大学高等数学：第三章第一讲一元函数不定积分的概念、公式、性质
从第二章微分学到第三章积分学都是微积分的主要部分，在高等数学中占有重要地位，而一元函数积分学是积分学的基础，以后要讲的重积分，曲线积分与曲面积分的概念与基本性质都与定积分相似，而其计算又最终都要化为定积分。
一元函数积分学包括不定积分与定积分两部分.定积分在几何、物理、工程技术、经济等诸多领域均有广泛的应用，是一元积分学的核心，从某种意义上讲，不定积分处于辅助地位，它的重要性就在于为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具。
在积分的计算中，分项积分法，分段积分法，换元积分法与分部积分法是最基本的方法，按函数类的及积分法中有理函数积分法则是最基本的，其他一些特殊函数类（如三角函数有理式，某些无理式）的积分法则是通过特定的换元法转化为有理函数的积分。
牛顿-莱布尼兹公式也称为微积分基本公式，它是定积分，乃至于整个微积分学的重要结果之一，之所以称为基本公式就是由于它联系了定积分与原函数、不定积分，并通过原函数联系了微分学，从实用的角度看，它为原函数计算定积分提供了理论依据，连续函数的变限积分的性质表明连续函数一定存在原函数。反常积分（广义积分）是变限积分的极限，因而由定积分的计算法则加上极限运算法则就得到相应的反常积分（广义积分）的计算方法。
积分学的应用是它的概念，也就是分割、近似、求和、取极限这个方法的应用，其中关键步骤是分割与近似，因而在应用中“四步法”常常被微元法所代替，一元函数部分，要求掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（各种形式的平面图形的面积、平面曲线的弧长、曲率、曲率圆与曲率半径、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力、质心与形心等）及函数平均值。
一元函数积分的概念、性质
（一）原函数与不定积分的概念和基本性质
原函数与不定积分的定义
若F'(X)=f(x)或dF(X)=f(x)dx在区间I上成立，则称F(X)为f(x)在区间I中的一个原函数.f(x)在区间I上的全体原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为∫f(x)dx,其中∫为积分号，x为积分变量，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式。
原函数与不定积分的关系
若F(X)为f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx=F(x)+C,其中C为任意常数，称为积分常数。
求不定积分与求微分（导数）的关系-------互为逆运算
(1)已知F(X)求dF(X)=f(x)dx是微分运算；已知f(x)dx求F(X)使得dF(X)=f(x)dx是积分运算。
(2)[∫f(x)dx]'=f(x)或d∫f(x)dx=f(x)
∫f'(x)dx=f(x)+c或∫df(x)=f(x)+c
正因为原函数与导函数有互逆关系，而且不定积分就是全体原函数，所以对应于基本初等函数的导数公式，就有相应的基本积分公式
意：基本积分表在积分计算的作用是，通过积分计算法则，把所求积分转化为积分表中的情形。4.不定积分的简单性质
设f(x),g(x)在区间I上存在原函数，则在区间I上
∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k≠0为常数)
5.原函数的存在性
设f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上存在原函数。上限x，下限xo∫f(t)dt就是f(x)的一个原函数，其中xo∈I为某一定点
若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在I上不存在原函数
6.原函数的几何意义与力学意义
设f(x)在[a,b]上连续，则由曲线y=f(x),x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数（指代数和-----x轴上方取正号，下方取负号）是f(x)的一个原函数。若x为时间变量，f(x)为直线运动的物体的速度函数，则f(x)的原函数就是路程函数
7.初等函数的原函数
初等函数在定义域区间上连续，因而一定存在原函数，但它的原函数不一定是初等函数，如：
等均积不出来，即被积函数存在原函数，但原函数不是初等函数下面看下这个题目
列题：若f(x)的导函数是sinx,则f(x)的原函数是---------？
分析：f(x)的导函数是sinx,那么f(x)应具有形式-cosx+C1,所以f(x)的原函数应为-sinx+C1x+C2,其中C1，C2为任意常数。
类似这样的题目错误率极高，题目不难，有很多小伙伴把f(x)的原函数写成-cosx+C，在这一点上就没有真正意义上的理解什么是原函数，原函数与导函数之间关系搞不清楚了，所以看似简单的知识点，一定要重视起来，因为这些都是送分的题目，送分题如果不好好把握住，怎么能拿高分呢？
今天讲解的不定积分是我们学习一元函数积分学的基础，好好把握并理解不定积分的概念及性质，特别是不定积分基本积分表，是做积分题目的源泉，望小伙伴们及时收藏并分享，好好把握，相信自己，你们是最棒的！
下节课我们学习定积分的概念与基本性质。
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高数辅导之专题十二：不定积分的计算详解.doc 9页
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不定积分的计算方法：
1．直接积分法
积分基本公式
不定积分的性质
2．换元积分法
定理1（第一换元积分法）设，函数可导，则
定理2（第二换元积分法）设严格单调且可导，若
关于第二换元积分法，有
（1）当被积函数含有时，设
（2）当被积函数含有平方和、差的算术平方根时，用三角代换：
含有根式时，设
含有根式时，设
含有根式时，设
（3）当被积函数的分母含变量因子时，设
注：若被积函数含有或（为整数）时，必须用第二换元积分法。
3．分部积分法
定理3（分部积分法）设，皆可导，函数和中至少有一个存在原函数，则
（1）如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，设幂函数为。
（2）如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，设对数函数或反三角函数为。
注：若被积函数含有、等，一般会连续多次使用分部积分法。
4．简单有理函数的积分
（1）若真分式的分母有一次因式，则部分分式中必含有
（2）若真分式的分母有一个重一次因式，则部分分式中必含有
（3）若真分式的分母有一个不可分解的二次因式，则部分分式中必含有
5．三角函数有理式的积分
6．简单无理函数的积分
一些有用的积分式
注：出现分式，一般情况下应迁就分母。本题中分母是一个关于的多项式，故应将分子同样变为关于的多项式。（分子原本是关于的多项式）
注：在被积函数中，迁就分母中的，因为其形式较复杂。又，故分子分母同乘以，凑出的微分。
10. 求，其中是常数，且。
14. 已知连续，，求
解：当时，有
由在处连续知
故，，令，则
求解下列不定积分：
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写错了一点
为啥是Inx^-1啊？
光线有点不好
不谢✧*｡٩(^㉨^*)و✧*｡
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=∫c1axe^（-lnx）dx=∫c1axe^（ln(1/x)）dx=∫c1ax*1/xdx=∫c1adx=c1ax+c2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~e^lnx=x
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=∫1/(4+u²)ud(1-u²)=-2∫1/(4+u²)du=-∫1/(1+(u/2)²)d(u/2)=-arctan(u/2)+C代入u=√(1-x)
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问题描述：
求解一道不定积分的题不明白（1+sint）怎么就没了呢?
问题解答：
注：【用|表示积分符号,积分区间为-pi/2～pi/2】左=|（cost）^2dt + |cos^2t * sint dt=|（cost）^2dt - |cos^2t dcost=|（cost）^2dt - 0=|（cost）^2dt（另外纠正一点：这是定积分题目）
我来回答：
剩余:2000字
原式=∫xsinxdx-∫asinxdx=-∫xdcosx-a∫sinxdx=-(xcosx-∫cosxdx)-a(-cosx)=-xcosx+sinx+acosx+C =（a-x）cosx+sinx+C
.=(sinx)/x+C 再问： ??д??????
令√1+e^x =t x=ln(t^2-1) ∫tdln(t^2-1)=2∫t t/(t^2-1)dt=2∫t^2-1+1/(t^2-1)dt=2[∫1dt +∫1/(t^2-1)dt]=2t - 2ln(1+t/1-t)+c然后把t替换就好,不知道有没有算错,你再自己算算
F(x) = ∫(2/x²-4/x^6)=-2/x +4/(5x^5)+cF(1) = -2 + 4/5 +c = 0, => c=6/5so F(x) = -2/x + 4/(5x^5) + 6/5
再问： 太感谢拉！！！ 再答： 别客气
再问： 嗯，谢谢你的耐心解答，我还想请教一下，如果分子分母同除以一个cos^6x的话，可以解出来吗 再答： 上面回答因在第三个等号出了点符号问题，导致结果错误，两个方法的具体过程如下：
你把cos（2/x）放进去的时候 少乘了一个2 再问： 不是很懂。我数学很差的再问： 你可以写完整的步骤吗 再答： 等等哈再问： 恩。谢谢 再答： 再答： 我也不知道 对不对……再问： 我也是这么做的啊。跟答案不一样 再答： 我换个方法做做 再答： 我跟你就差个两倍 你少了个2 我再看看哈再问： 好的。其实我第一次做的
改写被积函数拆成两项如图,再用公式及凑微分法计算.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.
再答： 再答： 再问： 你第一步分部积分，是不是求错了？再问： 再答： 是 再答： 不好意思， 再答： 还在吗 再答： 对x进行升幂 再答： 再问： ？ 再答： 两步分部积分 再答： 还用不用在写一遍再问： 从结果推回去是不是不对？再问： 再问： 再问： 再答： 不是这样 再答： 再答： 你有答案吗再问： 没有再问：
C. 完整的回答是 john cleaned the blackboard.常用代动词 do/does/did 来代替上文出现过的动词或动词词组,以避免重复. 这个地方时过去时, 所以用did代替.你的第二个问题是, 反义疑问句. hasn't she ?你把反义疑问句在百科一搜就明白了
自从他们喜欢它以后,许多人沉浸在里面,看啊,enjoy 加了ed,说明是过去,过去喜欢,所以沉浸在里面也应是过去!
A:Na B:P C:Cl2Na + 2H2O == 2Na+ + 2OH- + H22Na + Cl2 == 2NaCl只能写成这样了,能看明白吧?
设运动了x秒后得到△PMC为等腰三角形第一种情况：∠PCM=∠PMC=45°,△PCM为等腰直角三角形,过P点作PO'⊥MC交于O'点,PO'=1/2MC,MC=4-x,PO'=(4-x)/2,NP=4-x,NP+PO'=4,（4-x）+（4-x）/2=4,解得x=4/3第二种情况：∠PCM=∠MPC=45°,△PCM
[P(N,7)-P(N,5)]/P(N,5)=P(N,7)/P(N,5)-1=89∴P(N,7)/P(N,5)=90P(N,7)/P(N,5)=[N!/(N-7)!]/[N!/(N-5)!]=(N-5)!/(N-7)!=(N-5)(N-6)(N-7)……(1)/[(N-7)(N-8)……(1)]=(N-5)(N-6)=
其实你只要理解了第一个大括号为什么那么设,你就知道这道题目的解法,后面的问题也就迎刃而解了.而第一个大括号为何那么设?其实这样设 是为了把函数分成2个函数,第一个A（……）不就可以和分母约分了吗?就变成了常数A第二个B（……）其中括号里的不就是（asinx+bcosx)的导数吗?∫ f'(x)/f(x)dx=lnf(x
1、 2Al+2NaOH(过量)+2H20=2NaAl02+3H22、 Al-3e=Al3+ AlO2+ +2HCO3- + H2O =Al(OH)3 +2CO2 铝材表面的自然氧化膜中的氧化膜也有铝单质的 结合上面方程式还不明白吗 再问： 第二步里有氢离子生成？那不是回合氧化铝反应么？ 再答： 不会，氢离子会先与阴极
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