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变式与比较在小学数学概念教学中的运用[权威资料]
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新闻标题:浅谈“变式训练”在初中数学教学中的运用
发布时间:阅读次数:3529&&新闻作者:田艳明&&
本文获得北京市第二届“智慧教师”征文活动一等奖
所谓变式，是指相对于某种范式（数学教材中具体的知识、典型问题、思维模式）的变形形式，通过不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物本质特征不变的情况下，使事物的外在非本质的属性不断迁移、变化。采用变式方式进行技能与思维的训练叫变式训练。“变式训练”是创新的重要途径，也是一种有效的数学教学途径，所以教师利用 “变式训练”，能引导学生对数学问题多角度、多方位、多层次地讨论和思考，使学生更深刻地理解数学知识，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，最终提高学生的思维能力和创新能力。下面我对如何在初中数学教学中运用“变式训练”谈一点自己的看法：
一、设计“变式训练”应遵循的基本原则
（一）、目的性原则
“变式训练” 要根据教学或学习需要，遵循学生的认知规律设计，其目的是通过“变式训练”使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成解题技能，最终完成“知识-应用-理解-形成技能-培养能力”的认知过程。所以对于不同的课型，对“变式训练”的目的应不同。例如，新授课的“变式训练”应服务于本节课的教学目的；习题课的“变式训练”应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的“变式训练”不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系，同时变式习题要紧扣课标；在试卷讲评课时，“变式训练”就要根据学生答题的情况进行有针对性地查漏补缺、巩固、提高。
（二）、有效性原则
1、变式设计要有差异性。设计数学问题变式，要强调一个“变”字，但不能“变”得过于简单，不能让学生认为是简单的“重复劳动”，打消学生思考问题的积极性；难度较大的变式习题容易挫伤学生的学习积极性，使学生丧失自信心，难以获得成功的喜悦，所以在选择习题进行变式时要变得有“度”。从心理学角度分析，新颖的题目对学生刺激强，学生做题的兴奋度高，注意力容易集中，积极性高，思维敏捷，能收到较好的训练效果。所以变式题组的题目之间要有明显的差异，要使学生对每道题既感到熟悉，又觉得新鲜，深深吸引学生的好奇心与求知欲。
2、变式设计要有层次性。刚才讲到变式训练要难易适中，同时，变式训练还要层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门槛”，这样既达到训练的目的，又可以培养学生的思维问题的方式。
3、变式设计要有内涵性。变式设计的问题要争取具有典型性，要注意知识之间的横向联系，具有延伸性，争取内涵丰富，给学生留下充足的思维空间。要通过“变式训练”让学生体会到相应的数学思想方法，提高学生的思维品质，让学生在美丽的变式中领略数学的魅力。
（三）、参与性原则
在“变式训练”中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆地“变”，培养学生的创新意识和创新精神。不要小看学生的能力，他们会创造出令老师惊讶的结果。
二、“变式训练”在教学中的运用举例
（一）、对新授课中基础知识、基本概念等的“变式训练”
知识是能力的载体，只有牢固掌握并理解了相关的基础知识，才能有能力的创新。所以教师在讲解基础知识或基本概念时，可以利用“变式训练”，整合学生的认知结构，加深学生掌握并理解相关的基础知识、基本概念。
案例:填空(在横线内填>、&或=)
通过以上的两个变式训练，学生就能很好地理解并掌握绝对值的相关知识。在结合后面的平方和开方的知识，学生就能将初中阶段三个具有非负性的知识点掌握。
（二）、对习题课中同一知识点的“变式训练”
案例：根据三角形的外角性质1：三角形的任意一个外角，等于与它不相邻的任意两个内角之和。可以总结出∠B + ∠E= ∠C + ∠F
通过图形的“变”，让学生从中发现不变的规律，从而更好地掌握知识。
（三）、对复习课中综合性知识的“变式训练”
对于综合知识、从知识发生的过程设计问题，突出概念的形成过程和来龙去脉，通过学生认知的最近发展区，让学生通过类比、归纳、猜想得出结论，再对所得结论进行论证。
案例：求证：顺次连结任意（凸）四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
变式1：顺次连结任意平行四边形各边中点所得的四边形是_______形,并证明。
变式2：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是_______形,并证明。
变式3：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是_______形,并证明。
变式4：顺次连结正方形各边中点所得的四边形_______形,并证明。
变式5：顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形_______形,并证明。
变式6：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到平行四边形。
变式7：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到矩形
变式8：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到菱形。
变式9：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到正方形。
通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大拓展了学生解题思路，活跃思维，激发兴趣。
（四）、对课本知识的“变式训练”
案例1：人教版数学课本八年级（下）第122页15题：
四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F，求证：AE=EF。（如下图）
书中给了“取AB的中点G，连接EG”的提示，所以学生可以根据提示构造△AEG，进一步证明△AEG≌△EFC（ASA），为拓展学生的思维空间，加强学生够造全等三角形解题的能力，可采取以下变式：
变式1：引导学生进一步考虑当点E不是BC的中点时，AE和EF有怎样的数量关系？
1、点E在线段BC上
此时仍有AE=EF，在AB上取点G，使AG=EC，构造△AEG，再证明
△AEG≌△EFC（ASA）；
2、点E在BC的延长线上
上图所示，也有AE=EF。此时就不能在AB上取点G了，要在BA的延长线上取点G，使AG=EC，再证△AEG≌△EFC（ASA）；
3、点E在CB的延长线上，此时EF交正方形外角平分线所在的直线于点F
令学生意想不到的是此时仍有
EA=EF,但此时的证明就不那么容易了。
但学生有了猜想，他们的探索欲被调
动起来，就非常积极去思考几何证法。
以下列举两种证明方法:1）在DC上取点G，使DG=BE,然后延长AD到C',使DC'=DG,连接AG、GC',证明△EFC≌△AGC'（ASA）
2)连接AC、AF,因为∠ACF+∠AEF=90°，所以点A、E、F、C共圆，进而证出∠EAF=∠ECF=45°,所以AE=EF；
变式2：有的同学提出来将正方形变成正三角形,取∠CEF=60°，如下所示：&
按类比的方式证明，我们很容易发现刚才的结论仍然成立，此三幅图中的EC=EF，证法同上。通过两个例子，我们已经能够发现规律，还可以继续探索如下：
变式3：再继续将正三角形变成正五边形，情况又如何呢？（此时要求涉及的角度为108°，仍有此结论。）
　　这些题的条件发生了变化，但结论并没有变化。这是由于最基本的条件没有发生变化，这使学生感到了数学的深奥，增加了他们学习数学的兴趣。
案例2：人教版数学课本八年级（下）第104页15题：
这道题里涉及到全等三角形的知识，对于最后的证明也是设定了三者间的数量关系，如果学生只停留在就题论题上，这道题就失去了真正的内涵，所以老师就要启发学生，将此题变形，拓宽学生思维，形成对知识的深入理解。
　　学生作图：需分三种情况：点P在线段BC上；点P在CB的延长线
上；点P在BC的延长线上。
万变不离其宗，我们都可以找到全等的三角形，从而得出结论：
点P在线段BC上，FD-EB=FE；
点P在CB的延长线上，FD+EB=FE；
点P在BC的延长线上， EB-FD=FE；
　　变形2：在上面知识的基础上呈现中考题：
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD－BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
有了上面知识作基础，学生对于这道中考题的证明也就很容易了。
以上只是结合教学实例简单地介绍了“变式训练”的应用，其实在我们教学中处处存在变式，希望老师们多总结、多研究，整理成题，利用“变式训练”提升教学实效性。
参考文献：
李坚 《数学“变式教学”认识和实践》第一版 天津出版社 2006年9月出版
刘长春、张文娣《中学数学变式教学与能力培养》上海出版社 2006年8月出版
李云飞　《运用变式教学，提高数学能力》　　中学数学教学，2005（12）：17－18
陈万新 《变式训练应遵循的原则与方式》 池州师专学报，2006（5）：12，在小学数学解决问题教学中渗透“数形结合”方法的研究
作者： 来源： 发布时间：日
新安小学校级课题　　
在小学数学解决问题教学中渗透“数形结合”方法的研究　　
&&&&&& ______________　　
____ _______　　
2014 22014
课题申报表：新安小学教师个人小课题研究申报表　　
编号：&&&&&&&&&&&& 　　
王寅琰　　
任教年级　　
二年级　　
课题名称　　
在小学数学解决问题教学中渗透“数形结合”方法的研究　　
课题题解（把课题名称里的主要概念解释清楚）　　
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。　　
解决问题狭义理解是指综合地、创造性运用各种数学知识去解决联系实际的问题。　　
研究背景：为什么要开展本研究（即研究的目的、意义、价值）：　　
数形结合是数学解题中常用的思想方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。　　
解决问题教学是小学数学教学中的重要组成部分，解决问题的教学能够培养学生解决问题的意识和能力，培养学生的创新精神，巩固学生数学知识技能，并掌握解决问题的思想和方法。　　
学生在学习解决问题的过程中，出现了一些普遍的问题:　　
1、学生缺乏良好的阅读能力，在面临模糊的、不确定的问题情境时，不能准确地感知其中所包含的数学信息、发现其中的问题，导致解决问题的障碍。　　
2、学生惯于套用模式与类型，不理解运算的意义，凭借感觉列式。　　
3、学生对解决问题存在着一定的心理障碍，面对问题便会不自觉的出现畏难情绪、急燥情绪等，影响问题的解决。　　
基于以上问题和在区级课题“在小学数学教学中培养学生几何直观能力的行动研究”的引领下开展本次小课题研究，旨在在渗透“数形结合”方法的前提下帮助学生理解题意、理清运算的意义、寻找解决问题的方法，提高学生解决问题的能力。　　
研究本课题的主要理论依据　　
1.《现代教育学》　　
2．《认知心理学》　　
3.《小学数学课程标准》　　
4.有关“数形结合”运用的10篇文章　　
1、对全校学生抽样调查，了解并分析学生解决问题问题的困难和教师教学的现状。　　
2、在课堂教学中渗透“数形结合”方法的策略研究。　　
3、学生用“数形结合”方法解题的评价研究。　　
4、经验总结　　
（1）调查研究法。通过观察、问卷、访谈，了解学生解决问题的困难和教师的教学现状。　　
（2）文献资料法。学习相关的教学理论，了解同类课题的研究现状，为创造性研究奠定基础。　　
（3）个案研究法。对解决问题较差的学生，进行个别的有针对性的辅导。　　
（4）行动研究法。制定相应的培养计划和方法，运用于日常教学中，并根据教学效果，调整对策，进行深入研究。　　
（5）经验总结法。根据课题实践进行经验交流、总结、提炼成果，撰写论文，形成研究报告。　　
准备阶段：阅读一些教育教学和文章中关于运用“数形结合”的文章，收集资料，设计好调查问卷。　　
行动阶段：完成调查问卷，分析原因；利用课堂教学在解决问题教学中渗透“数形结合”方法。　　
总结阶段：整理资料，撰写论文。　　
预期成果　　
及呈现方式　　
学生会利用“数”“形”结合的方法理解题意，理解运算的意义，建立一些模型，解决问题的能力有所提高。　　
学生解决问题检测情况分析、调查问卷、论文等　　
学校意见　　
签 名（章）&&&&&&&&&&& 2014年&&& 月&&&& 日　　
课题研究过程：　　
【文献研究】　　
&阅读书目&&&&&&& 　　
例谈数形结合在解决问题中的作用　　
威海市高区大岚寺小学车红芳　　
著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。运用好数形结合的思想可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。纵观本次全国小学数学“解决问题”专题研讨会，许多课都运用或渗透了数形结合的思想方法，帮助学生很好地理解了概念、理清了数量关系,从而收到了事半功倍的效果。下面就自己在听课过程中的所观所感略谈一二。　　　　
一、数形结合，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念。　　　　
在概念教学中，如果能够建立抽象的数学概念与形象直观的图形之间的联系，把数学概念中最本质的属性用恰当的图形演示出来，就可以丰富学生的感性材料，为建构数学概念奠定基础。　　　　
在　朱德江　老师执教的“时间、速度和路程”一课中，为了能让学生准确地理解“每分钟　80米　”这个速度的概念，老师利用课件将“表示从喜羊羊家到学校距离为　480米　” 的一条线段平均分成了6份，并解释到：“　480米　平均分成6份，每份是　80米　，也就是每分钟　80米　，这表示的是速度”。 这样通过动态的图形出示，发挥了直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，使学生形象而直观地理解了“速度”这一抽象的概念。　　　　
二、数形结合，帮助学生分析数量关系。　　　　
解决问题的落脚点是将数学问题与学生的生活经验和已有的知识进行丰富的联系，分析其间的数量关系。但限于小学生的思维特点，有时可以借助直观的图和形来引导学生进行一些操作活动，分析数量关系。　　　　
例如在“比多少的解决问题”一课中，老师在出示了表示“黄鹂只数146条”的红色纸条后，让学生根据它剪出 “表示啄木鸟比黄鹂少捉12只”的黄色纸条。在交流时，出现了以下几种情况：　　　　
黄鹂：　　　　
啄木鸟：&&& &&&&&&&&&&&&&&&生1　　　　
生 2& 　　　　
从学生的交流中可以看出，大部分学生借助纸条理解了“一个数比另一个数少”的数量关系。接下来，老师进一步引导学生比较146和12之间的大小关系，把“形的长短”和“数的大小”沟通起来，判断出只有生3的线段最符合题目要求。　　　　
由此，引导学生通过直观的图像，对条件间的关系有了清晰的认识，并通过“形”与“数”的相互对应，挖掘了数量关系，传递了数量思考。　　　　
三、数形结合，帮助学生掌握解决问题的策略。　　　　
在学生解决问题的过程中，画图不是最终目的，画图是一种策略，画图是为了更好地思维。通过画图，让学生感悟到其作为策略的价值；通过画图，让学生学会有序推理和抽象思维。　　　　
在徐斌老师执教的《解决问题的策略——倒推》一课中，老师首先从学生二年级就接触过的行走路线图入手， 利用“原路返回”的问题，帮助学生理解了“倒推”这一数学概念的本质含义，而且在潜移默化中让学生体会了倒推策略的存在。接着徐老师又步步引导，让学生将一道复杂的“倒果汁“的倒推题目转化成一道他们在一二年级就学习过的看图填数题，在解决问题的同时初步让学生意识到知道现在求原来需要用到倒推策略。最后又从一个杯子的问题引申到两个杯子、三个杯子，并放手让学生自己画图，使学生渐渐地意识到画图在倒推策略的价值。　　　　
通过此次活动，我深切地感受到：从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行渗透数形结合思想的教学，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、解决数学问题的工具，这将是我今后教学着力追求的目标。　　　　
&摘录反思&　　
本文例举的三个例子充分体现了数形结合的直观性，把抽象的概念具体化，帮助学生分析数量关系，帮助学生积累解决问题的策略。这是和小学生的认知特点相符合的，小学生思考问题需要借助具体的表象，脱离了依靠物，教师的讲解就相当于纸上谈兵。学生自己解决问题时如能学会数形结合思考问题，那么他的思维水平和数学思考的能力会有很大的提升。　　
三个例子给我提供了教学参考，让我学到了新的解决问题的教学方法，让我学到了一种数学思想，这是我们数学课堂应有的要素。我们的数学课堂应当是充满活力的、有灵性的、有生命力的。作为数学教师，我们除了教学学生知识，更重要的是培养学生的数学素养。　　
数形结合在小学数学中的教学运用　　
《数学课程标准》中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”　　
数学思想有许多，数形结合思想就是其中一种重要的思想。数形结合就是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法。它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法；可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。　　
一、渗透数形结合思想，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念　　
建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。　　
例如：二年级数学第一册中《乘法的引入》用相同的图像引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想直观、形象、生动的特点展现乘法的初始状态，懂得乘法的由来；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。二年级数学新教材第一册中通过游乐场主题图来引入乘法。在实际课堂教学中运用power point幻灯片技术展现一条船上有三人，然后依次出现这样的第二条船，第三条船，一直到第六条船，如何来表示这个场景呢？学生自然会用同数相加的方法来表示。接着，教师一边出示满是船的湖面一边提出：“如果有20条船，30条船，甚至100条船，你们怎么办呢？“学生一片哗然：哦~~！！算式太长了，本子都写不下呢。”这时，建立乘法概念水到渠成！教师归纳：可用乘法算式表示——船的条数乘以一条船的人数或者用一条船上的人数乘以船的条数。数形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。　　
由此可以看出，新教材的这个课题取得非常好，凸现了学习的过程性及数形结合在课堂教学中的重要性。教师对教材的加工，把6条小船增加到20条，30条，甚至100条船，使学生产生更为强烈的认知冲突，感悟到乘法的简便。教师引领学生边观察边数，一个3，两个3……一直到x个3，起到了强化同数连加概念的效果。其次，从学生的思维活动过程来看：在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的小船，抽象成连加算式，抽象成乘法算式，经历了由一般到特殊的思维过程。　　
教学实践证明：在教学中运用数形结合，把抽象的数学概念直观化，找到了概念的本质特征，激发了学生学习数学的兴趣,增强了学生的求新、求异意识。　　
二、渗透数形结合思想，使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理　　
小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然。数形结合，是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。如，在教学“分数乘分数”时，课始创设情境：小区铺一块绿地，每小时铺这块地的1/2，照这样计算，1/4小时能铺这块地的几分之几？在引出算式1/2×1/4后，我采用三步走的策略：第一，学生独立思考后用图来表示出1/2×1/4这个算式。第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，交流自己的想法，引领学困生。学困生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/2×1/4这个算式所表示的意义。第三，全班点评，展示、交流。　　
再如，学习“植树问题”时，先与学生们一起玩手指游戏。即出示两个手指，让学生观察，有几个手指几个间隔？“两个手指一个间隔。”接着出示三个手指，　　
让学生观察，有几个手指几个间隔？“三个手指两个间隔。”……从而得出手指数和间隔数之间的关系是：手指数＝间隔数＋1。情境引入后，出示例题：“同学们要在长30米的小路一边植树，每隔5米种一棵，两端也要种。一共需要多少棵树苗？”然后让学生分组讨论，根据自己的理解列式解答，并设法验证。汇报时，有些学生是通过画示意图，进行“实地”植树来验证；更多的学生是通过画线段图来说明。大家均验证出：在两端都种的情况下，植树的总棵数＝间隔数＋1　　
像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解了分数乘分数的算理。　　
三、渗透数形结合思想，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力　　
运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。能调动学生主动积极参与学习，能提高学生的思维能力。　　
如：下例是从二年级数学第一册的一次练习中截下的，此前，学生已经掌握“一个数的几倍是多少”和“一个数是另一个数的几倍”的知识。 　　　　
这道题的意思是：一个数减少几，另一个数减少到几才能使剩下的量是第一个量的几倍。如果没有图形只给出数量关系，对二年级学生来说比较难的，因为这是四年级知识。但是此题将图形与数量结合呈现，就大大降低了解题的难度，学生可以一边借助图形一边思考寻找解题方式。实际教学中有95%的学生做对了！而且这道题既包含了图形的表义，又揭示“倍”的含义，无形中把学生一般思维过渡到高级思维，并且训练了学生综合运用所学知识处理问题的能力。　　
这道题引发了学生的创新思路，它将学生头脑中原有的思维方式进行了更新，它的解题过程，成功地成为发动认识与构思的内在机制。　　
数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。　　
“高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”“数形结合”作为数学思想方法之一，它也是数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的，无怪乎有人认为，对于学生“不管他们将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”在小学数学教学中，学生懂得“数形结合”的数学思想方法后，对于小学数学知识的理解性记忆是非常有益的。　　
综上所述，教师要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行渗透数形结合思想的教学，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、解决数学问题的工具，这是我们数学教学着力追求的目标。　　
&摘录反思&　　
数形结合是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法；可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。它是数学几千年文化的结晶。反思自己的教学，总感觉自己的课堂少了些活力，少了些数学味，除了教教材和教知识，数学成了一门枯燥、抽象的学科。　　
通过本文的学习，我发现数形结合可以渗透在数学教学的各个内容中，只有从一开始就渗透，一开始就让学生有这样的意识，就可以提高学生学习的兴趣。解决问题需要学生综合运用所学知识灵活解决问题，数形结合是一种很好的学习策略。　　
&教学反思&数形结合&& 拓展小数的意义　　
小数，学生在实际生活中看到过，听到过，但具体表示的是什么，学生对小数的概念是模糊的。本节课，我对以往的教学做了些尝试和改变。　　
新课伊始，我便启发学生发现生活中的小数。教材从学生身边熟悉的实物入手，测量课桌的长5分米，宽4分米，启发学生再用“米”表示。教材的目的是从整数引出十进分数，再揭示小数。通过模仿、比较和观察，学生很快认识到“十分之几”就是“零点几”。教学中也不难发现，无论我怎么说十分之几，学生都能很快地说出零点几。但看似熟练的回答，实际上还是学生“依葫芦画瓢”的结果。　　
顺势的思考很难体现思维的灵活性。为了进一步沟通小数与分数之间的联系，我设计了几个环节。练习时，我故意倒过来，你能在一张正方形纸上表示出0.3吗？学生显然愣了一下，但随即也有学生很快发现了其中的“秘密”： 0.3不就是十分之三嘛，学生得意地说出了答案。此时学生的神情是骄傲和自豪的，他的回答赢得了同学们的掌声。同学们恍然大悟，零点几就是十分之几。一份一份地数下去，0.9后面满10份应该用“1”表示。　　
接着，我又转变形式，让学生尝试在线段上表示0.1。学生再次0.1、0.1地往后数，10个0.1在线段上用1表示。延长线段，1后面可以用哪些小数表示？满10个用几表示？不断地延长线段，让学生体会到这样的小数是写不完的，越往右，小数就越大。此时给线段加上箭头，就是学生熟悉的数轴。　　
通过2次数形结合，学生对小数的认识也有了质的提高，也为后面学习小数的加减法埋下了良好的伏笔。　　
数形结合，提升解决问题的有效性　　
“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。对于数学而言，思维是内在的，本质的，而语言是外在的。数学信息的出示可以是文字语言，也可以是符号语言，还可以是图像语言。对于学生而言，不仅要学会读懂这些信息，而且要学会信息之间的转换；而对于老师而言，更要注意不同语言形式在不同环境下的合理使用，使你的课堂更加精彩。“数形结合”是一种重要的数学思想方法。　　
尤其是在“解决实际问题”领域，因其文字的简要抽象，对学生的学习造成了一定的困难。教师要让学生根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。　　
在教学中，我们可以有意识地渗透和运用“数形结合”的思想和策略，从而实现教学的有效突破。　　
一、静态文字动态化，促进主动思辨　　
【问题情境】在二年级教学“简单的份总关系”时，教师试图帮助学生整体感悟它的三种变式，于是提出问题：“已知每串有6个千纸鹤，有5串，就能求什么问题？还可以知道哪两个量求什么问题？”　　
【学生困难】学生有了学习“简单部总关系实际问题”和“简单相差关系实际问题”的学习经验，一般都能在求出一共有多少个千纸鹤之后，很自然的根据其中的两个量求出第三个量，编出了另外两道相关联的问题：　　
（1）有30个千纸鹤，每串6个，有几串？　　
（2）有30个千纸鹤，有5串，每串几个？　　
基于除法学习的经验，学生对两种分法都不陌生，但因为年龄和经验的限制，对于问题的表达无法达到科学准确的程度，就像资源（2），显然少了“平均”二字就会引起歧义。怎样让学生自己想到加上平均，而且知道加上平均的理由呢？　　
日常操作中很多老师是以提示为主：“每串的个数要怎样啊？”学生自然想到要相等，教师接着追问：“怎样才能相等呢？”个别学生会想到要添上平均，于是这个问题就算解决了。这样的处理方法表面看十分自然，但随着课堂教学的推进，我们会发现，教师要不断地提醒“平均呢？”学生在同样的问题上还是会毫无感觉，照错不误，也就是我们通常所说的“学生生病，老师吃药”的奇怪现象。究其原因，我们不难发现，还是理念在作怪，学生的学习是“被告知”的过程还是“自体验”的过程？实践证明，学生通过体验获得的认识才能迅速、主动地进行建构。而教师的追问，其实替代了学生的思维过程，肢解了学生的表达过程。学生获得的都是不完整的信息，缺乏强刺激，也就缺乏有效性。　　
【有效突破】　　
那么怎样才能更好地处理这个资源呢？我们可以请图像来帮忙，让同学通过自己的观察体悟，发现问题，激起语言表达上的矛盾，从而生成准确完整的数学语言来描述问题。例如：我们可以在出示文字情境的同时呈现图像模型：（5串千纸鹤，每串都是6个）面对资源（2），可以请学生想一想，这样表达有问题吗？教师用比较夸张的肢体语言进行动态演示：（把第5串上摘掉1个，放到第一串上）。学生一看便知，还是30个千纸鹤，还是5串，但是每串不一样，便发现了问题，于是就会有学生冒出“平均”这一字眼，这时教师不急于肯定，而是再一次重心下移，请每一个学生都轻声地说一说，把正确完整的问题表达一遍。形象语言的加入，动态过程的强化，完整表达的要求，都给予学生强烈的思维冲突，不需教师任何提示，学生自然而然地进行自我辨析、自我追问和自我完善，知其然并知其所以然的学习才是真正有效的学习。　　
二、理性文字感性化，促进主动生成　　
【问题情境】在“简单份总关系实际问题”的练习课上，教师试图让学生感悟“简单部总关系”和“简单份总关系实际问题”之间的联系和区别，于是提出了这样的问题：　　
（1）高老师家有两盆花。一盆开了4朵，一盆开了3朵，一共开了多少朵？　　
（2）刘老师家也有两盆花。一盆开了4朵花，另一盆也开了4朵花，一共开了几朵花？　　
你能列式解决这两个问题吗？　　
【学生困难】在本节课之前学生已经学习了“简单部总关系”和“简单份总关系”，解决以上问题学生几乎没有问题，但是 “简单部总关系”是学生的已有经验，而“简单份总关系”刚刚接触尚不熟悉，还不能根据情境特征熟练运用，再加上第（1）题的迁移，因此学生几乎都是运用“简单部总关系”的数量关系来解决以上两个问题，也就是：（1）4+3&&&& （2）4+4　　
然而这并不是教师设计这一练习的本意，他期望学生第二题用4×2来解答，以巩固份总关系的新知识，并适时进行比较。但事已至此，老师只好尽力引导，但来得很勉强，学生也不知道为什么一定要用乘法。在此基础上，教师希望学生能够把第（2）题的叙述改一改，使它成为一道份总关系应用题。但是对于二年级的学生来说这样的逆向思维还有困难，老师花了很长时间的引导，也没能得出自己想要的资源，最后只能老师替代了。可见，在解决问题的练习设计中，教师同样不能一厢情愿，面对类似的文字情境，低年级学生容易迁移，缺乏思维的广度，不能灵活调用所学知识来灵活多元地解决问题。　　
【有效突破】　　
这时我们不妨顺应低年级学生的心理需求，以图促思，以图拓思，在图与数的结合中突破数量关系的类比和辨析。教师可以出示一幅主题图：（画两盆花，每盆4朵）　　
请学生根据图说信息，学生自然会产生两种不同的说法，自然生成两种不同的资源：　　
（1）有2盆花，每盆4朵，一共有几朵？　　
（2）一盆有4朵花，另一盆也有4朵花，一共有几朵花？　　
由此自然而然就进入了老师课前的预设，由直观到抽象，问题形式更加开放，学生思维更加活跃，学生学会从不同的角度去考虑问题，资源的生成自然会呈现多样化，课堂的气氛也就不会那么僵硬了。　　
在接下来的综合练习中，教师经常会设计填条件、补问题这样的练习。如：一盘有6个梨子，&&&&&&&&&&&&&&&& ，一共有多少个梨子？看到“一共”，学生的第一反应是“部总关系”，尚不能主动从“部总”和“份总”多角度去思考问题，因此学生的资源依然呈现单一化状态。这显然不是课前老师所预设的结果。这时，我们同样可以借助图来实现突破：出示：（2个盘子，一盘有5个梨子，另一盘是空的，在2个盘子下面画个大括号，大括号下面打个问号表示一共有多少个梨子）　　
学生根据图像信息编题目，会有很多不同的放法，通过交流，学生会发现：如果在空盘子中放的不是5个梨子，自然会编成部总关系应用题；如果在空盘子里放5个梨子，自然会编成份总关系应用题。这样，巧妙利用图形自然就形成老师所要的两种不同的资源，同时还培养了学生收集和处理信息的能力，提高了学生的思维品质。　　
三、抽象文字直观化，促进主动分析　　
1．智用视图，辅助想象　　
【问题情境】例如：某市计划建一个长240米，宽180米的市民广场，实际建广场时，长增加了20米，宽增加了15米。这个市民广场比计划面积增加了多少平方米？　　
【学生困难】学生读完题很快列出：20×15=300，因为学生从文字中只抓住20米和15米这两个数据，而对于实际增加了多少因为没有转化成具体图形，也就缺乏感性认识。由于文字的抽象性，导致学生从文字入手很难理清其中的数量关系。　　
【有效突破】　　
怎样帮助学生理解这题的数量关系呢？在教学中要发挥图形的作用，让图形在具体与抽象中起到沟通的作用，帮助学生理清数量关系，正确进行解答。教师可以引导学生画平面图自主探索，先根据题意画一个长方形，标上长240米、宽180米，表示原来的市民广场，引导学生想一想，长增加20米，宽增加15米后得到一个怎样的图形。学生一般会出现以下几种资源：　　
（只增加长）&&&&& （只增加宽）&&&&&&&&&&&& （长和宽都增加）　　
通过交流辨析，学生发现变化后仍然是一个长方形，从图中很容易就能发现增加的部分是个l形，而不是原来想象中的长方形，也就能生成解决问题的多种思路，从而顺利地解决问题。　　
2.妙转简图，巧得结果　　
【问题情境】例如：鸡和兔一共有8只，腿有22条。求鸡和兔各有多少只？　　
【学生困难】这类题目的解决方法很多，（1）列方程解答， (2)枚举法，(3)用假设法直接列式计算。但是对于小学生而言，很多方法受到了限制：（1）方程，中低年级的学生不会用；（2）枚举法，无序的枚举性必然导致枚举不全面从而找不到结果，即使找到结果也难免有碰巧的嫌疑；（3）假设法直接列式计算，这里所用到的数量关系很抽象，需要相当的想象力，学生难以理解。　　
【有效突破】　　
用怎样的方法既让低年级的学生也可以解答这古老的难题呢？其实借助于图像，问题便可迎刃而解，先画8个圆，表示8只动物，假设全是鸡，（当然也可以假设全是兔）给每个圆画2条腿，共画了16条腿。但题中是22条腿，说明有一部分鸡要变成兔，于是给一只鸡添画2条腿就成了兔，这样把3只鸡变成兔就符合题意了。从画好的图中直接可以看出，4条腿的兔是3只，2条腿的鸡有5只。这样既直观又简单的方法学生很容易掌握，而且让小学生动手画更是乐趣无穷啊。根据这个过程，再来理解假设法的算式也要容易许多，可以发现共缺22-16=6（条）腿，每只鸡变成兔缺4－2＝2（条）腿，于是6条腿可以添6÷2=3（只），也就有3只兔。　　
&摘录反思&　　
由此可见，数形结合的实质是通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系转化为适当的几何图形，从图形的结构中直观地发现数量之间存在的内在联系，来解决问题。小学生由于年龄的特点，对语言文字的理解能力有限。于是在教学过程中，我们经常要求学生认真审题，边读题，边展开积极、合理的再造想象，把题中的文字在头脑中“翻译”成一幅生动的画面，把题意通过图画的形式表达出来。在用图表达的过程中，学生对题中的数量关系有了进一步的理解，同时他们的思维能力和对文字的理解能力也得到进一步加强。　　
华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。” 的确，数形结合的思想渗透在数学教学的每一个领域，教师只有在平时的教学中扎扎实实落实“数形结合”的思想，学生才能真正做到见数思形、见形想数、以形助数、以数辅形。　　
如何运用数形结合思想提高学生解决问题的能力　　
华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”的确，数形结合的思想渗透在数学教学的每一个领域，教师必须在平时的教学中扎扎实实落实“数形结合”的思想，学生才能真正做到见数思形、见形想数、以形助数、以数辅形。　　
一、以童真唤起兴趣，营造乐学的有效教学情境。　　　　
在我们的童年的记忆中，好的动画片和童话书总会给人一种最美好的的印象，那种感觉挥之不去，抹之不灭。新课改教材里各种鲜艳逼真的情境图，各种平移、旋转、对称的美丽图案，可以让学生真切地体会到了数学的美，受到美的熏陶。　　　　
案例1 《轴对称图形》：课件的音乐声中展示： 汽车轮胎、飞机、长方形纸、正方形纸、跷跷板……　　
观察引入：“我们身边的世界缤纷多彩，每一样景物都是一幅画像，每一样图画都是艺术作品。初步感知：看到这些图案你有什么感受？这些图案各不相同，却有一个共同特征，认真观察，看谁的眼力最好，最早发现这个特征。”　　　　
再现脸谱的图片，以美丽的生活场景引入，激发学生很快进入积极的学习情感状态。初步感知昆虫、脸谱等轴对称图形的外部特点，并形成一定的表象。　　　　
同时，在教学中尽可能多地以本地生活中的事物或景物作为例子，让学生对轴对称图形的建构看得见，摸得着。教师创设的问题情景如果能深深地吸引每一个学生，孩子们就会热情参与、积极动手、踊跃发言，为后面的教学作了适当的铺设。　　　　
二、分阶段把握数形结合，制定相应的教学策略。　　　　
低段学生适宜“形→数”的直观思维，其教学大多以观察、操作等活动开始，在感知和积累了大量空间图形的具体形象及抽象化图形后，自然过渡到复杂、抽象的图形学习。　　　　
高段的学生适宜“数→形”、“数→数”的抽象思维，因其数形知识有了一定积累后，几何直观图形感知能力，逻辑思维能力已有一定程度的发展。他们在观察、分析、思考题目后，对于简单的图，不一定每次都要画出来。数量关系式、图形能用“脑图”表现出来再好不过，“脑图”才是我们最美好的追求。　　　　
案例2《平行四边形的面积》： 要将一个平行四边形切分成一个直角梯形方形核一个直角三角形，然后,再把两个图形拼在一起,拼成一个长方形。一些老师教学时都会感到困难，孩子们会觉得容易吗？　　　　
我要做的，就是将数与形的知识结合起来，降低学生的认知难度，使问题迎刃而解。对于学习有困难的学生，应视其情况，降低层次，回溯到相应的基础上再予以教学。直角梯形的面积不会做，直角三角形呢？也不会，很好！降低难度，拿一个平行四边形来，“老师，我还是不会”……太好了，直角梯形和直角三角形拼在一起，拼成长方形。是学生认识到平行四边形的面积就是拼成的长方形的面积。拼成的长方形的长就是原来平行四边形的底、宽就是原来平行四边形的高。利用长方形的面积公式“面积=长×宽”就很容易地求出“平行四边形的面积=底×高”　　
三、通过数形结合发现数的规律　　
案例3《比赛的场次》时，创设了一个生活情境：2012年女足世界杯分成4个小组，每个小组4支球队，其中中国队和新西兰、巴西、丹麦分在D组。进行单循环赛。D组一共要比赛多少场呢？学生不理解什么是单循环赛。老师让四个学生起立演示单循环赛，就是每两个球队都要进行比赛。老师再让学生用图来表示刚才演示的过程，学生把四位同学抽象成四个点，然后分别两两连线，共连了6条线，学生知道要比赛六场。老师接着提出下一个问题：六（1）班8名同学进行乒乓球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，一共要比赛多少场？学生用画图或者列表的办法去尝试解决，　　
四、利用数形结合来描述位置　　
案例4《确定位置》，是通过数对来精确刻画物体的位置的。首先让学生说一说自己的座位，学生用一长串语言来描述，如我在第一列的第五个，老师把学生的座位抽出图形，然后画出坐标图，学生就能用数对表示，即（1，5），学生充分体会到数对的精确性和简洁性。生活中还有很多用数来描述物体的位置的，如描述某城市在地球仪上的位置可以用经度和纬度，描述房屋在小区的位置可以街道号门牌号等，学生充分体验到用数对来描述位置的好处。数形结合能更好的帮助学生认识形。　　
【行为探索】　　
研究内容：　　
1、对全校学生抽样调查，了解并分析学生解决问题问题的困难和教师教学的现状。　　
2、在课堂教学中渗透“数形结合”方法的策略研究。　　
3、学生用“数形结合”方法解题的评价研究。　　
4、经验总结　　
研究方法：　　
（1）调查研究。通过观察、问卷、访谈，了解学生解决问题的困难和教师的教学现状。　　
（2）文献研究。学习相关的教学理论，了解同类课题的研究现状，为创造性研究奠定基础。　　
（3）个案研究。对解决问题较差的学生，进行个别的有针对性的辅导。　　
（4）行动研究。制定相应的培养计划和方法，运用于日常教学中，并根据教学效果，调整对策，进行深入研究。　　
（5）经验总结。根据课题实践进行经验交流、总结、提炼成果，撰写论文，形成研究报告。　　
研究过程：　　
现状分析：通过学习和分析教材，教材中涉及用线段图表示解决问题的的内容并不多见，没有单独的专题，几乎都是零星地分布在各年级的教材中，使得教学时没有系统性。学生方面，没有主动地运用数形结合的方法解决问题的意识与策略，或者有的学生根本没有这样的意识。教师方面，虽然作为成人的想法会选择恰当的画图策略，但是不知道如何引导学生，并让学生养成画图思考的习惯。　　
解决问题的现状：通过访谈和调查发现，学生觉得解决问题的内容枯燥，题目长，看不懂；解决问题不会解析，等量关系比较难找，不知道怎么列式；解决问题的程序太多，看到就怕了。教师方面：学生碰到解决问题毫无头绪，不知道从哪里入手，这点很难教授；题目讲了一遍又一遍，教得累，学得苦，会做的不讲也会，不会做的再怎么讲也不会，效果不大。　　
课堂教学中的行动：解决问题时，让学生读一读题，让学生感受一下文字叙述的繁琐，启发学生用简单的话语描述或用简单的符号表述，让学生在对比中体会画图的清楚、简便，启发学生在题目比较复杂或读不懂题目时学会数形结合，把复杂的问题简单化。解决问题的过程中，一部分学生往往找不到数量之间的关系，教会学生一些简单的符号表示某些量，让学生尝试画图表示。实践证明，一部分思维能力较差的学生比较喜欢直观的示意图，能帮助他们理解和思考，降低文字表述的理解梯度。包括一些计算公式的理解与记忆，利用图形给学生提供具体的记忆表象。　　
另外，用示意图表述题意时，还能给学生提供思考的思路，训练思维的灵活性。三年级几倍求和和几倍求差的问题解决就是典型的例子，能训练学生用多种方法解决问题。随着年龄的增加和教材文本的深入，解决问题的题目会变得复杂，有些问题必须要学生用画图的策略解决。如果在平常的教学中就有目的地渗透，那学生的思维方式就会有所改变，学生收获的将不仅是问题的解决，还有数学的思考方法，数学素养的提高。　　
平常的教学中，我们一般都是根据题意画出示意图，学生训练的正向思维比较多。可是太多这样的训练容易让学生产生思维定势。当只出现线段图，让学生用语言描述时，学生的表述却不甚理想，有的甚至还读不懂每一部分表示的意义。所以，我们可以逐步训练学生的画图意识，先学会看线段图，再学生用线段图表示题中的部分题意，随后画出完整的线段图，最后逆向思考，每一部分表示的是什么。要让学生充分感知画图策略给我们解题带来的简便性并逐步形成养成用画图策略解决问题的意识。　　
后进生的跟踪训练：解决问题对后进生来说是比较头疼的事，由于多次在解决问题中的受挫，他们已经从心理上惧怕解决问题或者对此提不起兴趣。后进生的注意很容易受到外界的干扰。辅导后进生时最好先给他们提供一个安静的环境，多创设生活种比较熟悉的情境，鼓励其先读懂题意，再自主思考，帮助其形成自己的思考模式，增加他们成功的体验，增强他们解决问题的自信心。　　
&公开课&　　
轴对称图形教学设计　　
武进区新安小学& 冯春华　　
教学内容：　　
苏教版国标本三年级数学（下册）第56——61页。　　
教学目标：　　
1.使学生初步认识轴对称图形，理解轴对称图形的和含义，并熟练判断轴对称图形。　　
2.通过观察、思考和动手操作，培养学生观察和想象能力，发展学生的空间观念。　　
3.引导学生领略轴对称图形的美妙与神奇，感受现实生活、自然世界中丰富的对称现象，激发学生的数学审美情趣。　　
教学重点：理解轴对称图形的特征。　　
教学难点：掌握辨别轴对称图形的方法。　　
教学准备：　　
多媒体课件、试一试的图形学生四人小组一份。　　
教学过程：　　
一、猜一猜——体会对称现象　　
1.春天到了，万物复苏。猜猜谁来了？（三蜻蜓按八分之一、四分之一、二分之一出示）　　
老师没有出示完整地图形，你怎么猜到的？　　
指出：仔细观察一半想象另一半，所以猜到了。（板书：观察、想象）　　
打开看看猜得对吗？　　
2.这个呢？（三叶草按八分之一、四分之一、二分之一出示）　　
你又是怎样猜到的？　　
3.你们发现蜻蜓、三叶草有什么共同的特点吗？　　
指出：像这样两边形状、大小一样的物体，我们就说它们是对称的。（板书：对称）　　
二、认识轴对称图形的特征　　
1.（出示天安门、飞机、奖杯图片）老师还带来了三样物体，把这些物体画下来就成了平面图形，看这三个图形对称吗？为什么？你有什么办法来证明？　　
2.拿出这些图形，同桌合作，把这三个图形对折并说一说：你有什么发现？　　
（1）你愿意把你的发现说一说吗？　　
预设：①这些图形对折后，两边都是一样的。哪里看出两边一样？（两边重合了）　　
②老师还带来了一个杯子（请学生对折一下），重合吗？指出没有完全重合。　　
指出：像这样不多不少全部重合在一起的，我们可以说成是完全重合。　　
（2）飞机、奖杯是不是完全重合？为什么？　　
师演示：把奖杯上下对折，你觉得呢？　　
指出：奖杯不能上下对折，只能左右对折才会完全重合。看来要完全重合，怎样折也很重要。　　
3.中间折痕所在直线，我们称它是对称轴。（板书：对称轴）　　
自己指一指其他两张图的对称轴。（课件演示）　　
4.指出：像这样，对折后能完全重合的图形是轴对称图形。（边说边电脑演示3个图形分别对折完全重合的过程，板书：轴对称图形）　　
谁能说说为什么飞机图是轴对称图形？　　
奖杯图为什么是轴对称图形？同桌互相说一说。　　
三、识别轴对称图形　　
1.试一试。（添1个普通三角形）　　
（1）同学们通过刚才的研究与学习，我们认识了一个新朋友——轴对称图形。这儿有几个平面图形，猜猜哪些是轴对称图形呢？　　
（2）要想知道对不对有什么办法验证？　　
（3）验证一下你的猜想。　　
追问：几号图形是轴对称图形？为什么？　　
2号是不是？同样是三角形为什么不是了？折一折给大家看看啊。　　
指出：看来有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是轴对称图形。要判断是否是轴对称图形，关键看什么？　　
平行四边形为什么不是轴对称图形？（让学生多角度折一折）　　
小结：看来，不管怎么折，这个平行四边形都不能完全重合，我们就说这个平行四边形不是轴对称图形。　　
正五边形：是轴对称图形，怎么对折的？（演示第一条对称轴的位置）老师还找到了第二条对称轴，看（课件演示）。你还能找到其他对称轴吗？　　
2.第1题　　
（1）在我们生活中也有很多轴对称图形。观察下面图形，哪些是轴对称图形？如果是轴对称图形，想象一下怎么对折。　　
（2）找一个你最喜欢的跟大家说一说　　
竖琴：这是什么？是不是轴对称图形？　　
钥匙：钥匙是不是轴对称图形？为什么？　　
汽车：是不是？　　
五角星：这个呢？　　
铁锚：铁锚是轴对称图形吗？　　
科技：这个标志你认识吗？是不是轴对称图形？　　
农行：这又是什么标志？是不是？　　
紫荆花：这个标志你知道吗？它是不是轴对称图形？为什么？（外面的圆对折后能完全重合，里面的花纹是不是也完全重合呢？为了看清楚我们单独把花瓣来对折一下）　　
指出：判断轴对称图形不但要看形状，还要考虑里面的图案呢。　　
3.第3题　　
轴对称图形大家已经能很准确地判断了，那你会不会画一个轴对称图形呢？你能画出下面图形的另一半，使它变成一个轴对称图形吗？　　
（1）想象一下第一幅图右边应该是什么形状？第二幅图的另一半呢？　　
（2）那就根据你的想象画一画吧。　　
（3）校对：　　
第一个：你是怎么画的？在画时你觉得最重要的是找到什么？（如回答中提到：他觉得画时最重要的是找到这个点）　　
指出：这个点就是那个点的对称点。　　
怎么来找这个对称点？　　
第二个：展示出现错误的。这个画得对吗？为什么？错在哪里？（教具演示平移后重合）他画的是平移后的另一半。　　
展示正确的。这个对吗？那画出这半边最关键的是什么？怎么找？　　
指出：画轴对称图形的另一半时，关键是先根据对称轴找准对称点，再用线连起来。　　
4.补充：补充习题第50页第4题　　
为什么这一半的图形相同，另一半的位置却不一样呢？　　
四、总结　　
今天我们一起认识课轴对称图形，你有什么收获？老师发现我们班的同学善于观察，勇于想象，发现了生活中许多的数学奥秘。　　
五、拓展　　
1.判断　　
（1）除了图形，有很多字母也是轴对称的。只看一半，想象一下这些是什么字母呢？（电脑出示：M、E、I、H、A、O）　　
（2）拼一拼这些字母组成了什么词语？　　
谈话：是啊，我们的生活是多么美好，各种各样的对称现象把我们的生活装点的如此精彩。　　
2.欣赏　　
（课件播放：动物、植物、建筑、窗花）　　
3.作用　　
同学们你们知道吗，对称还有很大的作用呢！人们把闹钟制造成对称形状保证了走时的均匀性；飞机的对称使飞机在空中保持平衡；眼睛的对称使人观看物体能够更加准确；双耳的对称能使听到的声音具有较强的立体感，确定声源的位置；双手、双脚的对称能保持人体的平衡。除此之外，人们还利用对称现象来装饰、美化环境呢！　　
4.创作　　
（1）原来对称有这么多的作用，看了这么多，你们想不想也来当一回设计师？　　
（2）自己选择材料创造一个轴对称图形。& 　　
（自己的研究课、外出听课反思、随笔都可以）　　
【研究小结】：　　
数形结合 为学生插上想象的翅膀　　
——浅议数形结合在小学数学解题中的应用　　
【摘要】数形结合是数学解题中常用的思想方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。解决问题历来是令一线教师头疼、学生痛苦的问题。解决问题充分体现了学生综合运用所学知识的能力。本文试图从直观理解、训练思维的灵活性、建立数学模型这几个角度阐述数形结合在小学数学解题中的应用。　　
【关键词】 数形结合&& 直观&& 数学模型　　
《数学课程标准》中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”　　
数学思想有许多，数形结合思想就是其中一种重要的思想。数形结合是数学解题中常用的思想方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐结合在一起的方法。实践证明，数形结合与抽象思维协同运用，和谐发展，是全面提高学生素质的重要方法之一，在数学教学中有至关重要作用和地位。 　　
一、“以形助数”，在直观中理解　　
借助图形的直观性将抽象的数学概念、运算等形象化、简单化，给学生以直观感，让学生以多种感官充分感知，在形成表象的基础上理解数学的本质，解决数学问题，形成数学思想的目的。　　
1.理解运算的意义　　
解决问题都是以正确列式计算为前提的。一部分学生常常片面地追求速度而不求质量，遇到不懂的题目就胡乱列式，不少学生解题时凭感觉做题。笔者认为，要让学生正确地列式，首先要让学生理解各种运算的意义。在担任低、中年级数学教学的这几年中，笔者发现总有一部分学生不理解乘法和除法的运算意义。特别是加法和乘法容易混淆。比如“小明每天背2个英语单词，一年（365天）一共背诵多少个单词？”有的学生看见365是个较大的数便会列除法算式；有的抓关键词“一共”列成加法算式；还有的知道用乘法，却说不上为什么。其实，他们都没有理解运算的意义。根据低年级学生的认知特点，很大程度上要依赖直观思考，特别是思维水平较低的学生，这样的文字表述给学生的理解造成了困难。　　
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如果我们换一种表达方式，从学生理解的角度出发，让学生学会用简单的图形表示：每天背2个单词可简化为&&&&& ，逐渐增加到2天, 就是&&&&&&&&& “ 2个2相加”，3天呢？从少到多，从简单到复杂，让学生理解365天记单词的个数就是365个 2，用乘法计算。这种画圈表示每份数的方法适用所有乘法计算的问题。在除法计算时则可以用画小棒的方法理解“求一个数里有几个几”。低年级的“求原来是多少的实际问题”，用线段图描述这种逆向思维的题目往往比“读题目”更容易理解。笔者认为数形结合是帮助学生特别是学困生理解运算意义的一种很好的方式。　　
2.理解抽象的题意　　
“线段图”作为理解题意的“工具”对于很多老师来说是非常熟悉的，在旧教材中或者在我们的学生时代线段图帮了我们不少的忙。而如今，利用线段图来帮助理解题意慢慢地给学生所弃用，在很多学生的心目中，“套用”是最管用的，在解题的过程中，忽视了分析题意，所以线段图在小学阶段也用得少。但是线段图作为理解抽象数量关系的形象化、视觉化的工具，我们不能忽视。　　
比如“小明家、小红家和少年宫都在太平路上。小明家离少年宫大约有5000米，小红家离少年宫大约有3000米。他们两家之间的路程大约有多少米？”初次接触这道题目时，大部分学生只有一种答案，00米。原因是他们还没有读懂题意，思考的方式过于简单。　　
如果用画线段图的方式表述题意，学生就会有疑惑：小明家、小红家和少年宫应该在什么位置？用线段图就清楚、直观地表示出两种不同的情况。直观的线段图不仅可以吸引学生的兴趣，更重要的是可以帮助他们找到数量关系：“两家在少年宫的两边，用加法；两家在少年宫的同一边，用减法。”　　
数学教学的目的是让学生养成数学品质，而体现它的手段是生活中能用数学，这就要求我们提高他们对数学的理解能力，数形结合不仅可以提高学生的理解能力，对他们如何用数学也起到示范的作用。　　
3.理解各种公式　　
在教学有关的数学公式时，如果只是让学生死记公式，这样只会将知识学死。如果学生稍微碰到有变化的图形问题，就不能灵活解决。所以笔者在教学长方形周长公式的时候，就让学生借助图形充分理解公式的含义。求长方形周长大体有三种方法：①长+宽+长+宽，②长×2+宽×2，③（长+宽）×2，通过对学生的前测，笔者发现学生对于前两种方法应用的比较多，第三种应用的比较少。还有一部分学生对于第三种方法没有形象上的认识，只是知道有这样一个公式可以求长方形的周长，知其然，而不知所以然。于是在教学时笔者结合长方形图和长方形边的特点，把一条长和一条宽归为一组，并标上颜色，通过观察，剩下的一条长和一条宽是另一组，让学生仔细观察发现这2组是完全一样的。那么长方形的周长就是2个长加宽的和。每次计算周长时，笔者也总是先让学生画出长方形，让学生借助图形理解、记忆计算周长的公式。　　
数学家华罗庚曾经说过：“人们对数学早就产生了枯燥无味、神秘难懂的印象，成因之一便是脱离实际。”数形结合的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童构建数学模式的基本方法。数形结合思想是充分利用“形”把复杂的数量关系和抽象的数学概念变得形象、直观，从而丰富了学生的表象，引发联想，探索规律，得到结论。　　
二、“以形促思”，训练思维的灵活性　　
思维品质是指一个人在思维活动中智力体质的表现，是区分一个人智力高低的重要指标。研究表明，学生良好的思维品质都是通过适当的教育，才逐步形成和培养起来的。小学数学教学，表面看是让学生理解、掌握和运用数学知识的过程，而实际上却是培养学生的思维能力，让学生形成良好思维品质的过程。学生具有良好思维品质，智力才会有较大的发展，人的潜能才会得到充分的开发。因此，培养学生良好的数学思维品质，一直也是数学教学最传统、最重要的目的。　　
运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。能调动学生主动积极参与学习，能提高学生的思维能力。　　
有这样一道题：一个数减少几，另一个数减少到几才能使剩下的量是第一个量的几倍。如果没有图形只给出数量关系，对学生来说比较难的，因为关系太抽象了。但是此题将图形与数量结合呈现，就大大降低了解题的难度，学生可以一边借助图形一边思考寻找解题方式。实际教学中有95%的学生做对了！而且这道题既包含了图形的表义，又揭示“倍”的含义，无形中把学生一般思维过渡到高级思维，并且训练了学生综合运用所学知识处理问题的能力。　　
这道题引发了学生的创新思路，它将学生头脑中原有的思维方式进行了更新，它的解题过程，成功地成为发动认识与构思的内在机制。“数”与“形”之间密不可分，它们相互转化，相辅相成。　　
三、“数形结合”，建立数学模型　　
用数学知识解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步。建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。　　
儿童的认知规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成概念的过程，表象介于感知和形成概念之间，抓住这中间环节，促使学生多角度灵活思考，大胆想象，对知识的理解逐步深化，发展学生的空间观念，具有十分重要的意义。从低年级开始，我们便可在教学中渗透借助简单的符号、图形和线段图来表示抽象的数学知识,帮助学生积累加、减、乘、除的原型。当学生看到类似的问题便能想到用哪种符号表示时，解决问题的模型便已经在学生的脑中萌生。　　
“高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”“数形结合”作为数学思想方法之一，它也是数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的，无怪乎有人认为，对于学生“不管他们将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”　　
综上所述，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。最关键一点，能使抽象枯燥的数学知识，形象化具体化，使得数学教学充满乐趣，相信巧妙地运用数形结合，一定会引导学生由怕数学变成爱数学。　　
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