《小学二年级下册数学思维训练》
岔河中心小学
《小学二年级数学思维训练》
前&&&&&&&&
亲爱的同学们：
我们学校正在开始小学数学思维训练专题的系统学习，二年级学生有了一定的计算能力和理解能力，是进行数学思维训练的最好阶段，这个阶段学生接受能力很强，正是养成良好学习习惯和学习先进方法的阶段，因此要有针对性地进行一些较复杂的数学思维能力训练，使你们能快速的形成数学思维方法。
岔河中心小学《小学二年级数学思维训练》这本书根据你们的知识结构、年龄特征、兴趣爱好选择了读一读，算一算，想一想，做一做四个板块。你们作为数学学科爱好者，做到
“法”而有“向”，“研”而有“力”，这样才能真正提高学习的效益，才能提高自己的数学素养&
，彰显数学文化的美丽和其独具的魅力。
同时编写《数学思维训练》的过程中我们注意了几点：
1、激发你们对数学学习的兴趣，遵循你们身心发展的特征，以及教育教学规律，要根据不你们的实际情况，努力让你们体验到学习数学的意义和快乐，而不仅仅是解答难题。
2、训练你们良好的数学思维习惯和思维品质。学习数学，是要发展学生的思维水平，在学习过程中培养学生会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等能力。通过数学的学习，让你们会用归纳、演绎和类比进行推理，会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点。
3、锻炼你们优良的意志品质。数学思维训练有一定深度和难度，你们在学习过程中可能会遇到一些困难，要经常鼓励和帮助你们拥有一个良好的心态，要培养自己持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气，培养你们坚韧不拔的毅力。
4、培养你们扎实的数学基本功，给予你们发挥创新精神和创造力的最大空间。数学教学提倡结合你们日常课内教学的实际，不提倡超前进度，要注重理解，举一反三和灵活运用。
5、使你们获得心理上的优势，培养自信，数学是理科的基础，学习数学对于你们进入初中后的学习物理化学都非常有好处。
岔河中心小学《小学二年级数学思维训练》对学生有着长远的实用价值，能够从根本上培养学生可持续发展的学习能力，一方面紧扣数学课程标准的要求，适应学生升学的需要，针对提高性的数学课外活动的需要，着重从解题方法、解题技巧等方面训练学生的应试能力；另一方面，注重培养学生对数学学习的兴趣、养成良好的数学学习习惯、掌握优秀的学习方法，让学生受益终生。
岔河中心小学《小学二年级数学思维训练》数学思维的无穷魅力在于：总结出规律，化繁为简、化难为易，再用规律去解决问题。
相信通过对这本书的认真学习，你会收获很多的快乐。
第1讲 八岁的高斯发现了数学定理。
德国着名大科学家高斯()出生在一个贫穷的家庭。高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误。长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。数学家们则称呼他为“数学王子”。
他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了。“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10？？”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师，答案是不是这样？”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。”他想不可能这么快就会有答案了。可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的。”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+？+n的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。
在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。
华罗庚的故事
1.为了一个国际上享有盛誉的我国数有一次，有个妇女去买棉花，华罗庚正在算一个，那个妇女说要包棉花多少钱？然而勤学的华罗庚却没有听见，就把算的答案答了一遍，那个妇女尖叫起来：“怎么这么贵？”，这时的华罗庚才知道有人来买棉花，就说了价格，那妇女便买了一包棉花走了。华罗庚正想坐下来继续算时，才发现：刚才算题目的草纸被妇女带走了。这下可急坏了华罗庚，于是不顾一切地去追，一个黄包师傅看见在国际上享有盛誉的我国现家华罗庚教授。便让他坐车（因为他们认识），终于追上了，华罗庚不好意思地说：“阿姨，请……请把草纸还给我”，那妇女生气地说：“这可是我花钱买的，可不是你送的”。华罗庚急坏了，于是他说：“要不这样吧！我花钱把它买下来”。正在华罗庚伸手掏钱之时，那妇女好像是被这孩子感动了吧！不仅没要钱还把草纸还给了华罗庚。这时的华罗庚才微微舒了中气，回家后，又计算起来……
2、唐僧师徒摘桃子
一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不长时间，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。师父唐僧问：你们每人各摘回多少个桃子？
八戒憨笑着说：师父，我来考考你。我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？
沙僧神秘地说：师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？
悟空笑眯眯地说：师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果5个5个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘多少个？
是多少呢？
数据的收集与整理
专题简析：本知识点主要学习一些简单的统计图表知识，初步体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，学会用简单的方法收集和整理数据，掌握统计数据的记录方法，并能根据统计图表的数据提出并回答简单的问题，使学生了解统计的意义和作用，初步了解统计的基本思想方法，认识统计的作用和意义，逐步形成统计观念，进而养成尊重事实、用数据说话的态度。
所要达到的教学目标：
1.在贴近生活的情境中经历简单的数据收集和整理的过程，使学生学会用调查法来收集数据，学会在分类的基础上用写“正”字的方法记录数据，认识简单的统计表，会用给定的统计表呈现和整理数据。
2.通过对数据进行简单的分析，使学生初步体会运用数据进行表达与交流的作用。
3.通过对周围现实生活中的有关事例的调查，使学生初步体会调查所得的数据的作用，培养初步的数据分析观念。
例1．请你和你的小伙伴—起合作统计一下本班同学选择课外小组的情况，并将结果填到下表中。
(1)我最喜欢(&&&
(2)喜欢(&&&
)小组的人数最多，有（&&
）人。喜欢(&&&
)小组的人数最少，有（&& ）人。
(3)选择羽毛球组的有(&&&
(4）全班一共有多少人？
(5)你对学校开展的课外小组有什么好的建议?
分析与解答：教给学生最多的画对号，最少的画错号，要求学生养成良好的学习习惯，特别是在计算的时候，求一个班的总和是有很多学生都出现错误，教师不单单要引导学生多算几遍，更重要的是让学生列出竖式。
名人名言言
沧桑话巨变&&&数据铸辉煌
练& 习& 一
学校组织过的几次体检?视力情况怎样?请你选择一年级、四年级和六年级各一个班来填写统计表。
4.9～４．７
４．６～４．３
４．２以下
(1)一年级5．0以上有(&&&
(2)六年级5．0以上有(&&&
(3)四年级4．2以下有(&&&
(4)六年级(&&&
)的人数最多。
(5)5．0的视力是正常的，低于5．0的一年级的有(&&&
)人；六年级的有(&&&
(6)从统计表中你还可以得到哪些信息?
分析与解答：教师要着重学生看明白表格的意义，特别是第一行5.0以上代表什么？第四小问，六年级一共有多少人，要求几个数相加的和。
&&&&&&&第四讲&
小资料：除号的由来
在很早很早以前，古巴比伦人就用过“倒数表”把除数表示成六十进位制的小数，通过乘以除数的倒数来做除法。
关于除法的符号，阿拉伯人曾用过两个数之间加一条短线的方法表示相除，
1631年，数学家奥特雷德也曾设想过用符号“：”表示除法，但没有推广开来。
数学上正式把目前的除号作为除法运算的符号，是瑞士数学家哈纳的功劳。哈纳在计算时，遇到把一个整数分成几份的问题，却没有恰当的符号表示这种算法。于是他把阿拉伯人表示除法的小短线和奥特雷德的除法记号“：”合二为一，哈纳用一条横线段“-”把两个圆点“：”从中间分开，产生了表示除法的新记号，就是现在的除号。
1659年，哈纳在苏黎士出版的《代数学》中，正式把现在的除号作为除法运算的符号。
专题简介：：本单元教学内容主要有：除法的初步认识、用乘法口诀求商，解决实际问题。除法的初步认识分两个层次：第一，以生活中常见的“每份同样多”的实例合活动情境，让学生建立“平均分”概念。第二，在“平均分”概念的基础上引出除法运算，说明除法算式各部分的名称。用口诀求商遵循由易到难的原则。解决问题是结合除法计算出现的。首先在除法的初步认识教学中孕伏解决问题的内容。然后在用乘法口诀求商之后编入了解决有关平均分的实际问题和需要用乘法和除法两步计算解决简单实际问题的内容。
教学中教师要注意一下几点：
1、加强学生的动手操作
本单元安排了大量的操作活动，让学生在操作活动中实现数学知识的理解。根据教科书的这一编写意图，一定要落实学生的操作活动，按照“从生动的直观，到抽象的思维”的认识规律来组织本单元的教学活动，不但重视语言直观、实物直观和模型直观，更要加强学生的实践操作活动，让学生亲历操作活动，帮助认识除法、认识倍，理解除法和倍的含义，并且在从感性到理性的认识过程中，手脑并用，发展学生做数学的能力。
根据学生的认知水平，除法的意义是通过在实际生活中将物体进行平均分的活动来体现的，倍的认识也是通过摆实物几个几来建立的。让学生主动参与具体“分”的过程，会“平均分”的意义，实现学生的认识由“感性—理性”的逐步抽象、逐步发展。教科书已经在内容设计上为加强操作、动手实验方面创造了良好条件，大量的例题和习题都需要进行操作活动，课堂活动中的习题几乎都需要进行操作，练习中也有相当部分习题要求学生进行操作。
在操作活动中，教师要充当好组织者与引导者的角色。首先，不能把操作流于形式，每位学生都必须经历每一个操作活动的全过程；其次，引导学生把直观形象与抽象概括相结合，采取边说边操作、边讨论边操作，让手、脑、口并用；第三，及时强化、及时概括，开展操作活动仅是数学学习的一种手段，而不是学习目的。因此，在操作和直观教学的基础上要及时引导学生进行抽象概括，对“平均分”、“除法的意义”、“倍”等概念的本质属性及时抽象和概括。
2、加强口算能力培养
同100以内加减法一样，表内乘除法是人们在日常生活中应用最广泛的基本计算。根据《数学课程标准》的要求，表内乘除法的口算要求达到脱口而出的熟练程度。为此，在本单元教学中我们要加强学生的口算训练，培养学生熟练地口算的能力。本单元教学中的口算训练要注意以下一些问题：
（1）让学生切实掌握用口诀求商的方法，教学时可引导学生利用表内乘法和除法之间的联系，根据具体的除法算式中除数和被除数去想相应的乘法口诀，得出正确的商。
（2）表内除法口算训练要和表内乘法口算训练结合起来进行，以此一方面两者互相促进，另一方面全面提高表内乘、除法口算能力。
（3）把解决问题与口算训练有机结合起来，让学生在具体的问题情境中强化表内乘、除法口算，以此一方面提高学生的口算能力，另一方面又让学生更好地感受乘、除法口算在实际生活中的应用。
（4）《数学课程标准》要求学生期末每分钟能正确地口算8~10道表内乘、除法口算题即可，在数学中要准确把握口算要求，不要过多地强调计算速度，要高度重视学生口算的正确率。
3、加强解决问题的教学
解决问题一方面是本单元的重要内容，另一方面又是本套教科书第一次以独立章节的形式出现运用所学数学知识解决生活中的实际问题。这部分内容在小学数学解决问题教学中具有重要的作用。教学时应高度重视这一内容，可从以下几方面去加强这一内容的教学。
（1）重视学生对数量关系的理解。教学时注意引导学生充分利用乘法、除法和倍的意义，搞清楚所要解决的问题中的几个数量之间的关系，在此基础上选择合适的算法进行计算。
（2）重视学生生活经验在解决问题中的作用。由于受学生认识水平的制约，加上本单元是学生正式学习解决问题的开始，所以在教学中不能要求学生完全抽象化地理解题中数量关系，应充分利用学生的生活经验去更好地理解题中数量关系，利用生活中的实例帮助学生在头脑里建立起所要解决的问题的课题表象，并利用这种表象去寻找解决问题的办法。
（3）规范解决问题的书写格式。作为学生正式学习解决问题的开始，教学时要注意规范学生的书写格式，如算式应写在数学问题下面的什么地方、哪些算式的得数后面要写单位名称、怎样写等都给学生作出具体的规定，并提醒学生解题时要按照这种规定办。另外，从本单元开始，凡是作为解决问题的题目，最后都写出了答语。对此，教学时，教师要注意提醒学生解决问题时要写答语，让他们掌握写答语的要求和方法，让学生养成良好的习惯。
1.猴妈妈分桃子
猴妈妈有两个孩子，一个是猴哥哥，一个是猴弟弟，猴妈妈有6个桃子，想分给这两个孩子，于是猴妈妈给了哥哥1个，给了猴弟弟5个，哥哥说：“妈妈，你分的不公平，弟弟比我的多。”这时，猴妈妈笑着又从猴弟弟的5个桃子里那走了1个给了哥哥，可猴哥哥还是说妈妈不公平，弟弟的比我的多，于是猴妈妈又从弟弟的4个桃子里又拿走了一个个了哥哥，这时，哥哥高兴地说：“妈妈，这次就公平了。”
& 2. 小猪分桃
水果店新进了一些桃，小猪看了馋得直流口水。猪爸爸说：“我来考你一道题，如果答对了，就给你吃桃子。”小猪迫不及待地说：“赶快出题吧！”
著爸爸想了想说道：“有一些桃子平均分给9个人多1个，平均分给8个人也多1个，这些桃子至少有多少个？”小猪灵机一动说：“爸爸，这些桃子至少有73个。”“嗯，你是如何想到的呀？”著爸爸反问道。
小猪响亮地回答：“我是这样想的，可以平均分给9个人，又能平均分给8个人，那一定是8&9=72（个），但是又多了1个，所以至少是72+1=73（个）。”
猪爸爸听了，点了点头说：“答对了，以后也要多动脑，勤思考，桃子拿去。”小猪美滋滋地接过桃子大口吃了起来。
3.巧算珠子个数
数学课上，大象老师给小动物们出了这样一道题：把2个白珠子和3个黑珠子重复穿起来，请你算一算，40颗珠子里有多少颗白珠子。
大象老师刚说完，小动物们就议论起来。
跳跳候说：“通过观察上图，我发现这些珠子是按2颗白珠子和3颗黑珠子为一组重复排列的，也就是每5颗珠子为一组。”
哼哼猪听完跳跳候的话想了想，说道：“要求40颗珠子里有多少颗白珠子，首先必须求出40颗珠子里有几组这样的5颗，用除法计算，列式为405.在求商时，我们可以用想乘法算除法的方法，想5乘几得40，根据乘法口诀五八四十，得出40&5=8（组）。”
小白兔接着说道：“每组有2颗白珠子，有几组就有几个2，用乘法计算，列式为28.在求积时，想乘法口诀二八十六，可以得出2&8=16（颗）。”
大象老师听完小动物的发言高兴地点了点头。
例题1：有16个小朋友一起去公园里玩，他们先去玩“旋转飞轮”．座舱里让坐4人，16个人每个人都玩一次“旋转飞轮”，需要几次？然后他们又去了“冒险岛”，在一条小河上一条小船，船上一次可以坐4人，这16个朋友全部到河对岸，需要几次？
分析与解答：1、16&4＝4（次）
答：16个人每个人都玩一次“旋转飞 轮”，需要4次．
2、16&4＝4（次）3&4＝12（人）　16－12＝4（人）　4＋1＝5（次）
答：这16个小朋友全部到河对岸，需要5次．
例题2：23页例题三
15只蚕宝宝，平均放在3个纸盒里，每个纸盒放几只？
15只蚕宝宝，每个纸盒放5只，要用几个纸盒？
分析：用平均分的两种方法解决实际问题，并画出示意图。
2个笼子，每个笼子装4只兔子，一共有多少只兔子？
8只兔子，每个笼子装4只，需要几个笼子？
8只兔子，装在两个笼子里，一个笼子装3只，另一个笼子装几只？
分析：能运用四则运算解决简单的实际问题，体会什么时候用加法，只有平均分的时候用除法
练习题：（探究拓展能力强化训练与应用综合能力的养成）
1.35名同学在操场上做游戏，可以每4个人分一组，也可以每5个人分一组，怎样安排没有剩余?&&&
2.　12个小朋友进行乒乓球比赛，每3人发给4个乒乓球，一共需要多少个乒乓球?
3、(信息题)一天中午正在下着大雨，明明问菲菲：&
“再过36小时太阳会不会出来?’’菲菲说：“那可说不定。”明明说：“我可以肯定，再过36个小时太阳一定不会出来。”小朋友，你们认为谁说得对?为什么?
思维拓展：《连一连 剪一剪》
【典型例题】
【例1】一根绳子长8米，把它剪成2米长的小段，可剪多少段？要剪多少次？
方法点播：
两根绳子连起来只要打一个结，两根绳子结成一个圆需要打两个结，一根绳子剪4次被剪成了5段等等，这是日常生活中的比较特殊的问题。如果要想做好这类题要多动脑筋，多动笔画画，才能找到正确答案。
这组练习都是有关绳子打结和剪绳子的事。给绳子打结如果不结成一个圆，打结的次数比绳子的根数少1；如果结成一个圆，打结的次数与绳子的根数同样多。同样，如果剪绳子，剪成的段数比剪的次数多1。掌握了这些内在的关系，解答这类问题就很方便了。
（1）一根木料长10米，木工把它锯成2米长的小段，可以锯成多少段？要锯几次？
（2）把一根6米长的电线，剪了2次，平均每段长多少米？
(3)一根8米长的绳子，剪了3次，平均每段长多少米？
（1）一根9米长的绳子，剪了2次，平均每段长多少米？
（2）一根绳子剪了2次后，平均每段长5厘米，这根绳子原来长多少厘米？
第5讲& 图形的运动
专题简介：
本单元包括三部分内容：认识轴对称、平移和旋转、剪一剪等。这些内容都是学习空间与图形知识的必要基础，对于帮助学生建立空间观念，培养学生的空间想象能力都有着不可忽视的作用。教师应该充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题，了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性。
单元教学目标：
借助日常生活中的对称现象，通过观察、操作,使学生直观认识轴对称图形，能辨别轴对称图形。
借助日常生活中的平移现象，通过观察、操作，使学生初步理解图形的评议，能辨认简单图形平移后的图形。
借助日常生活中的旋转现象，通过观察、操作，使学生初步理解旋转。
使学生能够用轴对称图形的知识解决简单的实际问题。
使学生感受到图形运动在生活中的应用，体会到数学与现实生活的密切联系，感受数学美。
故事引领：
故事一:动物城
有一天，一只蝴蝶在动物城的花丛里飞来飞去，一只小蜻蜓飞过来，说:"小蜻蜓，咱们一起玩吧。"小蝴蝶说:"我是蝴蝶，你是蜻蜓，怎么能在一起玩呢?"小蜻蜓说:"在图形王国里，我们就是一家的，另外还有许多家庭成员呢?不信，我领你去看......"一路上，蝴蝶看到了许多美丽的景色，还看见了许多动物:有美丽的孔雀,知了,七星瓢虫......
小朋友们，它们美吗?你觉得它们哪儿美呢?&&&
此故事是关于轴对称图形的。
故事二：奇妙的对称图
这几天，懒羊羊发现美羊羊画出的图形都是一连串的，非常的漂亮，也非常的羡慕，羡慕美羊羊的心灵手巧。
&今天特地来向美羊羊讨教画相同图的画法。美羊羊知道了懒羊羊来意以后，随手拿了一张纸，对折了一下，用彩笔靠近折痕边慢慢画着，接着用剪刀沿着画的痕迹，剪着剪着，一个漂亮的星星出现在懒羊羊面前。
&“太神奇了。”懒羊羊惊叹道，“你刚才就只画了半边，剪下来的就是整个星星了呀！”
“这种沿着中间的这道折痕正好左右两边完全重合的图形，我们把它叫做轴对称图形。这条折痕所在的直线就是这个星星图的对称轴。”美羊羊看着满脸惊喜的懒羊羊说，“你给我半个星星，我不对折，还也能把它的另一半也画出来呢!”
“那要是能掌握这样的本领，那可以真是太牛了！你画给看看！”懒羊羊越来越佩服美羊羊了。
“为了方便画图，我首先把这半个星星的放在一个方格图中。”美羊羊迅速在一张白纸上画出了方格图和半个星星，见图1。
“先找到星星的关键点，以这个A点为例（图2）。这个点在这个对称轴的左边，距离对称轴只有一个格子的距离。那么我就在对称轴的右边，距离一格的地方也点上一个点。这个点就是刚才这个A点的对称点（图3）。”美羊羊非常有耐心地向懒羊羊讲述着过程，“剩下的点，你能找到吗？”美羊羊给懒羊羊出难题了。
“没有问题，你看我的。”懒羊羊不假思索地说。
懒羊羊嘴里嘀咕着：“先找到这个关键点，然后数出这个关键点到对称轴的距离，接着在对称轴的另一边同样的位置数出同样的距离，就找到这个关键点的对称点了。”很快懒羊羊就找到了所有关键点的对称点，按照原来图，连接起所有的对称点，一个漂亮的星星图跃然纸上（图4）。
“你真是太棒了！”美羊羊冲着懒羊羊竖起了大拇指。
“都是你的方法好！”懒羊羊不好意思的笑了起来，脸上还带着一些自豪。
例题：下面哪幅图是由图（1）平移得到的？写在&&&&&&&
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（5）&&& （6）
分析：能辨认简单图形平移之后的图形，平移方向、大小均不发生改变，改变的仅仅是位置。
小故事：猪八戒新传&& 蜜桃方阵
八戒不知从哪儿采来一些大蜜桃，他对悟空说：“猴哥，替我看着点，我再去采一些回来。”八戒刚要离开，心里一琢磨，不行，猴头最爱吃桃，如果他趁我不在偷吃几个怎么办？他灵机一动，把采来的蜜桃摆成一个正方形。八戒说：“我摆的这个方阵，每边都有5个桃子，猴哥，你给我好好看着，少了可不成。”&&&&
悟空笑着对八戒摆摆手：“放心吧!保证每边5个桃子，绝不会少。”没过一会儿，八戒又采来几串野葡萄，他刚要递给悟空，却瞧着蜜桃方阵愣了起来。&&&
八戒问：“猴哥，这桃子好像少了许多？”“没有的事!”悟空把眼睛一瞪，“你数一数，每边是不是5个!”八戒一数，每边仍然是5桃子。&&&
悟空一本正经地说：“我闲为无事，把它们重新摆了摆，个数不少，你快去采果子吧!”说完从八戒手中接过野葡萄，八戒半信半疑，转身走了。&&&
八戒走远了，悟空捂着嘴“哧哧”暗笑：“真是个呆子，原来的摆法有16个桃子，我这么一变动就剩下12个桃子了。”说着他从衣袋里掏出那4个桃子看了看，又从方阵中拿出2只桃子，一起藏了起来。&&&
眨眼间，八戒背回一口袋野山梨。他简直不敢相信自己的眼睛：“怎么，桃子就剩下这么几个啦？”&&&
“不少，不少!”悟空指着桃子说，“每边5个，你自己数嘛!”&&&
八戒一数，每边确实是5个桃子。八戒拍着脑袋心想：这是怎么搞的？
如果你想学会游泳，你必须下水；如果想成
为解题能手，你必须解题&——波利亚
第6讲& 混合运算
数学故事（一）
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“+”、“－”的来历
&“+”、“－”出现于中世纪。据说，当时酒商在售出酒后，曾用横线标出酒桶里的存酒，而当桶里的酒又增加时，便用竖线条把原来画的横线划掉。于是就出现用来表示减少的“－”和用来表示增加的“+”。1489年，德国数学家魏德曼在他的著作中首先使用“+”、“－”表示剩余和不足，1514年荷兰数学家赫克把它用作代数运算符号。后来又经过法国数学家韦达的宣传和提倡，才开始普及，直到1630年，才得到大家的公认。
数学课上，数学教师对一位学生说：“你怎么连减法都不会？例如，你家里有十个苹果，被你吃了四个，结果是多少呢？”
这个学生沮丧地说道：“结果是挨了十下屁股！
从左往右&& 依次计算
小候力力是动物学校二（6）班的学生，它是一个调皮好动的小家伙，上课的时候总是东张西望，所以经常闹出一些笑话。
今天数学课上，斑马吉吉老师打开了力力的作业本，力力很得意，以为老师要表扬它呢！吉吉老师看出了力力的心思，于是笑着请力力上来介绍一下自己是如何计算24&3&2的，力力抬起头自豪地说道：“我先用二三的六这句口诀算出3&2=6，再算24&6，用四六二十四这句口诀算出商是4。”小动物们一听，个个笑得前仰后合，力力感到很奇怪。
这时，吉吉老师请班长小兔米米来告诉力力，大家为什么会笑它。只见小兔米米来到黑板前，拿起粉笔，边写边讲：“24&3&2是一道乘除混合运算的题目，它和加减混合运算的计算法则是一样的，都应该从左往右依次计算，而不是先算乘法，再算除法，所以我们应该先算24&3=8，再算8&2=16.还有连乘、连除的算式，计算时都要按照从左往右的顺序依次计算。”小动物们为米米鼓起掌来，吉吉老师笑着对力力说：“力力，你现在明白了吗？”力力羞愧地点点头。
数学故事（二）：
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括号是谁发明的
括号是一种运算符号，它的作用在于表明运算的顺序。小括号“（&
）”是17世纪荷兰数学家吉拉特开始使用的。之前法国数学家韦达使用过中括号“〔&&&
〕”和大括号“｛& ｝”，但这些符号到了18世纪才被广泛使用。
神奇的小括号
森林小学的小动物们做混合运算时常出错，大象老师特地上了一节练习课，帮大家解决难题。
大象老师首先给大家出了一道题。
俏皮狗摘了20个苹果，哼哼猪摘了16个苹果，它们把摘得的苹果平均分给4个小朋友，每个小朋友分得几个苹果？
20+16&4&&&&&&&&&&&&&&&&&
（20+16）&4
20+4&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
=24(个)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
笨笨熊的算法&&&&&&&&&&&&&&
乖乖兔的算法
看了笨笨熊和乖乖兔的算法，大象老师让它们分别说一说自己的想法。笨笨熊说：“我是先算它们两个一共摘了多少个苹果，然后再除以4，就是每个小朋友分得的苹果的个数。”乖乖兔看了看笨笨熊的算式说：“笨笨熊的算式是错误的，要算出它们两个一共摘了多少个苹果，应先算加法，然后除以4，才能算出每个小朋友分得的苹果的个数。我的算法中加了一个小括号，有了这个神奇的小括号，它就能改变运算的顺序。我们才能先算20+16=36，再算36&4=9，这样得到每个小朋友分得9个苹果。”
大象老师听了点点头说：“在进行四则混合运算时，要先确定运算顺序再计算，才能保证计算正确。在一个算式里，小括号能改变运算的顺序，因为如果有小括号，就要先算小括号里面的，再算小括号外面的。”
纯粹数学，就其本质而言，是逻辑
思想的诗篇。&& ——爱因斯坦
第七讲&& 有余数除法
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韩信是我国汉代著名的大将，他统计士兵数目时有个独特的方法，后人称为“韩信点兵”。他的方法是这样的：部队集合齐后，他让士兵按1、2、3——1、2、3、4、5——1、2、3、4、5、6、7报三次数，然后把每次的余数再报告给他，他便知道部队的实际人数和缺席人数。他的这种计算方法历史上还称为“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”，外国人则叫“中国剩余定理”。有人用一道诗概括了这个问题的解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。这意思就是，第一次余数乘70，第二次余数乘21，第三次余数乘15，把这三次运算的结果加起来，再除以105，所得的除不尽的余数便是所求之数（即总数）。例如，如果3个3个地报数余1，5个5个地报数余2，7个7个地报数余3，则总人数为52。算式如下：
1&70+2&21+3&15=157
157&105=1……52
下边给同学们出一道题，请用“韩信点兵法”算一算。
小红暑假期间帮张二审放鸭子，她总也算不清一共有多少只鸭子。她先是3只3只地数，结果剩2只；她又5只5只地数，结果剩4只；她又7只7只地数一遍，结果剩6只。她算来算去还是算不清一共有多少只鸭子。小朋友，请你帮小红算一下，张二审至少喂养了多少只鸭子？
明明和爸爸的年龄加在一起是40岁，爸爸的年龄是明明年龄的4倍，明明几岁？爸爸几岁？
讲明明的年龄看作1份，爸爸的年龄就有4份，爸爸与明明的年龄和40岁就对应着5份，一份就是明明的年龄，也就等于40&5=8（岁），爸爸的年龄等于8&4=32（岁）。
　我的一位数学老师，有一次，我的一个同学问他一道数学题，他一看，挺简单，于是大怒，说道："你这个笨蛋，这道题不就这么这么这么作....."
又换了一次，该同学找了一道据难的问题问他，他一看，然后似乎进入了思考状态，然后开始踱步思考，然后开始向教室外踱去，然后就消失了。
森林小课堂
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——余数要比除数小
大象老师在数学课上出了这样一道题：一个数除以8，商和余数相等，那么这数最大是多少？
笨笨狗看了题高兴地站了起来，说：“大象老师，这个数应该是45 ，因为45&8=5……5，商和余数相等。”
小狐狸麦克站起来大声地说：“不对，不对！题目中是求这个数最大是多少。因为81&8=9……9，所以这个数应该是81。”小狐狸麦克的话音刚落，机灵候站起来说：“麦克，你忽略了一点，余数要比除数小……”小狐狸麦克恍然大悟道：“那么这个余数最大是7，由于商和余数相等，所以商也是7，这时这个数应该是8&7=56，56+7=63。”
同学们，你们觉得麦克说得对吗？快来分析一下吧！
余数是个调皮的孩子。在平均分的过程中，如果正好分完，余数就会穿上“隐形衣”；如果有剩余，我们就要根据实际情况对余数灵活处理。例如：有42箱水果，一次最多运8箱，至少要运几次才能运完？列式为：42&8=5（次）……2（箱），这时余下的2箱也要运走，所以至少要运6次。又如：有65米布料，做一套衣服用布7米，最多能做几套这样的衣服？列式：65&7=9（套）……2（米），这时余下的2米不够再做一套衣服，因此最多能做9套。小朋友，只要你好好利用余数的特点，调皮的余数也会称为你的学习的好帮手。
数学教授搭乘火车旅行，列车长前来查票时，他竟找不到票。数学教授急得满头大汗，列车长说：找不到就算了，再补张票好了。数学教授：这怎么可以，找不到那张票，我就不知道我要去哪里啊！
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&&&&&&&趣味数学
方法点播：
在日常生活中，常常要乘车或坐船。在乘车、坐船活动中，有很多数学题，做这些题，如果光凭计算，有时就会产生错误。一定要认真审题，全面考虑各种情况。
解答日常生活中的一些有趣问题，一定要从生活实际出发，充分运用学过的数学知识，使求出的问题合乎实际情况。有时可以先假设一个结论，然后对照所给的条件，找到符合所有条件的结果。
【典型例题】
&【例1】25个人要过一条河，只有一条船，每次只能坐5个人，至少要渡几次，才能使大家全部过河？
（1）33个小朋友要坐船过河，河边只有一条小船，船上每次只能坐5人，至少几次才能使大家全部过河？
（2）51个人要过一条河，只有一条船，每次只能载6人，至少要渡几次，才能使大家全部过河？
【例2】25人要去参观展览，有两种车，一种是面包车，每辆可乘8人，另一种是小轿车，每辆可乘3人，可怎样派车？哪种方案最好？
（1）一个旅游团共有62人，现在有两种车，面包车每辆最多坐10人，小轿车每辆最多坐3人，问应派几辆面包车几辆小轿车能一次把他们送到火车站？
（2）一个人用一只小船过河，他带了三样东西，一只狗、一只鸡、一篮青菜。他每次只能带一样东西过河，而且没人的时候狗会吃鸡，鸡会吃菜。这个人应该怎样过河才能保证三样东西都完整？
【例3】食堂李师傅洗碗，王师傅问他：“今天你洗了多少个碗？”李师傅说：“20人吃饭，每人用1个饭碗，平均2个人共用1个菜碗，4个人共用1个汤碗。”你说他洗了多少个碗？
（1）食堂王师傅正在洗碗，丁师傅问他：“今天中午用了几个碗？”他说：“12个人吃饭，每人用1个饭碗，平均2个人共用1个菜碗，4个人共用1个汤碗。”请你算一算，中午一共用了几个碗？
（2）小朋友吃饭，每人1个饭碗，2人1个菜碗，3人1个汤碗，一共需要11个碗，请你算一算，吃饭的究竟有多少个小朋友？
【例4】一个大信封里面放5个中等的信封，每个中等的信封里又放6个小信封，请算出一共有多少个信封？
（1）有1只大盒子，每只大盒子内装有4只中盒子，每个中盒子内装有4只小盒子，大、中、小盒共有多少只？
（2）李大爷家养了6只兔子，其中有2只是黑兔，4只是白兔，每只黑兔又生了5只小兔，李大爷家现在一共有多少只兔子？
【例5】奶奶买回不到20块糖，3块3块地数还余2块，5块5块地数还余2块。问奶奶到底买回多少块糖？
同学们春游，把他们分成5人一组，8人一组都刚好没有剩余。这批学生至少有多少人？
【课后巩固】
1、19名战士要过河，只有一条船，每只船上只能坐4名战士，至少要渡几次，才能使全体战士过河？
一个大和尚带着两个小和尚去河对岸的寺院，河上没有桥，他们又都不会游泳。为了过河，他们找来一只空船，船最多载重50千克，而大和尚正好重50千克，两个小和尚各重25千克。问：他们怎样才能全部过河？
3、 6个人吃饭，每人1个饭碗，两人1个菜碗，3个人1个汤碗，一共需要几个碗？
4、 1个大盒子里装有4个中盒子，每个中盒子又有6个小盒子，请算出一共有多少个盒子？
5、 一箱苹果不到40个，5个5个地数还多3个，6个6个地数还多3个，这箱苹果有多少个？
自然这一巨著是用数学符号写成的。——伽里略
第八讲& 万以内数的认识
历史上早期的阿拉伯计数法不使用“0”占位，而是用数学上方的点表示这个数字所在的数位。如一个点“.”表示十位上的数，两个点“.
.”表示百位上的数……
组成三位数的三个数字互相不同，并且三个数字之和是6，这样的三位数一共有几个？
答案&& 三个互不相同的数字之和是6的算式是：
6=1+2+3，或6=5+1+0或6=4+2+0。
6=1+2+3时，组成的三位数有6个：321、312、231、213、123、132；
6=5+1+0时，组成的三位数有4个：510、501、105、150；
6=4+2+0时，组成的三位数有4个：420、402、240、204。
所以，这样的三位数共有: 6+4+4=14(个)。
小华参加摩托车比赛，参加的选手与比赛场次一样多，任何两个选手只在一次比赛中相遇，每次比赛出场四人，问共有多少人参加。
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罗马数字中为什么没有“0”
在5世纪的时候，0已经从东方传到了罗马，当时的罗马教皇非常保守，认为用罗马数字表示任何数已经足够用了，就是令禁止使用0。
有一次，一位罗马学者的手册中记载了关于0的介绍，说明古代巴比伦人用空格代替0很不方便，而印度人发明的0却非常实用。手册中还记载了一些关于0的用法。
这本手册不知如何被罗马教皇看到了，他大发雷霆，召见了那位学者，宣称道：“神圣的罗马数字是上帝创造的十全十美的数字，不如许0这个邪物加进来，弄污了神圣的数！”
教皇硬说对0的记载侮辱了数，对这位学者实行了残酷的刑罚，使他再也不能握笔写字了。
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一个四位数，它的百位上的数是千位上的数的4倍，十位上的数是千位上数的3倍，各位上的数是千位上数的2倍，这个数可能是多少？
假设推理法，设千位数是1，则由题意可得这个数是1432，若千位数是2，则这个数是2864。
星期天，小狗买了两张电影票，立刻打电话给小猫：“今天下午2时，请你到儿童电影院看电影，我在座位上等你。”
“好，你在几排几座？”小猫高兴地说。
小狗马上说：“我的座位在你的旁边。你的排数，十位数字减去个位数字等于十位数等于十位数字；你的座号，十位数字加上个位数字等于十位数字乘个位数字，你记住几排几座了吗？”
小朋友，你知道小猫的座位是几排几座吗？
先看座位排数是两位数，“十位数字减个位数字等于十位数字除以个位数字”，只有4－2=4&2，可知排数的十位数字是4，个位数字是2，排数是：4&10+2=42。座号，“十位数字加个位数字等于十位数字乘个位数字”，只有2+2=2&2，说明座号的十位数字和个位数字都是2，座号是2&10+2=22。因此小猫的座号是42排22座。
我解决过的每一个问题都成为日后用以解
决其他问题的法则。——笛卡尔
第9讲&& 克和千克
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小白兔过桥
小白兔挑着一担白菜来的独木桥边。桥边的牌子上写着：最大负重20千克。小白兔想：我挑的白菜正好20千克，于是就高高兴兴地走上桥去。到了桥中心，只听“咔嚓”一声，桥断了。在大白鹅救起它后，小白兔埋怨牌子骗了它。小朋友，你说牌子骗了小白兔吗？
原来，小白兔忘记了自己的重量，白菜的重量加上小白兔自身的重量已经超过了20千克。
食品柜中的大、中、小三种瓶子都装着果汁，每只小瓶装1千克，每只大瓶装的是中瓶的2倍，1只中瓶装的是小瓶的3倍，食品柜有三层，每层装的果汁的总重量相等，这只食品柜每层各装了多少千克果汁？
解析：第一层有4只小瓶和3只中瓶，可以推出4只小瓶装果汁1&4=4（千克），1只中瓶装果汁3千克，3只中瓶装果汁3&3=9（千克），第一层共装果汁9+4=13（千克），又知“每层装的果汁重量相等”，可知这个食品柜每层都装了13千克果汁。
类型突破：1千克棉花和1千克铁比较，哪个重一点？
根据日常生活经验，体积同样大的铁比棉花重的多，所以同学们会误认为铁总比棉花重，但题中告诉了棉花和铁都是1千克，所以它们一样重。
一只大白兔和（&&&
）只鸭子一样重。
第九单元& 数学广角——推理
&利用对话巧推理
新学期，学校来了三位老师：王老师、张老师和李老师。这三位老师分别教数学、语文和音乐。同学们对这三位老师充满了好奇感，班长高歌故弄玄虚地说：“让我们一起揭开三位老师的神秘面纱吧！我刚才在办公室门口听到三位老师的3句对话：王老师不教语文；张老师和数学老师是同学；李老师是教音乐的。大家讨论一下，三位老师分别教什么？”
有些人认为“8”是个吉利的数字，所以他们得到的东西的数量，都希望用“8”表示才好。现在有200块糖，要分给5个小朋友，请你帮忙想一个吉利的分糖方案，用5个数相加的形式表示出来。
200的个位数字是0，要使5个数的和为200，这5个数的个位都是8，5&8=40，200-40=160，还差160，160可以分成2个80，所
以只要2个人每人再分80块就可以了。200=8+8+8+88+88。
找& 规& 律
专题简介：
观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；
2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；
3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；
4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
趣味数学: 某人先向正北走32km，再向正南走36km，问以下哪些可能是正确的
①他离出发点4km②他离出发点大于48km③他离出发点68km④他离出发点小于4km⑤他离出发点大于4km小于68km
答：1，3，5
例1：先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（&&&
），16，19
分析：在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：
10+3=13或16－3=13
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（&&&
），22，26
（2）3，6，9，12，（&&&
），18，21
（3）33，28，23，（&&&
），13，（&&&
（4）55，49，43，（&&&
），31，（&&&
（5）3，6，12，（&&&
），48，（&&&
（6）2，6，18，（&&&
），162，（&&& ）
（7）128，64，32，（&&&
），8，（&&& ），2
（8）19，3，17，3，15，3，（&&&
例2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
1，2，4，7，（&&&
），16，22
分析：在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。
经验证，所填的数是正确的。
应填的数为：7+4=11或16-5=11
先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）10，11，13，16，20，（&&&
（2）1，4，9，16，25，（&&&
），49，64
（3）3，2，5，2，7，2，（&&&
（4）53，44，36，29，（&&&
），18，（&&&
），11，9，8
（5）81，64，49，36，（&&&
），16，（&&&
），4，1，0
（6）28，1，26，1，24，1，（&&&
（7）30，2，26，2，22，2，（&&&
（8）1，6，4，8，7，10，（&&&
），13，14
例3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
23，4，20，6，17，8，（&&&
），11，12
在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数……依此规律，8后面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：8+2=10
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）1，6，5，10，9，14，13，（&&&
），（&&& ）
（2）13，2，15，4，17，6，（&&&
），（&&& ）
（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（&&
），（&& ），18，14
（4）21，2，19，5，17，8，（&&
），（&& ）
（5）32，20，29，18，26，16，（&&
），（&& ），20，12
（6）2，9，6，10，18，11，54，（&&
），（&& ），13，486
（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（&&
），（&& ）
（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（&&
），（&& ）
例4：在数列1，1，2，3，5，8，13，（&&
），34，55……中，括号里应填什么数？
分析：经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：
8+13=21或34－13=21
上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，2，4，6，10，16，（&&
），（&& ）
（2）34，21，13，8，5，（&&
），2，（&& ）
（3）0，1，3，8，21，（&& ），144
（4）3，7，15，31，63，（&&
），（&& ）
（5）33，17，9，5，3，（&& ）
（6）0，1，4，15，56，（&& ）
（7）1，3，6，8，16，18，（&&
），（&& ），76，78
（8）0，1，2，4，7，12，20，（ &&）
例5：下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（8，4） （5，7） （10，2） （□，9）
经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律，□里所填的数应为：12－9=3
下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（1）（6，9） （7，8） （10，5） （□，）
（2）（1，24） （2，12） （3，8） （4，□）
（3）（18，17） （14，10） （10，1） （□，5）
（4）（2，3） （5，9） （7，13） （9，□）
（5）（2，3） （5，7） （7，10） （10，□）
（6）（64，62） （48，46） （29，27） （15，□）
（7）（100，50） （86，43） （64，32） （□，21）
（8）（8，6） （16，3） （24，2） （12，□）
最聪明的人是最不愿浪费时间的人。
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动手画一画，试一试，一起来切西瓜
1、一块圆烧饼，竖直切两刀最多能切成几块？切3刀最多能切成几块？&&
2、一个西瓜，竖直切3刀，最多能切几块？竖直切4刀呢？&&
3、妈妈买来一只蛋糕，让明明切成8块，最少要切几刀？&&
4、将一个西瓜切4刀，把它切成9块，而吃完以后有10块西瓜皮，应该怎么切？&&
5、将一个西瓜竖直切两刀，有几种切法？最多能切成几块？
6、将一个蛋糕切成11块，最少要切几刀？
7、一个苹果怎样切才能切成9块？
8、小明过生日，妈妈为他买了一个生日蛋糕，小明要把它切成12块，想一想，小明最少要切几刀？怎样切？
9、有35颗糖，按淘气—笑笑—丁丁—冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？
10、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？&&
11、30名学生报名参加美术小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？
二年级奥数(移多补少)
1、小明有16个贝壳,小红有12个贝壳.小明给小红几个贝壳,两人贝壳个数就会同样多?
2、小红有10枝钢笔，小明有6枝铅笔，小红给小明几枝铅笔，两个的铅笔枝数就会同样多？
3、二（1）班第一队有28人，第二队有36人，怎样调整，两队人数同样多？
4、甲筐比乙筐多10棵白菜，从甲筐拿几棵到乙筐，甲乙两筐的白菜棵数同样多？
5、文文和飞飞各有一些画片，飞飞给文文3张后，两人画片同样多，原来飞飞比文文多几张？
&6、小华给小强2枝铅笔，两人铅笔枝数同样多，原来小华比小强多几枝铅笔？
7、二（1）班有60名小朋友排队做操，第一队调4人到第二队，两队人数同样多，原来第一队比第二队多几人？
8、肖肖有8根小棒，肖肖给飞飞2根后两人小棒数一样多，飞飞原来有几根小棒？
9、哥哥有22张邮票，他给弟弟4张后，两人的邮票同样多，弟弟原来有几张邮票？
10、小红有10张画片，她给小明2张后，两人的画片同样多，小明原来有几张画片？
11、小英做了15朵纸花，她给小明3朵后，两人纸花的朵数一样，小明原来做了多少朵？
12、甲借3本书给乙后，两人书的本数同样多，这时乙有12本书，问甲原来有几本书？
13、同4个同样的杯子装水，水面高度分别为6厘米、9厘米、5厘米、8厘米。这4个杯子里水面的平均高度是多少厘米？
14、有3个同样的杯子装水，水面的高度分别为10厘米、15厘米、8厘米。这3个杯子里水面的平均高度是多少厘米？
15、小红1~4单元的数学测试成绩分别是90分、96分、92分、98分，求小红平均每次数学测验得多少分？
16、王丽期中测试英语和数学共得186分，语文得了96分，这三门的平均成绩是多少分？
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