵ ∴tan u =1 ? e2tan Btan φ = 1 ? e 2 tan utan φ = 1 ? e 2 tan B()汇总可得：tan B = 1 ? e′ 2 tan u = 1 + e′ 2 tan φ tan u = 1 ? e 2 tan B = 1 + e 2 tan φ tan φ = 1 ? e 2 tan B = 1 ? e 2 tan u()()97、估算（用最简公式和两位有效数字） 97、估算（用最简公式和两位有效数字）高斯投影六度带边缘一条边长 50KM 的最大长度变 。 代入公式近似计算) 形（m-1） 己知 ym≈330km。 (代入公式近似计算) ， 答： r =x′2 + y′ 2x ′ = aξ , y ′ = bη , ξ = cos α ,η = sin αm = r = a 2 cos 2 α + b 2 sin 2 αν = m ?1 =y2 （根据公式（15-124） ） 2 2 Rm其中 α 为所研究线段的方位角， a ， b 是主方向上的长度比。 Rm 是按大地线始末两端点的 平均纬度计算（查取）的椭球的平均曲率半径。 0 98、在高斯投影中，为什么要分带？ 投影带， 98、在高斯投影中，为什么要分带？我国规定小于一万分之一的测图采用 6 投影带，一万 0 投影带，其根据何在？ 分之一或大于一万分之一的测图采用 3 投影带，其根据何在？ 0 0 答：限制长度变形。因为 3 带范围内的最大长度变形相当于 6 带范围内的最大长度变 形的 1/4。 99、如果不论测区的具体位置如何 仅为了限制投影变形， 的具体位置如何， 99、如果不论测区的具体位置如何，仅为了限制投影变形，统统采用 3°带投影优于 6°带 投影，你认为这个结论正确吗？为什么？ 测区小时相近) 投影，你认为这个结论正确吗？为什么？(测区小时相近) 答：不正确。虽然 3°带范围内的最大长度变形相当于 6°带范围内的最大长度变形的 1/4， 在大比例尺测图和工程测量都采用 3°带投影，在特殊情况下，工程测量控制网可以采用 1.5 °带和任意带，但最后也要为测量成果的通用，需要同国家 6 °或 3 °带相联系。还 有是 3°带投影分带将变得更多。总之，应该视具体情况而定。 100、高斯投影的邻带坐标换算的必要性如何？ 三条) 100、高斯投影的邻带坐标换算的必要性如何？(三条)，高斯投影的换带计算共有几种方 有什么特点？（间接与直接方法）简述高斯投影的邻带坐标换算的间接方法的思路。 ？（间接与直接方法 法？有什么特点？（间接与直接方法）简述高斯投影的邻带坐标换算的间接方法的思路。 必要性：高斯投影虽然保证了角度没有变形，可是长度变形较严重。为了限制高斯投影 的长度变形，必须依中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的 狭长带内分别进行。但这又使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。于是，因分带的结 果产生了新的矛盾， 即在生产建设中提出了各相邻带的相互联系问题。 而这个问题就必须是 有“邻带换算”来实现的。 高斯投影坐标邻带换算的方法有很多种，最常用的是应用高斯投影正、反算公式进行邻 带换算的方法，它具有精度高、通用和便于计算等优点。 利用高斯投影正反算公式进行邻带坐标换算的实质是把椭球面上的大地坐标作为过渡 坐标。其解法是： Ⅰ、利用高斯投影坐标反算公式，根据 ( x, y )1 换算成椭球面大地坐标 (B,l1 ) 进而得到L = L10 + l1 。Ⅱ、再由大地坐标 (B,l1 ) ，利用高斯投影坐标正算公式，根据 (B,l1 ) 计算该点在Ⅱ带的 平面直角坐标 ( x, y )1 ，但在这一步计算时，要根据第Ⅱ带的中央子午线的经度 L0 计算 P 点 中央子午线的经度1在第Ⅱ 在第Ⅱ带的经度 l1 = L ? L0 。为了检核计算的正确性，每步都需要往返计算。1101、论述待定系数法高斯投影坐标正算公式的推导全过程。 101、论述待定系数法高斯投影坐标正算公式的推导全过程。 在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2，它们的大地坐标分别是（l，B）和（-l， B） 。式中 l 为椭球面上 P 点的经度与中央子午线的经度之差，P 点在中央子午线之东，l 为 正；在西，l 为负，则投影后的平面坐标一定为 P ( x, y ) 和 P2 ( x,? y ) 。 1 令 x，y 与 l，q 的函数关系为′′x = x(l , q ), y = y (l , q )(1)因为，高斯投影是按带投影的，所以在每带里经差 l 是不大的，l/q 是一个微小量，所以将 （1）式中的函数展开为经差 l 的幂级函数，如下：x = m0 + m 2 l 2 + m 4 l 4 + …(2)y = m1 + m3l + m5 l + …3 5式中 m0 , m1 , ? 是待定系数，它们都是纬度 B 的函数。 ∵ ∴?y ?x ?x ?y = , =? ?q ?l ?q ?l对（2）式求偏导，带入上式。得：m1 + 3m3l 2 + 5m5 l 4 + …=dm0 dm 2 2 dm4 4 l + l +… + dq dq dq dm1 dm 3 l? l ?… dq dq(3)2m2 l + 4m4 l 3 + …= ?为使上面两式相等，其必要而充分条件是 l 的同次幂的系数相等。故有：m1 =dm0 dq 1 dm1 2 dq(4)m2 = ?m3 =1 dm2 3 dq位于子午线上的点， 投影后的纵坐标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长， 即在第 （1）式中令 l=0 时， x= m0 =X (5)其中，X 是自赤道量起的子午线弧长。 ∵ 子午线弧长微分公式dX dB N cos B =M和 = dB dq M(6)∴dm0 dm0 dB dX N cos B N cos B = , = ? =M ? = NcosB dB dq dB M M dq∴m1 = N cos B =c cos B V(7)对（7）式求偏导，得：dm1 dm dB d ?c ? dB = ? = ? cos B ? dq dB dq dB ? V ? dq=??c ? c dV ? dB cos B ? sin B ? 2 V ? V dB ? dq dV 1 = ? η 2t dB V又∵∴dm1 ? c ? 1 2 ? ? c = ?? 2 ? ? η t ? cos B ? sin B ? dq ? V ? V V ? ?? c sin B η 2 ? V 2 3 ?Vc cos B v c V3=?()?V ??2cos B=? 代入（4）式，得c sin B cos B V N m2 = sin B cos B 2(8)依次求导，并依次代入（4）式右可得 m3 , m4 , …各值：m3 = m4 =N sin B cos 3 B(5 ? t 2 + 9η 2 ) 24 N m5 = cos 5 B(5 ? 18t 2 + t 4 ) 120…6N cos 3 B(1 ? t 2 + η 2 ) b(9)将（9）式代入（2）式，并略去η 2 l 5 及 l 以上各项，最后得到高斯投影坐标正算公式如下：x=X +N N sin B cos Bl ′′ 2 + sin B cos 3 B 5 ? t 2 + 9η 2 l ′′ 4 2 4 2 ρ ′′ 24 ρ ′′(10)()y=N N N cos Bl ′′ + cos 3 B 1 ? t 2 + η 2 l ′′ 3 + cos 5 B 5 ? 18t 2 + t 4 l ′′ 5 3 ′′ ′′ ′′ 5 ρ 6ρ 120 ρ()()当 l& 3.5 时，公式换算的精度为 ± 0.1m 。欲要精确至 0.001m 的坐标公式，可将（10）式 继续扩充，得到如下公式：x=X +N N sin B cos Bl ′′ 2 + sin B cos 3 B 5 ? t 2 + 9η 2 l ′′ 4 + 2 4 2 ρ ′′ 24 ρ ′′()N sin B cos 5 B 61 ? 58t 2 + t 4 l ′′ 6 ′′ 6 720 ρ N N N cos Bl ′′ + cos 3 B 1 ? t 2 + η 2 l ′′ 3 + cos 5 B 5 ? 18t 2 + t 4 l ′′ 5 + 3 ρ ′′ 6 ρ ′′ 120 ρ ′′ 5 N cos 5 B 5 ? 18t 2 + t 4 + 14η 2 ? 58η 2 t 2 l ′′ 5 5 120 ρ ′′ y=()(11)()()()102、论述待定系数法高斯投影坐标反算公式的推导全过程。 102、论述待定系数法高斯投影坐标反算公式的推导全过程。 因为 x 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴，所以得知 y 值比起椭球半径是一个 相对较小的数值，因而可以将大地坐标 B 及 l 展开成有的幂级数，又由于对称投影，在此幂 级数中，大地纬度 B 必是 y 的偶函数，大地经度 L 必是 y 的奇函数，因此可以写成下式：B = n0 + n 2 y 2 + n 4 y 4 + … L = n1 y + n3 y + n5 y + …3 5（1）式中 n0 , n1 , n 2 , …是待定系数，它们都是纵坐标 x 的函数。 由正形投影的条件可知，反算必满足柯西-黎曼条件，即（2）式：?q ?l = ?x ?y ?l ?q =? ?x ?y∵ dq = ∴（2）MdB N cos B ?B N cos B ?l = ?x M ?y ?B N cos B dl =? ?y M ?x上式可改写为：（3）将（1）式分别对 x 和 y 求偏导数，代入（3）式，得：dn0 dn 2 2 dn 4 4 N cos B + y + y + …= n1 + 3n3 y 2 + 5n5 y 4 + ? dx dx dx M()（4）2n 2 + 4n 4 y 3 + ? = ?dn dn N cos B ? dn1 ? y + 3 y 3 + 5 y 5 + ?? ? M ? dx dx dx ?上式相等的必要充分条件是同次幂 y 前的系数相等，从而得待定系数等式：n1 =M dn0 , N cos B dxn2 = ?1 N cos B dn1 2 M dx（5）dn 2 M n3 = , 3 N cos B dx… 由（5）式分析可得：确定出导数 ∵ ∴ x 轴上的长度投影保持不变N cos B dn3 n4 = ? 4 M dx…dn0 是解决问题的关键。而必须求出 n0 。 dx当 y=0 时，x=X，此时对应的 F 点称为底点，对应的纬度称为底点纬度。用 B f 表示。 且有B = n0 = B f（6）∴（5）式中所有系数可以看成是底点纬度 B f 的函数。因此，用 X 代替 x，则个阶段导 数值应冠以字 f，以标明是用底点纬度 B f 计算的导数值。∴dn0 dB f = dx dX dX = M f dB f（7）∵（8）∴dB f dX df (B f dX=1 Mf df (B f dB f（9）又∵)=)?dB f dX（10）n1 =∴Mf N f cos B f Mf?Mf dB f dn0 = ? dX N f cos B f dX（11）1 1 = ? = N f cos B f M f N f cos B f同理可得：n2 = ?tf 2M f N f2 fn4 =n6 = ?tf 24M f N 3 f(5 + 3t(+ η 2 ? 9η 2 t 2 f f f))（12）1 61 + 90t 2 + 45t 4 f f 720 N cos B f5 fn3 = ?1 1 + 2t 2 + η 2 f f 6 N cos B f3 f() )n5 =1 5 + 28t 2 + 24t 4 + 6η 2 + 8η 2 t 2 f f f f f 120 N cos B f5 f(将（12）代入（1） ，整理得：B = Bf ? tftf 2 M f N f cos B fy2 +tf 24 M f N3 f(5 + 3t2 f+ η 2 ? 9η 2 y 4 ? f f)720 M f N 5 f l=(61 + 90t2 f+ 45t 4 y 6 f)（13）1 1 y? 1 + 2t 2 + η 2 y 3 + f f 3 N f cos B f 6 N f cos B f5 f()1 5 + 28t 2 + 24t 4 + 6η 2 + 8η 2 t 2 y 5 f f f f f 120 N cos B f（上式中 B 和 l 的单位是弧度。 ） 当 l & 3.5 时，上式换算精度达 0.0001 。欲使换算精度精确至 0.01 ，可对上式简化成：n n()B = Bf ? l=tf 2M f N fy +2t3 f 24 M f N 3 f(5 + 3t2 f+ η 2 ? 9η 2 y 4 f f（14）)1 1 1 y? 1 + 2t 2 + η 2 y 3 + 5 + 28t 2 + 24t 4 y 5 f f f f 3 5 N f cos B f 6 N f cos B f 120 N f cos B f()()103、利用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算的实质是什么？ 103、利用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算的实质是什么？已知某点在 6°带内的 =m、 =m， 坐标为 x1=m、y1=m，求该点在 3°带内第 40 带的坐标 x2、y2。 解: 1.利用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算的实质是 2.高斯投影反算公式 B = B f - ［1 - ( b4 - 0.147 Z 2 ) Z 2 ］ Z 2 b2 ρ ′′l = ［1 - ( b3 - b5 Z 2 ) Z 2 ］Z ρ ′′式中 β= x × ρ ′′ ÷9B f =β+ ｛+ ［50+ 22 cos 2 β ) cos 2 β ］cos 2 β ｝ 10 ?10 cosβsinβ ρ ′′ N f =
-［ -(108.973 - 0.612 cos 2 B f ) cos 2 B f ］ cos 2 B fZ = y × N f ÷sin B fb2 = (0.5 + 0. cos 2 B f )sin B f cos B f b3 = 0.333333 - (0.1666667 - 0.001123 cos 2 B f ) cos 2 B f b4 = 0.25 + (0.161612 - 0.005617 cos 2 B f ) cos 2 B f b5 = 0.2 - 0.16667 - 0.00878 cos 2 B f ) cos 2 B f经计算得:B f =17°25′5.5242″ N f =95365Z = 0.6049b2 =0.546 b3 =0.275 b4 =0.073 b5 =0.6617B =17°24′19.3129″ l =2°15′44.9900″ L= L0 + l =6°×20－3+2°15′44.9900″=119°15′44.9900″ 高斯投影正算公式 x = 8×B&÷ ρ ′′ - ｛ a 0 - ［0.5 + （ a 4 + a 6 l ) l ］ l2 2 2N｝cosBSinBy = ［1 + ( a3 + a5 l ) l ］ l N cosB22l =(L－ L0 )&÷ ρ ′′N =
- ( - (108.996 - 0.603 cos2 B ) cos 2 B ) cos 2 Ba 0 =
- (135.3646 - (0.7034 - 0.0041 cos 2 B ) cos 2 B ) cos 2 B a 4 = (0.25 + 0.00253 cos 2 B ) cos 2 B - 0.04167 a 6 = (0.167 cos 2 B - 0.083) cos 2 B a3 = (0.333333 + 0.001123 cos 2 B ) cos 2 B - 0.1666667a5 = 0.00878 - (0.1702 - 0.20382 cos 2 B ) cos 2 B经计算有: l = －0.785 N = 95275a 0 = 773a 4 = 0.939 a 6 = 0.8567 a3 = 0.414 a5 = 0.x = 87631 y = -、 B=32°23′46.6531″ L=112°44′12.2122″ 104、已知某点的大地坐标为 B=32°23′46.6531″，L=112°44′12.2122″，求其在六度 带内的高斯平面直角坐标以及该点的子午线收敛角(要求反算检核) 带内的高斯平面直角坐标以及该点的子午线收敛角(要求反算检核)。 解: 1 x = 8×B&÷ ρ ′′ - ｛ a 0 - ［0.5 + （ a 4 + a 6 l ) l ］ l2 2 2N｝cosBSinBy = ［1 + ( a3 + a5 l ) l ］ l N cosB22l =(L－ L0 )&÷ ρ ′′N =
- ( - (108.996 - 0.603 cos2 B ) cos 2 B ) cos 2 Ba 0 =
- (135.3646 - (0.7034 - 0.0041 cos 2 B ) cos 2 B ) cos 2 B a 4 = (0.25 + 0.00253 cos 2 B ) cos 2 B - 0.04167 a 6 = (0.167 cos 2 B - 0.083) cos 2 B a3 = (0.333333 + 0.001123 cos 2 B ) cos 2 B - 0. = 0.00878 - (0.1702 - 0.20382 cos 2 B ) cos 2 B经计算有: l = 0.7289 N = 17785a 0 = 6057a 4 = 0.949a 6 = 0.3692 a3 = 0.1333 a5 = -0.x = 42943 y = . 由反算公式: B = B f - ［1 - ( b4 - 0.147 Z 2 ) Z 2 ］ Z 2 b2 ρ ′′l = ［1 - ( b3 - b5 Z 2 ) Z 2 ］Z ρ ′′式中 β= x × ρ ′′ ÷9B f =β+ ｛+ ［50+ 22 cos 2 β ) cos 2 β ］cos 2 β ｝ 10 ?10 cosβsinβ ρ ′′ N f =
-［ -(108.973 - 0.612 cos 2 B f ) cos 2 B f ］ cos 2 B fZ = y × N f ÷sin B fb2 = (0.5 + 0. cos 2 B f )sin B f cos B f b3 = 0.333333 - (0.1666667 - 0.001123 cos 2 B f ) cos 2 B f b4 = 0.25 + (0.161612 - 0.005617 cos 2 B f ) cos 2 B f b5 = 0.2 - 0.16667 - 0.00878 cos 2 B f ) cos 2 B f经反算有 B=32°12′59.0879″，L=112°43′59.8682″所在经度相近.可认为正确. 3. γ= ｛1+ （0.74 cos ［2 B ）+ 2 2 2 2 2 （0.2 cos B cos B －0.0067）l ］l cos B ｝l cos 2 B式中 l =1.22 经过计算有γ=4.84 105、当国家统一坐标系统不适合某城市时，选择局部坐标系统通常有哪些方法？ 105、当国家统一坐标系统不适合某城市时，选择局部坐标系统通常有哪些方法？各适合何 种地理情况？ 三种） 种地理情况？（三种）106、何谓建立大地坐标系？椭球定位的含义是什么？试从椭球的多点定位法和一点定位法 106、何谓建立大地坐标系？椭球定位的含义是什么？试从椭球的多点定位法和一点定位法 的区别说明多点定位的优点。 的区别说明多点定位的优点。 107、椭球定位分几类？什么是参数坐标系？什么是地心坐标系？其区别表现在什么方面？ 107、椭球定位分几类？什么是参数坐标系？什么是地心坐标系？其区别表现在什么方面？ 椭球定位分两类：局部定位和地心定位。 以参考椭球为基准的坐标系，叫做参心坐标系；以总地球椭球为基准的坐标系，叫做地 心坐标系。 108、什么叫大地起算点和大地起算数据？有何意义？试说明参考椭球定位的原则。 108、什么叫大地起算点和大地起算数据？有何意义？试说明参考椭球定位的原则。 大地原点即为大地起算点。 参考椭球的定位和定向，一般是依据大地原点的天文大地观测和高程测量结果，通过 确定 一定的参考椭球和一定的大地原点上的大地起算数据，确定了一定的坐标系。通常就 是用参考椭球参数和大地原点上的起算数据的确立作为一个参心大地坐标系建成的标志 的。 109、何谓国家统一坐标系统？ 109、何谓国家统一坐标系统？概述 1954 年北京坐标系和 1980 年国家大地坐标系的建立过 试从椭球元素、定位方法、对应的空间大地直角坐标系原点和作用等方面进行比较。 程，试从椭球元素、定位方法、对应的空间大地直角坐标系原点和作用等方面进行比较。
椭球元素 克拉索夫斯基椭球 以我国范围内高程异常值平方和等于最小为条件求 解 定位方法 一点定位 一点定位 坐标原点 普尔科沃原点 西安原点 作用 110、当城市控制网选择了局部坐标系统时，应如何与国家统一坐标系建立联系？为什么？ 110、当城市控制网选择了局部坐标系统时，应如何与国家统一坐标系建立联系？为什么？ 111、不同空间直角坐标系间的转换需要几个参数？有几个转换公式？ 111、不同空间直角坐标系间的转换需要几个参数？有几个转换公式？坐标转换的精度与哪 坐标系间的转换需要几个参数 些因素有关？ 些因素有关？ 答 七个参数? X 2? ?Y 2 ? =(1+m) ? ? ?Z 2 ? ? ?ε z ? ε y ? ? X 1? ?σX ? ?1 ? ? ε z1ε x ? ?Y 1 ? + ?σY ? ? ? ? ? ? ? ?ε y ? ? Z1 ? ?σZ ? ? ε x1 ? ? ? ? ? ?由于公共点的坐标存在误差，求得转换参数将受其影响 112、当国家统一坐标不适合某城市时，选择局部坐标系统通常有那些方法？ 112、当国家统一坐标不适合某城市时，选择局部坐标系统通常有那些方法？各适合何种地 理情况？ 理情况？ 113 设测区呈东西宽约 8km、南北长约 14km 的长方形，测区内有符合现行规范并经过平差 8km、 的长方形， 的国家大地点， 位于测区中部。假定有下列情况，试论证如何选择坐标系统： 的国家大地点，其中二等点 A 位于测区中部。假定有下列情况，试论证如何选择坐标系统： m、 m， 500m， (1)A 点坐标为 x = m、 y = m，测区平均高程为 500m，概略0 纬度为 34 ； m、 m， 1000m； (2)A 点坐标为 x = m、 y = m，测区平均高程为 1000m； m、 m， 110m。 (3)A 点坐标为 x = m、 y = m，测区平均高程为 110m。 0⑴S = 8000m y=2 RmHm =2 * 6370 * 0.5 =80k mHm 500 * 8000 *s==-0.628m Rm
Ym * Ym 80 * 80 * 8000 △S2= *s= =0.628m 2 Rm * Rm 2 * 6370 * 6370△S1=此时 △S1 +△S2=0 所以采用的是任意带高斯正形投影平面直角坐标系 ⑵ △H=Ym * Ym 8.257 * 8.257 = =5km 2R 2 * 6370 Hm 5 * 8000 △S1=*s= =-0.006m Rm 6370 1 Ym * Ym 8.257 * 8.257 * 8000 *s= =0.006m △S2= 2 Rm * Rm 2 * 6370 * 6370此时 △S1 +△S2=0 所以采用的是抵偿投影面高斯正形投影平面直角坐标系 114．简述城市和工程测量中几种可能采用的直角坐标系。各有何特点？ 114．简述城市和工程测量中几种可能采用的直角坐标系。各有何特点？ 工程测量中集中可能采用的直角坐标系: ①．国家 3°带高斯正形投影平面直角坐标系 特点：在偏离中央子午线不远和地面平均高程不大的地区，无需考虑投影变形问题，直 接采用国家统一的 3°带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量的坐标系，使两者 相一致。 ②．抵偿投影面的 3°带高斯正形投影平面直角坐标系 在这种坐标系中，仍采用国家 3°带高斯投影，但投影的高程面不是参考椭圆面而是依 据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面，在这个高程参考面上长度变形为零。 ③．任意带高斯正形投影平面直角坐标系 在这种坐标系中， 仍把地面观测结果归算到参考椭球面上， 但投影带的中央子午线不按 国家 3°带的划分方法，而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为 中央子午线。 ④．具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影平面直角坐标系 在这种坐标系中， 往往是指投影的中央子午线选在测区的中央， 地面观测值归算到测区 平均高程面上， 按高斯正形投影计算直角坐标， 这种坐标系更能有效的实现两种长度变 形改正的补偿。 ⑤．假定平面直角坐标系 当测区面积小于 100K O时，可不进行方向和距离改正，直接把局部地球表面作为平面 建筑独立的平面直角坐标系，这时，起算点坐标及起算方位角最好能与国家网联系，如 果联系有困难，可自行测定边长和方位，而起始点坐标可假定，这种假定平面直角坐标 系只限于某种工程建筑施工之用。 115.城市或工程建设在什么情况下需采用独立坐标系统？ 115. 城市或工程建设在什么情况下需采用独立坐标系统？建立独立坐标系统有哪几种方 城市或工程建设在什么情况下需采用独立坐标系统 它们的投影带和投影面与国家统一坐标系统有那些区别？ 法？它们的投影带和投影面与国家统一坐标系统有那些区别？ 当边长的两次归算投影改正不能满足规定的要求时， 为保证工程测量结果的直接利用和 计算的方便， 可以采用任意带的独立高斯投影平面直角坐标系， 归算测量结果的参考面 可以自己选定。可以通过以下三种方法来实现： （a） 通过改变 Hm 从而选择合适的高程参考面，将抵偿分带投影变形，这种方法通常称 为抵偿投影面的高斯正形投影。 （b） 通过改变 Ym，从而对中央子午线作适当移动，来抵偿由高程面的边长归算到参考 椭球面上的投影变形，这就是通常所说的任意带高斯正形投影。 （c） 通过既改变 Hm（选择高程参考面）又改变 Ym（移动中央子午线）来共同抵偿两项 归算改正变形，这就是所谓的具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影。 区别：国家统一的坐标系统是 3°带高斯正形投影平面直角坐标系。 ①． 抵偿投影面的高斯正形投影平面直角坐标系， 它投影的高程面不是参考椭球面而是 依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面。 ②． 任意带高斯正形投影平面直角坐标系， 它投影带的中央子午线不按国家 3°带的划 分方法，而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线。 ③． 具有高程抵偿面的任意点高斯正形投影平面直角坐标系， 它通过的选择高程参考面 和移动中央子午线共同抵偿两项归算改正变形。 116．举例说明一维坐标系间的变换和二维坐标系间的变换的应用。 116．举例说明一维坐标系间的变换和二维坐标系间的变换的应用。 在工程测量应用 GPS 时，往往是将具有局部平面直角坐标的二维控制点同 GPS 控制点重合，