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第三方登录：[学者笔谈]乐经良：数学让我们学会如何思考[图]-上海交通大学
[学者笔谈]乐经良：数学让我们学会如何思考[图]
&&& [编者按] 继2011年上半年推出“身边的感动”系列报道受到广泛好评后，从2011年10月起，我们推出了新栏目“学者笔谈”。本栏目将陆续推出一批我校有影响的学者，重点展示他们在人才培养、科学研究、服务社会和文化传承与创新等方面的观点和见解、思路和做法及理论和实践，旨在弘扬科学精神，激荡人文情怀，回归学术本位，浓郁学术气象，全面提升交大学术的影响力和传播力。
　　■ 数学不仅是各专业学习的基础和工具，数学教育也是提高人的素质的一个重要途径。
　　■ 数学教育可以改变人的思维模式，即形成所谓“理性思维”的模式——逻辑的、慎密的思维模式。
　　■ 数学课程首要教会学生如何思考。
　　■ Polya三原则是：最佳动机原则、主动学习原则和循续渐进原则。
　　大学数学教学的现状
　　目前数学教学在我国高等学校中得到了比较充分的重视。这种重视，一方面由于数学在科学研究乃至社会生活各领域中越来越广泛的应用，另一方面也由于从上世纪末以来，对数学在我国大学教育中所起的作用，人们在认识上已有了很大的变化。
　　人们已经逐渐认识到数学不仅是各专业学习的基础和工具，而且它也是提高人的素质的一个重要途径。其中，尤其重要的是数学教育可以改变人的思维模式，即形成所谓“理性思维”的模式-逻辑的，慎密的思维模式。另外，数学教育还可以影响或改变人的审美视角和表达方式，形成对简炼、合理和各种具有科学美感的事物的一种理解和欣赏，同时使人们语言的表达具有简洁、准确的特点。进而，数学教育还可能使人质疑那些违背科学规律和逻辑的现象和理论，从而影响是非判断与价值取向。因此毫无疑问，数学教育是一种素质教育。
　　然而与此同时，大学数学课程教学的情况应该说不尽如人意，至少不是很满意。首先，相当多的学生难以适应大学数学的学习方法。大学数学的学习和中学数学是不一样的，教师在一堂课所讲的数学知识的容量与中学比起来要多得多，而布置在课外的作业量与中学比却较少。学生要消化教师所讲的内容，他要学会自己学习，要会复习、会分析、会整理。他需要通过逐步调整来适应大学的学习。 但是现在很多学生很难适应，他们不知道怎么调整？很多学生仅仅满足于完成教师布置的作业，因此他们对大学数学课程内容的理解和掌握十分有限。其次，就是学生缺乏对数学课程的兴趣和主动学习性。 我们一年级新生进校后的第一堂数学课，同学精神抖擞、目光炯炯，他们显得很有信心，自我感觉很好。老师上完课，有很多的学生围着你，问这问那，对课程表现出浓厚兴趣。但是过一段时间，也许要不了两月，情况就变了。上课的时候，精神抖擞的同学不多了，课后提问的同学也很少了。这表明很多同学对数学课程的学习兴趣和主动性都下降了。考虑到这些同学中相当多在中学时曾经是比较喜欢数学、数学学得不错的，这个问题就更突出了。
　　原因是来自多方面的。首要原因是关于学习的目的性。学习目的会产生动力，在古希腊人们就已经知道了。目前在大学，不少人为了在市场中的回报、将来找一个收入高的工作而学习，这种功利性因素还是很强的。出于兴趣而学习，在学习过程中享受到成功的欢愉或成就感，这是最持久的学习动力，但现在，这种因兴趣而学习的情况在学生中的比例很小。另一个原因，就是中学的应试教育的影响。这种应试教育基本是通过题海战术让学生走套路，对习题分类，对号入座，学生看到习题，只要“对上号”，不用思考，很快就做好了，好像很行。但其实他不会思考，不会分析，他只会套用。这是中学教育的很大的弊病。这些原因是客观存在的，可能在相当长的时间里还会继续存在。
　　启发式的教学方法
　　数学课程首要的是教会学生如何思考。
　　怎么来改变这种情况，怎么来提高学生对数学课程学习的兴趣呢？怎么来提高他们学习数学的能力呢？我认为首先需要启发式的教学方法。启发式是教学的一种理念，一种方法。要求教师在教学中始终有启发学生的意识与做法。启发式据说是孔子提出的。孔子提出了“不愤不启，不悱不发。” 不愤不启的“愤”就是开窍。不悱不发的“悱”就是能讲出来，理解了表达出来。孔子认为如果学生听了你讲的东西，不开窍或者不能把理解的意思表达清楚。你就别急着往下教。
　　从数学的教学来说，启发式教学的目的很简单：就是教会学生思考。你的学生会跟着你的教学去思考，那就行了，那就是启发式的教学。在这方面Polya的三原则还是有效的。
　　第一条是最佳动机原则。所谓的最佳动机就是学习应该要让学生对数学学习产生兴趣。
　　教师怎么来提出问题和表达数学上的一些命题和概念，这是很重要的。数学问题的表达和提出，应该尽可能是有趣的或是有吸引力的。有时候，一句开场白可以吸引学生。比如我们的数学实验课讲混沌。课堂第一句话是Lorentz的话：巴西的一只蝴蝶闪动翅膀，会引起明年阿拉斯加的大风暴吗？这叫蝴蝶效应。这句话其实是一个数学含义的生动描述。它表达的是一个系统对初始条件强烈的敏感性——初始条件有微小的扰动，这个系统的长期行为或性态就发生了巨大的变化。但是如果用这样一句生动形象的话来表达，那学生就感到很有兴趣了，你就抓住了学生。又比如讲分形，一开始提出：英国的海岸线有长度吗？这是Mandelbrot一篇文章的题目。海岸线你要量它的精确长度是不可能的，你究竟在什么尺度下测量？因为海岸线是弯弯曲曲的，你把它局部放大以后，还是弯弯曲曲的，所以你在不同的尺度下量出来的长度是不一样的。在这个开场白下，我们可以讲分形几何，可以讲自相似性，可以讲复杂性不随尺度减小而消失的精细结构。类似的例子不少，当然数学里面不是处处都能这样讲的，但是有很多地方，你可以这样来引出问题，提出问题。
　　另外在教学中需要选择适当的数学模型和典型的例子。这方面由于李大潜先生的倡导，很多教师有意识的把数学模型内容融入各种数学课程中。例如在微积分，有可乐易拉罐材料优化模型，有人口问题模型，二次大战结束时荷兰的Vermeer的名画真伪的案件，还有美国原子能委员会处理核废料引起质疑的问题。在代数，有搜索引擎的网页排名问题，种群年龄结构分布问题和经济规划中的投入产出模型等。这些例子并不难，但充分说明数学的重要作用，也能引起学生兴趣。当然数学中有些抽像的模型也是很好的。比如微积分里经常用的Dirichet函数，很简单。自变量取有理数、无理数时分别定义是1和0。构造出这样一个函数是有目的的，它在说明许多数学概念指出特殊情况，可以加深我们对概念的理解。这个函数教师应该有意识的在很多地方应用。这函数处处无极限，处处不连续。这是一个周期函数，任何有理数都是它的周期，但是它又没有最小正周期。如果你让学生想一下，哪一个周期函数没有最小正周期。他可能想到常数函数。你告诉他Dirichet函数也是。你通过这个函数可以构造只有一点连续的函数，其它无处连续。你还可以构造只有一点有导数、其他无处有导数的函数。你反复讲这个例子，讲到相关的概念时候提出这个例子，学生会感到很有意思。从而你要求学生在学习中注意反例，进而甚至可以引导学生自己构造反例。
　　还有就是在数学教学中可以讲一些数学大师的故事，比如牛顿(Newton), 柯西(Cauchy),欧拉(Euler)、魏尔斯特拉斯(Weierstrass)等。说说这些大师，他们的人格魅力是感人的，献身科学的精神是感人的。醉心乃至痴迷于科学，追求真理，这种精神可以感动学生。像欧拉失明之后依然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久。在文化史上有两名巨匠，一个是欧拉，另一个是贝多芬。欧拉失明，贝多芬失聪。但是都为人类作出了巨大的贡献。这些对学生讲起来都是能影响他们的。科学巨匠人格魅力、献身精神，还有高尚风格在当今都有现实的教育意义。欧拉为了培养鼓励年轻的拉格朗日(Lagrange)，他自己做的有关工作不发表，让拉格朗日的工作发表，使其取得了巨大的声誉。魏尔斯特拉斯为柯娃列夫斯卡娅(Кοвaлевскaя)单独授课，克服偏见，不计利益，使她在微分方程和力学取得极为出色的成就。这些大师的高尚风范何其感人!在我们目前有些功利、有些浮夸的学校里难道不正需要大大提倡？我们搞科学、学科学，还是要有点精神的。讲点精神，有时对学生还是能起点作用的。&&
　　Polya第二个原则叫作主动学习原则。主动学习的原则就是尽量让学生自己去思考，去发现结论。有一句话叫做“学东西的最好途径是亲自去发现它”。在这个方面，首先就是要多问几个为什么？启发式就是要时刻想着使你讲的东西让学生去想、去思考。让他动脑筋，而不是让他跟着你舒舒服服地走，那可能在他的思想上留不下多少痕迹。就像Polya说的，哪怕有时你做了大量的提示，你也要假装是他发现的，是学生发现的。有时也许仅有一个学生正确回答你的问题。他会很高兴，很有成就感，他下次会更积极。对于其他同学来说，他能起到激励作用。另外应该鼓励猜测。“你们猜一猜吧！”不知道可以猜一猜，猜也要动脑筋，要思考。比如说，我们讲微分中值定理。微分中值定理的证明和相关习题里面，都应用了构造辅助函数的方法。用Rolle定理证明Lagrange 定理，怎么构造？从形式上分析，改变结论的形式使之成为
　　问题就成为上式左端是不是某一个函数在一点的导数呢？学生很容易就猜出来了，这函数是
　　我们要验证它是否满足Rolle定理的条件。在验证它在端点 是否相等时，发现不大好验证。那我们就又提出问题，能不能稍微改一改呢？使得验证容易一些。当然同时这个函数的导数还不能变。怎么办？加个常数上去，导数是零，那结论不会变。但这个常数加在什么地方，你去猜吧！很多同学会猜出来。那就是一个慢慢启发学生的过程。如何构造辅助函数，后边你讲Cauchy定理还可以用这个方法,你在讲例题的时候也再用这个方法。不是你直接把辅助函数给他，那不行，他永远也不会造辅助函数。你要逐步的引导他。多问几个为什么，鼓励猜测是很好的让学生主动学习的方法。在数学课中要有意识的设计这事情。什么地方可以做？前后有没有连贯，能不能反复逐步积累这样做。
　　Polya第三个原则叫作循续渐进原则。我想是指对知识的探索和吸收的过程。在数学课程中就是学生对数学概念、命题和方法的逐步掌握。写出一个数学命题或数学概念，应该让学生知道掌握它意味着：第一，你看得懂吗？你看得懂这段数学表达的文字含义吗？第二，你能理解它吗？你能理解文字要表达的意思吗？第三，你才去考虑证明或者应用。比如说极限的概念。我们知道在其定义在数学史上是非常重要而逐步发展的，一直到魏尔斯特拉斯才解决，N的语言标志着数学分析的严密化。这个语言虽然很好，但是我们讲课的时候不能一开始就把它亮出来，我们还是要讲一个过程。一切认识总是以直观开始，有直观而终于理念。讲数学概念就应该这样。一开始你可以画图。一个数列，比如说 ，在n-xn平面上画出来，这些点逐渐很靠近横轴。表示这个变量发展的过程的一种趋势、一种定量的趋势。那么怎么描写这个趋势呢？我们知道，“越来越接近”，“无限接近”，这些是在极限的描述中常用的说法，是不严格的。但是我觉得一开始就应该有这种描述，其中比较好的一种是“要有多接近就有多接近”。所谓接近，在数学上是用距离来度量的。你给我一个无论多小的数，比如1/100，这个数列 接近0的程度即与零的距离，能不超过1/100吗？很容易，只要是数列第100项以后的项；如果你给出更小的数，这数列与零的距离能不能不超过1/10000呢？可以，但是有一点条件, 就是n要大一点，第10000项以后的项就行了。先做些这样的说明，从图形上再看一看，然后介绍N的语言，学生就比较明白了。当然，他要真正理解，会应用，还有一个过程。在数学课中，需要学生循续渐进地理解的内容、思想很多。我们应该充分地通过各种方法来解释、阐述，以利于学生的掌握。
　　在这个教学原则方面，还有一点是要留给学生适当的空间，留有余地。我在北大做学生时，有个老师方程课讲得很好，很细致。我跟我的导师姜礼尚先生说起他讲课讲得好，挺清楚，细节都考虑周到。姜先生说，有缺点。什么缺点？讲的太仔细、太完美了。学生没什么可以思考的了，全讲尽了，那不行，要留有余地。 不管什么样的学生都要给他留有余地。因此我们在提出问题，布置作业等方面就应该有层次，有不同的要求，让学生可以自己作出选择，可以促进他积极思考。
　　从Polya的三原则我们看到，数学教学的核心就是让学生学会如何思考。
　　学者小传
　　乐经良，上海交通大学数学系教授，国家级教学名师。1970年毕业于北京大学数学力学系。现任国家工科数学教学基地负责人，教育部高校数学与统计学教学指导委员会委员，兼任数学基础课程教学指导分委员会副主任。
　　研究方向为非线性偏微分方程，近期主要从事数学基础课程的教学与研究。承担并完成国家和上海市科研与教改项目多项。先后主持“数学实验与数学模型课程的规范化研究”、国家级教学资源库子项目－高等数学案例库、国家自然科学基金项目“材料科学中的自由边界问题”、“衍生证券定价与偏微分方程”等课题。编写教材包括:十一五国家级规划教材《大学数学－微积分》(上、下册)、《医用高等数学》(第二版) 、《线性代数》(第二版)，《工科数学－线性代数》(第四版)、《微积分》(上下册)《数学实验》等。
　　曾获国家教委科技进步二等奖，2001年和2005年二次获得国家级教学成果二等奖，2002年主编教材“数学实验”获教育部高校优秀教材奖；2004年和2006年分别创建国家精品课程“数学实验”和“高等数学”；2007年领衔的工科数学教学团队入选首批国家级教学团队； 2006年获国家级教学名师奖。还曾获上海市模范教师、宝钢优秀教师特等奖和政府特殊津贴等荣誉。上海交通大学数学系副教授姚卫红老师发出了“到老师家来避暑”的邀请，多位老师效仿~赞～
&&&&& &姚老师有类风湿关节炎，不能一直吹空调，却切身体会到同学们酷暑难耐的苦处，&再这样下去，我担心会有同学病倒。&　 　姚老师《告交大全体同仁书》里说,&在同学们的父母不在身边的时候，我们就是他们的父母。&&&&& &女孩，遇到给宿舍安空调的校长，就嫁了吧&。&&遇到提供空调的老师的儿子，也嫁了吧!&因为大学生宿舍没有空调设施，被连日高温折磨得受不了的学生在网上贴出的这句话成了流行语。而上海交大姚卫红老师一句&实在热得不行了，就到老师家来避暑吧！&更成了最新的流行语。　　连续多日高温，寝室没有空调，让留校的大学生们酷热难耐，上海交大数学系副教授姚卫红老师在学校BBS上发出了&到老师家来避暑&的邀请，立即引起学生们的极大关注。而姚老师的举动也引来更多老师的效仿&&纷纷表示愿意向学生敞开家门。　　老师家来了10多名避暑生　　8月3日12:06，姚卫红老师以sunnyrose(吾思故我在)的网名发帖说：&同学们：大家好！看到同学们热得这么难受，我也很心痛。实在热得不行了，就到姚老师家来避暑吧！我的家就在交大闵行校区附近，站内留条，具体地址我会通过手机告诉你们。&姚老师还同时留下了QQ号。一帖激起千层浪，一时间跟帖无数，既有赞叹的&&&真是热心肠的好老师&&好感动&，也有怀疑的&&&真的假的？&，还有遗憾的&&&为啥在闵行呀&&&　　早报记者昨天联系上了发帖人姚卫红老师，她说这么做就是想帮帮同学们，&我是学校BBS论坛上的常客了，看到学生们在发帖抱怨热得受不了，我想应该帮帮这些孩子们。&&　　姚老师今年48岁，从2002年初在上海交大数学系任教，目前是副教授、硕士生导师，她家相当宽敞，3室2厅2卫的大三房，姚老师儿子在交大读大三，暑假回山东老家去了，姚老师先生去了北京中科院访问，现在3室2厅2卫只有她一人住。姚老师说家里至少可免费收留5个学生，如果不介意打地铺，可以收留20个学生。　　前晚3名女生住进姚老师家，姚老师给她们准备了大西瓜，昨晚又有10多个同学到姚老师家避暑，姚老师为他们准备了西瓜和冰好的可乐。　　接待学生情况网上直播　　为打消学生的顾虑，姚老师还把她的准备过程以及大学生们的报名情况在论坛上&直播&，8月3日19:06，姚老师发帖：&大家好！我正在灭蚊、灭蟑螂，并会提前40分钟打开空调，充分保证大家的睡眠质量。现在已经有七八个同学报名来我家避暑，其中两个是女生，我把她们安排在带卫生间的主卧。其他男生有的住在卧室，有的住在大厅。要自带床单、枕套、毛巾被、牙刷、毛巾，这也是为了你们自身的卫生着想。&　　8月3日21:59，姚老师继续发帖：&同学们，大家好！空调已打开，可乐、西瓜已冰好，只等你们的到来了！&&　　直播让交大的学生们十分感动，网友dilaEH(朝闻情，夕死可矣)回帖：&空调已经打开，这两个字奢侈地让人落泪啊&&&&　　继续发帖希望更多人加入　　昨天中午，姚老师还在网上发布了《告交大全体同仁书》，&&&单凭我个人的力量杯水车薪是解决不了问题的。希望房间宽敞的同仁们follow&me!&来吧！让我们伸出援助之手，打开我们的房门，帮助同学们渡过难关！也为学校分忧解难。&　　让姚老师欣慰的，不少交大老师表示愿意向学生敞开家门，也有博士生由于父母出差家里空出房间，也邀请在寝室和酷暑作斗争的交大兄弟姐妹到自己家里避暑，还有老师建议成立老师爱心联盟，让更多的学生受益。酷暑无处去是校园普遍难题　　事实上，大学生酷暑难纳凉是一个普遍性的难题。　　不仅是上海交大，其他所有高校都存在酷暑难纳凉问题，如同济的大学生没有纳凉地只好去地铁站看书，复旦大学文科图
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