余弦函数的Taylor级数的幂级数收敛半径怎么求是多少

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-08-01 22:13 标签： 求幂级数的收敛半径
泰勒级数收敛半径【复变函数吧】_百度贴吧
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泰勒级数收敛半径
不太会展开，求救
可以先用z-1换元然后在原点展开，先裂项
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解析函数的泰勒展式 4.3.1.泰勒(Taylor)定理 4,3,2.幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况 4.3.3.一些初等函数的泰勒展式 4.3.2
幂级数的和函数在其收敛圆周上
的状况 4.3.3 一些初等函数的泰勒展式 * (4.9) D
定理4.14 (泰勒定理) 设f(z)在区域D内解析, a∈D,只要K:|z-a|<R含于D,则f(z)在K内能展成 如下幂级数
(4.8) 其中系数 展式是唯一的. 4.3.1.泰勒(Taylor)定理 K a K
证:证明的关键是利用柯西积分公式及如下 熟知的公式: (|u|<1). (4.10) 总有一个圆周: 使点z含在 中虚线表).由柯西积分公式得 a z D 图4.1 的内部(图4.1 表示为一个含有z-a的正幂次级数.为此该写： (4.11)
我们设法将被积式: 由 时,由于 应用公式(4.10),我们有 右端的级数在
)是一致收敛的.以
上的有界函数
相乘,仍然得到
上的一致收
敛级数.于是(4.11)表示为
上一致收敛级数 由定理3.13知 最后得出 其中的系数cn由公式(4.9)给出.上面证明对于 任意z∈均成立,故定理的前半部分得证. 下面证明展式是唯一的. 设另有展式 由定理4.13(3)即知 (n=0,1,2,…), 故展式是唯一的.
(4.8)称为f(z)在点a的泰勒展式, (4.9)称为其泰勒系数,而(4.8)右边的级数,则称 为泰勒级数.
定理4.15 f(z)在区域D内解析的充要条件为: f(z)在D内任一点a的邻域内可展成z-a的幂级数, 即泰勒级数.
由第三章的柯西不等式知若f(z)在|z-a|0,且 则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即 不可能有这样的函数F(z)存在,它在|z-a|<R内与 f(z)恒等,而在C上处处解析.
证 假若这样的F(z)存在,这时C上的每一点就都是某圆O的中心,而在圆O内F(z)是解析的. z1 a K/:|z-a|<R+ρ内是解析 的.于是F(z)在K/可开为 泰勒级数.但因在|z-a|0表示C到G的边界的距离(参看第三章定理3.3注).于是F(z)在较圆K大的同心圆 z1 z2 z3 z2 z5 z2 z6 z8 z9 z10 a 注 (1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其 和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.
(2)这个定理,一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系;同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的完全明白.
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从复变函数观点看幂级数的收敛半径
□ 马立新 刘德金
摘　要:本文从复变函数论的观点讲座了实数域中幂级数收敛半径的一些问题。
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发表时间：日10:14 来源：中大网校
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考研高等数学要求第十二章：无穷级数
　　考研要求
　　1.理解常数项级数的收敛、发散、以及收敛级数的和、的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
　　2.掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。
　　3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。会用根式判别法，掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
　　4.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
　　5.了解函数项级数的收敛域及函数的概念，理解幂函数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间、及收敛域 的求法。了解幂级数在其收敛区间内基本性质。（和函数的连续性逐项求导和逐项积分）会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些项级数的和。
　　6.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件，掌握Ex，sinX, cosX ㏑(1+x)的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
　　7.理解博里叶级数的概念，和迪克雷收敛定理，会将定义在【-1，1】上 的函数展开为博里叶级数，会将定义在【0，1】上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出博里叶级数的和的表达式。
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