级数敛散性判断习题_中华文本库
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一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数 展开法
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第五题，求级数的敛散性。高数。求过程
第五题，求级数的敛散性。高数。求过程&
∑(-1)^n/√n
收敛， ∑ 1/n
∑[(-1)^n/√n+1/n] 发散。西安交大出版社考研数学135系列答疑资料
P&11-1+1-1+1-1
=1-1-1-1-11-1….
Onecomingday
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西安交大教授，毕业于北京大学数力系。全国优秀教师。多次参加全国数学考研命题及各类数学竞赛命题，长期担任考研辅导、数学竞赛教练工作，是著名的命题专家和辅导专家。
“数学135系列”简介（西安交通大学出版社出版
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73关于级数敛散性的判别
专题七关于级数敛散性的判别；无穷级数是《数学分析》的一个重要组成部分,是研究；在18世纪，甚至到今天，无穷级数一直被认为是微积；级数是一门非常活跃的学科,这方面的研究工作近年来；数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广；人们已经创造了很多判别级数敛散性的方法，究竟用哪；(1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于；(2)考察级数的部分和数列的敛散
专题七 关于级数敛散性的判别 无穷级数是《数学分析》的一个重要组成部分,是研究“无穷项相加”的理论,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.如今,无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域,成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具.同时它也是硕士研究生入学考试的重要考核内容.但是,由于判定级数敛散性的方法和理论太多,学生在短时间内很难把握,这里就对敛散性的判定就一些问题进行解疑,以期对学习者有所帮助.在18世纪，甚至到今天，无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分．除了用于微积分之外，级数的主要应用之一在于计算一些特殊的量，如p和e,以及对数函数和三角函数值.无穷级数也是进一步研究函数的有力工具：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数,微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。随着研究领域的逐渐扩展，数学家们运用无穷级数所取得的成功变得越来越多．级数是一门非常活跃的学科, 这方面的研究工作近年来显得十分活跃,全世界出现的文献数量越来越多,各种国际会议文集更是不少.21世纪的级数将发展成什么样子?这是难以预测和估计的问题:猜想今后二三十年里,级数将会紧紧地伴随着计算机数学同时迅速地向前发展.将会扮演各种“解题机”的重要组成部分.另一方面,级数的理论进展将会深深地受益于别的数学分支,猜想代数学的一些分支、拓扑学的一些方法、概率论方法以及非标准分析方法等都会给级数研究提供有效的新工具,同时也会与级数结合起来,创造出对其他学科有用的新方法,级数的发展还会受到各门应用学科的需要而形成种种带有实际色彩的新方向.数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。级数的收敛问题是级数理论的基本问题,是当今“数学分析”的重要内容.判别数值级数的收敛或发散,是无穷级数的重点．人们已经创造了很多判别级数敛散性的方法，究竟用哪种方法较好呢？一般说来，使用起来较简便的方法，很可能适应的范围较小，而适应范围较大的方法，又往往比较繁难．对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法：(1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散．如果趋于零，则考虑其它方法．(2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，这时就应考虑其它方法．(3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用达朗贝尔判别法或柯西判别法是否有效．如果无效，再考虑用比较判别法或者其他的判别法．这是因为达朗贝尔判别法与柯西判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大．(4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛．当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数．问题1：正项级数的判敛法常见的包括哪些？ 答：正项级数的三种常见的判别法：无穷级数包括数项级数和函数项级数,而正项级数又是常数项级数的一种.关于正项级数敛散性的判断,各类教材通常讲的方法大体一致,不外乎是比较判别法及其推论,达朗贝尔判别法和柯西判别法.定理1(比较判别法)
两个正项级数?￥n=1un和?vn,且un￡vn,则n=1￥⑴若级数??￥￥n=1vn收敛,则级数?un也收敛;n=1￥￥⑵若级数n=1un发散,则级数?vn也发散.n=1推论1.1 (比较判别法的极限形式)
设?￥n=1un和?vn都是正项级数,若limn=1￥nun=l,则vn级数?￥n=1un和?vn的敛散性相同.n=1￥定理2(达朗贝尔判别法)
设?￥an为正项级数,且存在某正整数N0及常数n=1￥an+1￡l,则级数?an收敛.(ii)若对一切l(0&l&1)(i)若对一切n&N0,成立不等式ann=1￥an+131,则级数?an发散. n&N0,成立不等式ann=1￥推论2.1(达朗贝尔判别法的极限形式)
若?an为正项级数,且limn￥n=1an+1=l,则(i)当anl&1时,级数?an收敛;(ii)当l&1或l=+ 时,级数?an发散.n=1n=1￥定理3(柯西判别法)
设?￥an为正项级数,且存在某正数N0及常数l,(i)若对一切n=1￥n&N0,成立不等式?l1则级数?an收敛;(ii)若对一切n&N0,成立不等式n=11,则级数?an发散.n=1￥推论3.1(柯西判别法的极限形式)
设?￥an为正项级数,且liml则(i)当l&1nn=1时,级数?￥n=1an收敛;(ii)当l&1时,级数?an发散.n=1￥问题2：在何种情况下使用比较判别法比较方便？使用时需要注意些什么？ 请举例说明？答：从比较判别法的内容中我们可以得出以下几点启示:① 比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断; ② 比较判别法重在“比较”,是利用两个正项级数的通项结构来比较的;要求必须掌握等比级数,调和级数,p-级数的敛散性,因为比较判别法的比较对象常常就是上述三种级数.③ 要证明某一个级数?￥n=1un收敛,需要找一个通项比un大的收敛的正项级数?vn,即n=1￥un￡vn,也就是需要将所求的级数通项放大;④ 要证明某一个级数?￥n=1un发散,需要找一个通项比un小的发散的正项级数?vn,即n=1￥vn￡也就是需要将所求的级数通项缩小;因此,正项级数比较判别法的关键就是:如何选取比较对象,放大或缩小所求级数的通项. （一）、当所求级数的通项中出现关于n的有理式时,比较对象常常选取p级数或调和级数. 例1
判别级数?￥n=11的敛散性.n(n+1) ?分子n的最高幂是0(只有常数1)ün011?分析:
考虑通项:y这时通项接近2=2,原级?nnn(n+1)分母n的最高幂是2?t数也接近于级数?￥n=11,这是p=2&1的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛. 2n若要判断级数收敛,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项.￥￥1111&2，又由于?2收敛,则由比较判别法,原级数?解：
因为也收敛.n(n+1)nnnn+1()n=1n=1￥例2
判别级数?n=1n+1的敛散性. 42n?n+1分子n的最高幂是1ünn?分析:考虑通项:,原级数也接近于级数这时通项接近=y432n4分母n的最高幂是4?nn?t?￥n=11,这是p=3&1的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛. 3n￥￥2n11n+1=，又由于收敛,则由比较判别法,原级数??342n4n3n=1nn=12nn+1n+n?解
因为42n2n4也收敛. 例3
判别级数?￥n=1n+1的敛散性.2n2-n-5分子n的最高幂是1ü?n+1n1?分析:
考虑通项2:,原级数也接近y这时通项接近2=2n-n-5分母n的最高幂是2?2n2n?t于级数?￥n=11,这是发散的调和级数,于是原级数也发散. n若要判断级数发散,就把通项缩小,缩小为一个发散的级数通项.￥1nnn+11=& 解
因为，又由于是发散的,则由比较判别法,?n-n-52n-n-5n=12n￥原级数?n=1n+1也是发散的. 22n-n-5（二）、当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时,利用不等式选取适当的比较对象.主要用到下面两个式子:当x&0时,sinx&x;￥骣1÷11. ?ln?1 ÷?÷?桫x1+xx例4
判别级数?2nsinn=1p的敛散性. 3nnn￥骣骣ppp22÷nnp÷?分析:
考虑当x&0时, sinx&x,则sinn&n,2sinn&2n=,而pp÷÷??÷÷?33桫桫333n=13是公比q=2&1的收敛级数,故原级数收敛. 3￥n2+1例5
判别级数?ln的敛散性. 2nn=1￥骣1÷1n2+11?分析:
由不等式有ln,而是收敛的级数,故原级数也收敛. =ln1+ ÷??2?桫n2÷n2n2nn=1（三）、当所求级数的通项放大,缩小不方便时,可采用比较判别法的推论1.1. 利用此推论时注意:①把要求的级数当作?￥un,另找一个正项级数(往往找调和级数、p-n=1级数或等比级数),作为?￥②重点考察极限结果l,l应在0,￥之间.n=1例6
判别级数?￥n=14n-1的敛散性. n2+1￥?4n-1分子n的最高次幂为1ün11?分析:
考虑通项2:因此就把数作通项接近=,y?2?n+1分母n的最高次幂为2?nnn=1nt?￥vn.n=14n-1￥￥24n-14n2-n1n+1解
由于lim是发散的,则原级数?也发散. =lim2=4,又?2nnn+1n=1n+1n=1nnn2+1例7
判别级数?ln的敛散性.(前例5) 2nn=1￥分析:
在例5中已经判断了它的敛散性，若不熟悉前面的不等式,而此题的通项又不易进行放大、缩小,可用推论1.1.把ln??1+骣1÷骣1÷?作为,再找一个,观察到中,有对数函数ln1+uvu÷÷?nnn2÷??桫n桫n2÷n骣1÷1v=出现,考虑用第二重要极限lim?,取. 1+=e÷n?2÷n?n桫n骣1÷ln?1+2÷n2?￥÷?骣11桫n÷解
因为lim,又收敛,故原级数也收敛. =limln?1+=1÷??2?nn桫n2÷nn=1n注：比较判别法是据已知的收敛级数或发散级数作比较对象来判别其收敛性.当用等比级数作为比较对象时,就得到了下面的达朗贝尔判别法及柯西判别法.在正项级数的敛散性审敛法中,达朗贝尔(D’A Lambert)比式法和柯西(Cauchy)根式法是两个既简单又有实用价值的常用判别法.这两个正项级数的审敛法,都是用等比级数作标准,用比较判别法推证的,之所以方便,就是它们不像比较判别法那样,要研究一个正项级数的敛散性,必须以另一个已知敛散性的正项级数作为比较的对象;它们只依靠级数自己本身的项的性质就可以做出判断.问题3：在何种情况下使用达朗贝尔判别法比较方便？达朗贝尔判别法适用范围如何？ 请举例说明？ 答：首先看下面例题：包含各类专业文献、应用写作文书、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、行业资料、中学教育、高等教育、73关于级数敛散性的判别等内容。　
　答:正项级数的三种常见的判别法:无穷级数包括数项级数和函数项级数,而正项级数又是常数项级数的一种.关于正项级数敛 -1- 散性的判断,各类教材通常讲的方法... 　关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题,是数学分析的一个重要部分.数项级数,从形式上看,就是无穷多个 项的代数和,它是有限项代数... 　正项级数的敛散性判别┊ ┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊...┊┊┊┊┊┊┊┊┊ 这是一个典型的例题,通项 2n 是关于 n 的一个有理... 　关于正项级数敛散性的判别法作者: 学号: 单位: 指导老师摘要:级数是数学分析中的主要内容之一,我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种, 柯西(Cauchy)判别法... 　关于数项级数敛散性的判定摘要:就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结,重点论述了正项级数及一般项级数的敛散性判别方法, 提出了数项级数敛... 　济南大学泉城学院 毕 业 论 文 题专班学学 目业级生号 级数敛散性判别的...级数相关定理应用十分广泛,近 10 年来,我国关于级数敛散性等问题的研究比较... 　级数敛散性的判别法常数项级数的敛散性判别的...希望会对同 学们关于级数敛散性的入门学习起到辅助作用.其实方法还不止上述所... 　华北水利水电 大学课题 : 数项级数敛散性判别方法(总结) 专业班级:水利港航 ...交错级数的推广 8 例题五.比较判别法的应用 例题六.关于正项级数敛散性判定的... 　几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较_理学_高等教育_教育专区。几个正项级数...n ?1 ? 活用比较判别法 (1) 当所求级数的通项中出现关于 n 的有理式时...求级数(sin2n)/(n^2)的敛散性_百度作业帮
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求级数(sin2n)/(n^2)的敛散性
求级数(sin2n)/(n^2)的敛散性
数项级数∑(n=1,∞) (sin2n)/(n^2)为一般项级数先证部分和数列{∑(k=1,n) sin2k}有界(-2*sin1)*∑(k=1,n) sin2k=∑(k=1,n)(cos(2k+1)-cos(2k-1)) （和差化积）
=cos(2n+1)-cos1因此| ∑(k=1,n) sin2k |=| ( cos(2n+1)-cos1 )/(-2*sin1) |
≤2/|2sin1|
=1/|sin1||∑(k=1,n) sin2k|≤ 1/| sin1 |,有界得证又有1/n^2关于n单调递减趋于0故根据Dirichlet判别法得：∑(n=1,∞) (sin2n)/(n^2)收敛这只是判断是收敛还是发散 但其实判断可以再深入一点,而且比上面的方法更简单∑(n=1,∞) (sin2n)/(n^2)为一般项级数先判断是否绝对收敛：∑(n=1,∞) | (sin2n)/(n^2) |为正项级数同时注意到：| (sin2n)/(n^2) |≤|1/n^2 |=1/n^2又因为∑(n=1,∞) 1/n^2收敛因此∑(n=1,∞) | (sin2n)/(n^2) |也收敛那么,∑(n=1,∞) (sin2n)/(n^2)绝对收敛,当然有∑(n=1,∞) (sin2n)/(n^2)收敛 有不懂欢迎追问