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2016年第二十一届华杯赛初赛高年级组详解
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1,2,3,4,5,6,…1997的最小公倍数是几个2与一个奇数的积?
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10个因为在1到1997中,包含2最多的因子是2的10次方也就是1024,其他的数字中即使有2也不会超过10个.所以1,2,3,4,5,6,…1997的最小公倍数是10个2与一个奇数的积.
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[转自人人]据说高斯上小学的时候，老师一次上课为了偷懒，对同学们说：”谁能告诉我1+1/2+1/3+...+1/100000化成最简分数分母末尾有多少个零我就让你们出去玩。“之后老师拿了本书正坐下准备看，年轻的小高斯马上举起手说：“老师，我知道了！”老师不相信，于是问他。高斯很自豪的说：“七个！”老师大惊失色，拿出准备好的答案（注：为了节省手机党的流量，就不帖出来了）查看发现果然是七个，他震惊的问小高斯：“我算了一晚上的题目，你怎么一下子就做出来了？”高斯说：“五的七次方不是78125么，而五的八次方就超过十万了啊！”老师恍然大悟，觉得小高斯是个可造之材，好好的夸奖了他一番。[/转自人人]结论是对的，但是证明过程不严谨。我已经很麻烦地证明了，但是想看看大家还有什么想法。另外，有没有人想试着研究一下其它进制下的情况？
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应用数学硕士，维基百科编辑
刚刚在知乎答完这一题.....主要是素因子的最高次幂的倍数有几个的问题，应该没有什么统一的结论吧？
万能的高斯小学生。。。
通信专业博士生，编程爱好者
老师算了一晚上是拿手算的么。。。
3不能整除2，5也不能整除2。。。但是3+5却能整除2.。。。。这种由加法运算带来的不确定性应该怎么处理？？。。。一般的对于两个分数相加：（q1^m1*q2^m2*...*qs^ms）/(p1^n1*p2^n2*...*pt^nt)（q1'^m1'*q2'^m2'*...*qs'^ms'）/(p1'^n1'*p2'^n2'*...*pt'^nt')通分以后必定要处理加法运算，而加法运算的结果在进行运算之前是不确定的。。。但是为了执行后面的GCD算法，加法运算又是必不可少的。。。。有什么办法可以规避掉多余的运算吗？。。。毕竟如果每次我们都成功的执行了GCD算法，那么最后得到的必定是包含问题解的完整结果，而问题是我们只需要知道最后有几个零就够了，所以计算出完整结果必定包含过多的垃圾信息。。。。怎么才能有效地规避掉这些垃圾信息呢？如果可以跳过加法运算而直接执行GCD就好了。。。但是我却无论如何也找不到跳过加法运算的方法。。。。。。求大牛指点迷津。。。。TAT
进一步的，有没有可能存在这样一种算法或者函数F。。。当给定上限N以后，F(N)=算式1+1/2+1/3+...+1/N化成最简分数分母末尾零的个数。。。这个算法能达到O(n)的复杂度吗？。。。。还是说这是个NP？。。。
应用数学硕士，维基百科编辑
拿十进制来说，5^m&N&4*5^m的时候，零的数目不会少，因为这时候是1或1+2或1+2+3，4*5^m&=N&5*5^m的时候，零的数目至少会少1，因为5|1+2+3+4了。
应用数学硕士，维基百科编辑
一般的进制则需要分析每个素因子p，p^m&N&(p-1)*p^m的时候，零的数目不会少，(p-1)*p^m&=N&p*p^m的时候，零的数目至少会少1了。
的话：拿十进制来说，5^m&N&4*5^m的时候，零的数目不会少，因为这时候是1或1+2或1+2+3，4*5^m&=N&5*5^m的时候，零的数目至少会少1，因为5|1+2+3+4了。不止少1个0
的话：拿十进制来说，5^m&N&4*5^m的时候，零的数目不会少，因为这时候是1或1+2或1+2+3，4*5^m&=N&5*5^m的时候，零的数目至少会少1，因为5|1+2+3+4了。对不起，过于跳跃了。。。有点不明白~~~~我想知道这个问题有具体的计算步骤吗？如果我把那个100000随便换成其他的数字，比如27893，这个时候还能有方法算出末尾0的个数吗？。。。。我主要是想要一种通用的算法。。。。（就比如算法π（n）可以给出π的小数点后第n为是多少。。。。）
应用数学硕士，维基百科编辑
的话：对不起，过于跳跃了。。。有点不明白~~~~我想知道这个问题有具体的计算步骤吗？如果我把那个100000随便换成其他的数字，比如27893，这个时候还能有方法算出末尾0的个数吗？。。。。我主要是想要一种通用的算法。。。。（就比如算法π（n）可以给出π的小数点后第n为是多少。。。。）我没有想过算法的方面，miss掉的前半部分如下：假设1到100000的最小公倍数是M，那么由于5^7=&2*5^7&5^8，M能被5^7整除，但不能被5^8整除。所以假设 1+1/2+1/3+...+1/100000=A/M（不一定是最简分数），那么两边同时乘以M，就有A = M+M/2+M/3+...+M/100000要注意的是右边的每一项都是整数，而且除非M/k的k是能被5^7整除的，否则M/k都是5的倍数。然而1到100000里头能被5^7整除的就只有5^7=78125自己，所以上式的右侧实际上是99999个能被5整除的数加上一个不能被5整除的数。也就是说A不是5的倍数。同理，由于2^16=&2*2^16=2^17，所以M能被 2^16 整除，但不能被 2^17 整除。按照与上面类似的理由，A是99999个偶数和一个奇数的和，所以是奇数。结论：A/M要么是最简分数，即便不是，约分的过程中也不会涉及到2和5，因为A没有2和5的因数。于是最终的最简分数形式的和里面，分母会有7个0，不会少一个。
应用数学硕士，维基百科编辑
的话：不止少1个0的确，我想错了，应该是1+1/2+1/3+1/4=25/12，然后至少少两个0.
刚开始以为是阶乘末尾有多少个0，那样可以把问题转换成分解质因数之后有多少个5从高斯的话中看出突破点也在于5可这题问的是化简后的分母，正如
所说，分子要做加法，要找出分子有多少个5就难了。
的话：我没有想过算法的方面，miss掉的前半部分如下：假设1到100000的最小公倍数是M，那么由于5^7=&2*5^7&5^8，M能被5^7整除，但不能被5^8整除。恕我愚钝，为什么M不能被5^8整除
的话：恕我愚钝，为什么M不能被5^8整除最小公倍数的定义啊~~~~
语言爱好者
的话：的确，我想错了，应该是1+1/2+1/3+1/4=25/12，然后至少少两个0.嗯，上道了！
的话：我没有想过算法的方面，miss掉的前半部分如下：假设1到100000的最小公倍数是M，那么由于5^7=&2*5^7&5^8，M能被5^7整除，但不能被5^8整除。所以假设 1+1/2+1/3+...+1/100000=A/M（不一定是最简分数），那么两边同时乘以M，就有A = M+M/2+M/3+...+M/100000要注意的是右边的每一项都是整数，而且除非M/k的k是能被5^7整除的，否则M/k都是5的倍数。然而1到100000里头能被5^7整除的就只有5^7=78125自己，所以上式的右侧实际上是99999个能被5整除的数加上一个不能被5整除的数。也就是说A不是5的倍数。同理，由于2^16=&2*2^16=2^17，所以M能被 2^16 整除，但不能被 2^17 整除。按照与上面类似的理由，A是99999个偶数和一个奇数的和，所以是奇数。结论：A/M要么是最简分数，即便不是，约分的过程中也不会涉及到2和5，因为A没有2和5的因数。于是最终的最简分数形式的和里面，分母会有7个0，不会少一个。有几点不是太明白：否则M/k都是5的倍数于是最终的最简分数形式的和里面，分母会有7个0以上两个结论是怎么推出来的？特别是7个0是怎么得到的？。。。
应用数学硕士，维基百科编辑
的话：恕我愚钝，为什么M不能被5^8整除因为5^7&^8表示所有比100000小的自然数素因子分解之后，包含的5的幂次至多是7，所以最小公倍数里只需要5^7作为因子，不需要更多的5了。
应用数学硕士，维基百科编辑
的话：有几点不是太明白：否则M/k都是5的倍数于是最终的最简分数形式的和里面，分母会有7个0以上两个结论是怎么推出来的？特别是7个0是怎么得到的？。。。M=5^7*s1，k=5^d*s2，所以要么d不大于6，然后M/k被5整除，要么d=7，然后M/k不被5整除。如果A不是5的倍数，那么5^7|M说明有7个0.
应用数学硕士，维基百科编辑
当N不是100000而是一般自然数的时候，需要考虑把M+M/2+M/3+...+M/N中的“平凡”部分和“特殊”部分分开看待。如果5^m&N&5^(m+1)，那么“特殊”部分是M/5^m 、M/(2*5^m)、M/(3*5^m)和M/(3*5^m)，其余的部分都是5的倍数。5^m&N&2*5^m时，M/5^m不是5的倍数，所以A不是5的倍数；2*5^m&N&3*5^m时，M/5^m+M/(2*5^m) = 3M/(2*5^m)不是5的倍数，所以A不是5的倍数；3*5^m&N&4*5^m时，M/5^m+M/(2*5^m)+M/(3*5^m) = 11M/(6*5^m)不是5的倍数，所以A不是5的倍数；4*5^m&N&5*5^m时，M/5^m+M/(2*5^m)+M/(3*5^m) = 25M/(12*5^m)，会是25的倍数，所以这时候A是5的倍数了，所以原来的和的分母至少会少一个0。
的话：恕我愚钝，为什么M不能被5^8整除因为M的分解式里不需要第8个5，有7个就足够满足1到100000了。
语言爱好者
的话：其实不然，还要讨论是否介于4*5^m+4*5^(m-1)到5^(m+1)之间，否则只会少1个0没错，这部分讨论还是挺复杂的呢，我还用了一点暴力计算在里面
的话：有几点不是太明白：否则M/k都是5的倍数于是最终的最简分数形式的和里面，分母会有7个0以上两个结论是怎么推出来的？特别是7个0是怎么得到的？。。。这两点我看懂了1~100000中，只有7，也就是说M/k当中，只有M/78125不是5的倍数其余都不够5^7，M/k都是5的倍数那么A就等于99999个5的倍数+1个不是5的倍数，因此A不能被5整除同理，A不能被2整除那么所有质因数中，只有2跟5相乘能得到0，而2比5的个数多，因此有多少个5，就有多少个0
的话：M=5^7*s1，k=5^d*s2，所以要么d不大于6，然后M/k被5整除，要么d=7，然后M/k不被5整除。如果A不是5的倍数，那么5^7|M说明有7个0.7个0是怎么来的还是不明白啊。。。难道是要先把M算出来吗？！。。。这个有点恐怖啊~~~~你懂的。。。。
的话：那么所有质因数中，只有2跟5相乘能得到0，而2比5的个数多，因此有多少个5，就有多少个0为什么说“而2比5的个数多”？？？？。。。。。
应用数学硕士，维基百科编辑
的话：没错，这部分讨论还是挺复杂的呢，我还用了一点暴力计算在里面如果能讨论出1+1/2+....+1/(p^s-1)的分子中质数p的幂次，就可以推广到别的进制了，不过似乎很复杂....
的话：为什么说“而2比5的个数多”？？？？。。。。。M分解质因数得M=2^a * 3^b * 5^c * 7^d+ 11^e+……
不是证明了吗，a=16，c=7
的话：7个0是怎么来的还是不明白啊。。。难道是要先把M算出来吗？！。。。这个有点恐怖啊~~~~你懂的。。。。25/2,...,中，只有分子不是5的倍数引用
的话：为什么说“而2比5的个数多”？？？？。。。。。2有[log2(100000)]个------------------------------------这是分割线--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------是不是当n足够大，1/1+...+1/n末尾至少有1个0？
的话：M分解质因数得M=2^a * 3^b * 5^c * 7^d+ 11^e+……
不是证明了吗，a=16，c=7哪证明了？。。。当a=16时，明显不知道c可以取到7啊。。。。我认为那只是一个对M的范围的讨论。。。。即每个质因数最高可以去到几，而不是说M中最后那个数就取这么多。。。
嗯……于是目测有人写程序整出来完整结果了
的话：哪证明了？。。。当a=16时，明显不知道c可以取到7啊。。。。我认为那只是一个对M的范围的讨论。。。。即每个质因数最高可以去到几，而不是说M中最后那个数就取这么多。。。从头到尾都不是在讨论M的范围，都是在寻找每个质因数最高可以去到几啊……你认为是早讨论M的范围，那你说说，M是个什么范围？
的话：从头到尾都不是在讨论M的范围，都是在寻找每个质因数最高可以去到几啊……你认为是早讨论M的范围，那你说说，M是个什么范围？这样也能算最小公倍数？？——选所有数中最大的一个，然后看看“每个质因数最高可以去到几”。。。。这不科学吧？~~~~
的话：这样也能算最小公倍数？？——选所有数中最大的一个，然后看看“每个质因数最高可以去到几”。。。。这不科学吧？~~~~M不一定是最小公倍数，A/M可能有其他的约数，但证明了约数不会是5。
的话：刚刚在知乎答完这一题.....主要是素因子的最高次幂的倍数有几个的问题，应该没有什么统一的结论吧？可以给个知乎链接我看下不。谢谢了
的话：M不一定是最小公倍数，A/M可能有其他的约数，但证明了约数不会是5。“假设1到100000的最小公倍数是M”这是原话。。。。
的话：“假设1到100000的最小公倍数是M”这是原话。。。。哦，我前面那条解释是答非所问(跟A/M没关系)重来M=2^a * 3^b * 5^c * 7^d+ 11^e+……如果c&7，M不能被78125整除而如果c&7，则是我在13楼犯的糊涂。这样c不就=7了么
的话：这样也能算最小公倍数？？——选所有数中最大的一个，然后看看“每个质因数最高可以去到几”。。。。这不科学吧？~~~~见任何一本初等数论书。ls在国外？
不需要最小公倍数的知识 分母是个大阶乘N尾零长度为L 分子上面包含最少尾零的有且只有一个N/(5x5x5x5x5x5x5) 也就是比N尾部少7个0 而尾部为零的一个数和不为零的若干个数相加和的尾数一定不为零 也就是分子分母约掉10^(L-7)后 早就无10可约了
而分母的2和5一定比分子上面任何一个2和5的因子数量都多 所以尾零不会再被削减 故此最后7个零
的话：见任何一本初等数论书。ls在国外？这个定理我知道啊。。。。我现在已经弄明白了。。。因为是从1到100000所有的数都要考虑到，所以直接考虑最大的数就可以了。。。为什么说“ls在国外”？？？
的话：哦，我前面那条解释是答非所问(跟A/M没关系)重来M=2^a * 3^b * 5^c * 7^d+ 11^e+……如果c&7，M不能被78125整除而如果c&7，则是我在13楼犯的糊涂。这样c不就=7了么这下终于明白了。。。。。。。。
的话：这个定理我知道啊。。。。我现在已经弄明白了。。。因为是从1到100000所有的数都要考虑到，所以直接考虑最大的数就可以了。。。为什么说“ls在国外”？？？额，额，额，国内学生一般很早就知道一点简单的数论，额，一般，额，这不是人身攻击，额，可能是我想多了。
的话：额，额，额，国内学生一般很早就知道一点简单的数论，额，一般，额，这不是人身攻击，额，可能是我想多了。不见得吧~~~你们用的是什么教材？。。。为什么我的数论是到大学才学的（而且还是选修。。。）。。。。
其实吧。。。设通分之后分母为k，那么k是一连串质数的乘积，在1 + 1/2 + 1/3 ... + 1/n当中有一项是1/78125，这一项包含7个5连乘，而在通分过程中这7个5不会消失，同时由于5的8次方分之一不在1 + 1/2 + 1/3 ... + 1/n之中，所以通分过程中任何一项都不会超过7个5。。。2必然多于5，所以有多少5就有多少0,。个人觉得吧。。这个貌似不太需要证明。。
话说算阶乘用stirling，算调和级数可以考虑用欧拉常数吧？
的话：其实吧。。。设通分之后分母为k，那么k是一连串质数的乘积，在1 + 1/2 + 1/3 ... + 1/n当中有一项是1/78125，这一项包含7个5连乘，而在通分过程中这7个5不会消失，同时由于5的8次方分之一不在1 + 1/2 + 1/3 ... + 1/n之中，所以通分过程中任何一项都不会超过7个5。。。2必然多于5，所以有多少5就有多少0,。个人觉得吧。。这个貌似不太需要证明。。不太需要证明……那你说这么一大堆……
的话：不太需要证明……那你说这么一大堆……嘿嘿。理解嘛，不是严谨的证明~不需要列出一堆之母和条件神马的。。
通信专业博士生，编程爱好者
的话：其实吧。。。设通分之后分母为k，那么k是一连串质数的乘积，在1 + 1/2 + 1/3 ... + 1/n当中有一项是1/78125，这一项包含7个5连乘，而在通分过程中这7个5不会消失，同时由于5的8次方分之一不在1 + 1/2 + 1/3 ... + 1/n之中，所以通分过程中任何一项都不会超过7个5。。。2必然多于5，所以有多少5就有多少0,。个人觉得吧。。这个貌似不太需要证明。。你需要证明分子没法把分母里的2和5约掉
的话：你需要证明分子没法把分母里的2和5约掉我说了啊，其中有一项是1/78125，分子的1不可能消掉，所以分母的7个5都消不掉。
数理爱好者
那个老师是怎么算的……
的话：那个老师是怎么算的……一晚上算出来的，回复限制3000字贴不了，见
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专题2.3 等差数列前n项和（讲）-学年高二数学同步精品课堂（提升版）（新人教a版必修五.
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专题2.3 等差数列前n项和（讲）-学年高二数学
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本题难度：0.63&&题型：填空题
用1、2、3、4、5组成五位数：是5的倍数的最小公倍数是&&&&．最大的偶数是&&&&．最大的奇数是&&&&．
来源：新人教版五年级下册《第2章 因数与倍数》2015年单元测试卷（17） | 【考点】奇数与偶数的初步认识；求几个数的最小公倍数的方法．
读一读，想一想如图是国际象棋的棋盘，竖排叫做列，横排叫做行，国际象棋棋盘通常用a&b&c&d&e&f&g&h表示棋盘各列，用1、2、3、4、5、6、7、8表示棋盘各行．棋盘上（白王）所在位置是g列第2行，用国际象棋专用方法记录为g2．（1）用这样的方法，棋盘上（黑王）所在位置是d列第7行，用国际象棋专用方法记录为&&&&（黑车）所在位置是&&&&列第&&&&行，用国际象棋专用方法记录为&&&&，（白兵）所在位置用国际象棋专用方法记录为&&&&．（2）如果黑兵在棋盘上b5的位置，请你在棋盘相应的位置标上“▲”．
用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？
用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，每个数字必须用一次目只能用一次，最多可以组成&&&&个质数．它们分别是：&&&&．
用1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字任意排列成一个八位数，它一定是3的倍数吗？为什么？
用1、2、3、4、5组成五位数：是5的倍数的最小公倍数是&&&&．最大的偶数是&&&&．最大的奇数是&&&&．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“用1、2、3、4、5组成五位数：是5的倍数的最小公倍数是．最大的偶数是．最大的奇数是．”的学库宝（http://www.xuekubao.com/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）要想组成的数最小就要把数按从小到大的顺序排列出来再根据是5的倍数的数的特征：个位是0或5则个位是5十位是4百位是3千位是2万位是1据此解答即可（2）要想组成的数最大就要把数按从大到小的顺序排列出来再根据偶数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是偶数则个位是2十位是1百位是3千位是4万位是5据此解答（3）要想组成的数最大就要把数按从大到小的顺序排列出来再根据奇数的特征：个位上是1、3、5、7、9的数都是奇数则个位是1十位是2百位是3千位是4万位是5据此解答．
【解答】解：根据分析知：用1、2、3、4、5这5个数字组成的位位数中是5的倍数的最小公倍数是：12345最大的偶数是：54312最大的奇数是：54321故答案为：321．
【考点】奇数与偶数的初步认识；求几个数的最小公倍数的方法．
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知识点讲解
经过分析，习题“用1、2、3、4、5组成五位数：是5的倍数的最小公倍数是．最”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
整数的认识
1.整数（Integer）的定义：像-2，-1，0，1，2这样的数称为整数。（整数是表示物体个数的数，0表示有0个物体）整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。2.整数集的定义：整数的全体构成整数集，整数集合是一个数环。3.整数包含的范围：在整数系中，自然数为正整数，称0为零，称-1、-2、-3、…、-n、… (n为整数)为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。 一个给定的整数n可以是负数（n∈Z-），非负数（n∈Z*），零（n=0）或正数（n∈Z+）．
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